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双重逆极限空间上的动力性质摘要 摘要 在动力系统的研究中，对于自映射生成的半动力系统，为了克服其不可逆性所带来 的困难，人们引入了一个与其相联系的逆极限空间上的转移同胚，并通过这一转移同 胚所具有的动力性质来揭示原先的动力性质。因而，寻求自映射与转移同胚之间动力 性质的相互联系就成为一项十分有用而且有意义的工作在论文的第一部分，针对系 统忧，) 与( 1 i n l x ， ，一，) 之间动力性质的各种联系，我们简单概括了近期国内外在 该方面的些研究结果在论文的第二部分，我们模仿逆极限1 i m x ，的定义，提出 了双重逆极限1 i m x ，厂9 ) 的概念，并针对x 上的两个交换的自映射，和9 ，类似定义 了系统( x ，内) 上的一些动力性质，并证明了系统( x ，内) 与系统( 1 i m x ，内 ，仃他) 之间在这些动力性质上的一些相关结果。 关键词：双重逆极限空间，厂孽”极限点，厂9 回归点，j 非游荡点 作 者：蒋达锋 指导教师t 周友成 双重逆极限空间上的动力性质 a b s t r a c t a b s t r a c t i no r d e rt os t u d yt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so ft h es y s t e m s ( x ，f ) a n d ( 1 晒 x ， ，d ，) ii t i 8a ni n t e r e s t i n ga n du s e f u lw a yt os t u d yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h e m 。t h e r ea r em a i n l y t w op a r t si nt h i sa r t i c l e i nt h ef r s tp a r tw es u m m a r i z et h ec o n c l u s i o n sa b o u tt h i sb ys o m e a u t h o r s i nt h es e c o n dp a r t lw ef i r s t l yg i v et h ed e f i n i t i o n so ft h ed o u b l ei n v e r s el i m i ta n ds o m e d y i m m i c a lp r o p e r t i e sr e l a t e d ，t h e nw eu s et h ea b o v ew a yt os t u d yt h ed y n a m i c a lr e l a t i o n s b e t w e e nt h es y s t e m s ( x ，r j ) a n d ( 1 i m x ，厂孙，。，勺9 ) ， k e y w o r d s ：d o u b l ei n v e r s el i m i ts p a c e ￥r 9 | ，- l i m i tp o i n t lf gr e c u r r e n tp o i n t ，r gn o n w a n - d e r i n gp o i n t i i w r i t t e nb yj i a n g - d a f e n g s u p e r v i s e db yp r o f z h o u - y o u c h e n g y7 8 1 8 1 8 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作崩 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表豉 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 日期：业：堡! 鱼 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 吃f 斗：曲 童t 日j f ，a 双重逆极限空间上的动力性质 一 引言 一引言 1 1 课题的目的和意义 在动力系统的研究中，对于自映射生成的半动力系统，为了克服其不可逆性所带来 的困难，人们引入了一个与其相联系的逆极限空间上的转移同胚，并通过这一转移同 胚所具有的动力性质来揭示原先映射的动力性质因而，寻求自映射与转移同胚之间 动力性质的相互联系就成为一项十分有用而且有意义的工作正由于这一点，国内外 许多数学工作者在这方面做了广泛的研究，涉及了动力系统上绝大部分的动力性质， 从而得到了由原空间和逆极限空间生成两个系统上许多重要的结论因而有必要对这 些结论进行一次归纳和总结，这样使大家一可以更了解这一思想方法的重要作用，二 可以对这两个系统上的各种动力性质的联系有个更清晰的认识我想这也应该是一项 十分有意义的工作另外，我们知道对逆极限空间研究的重要意义，逆极限的诞生使 我们更加深入更加广泛地研究拓扑学( 特别是在连续统理论中) 帮拓扑动力系统，甚 至在其它数学分支中都有重要的应用正由于这点，对逆极限进行些推广是学习 拓扑学和拓扑动力系统的一种有意义的尝试这里，我们引入紧致空间上两个交换的 自映射，从原来由单个映射生成的逆极限推广成有这两个映射双向迭代生成的双重逆 极限；同样，我们也可以将由原来单个映射的某些动力性质，对应璁推广出由这两个 映射双向迭代而得到的双重动力性质然后，我们就可以在此推广的基础上，运用上 述方法，类似地考察这些双重动力性质在原空间和双重逆极限空间上的联系通过具 体的操作，我们也得到了一些有意思的结果，推广了我们已知的一些结论 1 2 论文各部分的主要内容 第二章首先我们回顾了有关邀极限l 呻 x ，) 的些概念，然后针对系统( x ，) 与( 1 姐 x ， ，吖) 之间动力性质的各种联系，简单概括了近期国内外在该方面的一些 研究结果 第三章在这一部分，我们引入紧度量空间x 上的两个交换的自映射，和g ，模仿 逆极限啦 x ， 的定义，提出了双重逆极限l 弛 x ，勺) 的概念，并针对这两个自映 射，和9 ，类似定义了系统( x ，j ) 上的一些双重动力性质，然后证明了系统( 五广奢) 与系统( 啦n x ，勺 ，口，q ) 之间在这些动力性质的一些相关结果 第四章对论文的总结以及今后研究工作的展望 双重逆极限空间上的动力性质二 逆极限空间上转移映射的动力性质 二 逆极限空间上转移映射的动力性质 2 1 逆极限空间 设x 为紧致度量空间，d 为x 的度量，：x + x 为连续映射。对任意的f 0 ， 令咒= x ，考虑卡氏积空间n 置的子集 ；0 x = 茁= ( x o ，z 1 ，x i ，) l 机墨，r f ( z i + 1 ) 子趴，对任意的 0 ) 在x ，上引入度量 丑苗，) ：量亟盟，任意的i ，哥x ， i = 0 。 则空间( x ，西也是紧度量空间，我们称之为逆序列 x ，) 的逆极限空间，并且记作 1 乎 x ，) ( 鼢 4 ， 5 】) 定义映射q ：1 乎 x ，) _ + 粤 x ， 为： 4 ，( ( z o ，z l ，z 2 ，- - ) ) = ( ( x o ) ，( z 1 ) ，( z 2 ) ，) = ( ，( o ) ，。o ，$ l ，) ， 垤一( 。o ，z l ，x 2 ，) 1 睁 x ，) 显然a ，为砷的个同胚映射，我们称之为由，诱导的移位映射( 或转移映射) 对任意的i 0 ，定义投影川：1 粤i x ， - + x 为： i ( ( $ o ，$ l ，z 2 ，- t ) ) = 。x v 孟= ( z o ，z l ，2 ，) 1 空p x ，) 则对任意的i 0 ，有： ( 1 ) 巩为连续的开映射； ( 2 ) 当，为满射时，q 也为满射 ( 3 ) 下列关系式成立：以。吖= ，o 以 2 2 逆极限空间上转移映射的动力性质 系统( 置，) 与( 1 i m x ，) ，一，) 之阕有着密切的联系对于系统( 置，) ，由于，不 一定是同胚映射，因而不具备可逆性，从而系统( x ，) 只是个拓扑空间x 上的半 动力系统( f 3 】，f 4 】) ，这就对研究系统i x ，) 的某些动力性质带来了一定的困难为了 解决这一问题，我们可以从逆极限系统( 1 i m x ， ，口，) 入手，因为，诱导的移位映射 町是同胚映射，从面系统( 1 i m x ，) ，o ，) 就是一个拓扑动力系统，我们就可以从系统 ( 1 i m x ，) ，o - ! ) 的一些动力性质来揭示系统( x ，) 相应的动力性质同样，我们也能 从系统( x ，】的动力性质而得到一些有关系统( 1 i m x ，) ，a ，) 的动力性质用这种思 2 双重逆极限空间上的动力性质二 逆极限空间上转移映射的动力性质 想方法来研究拓扑动力系统的某些性质非常有用，曾经被许多数学工作者所使用，相 关的研究主要开展于上世纪九十年代，并且在我们国内做得更广泛些。比较早的研 究逸两个动力系统之间动力性质的联系的是李四海，而且是研究得比较系统，比较广 泛的一个。在他研究结果和思想方法的基础之上，国内众多作者也就其它的一系列动 力性质或动力行为做了类似的研究，得到了许多有意义的结果。下面，我们就对这些 结果进行一次归纳总结 1 李四海：他在他的文章 6 内比较系统地研究了系统( x ，) 与( 1 i m x ，) ：a 1 ) 之间地密切联系，其结果中主要包含了系统中点的回复性和系统的混沌性质两部分的 内容( 有关记号和概念的定义参见相关文章，这里不再赘述) 有关点的回复性的结论： ( 1 ) 令。x ，苗u m x ，) 且有”o ( i ) = ，贝0u ( 岳，a f ) = l 霉 u ( z ，) ，) ( 2 ) r ( a ，) = 1 1 m r ( ，) ，) ( 3 ) a p ( a ) = l 知 a p ( ，) ，) ( 4 ) c r ( a i ) = 1 i m g r ( ，) ，) ( 5 ) 当，为满射时，n ( 。，) = l i r ( ，) 】，) _ n ( 6 ) 当，为满射且a ( 口，) 为闭集时，h ( a f ) = 1 婶 a ( ，) ， ( 7 ) 如果x = 0 ，1 】，则上述( 5 ) 和( 6 ) 中“，为满射”的条件是不必要的，并且有 a ( a s ) = s 2 ( a f ) 。 ( 8 ) 如果m c x 为极小集，则1 蜘 m ，) c 贾为极小集；反之，如果面c 贾为极 小集，则丌0 ( 砑) 为x 中的极小集 有关混沌性质： ( 1 ) 如果，为u 混沌的，则一，也是一混沌的 ( 2 ) ，为在( * ) 条件下u 混沌的等价于一f 为在( + ) 条件下u 混沌的 ( 3 ) ，为d e v a n e y 混沌的等价于口，为d e v a n e y 混沌的。进一步有：d 为x 中的 混沌集等价于1 蚰 d ， 为戈中的混沌集 ( 4 ) 假设d 为单位区间，的可内含区间的闭子集，如果，：i _ + j 在d 上拓丰 传递 的，则，和a 1 分别在混沌集d 和h m d ，) 上是d e v a n e y 混沌的，并且，和a f 也是 ”混沌的 文中他同时还证明了：当，：x 叶x 为满射时，初值敏感等价于o ，初值敏感， 此外，他还在吲中对应映射的s h a d o w i n gp r o p e r t y ( 目p 伪轨跟踪性质) 和a s y m p t o t i c a l l y 3 双重逆极限空间上的动力性质二 逆极限空间上转移映射的动力性质 s h a d o w i n gp r o p e r t y 证明了：当，为连续满射时，则下列四项等价： ( 1 ) ，在x 上有s h a d o w i n gp r o p e r t y ( 2 ) ，在x 上有a s y m p t o t i c a l l ys h a d o w i n gp r o p e r t y ( 3 ) ，o ，在贾上有s o d i n 9p r 印e r 匆( 4 ) 。，在j 上有a s y m p t o t i c a l l ys h a d o w i n gp r o p e r t 2 顾荣宝t 他是国内对系统( x ，) 与( 1 i r n x ，f ，一，) 之间动力性质联系研究得比 较多的一个，发表了多篇相关文章。 他首先在【8 】中研究了，和叶在拓扑熵和l i y o r k e 混沌之间的联系，并且证明了： ( 1 ) f 的拓扑熵等于吖的拓扑熵 ( 2 ) 当，为满射时，吖为l i y o r k e 混沌的等价于，为l i y o r k e 混沌的。 接着，他又在1 9 】中研究了。，的l i y o r k e f 混沌与，的l i y o r k e r 混沌之间 的联系 此后，他在i l o 】中证明了下列结论： ( 1 ) 在贾中的a ，的弱几乎周期点集等于，的弱几乎周期点集上的逆极限 ( 2 ) 在贾中的口，的测度中心集等于，的测度中心集上的逆极限 ( 3 ) 在贾中的o ，的极小吸引中心集等于，的极小吸引中心集上的逆极限 另外，他还在 1 1 中对应于映射的s p e c i f i c a t i o n 性质引进了弱s p e c i f i c a t i o n 性质的概 念，并证明了： 口f 满足( 弱) s p e c i f i c a t i o n 性质等价于，满足( 弱) s p e c i f i c a t i o n 性质。 3 缪克英：在【1 2 】和【1 3 】两篇文章中先后又得到了下面一些结果 ( 1 ) 在戈申盯，的周期点集等于，的周期点集上的逆极限； ( 2 ) x 中有非回归点等价于贾中有非回归点； ( 3 ) f 为拓扑传递的等价于口，为拓扑传递的； ( 4 ) ，有稠密轨道等价于o ，有稠密轨道。 4 严沧立：在【1 4 】中研究了，和矿，的极小吸引中心和吸引子，证明了： ( 1 ) a 为运动，“( ) 在n + 。o 时的极小吸引中心当且仅当对任意的点z 町1 ( 茹) ，l i m ( a ， 为运动一( 叠) 在n - + + o 。时的极小吸引中心； ( 2 ) 设 为x 的子集，则1 四 且， 为盯，的吸引子当且仅当f ( a ) = a ，且存在a 的开邻域u ，使得a = np ( u ) = n ，n ( 西 4 双重逆极限空间上的动力性质 - ：二 逆极限空间上转移映射的动力性质 5 沈苏林：在【1 5 】中就，和a ，关于陛质p 进行了一些研究，证明了：一，具有性 质p 等价于，具有性质p 。 6 李明军，李开泰：在 1 6 j 中对应于正混沌的概念证明了：o ，足正混沌的等价于 ，是正混沌的。 7 汪火云，蒋鹏：在f l7 1 中研究了，和一，的有限型混沌性质和拓扑弱混合性，得 到了如下结果： ( 1 ) 盯，为有限型混沌的等价于，为有限型混沌的； ( 2 ) 町为拓扑弱混合的等价于，为拓扑弱混合的； ( 3 ) 若( x ，) 与( y 9 ) 拓扑共轭，则1 四 x ， 与l 粤 y 9 ) 拓扑共轭。 8 牛应轩：在【1 8 】中证明了t( 1 ) o ，为等度连续的等价于，为等度连续的； ( 2 ) a ，为拓扑可扩张的等价予，为拓扑可扩张的 9 马东魁等人在 1 9 中合作证明了下列结论： ( 1 ) 当，为连续满射时，具有k o r n e r 性质等价于吖具有k o r n e r 性质； ( 2 ) ，在其测度中心上是l i y o r k e 混沌的等价于a i 在其测度中心上是l i y o r k e 混沌的；该结论对d e v a n e y 混沌也是如此另外，马东魁在其文章【2 0 中还证明了对 s c h u e 如e r s m i t a l 混沌也有类似结论。 1 0 罗智明等人在【2 l 】中对系统的扩散性做了相关研究，证明了：系统( x ，) 为扩 散的( 2 - 扩散的、n 一扩散的) 等价于系统( 1 垫 x ，) ，町) 为扩散的( 2 ，扩散的、n 一 扩散的) 。 由于资料收集( 特别是国外某些文章的收集) 等原因，上述概括不是十分详尽，也 主要是关于国内近期的一些相关研究然而，这些作者的研究已经涉及到了动力系统 上的大部分动力性质，这也充分说明了运用考察系统( x ，) 和系统( 1 蚰 x ，) ，a ，) 之 间联系的来研究动力性质这一方法的重要意义和作用。接下来。我们将在论文的第二 部分，首先将逆极限推广至双重，得到双重逆极限的概念，然后运用上述方法，来研 究双重逆极限空间上的移位映射的某些动力性质 5 双重逆极限空间上的动力性质 三 双重逆极限空间 三 双重逆极限空间 3 1双重逆极限空间的引人 首先。我们给出双重逆极限的足义： 设x 为非空紧度量空间，：x _ + x ，9 ：xox 都是连续映射且满足f g = 9 f 。记 集合x ( 或x n ) = 忙= ( 锄，j ) 罂一。1 ，g 孔( 矾，j ) = x i - m , j n ，v m ，n 0 ，v i ，j 研 c x i d ( 其中x = x ，v i ，j z ) i , j e z 以后，我们把戈中的点孟= ( 她j ) 耀。都简记为( z 谢) 在贾上引进度量 ，、 酝鳓= 嚣琶 帮 ， v z = ( q j ) ，萝= ( f 订) 贾， 其中d 为x 上的度量， 则空间( 贾，西称为双重序列 x ，勺) 的双重逆极限空间，并记为贾= l 弛 x ，勺 ，则 贾为非空紧度量空间( 引理3 1 ) 。 对任意的整数m ，n ，我们定义贾上的移位映射口，r n u 9 n ：x - 童为： 口尹唁( ( 粕j ) ) = ( z 一。j 一。) ，坛= ( j ) 贾 显然。p a ；( v m ，n z ) 为贾上的同胚映射，我们记其所有成员的集合为a ，b ，并称之为 由广、9 诱导出来的贾上的移位映射由于，9 = 9 f ，我们容易知道同样有：o f c r g = o - g o i 对任意的整数i ，j ，定义投影以j ：贾_ + x 为以j ( ( 甄j ) ) = 。谢坛= ( 嚣刈) 贾 则”蚶为连续的开映射；并且如果，19 都为满映射时， m 。j 也为满映射 对于上述映射，易知有下列三个关系式成立： ( 1 ) ，m g no7 r i + m ，+ n = 死，j ，v i ，j 五v m ，0 ， ( 2 ) 7 r i , j = 丌i + m + ”o 口略，v i ，j 五v m ，n z ， ( 3 ) ，m 圹。丌 j 之 r i , jo 盯p f i “g ， v i ，j 五v m ，竹0 引理3 1x 为非空紧度量空间，则贾也为非空紧度量空间 证明：对任意的n = l ，2 ，在卡氏积空间n 墨j ( 其中墨j = x ，v i ，z ) 中，我 j z 们定义其子空间如( x ，勺) 为： q n ( x ，广膏) = ( 霉坩) 罂一o 。 ，( 。甜) = 。i 一【j 且9 ( 。 j ) = 。汀一l v i ，j z ： n 且n ) 6 双重逆极限空间上的动力性质 三 双重逆极限空间 易知： ( 1 ) q 。( x ：n ) ) q 。+ l ( x ，厂9 ) ，任意的n ：l ，2 ，； o o ( 2 ) x = l i t 2 x ，勺 = nq n ( x ，厂匆) ； n = l ( 3 ) ，q 。( x ，勺) 皇1 1 x i j ( 其中d = - - 7 - - i ，n ，- ，n l ，” ，且墨，j = x ，v z ，j ( ，j ) 萑d d z ) ，任意的n = l ，2 ， 则由( 3 ) 和 2 】中第1 8 页定理2 i 可知：对任意的n = l ，2 ，q n ( x ，厂1 ) 为非空紧 度量空间； 于是由( 1 ) ，( 2 ) 和 2 】中第6 页命题1 7 可知： 戈为非空紧度量空间引理证毕。 引理3 2 孑( v i ，j z ，ucx 为开子集 为贾的一组基 证明：对于卡氏积空间幻1 1 2 x 谢( 其中x i , ，。x ，v ，j z ) ，设最j i 爨z 墨j x 坩为 其上的投影姨射，则 足| l ( 矿) l v i ，j 墨u c x 为开子集) 为玎墨j 的一组子基 1 j e 五 由于xc1 1 托，( 其中五j = x ，w ，j z ) 且仉j = 最jl ，故丽牙中的基开集驴都 l j z 一 具有下列形式： 扩= n7 f 。7 。- l 。( ) ，其中n r ，c 置。靠为开集 m = l 取i o = m a x i m ：m = i ，2 ，- n ) ，1 0 = m a x j , ：m = l ，2 ，- n 令u = n 景：i ，h 一如9 一如( u k ) ，则u 为x i o j o = x 中的开子集 由此 n ”i ( 矿) = ，r 。7 - 1 。( n ，幻扣喝( ) ) r n = l n = n7 r 。- i 。，沪。一如( ) m = 1 n = n7 r 。- i 如( ) = 疗 r n = l 则”云( u ) 就是贾中的一个基开集。 因而 0 ( u ) ，j z ，u c x 为开子集为贾的一组基引理证毕 7 双重逆极限空间上的动力性质三双重逆极限空间 3 2有关点的回复性 下面，我们首先就点的( 双重) 回复性证明一些相关结果。 3 2 1 有关定义 点z 在厂匆下的轨道d ( ，勺) = f ，m g n ( 。) j ( m ，n ) z + z ( o ，o ) 点x 称为厂0 u - 极限点，如果存在x 中某一点y 及y 的轨道中的某个点列 ，“g n j ( y ) i 帆，n j 都是中的严格递增子列，i ，j = 1 ，2 ， 收敛于点。点z 的所 有厂0 ”极限点的集合记为u ( 。，f 9 ) 。 点z 称为， 9 回归点。如果z w ( x ，勺1 。 点z 称为厂9 非游荡点，如果对z 的任意开邻域u ，都存在( m ，n ) z z ( o ，0 ) ， 使得：，“扩( u ) n u 巧( 注：本文中所有记号z + 表示非负整数，即扩= n u o ) ) 对x 的所有点的厂9 ”极限点的集合，所有，勺回归点的集合和所有，勺非游 荡点的集合，我们分别记为a ( 厂口) ，r ( 厂匆) 和n ( 厂9 ) x 的子集w 称为厂9 强不变的，如果w 满足：，( w ) = w 且g ( w ) = w 3 2 2 主要结论及其证明 引理3 3 设， g 为紧度量空间x 上的连续映射且i g = 9 ，设w 为x 的，勺强 不变的闭子集，如果存在j 中的仃，强不变的闭子集谚使得q r o , o ( 谚) = w ，则 w = 1 蝉 彬p g 证明：因为仉j 。砰嵋= 知，o ，且谚为吖q 强不变的，敢对任意的，j z ，都有 丌 ，j ( 雨) = m j ( a a ；( 形) ) = 丌o ，o ( 形) = 形 所以w c l 晒 彤，勺) 反之，对任慧的点哥1 j m 砒，j ) ，必有q j ( 功w 对任意的i ，j z 都成立 对于任意固定的 ，j z ，由于w = 丌 ，j ( 谚) ，则存在谚中的某一点( 动i j ，使得 7 1 i ，j ( ( 刃谢) = 仉j ( 刃，所以”。，。( ( 习，j ) = 丌m ，。( 刃对任意的m i ，t l j 都成立 因为形为贾的紧子集，则当l _ + m 且j _ + o o 时，序列“童) i j ) 必有个极限点 ；形由此对任意的m ，n z ，都有丌m ，。( 动= 7 r 。，。( 劲，从而孑= 哥，故有季面， 所以l i m 彬，勺) cw 引理证毕 8 双重逆极限空间上的动力性质三双重逆极限空间 定理3 1 设 f f 为紧度量空间x 上的连续映射且，9 = g ，如果点z x ，点i l 些 x ，广g 且满足7 r o ，。( i ) = z ，则有u ( i ，o f 0 9 ) = l ! m u ( z ， 9 ) ，厂臼) 证明：由引理3 3 ，我们只需依次证明： ( 1 ) “( z ，厂9 ) 为x 的c g 强不变的闭子集； ( 2 ) u ( 罾，口厂矗9 ) 为x 的9 ，强不变的闭子集； ( 3 ) u ( 口，厂9 ) = 7 1 0 ，o ( u ( i ：盯，b ) ) 。 对( 1 ) ，由其定义可知，u ( 厂们为x 的f “g 强不变的。下证u ( z ，厂0 ) cx 为闭子 集： 设序列 y k ik l c u ( z ，f - g ) ，由于x 为紧集，故y k 收敛于一点! ，x 对任意固定的 j 1 ，选取幻n 使得d ( y k ，) 击对上述6u ( q f a g ) ，选取( 嘶，唧) n n ， 且满足：”弓 m j + l ，n j - j + l 巧l ，使得；d ( ，q g 唧( z ) 抓f ) 0 为紧度量空间x 的直径。取定( m ，n ) n n ，使得： 而m ；且而m i 而 j 且而 j 因为g 。，。q ( 广匆) ，则由n ( f a ) 的定义可知：存在点y 。m x 及( h ，k ) 扩x z + ( o ，0 ) ， 使得y m ，。，f m g 。( 。，。) 这两点与点霉的距离都可以任意小，又因为，g 是紧度量空间 上的连续映射，所以都是一致连续的，故有： 业出2 1 m 蒜掣 n 时，分别有： 等群 芸 ；， 帮 万m i 由此可知： 如，萨小m a x 。 群) ； “时，分别有： 塑貉掣 而m i ， 或 堕勰牲 而m ； 由此可知： 埘懒扔= 。m 。a x 。 盟黧掣) j 时，有： 丌m 一( 毛，) = z m 一u ( g ，厂0 ) 由于，j u ( 叭j ，f - g ) 且u ( 叭j ，厂9 ) 为厂9 强不变的，以及有，og = g 。，因而上述 点磊j 是必然存在的。 又因为对任意的m ，”：m i 且n j 时，都有： 如一= 。m 一= ，一m 一一”( 正坩) u ( 玑，j ，勺) 所以对v m ，n z ，都有： z m u 慨j ，广匆) ， 因而 z i j 啦如( 蛳内) ，厂9 卜 由于，和g 都是满映射，则投影丌0 ，o ：戈_ + x 也是满映射，所以存在点可1 霉 x ，厂9 使得：7 t o ，o ( 刃= y i j 则由定理3 1 可知t z i d l 弛 u ( 玑j ，厂j ) ， 9 = u ( 玩仃厂码) ca ( 口，0 9 ) 又由点的取法可知：当t 和j 都趋于正无穷大时，点z i j 就收敛于点苗 而h ( a f a 9 ) c 贾为闭子集，所以点茁a ( 口，i 9 ) 从雨有t 定理证毕。 1 p a ( n ) ，n ，ca ( a 厂码) 1 3 双重逆极限空间上的动力性质三 双重逆极限空间 3 3 有关，勺与a 厂之间某些动力性质的联系 接着，我们证明双重逆极限空间上的诱导映射在拓扑传递性、初值敏感性、可扩性 及稠密轨道上的一些结论。 3 3 1 拓扑传递性 定义3 1 设，g 为紧度量空间x 上的连续映射且，9 = 9 ，称，勺为拓扑传递的，如果 对x 中的任意开子集盯和y ，都存在( m ，”) 矛z + ( 0 ，0 ) ，使得，“旷( u ) n v g 。 注3 1 由上述定义可知：，勺为拓扑传递的营存在$ x ，使得顶；了丽= x 定理3 5 设，g 为紧度量空间x 上的连续满映射且内= g l ，则有 n 在x 上拓扑传递营a ，在需上拓扑传递 证明：必要性：设疗和矿为贾中任意的两个非空开子集，则存在点争= ( 弘j ) 贾， 及d 0 ，使得；曰“玩d ) c v 令m 0 为紧度量空间x 的赢径，则可以取定( m ， ) n ，使得： 而m ：且芸；而i 且而i 因为”。一：贾- x 为开映射，所以丌m ，n ( 厅) 和，。( 占咏甄 ) ) 为x 中的两个非空开子 集。由于，勺为拓扑传递的，因而存在( ，k ) z z + ( o ，0 ) ，使得： ，“矿( 丌m 一( 疗) ) nx - m ，。( b l 玩：) ) 日 由此可知分别存在点苗= ( z 谢) 护和点芽= ( 盈j ) 啄矾5 ) ，使得： ，“扩( z m ) = 因而对任意的i ，j z ，当m 且n 时，有： ，“扩( 戤j ) = z i , 而当 f h , 或i j l n 时，则分别有： 坚掣丽m21；1+1 鱼2 ，、2 m 、 双重逆极限空间上的动力性质三 双重逆极限空间 或 由此可知 从而 故 坚掣万m2n+ij1 2、2 ”峙 焉器 坚掣) 5 定理3 6 设，g 为紧度量空间x 上的连续满映射且f g = 9 ，则厂9 为初值敏感的 当且仅当诱导映射一，乜为初值敏感的。 证明：充分性：假设一厂d 9 为初值敏感的，则存在e 0 ，使得对贾中的任意点茁及 其开邻域( 量) ，都存在点f ( 孟) 及，m z + xz + ，使得： d ( 哆唁( 舅) ，o 尹唁( 劲) e 对任意的点z x 及x 的开邻域( $ ) ，令点茁贾满足：7 t o ，o ( 量) = z 。 令( 爵) = ”珏n 蹦甄e ) ，则霄( 叠) 为点孟的一个开邻域 由于一，b 初值敏感，故存在野( 叠) 及( m ，n ) z + z ( o ，o ) ，使得： d ( 哆a ；( 章) ，咿o - ；( 刃) e 我们取上述m ，n 为使该不等式成立的一对最小的菲负整数，且不妨设m 0 因而对 任意的整数i ，j 分别满足：0 i 7 担u ： 以z 如j o ， f 如，j o ) 2 1 i o + m l + j j 。+ ”i e 下证：i o 0 假如有：i o 0 ，因为 承哆。一1 唁( 苗) ，咿一1 唁( 刃) = 嚣器 j 警i ! 南 锌告 16 双重逆极限空间上的动力性质兰 双重逆极限空间 则由( 3 5 ) 式可知： d ( x i o j 。，y i o ，j o ) ， 2 1 i o + m 一1l + l j o + n i 。o 即： d ( x i 。j o ，y i o d o ) 2 t i o + 一1 1 + i j o + ”i e 从而有： 2 h o + m l + l j o + n l 0 且i o 0 ，故 从而 矛盾1 由此可知 i o + m i j o i 所以 如0 1 7 双重逆极限空间上的动力性质三双重逆极限空间 令e ，= 2 i i o + “i + l j o + “i e 0 ，令h = 一i o ，k = 一j o ， 则( h ，k ) z + z + ( 0 ，0 ) ，于是： d ( f “9 2 ( z ) ，f h g ( g ) ) = d ( f - , o g j o ( 。0 ，o ) ，f - i o g j c ( v o ，o ) ) = d ( x i o j o ，i o , j o ) 2 1 i o + r n l + l j o + r l i e ：e ， 所以， 9 为初值敏感的。 必要性；对任意的点互= ( j ) 贾及其开邻域而( i ) ，因为 7 r 才( u ) h j z ，uc x 为开集 为耍的一组基，则存在x 的一个开子集u 及( ，) z z ，使得： i i ：( u ) c ( i ) 则有：。 ，t 矿 由于厂9 为初值敏感的，故存在点v u 及( m ，n ) z 。z + ，使得t d ( f g “( z h ) ，”旷( ) ) e 对上述的点y u ，必存在贾中一点萝= ( 献j ) 吒：( 矿) c 费。使得：，女( 功= 掣， 即有y = y h k 。 令f ，= 南 0 ，贝4 有： 柳a ；( 巩o - ，m o - n ，( 鳓) = 一i j e z 业盟斋掣 塑然赫掣 南= ， 丽2 6 从而吖初值敏感定理证毕 3 3 3 可扩性 定义3 3 设，g 为紧度量空间x 上的连续映射且，9 = g ，如果存在c 0 ，使得 对牲意的$ ，x ：z ”，都存在，”) z x 扩( o ，o ) ，使得； d ( f ”9 ”( z ) ，”矿( ) ) c ， 则称广9 为可扩的，称c 为其扩张常数 1 8 双重逆极限空间上的动力性质 三 双重逆极限空间 注3 2 从厂9 可扩的定义可知：映射门锕g 都是单射 定理3 7 设f ，g 为紧度量空间x 上的连续满映射且，9 = g f ，则 r j 贰葛o o 飘笥 证明：充分性：假设吖勺9 是可扩的，其扩张常数为c 0 因为x 为紧度量空间，则令m 0 为x 的直径。取定( m ，n ) n n ，使得： 芸c 且芸。丽c 且石c 对任意的z ，y x 且。y ，由于f g 都是满射，故存在点童= ( 。讲) ，哥= ( 玑j ) 贾， 使得： 丌m 丹( 罾) = 窖m n = z ， 丌m 一( 分) = y m 一= v 则显然： 荟啻 由于一厂是可扩的，故存在( h ，k ) xz + ( o ，0 ) ，使得： 放砰砖( 童) ，一磁( 鳓) c 由度量孑的定义可知：必存在某对i o ，如z ，使得： 业塑型2 1 如! 鐾1 + l j o2 坠虬逊 c ( 3 6 ) 。 、 ， 即有： d ( ，“g 。( x i o d o ) ，f h g 。( i o j o ) ) 2 + c 下证；m o ，且n 灸 如果m i o ，则 业盐趟鲁塾趔一m 2 1 i 0 1 +2 m “ l 、1 这就与( 3 6 ) 式相矛盾，故有m d o 同理可证：n j o 令c ，= 2 1 i o l + l j o l 0 ；再令= h + m 一 o 0 ，f = 盎+ n j o 0 ，则有t d ( f h g ( z ) ，f t , g k ( v ) ) = d ( ，“+ t 1 t - - i o g k + n - j 。( $ m 一) ，f “+ ”一如g 十”一如( m ，n ) ) = d ( f “矿( z 。j o ) ，f h g ( j o ) ) 双重逆极限空间上的动力性质三 双重逆极限空间 2 t | f o l + l j 0 1 c ：c ， 从而厂9 为可扩的。 必要性：假设，勺为可扩的，c 为其扩张常数 对任意的点苗= ( q j ) ，奇= ( 玑，j ) 贾且茁矿由注( 3 2 ) 可知：，9 必为x 上的单 射，因而有。o ，o ”o m 由于厂9 可扩，则存在胁，n ) z + z ( o ，0 ) ，使得： a ( s ”9 “( z o 。o ) ，m 9 ”( y o ，0 ) c ， 从而 珊，a 尹咭( 鳓) _ 小m a x 。( 业韭赢弘也出 塑盟精掣 c 所以町是可扩的定理证毕 3 3 4 有关稠密轨道 定理3 8 倒设o ( q ，勺) 为厂口的稠密轨道，点窑吒3 ( ，则d ( 磊口f o g ) 为j 厂码 的稠密轨道。 例如果o ( 誊，口厂如) 为4 ，勺g 的稠密轨道，则o ( 丌o ，o ( 牙) ，厂9 ) 为，勺的稠密轨 道 证明：( 1 ) 因为点牙= ( 嚣订) 畹3 ( ) ，故邸，o ( 牙) = x o , o = z 设驴= ( 玑j ) 为贾中的任意一点，因为x 为紧度量空间，令m 0 为x 的直径，则对 任意的e 0 ，选定( m ，n ) nx ，使得： mm 而e 且而e 因为，9 都是一致连续的，故存在6 ：0 6 e ，使得当d ( z ，) 6 时，对任意的整数 s ：0 s m 和t ：0 t ”，都有： d ( ，5 9 ( z ) ，8 9 。( y ) ) e 由于d ( ，勺) 为，勺的稠密轨道，故存在( h ，) z x ( o ，o ) ，使得： d ( ，“矿( 。) ，。) 6 2 0 双重逆极限空间上的动力性质 三 双重逆极限空间 从而对任意的整数s ：0 s m 和t ：0 t n ，都有 d ( f “+ 5 9 + ( 。) ，3 矿( g 。，。) ) e ( 3 7 ) 因而当i i l m 且 时，由( 3 7 ) 式我们可知： d ( f m + u g ”+ ( 。t j ) ，y i j ) = d ( ，m + 一9 “+ 一( z o ，o ) ，f m - i g “一( 掣。，。) ) n 时，分别有： 型竺竖黧山盟 一m 2 1 i l - t - 1 52 m “ 、 r 。， 或 d ( f m + h g 可n + 相k ( 矿x i , j 一) , y l d ) 一m 2 n e 2 i 、 ” 所以有 承一7 + 盯；+ ( 凳) ，刃= 嚣邕 垡! 兰1 2 ；社 0 及任意的点x ，令可= ( 挑j ) 呕3 ( ) c 阢 因为d ( 量，a f a 9 ) 为a f a g 的稠密轨道，故存在( m ， ) z x ( o ，0 ) ，使得t 承咿嘣霉) ，研i 盟 笙掣m 则当i - j = 0 时，就有t d ( ，”扩( z o ，0 ) ，y o ，0 ) e ， 即 d ( f ”g “( 丌0 ，o ( 窑) ) ，v ) e ， 故o ( 1 r o ( 髫) ，广9 ) 为，勺的稠密轨道定理证毕。 2 l 双重逆极限空间上的动力性质 四 总结 四总结 本文主要讨论了双重逆极限空间及其上转移映射的( 双重) 动力性质。 第二章我们针对系统( x ，) 与( 1 j ! l n x ，) ，o ，) 之间动力性质的各种联系，整理了 近期国内外在该方面的一些研究结果。 第三章这是本论文的主要部分，我们模仿逆极限h m x ，) 的定义，提出了双重 逆极限h m x ，厂1 ) 的概念，并针对这两个自映射，和9 ，类似定义了系统( x ，厂9 ) 上 的一些双重动力性质，然后证明了系统(