2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习（含解析）新人教A版.docx

2.2.2 反证法 A基础达标1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.有以下结论：已知p3q32，求证：pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，故的假设是错误的，而的假设是正确的.3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：选C.假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.4.设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数（）A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然，矛盾，所以C正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时的假设为.解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP7.完成反证法证题的全过程.设a1，a2，a7是由数字1，2，7任意排成的一个数列，p（a11）（a22）（a77），求证：p为偶数.证明：假设p为奇数，则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数，故有（a11）（a22）（a77）为.而（a11）（a22）（a77）（a1a2a7）（127）.与矛盾，故假设不成立，故p为偶数.解析：由假设p为奇数，可知a11，a22，a77均为奇数，故（a11）（a22）（a77）为奇数，而（a11）（a22）（a77）（a1a2a7）（127）0，矛盾，故假设不成立，故p为偶数.答案：a11，a22，a77奇数08.设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故不能推出.若ab1，则ab2，故不能推出.若a2，b1，则a2b22，故不能推出.对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2，与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：9.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.证明： 如图所示，连接AB，假设AC平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以ACSO.因为SO底面圆O，所以SOAB，所以SO平面SAB，所以平面SAB底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.10.已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明：假设，都不小于2，即2，2.因为x0，y0，所以1x2y，1y2x，所以2xy2（xy），即xy2，与已知xy2矛盾，所以，中至少有一个小于2.B能力提升11.若下列方程：x24ax4a30，x2（a1）xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为.解析：假设三个方程均无实数根，则有解得即a1，所以当a1或a时，三个方程至少有一个方程有实根.答案：1，）12.若a、b、c、d都是有理数，、都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为，.解析：假设ab，令abm（m是不等于零的有理数），于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.答案：abcd13.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.（1）求证：数列Sn不是等比数列；（2）数列Sn是等差数列吗？为什么？解：（1）证明：假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a（1q）2a1a1（1qq2）.因为a10，所以（1q）21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以假设不成立，所以数列Sn不是等比数列.（2）当q1时，Snna1，故数列Sn是等差数列；当q1时，假设数列Sn是等差数列，则2S2S1S3，即2a1（1q）a1a1（1qq2），得q0，这与公比q0矛盾.综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列.14.（选做题）已知二次函数f（x）ax2bxc（a0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）0，且0xc时f（x）0.（1）证明：是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明：c.证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，所以f（x）0有两个不等实根x1，x2.因为f