（理论物理专业论文）低维系统的混沌控制及时空系统的斑图动力学.pdf

摘要 本文主要对非线性自治混沌系统频率特性、延迟反馈法( d f c 法) 控制混沌、利用线性可逆变换提高d f c 法控制混沌的质量、套锁打靶 方案和二维耦合系统阵列中的靶环波及其空间无序现象进行了研究。 利用数值计算的方法，我们对低维和二阶延迟( 无穷维) 自治混沌系 统( 通过计算最大李雅普诺夫指数构造并筛选出的一系列二阶连续延 迟) 的频率特性进行了研究，发现系统中的参量与系统周期及各个周期 之间的关系。进一步应用h o p f 分支理论给出两类系统产生稳定分支周 期解的临界位置、基本周期近似值及相应的稳定性和分支方向特征量。 其次，从理论上解析地给出d f c 法可控制三阶自治混沌系统的一 般条件，着重讨论了系统在控制意义下出现稳定周期解的条件及相应 周期解的稳定性和分支方向判据，并且通过两个三维自治混沌系统的 控制实例验证了理论分析方法的实用性。 基于线性可逆变换的思想，我们提出一种有效提高d f c 法控制混 沌质量的方法，巧妙地用变换后单路控制信号替代变换前多路信号对 混沌系统的控制作用，并给出了满足系统可控的条件。 同时，还提出一种新的套锁打靶方案，该方案法不仅理论分析简 单且实现方便，可同时应用于离散和连续混沌系统，能够在短时间内 引导混沌系统的轨线进入目标态邻域内或者直接命中目标态。 最后，我们以c h e n 系统和l o r e n z 系统作为元胞构建二维耦合系 统阵列，通过数值模拟，分别在其中发现了靶环波现象的存在，并在 不同条件下观察到了破缺诱发空间无序现象。 本文将理论分析与数值模拟紧密结合起来，所得出的结果对于有 效控制混沌及进一步探索反应扩散系统中的斑图动力学行为具有极为 重要的意义。 关键词：混沌混沌控制h o p f 分支可逆线性变换套锁打靶靶环波 空间无序 a b s t r a c t t h ep a p e ri n v e s t i g a t e st h ec h a r a c t e r i s t i co ff r e q u e n c yi nn o n l i n e a r a u t o n o m o u sc h a o t i cs y s t e m s ，c o n t r o l l i n gc h a o sv i at h ev i a b l et i m e d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r o l ( d f c ) m e t h o d ，i m p r o v i n gt h ee f f i c i e n c yo fd f cm e t h o d t h r o u g hl i n e a r i n v e r t i b l et r a n s f o r m ，n o o s et a r g e t a n dt a r g e tw a v e sa n d s p a t i a ld i s o r d e ru n d e r d i f f e r e n tc o n d i t i o n si nt h et w oc o u p l e d1 a t t i c e s t h ec h a r a c t e r i s t i co ff r e q u e n c yi ns o m e1 0 w - d i m e n s i o n a ls y s t e m sa n d s e c o n d o r d e rc o n t i n u o u sd e l a y e dc h a o t i cs y s t e m sr i e i n f i n i t e d i m e n s i o n a l c h a o t i c s y s t e m s ，f o r m u l a t e d a n dc h o s e nb yc o m p u t i n gt h em a x i m u m l y a p u n o ve x p o n e n t ) h a v eb e e ns t u d i e dn u m e r i c a l l y w ef i n dt h er e l a t i o n s b e t w e e nt h ep a r a m e t e r sa n ds y s t e m i cp e r i o d sa n dt h ec o n n e c t i o na m o n g d i f f e r e n ts y s t e m i cp e r i o d s i na d d i t i o n ，t h ep r a c t i c a lm e t h o d so ft h et h e o r y o f h o p fb i f u r c a t i o n a r e a p p l i e d t o a n a l y z e s o m ee s s e n t i a l s y s t e m i c p a r a m e t e r s ，s u c h a st h ec r i t i c a l p o i n t a tw h i c ht h e p e r i o d i c a l s o l u f i o n a p p e a r , t h ea p p r o x i m a t i o no ft h e f o u n d a t i o n a lp e r i o d ，t h es t a b i l i t ya n d d i r e c t i o no f h o p f b i f u r c a t i o n w ea n a l y t i c a l l yd e t e r m i n es o m eg e n e r a lc o n d i t i o n so ft i m e d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r o lo ft h r e e d i m e n s i o n a la u t o n o m o u sc h a o t i cs y s t e m s w i m t h i sm e t h o d ，ac r i t e r i o nf o rt h es t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o nu n d e rc o n t r o l a n df o rt h ed i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o ni sd e r i v e dt h e o r e t i c a l l ys t u d i e d a p p l y i n g t h em e t h o dt oc o n t r o ls o m et h r e e d i m e n s i o n a la u t o n o m o u s c h a o t i cs y s t e m s t h ef e a s i b i l i t yo f t h ea n a l y t i cr e s u l t si sc o n f i r m e d as c h e m e w h i c hc a nb eu s e dt oe f f e c t i v e l yi m p r o v e 恤eq u a l i t yo f t i m e - d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r o lo fc h a o s ，i s p r o p o s e d b a s e do nl i n e a r i n v e r t i b l e t r a n s f o r m t h r o u g ht r a n s f o r m i n gp a r t s o ft h e s y s t e m s t a t e v a r i a b l e si nt h e c o r r e s p o n d i n gs u b s p a c e ，w e c a ns u c c e s s f u l l yc o n t r o l c h a o sw i t l ls i n g l et i m e d e l a y e df e e d b a c ks i g n a li n s t e a do fm u l t i s i g n a l si n t h eo r i g i n a t es y s t e mb e f o r et h et r a n s f o r m a t i o n t h e r e f o r e ，t h ec o n d i t i o n s m a te n s u r et h es y s t e mw o u l db es t a b i l i z e dc a nb ef o u n dt h e o r e t i c a l l y an o v e ln o o s et a r g e tm e t h o d ，b e i n gb o t hs i m p l ea n dc o n v e n i e n t ，i s a d v a n c e d 1 1 1 em e t h o dc a l lb eu s e dt o t a r g e t c h a o si nd i s c r e t ea n d c o n t i n u o u ss y s t e m s t h e r e f o r e ，i ti sa b l et ol e a dt h ec h a o t i co r b i tt ot h e n e i g h b o r h o o do f t h et a r g e to rh i tt h et a r g e td i r e c t l yi nv e r ys h o r tt i m e t w os y s t e m so ft w oc o u p l e dl a t t i c e s a r ef o r m e di na no s c i l l a t o r y m e d i a c o m p o s i n g o fc h a o t i cc h e l aa n dl o r e n zs y s t e mr e s p e c t i v e l y w ef m d t a r g e tw a v e si nt h ec o u p l e dl a t t i c e sa n dd i f f e r e n tt y p e so ft r a n s i t i o n s t o s p a t i a ld i s o r d e ru n d e r d i f f e r e n tc o n d i t i o n sv i an u m e r i c a la n a l y s i s n l ea n a l y t i ca n dn u m e r i cm e t h o d sa r ei n t e g r a t e dc l o s e l yi nt h i sp a p e r t h er e s u l t sa b o v ea r es i g n i f i c a n ti nt h ee f f e c t i v ec o n t r o l l i n gc h a o sa n dt h e f i a r t h e rr e s e a r c ho f t h ep a a e m d y n a m i c si nt h er e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s k e y w o r d ：c h a o s ，c h a o sc o n t r o l ，h o p f b i f u r c a t i o n ，l i n e a r i n v e r t i b l e t r a n s f o r m ，n o o s et a r g e t ，t a r g e tw a v e ，s p a t i a ld i s o r d e r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：盔塑! ! 日期：塑竺：三 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：l 塾望塑9 指导教师签名：学位论文作者签名：杰丝型鲨，指导教师签名： 日 期：竺监! ：! 同 期： 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 盘箜。! ! 三 第一章引言 混沌是发生在一类确定性非线性系统中的一种类似随机运动的现 象，其基本特征之一是：混沌运动对于初始条件的微小变化具有高度 的敏感性，即从两个近邻的初始轨道出发，随时间演化混沌轨道将呈 指数方式分离。上世纪六十年代初，美国气象学家l o r e n z 在研究大气 层的热对流问题时，在他所建立的具有确定性的非线性方程( 现被称为 l o r e n z 方程) 中“1 ，通过计算机模拟发现该方程的数值解具有对初始条 件的极端敏感性，l o r e n z 把系统的这种特征用“蝴蝶效应”作了生动 的比喻( “d o e st h ef l a po fa b u t t e r f l y sw i n g s i nb r a z i ls e to f fat o r n a d oi n t e x a s ? ”) 。此后，在各个学科领域的诸多系统如物理、机械、电子学、 化学甚至在社会和经济学系统中均已发现混沌现象的存在。4 1 。在深入 研究混沌行为的同时，人们也在思考如何消除混沌对系统的影响( 或危 害) 及如何有效利用混沌的问题。无论是消除还是利用混沌，其前提首 先是如何驾驭混沌( 即控制混沌) 。有关混沌控制的基本概念、理论及方 法，我们将在下一节中作简要介绍。这里应该指出的是：控制( 包括同 步) 混沌的研究已成为当今非线性科学领域的热点之一。在这个研究方 向上还有许多尚待探讨的问题，这也是本论文选择对此类问题展开研 究的一个基本出发点。 前面提到的l o r e n z 系统是一个由常微分方程描述的系统，它是以 一个时空变化的偏微分方程为原形，通过谱分析截断方法近似得到的。 实际上，自然界中的现象几乎都是在一定的时间和空间中出现的，换 言之，这些系统( 包括前面提到的各个学科领域的各类系统) 的动力学行 为既与时间有关又和空间( 位置) 相关，人们将其统称为时空系统。时一 空斑图。”就是此类系统中存在的典型现象之一。本章的第二节将对时 一空斑图的概念及处理以反应扩散方程为代表的时空系统的数值分析 方法作扼要介绍。 1 1 控制混沌 混沌现象的主要特点之一是系统的演化对初始条件的极端敏感 1 性。从长时间的意义上讲，系统未来的行为是不可预测的。在许多实 际问题中，混沌都被视为一种有害的运动形式，它会降低动力系统的 性能，限制系统的可操控性，甚至可能带来各种灾难，例如，在化学 反应中，流体系统的混沌行为将导致各种相干结构和有序运动被破坏； 束控热核反应装置中的混沌会产生磁约束的泄露；核电站循环水系统 中的有害混沌回流等等”1 。因此，若能够采用适当的方法和策略积极 主动且有效地控制混沌，一方面努力消除混沌的有害性，另一方面充 分发挥混沌的可用性，这无疑对混沌的实际应用有着极为重要的意义。 1 9 9 0 年美国马里兰大学的o t t 、g r i b c i g i 及y o r k e 三位科学工作者 首次从理论上提出利用参量微扰反馈的方式实现了对混沌的有效控 制，简称o g y 方法。1 。科学工作者对混沌系统的大量研究结果已经清 楚地表明：混沌吸引子中的轨道是由无穷多不稳定的周期轨道组成的； 混沌轨道具有稠密性。o g y 方法正是利用了混沌运动的这些特点，通 过对系统可调参量的微扰，追使系统的演化轨道无限地接近预先设置 的目标轨道，即在控制的意义下系统的混沌态被稳定到周期念。自 o g y 的研究工作报道后，在近十余年中，各种控制混沌的方案相继被 提出”1 ，它们或是利用反馈方法，将系统自身的部分( 或全部) 输出信 号通过某种方式反馈至系统的输入端实施控制，如o g y 方法、延迟反 馈法o 、变量脉冲反馈法1 等：或是利用非反馈方法，根据预先设定 的目标态直接对混沌系统加入控制信号，即通过实施外部干预“强行” 改变系统的演化行为，例如周期信号驱动法“、周期拍方法“等。虽 然各种控制方案不尽相同，但其控制混沌的基本出发点都是一样的， 即用尽可能小的代价获得大的收益，也就是说将混沌系统控制到某个 目标态( 我们需要的或预先设定或未知的状态，一般指周期态1 。 在不断探索新的混沌控制方案的同时，人们也在努力发展和完善 现有控制方法。在各种控制方法中，由于延迟反馈控制法( 以下简称 d f c 法) 不需要预先知道被控制系统较多的信息且实现简单，所以在实 际控制问题中得到了极为广泛的应用。然而，对一个有限维自治混沌 系统实施变量延迟反馈控制后，控制系统将变为具有延迟项的动力学 系统，它的维数也相应地为无穷维。文献 1 7 ，1 8 曾提出确定这类控制 2 系统的控制条件的解析方法，虽然引文 1 7 ，1 8 从理论上给出某些控制 参量的具体范围，但这些结果仅具有必要性而缺乏充分性的论证。另 外，由于d f c 法控制混沌具有较为广泛的应用性，因此研究如何既能 提高该方法控制混沌的质量( 控制参量的可选择范围更大，控制的效果 更好1 又便于理论分析的最佳控制方案，这是一个十分有意义的问题。 1 2 时- 空斑图 自然界中存在着丰富的时空复杂行为，前面提到的时空斑图就是 是在时间或空间上具有某种规律性的非均匀宏观结构，例如宇宙中的 星云、水面的波浪等，它们都是在远离热力学平衡态的条件下形成的 时空斑图现象“”f 本文的研究范围仅限于远离平衡态条件下时空系统 的斑图动力学行为1 。对于此类现象，人们一般用反应扩散方程来描述： 等= f ( x + d v 2 x ( 1 2 1 ) 其中只x 脚代表反应项，置是系统中的参量，d v 2 x 为空问扩散项， d 为扩散系数，v2 为拉普拉斯算符。许多物理系统的时空动力学行为 都可以表述为类似( 1 2 1 ) 的形式，以上我们所列举的时空斑图现象的 形成正是系统中反应项和扩散项之间相互耦合作用的结果，它是时空 系统在远离平衡态的条件下，经过一系列非平衡相变自发产生的时空 动态或定态图样，人们也将这一过程称为时空系统中的自组织现象。 由于方程( 1 2 1 ) 属于时间和空间都连续的非线性偏微分方程，因此，对 它的求解一般情况下是非常复杂的，特别是在远离平衡态的条件下， 反应项，( x 励中的非线性项将起主导作用，此时方程的解对初值的变 化是极为敏感的，这就使得我们很难确切掌握时空系统局域动力学性 质及其时空特性对局域动力学行为的响应。因此，c h u a 等人提出对偏 微分方程进行空间离散化，从而将系统分割为若干个相互耦合的空间 格点( 即元胞) ，使偏微分方程简化为大量常微分方程的耦合，最终形成 一个完整的耦合常微分方程系统阵列，其一般形式f 以二维耦合系统阵 列为例) 如下： 3 毫= 善= g ( 匕，置) + d ，( 巧) f ，= 1 ，2 ，n ( 1 2 2 ) “l 这里，为系统阵列的空间尺寸( 即系统阵列( 1 2 2 ) 由n n 个常微分 方程组成) ，d ，( i ，) 为空间扩散项，( e ) 表征系统( 1 2 2 ) 中格点之 间的耦合方式( 例如j r ( 巧) = i + 1 ，+ l 】：_ l ，+ + ，+ l = ；，。一4 巧代表格点之 间的最近邻耦合) 。迄今为止，在耦合常微分方程系统中已发现许多丰 富的时空斑图现象，其中包括螺旋波”“2 “、空间无序。2 1 和不稳定的时 空混沌等。在这些时空斑图现象中，空间无序可以表现为点状无序、 线状无序及空间混沌等，它是从各类稳定的时空斑图现象( 包括螺旋波 等) 向不稳定的时空混沌现象过渡的重要途径之一。因此，对空间无序 现象的形成条件和形成过程的深入研究将为我们进一步探索时空混沌 ( 特别是湍流) 现象奠定坚实的基础。 本文将从以下几个方面对混沌控制及时一空斑图现象展开研究： 1 利用理论分析和数值计算方法，研究三维( 低维) 非线性自治系统的 频率特性，解析地确定出系统开始出现稳定周期解的临界位置，基 本周期的近似值及分支( 即分岔) 方向等有关特征量： 2 通过计算最大李雅普诺夫指数，构造并筛选出一系列二阶连续延迟 混沌系统，并以此为基础研究无穷维混沌系统的频率特性，借助延 迟系统h o p f 分支理论对此类系统进行分析； 3 解析地确定出用d f c 法可控制三阶自治混沌的一般条件，并且给 出控制参量的选择范围及相应控制结果的稳定性判据； 4 基于线性可逆变换的思想，提出一种有效提高d f c 法控制混沌质量 的控制方案； 5 提出一种套锁打靶方案，将其分别应用于离散、连续混沌及超混沌 系统的打靶问题； 6 以c h e n 系统和l o r e n z 系统作为元胞构建二维耦合系统阵列，发现 靶环波现象的存在，并对其不同条件下的破缺诱发空间无序现象展 开讨论。 4 第二章低维自治混沌系统频率特性的研究瞳4 1 2 1 基本思想 混沌吸引子中镶嵌着无穷多条不稳定的周期轨道。混沌控制的目 的之一就是利用某种方法和策略将这些不稳定的周期轨道中的某一条 作为目标轨道稳定住。基于这一目的，在现有的一些控制方法( 例如 d f c 法“、比例脉冲法“4 1 等冲，人们往往需要或期望知道目标轨道的 周期大小，以便有效地设定控制参量并达到最佳的控制效果。 我们知道在一类受周期信号驱动的非线性非自治系统中，系统出 现的各种周期( 或频率) 都与驱动信号的周期( 或频率) 有十分明确的倍 数( 或分数) 关系。控制这类系统的混沌态时很容易选择与目标轨道的 周期接近或一致的时间长度。然而，对于非线性自治系统而言，一般 来说，系统的频率会随着参数的变化而发生漂移。因此，在使用诸 如d f c 法等与目标轨道周期有关的混沌控制方法中，如何保证所选定 的时间长度与目标轨道的周期一致或接近，就成为实现混沌的有效控 制以及提高控制质量的关键问题。 对于多参量的混沌自治系统，其不同参量的变化对系统频率( 或周 期) 的影响是不同的。例如，在非线性自治电路系统中，一般情况下， 系统中除非线性器件外还应包含线性电感、电容和电阻。按照线性电 路理论，影响线性电路系统频率变化的主要参量是电感和电容，而线 性电阻的变化对系统频率的影响很小，基本上可以忽略。那么在非线 性电路系统中线性电阻的变化对系统频率的影响又是怎样呢? 一般来 说，它们之间的解析关系很难像线性系统一样有明确的表达形式。通 过对一批非线性自治电路系统的数值模拟，我们得到这样的结论：在 非线性电路系统中，线性正电阻值的改变对系统周期( 或频率) 的影响也 很小；系统各周期轨道( 包括稳定和不稳定) 的周期( 或频率) 与系统的基 本周期( 或频率) 在数值上存在近似地简单倍数( 或分数) 关系。 电路中的正电阻是一种耗能元件，如果建立电路系统的状态方程， 正电阻的作用可由方程中的衰减项表示出来，即对于一般的押阶电路 系统总可以写成如下形式： 土= b ( x ) + d ( x )( 2 1 1 ) 其中x = ( 。i ，一，t ，矗) 7 ，t 表示矩阵的转置，_ 对应电路中的某个电 压或电流，口( x ) = 慨只) 7 ，d ( x ) rx ，而r = d i a g ( r l ，i ，：t ) 为衰减项的常系数矩阵，这里 o 代表电路中的正电阻或正电导。式 ( 2 1 1 ) 中d ) 就是该系统的线性衰减项，曰 ) 是除d 之外的其它函 数。显然，方程( 2 1 1 ) 对应于物理上的耗散系统。 一般地，任意一个n 维耗散系统都可以被拆分或构造成式( 2 1 1 ) 的 形式。但有些系统本身可能不包含有衰减项，我们可以适当地引入一 个衰减项，也构成式( 2 1 1 ) 的形式( 只要令衰减项系数趋近于零，则还 原到原系统1 。 本章的主要研究内容：以三维( 低维) 非线性自治混沌系统为研究对 象，利用数值计算方法分析系统中参量的变化对系统周期的影响及系 统的基本周期与其它周期间的关系；对某些系统利用h o p f 分支( 即分 岔) 理论及算法，解析计算系统基本周期的近似值、分支点的位置( 系统 出现周期的位置) 、分支方向及周期解的稳定性。 2 2 非线性自治电路实例 图2 1 非线性电路 我们以图2 1 所示的电路作为一个例子，它是引文 2 6 中图1 ( a ) 虚线框内电路去掉c 3 ，三4 ，r l 4 元件后的简化电路。这里已将原电路中 c 5 ，k 5 用c 3 ，代替，电路状态方程为： 6 以i = ( u c l r i t 2 ) c l 矗2 = ( 1 一u c 3 一见2 i l 2 ) 厶 ( 2 2 1 ) u c ，= ( f ( i l 2 ) 一“c 3 r 3 ) c 3 对( 2 2 1 ) 式进行如下变换 玉= u c l ，= i l 2 p ，x 3 = 3 ，口= p e ，r = r l 2 p ，p = 三c = l k q 得到经过标度化后的电路状态方程 毫= a x i x 2 岛x 1x 3r x 2 ( 2 2 2 ) 毫= 8 ( x 2 3 ) h ( x 2 3 ) 一x 3 其中a = 0 3 ，h ( x 2 3 ) 为阶跃函数。实验中以，( 与线性电感的衰减电 阻有关的量) 作为可调参量。( 经过标度变换后，时间变量己无量纲 t = a t ，t 为变换前原系统的时间，口为常量，其量纲为t 量纲的倒数， 且对不同系统口的大小不同。这样，本文所提及到的与，相关的量( 例 如周期r ) 均无量纲。) 量7 | 匕签6 鞋凿蹬 雷： 0 ；on ：1 o 人1 。o j 0 8 2 州m 、辱氏8 频( 爵h z 图2 2 ( a ) 倍分岔的部分周期与r 的关系；( b ) 功率谱 利用四阶龙格一库塔数值算法，我们得到系统( 2 2 2 ) 在r ( 0 1 8 0 ， o 2 9 5 ) 区间内呈现倍周期分岔序列。图2 2 ( a ) 给出前三个倍周期分岔序 y i j ( 1 p 、2 p 、4 p ，这里p 表示周期) 的周期平均值( 算术平均值，以下同) r 与，之间的关系，显然在同一个周期范围内，周期大小基本不随衰减 项参量r 变化，而且系统的其它周期平均值都与基本周期的平均值有 7 近似地简单倍数关系。图2 2 ( b ) 从上至下分别对应基本周期 1 p ( r = o 2 8 6 ) 、反序列混沌带4 i ( r = 0 2 4 8 ) 7 ) 2 i ( r = o 1 9 8 ) 的功率谱，从 这张图中也反映出，系统的这三个状态的基本频率( 即基本周期) 几乎是 相等的，并且其分频与基频之间也有简单的分数关系。 2 3 一般非线性自治系统实例 r o s s l e r 系统”7 1 是描述复杂混沌行为的典型实例之一，其方程为： 毫x 2x 3 岛= x i + o 2 x 2( 2 3 1 ) x 3 = 0 2 + 五而一r 3 x 3 这里屹作为衰减项中的可调参量。 8 曼茬 辐6 嘉o 督6 0 6 图2 3 ( a ) 倍分岔的部分周期与1 3 的关系；( b ) 功率谱 图2 3 ( a ) 给出前几个倍分岔区内，系统周期与衰减项参量 之间的 关系。由图可见：在同一周期内，系统的周期仍基本不随 的变化而 发生漂移；并且不同周期的平均值都与系统的基本周期平均值具有近 似的倍数关系。图2 3 ( b ) 中的周期1 p ( _ _ 2 0 ) 和混沌功率谱2 i ( 吩= 4 3 ) 和1 i ( = 5 o ) 中的基频和分频的大小关系，也很好地说明系统的混沌吸 引子中不稳定轨道的周期与系统的基本周期也具有近似的倍数关系。 r 蘩一 考虑另一个实例s p r o t t s 方程。，以_ 作为系统的衰减项参量： 南= l 而一 x 2 = 五+ 巧2 ( 2 3 2 ) 岛= 1 + x i 萎坦厶 6 0 6 1 2 6 o 6 0005101 520 频率h z ( c ) 图2 4 ( a ) 系统( 2 3 2 ) 的却一 分岔图，其中右上角为h o p f 分支临界点附 近的分岔图；( b ) 部分倍分岔的周期与r l 的关系：( c ) 功率谱 图2 4 ( a ) 、c o ) 分别是数值计算系统( 2 3 2 ) 得到的分岔图和，l 与周期 r 的关系。由图2 4 可见：随着 的增大，系统状态呈现倍分岔；在同 一周期内，系统的周期基本不随n 变化；其它周期的平均值与基本周 期的平均值之间仍然存在简单的倍数关系，而图2 4 ( c ) 功率谱中的基频 和分频的大小也反映出它们之问有近似的倍数关系。 以上两个实例中，我们仅仅考虑了衰减项中参量的变化与系统周 期大小的关系，那么，除衰减项之外的其它参量对系统的周期是否有 影响呢? 我们以s p r o t t q ”系统为例，该系统的状态方程为： 毫= 一码 岛= 墨一r 2 x 2 ( 2 3 3 ) x 3 = 3 2 五+ 而2 + 0 5 x 3 以，吒作为系统的可调参量，其中吒为衰减项参量。 9 越 3 5 2 8 r 2 1 14 o 7 罩 蒹 靛 糌 雷 6 0 6 1 2 6 0 - 6 1 2 6 o - 6 频率h z ( d 图2 5 ( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 、( e ) 、( 0 是对系统( 2 3 3 ) 数值计算的结果 对系统( 2 3 1 3 ) 进行数值分析，得到以下结果：以或r 作为参量， 系统( 2 3 3 ) 在经历了一个周期分岔序列后，进入混沌状态( 见图2 5 ( a ) 、 ( d ) ) 。如图2 5 ( b ) 所示：对于参量n ，系统在同一周期状态内，周期随 r ，单调递减( 见图2 5 ( b ) ) ，系统在不同的状态下( 例如周期1 p ( r 。= 2 0 ) 、 混沌态2 i ( = 1 1 4 2 ) 及1 i ( r 。= 1 1 0 3 ) ) ，以1 p 为标准频率的各个状态的 基频及分频都发生了明显的漂移现象( 见图2 5 ( c ) ) ；如图2 5 ( e ) 所示： 对于衰减项参量r 2 ，在相同的周期内，周期基本不随r ：变化，且不同 周期平均值都与系统的基本周期平均值有近似的倍数关系，图2 5 ( 0 为系统处于l p 态( r ：= o 7 2 ) 、2 1 态( r ：= o 8 4 2 ) 和l i 态( r 2 _ o 8 6 4 ) 时的功率 谱，显然，各态基频的大小是近似相等的。图2 5 表明，非线性自治 系统中除衰减项以外的其它参量的变化将导致系统频率的漂移( 即系 统的周期值将随此类参量的变化而改变) 。 还有一类系统本身不含有衰减项，无法直接拆分成式( 2 、1 1 1 的形 式，为了寻找系统的周期间的关系，我们可以在原系统中添加衰减项 建立形如( 2 1 1 ) 的新系统，由此找出新系统中其它周期与基本周期问的 1 0 嚣蠹 关系。下面的实例中我们将看到，新系统的基本周期仍可以作为原系 统的基本周期。 选择s p r o t t - o 方程。”来说明这种方法的可行性。原方程为： 毫= z 2 立2 = 艽l x 3 ( 2 3 4 ) j ，= x l + x i x 3 + 2 7 。2 显然，系统( 2 3 4 ) 中不含衰减项。添：j l l - r 2 x ：项，则方程( 2 3 4 ) 可写成： 而= x 2 i 2 = x l 一一r 2 x 2 ( 2 3 5 ) 南= 五+ 屯+ 2 7 x 2 类似上述作法，我们确定出方程( 2 3 5 ) 的基本周期的平均值为 4 8 2 0 ，周期丁与屯的关系如图2 6 ( a ) 所示。当吃= o 时，等价于系统( 2 3 4 ) 。 计算功率谱的结果( 见图2 6 ( b ) ) 表明：新系统的基频与原系统的基频几 乎完全相同，也就是说它们的基本周期近似相等。由此，我们得到原 系统( 2 3 4 ) 的平均基本周期近似为4 8 2 0 。 通过上面几个实例以及我们已经计算的其它一些系统，所有的结 果都表明：随着衰减项中的参量变化，系统在同一周期内的周期基本 不变，且其它周期与基本周期之间有简单的倍数关系，或者说系统的 其它频率与基频有简单的分数关系，而其它参量( 相当电路中的线性电 罩。 鼎 禽 褂。 督 图2 6( a ) 部分倍分的周期与，2 的关系；( b ) 功率谱 蠖 xv8v0e石hzhg 容和电感) 的变化却会导致系统基频的漂移。对于这样一类系统，只要 找到系统的基本周期( 或频率) ，原则上我们就可以由此推出该系统的其 它周期( 或频率) 。这些将为实际应用需要预先选择周期提供一种更为快 捷的方法。 2 4 理论分析 系统( 2 3 2 ) 的平衡点分别c l ( 一1 ，4 ，1 ) 和c 2 ( 一1 ，1 4 ，1 ) 。在平衡 ，= 雕习 叫- ， j 3 + r t s 2 + 4 s + 8 = 0 ( 2 4 2 ) 1 2 设s ：i 。代入式( 2 4 - 2 ) ，可得r c = 2 0 ，。o = 2 0 ，则有 s l2 = 2 o i ，3 3 = - 2 0 ( 2 4 3 ) 当= _ 。时，满足以下条件： ( 6 ) r e 【s 1 ( 删= 一0 2 5 0 f 2 t 4 4 ) ( c ) i m s l 驴l 。) 】= 2 0 0 、 按照h o p f 分支理论，系统在= 。处能够发生h o p f 分支。这里我们 已经直接得到系统基本周期的零级近似，即瓦= 2 ，r # o o * 3 1 4 2 ，这与 数值计算的基本周期平均值十分接近。同理，对于平衡点c 2 ，临界值 是 一2 0 ，经计算它不满足产生h o p f 多) 支的条件，故无须再讨论。 进一步讨论h o p f 分支的方向及其稳定性。在( 2 3 2 ) 中令_ = 1 。，根 据( 2 4 3 ) 的特征值计算出相应的特征向量，并由此构造变换矩阵尸： 尸e ，甚：i b 。匀 l 0 0 5 0 5 j 4 ：2 1 ：专。0 ，f 。y ，：f ： ：l 。- 0 ：；2 y 5 ；y 一+ 。0 妙5 ：y 虬：y + 3 - o 。2 ：5 和y ； i 0 0 - - 2 0 i【pj1 0 2 5 y ；- 0 砒乃+ 0 2 锈j 根据h o p f 分支计算公式”，由珊) 计算出以下各量： 9 1 1 = e m + 磋m + ，( 硫+ 暖n ) 】4 = - 0 1 2 5 + 0 1 2 5 i g o ：= ( e 。一磋。一2 鬈h + f ( 鬈。一f 。2 。+ 2 。) 1 4 = 0 1 2 5 0 1 2 5 i 9 2 。2 e h e n + 2 暖m + f ( m f n 2 m 一2m 1 n ) 】4 = o 1 2 5 0 1 2 5 i g 2 - 2 【碟m + e 址。+ 。+ 。+ i ( 。+ 玄。一f 。i 。托一f 。l 。) 】，8 = o 嗣- = ( 瑞+ 霞n ) 4 = 0 1 2 5 ，磕= ( f 。3 _ f n 3 n 一2 嚷) 4 0 1 2 5 w ：1 = 一舛l d = o 0 6 3 ，以。= 一琏。( d 2 i c o o 。) ：- 0 0 1 3 + o 0 2 5 i 科。= e m + 暖n + f ( 曙n e 。) 】2 0 2 5 0 0 2 5 0 i ( 12 【e b f 。2 一+ j ( 鬈m + e n ) 】2 = o 2 5 0 + 0 2 5 0 i l = g 2 l + 2 q l d 叫1 + c t o l 以o 0 0 4 1 0 , 0 2 8 i 从而得到 “旷去( g 娼，一2 1 9 1 2 一扣m 1 2 ) + 孚一o 0 2 8 - o 0 3 f 8 ) 进步由下列公式： 屈= 2 r e q ( 0 ) = - 0 0 5 6 鸬= 一r e c i ( 0 ) r e s i ( r j 。) = - 0 11 3 ( 2 4 9 ) 卜嘉1 + 甲2 + o p 4 ) = n 1 + 0 - 0 1 6 8 2 + o ( 一) 】 来确定系统发生h o p f 分支的稳定性、分支方向及分支解周期到一级近 似的值。式( 2 4 9 ) 汞3 f f j 了z - 2 = 一( i m c , ( 0 ) + & i m s l ( r , 。) ) c 0 0 = 0 , 0 1 6 ，这 里占是- - q 4 、量，其中，= 瓴一亿) 化+ 一r j 。) 2 = _ & 8 8 一2 ) + o 嘶一2 ) ：。 按照h o p f 分支理论；当岛 0 时，表明在，附近产生的分支周 期解是稳定的，反之，为不稳定的；当2 0 时，表明分支方向是沿 着小于。的方向，反之，分支方向是沿着大于。的方向；式( 2 4 9 ) 中 的第三个公式是分支周期解的周期关于小参数f 在亿附近的展开式。 综合式( 2 4 4 ) 、( 2 4 9 ) 的结果，我们可以得到以下结论：系统发生 h o p f 分支的临界参量值为r i o = 2 0 ，这与数值计算的结果一致，见图2 4 ( a ) 中的右上角图；基本周期值可由丁展开式的零级近似得到，也即t o y 3 1 4 2 ，这与数值模拟结果基本接近，两者的差值基本上与r 展开式的 一级修正量的大小是同一数量级；2 2 = 一0 1 1 3 0 ，由此确定分支方 向是沿小于。的方向，这也与我们数值计算观察到的分支方向是一致 的( 见图2 4 ( a ) 右上角的图形) ：实际计算出的织= - 0 0 5 6 o ，则该系统必为所求( 排除那些等价系统) 。 构造二阶连续延迟混沌系统的基本步骤如下：( 1 ) 根据需要预先设 定系统方程的形式，保持方程中的系数待定；( 2 ) 对待定系数进行随机 赋值，通过数值模拟计算出相应的最大李氏指数a 。，若k 。 0 ，则返回相应的系数，即得到一个而阶连续 延迟混沌系统。 基于上述计算方法和步骤，我们筛选出一系列二阶连续延迟混沌 系统，在表3 1 中给出方程形式及对应的最大李氏指数a 。值 表3 1 匈 二阶延迟混沌系统方程形式 f 。n a x王 毫= 2 5 x 2 + 1 8 x t + 0 6 x l ( t f ) 12 02 9 2 1 33 1 4 5 膏2 = 一2 5 x a 一0 8 x ； 毫= 一1 6 x 2 + o 6 x z ( t 一) 一1 4 x l x 2 22 11 7 5 3 64 4 8 8 岛= 1 6 x l + 1 4 x 2 + o 4 屯 南= 1 8 5 x 2 + o 7 + o 1 五 33 o1 3 4 1 53 9 6 7 x 2 = 一1 8 5 x i + 0 8 x 1 ( t f 1 0 6 x a x 2 毫= 2 5 恐+ 4 一3 9 42 o4 5 9 5 21 5 2 6 岛= 一2 5 五一o 7 l x 2 ( t f ) 毫= - 2 3 x 2 1 5 x l x 2 1 2 x 2 ( t f ) 52 o4 3 8 6 12 1 0 8 i 2 = 2 3 x l + o 6 x 2 0 9 毫= 1 8 x 2 + 1 4 一+ 1 6 五2 毛2 62 o3 8 0 5 72 4 0 4 x 2 = 一1 8 x i + 1 1 x l ( t f 1 0 4 5 x 2 1 0 南= 一2 9 5 x 2 1 1 x z ( t 一0 71 07 5 5 1 02 5 7 7 x 2 = 2 9 5 x 1 + 2 7 写屯一o 4 x 2 - + 1 = - 2 2 x 2 + 1 2 x 2 ( t - f 1 + 0 8 5 x ( 81 0 4