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硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 摘要 层次分析法是一种定性与定量相结合的多准则决策方法 它的关键步骤在于构造 判断矩阵以及从判断矩阵中求得被比较元素的排序权重 在不确定情况下 决策者倾 向于用区间表达自己的偏好 将区间判断矩阵作为两两比较的判断矩阵 到目前为止 基于区间判断矩阵的排序算法已有二十多种 并且新的排序算法还在不断地提出 本文总结了目前区间判断矩阵的排序算法 并将这些排序算法分为 近似算法和 优化算法两大类进行研究 对算法的产生背景和基本思想进行了归纳 并从理论和应 用方顽对算法进行了比较研究 本文通过对区域和区域经济概念的研究 构建了区域 经济发展水平的评价指标体系 并选定按区间特征根法计算排序的层次分析法 对江 苏省1 3 个地级市的经济发展水平进行了综合评价 关键词 层次分析法区间判断排序算法区域区域经济指标体系 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s a h p i sam u l t i c r i t e r i ad e c i s i o n m a k i n gm e t h o dt h a t c o m b i n e sq u a l i t a t i v ea n a l y s i sw i t hq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s i t sk e ys t e p i st oe s t a b l i s h j u d g m e n t m a t r i c e sa n dg e tp r i o r i t yv e c t o r sf o ro b j e c t st ob ec o m p a r e df r o mt h e m w h e na d e c i s i o nm a k e re x p e r i e n c e su n c e r t a i n t y h ep r e f e r s t oe x p r e s se a c h j u d g m e n t w i t l li n t e r v a l s o f n u m e r i c a lv a l u ea n de x p r e s sp a i r w i s ec o m p a r i s o n sm a t r i xw i t hi n t e r v a lj u d g m e n tm a r x u p t on o w a st op r i o r i t ya l g o r i t h m so fi n t e r v a lj u d g m e n tm a t r i x i th a sb e e nd e v e l o p e d t w e n t yk i n d s a n dm a n y n e w a l g o r i t h m sa r e s t i l lb r o u g h tf o r w a r d c o n t i n u a l l y t h ep a p e rs u n l su pt h ee x i s t i n gp r i o r i t ym e t h o d so fi n t e r v a lj u d g m e n tm a t r i xa n d c l a s s i f i e st h e mi n t ot w oc a t e g o r i e s a p p r o x i m a t ea l g o r i t h ma n do p t i m i z a t i o na l g o r i t h m a n dt h e p a p e rc o m p a r e s s y n t h e t i c a l l ya l g o r i t h m s i n t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n b y i n v e s t i g a t i n gc o n c e p t so fr e g i o na n dr e g i o n a le c o n o m y t h ep a p e re s t a b l i s h e st h er e g i o n a l e c o n o m yi n d e xs y s t e m a n dt h e nu s e s a h pt o c o m p a r ee c o n o m yo ft h i r t e e n c i t i e si n j i a n g s up r o v i n c e i e mi sa d o p t e di nc o m p u t a t i o no f t h ep r i o r i t yo fi n t e r v a lj u d g m e n t m a t r i c e s k e yw o r d a n a l y t i ch i e r a r c h y p r o c e s s i n t e r v a lj u d g m e n t p r i o r i t ya l g o r i t h m r e g i o n r e g i o n a le c o n o m y i n d e xs y s t e m y6 2 t t 9 8 3 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果 尽我所知 在 本学位论文中 除了加以标注和致谢的部分外 不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明 研究生签名 j d 阱年6 月f 8 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档 可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容 可以向有关部门或机构送 交并授权其保存 借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容 对 于保密论文 按保密的有关规定和程序处理 研究生签名 查整茔翔升年6 月f 8 日 硕士论文 基于区间判断的a i i p 理论与应用研究 1 引言 1 1 研究的背景与意义 层次分析法 t h e a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s 以下简称a h p 是一种将定性分析 与定量分析相结合的有效的多准则决策方法 由美国著名的运筹学家 匹兹堡大学教 授s a a t y t l 于1 9 世纪7 0 年代中期提出的 a h p 作为一种处理复杂决策问题的有效而实用的决策方法 迄今为止已在很多 领域得到广泛应用 并且它在理论和实际应用中存在的问题也得到了改进和发展 在 决策过程中 当决策者获得的信息比较完备时 在单一准则下比较两个方案 或子准 则 的重要性 可以在某一标度下 给出一个准确的判断值 然而在实际的社会经济 系统中 由于系统本身的复杂性 直接得到单一准则下各方案的优劣程度或递阶层次 结构中各阶子准则的权重是相当困难的 甚至是不可能的 因此 在单一准则下 由 于信息不足或方案不够完善使专家没有把握对方案的相对重要程度做出明确的判断 从而产生了不确定型a h p 在不确定型a h p 中 两两比较采用区间标度 相应的判 断矩阵以区间判断矩阵的形式给出 到目前为止 国内外的很多专家学者对不确定型a h p 中区间判断矩阵的概念 区间判断矩阵的一致性 区间判断矩阵排序算法以及区间判断a h p 在实践中的应用 进行了大量的研究 区间判断最早是作为模糊或不确定a h p 进行讨论的 s a a t y 和 g a s 1 9 8 7 明确 提出区间判断概念 并假设判断值是区闻上的随机变量 通过从区间判断矩阵中随机 抽取一定数量的点判断矩阵作为样本 用模拟方法求出权重向量的分布 由于计算复 杂 难以在实际中应用 a r b e l 1 9 8 9 在将区间判断作为局部权重向量的约束条件 用线性规划的方法求解区间判断局部权重向量 为区间判断问题开辟了新途径 但是 可行域可能是空集 从而限制了该法的应用 3 l i n d am h a i n e s 1 9 9 8 阐述了两种权 重向量的分布一均匀分布和随机凸组合 并通过这两种分布的统计性质获得权重向量 的分布区间 j o s e fj a b l o n s k y 1 9 9 9 阐述 t 用一般分布函数的概率密度函数和累积 分布函数模拟判断值在区间上的分布求取权重向量分布区间的方法 从a h p 被介绍到我国以来 国内的许多专家学者也对不确定型a h p 的区间判断 理论进行了大量的研究 许树柏 1 9 8 8 给出了不确定型a h p 的区间标度 区间判断 矩阵和区间特征向量的定义 利用区间判断矩阵元素服从正态分布的思想 估计区间 特征向量 同时对不确定型a h p 在单一准则下的排序和层次组合排序进行了讨论 3 魏毅强等 1 9 9 4 对判断矩阵的有关概念及其性质进行了进一步的定义 提出了区间特 征根法 并对区间判断矩阵的一致性概念和一致性区间判断矩阵的性质进行了讨论 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 吴育华 1 9 9 5 根据区间判断的模糊性和不确定性 给出了区间宽度和变异程度的概 念 将决策者做出的决策分为三种情形构造区间判断矩阵 用幂法计算特征根和特征 向量 1 刘清君等 1 9 9 7 通过引入参数 将判断数表示为凸集的形式 构造线形规划 模型 给出了计算区间判断矩阵的代数法和线形规划法嘲 王莲芬等 1 9 9 7 用凸锥模 型来讨论区间判断的权重向量的特性与算法 8 瑚1 穆增超等 2 0 0 3 通过求解一个线 性规划问题得到区间判断矩阵的排序权重向量等 到目前为止 基于区间判断矩阵的排序算法已有二十多种 本文将有代表性地选 取1 5 种算法 并且对算法产生背景和基本思想进行归纳总结 对算法在理论和应用 方面进行比较 这对于区间判断矩阵排序算法的理论研究和实际应用都有重大意义 当前 我国大力发展经济 全面建设小康社会 首先要坚持科学发展观 实现区 域的协调发展 可持续性发展 本文还将探讨区间判断a h p 在区域经济发展水平综 合评价中的应用 1 2 本文的研究方法与内容 本文对排序算法采用了归纳总结 分类介绍的研究方法 本文对下列几个方面进行研究 1 总结a h p 的概况 其中包括a h p 的产生背 景及研究进展情况 2 将区间判断矩阵排序算法分为近似算法和优化算法 进行了 归纳和总结 3 在探讨区域 区域经济概念的基础上 构建区域经济发展水平的评 价指标体系 对江苏省1 3 个地级市的区域经济发展水平进行综合评价 本文共分为六章 第一章将介绍本文研究的背景与意义 以及本文的研究方法与 内容 第二章将介绍a h p 的产生背景 a h p 的计算步骤以及a h p 的研究进展 在 a h p 的研究进展中 主要介绍单一准则下的排序方法 逆序问题 标度研究 模糊 a h p 和不确定性研究的进展情况 第三章将介绍区间判断矩阵排序的近似算法 主 要有模拟算法 区间特征根法 区间数梯度特征向量法 改进的区间数梯度特征向量 法 致性逼近法 最优传递矩阵法和柯西分布法 第四章将介绍区间判断矩阵排序 的优化算法 主要有线性规划法 凸锥模型法 区间对数最小二乘法 区间数广义最 小偏差法和区间数z 2 法 第五章将探讨区域 区域经济的概念 构建区域经济发展 水平的评价指标体系 对江苏省1 3 个地级市的区域经济发展水平进行综合评价 最 后一章总结了本文的主要研究成果以及有待解决的问题 硕士论文 基于区间判断的a h p 理论与应用研究 2a h p 概述 2 1a h p 的产生背景 1 9 世纪7 0 年代 人们将系统工程的观念和方法广泛应用于解决社会系统 经济 系统和技术系统的一系列问题 但是由于社会系统的复杂性 无法建立相应的数学模 型处理实际问题 这时很多运筹专家逐步认识到决策者的选择和判断在决策过程中起 决定作用 在这种背景下 美国运筹学家 匹兹堡大学的s a a t yt l 教授于7 0 年代初 期提出了著名的a i i p 它是一种定量与定性相结合 将人的主观判断用数量形式表 达和处理的方法 s a a t y 提出a h p 可以追溯到1 9 世纪7 0 年代初 1 9 7 1 年 他曾为美国国防部研 究所谓 应急计划 1 9 7 2 年为美国科学基金会研究电力在工业部门分配问题 1 9 7 3 年为苏丹政府研究运输问题 由于研究工作的需要 他感到必须综合考虑定性与定量 分析 使人脑决策思维过程模型化的方法 从而初步形成了a h p 的核心 即很多复 杂系统可以简化为有序的递解层次结构 决策问题通常表现为一组方案优先次序的排 列问题 而这种排序又可以通过简单的两两比较形式导出 1 a h p 的基本思想就是把复杂的问题分解成若干个组成元素 将这些元素按支配 与被支配的关系分组 形成递阶层次结构 通过两两比较的判断方式确定层次中各个 元素的相对重要性 然后综合决策者的判断 确定决策方案相对重要性的总排序 a h p 的整个过程体现了人们处理问题由分解 判断到综合的决策思维过程的基本特 征 2 2a h p 的计算步骤 运用a h p 进行决策时 大致可分为以下四个步骤进行 1 第一 构建递阶层次结构 首先将一个复杂的无结构决策问题分解成若干元素 然后按照属性的不同 将元 素分组形成互不相交的层次 上一层次对相邻的下一层次的全部或某些元素起着支配 作用 形成自上而下的逐层支配的递阶层次结构 一个递阶层次结构一般由目标层 准则层和方案层三层构成 同时每个层次还可以进一步细分 如准则层又可以分为主 准则层和子准则层等 递阶层次结构的层数一般不受限制 而中间层元素的个数一般 不超过9 个 构建递阶层次结构是a h p 中的关键步骤 递阶层次结构是否合理直接 影响最终决策方案的选择 因而笔者认为构建递阶层次结构是运用a h p 进行决策分 析的基础 硕士论文基于区闻判断的a h p 理论与应用研究 凿崮 崮窗困 困 目标层 准则层 方案层 图2 2 1 递阶层次结构示意图 资料来源 层次分析法引论 第7 页 第二 构造两两比较判断矩阵 首先明确递阶层次结构中上层元素和相邻下层元索之间的支配关系 假设第t 层的第m 个元素支配第l k 层的 z 个元素 则第t 层被支配的元素以第三 层的第聊 个元素为准则 利用1 9 的比例标度 构造两两比较的判断矩阵 a q a 2 h a 1a n 2 口月n 判断矩阵4 口g 中的元素d f 是1 9 9 之间的某一确定值 第三 求解单一准则下元素的排序权重 根据以上判断矩阵a 计算在厶一 层的第聊个元素准则下 利用特征根法 或其 他排序方法 计算被支配元素的排序权重向量 在计算单 准则下判断矩阵的排序权重向量时 必须进行一致性检验 具体步骤 如下 1 计算一致性指标c c o n s i s t e n c yi n d e x c z 生晕 2 1 玎一l 2 查找相应的平均随机一致性指标r j r a n d o mi n d e x 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 表2 2 1平均随机一致性指标r 矩阵阶数 1234567 r 0 00 5 20 8 91 1 21 2 61 3 6 矩阵阶数 891 0 1 11 21 31 41 5 r 1 4 11 4 6 1 4 9i 5 21 5 4i 5 6i 5 81 5 9 资料来源 层次分析法引论 第1 3 页 3 计算一致性比例c r c o n s i s t e n c yi n d e x c r 嚣 若c r o 1 时 则认为判断矩阵的一致性是可以接受的 若c r o 1 时 需要 对判断矩阵作适当调整 第四 计算层次总排序 得到递阶层次结构中各判断矩阵的局部排序权重后 需要计算各层元素对于总目 标的排序权重 特别是最底层元素对总目标的排序权重 即 合成权重 从而对方 案进行选择 在递阶层次结构中自上而下的合成排序权重 并且逐层进行总的一致性 检验 在实际应用中可以不进行总的一致性检验 若第k 一1 层上丹 个元素相对于总目标的排序权重向量 w 1 w p w 2 k 1 w k 1 7 2 3 第k 层上 个元素对第露一1 层上第 个元素为准则的排序权重向量为 p 芦 p u p 黔 p 嬲 7 2 4 其中 不受第歹个元素支配的元素的权重为零 令p p p p p 表示 层上元素对七一l 层上各元素的排序 则第七层 上元素对总目标的合成排序向量为 w 纠 w f 1 以 w 砦 7 p 忙 w 耻一 2 5 w 口 2 p 2 1 w 2 2 6 利用以下公式 2 6 计算层次的总排序 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 2 3a h p 的研究发展 2 3 1 单一准则下的排序方法 到目前为止 求解单一准则下判断矩阵排序权重向量的方法有4 0 多种 袁家新 在文献 5 2 中 对3 0 多种排序方法进行了归纳总结 并且进行了比较 常用的判断 矩阵的排序方法有根法 和法 特征根法 对数最小二乘法和最小二乘法等 1 1 根法 将判断矩阵爿各列向量进行几何平均 然后归一化 得到的列向量就是a 的排序 权重向量 其公式为 1 1 i n n n 1 i l i i 1 2 2 7 2 1 和法 将判断矩阵a 的n 个列向量的算术平均作为它的排序权重向量 其公式为 叩去喜轰弘l 2 弗 2 8 其具体计算步骤如下 第一步 4 中元素按列归一化 第二步 将归一化后的各列元素对应相加 第三步 将相加后的列向量归一化 即除以n 得到排序权重向量 3 特征根法 通过求解判断矩阵a 的最大特征根和与其对应的特征向量 得到排序权重向量 a w k w 2 9 其中a 一是以的最大特征根 w 是与最大特征根相对应的特征向量 w 归一化后得到 a 的排序权重向量 4 对数最 b 乘法 当判断矩阵4 是不一致的判断矩阵时 假设实际的排序权重向量为 w w 1 w w 7 则判断矩阵中的元素可以表示为 旦q i 1 2 4 w 2 1 0 硕士论文 基于区间判断的a h p 理论与应用研究 其中q 是扰动函数 当q 斗l 时 判断矩阵彳趋于一致 对上式两边取对数 得到 l o g a 口 l o g w 一l o g w l o g q 2 1 1 即当l o g q 一0 时 判断矩阵爿趋于一致 从而 可以构造极小化函数 r a i n 1 0 9 a f i o g w l o g w 2 2 1 2 l j 1 来拟合排序权重向量 这种方法称为对数最小二乘法 5 最小二乘法 最小二乘法的原理就是寻找一个 致性矩阵矽 w w j 使得它与判断矩阵a 的相应元素之差的平方和最小 即通过求 m i 芬旷 2 2 1 3 j j 得到排序权重向量 2 3 2 逆序问题 b e l t o n 和g e a r 于1 9 8 2 年提出了第一个a h p 的逆序实例以来 逆序 问题成为 a u p 中广泛争论的焦点 一直困扰着很多学者 这里所说的逆序就是指由于新方案 的引入或剔除而引起的方案合成排序权重比例的改变进而引起序的逆转现象 s a a t y 认为 序不是事物本身固有的特性 它依赖于人的主观判断和偏好 并且在同一准 则下不存在不相关的可供选择方案 因而由于引入的新方案与原来方案之间的关系 以及人的主观判断和偏好的变化 引起逆序是合乎情理的 王莲芬在文献f 1 1 1 中 通过对逆序问题观点的阐述 逆序现象的分析 认为用a h p 排序 这里指引入新方案时保持准则权重及原判断及一致性不变 产生逆序的原因从 数学上看 可归咎于相对权重向量的归一化过程 同时认为引进新方案时原方案是否 应保序不能单纯由判断矩阵决定 而应与决策问题的性质与背景相关 因而脱离决策 问题讨论逆序问题是没有意义的 也难以做到正确应用a h p 针对逆序问题很多学者提出各种改进措施 王莲芬文 1 u 认为逆序问题不是a h p 的固有缺陷 而是属于正确应用和发展a i t p 问题 同时认为比例标度法应当而且可 以代替绝对标度法 从而进一步发挥a h p 的优势 s c h o n e r 在1 9 9 1 年提出了连接点 法 许树柏在此基础提出两类决策问题的两种a h p 即分配型a h p 和参照型a h p 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 张运峰在文 1 2 q b 通过对逆序产生原因的分析 以利用各种方法消除方案变化 对准则权重的影响作为解决逆序问题的总思路 就增加单个方案 减少单个方案 增 加多个方案和减少多个方案四种情形分别提出了消除逆序的方法 张群会在文 1 3 中 通过分析比例标度与逆序之间的关系 引入绝对权重的概念 从根本上消除产生逆序的因素 处理逆序问题 2 3 3 标度研究 运用a h p 处理决策问题 就是将人的主观判断用数量的形式来表达 其关键在 于在单 的准则下 人的偏好能够以一定的标度进行客观 准确地描述 因而标度是 判断的基础 随着国内外学者对标度的研究 关于标度的定义 出现了很多种 从国 内来看 主要有 舒康 梁镇韩的指数标度 汪浩 马达的9 9 9 1 标度和1 0 1 0 1 8 2 标度 5 郭鹏 郑睢唯的改进标度 姚敏 张森的叽1 标度 左军的0 2 标度 徐泽水的一2 也标度o 杜栋的o 1 o 9 标度 以及林钧昌和徐泽水在文献 2 1 1 中根 据正互反矩阵a 和模糊互补矩阵b b 的转化公式 b j l 2 1 4 辞p l 和指数标度的通式得到的o 1 0 9 九标度等 徐泽水在文献 2 2 1 0 p 根据标度所得判断矩阵的性质差异 将标度分为两类 第一类是互反性标度 用来构造正互反矩阵 如1 9 标度 指数标度 9 9 9 1 标度 1 0 t 0 1 8 2 标度和改进标度等 如表2 3 1 第二类是互补性标度 用来构造模糊互补矩阵 如o 1 标度 o 之标度 2 2 标 度 0 1 0 9 五标度 0 1 o 9 九标度等 如表2 3 2 表2 3 1互反性标度 重要程度l q 标度 9 9 9 标度1 0 1 0 1 8 2 标度 指邈拆鹰 改进标廑 相同 稍微重要 明显重要 强烈重要 9 9 1 9 7 1 2 8 6 9 5 1 8 0 0 9 3 3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 2 8 1 5 0 1 4 6 2 3 3 3 1 6 4 4 0 0 0 5 5 6 4 7 3 8 2 堡塑重塞 型 丝 f 盟型 通式k9 1 0 k 9 k n k 9 4 k 6 k k 的取值1 9 7 o 7 7 8 2 r 2 0 3 以哪形咿 9 9 9 硕士论文基于区间判断的a m p 理论与应用研究 标度作为单一准则下元素两两比较相对重要性的尺度 不同的标度可能会产生不 同的方案排序 因而标度直接或间接影响着人们的决策 国内很多专家学者在给出新 标度的同时 还对标度进行了综合的评价 在文献 2 2 和文献 2 3 中 作者从系统学 的角度对标度进行了综合评价 2 3 4 模糊a h p a h p 的核心是利用1 9 标度构造判断矩阵 由于客观事物的复杂性和人们判断 的模糊性 a h p 在模糊环境下的扩展是必要的 这一扩展称为模糊a h p 1 9 8 3 年荷 兰学者v a nl a a r h o v e n 提出用三角模糊数表示判断 给出了三角模糊数近似计算公式 并用对数最小二乘法得到了模糊权重 1 9 8 8 年我国学者许若宁给出了一种模糊判断 矩阵的建立方法 并用梯度特征向量法给出了模糊权重 1 9 9 3 年 刘进生等在用 三角模糊数表示判断的前提下 给出了判断矩阵的一致性概念 提出了判断矩阵可接 受的条件 并用特征根法确定模糊权重 1 9 9 4 年我国常大勇教授提出了利用模糊 数比较大小的方法来进行排序 1 1 9 9 7 年 李元左等提出广义判断下a h p g j a h p 并且给出了基于模糊区间数排序权重向量的特征根算法 3 马晓燕用随机变量和模 糊区间描述其判断 采用o 1 0 9 标度 建立模糊互补判断矩阵 利用数学变换得到 模糊一致性判断矩阵 给出排序向量算法及公式啪1 随着模糊判断矩阵排序理论与方 法不断发展和日趋完善 目前为止 已有1 0 余种排序方法被提出 樊治平 姜艳萍 在文献 2 9 中根据模糊判断矩阵及其一致性的定义将1 0 种模糊判断矩阵排序的排序 方法进行了归纳和总结 模糊判断矩阵的一致性问题是模糊a h p 研究的另一个核心问题 1 9 9 7 年 姚敏 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 张森对模糊判断矩阵 模糊互补矩阵和模糊一致矩阵进行定义 对模糊一致矩阵的性 质进行了研究 2 0 0 3 年 姜艳萍等在模糊判断矩阵一致性定义及判定方法的基础 上 通过构造和分析模糊判断矩阵的调和矩阵 迸一步给出了将模糊判断矩阵改进为 满意一致性矩阵的计算步骤 用于构造模糊互补矩阵的标度在上一节中已经进行了列举 这里不再赘述 2 3 5 不确定性研究 在大多数情况下 决策者的两两比较判断中包含着一定程度的不确定性 关于不 确定性的概念及其产生的原因 国外的很多专家进行了大量研究 s a a t y 于1 9 7 8 年提 出了判断不确定性的概念嘞1 后来v a r g a s 1 9 8 2 将两两比较判断作为随机变量进行了 阐述 z a h e d i 1 9 8 5 将不确定性分为外部不确定性和内部不确定性 d a n p a u l s o n 和 s a j j a dz a l l i r 1 9 9 5 认为判断不确定性与不一致性是不同的两个概念 如果 个决策者 的偏好是自相矛盾的 那么他的判断就是不一致的 他们认为a h p 没有绝对的一 致性 一致性是决策者处理有限信息能力的结果 在a h p 中通常存在不一致的偏好 此外 判断的不确定性跟决策者表达偏好时的感情状态以及不完善的信息来源等很多 因素有关 很多学者对判断矩阵中存在的不确定性对方案选择的影响进行了研究 s a a r y 和 v 打g a s 1 9 8 7 通过计算方案逆序的概率 用模拟法分析了a h p 中不确定性判断的影 响 其中逆序的概率是指由于判断矩阵的不确定性使得任意两个方案的排序发生逆转 的可能性 d a np a u l s o n 和s 捌a dz a h i r 1 9 9 5 假设判断矩阵中的不确定性是由单个 决策者对自己判断准确性的怀疑产生的 不是决策群组中意见不一致的结果 他们认 为决燕者经常对占支配地位方案排序改变的概率有兴趣 通常这个概率跟排序逆转的 概率成比例 他们在研究判断矩阵的维数 方案和准则的数目 和决策层次的深度发 生变化的基础上 关于不确定性得出以下结论 1 在判断矩阵维数不变的情况下 随着判断矩阵中不确定性的增加 特征向量 中的不确定性也随之增加 方案逆序的概率增加 2 在判断矩阵中不确定性不变的情况下 随着判断矩阵维数的增加 特征向量 中的不确定性随之减少 逆序的概率增加 特别是当判断矩阵的维数大于1 0 时 逆 序的概率非常大 3 随着层次的增加 不确定性减少 逆序的概率没有发生太大的变化 基本稳 定 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 3 区间判断矩阵排序的近似算法 由于所研究问题的复杂性和决策者所掌握信息的不全面性 使决策者对于所判断 的问题难以给出确定性的偏好 也就是说 在某一准则下 决策者利用同一标度 本 文采用1 9 的比例标度 对两个方案 或子准则 进行判断比较 难以给出一个确 定的值 而是更倾向于给出一个区间 这时所得到的比较判断矩阵不再是一个点判断 矩阵 而是一个区间判断矩阵 或者简称为区间判断 3 1 模拟算法 模拟建模法是常用的决策方法之一 它使得全面分析复杂的决策问题成为可能 模拟算法由于其使用简单和易于理解得到了广泛应用 然而 模拟算法最大的缺点在 于计算精度要求苛刻 计算量大 经常需要专门的模拟软件 下面主要介绍四种模拟 算法的基本思想 以及它们各自的优缺点 3 1 1 模拟算法一 3 1 1 1 准备知识 1 1 区间判断矩阵的定义 1 9 8 7 年s a a t y 和v a r g a s 给出的区间判断定义 a 1 口五 口刍 口五 口矗 l 二 口二 a l n 4 二 d 二 口二 口矗 口毛 1 其中口j 1 畸 a f t l 口i 2 逆序的概率 1 假设判断区间 f 口i 口 特征向量的第f 个分量区间i w w i w 1 是 i w 上的随机变量 p v 是指方案 a 逆序的概率 e x p x g x 表示第f 个 分量的累积概率分布函数 i w n i w 尸 x x 1 或者p 置 置 0 当l w n i w 硕士论文 基于区间判断的a h p 理论与应用研究 i 乃 w j 一 w i w 1 w i p 2 1 只 w 一只 坷 跏 跏 3 1 限 w 一一 w j 嵋 一f j w 2 w w j w 哆 3 2 蜘 i 鼻 w 一e w i 易 w j 一c w w j 一 w l w 一 在特征向量中至少存在一个逆序的概率为 p 1 兀 1 一p f 1 s j s m 3 3 而一个方案与其余方案逆序的概率为 p 1 1 i 1 一p i 1 2 n 3 4 j t 3 1 1 2 基本思想 1 用模拟算法研究区间判断矩阵方案的排序问题 关键是明确权重向量各分量的分 布函数 然后通过构造合理的样本矩阵 计算各样本矩阵的局部权重向量 来模拟各 分量的函数分布 具体步骤是 第一 从区间判断矩阵 1 的上三角矩阵的区间厶 口i 口 f 中均匀的抽取 整数值或者是整数值的倒数 根据上三角矩阵与下三角矩阵元素之间的关系 j 1 口 n 1 口 3 5 构造样本矩阵 第二 利用右主特征向量法计算样本矩阵的局部权重向量 第三 假设特征向量的各分量近似的服从正态分布 在一定的置信水平口下 方 案4 a j 的权重w w j 的估计区间为 j w 而 f m i f 3 6 l w w j 土锄p i s 3 7 其中罚 是样本均值 s 为标准差 第四 用k o l m o g o r o v s m i r n o v 法和z 2 法对权重向量各分量进行正态检验a 第五 通过计算概率p 对判断值在区间上变化时特征向量的稳定性进行研究 硕士论文 基于区间判断的a h p 理论与应用研究 3 1 1 3 算法的先进性和局限性 先进性 1 从以上构造样本判断矩阵的过程可以得出 s a a t y 假设两两比较判断的真值 a f f j 时 变量之间是相互独立的 a 1 a 口 由于q 是随机变量 那么最终方案爿 的权重也是随机变量a 定义3 1 2 在一定的置信水平口下 方案f 优于方案 若 尸 a i a l a 0 墨口 l 定义3 2 在一定的置信水平口下 方案i 是最优方案 若 p a 1 m a x a 1 a 2 a 1 一口0 口 1 3 1 3 2 基本思想 假设判断值口 是区间 1 9 9 上的连续随机变量 根据扩展的p e a r s o n t u k e y 方法 用0 0 5 的上分位点屯 0 9 5 的上分位点 和中值 三个特殊的点近似描述判断 的 连续分布e 结合概率法 决策者只需给出0 h 和m 口的估计值 分别乘以它们所占 的概率0 1 8 5 o 1 8 5 和0 6 3 0 得到判断值 的期望值 从而得到期望判断矩阵 求得 方案得排序权重 e s r o s e n b l o o m 1 9 9 6 提 m o n t ec a r l o 模拟法 具体步骤如下 第一步 将决策问题进行分解 建立递阶层次结构 第二步 对元素进行两两比较 构造判断矩阵爿 0 f 其中 是连续的随机 变量i 第三步 执行n 次重复模拟 1 产生期望判断矩阵4 如果a 不能通过一致性检验 则产生另一个期望判断 矩阵 2 根据期望判断矩阵 计算方案 或准则 的局部排序权重 3 合成局部排序权重 获得方案权重 硕士论文基于区问判断的a h p 理论与应用研究 4 记录方案的排序 第四步 用第三步的结果根据定义3 1 和定义3 2 估计最佳方案和方案优先次序 的概率 3 1 3 3 算法的先进性与局限性 先进性 1 m o n t ec a r l o 模拟法不仅适用于大量复杂的运算 而且拒绝不能通过一致性检 验的判断矩阵 重新产生新的判断矩阵 这样就避免了 致性差的矩阵对模拟结果的 干扰 2 结合c l e m e n 1 9 9 1 扩展的p e a r s o n t u k e y 方法 将概率论的方法引入不确定 性情况下两两比较判断矩阵的构造过程中 局限性 m o n t ec a r l o 模拟法在模拟过程中需要估计判断值a 的o 0 5 的上分位点 0 9 5 的上分位点九和中值 获得期望判断矩阵 因而 当单一准则下 两两比较的方 案 或准则 比较多时 构造期望判断矩阵的计算量非常大 3 1 4 模拟算法四 3 i41 准备知识 7 1 1 1 一般分布 g e n e r a ld i s t r i b u t i o n 假设x 是服从一般分布的随机变量 其概率密度函数的图像为 其中 p u c f d g q 口 从一般分布的概率密度函数图像中可以看出 若 口 d 则一般分布的概率密 度函数转化为三角分布的概率密度函数 若珊 c v d f q f 则一般分布的概率密度 函数转化为均匀分布的概率密度函数 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 换为 2 可逆变换 假设x 是随机变量 f x 是概率密度函数 f x 是累积概率函数 则可逆变 其中 u o 1 f x jx f r 3 1 1 3 1 4 2 基本思想4 7 3 假设区间判断矩阵中的判断值口 是判断区间上服从带有参数p c d f q 的一 般分布或者是期望是心 标准差是口f 的正态分布的随机变量a 根据一般分布的累积概率密度函数和可逆变换原理 得到一般分布下a f 的表达 式 2 p 气一p g 足 r k p u c 4 1 2 6 f 一 6 d p g r 彭 c f p f 一d 0 r 鱼二垒 q u pu 二堕 卫 3 1 2 q h p u q v p g 二鱼 r s l 其中k g f p f d 口一 f 在正态分布中 通过b o x m u l l e r 变换 得到 口f p 盯耵 一2 1 n s i n 2 万吃 3 1 3 口p 口 盯 一2 l n c o s 2 厅乇 3 1 4 其中n 是一对随机数 具体步骤如下 第一 明确判断变量的随机分布函数 并设置相应的参数 第二 执行n 次模拟 1 根据相应随机分布函数的变换公式产生判断值 构造两两比较判断矩阵 2 计算方案 或准则 的局部权重向量 3 对方案 或准则 的局部权重向量进行合成 硕士论文 基于区间判断的a h p 理论与应用研究 第三 将n 次模拟的结果构造排序矩阵p 毋 p f 是指第f 个方案的排序是 的次数 第四 计算方案的综合排序指数 鲋弘去荟巾小一 2 行 3 1 5 在模拟过程中需要对产生的矩阵进行一致性检验 然而计算经验表明 如果满足 1 随机变量d p 的期望值构成的矩阵4 e a 口 的一致性比率接近0 2 判断区间的宽度不超过3 两个条件 则模拟过程中产生矩阵的一致性就能得到满足 3 1 4 3 算法的先进性与局限性 先进性 突破了判断值口 是判断区间上服从均匀分布随机变量的概念 提出了判断值口 在判断区间上服从一般分布或正态分布 并利用可逆变换的手段 获得判断值在一般 分布下的表达式 局限性 若判断值a 是服从一般分布的随机变量 在模拟过程中要产生一个判断值需要 设置与之相对应的p f c d 四个参数 同样若判断值口 服从正态分布 要产生一 个判断值也需要设置相应的参数 因而这种模拟算法产生判断矩阵的过程比较复杂 计算量非常大 3 1 5 小结 笔者通过对上述四种模拟算法从理论和应用两方面的综合分析 得出以下结论 理论方面 1 如果用模拟算法处理区间判断矩阵的排序问题 首先要假设判断区间上的判 断值口 是服从某一分布的随机变量 确定随机变量分布函数的方法主要有两种 一 种是先假设某种分布 然后通过模拟计算 验证这种分布函数的合理性 另一种是直 接根据计算经验确定用于模拟算法的分布函数 如模拟算法二假设判断值 服从均 匀分布 模拟算法四假设判断值a 服从一般分布或正态分布 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用硒究 2 判断值a 分布函数的确定 直接影响从区间判断矩阵中获得样本判断矩阵的 方法 继而影响区间判断矩阵排序模拟算法的结果 因而 确定判断值d 的分布函 数是模拟算法中非常重要的一部分 如模拟算法二假设判断值口 服从均匀分布 则 用于模拟的样本矩阵中的判断值从判断区间中均匀取值 模拟算法四假设判断值 服从一般分布 则需要设置一般分布的四个参数 才能得到样本矩阵中的一个判断值 3 对于一个在不确定情况下建立的递阶层次结构 笔者认为决策的最终目标是 获得备选方案的排序 选择最佳方案 因此将方案的综合排序作为最终记录的模拟结 果比方案的权重区间更有意义 如模拟算法三记录方案的最终排序频数 模拟算法四 通过计算方案的综合排序指数 选择最优方案 应用方面 根据以上四种模拟算法在理论上的先进性和局限性 建议 1 模拟算法 用于一般区间判断矩阵排序权重区间的计算 2 模拟算法二用于点判断矩阵的方案排序与在判断值具有同等程度的不确定 即各判断区间p 值相等 情况下的方案排序相比较 研究不确定程度p 的变化对方案 排序的影响 3 模拟算法三和模拟算法四可直接用于不确定情况下方案的综合排序 以及最 优方案的选择 3 2 区间特征根法 魏毅强等 1 9 9 4 提出了区间特征根法 简称为i e m 3 2 1 准备知识 定义3 3 1 若口 a 口 竹 0 口 z 口 称口为一个区间数 设两个区间数口 陋 口 1 6 6 b 则区间数的运算性质如下 i 口 6 口一 6 一 口 6 z a b k b 口 b a a 知 知 兄为正实数 c 詈 c 箸 等 吉 t 古 扫 4 若d 6 当且仅当口一 6 一 a b 生兰堡苎二 一茎三匡间型堑塑垒望 望笙兰生旦堑塞 定义3 4 1 区间判断矩阵 如果对f 1 2 刀均有 1 口f 盘i 口 j 丑t 9 i 盘 9 1 2 口 二 u l l 则称a as 为区间判断矩阵 定义3 5 设区间判断矩阵爿 日f 如果对于任意的f 工 1 2 n 均有 口 p 碍 a 社 则称a 为一致性区间判断矩阵 定义3 6 叫设爿 d 为正数字矩阵 如果对于任意的f j 1 2 n 恒有 d p 止 口 则称a 为拟 致数字矩阵 3 2 2 基本思想 定理3 1 m 3 设彳一 口i a 口 a 口一 a 如果f 分别是 一 a 的最大特征根 则 1 五 矿 刀 为4 的特征根 2 w 叔一 m x 是a 对应于五的全体特征向量 其中x 一 x 分别为a a 对应 于刀 刀的任一特征向量 聊是满足o 缸一s 槲 的全体正实数 引理3 1 a n 为一致性区间判断矩阵的充分必要条件是存在区间数 口 i 1 2 以 使得对于一切f j 1 2 h 均有 a 2 紊 引理3 2 如果彳 爿一 a 为一致性区间判断矩阵 则彳一 a 均为拟一致性数 字判断矩阵 定理3 2 3 设爿 为 致性区间判断矩阵 x 一 x 分别为a a 属于其最 大特征值的具有正分量的归一化特征向量 则 矽 妇一 栅 w 1 w 7 生塑鱼奎 墨 垦堕堂些塑望堡兰生旦堑壅 满足q 2 警 f 1 2 行 的充分必要条件是 羔 l 聊舞窆口 i 8 1 d i 证由于一 口f 为一致性区间判断矩阵 根据引理3 2 得到一一 4 为一致性点 判断矩阵 对于 1 2 8 则有 于是 由于警 由 3 1 6 式和 3 1 7 式可得 w 鱼 翌 争上 宝口 符妻口 窆了l 8 19 1 g o 一 考虑上式的具体表达式计权重向量的左右端点的对称性 取 均有a 旦 即 口 3 1 6 1 3 1 7 善酗 牡 町i 一 切 r i l h 嘲 4 巳 卜 一一 酮 瞄 得 rl 雠 一生町 瑚 一沪 弘 疗 町i 耋从 粤 善酚 一 懈 坼 叫 叶 粤 粤酊 1 柑 陋 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 k 匿士肌 陉士 扩善口 扩酗 对于区间判断矩阵a 叫一 a 1 区间特征根法的具体计算步骤为 3 1 8 1 1 分别求爿一 a 的最大特征根所对应的具有正分量的归一化特征向量x 一 x 2 由 3 1 8 式计算 m 的值 3 求权重向量w 奴一 t y t x 3 3 区间数梯度特征向量法 魏翠萍等 1 9 9 6 根据决策者对区间判断矩阵中判断区间的把握不同 提出n f q 梯度特征向量法 简称i g e m 为解决a h p 中所遇到判断矩阵很不一致或有明显偏好时求权重向量的困难 王 莲芬 2 1 1 9 8 9 在美籍著名的运筹学家游伯龙 l u 1 9 8 4 提出的梯度特征向量法的基 础上 对梯度特征向量法进行了推导和改进 给出了梯度特征向量法和加权梯度特征 向量法的权重公式 魏翠萍等 1 9 9 6 根据决策者对区间判断矩阵中判断区间的把握不同 将梯度特征 向量法的理论应用于区间判断矩阵排序方法研究中 假设给定区间判断矩阵 a a 一 a 的较有把握的上三角元素 根据正数字矩阵的拟一致性条件口f 口m 8 和梯度特征向量法的权重公式 按照以下公式构造辅助矩阵j j 一 j f 口 i 茹 1 口 鲁纠 卜1 2 竹 其中w w j w w 7 为待定排序向量 一 口 其中w w i 嵋 w 2 7 为待定排序向量 用j 代替爿 对4 爿一分别用g e m 求得w 和w o23炸2 一 一一吩 一p 一 口 口 硕士论文基于区间判断的a h p 理论与应用研究 眩 竽w 士妻 e i n 2 l 3 2 1 d j 1 产i 1 w 二 粤w r 3 2 2 若给定区间判断矩阵a 4 一 爿 的较有把握的下三角元素 同样可解得w 和w 一 w 冬w j 1 1 w 百l 口 砖i 2 3 行 盘j 1 j 1 w 2 一 a 2 望一l w i l l 1 1 w i 百l d w j f 2 3 月 口 1 3 2 3 3 2 4 区间数梯度特征向量法步骤如下 1 对于区间判断矩阵a 叫一 a 分别对彳 a 一用g e m 求得归一化排序向