（机械设计及理论专业论文）基于cnc齿轮测量中心测量的螺旋锥齿轮齿形误差修正.pdf

摘要 螺旋锥齿轮是现代机械动力传动系统中用来传递动力和运动的重要装 置。随着对螺旋锥齿轮的精度要求越来越高，其加工过程已是一个集机械、 材料、控制、计算机、测量技术为一体的综合性过程。 传统的控制齿面精度的方法是齿面接触区的v - h 检查方法，通过观察接 触区的大小和位置来定性判断齿面的加工质量。这种方法对操作工人技术要 求高，过程繁琐。随着齿轮测量中心的出现，螺旋锥齿轮齿面几何误差的测 量已经达到了相当高的精度，根据齿面偏差信息对切齿机床调整参数进行反 修正，能定量地控制齿面精度，提高齿轮的加工质量和生产效率。基于此， 本文提出了直接利用齿面偏差数据反求得到机床调整参数的修正量，指导整 个切齿调整过程，避免了接触印痕检验及试切的繁琐过程，从而提高加工质 量和生产效率。主要研究内容如下： 1 螺旋锥齿轮齿面数学模型的建立。根据螺旋锥齿轮加工原理、齿轮啮合 原理以及运动学原理建立了螺旋锥齿轮的齿面数学模型，为螺旋锥齿轮的理 论齿面数据提取奠定了理论基础。 2 规划测量路径。利用旋转投影法对理论齿面进行了测量网格规划；并 给出了网格结点的求解方法。通过计算试验所用齿轮的网格结点坐标和单位法 矢，为大轮齿面误差的折算奠定了基础。 3 误差折算。通过将差曲面进行代数化处理，根据等失配量原则，将大 轮齿面误差测量结果折算n d , 轮上，对螺旋锥齿轮进行配对修齿，提高螺旋 锥齿轮副的传动性能。 4 小轮修正。根据比例修正参数，利用优化算法计算出齿轮加工调整参 数的修正量，使得小轮的真实齿面尽量接近理论齿面。 5 通过相关实验显示在只对针对小轮原始齿形误差进行比例修正时，小 轮的齿面误差控制在0 0 0 3 m m 左右，能满足实际生产的精度要求。最后在对 大轮折算到小轮上的这部分误差进行修正后，在滚检机上进行滚动检验，噪 声测试显示，凸面运转时噪声值比修正前下降了2 5 分贝左右。 关键词：螺旋锥齿轮，齿轮测量中心，齿形误差，比例修正 a b s t ra c t s p i r a lb e v e lg e a r sa r ei m p o r t a n tc o m p o n e n t sa p p l i e dt ot r a n s f e rd r i v ei n m o d e r ng e a r i n g 舡t h er e q u e s to fi t s p r e c i s i o nb e c o m em o r ea n dm o r eh i g h e r t h e p r o c e s so fm a n u f a c t u r i n gs p i r a lb e v e lg e a r sh a v eb e e nas y n t h e s i sp r o c e s s i n t e g r a t e dm e c h a n i s m ，m a t e r i a l ，c o n t r o lt e c h n i q u e ，c o m p u t e rs c i e n c ea n d m e a s u r i n gt e c h n i q u e t 1 1 ec o n v e n t i o n a lm e t h o do fc o n t r o l l i n gg e a rs u r f a c ea c c u r a c y i sc o n t a c ta r e a v he x a m i n em e t h o d i t ss p e c i f i cc o n t e n ti st ot e s tc o n t a c t p a t t e r n o b s e r v eh o w a n dw h e r ec o n t a c ta r e ai s ，j u d g em e s h i n gq u a l i t yq u a l i t j t i v e t h i sm e t h o dh a sa h i g hd e m a n do fw o r k e r ，a n da l s ov e r yf u s s y a sw es t a r tt ou s i n g g e a rm e a s u r i n g c e n t e rt om e a s u r es p i r a lb e v e lg e a r ，t h em e a s u r e m e n tc a na c h i e v et oa h i g h p r e c i s i o n t h e nw ec a nc o r r e c tg e a rc u t t i n ga d j u s t m e n tp a r a m e t e r sb a s e do nt h e g e a rt o o t h 。s u r f a c ee r r o r ，t oc o n t r o lt h eg e a rs u r f a c ep r e c i s i o ni naf i xq u a n t i f y t h a t c a n i m p r o v et h em a c h i n i n gq u a l i t ya n de f f i c i e n c y b a s eo nt h o s er e a s o n s ，t h i s t h e s i su s i n gt h eg e a rt o o t h s u r f a c ee r r o rt oe v a l u a t i o nt h eg e a rc u t t i n ga d j u s t m e n t p a r a m e t e r s ，i no r d e rt od i r e c t i o nt h em a c h i n i n gp r o c e s s ，a n da l s oa v o i dt h ef u s s y p r o c e s so ft e s tc o n t a c ta r e aa n dt h et e s tc u t ，t h a tm a k et h ew h o l em a c h i n i n gp r o c e s s a r em o r ee f f i c i e n c y t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r a r e ： 1 t o o t hs u r f a c em a t h e m a t i cm o d e l i n g a c c o r d i n gt ot h em a c h i n i n gt h e o r y o fs p i r a lb e v e lg e a r s ，g e a rm e s ht h e o r ya n dk i n e m a t i c s t h e o r y t h em a t h e m a t i c m o d e lo ft o o t hs u r f a c ei se s t a b l i s h e d ，w h i c hi st h et h e o r yp r o o f o fc a l c u l a t i n gt h e t h e o r e t i c a lt o o t hs u r f a c ed a t a 2 p r o g r a m m i n gt h em e a s u r i n gg r i dp a t h b a s e do nr o t a t i n gp r o j e c t i n g m e t h o d ，g i v et h ew a yh o wt oc a l c u l a t eg r i dc r u n o d ev a l u e t h er e s u l to ft h et r i e r ，s g r i dc r u n o d e st h e o r e t i c a lc o o r d i n a t ev a l u e sa n dt a g m e m ev e c t o rw e r ea l s o c a l c u l a t ei nt h i sp a p e r ，e s t a b l i s haf o u n d a t i o no fc o n v e r tt h e g e a rt o o t h f o r me r r o r s t ot h ep i n i o n 3 t h ec o n v e r to fg e a rt o o t h f o r me r r o r s v i at h ea l g e b r a i cr e p r e s e n t a t i o no f g l o b a lf o r md e v i a t i o n so ft o o t hs u r f a c e ，b a s e do nt h ee q u a lm i s m a t c hp r i n c i p l e ， c o n v e r tt h eg e a rt o o t h - f o r me r r o r st ot h ep i n i o n ，c o r r e c tt h es p i r a lb e v e lg e a r si n p a i r ，t oi m p r o v et h et r a n s m i s s i o nc a p a b i l i t yo ft h es p i r a lb e v e lg e a r 4 p i n i o nc o r r e c t i o n b a s e do nt h et h e o r yo fr a t ea d j u s t m e n t ，u s i n gt h e o p t i m i z ea r i t h m e t i ct oc a l c u l a t et h em a c h i n et o o ls e t t i n g s ，t r yt h eb e s tt om a k et h e t r u et o o t h s u r f a c eb ec l o s et ot h ea c a d e m i ct o o t h s u r f a c e 5 v i at h ee x p e r i m e n t a t i o nw ec a ns e e ，w h e ni u s tu s et h et h er a t ea d iu s t m e n tt o c o r r e c tt h ep i n i o n so r i g i n a lt o o t h s u r f a c ee l l o r s t h en e wt o o t h s u r f a c ee r r o r sw e r e n e a r l yc o n t o l l e dw i t h i n0 0 0 3 m m ，i ta b s o l u t l yc a ns a t i s f yt h ea c t u a lp r o d u c e p r e c i s i o n f i n a l l y ，a f t e rc o r r e c tt h ec o n v e r t e de r r o r ，p u tt h eg e a ra n dp i n i o no n t h e h y p o i dt e s t e r ，t h er e s u l to ft h ey a w pt e s ts h o w s ，w h e nt h ep i n i o n sc o n v e xs i d e r u n n i n g ，t h en o i s er e d u c en e a r l y2 5d b k e yw o r d s ：s p i r a lb e v e lg e a r , g e a rm e a s u r i n gc e n t e r ，t o o t h - f o r me r r o r ，r a t e a d j u s t m e n t i n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：导师签名日期：年一月一日 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 齿轮是机械传动的关键部件，其加工精度与制造水平直接关系到机械产品的性能与质 量。在相交轴和交叉轴传动中，螺旋锥齿轮( 弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮的通称) 由于其 传动平稳、强度高而广泛应用于交通运输、机床、直升飞机、工程矿山等机械产品。螺旋 锥齿轮的设计制造在各类齿轮中最为复杂，质量控制极其困难【1 。7 1 。加入w t o 以后，齿轮 制造业面临着国际水平的竞争与前所未有的机遇与挑战。为了提高我国齿轮产品质量的整 体水平及国际竞争力，在重点领域螺旋锥齿轮的加工、制造及测量技术方面实现突破 至关重要。 1 1 研究意义 随着现代工业制造技术的发展，对齿轮传动的精度、噪声不断提出更高要求，为了满 足现代工业高速、高可靠性、重载、低噪声、低成本、对市场快速反应的要求，必须不断 提高齿轮副的设计水平，并保证在生产实际中能够快速、低成本地制造出高精度的齿轮 副1 8 1 们。 现代齿轮加工技术的发展为齿面优化提供了更多手段和保证，齿面优化已成为现代齿 轮设计的核心技术，应用于各种工况的优化齿面不断出现，这对齿面几何精度控制技术提 出了更高的要求。因为只有实际加工出的齿面同理论齿面相一致，理论优化齿面的良好动 态性能才能得以实现，也只有这样，经过实践检验的优秀设计齿面才可能被重复制造出来。 所以，齿面几何精度控制已成为现代螺旋锥齿轮加工精度技术追求的重要目标【儿l 。 在工程实际中，同一工艺过程加工出的齿轮，其轮齿的齿面误差都具有一定的规律性 ( 尤其是热处理和加工机床的固有误差引起的齿面误差) 。从齿轮的整体误差状况来看，如 果不考虑切齿机床的分度误差，则每个齿都具有相同的齿面误差，只要修正调整机床参数 就能够补偿齿面偏差，使实际齿面与理论齿面的几何形状相一致。 传统的o l c a s o n 切齿调整技术以“局部共轭原理”为基础1 1 2 l 。局部共轭原理是指用滚 切法或成形法加工好大轮齿面，根据齿轮啮合理论求出与大轮完全共轭的小轮齿面，然后 在小轮齿面上选一点m ，在m 点的周围铲去- , b 层，离m 点越远铲得越多，使小轮齿面形 成“凸齿面 ，其与大轮的接触区不再布满整个齿面而是形成以m 点为中心的局部接触区。 所以，在齿轮加工中一般是对齿轮进行配对加工，在加工出大轮之后，再加工出小轮，为 了得到满意的印痕与啮合性能，在滚动检验机上需进行齿面接触印痕检验，观察接触区的 大小和位置，对其进行定性判断，看其是否满足要求，未满足要求时根据接触区情况再进 行切齿调整，往往需要反复修正多次。 需要指出的是，在“十五”期间，我国一些企业花巨额资金从国外引进了五轴联动数 1 硕士学位论文 第一章绪论 控铣齿机和螺旋锥齿轮测量中心，可以对加工后的螺旋锥齿轮进行齿面偏差、螺旋角和压 力角测量，由于国外不开放联网接口，目前仍足由人工调整机床控制齿面偏差。进口齿轮 测量中心价格昂贵，难以在国内推广使用。现在国内有些企业已具备c n c 测量中心的生 产能力，如果开发出适合于国产齿轮测量中心的驱动软件，根据齿面测量信息利用通讯接 口对铣齿机床调整参数进行反修正，就能定量控制齿面精度，提高齿轮的加工质量和生产 效率，在生产中具有很好的实用价值。 螺旋锥齿轮的数字化制造已势在必行【1 3 i ，表征、测量、分析和控制其齿面精度是实现 我国螺旋锥齿轮数字化制造的重要环节。摈弃传统的通过滚检机配对检验来控制齿面接触 质量的方法，实现大轮和小轮研齿前互换，为建设螺旋锥齿轮数字化闭环制造生产线奠定 良好的理论和技术基础：采用此方法可以直接利用齿面偏差数据反求得到机床调整参数的 修正量，指导整个切齿调整过程，避免了接触印痕检验及试切的繁琐过程，从而提高加工 质量和生产效率。这将给国内齿轮制造业带来很大的经济效益，对提高我国齿轮制造业的 制造水平，打破国外的技术垄断，增强齿轮产品的国际竞争力具有很重要的意义。 1 2 国内外研究现状 提高螺旋锥齿轮制造精度有两种方法，第一种是通过提高加工机床自身精度来提高齿 面制造精度；第二种方法是通过修正机床调整参数实现齿面误差反调。采用第一种方法来 提高齿轮制造精度成本高而且往往很难实现，现阶段国内外研究中通常是采用修正机床调 整参数来实现齿面误差反调1 1 4 l 。 为了能够对被加工齿面加工精度实施控制，基于真实齿面三坐标测量的精度控制技术 自上世纪8 0 年代出现1 1 5 以引。1 9 8 7 年，格里森公司开发了第一套基于真实齿面三坐标测量 的齿轮加工精度控制系统，但其控制方法并未公开。1 9 9 1 年，美国教授l i t v i n 提出了齿面 误差补偿的函数法。自此基于三坐标测量的齿面精度控制技术开始进入螺旋锥齿轮制造领 域，并成为螺旋锥齿轮制造的热剧”l 。 基于真实齿面三坐标测量的精度控制技术是指在三坐标测量机或齿轮测量中心上，按 照预设的遍布全齿面的网络，测量真实齿面上网络结点的坐标1 2 0 , 2 x l ，根据测量结果计算出 真实齿面与通过坐标变换推导得到的理论齿面间的误差值1 2 2 1 ，根据全齿面误差值识别误差 来源并计算加工参数修正量，从而使由修正后加工参数加工出来的真实齿面与理论齿面间 的误差最小f 2 3 矧。 按照齿面误差识别和补偿原理的不同，目前螺旋锥齿轮齿面误差补偿技术主要可以分 为以下两种。 1 2 1 格里森方法 格利森公司提出的齿面误差识别与补偿方法与其齿面优化设计中齿面修形计算直接 2 硕士学位论文 第一章绪论 相联系，这种齿面误差修正方法很像是一个将真实齿面反向修形到理论齿面的过程1 2 7 l 这种方法首先根据真实齿面的测量结果计算出真实齿面同理论齿面之间差曲面拟合 方程的特征参数。然后按照齿面修形计算中单个机床调整参数改变对理论齿面设计参考点 曲率的影响，对差曲面拟合方程的特征参数逐一进行补偿。 如果直接利用根据差曲面各个单项特征参数计算出的机床调整参数修正量来调整机 床，会因机床调整参数之间对齿面几何形状的耦合影响而根本达不到修正的效果。所以在 其修正过程中，对每一项特征参数进行修正时都必须考虑此项修正对齿面形状的综合影 响，但格利森并未公布是如何处理这种综合影响的。 1 2 2 函数法 这种方法是l i t v i n 教授于1 9 9 1 年首次提出的，它同格里森公司的齿面反向修形法从原 理上有着本质的差别。这种方法将齿面上点矢量看作是机床调整参数的函数。齿面任一点 的误差看作是该点矢量微分增量在该点法矢方向的投影，因其与理论齿面和真实齿面沿理 论齿面法矢方向的距离近似相等，因此可以直接由真实齿面三坐标测量结果计算出该点的 误差值1 1 8 j 。误差识别和误差补偿是根据该矢量的微分表达式进行的。其原理如下： 设根据齿面优化计算得到的机床名义调整参数为群o1 1 ，2 ，刀) ，以矢量函数形式表 示的理论齿面s 上的位置矢量方程和单位法矢方程为： = ，b ，v ，群门 驴，z b 群) | o 。1 式中，比， ，表示齿面的曲面坐标。 对位置矢量方程求微分，得到在机床名义调整参数处齿面点位置矢量微分表达式为： 缸= 尝加+ 熹却+ 砉毒硝 m 动 抛却臼a “ r 叫 式中：硝机床调整参数的微分增量 位置矢量的微分增量 将上式点乘该齿面点的单位法矢珥，因为： ! 以，1oi 以ui 量n 。0 m 3 ， a ， f j 。) j 一ul 却 j 因此齿面上一点的法向误差可以表示为： 岘= 套( 争p m 4 ， 式( 1 4 ) 1 1 1 为齿面上该点误差的识别方程，求解此方程即可得到齿面上该点的机床调 整参数的修正量。这种对齿面点矢量方程在名义机床调整参数点的微分化处理即相当于对 3 硕士学位论文 第一章绪论 非线性的齿面点的位置方程作了线性化处理。因此，对于这种方法来讲，齿面上该点的误 差越小，则非线性的影响越小，从而据此得到的补偿精度越高。 上述方程只是齿面上一点的误差识别方程，但齿面是由无限多空间点组成的集合。给 齿面上每一点都建立齿面误差方程进行补偿计算是不可能的，因此实际应用中只对有限的 遍布全齿面的测量点建立齿面误差识别方程，并将所有测量点的方程组成一个方程组。 但齿面测量点数量一般都是4 5 个点，远大于机床调整参数的数量，因此，根据所有 齿面测量点建立起的齿面误差识别方程组为一个超定方程组，同时，由于机床调整参数对 齿面几何结构的耦合影响，此方程组的求解困难，容易出现病态方程。 针对l i t v i n 方法的不足，我国台湾学者林春云等提出了一种新的修正优化方法，引入 机床调整参数的实际调整范围作为方程组的约束条件【2 剐。后来，z h a n g 与l i t v i n 教授将函 数法做了进一步的改进，将实际齿面表示成两个向量函数的和，利用c n c 坐标测量机测 得齿面网格点的偏差，用双三次样条函数来表示偏差函数1 2 9 i ，由此可进行实际齿面的t c a 分析。国内孙殿柱博士以三坐标测量机实测的齿面网格节点坐标为依据唧j ，利用曲面造型 和c a g d 理论与经典的齿轮啮合理论相结合，可以确定真实齿面的啮合区域。 1 3 论文研究的主要内容 本文进行了基于c n c 齿轮测量中心齿面测量结果的螺旋锥齿轮齿形误差修正方法的 研究，主要内容如下： 1 建立理论齿面的数学模型。从铣刀盘切削刃着手，根据现代啮合理论和微分几何学 原理，通过一系列的坐标转换，推导出螺旋锥齿轮的齿面方程和单位法矢方程，为齿面测 量点的计算奠定了理论基础。 2 规划测量路径。将螺旋锥齿轮的齿面在轴截面上进行旋转投影，规划出适合测头轨 迹的网格区域；介绍了测量网格坐标及其法失的计算方法，并给出了计算实例。 3 根据轮齿齿形误差的测量结果，对插曲面进行了代数化处理，研究了将大轮齿形误 差折算到小轮上的方法。 4 基于齿面偏差数据，根据比例修正参数，利用优化算法反求得到机床调整参数的修 正量，指导整个切齿调整过程，避免了接触印痕检验及试切的繁琐过程，并通过试验证明 了其正确性。 本文的总体思路是，基于小轮c n c 齿轮测量中心结果，采用比例修正的方法，使得 小轮齿面尽量接近理论齿面。对于大轮误差不好的情况下，对大轮的齿面误差测量结果进 行代数化处理，将其误差折算的小轮上。对新得到的小轮齿面误差再进行修正，通过配对 修正的方法，提高齿轮的接触和传动性能。 4 硕士学位论文第二章螺旋锥齿轮啮合原理 第二章螺旋锥齿轮啮合原理 螺旋锥齿轮啮合原理的内容很丰富，涉及到相对微分法、共轭曲面的确定，诱导法曲 率公式，等距共轭曲面原理、界限曲线与根切、点接触共轭曲面等一系列问题，限于篇幅， 本章仅对论文中所涉及到的一些相关原理进行阐述，这也是本文的理论基础。 2 1 曲面及其切平面和法失 空间曲面是螺旋锥齿轮啮合理论1 3 1 1 的基础，首先介绍一下空间曲面的一些基础知 识1 1 2 ，3 2 斟l 。 一般曲面的参数方程可以写成 厂一r ( u ，v ) ( ，y ) r ) ( 2 - 1 ) 其中“，y 为曲面参数， ，v ) e r 表示h ， ，限制在范围r 内，把r ( u ，v ) 看作坐标系里p 点的 径失，则当u ，l ，在r 范围内变动时，p 点的轨迹就是一个曲面或曲面块。 设曲面上过点p o ( u o , v d 的任意曲线为 f ：u = “o ) ，y = v ( t ) ( f 1s ts t 2 )( 2 - 2 ) 耵i i r u o - u ( t o ) ，- v ( t o ) ，代k ( 2 - 1 ) 得到曲线的参数矢方程 厂= 也o ) ，1 ，o ) j( 2 3 ) 因而，曲线r 在p o 点的切失 ( 妄) 2 屹c “。，y 。，( 秀 ) ，。+ c “。，y 。，( 象) b c 2 由于在p o 点乞和0 不平行，则过p o 点和气、0 构成一个平面p ，这个平面p 就称为曲面在 p o 点的切平面。 过p 0 点和切平面p 垂直的直线，就称为曲面在该点的法线。法线上任意非零矢量叫做 法失，而曲面在p o 点的单位法失为： 肛黼( z - 5 )l 吒o i 于是，切平面方程就可写成： ( p r o ) ( 屹xr v ) = 0( 2 6 ) 2 2 点的坐标变换 设空间任意点p 在s 里的坐标是( 与易z ) ，在口里的坐标是b ，y ，z ) ，则p 点在s 和仃 5 硕士学位论文 第二章螺旋锥齿轮啮合原理 里的径矢依次为： o p 昌石白+ y e 2 + z e 3 o p = x + y 台：+ z 0 ： ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 图2 - 1p 点的坐标位置 如图2 - 1 所示，仃的原点d 在d 里的坐标为b 。，y 。，z 。) ，则d 在仃里的径矢 0 0 一x o e l + y o e 2 + z o e 3 ( 2 - 9 ) 在o r 里的矢量 d ，p = d p - 0 0 = 一弘1 + ( y y o 弦2 + 0 一弦2 ( 2 1 0 ) 由( 2 7 ) 和( 2 - 9 ) 两式可以看出， 矢量o p 在o r 和仃里的分量分别为 一) ，( y y o ) ，( z - - z o ) 和z 7 ，y ，z 7 。它们之间的关系就可以由坐标变换公式 3 7 衔j j ， 即。 上式也可以写成矩阵形式为： ， z ， y ， z 1 ， 石 ， ) ， ， z a l la 1 2a 1 3 a 2 1a 2 2a 2 3 a 3 1a 3 2a 3 3 a l l a 1 2 口2 1口2 2 a 3 1a 3 2 o0 ， a 1 3x o ， 口2 3y o ， a 3 3z o o1 x x q y y o z z o = m 1 0 式中：( ，y ；，磊) 是坐标系口的原点0 在仃下的坐标。 口f - e o e ，一c o s o ，0 为，e ，间的夹角 6 ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) 硕士学位论文第二章螺旋锥齿轮啮合原理 3 共轭曲面的接触条件 2 3 1 相对微分法 设s p ) 是一个在空间不断运动的曲面，u ，y 是它的曲面参数，用矢量厂来表示它时， 它不仅是“， ，的函数，同时也是时间t 的函数，如果我们建立一个与曲面s ( f ) 固连在一起 并随它运动的坐标o ( t ) d ( f ) ；f o ) ，_ ( f ) ，七( f ) ，那么，其中的坐标系原点d o ) 、坐标矢量 f ( f ) ，( f ) ，k ( t ) 都是时间t 的函数。设曲面相对于d ( f ) 的坐标为( x c u ，v ) 、y ( u ，v ) 、z ( u ，v ) ) ，那 么曲面s o ) 的方程可写为： r ( u ，v ，f ) = x ( u ， ，) f o ) + y ( “，) ，o ) + z ( u ， ，) j i ；：o ) ( 2 - 1 3 ) 或者简记为，= x i + y j + z , ，但一定要记住，x 、y 、z 都是u 、l ，的函数，而i 、j 、k 是时间t 的函数。 用微分方法求上述公式的全微分，并令 d x = 尝如+ 等咖方；罢砒+ 譬咖d z = o v罢d u 也+ 罢t l v 咖 ( 2 ) 棚 啪似 则 办= 出f + 幼+ d z k + + 剪+ 础) 出) 设运动曲面s ( t ) 的角速度、也就是运动坐标系口( f ) 的角速度为o ) ， 可知坐标矢量的导失即f 、j f 、k 端点的运动速度为： i = t o x i j 1 | 0 9 j k = w x k 将它们代x , ( 2 1 6 ) 并记 ( 2 - 1 5 ) 那么由理论力学 ( 2 - 1 6 ) d l r = d x i + d y j + d z k ( 2 - 1 7 ) 则( 2 1 6 ) 可以写为： d r d 1 ，+ r d t ( 2 1 8 ) 我们称d 。，为矢量，关于动坐标系盯o ) 的相对微分，即假定s ( f ) 的运动坐标系o ( t ) 不动时的 微分。式( 2 - 1 8 ) 给出了绝对微分d r 和相对微分d 1 厂之间的关系，我们称式( 2 - 1 8 ) 为相对微分 公式。 ( 2 1 8 ) 式不仅对于曲面方程成立，对于曲面法失也是成立的。设运动曲面s ( f ) 的法失 为： n ( u ， ，t ) = ，z ju ，v ) i ( t ) + 以， ， ，) j o ) + 咒： ，v ) k ( t )( 2 - 1 9 ) n - d n = d l n + c o n d t( 2 - 2 0 ) 其中d 1 ，l = d n z f + 砌y ，+ d n ：k 是咖一d l n + n d t 假定曲面不动时的相对微分。 矢量函数的这种相对微分法，是研究齿轮啮合问题的有力工具，它既考虑了曲面的运 动问题，又能使我们在运动中用相对微分法来研究曲面的几何问题。 7 硕：七学位论文 第二章螺旋锥齿轮啮合原理 2 3 2 啮合方程 在研究两个运动曲面s t n 、s t 2 ) 的接触传动时，可以在曲面s t l ) 上建立一个与s t l ) 固连的 运动坐标系s l ( t ) ，在运动曲面s ( 2 ) 上建立一个与s t 2 ) 固连的运动坐标系s2 ( t ) 当曲面s t l 和 s t 2 ) 在空间某点m 接触传动时，两曲面必须在m 点相切。 设曲面s t l ) 上m 点的失径为厂l ，单位法失为1 2 1 ；曲面s t 2 ) 上m 点的失径为r 2 ，单位法 失为1 1 2 。设运动坐标系s 2 ( t ) 的原点0 2 ( t ) 到sl ( t ) 原点o l ( 1 ) 的失径为肌( t ) = 0 2 ( t ) 0 1 ( t ) ，他们 应该满足方程： f 1 2 = m + r x 1 ，l ，；n t ( 2 - 2 1 ) - - 一 ：其中，第一个矢量方程是两齿面在m 点接触所应满足的条件，第二个矢量方程是两齿 面在m 点相切所应满足的条件，这是所有齿轮传动所应满足的基本方程。齿轮传动中的 所有问题都可以由基本方程式导出。 我们用d l 表示曲面s t l ) 关于运动坐标系s l ( t ) 的相对微分，用如表示曲面s t 2 关于运动 坐标系s 2 ( t ) 的相对微分，用c o l 表示曲面s ( 1 ) 即运动坐标系s 1 ( i ) 的角速度，用纰表示曲面 s ( 2 ) 即运动坐标系s 2 ( t ) 的角速度，那么用相对微分法去微分方程组( 2 2 0 ) 1 拘第一式可以得到： d 2 r 2 + 2 r 2 d t = m + d l r x + q r l d t ( 2 2 2 ) 因为 9 1 2 = c 0 1 r x 一0 ) 2 r 2 + m 。( 2 - 2 3 ) 是两曲面s ( n ，s t 2 ) 上m 点的相对速度，故上式可以写为： d 2 r 2 = d l r l + 9 1 2 d t ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 4 ) 式中的d l ，l 是曲面s ( 1 ) 上m 点的一个切线方向，妇2 是曲面s t 2 ) 上m 点的一个切线方 向，我们称两运动曲面上满足( 2 2 4 ) 式这对切线方向为一对共轭方向。很显然，只有d l 厂l 伽1 2 或d 1 厂l 为接触线方向( 出= o ) 时，两共轭方向才会重合，在其它方向两共轭方向都是不重 合的。但是，对于i ，。：i 一0 的节圆点，d 2 r 2 = d l r l 总是成立，因此共轭方向总是重合。 将( 2 2 4 ) 式两边与两曲面的公法失n 作数积，因为d l ，l 和d 2 r 2 位于切平面内，总是 与n 垂直的，故厅d i r t 一万。d 2 r 2 0 这样可以得到关系式v n n d t = o 。除接触线方向d t = o 外， 其余方向d t 0 。因此，两运动曲面在接触位置还应满足条件： y 1 2 1 2 = 0( 2 - 2 5 ) 其物理意义是：两曲面在法线方向上的分速度必须相等才能保证两曲面的持续啮合，否则 两曲面将在下一时刻脱离接触或者相互嵌入，这是啮合所不允许的。 将方程组( 2 2 1 ) 第一式代入( 2 2 3 ) ，并令 t o n2q 一0 3 2 ( 2 2 6 ) 可得相对速度的统一表达式 9 1 2 2 0 ) 1 2 r l 一0 ) 2 m + m( 2 2 7 ) r 硕士学位论文 第二章螺旋锥齿轮啮合原理 1 2 是两曲面s ，s 伫的相对角速度。将p 1 2 的表达式( 2 2 7 ) 代入v 1 2 n ，可知它是关于运动曲 面s 0 ) 的曲面参数h ， ，和时间t 的三元函数，称为啮合函数。( 2 2 5 ) 式称为啮合方程，对于 任何时刻t ，啮合方程可以给出s ( 1 ) 上的一条曲线，它是该时刻可能的接触线。不管是线接 触共轭曲面还是点接触共轭曲面，它们在啮合位置都满足基本方程( 2 2 1 ) 和啮合方程 ( 2 2 5 ) 。 2 4 第二共轭曲面所应满足的方程式 这也就是给定了一对线接触共轭曲面【3 5 3 6 】中的第一共轭曲面s ( 1 和两曲面之间的相对 运动，求解第二共轭曲面s ( 2 ) 的问题。 在上一节中已经说明，如果曲面s ( 2 ) 存在，它和s ( 1 只可能沿着啮合方程所确定的接触 线接触，因此，曲面s ( 2 ) 只能足这条接触线在运动坐标系s2 ( t ) 中的轨迹。这样，曲面s ( 2 的方程，2 应满足方程组 f r 2 = m + _ 1 ，棚：0 ( 2 2 8 ) l - 在一般情况下( 2 2 8 ) 是一个超越方程组，不可能求出解析解。求解时总是设法从啮合 方程求出啮合线的表达式然后代a ( 2 2 8 ) 中的第一个方程式求r 2 。 由微分几何里单参数曲面的包络理论可知由( 2 2 8 ) 求得的曲面s ( 2 ) 是运动曲面s ( 1 ) 的包 络，因此，上述方法实际上就是传统使用的包络法。 有时候，曲面s ( 1 ) 不是一个曲面，而是一条曲线r 。如果在运动坐标系s 2 ( t ) 中有一个 曲面s ( 2 ) 与它共轭的话，其接触线只可能是这条曲线本身。所以s ( 2 就是这条曲线在s 2 ( t ) 中的轨迹，我们称之为轨迹曲面。设曲线r 在s 1 ( t ) 中的方程为，o ) ，那么轨迹曲面的方程 为： 厂2 = 优q ) + ， ) ( 2 - 2 9 ) 轨迹曲面的曲面参数就是5 和t 。 第一共轭曲面s 0 ) 上一般不存在孤立的奇点，但大多数是分片光滑，两片光滑曲面之 间的交线是s ( 1 ) 上的奇异曲线，与这种曲面完全共轭的曲面s ( 2 必须分开来求。其中与光滑 曲面共轭的部分用方程组( 2 2 8 ) 求，与交线共轭的部分则用( 2 2 9 ) 式来求，然后将所得曲面 相加就得到了我们所要求的第二曲面s ( 。曲面s ( 2 ) 的法失可用公式n 2 - - n l 求得。 2 5 本章小结 本章主要对论文中将要涉及到的一些螺旋锥齿轮啮合原理和微分几何中的基本知识 进行了初步介绍，它们是后面建立螺旋锥齿轮齿面方程，进行齿面误差折算等问题的理论 基础。 9 * i * ! 螺旋镕* # 数 建横 第三章螺旋锥齿轮齿面的数学建模 为了实现后续章节的大轮误差折算到小轮上，就必须计算出齿面测量网格节点的理论 坐标值，通过对这些点的坐标值进行曲率补偿，再由测量得到的齿面法向误差值，实现插 曲面的代数化。首先从螺旋锥齿轮齿面方程的建立丌始。 螺旋锥齿轮的齿面是一个复杂的空间曲面，齿血几何不能用初等函数表示，但是螺旋 锥齿轮的铣削过程就像埘准双曲面齿轮m 1 的啮合过程一样，齿面与其切削面足一对共轭 曲面。所以利用齿轮啮合原理和微分几何学原理，建立机床坐标系下的刀具切削刃表达式， 通过刀具与被加工齿轮在加工过程中的运动关系和啮台基本方程式导出齿面方程，即可求 得齿面的儿何表达式。本章在简要阐述格利森制螺旋锥齿轮的加工方法的基础之上，从铣 刀盘切削刃着手，根据现代啮合理论和微分几何学麒理，通过一系列的坐标转换，推导出 螺旋锥齿轮的齿面方程和单位法矢方程。 31 螺旋锥齿轮的切齿方法 311 切齿原理和方法 螺旋锥齿轮是在螺旋锥齿轮铣齿机上加t 的，其 g i n - 原理如图3 - 1 所示。机床上的摇 台机构模拟一个假想的齿轮安装在摇台上的端面铣刀盘切削刃的轨迹代表假想齿轮的一 个轮齿。当下件即被加工齿轮与假想齿轮以一定传动比绕并自的轴线旋转时，刀盘就会在 工件轮坯上切出一个齿槽。齿轮的铣削过程就是假想齿轮与准双曲面齿轮的啮合过程，刀 盘的切削面与被加工出的齿面是一对完全共轭的曲面。锥齿轮的这种加t 方法称为展成法 ( 滚切法) ，摇台所代表的假想齿轮称为产形轮。 目3 - 1 端自铣齿女 常用的产形轮可分为平面产形轮和锥面产形轮两种形式，分别如图3 - 2 ( a ) a 自l3 - 2 ( 砷所 1 0 硕士学位论文 第三章螺旋锥齿轮齿面的数学建模 示。平面产形轮的刀盘轴线与机床摇台轴线平行，产形轮的面锥角如等于9 0 。；锥形产形 轮的刀盘轴线与摇台轴线不平行，产形轮的面锥角面不等于9 0 0 。螺旋锥齿轮副的大轮通 常用平面产形轮加工。为了提高生产效率，大轮都采用双面法加工，即用安装有内切刀片 和外切刀片的双面刀盘同时切出轮齿的两侧齿面。当大轮节锥角小于7 0 0 时，大轮一般用 展成法加工p 引。当大轮节锥角大于7 0 。时，大轮齿面与刀盘刃锥面形状相似而且大轮根锥 与根锥中点切平面很靠近，这时可以不用展成法加工大轮而让刀盘直接切入轮坯。这样可 以极大地提高生产效率，特别适合于大批量齿轮的生产。大轮的这种加工方法称为成形法。 ( a ) 平面产形轮 却 ，可矿再右势 j - - 一 锥形产形轮 图3 - 2 两种产形轮 螺旋锥齿轮副的小轮既可以用平面产形轮加工，也可以用锥形产形轮加工。用平面产 形轮加工小轮，为了增加产形轮的自由度，产形轮和工件之间的传动比可以变化，以适应 小轮的齿面修正。这种方法需在安装有变性机构的机床上加工。因此，我们把这种加工方 法称为变性法。用锥形产形轮加工小轮，产形轮和工件的传动比通常是恒定的。只有带刀 倾机构的机床才能构成锥形产形轮，所以这种加工方法称为刀倾法，汽车齿轮多采用这种 方法。 用刀倾法和变性法加工小轮时，小轮的两侧齿面是分开加工的，为了提高小轮的加工 效率，在有刀倾机构和螺旋运动机构的机床上加工小轮时可以同时加工两侧齿面，用这两 种机构联合起来修正小轮齿面，这种加工方法称为双重螺旋运动法，主要用于小模数齿轮 的加工1 3 0 1 。 3 1 2 齿面修正 螺旋锥齿轮在加工时，为了在展成齿面的同时也加工出齿根曲面，应该使刀盘的刀尖 平面与工件的根锥相切，即刀盘轴线应该垂直于根锥。将加工好的大轮和小轮装配在一起 并画出它们的刀盘( 如图3 - 3 ) n 知- 两刀盘轴线根本不能平行。由齿轮啮合原理知道，这样 加工出来的齿轮是无法正确啮合的。因此，必须对齿面进行修正。考虑n d , 轮齿数较少， 所以通常对小轮按照“局部共轭原理”进行修正【1 2 3 9 1 。 硕士学位论文 第三章螺旋锥齿轮齿面的数学建模 图3 3 齿轮啮合时刀盘相对位置 局部共轭原理见图3 - 4 。根据用展成法或成形法加工好的大轮齿面，用齿轮啮合原理 求出与大轮完全共轭的小轮齿面。这种小轮齿面虽然理论上存在，但在现有的铣齿机上是 无法加工出来的。这时可以在小轮齿面上选择一个基准点m ，然后将m 点的周围轻轻地 出一层，离m 点越远的地方铲得越多一些，把理论齿面修成一个与理论齿面在m 点相切 而又能为铣齿机加工出的真实齿面。将这种真实齿面再与大轮啮合，其接触区不再布满整 个齿面而是形成一个以m 点为中心的近似于椭圆的局部接触区。 图3 4 局部共轭原理 完全共轭的齿轮副理论上有很多优点，例如它具有很大的承载能力，运转平稳而无噪 声。但是完全共轭的齿轮副有一个很大的缺点，就是可调性差。它要求齿轮的制造和安装 都没有误差，否则容易造成载荷集中于齿轮边缘而使齿轮破坏。局部共轭的齿轮副正好能 克服这一缺点，它在正确安装位置时，其接触区位于齿轮中部，如果安装位置有误差，接 触区只会在中点附近移动而不会使载荷集中到轮齿边缘上去。实践证明，这种齿轮副的使 用效果要比完全共轭的齿轮副好得多。利用局部共轭原理进行螺旋锥齿轮加工是现代轮齿 加工中一种先进的加工方法。 硕士学位论文 第三章螺旋锥齿轮齿面的数学建模 3 1 3 切齿机床的调整参数