第三章_通信原理《随机过程》.ppt

在通信系统中 随机过程是非常重要的数学工具 因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性 它们不能用一个确定的时间函数来表示 而必须根据随机过程的理论来描述 本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概念的基础上 着重介绍通信系统中常见的几种重要的随机过程的统计特性 以及随机过程通过线性系统的情况 第三章随机过程 3 1随机过程的基本概念3 2平稳随机过程3 3高斯随机过程3 4平稳随机过程通过线性系统3 5窄带随机过程 了解 3 6正弦波加窄带高斯噪声 了解 3 7高斯白噪声和带限白噪声3 8小结 主要内容 一 随机过程 二 随机过程的分布函数 三 随机过程的数字特征 3 1随机过程的基本概念 一 随机过程什么是随机过程 我们以通信机为例 理解随机过程的定义 角度1 随机过程是所有样本函数的集合 随机过程是一类随时间作随机变化的过程 它不能用确切的时间函数描述 随机是指取值不定 仅有取某值的可能而无确切的取值 过程是指其为时间t的函数 可从两种不同角度看 例如 有N台性能完全相同的通信机 工作条件相同 用n部记录仪同时记录它们的输出噪声 N部通信机的噪声输出记录 测试结果表明 得到的n张记录图形并不因为有相同的条件而输出相同的波形 恰恰相反 即使n足够大 也找不到两个完全相同的波形 这就是说 通信机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的 因而它是一个随机过程 因此从这个角度得到随机过程的这种定义 随机过程是所有样本函数的集合 测试结果的每一个记录 都是一个确定的时间函数 称之为样本函数或随机过程的一次实现 全部样本函数构成的总体 就是一个随机过程 记作 角度2 现在 我们在某一特定时刻如时刻观察各台接收机的噪声 可以发现在同一时刻 每个接收机的输出噪声值是不同的 它在随机变化 即随机过程在任意时刻上的取值是一个随机变量 因此 我们得到随机过程的另一种定义 随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合 随机过程的定义 角度1 随机过程是所有样本函数的集合 角度2 随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合 随机过程的基本特征 首先它是时间的函数 其次它在任意时刻上的取值是一个随机变量 思考 随机变量与随机过程有啥区别和联系 随机变量的样本是一个实数值的集合 而随机过程的样本是时间函数的集合 随机过程在某一确定时刻的值是一个随机变量 二 随机过程的分布函数 设表示一个随机过程 则在任一时刻上的值是一个随机变量 其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述 并把它们定义为随机过程的一维分布函数和一维概率密度函数 一维分布函数 一维概率密度函数 一维分布函数 一维概率密度函数 一般情况下 和即是的函数 又是时间的函数 很显然 一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程在任一瞬间的统计特性 它对随机过程的描述很不充分 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布 t 的n维分布函数 t 的n维概率密度函数 n越大 对随机过程的描述越充分 三 随机过程的数字特征 在大多数情况下 往往不容易或不需要确定随机过程的整个统计特性 而只需要知道它的一些数字特征就可以了 随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广而得到的 其中最常用的是均值 数学期望 方差和相关函数 1 均值 数学期望 设随机过程在给定瞬时的值为 它是一个随机变量 它对应的概率密度函数为 其数学期望 显然是时间的函数 由于是任意指定的 直接写为 则上式改写为 上式定义为随机过程的均值 数学期望 显然它是时间的函数 记为 上图画出了3个样本函数 细线 及它的数学期望 实线 均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 a t 2 方差 它表示随机过程在时刻t对于均值a t 的偏离程度 是一维统计特性 总是正数 随机过程的方差为 显然 方差也是时间的函数 记为 因为 所以随机过程的方差也等于随机过程均方值减去均值的平方 即 均方值 均值平方 方差 数学期望和方差是随机过程的重要数字特征 但它们仅与随机过程的一维概率密度函数有关 只描述了随机过程在各个孤立时刻的特性 为了衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的而关联程度 常采用相关函数或协方差函数 3 相关函数 是二维概率密度函数 1 随机过程的协方差函数 B t1 t2 描述了随机过程 t 在任意两个时刻t1和t2 相对均值的起伏量之间的相关程度 2 随机过程的相关函数 是随机过程在任意两个时刻和上的两个随机变量 是二维概率密度函数 协方差函数 相关函数体现了随机过程的二维统计特性 3 协方差函数与相关函数的关系 若随机过程的数学期望为零 则协方差函数与相关函数是相同的 即使数学期望不为零 协方差函数与相关函数尽管形式不同 但它们所描述的随机过程内部联系的效果是相同的 本书将采用相关函数 4 互相关函数 互概率密度或联合概率密度 如果把相关函数的概念引伸到两个随机过程中 就得到互相关函数 它的定义如下 相应的衡量同一过程的相关函数称为自相关函数 习题3 2设随机过程可表示为式中是一个离散随机变量 且 试求和 习题3 2设随机过程可表示为式中是一个离散随机变量 且 试求和 代表求时的数学期望 解 代表求时的自相关函数 习题3 2设随机过程可表示为式中是一个离散随机变量 且 试求和 代表求时的自相关函数 3 2平稳随机过程 一 定义 二 各态历经性 三 平稳过程的自相关函数 四 平稳过程的功率谱密度 平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程 它在通信系统的研究中有着极其重要的意义 一 平稳随机过程的定义 平稳随机过程 若随机过程n维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关 即 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程 简称严平稳随机过程 如果已知某随机过程是严平稳的 下面来研究它的一维分布函数和一维概率密度函数 根据平稳的定义 一维分布函数与一维概率密度满足 这就是说平稳随机过程的一维分布和概率密度与时间是无关的 上述表示式中的t可以省略 因此 平稳随机过程的一维分布和概率密度可分别简化为 和 同理 二维分布只与时间间隔 有关 结论 平稳随机过程的 一维分布与时间无关 二维分布仅与时间间隔 有关 随着分布函数和概率密度的简化 平稳随机过程的数字特征也可以相应地得到简化 平稳随机过程的均值 即平稳随机过程的均值为常数 平稳随机过程的方差 即平稳随机过程的方差为常数 平稳随机过程的自相关函数 即平稳随机过程的自相关函数仅仅是时间间隔的函数 结论 平稳随机过程的均值 和方差是与时间t无关的常数 自相关函数只是时间间隔 的函数 而与所选取的时间起点无关 在工程中 我们常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性 并把同时满足均值为常数 自相关函数只与时间间隔有关的随机过程定义为广义平稳随机过程 显然 严平稳必定是广义平稳 反之不一定成立 在通信系统中所遇到的信号及噪声 大多可视为平稳的随机过程 以后的讨论除特殊说明 均假定是广义平稳的 简称平稳 下面我们来看一道例题 来判断一个随机过程是否是平稳随机过程 例题 某随机过程是一个幅度 角频给定的正弦波 其相位值是随机的 即式中 与为常数 在内均匀分布随机变量 试证明其为广义平稳过程 例题 某随机过程是一个幅度 角频给定的正弦波 其相位值是随机的 即式中 与为常数 在内均匀分布随机变量 试证明其为广义平稳过程 解 按广义平稳的定义 只要证明均值为常数且自相关函数仅与时间间隔有关即可 可见 其均值为常数 自相关函数仅与时间间隔有关 此随机过程为广义平稳随机过程 思考 为什么均值为常数 自相关函数仅与时间间隔有关 就可判断此随机过程为广义平稳随机过程 而不用考虑方差呢 已经证明了均值为常数 自相关函数仅与时间间隔有关 也为常数 二 各态历经性 我们知道 随机过程的数字特征 均值 相关函数 是对随机过程所有样本函数的统计平均 但在实际中常常很难测得大量的样本 因此我们自然会想到能否由一次试验而得到的样本函数来决定平稳过程的数字特征呢 回答是肯定的 平稳过程在满足一定条件下具有一个有趣而又非常有用的特性 称为各态历经性 各态历经性条件设 x t 是平稳过程 t 的任意一次实现 样本 则其时间均值和时间相关函数分别定义为 如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性 也就是说 平稳过程的统计平均等于它的任一实现的时间平均值 则称该平稳过程具有各态历经性 注意 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程 反之不一定成立 在通信系统所遇到的随机信号与噪声 一般均能满足各态历经条件 各态历经 的含义 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态 因此 在求解各种统计平均时 无需多次考察 用一次实现的 时间平均 值代替过程的 统计平均值 即可 从而使测量和计算大为简化 三 平稳过程的自相关函数 前面已经提到 平稳随机过程的自相关函数仅仅是的函数 因此它的自相关函数有如下表示式 它描述了平稳随机过程在相隔的两个瞬间的相关程度 它具有如下性质 1 的统计平均功率 证明 令 3 即自相关函数在时有最大值 可根据来证明 4 即为平稳随机过程的直流平均功率 5 即为平稳随机过程的交流平均功率 可见 平稳随机过程的自相关函数与均值 方差及功率有一定的关系 尤其是与平稳随机过程的功率谱密度之间有一个更重要的实用的关系 下面我们就来看一下平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间的关系 对于确定信号 我们常在时域和频域中来分析和讨论问题 确定信号的自相关函数与其功率谱之间是一对傅立叶变换对 见信号与系统 对于平稳随机信号 可以证明也有同样的对应关系 四 平稳过程的功率谱密度 上述关系通常称为随机过程的维纳 辛钦定理 即 在维纳 辛钦关系的基础上 我们得到以下结论 1 对功率谱密度进行积分 可得到平稳过程的总功率 2 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度 3 功率谱密度具有非负性和实偶性 例题 已知某平稳随机过程 其中 在内均匀分布 求它的功率谱密度及功率 解 则功率 3 3高斯随机过程 一 高斯随机过程的定义 二 重要性质 三 高斯随机变量 高斯过程 也称正态随机过程 是通信领域中最重要也是最常见的一种过程 通信中的大多数噪声都是高斯型的 本节将介绍一些有用的高斯过程的性质 如果过程的任意n维分布服从正态分布 则称它为正态过程或高斯过程 其n维概率密度函数为 一 高斯随机过程的定义 式中 归一化协方差矩阵的行列式 即 行列式中元素的代数余因子 归一化协方差函数 二 重要性质 1 由定义式可以看出 高斯过程的n维分布只依赖各随机变量的均值 方差和归一化协方差 因此 对高斯过程 只需要研究它的数字特征就可以了 2 广义平稳的高斯过程也是严平稳的 即它们也是统计独立的 3 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 即对所有有 这时有 4 高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程 高斯过程在任一时刻的取值是一个正态分布的随机变量 也称高斯随机变量 其一维概率密度函数为 三 高斯随机变量 式中 和分别为高斯随机变量的均值和方差 可由下图表示 1 对称于这条直线 即有 2 在内单调上升 在内单调下降 且在点a处达到极大值 当时 3 4 对于不同的a 固定 表现为图形左右平移 对不同的 固定a 的图形将随的减小而变高和变窄 当 0 1时 称这种正态分布为标准化的正态分布 这时有 在通信系统的性能分析中 常需要计算高斯随机变量小于或等于某一取值的概率 它等于概率密度的积分 我们把正态分布的概率密度积分定义为正态分布函数 它可表示为 这个积分的值无法用闭合形式计算 我们一般把这个积分式与可在数学手册上查出函数值的一些特殊函数联系起来计算其值 一种是用误差函数描述 另一种是用Q函数来表示 用误差函数表示正态分布函数 误差函数 补误差函数 另外 当时 当时 3 4平稳随机过程通过线性系统 一 平稳随机过程通过线性系统后的数学期望 二 平稳随机过程通过线性系统后的自相关函数 三 的功率谱密度 四 的概率分布 前面对随机过程本身的一些特性作了必要的讨论 现在我们来讨论平稳随机过程通过线性系统的情况 一 平稳随机过程通过线性系统后的数学期望 为线性系统频率响应函数在频率为0时的值 结论 二 平稳随机过程通过线性系统后的自相关函数 结论 自相关函数只依赖时间间隔 而与起点无关 可见输出仍是广义平稳的 三 的功率谱密度 结论 输出功率谱密度是输入功率谱密度与的乘积 四 的分布 结论 高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯的 例3 4 1试求功率谱密度为的白噪声通过理想低通滤波器后的功率谱密度 自相关函数及噪声功率 解 因为理想低通传输特性可由下式表示 3 5窄带随机过程 一 窄带随机过程的基本概念 三 和的统计特性 二 和的统计特性 一 窄带随机过程的基本概念 若观察此随机过程的一个实现的波形 则它如同一个包络和相位缓慢变化的正弦波 如图所示 若随机过程 t 的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围 f内 即满足 f fc的条件 且fc远离零频率 则称该 t 为窄带随机过程 a 窄带随机信号的功率谱密度 b 窄带信号的波形 它们变化比载波缓慢得多 因此 窄带随机过程可以用下式表示 是窄带随机过程的包络函数 是窄带随机过程的随机相位函数 窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量的形式 同相分量 正交分量 由 可见 的统计特性可由和 或者和的统计特性确定 反之 若的统计特性已知 则和 或者和的统计特性也随之确定 下面我们就给出一个今后很有用的例子 假设是一个均值为0 方差为的平稳高斯窄带过程 我们来分析和以及和的统计特性 二 和的统计特性 结论 一个均值0的平稳窄带高斯过程的同相分量和正交分量也是均值为0的平稳高斯过程 并且其方差相同 都等于的方差 此外 在同一时刻上得到的和是不相关的和统计独立的 三 和的统计特性 现给出窄带平稳随机过程的包络和相位的概率密度函数 它们的计算都较繁琐 可见 包络服从瑞利分布 可见 相位服从均匀分布 结论 一个均值为0 方差为的平稳窄带高斯过程 其包络的一维分布是瑞利分布 而相位的一维分布是均匀分布 3 6正弦波加窄带高斯过程 了解 是通信中常遇到的又一种情况 混合信号的形式 正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数一般是莱斯分布 若幅度较小时 为瑞利分布 当幅度较大时 为高斯分布 相位概率密度函数计算较复杂 略 3 7高斯白噪声和带限白噪声 在分析通信系统的抗噪声性能时 常用高斯白噪声作为通信系统中的噪声模型 因为通信中常见的热噪声近似为白噪声 且热噪声的取值服从高斯分布 另外 实际的信道或滤波器的带宽存在一定限制 白噪声通过后 其结果是带限噪声 若其谱密度在通带范围内仍具有白色特性 则称其为带限白噪声 它又可以分为低通白噪声和带通白噪声 一 白噪声n t 白噪声的自相关函数 对双边功率谱密度取傅里叶反变换 得到相关函数 对于所有的都有 这表明白噪声仅在时才相关 而在任意两个不同时刻的随机变量都是不相关的 白噪声和其自相关函数的曲线 白噪声的功率 由于白噪声的带宽无限 其平均功率为无穷大 或 因此 真正 白 噪声是不存在的 它只是构造的一种理想化的噪声形式 这里的 白 是借用光学中白光的意思 白光指在电磁辐射可见范围内所有频率分量的数值都相等 实际中 只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带 我们就可以把它视为白噪声 如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布 则称之为高斯白噪声 二 低通白噪声 定义 如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道 则输出的噪声称为低通白噪声 功率谱密度 自相关函数 功率谱密度和自相关函数曲线 三 带通白噪声 定义 如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道 则输出的噪声称为带通白噪声 功率谱密度 自相关函数 功率谱密度和自相关函数曲线 窄带高斯白噪声 通常 带通滤波器的B fc 因此称窄带滤波器 相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声 窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3 5节 平均功率 3 8小结 随机过程具有随机变量和时间函数的特点 可以从两个不同却又紧密相连的角度来描述 1 随机过程是无穷多个样本函数的集合 2 随机过程是一族随机变量的集合 通信中的信号和噪声都可看作随时间变化的随机过程 因此 本章是分析通信系统必需的数学基础和工具 随机过程的统计特性由其分布函数或概率密度函数描述 若一个随机过程的统计特性与时间起点无关 则称其为严平稳过程 数字特征则是另一种描述随机过程的简洁手段 若过程的均值为常数 且自相关函数仅与时间间隔有关 则称该过程为广义平稳过程 若一个过程是严平稳的 则它必是广义平稳的 反之不成立 若一个过程的时间平均等于对应的统计平均 则该过程是各态历经的 若一个过程是各态历经的 则它也是广义平稳的 反之不一定成立 高斯过程的概率分布服从正态分布 它的完全统计描述只需要它的数字特征 一维概率分布只取决于均值和方差 二维概率分布主要取决于相关函数 高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程 正态分布函数与误差函数的关系在分析数字通信系统的抗噪声性能时非常有用 广义平稳过程的自相关函数是时间间隔的偶函数 且等于总平均功率 是的最大值 功率谱密度是自相关函数的傅立叶变换 这对变换确定了时域和频域的转换关系 窄带随机