（应用数学专业论文）关于ahp中保序性问题的研究.pdf

关于a h p 中保序性问题的研究 摘要 层次分析法( a h p ) 是由美国运筹学家，匹兹堡大学t l s a a t ) ，教授于 2 0 世纪7 0 年代中期提出的，是一种将决策者的定性判断和定量分析相结合 的科学决策方法。由于它分析和解决问题的简洁性、实用性，随着社会的 发展，a h p 已在社会、经济、管理、科技等领域得到广泛的应用。在决策 过程中决策者常常需要对决策方案进行两两比较，构造判断矩阵。在a h p 的研究中，判断矩阵新元素导入的保序性问题是其中一个重要的研究课题， 因为当决策环境发生变化时，决策方案有可能增加或者减少，按照人类的 思维增加或减少的方案对原来的方案排序不会产生影响，即我们所说的保 序性问题，而在实际情况中结果往往相反，即产生逆序现象。因此，近年 来，有关层次分析法中保序性问题的研究是决策者们关注的重要课题之一。 本文对a h p 中判断矩阵导入新元素的保序性问题的有关理论进行了 详细的分析和研究，具体的工作概括如下： 第一章，简述了关于层次分析法中保序性问题的国内外研究现状，并 提出了本文所要研究的问题。 第二章，对于。互反型”的判断矩阵，在对数最小二乘法，最小偏差 法和z ：方法等排序方法下，根据互反型判断矩阵保序性的定义，分别给出 了判断矩阵导入一个新元素的保序性条件。 第三章，对于。互反型”的判断矩阵，在对数最小二乘法，列和求逆 归一化方法和最小偏差法等排序方法下，根据互反型判断矩阵保序性的定 义，分别给出了判断矩阵导入一组新元素的保序性条件。 第四章，对于。互补型”的判断矩阵，根据不同的一致性定义和不同 的排序方法，分别提出了互补判断矩阵保序性的新定义。并给出了判断矩 阵在不同的排序方法下导入新元素的保序性条件。 在本文最后，对全文的工作进行了总结，并对今后a h p 中保序性问题 的研究提出了自己的建议。 关键词：层次分析法；判断矩阵；强保序性；弱保序性；排序方法 中图分类号：c 9 3 4 ，0 2 2 3 t h er e s e a r c ho n r a n kp r e s e r v a t l o ni na h p a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e m r c h yp r o c e s s ( a h p ) w a si n t r o d u c e di nm i d d l e19 7 0 sb y a m e r i c a np m f e s s o rt l s a a 劬w h om a d er e s e a r c h e so no p e r a t i o n sa n a l y s i si n p i t t s b u r g hu - n i v e r s i 妙ni s as c i e n t i f i cm e t h o do fd e c i s i o nm a k i n g ，w t l i c h c o m b i n e s伽eq m l i 枷v ej u 姆n e n ta n dq u a n t i 埘v e a 1 1 由s i s w t ht 1 1 e d e v e l o p m e n to fs o c i e 劬d u et o 廿1 es i m p l i c i 够a n dp r a c t i c a b i l 时i ns o l v i n g p m b l 锄s ，a h p h a sb e e nw i d e l ya p p j i e di l ls o c i e 够e c 伽o m i c m a n a g e m e n ta 1 1 d s c i e n t i f i cf i e l d s ，a n ds oo n a sad e c i s i o nm m 【e r ，i ti 8c m c i a lf o rl l i mt os e l e c ta o p t i m u ma l t e m a t i v e ，d e c i s i 伽a l t e m a t i v em a yi n c r e a s eo rr e d u c ew h e nd e c i s i 伽 e n v i r o l l l i i e n ti sc h a n g e d 1 n c r e a s i n go rr e d u c m ga l t e m a t i v eh a sn oi i l n u e n c eo n m er a f 出o ft i l eo r i g i n a la l t e m a t i v e sj 1 1t e 加so fh 啪a nb e i l l g s 廿l o u g h 峨t 1 1 i si s t 1 1 eq u e s t i o no f 啪kp r e s e n ，a t i 吼i i la h p b u ti nf a c t ，t l ：l er e s u hi su s u a l l y c o n t r a 叮w i mo u r 廿1 0 u g h t s ，n 锄e l ym ep h e n o m e n o no f r a r 血r e v e r s a lt h e r e f o m ， m er e s e a r c ho fr 卸【l i 【p r e s e n ，a t i o ni l la h pi so n eo fi m p o r t a mp r o g m mi nm o d e m s o c i e 够 mt i l i sp a p m e 删般p r e s e n ，a t i o ni i la h pi sa n a l y z e da n ds n l d i e d t h e m a i nd e s e 棚c hw o r k sa r ea sl b l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，此b a s i ca s p e c t so fm ea 肿a r es t a t e d 1 h e n ，m er e c e m r e s e a r c h e so nr a l l i ( p r e s e n ，a t i o ni na h pa r ec o n c l u d e d ，锄dm em a i nr e s e a r c h i nc h a p t e r2 ，w i t hr e g a r dt op o s i t i v er e c i p r o c a lj u d g m e n tm a t r i x ，s o m e c o n d i t i o n so fr a n kp r e s e a t i o nw h i c ha d d i n gan e wa i t e m a t i v ea r eg i v e nw h e n u s i n gs o m ep r i o r i 够m e t h o d s u c ha st 1 1 el o 鲥m m i c i e a s ts q u a r ep r i o r i t ym e t h o d ， 协e1 s td e v i a t i o nm e t h o d 粕dm e c 王l i s q u a r ep d o r i t ) ，m e t l l o d 1 1 1 c h a p t e r3 ，w i t hr e g a r dt op o s i t i v er e c i p r o c a lj u d g m e n tm a t r i x ，s o m e c o n d i t i o f l so f r a h kp r e s e r v a t i o nw l l i c ha d d i n gag m u po fn e wa l t e m a t i v e sa r e g i v e nw h e nu s i i l gs o m ep r i o r i 够m e t h o d s u c ha s 廿1 el o g a r i m m i c1 e a s ts q u a r e p r i 耐哆m e t h o d ，l el e a s td e v i a n o np r i o r i t ym e t h o da n d m en o n n a li n v e r s eo f c o l u m ns u mp f i o r i 哆m e t l l o d i i lc h a p t e r4 ，w i t l lr e g a r dt of h z 巧c o m p l e i i l e n t a 哆j u d g m e n tm 撕，【，b e c a u s e t l l e r ea r e 铆ok i n d so fd e 觚t i o no fc o n s i s t e n c e ，w ep r o p o s e dt l l ed e f i n i t i o no f r a n kp r e s e r v a t i o na c c o r d i n gt od i 位r e r i tp r i 嘶够m e t h o d s 明dd i 腩r e md e f i n i t i o n o fc o n s i s t e f l c e n e ns o m ec o n d i t i o n so fr a n kp r e s e r v a t i o nw h i c ha d d i n go n eo r ag r o u po f n e wa 】t 锄a t i v e sa r eg i v e nw h e nu s i n gs o m ep r i o r i t ) ，m e 廿1 0 d s u c ha s m el e a s tv a r i a i l c ep r i o r i 哆m e t h o d ，t h em z 珂l e a s td e v i a t i o np r i o r 时m e t h o da n d t h ef i l z 巧c h i - s q u a r ep r i o r i t ym e t h o d i nt l l ee n d ，t 1 1 er e s e a r c h 、o r k sa r es u m m a r i z e d ，a i l ds o m es u g g e s t i o n sa b o u t m er e s e a r c ho nr 2 u 咄p r e s e a t i o ni l la m a r em a d e k e y w o r d s ：a i l a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ；j u d g i i l e mm a t r i x ；p r i 耐够m e t h o d ； s 们n g 捌依p r e s e r v a t i o n ；w e a 玉【r a n kp r e s e r v a t i o n 广西大掌硕士掌位论文关于 h p 中保序性问起的研完 第一章绪论 层次分析法( 简称a h p ：a n a l ”i ch i e r a r c h yp r o c e s 科”是美国运筹学家，匹兹堡大学 t l s a a t y 教授于2 0 世纪7 0 年代仞提出的，一种将决策者的定性判断与定量分析相结合 的科学决策方法。s a a 锣曾用a h p 为美国国家科学基金会研究电力在工业部门的分配问 题，为苏丹政府研究了苏丹运输问题等等。由于a h p 分析和解决问题的简洁性、有效 性、实用性，随着社会的发展，a h p 已在国内能源系统分析、城市规划、经济管理、科 研成果评价等许多领域得到了广泛的应用。 1 1 层次分析法的基本思想 a h p 从本质上来讲是一种思维方式，它把复杂的决策问题分解出影响决策的各个组 成元素以及拟采取的决策方案，又将这些元素和方案按支配关系分组，形成递阶层次结 构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断，确 定决策方案相对重要性的总的排序。整个过程体现了人的决策思维的基本特征，即分解、 判断、综合。运用a l p 进行决策时，大体可分为以下几个步骤： 分析决策系统中各因素之间的支配关系，按目标层、准则层、方案层建立系统 的递阶层次结构； 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造 两两比较的判断矩阵； 对判断矩阵进行一致性检验； 由判断矩阵计算出被比较元素对于该准则的相对权重； 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。 1 2 保序性问题的提出 在层次分析法的决策步骤中，构造两两比较的判断矩阵是关键的一步，因为这关系 到决策结果的可靠性。而在层次分析法中，判断矩阵的构造有两种不同的形式：一种称 作是正互反判断矩阵，一种称作是互补判断矩阵。对于互反判断矩阵和互补判断矩阵的 确切定义在后文中详细给出。 层次分析法的关键步骤是通过两两比较判断构造判断矩阵，由此导出排序权值。对 于互反型的判断矩阵，自从s 狮提出特征向量法以来，且前已发展为3 0 多种排序方法 【5 2 i ，大致可以分为近似计算排序方法和最优化排序方法两大类。近似计算排序方法主要 有特征根法m ) ，和法( s m ) ，方根法，列和求逆归一化方法( n c m ) ，和积法( a n c ) ，梯度 特征向量法( g e m ) 等；最优化排序方法主要有最小二乘法( l s m ) ，对数最小二乘法 ( l l s m ) ，最小偏差法( l d m ) ，z 2 法，混合最小二乘法似l s m ) ，广义最小偏差法( g l d m ) ， 最小夹角法( l a m ) ，几何最小二乘法( g l s m ) ，二次规划法，线性规划法等。对于互补 广西大学硕士掌位能? 文j 盱a h p 中僚序佳问属的研究 型的判断矩阵，目前已发展为1 0 多种排序方法【5 3 】，主要有最小方差法( l v m ) ，模糊最 小偏差法( f l d m ) ，z 2 法，行和归一化方法，二次规划法，线性目标规划法等。从简单、 对数最小二乘法( l l s m ) ，最小偏差法( l d m ) ，z 2 法。对于互补判断矩阵，决策者常用 的排序方法有最小方差法( l v m ) ，模糊最小偏差法( f l d m ) ，z 2 法，行和归一化方法。 4 慨。；8 | 臻 彳： l252 1 ，2187 1 5l 811 l ，2l ，71l w = o 4 0 8 以= o 4 2 4 以= o 0 6 9 w ：= o 0 9 9 这样由于引入新方案4 ，原来居于首位的方案l 退居为第二位，而方案2 上升到第 一位，即新方案的引入使原来方案的排序发生了逆转。 若将改为 = 1259 1 ，2187 l 5l ，8l1 1 9l 7l1 排序权重 w = o 4 8 6 w ：= o 3 6 1 埘= o 0 6 2 w ：= o 0 9 l 那么前三个方案的排序与原来的相同，即前三个方案保持与原来的方案的排序一致，这 种情况就称作是保序。而且我们还会发现前三个方案的排序权值之比，大体上也保持一 致。 一般来说，按照人类的思维，单一准则下元素的增加或减少，不会对原来元素之间 的排序产生影响。即元素的增加或者减少不会使原来方案的排序产生逆转。而通过上面 的例子我们看到新元素的引入使得原有方案的排序发生了逆转。在元素的增加或者减少 2 广西大掌硕士掌位论。：乞专 于a h p 中保序性问l 的研究 的情况下，我们把原有元素的排序不发生变化的情况称作是保序的或弱保序性；丽把原 有元素排序权值的比例关系保持不变的情况称作是强保序性。 1 3 关于层次分析法中保序性问题的国内外研究现状 在决策过程中，决策者对给定一组方案进行排序，然后从中选优，但是往往随着环 境的变化，方案有可能增加( 或减少) ，那么增加( 或减少) 方案会不会对原来的方案 的排序产生影响? 根据人类的思维，增加( 或减少) 的方案不会对原来的方案的排序产 生影响，而在实际决策过程中，却经常遇到由于方案的增加( 或方案的减少) 使得原来 的方案排序产生逆序的情形【2 2 。2 5 l 。另方面，如果利用不同的排序方法对一组给定的方 案进行排序，不同的排序方法得到的方案排序往往不一致，那么究竟那一种方法的排序 更合理，或者为什么运用不同的排序方法会产生逆序现象呢? 在什么条件下各种排序方 法得到的排序一致? 再者运用不同的标度构造判断矩阵，最终得到的排序也往往不一 致。因此很有必要对保序性问题进行深入的研究。 层次分析法中保序性问题的研究是一个重要的研究课题，目前关于a h p 中保序性 问题的研究大致分为以下几个方面： 1 3 1 判断矩阵导入新元素的保序性条件 由于判断矩阵的构造有两种不同的形式，为了叙述方便，我们把单一准则下增加一 个元素或者一组元素的保序性问题按如下描述： 设原有厅个元素为4 ，4 ，以，相对于准则h 的判断矩阵为彳= ( ) 。，= l ( 互反型) 或4 ，+ 口，= l ( 互补型) ，嘞 o ；新导入的肼个元素为毋，易，巩，相对于 准则h 的判断矩阵为曰= ( 屯) 。，岛= l 乞。( 互反型) 或屯+ = l ( 互补型) ，屯 o 依据某一排序方法，彳和口的排序向量可分别设为w = ( h ，w 2 ，) ，= 1 ； v = ( h ，v ：，) 7 ，v j = l 。现把元素组b 加入。得到一个新组彳= ( 4 ，4 ：，以， 局，b ，吃) 。对于同一准则h ，假定4 和b 的各自的两两比较不变，相对于h 的两 两比较矩阵为= l 三丢 ，这里c t ，k ，o = l ，2 ，鸠，_ l ，2 ，所) 是爿的元素与 口的元素两两比较得到的矩阵，d t ( “，j ) 。a = l ，鸭_ ，= 1 ，刀) 是口与4 的元素两两 比较得到的矩阵。 ( 一) 互反型判断矩阵单一准则下增加一个元素或者一组元素的保序性条件。 广圈大学习e 士掌位论文关于a h p 中保序佳问题的研究 单一准则下，如果爿的排序保持4 和曰各自排序的相对权值不变，则称4 是强保 序的；如果的捧序保持4 和b 各自排序不变，则称4 + 是弱保序的。 王莲芬，许树柏口熄出了特征向量法( e m ) 在单一准则下增加一个元素和一组元素的 保序性条件；指出判断矩阵“引入一个新元素后强保序的充分必要条件是t 。= f w f ，其 中w = ( w 1 ，w 2 ，w 。) 1 是a 的右主特征向量，f = l ，2 ，刀。若在原有元素中加入一组元 素，强保序的充分必要条件是五。( d c ) = 彳。( c d ) ，且c d 和d c 的右主特征向量分别 为4 、b 的右主特征向量。王秋萍【1 4 j 又对此强保序性条件进行了改进，指出强保序 的充分必要条件是c d 和d c 的右主特征向量分别为爿、b 的右主特征向量，因为此条 件成立，必然有五。( j d c ) = 五。( c d ) ，此结论使强保序性条件变得更简洁，应用起束更 方便。 李梅霞，王小斌【怕蛤出了左主特征向量法( l e m ) ，右主特征向量法( i 冱m ) ，几何平 均特征向量法( g m e m ) 三种排序方法在增加一组元素时强保序性条件之问的关系。为了 区别，我们把文献 2 】提出的特征向量法称作是右主特征向量法( r e h d 。文献【1 6 】给出了 彳在左主特征向量法( l e m ) 下强保序的充分必要条件是c d 和d c 的左主特征向量分别 为一、口的左主特征向量。而且还提出了以上三种排序方法强保序之间的关系，即：对 于准则h 和排序方法l e m ，r e m ，g m e m ，如果在其中两种方法下是强保序的，则在 另一种方法下也是强保序的，此结论给出了l e m ，r e m ，g m e m 增加新元素时是否强 保序的又一种新途径。 孙疆明嗍给出了特征向量法在单一准则下导入一组新元素时彳强保序的充分必要 条件是c = 毗，d = 慨，口 o ，6 o 。其中心，分别为4 ，矗的最大特征根所对 应的特征向量。 在对数最小二乘法( l l s h d 、最小二乘法( l s m ) 、混合最小二乘法( m l s m ) 、最小偏 差法( l d m ) 、广义最小偏差法( g l d h d 、广义最小二乘法( g l s m ) 和z 2 算法( c s m ) 等排序 方法下，章志敏，徐敏芳，徐泽水【1 1 l 给出了强保序的充分必要条件是 m1 c 一+ ，= 毫1 ，吒+ = 二一，口， o ，口+ = l ，f = l ，2 ，疗；，= l ，2 ，所 p v 叫c _ + j 然而通过分析发现，此条件只是充分条件，不是必要条件。因此关于以上排序方法 的强保序性条件还需要我们进一步探讨。 宫玉新，陈学刚【2 0 l 给出了梯度特征向量法在单一准则下导入一组新元素时强保 序的充分必要条件是c 饥= 聊f ，。 ( 二) 互补型判断矩阵单一准则下增加一个元素或者一组元素的保序性条件。 樊治平，姜艳萍【2 刀利用z 2 排序方法，给出了单一准则下导入一组新元素时互补判 断矩阵强保序的充要条件是 4 广西大掌硕士掣啦论文关于a h p 中慑序性问矗l 的研究 弩q 州5 最，g 一+ 卅一 0 一邯- 1 - 1 ，2 ，川；川，2 ，朋 然而经过验证此条件仅是充分条件，不是必要条件，因此有必要对此强保序条件进 行深入的研究。 吕跃进，王玉燕口6 治出了在吕跃进提出的排序方法下导入一组新元素时的强保序性 定义若有m 一吩= 手( 一一) ，厶刮，2 ，即；“一+ ，= 争( 。一屹+ ，) ， f ，_ ，= l ，2 ，埘成立，则称是强保序的。w = ( w 1 ，心，) 1 为4 的排序向量， v = ( + l ，+ 2 ，k + 。) t 为曰的排序向量，“= ( 坼，屹，+ ，+ 。) 为彳的排序向量。 在此定义之下得出强保序的充要条件是 艺 肼一巳，+ 。) = 懈( 一一) 口与且口为常数 ，= l ，2 ，疗 t = l - ( 以+ 耻一4 州 ) = ，垆( 1 k 。一叫) i ；l 三 且为常数，= l ，2 ，m 这里给出的强保序性定义，拓宽了我们的思维，但是不足之处在这里给出的强保序定义 只是相对于一种排序方法，因此关于互补判断矩阵的强保序定义还有待于进一步研究。 ( 三) 区间型的判断矩阵单一准则下增加一个元素或者一组元素的保序性条件【4 l 删。 魏翠萍，韩莉莉郴峪出了区间数特征向量法( i e m ) 单准则下增加一组元素的保序 性条件。区间数判断矩阵是强保序的，当且仅当与4 ，d c 与召分别具有相同的 最大特征向量，且七车= 肌誓，七+ 巧= 聊譬，其中七，脚，f ，r ，e ，譬的含义和区间数的一 些性质参照文献 4 5 】。 李梅霞m 】给出了区间数z 2 方法和区间数对数最小二乘法增加元素的保序性条件。 对于区间数判断矩阵，若存在口。，矿，。，矿 o ，口+ 卢一= 1 ，矿+ + = l ，使得 q ，= 吒+ ，j 嵋州，嚷。j = + ，则在区间数z 2 方法下是弱保序的。其中 蝣糕，矧= 降，铬 一c ”村州州， ，嵋) ，一= ( 瓜，反：，瓜) t ，+ = ( 庀。，店：，店。) t 分别为彳一，旷，矿的拟z 2 方法排序向量。 但是，这些工作仅仅是初步的。而且上述保序性条件只是根据互反判断矩阵研究保 序性的形式给出的，再者有关区间数判断矩阵的一致性定义还没有统一的认识，因此， 广西大攀硕士掣啦诧丈关于 i i p 中保序佳问题的研宠 这方面的研究还有待进一步深入。 以上三个方面是在方案增加或者减少的情况下来分析保序性的问题，除此之外，还 有以下两个方面的保序性问题值得我们注意。 1 3 2 排序方法的保序性 对于给定的一个判断矩阵，使用不同的排序方法会得到不同的排序向量，甚至会产 生逆序。 f 12 5 例如对判断矩阵爿= jl 2 17l ，用特征向量法( e m ) 和最小二乘法( l s m ) 分别求 l l 5 l 7 l j 得权重为e m ( 彳) = ( o 5 4 ，0 3 8 ，o 0 8 ) ，l s m ( 4 产( 0 4 l ，0 5 l ，0 0 8 ) 7 两种排序方法的排序结果不同，那一种方法揭示了方案的真实排序，这就需要研究 在一般条件下排序方法的保序性问题。然而在这方面的研究还很欠缺。 1 3 3 标度的保序性 目前我们构造判断矩阵时主要用到两种类型的标度：互反型标度和互补型标度。所 谓标度的保序性是指对于一组给定的方案，单一准则下使用不同的标度对方案进行两两 比较构造判断矩阵，最终得到的排序是否一致? 具体可以分为： 互反型标度之间转换的保序性； 互补型标度之间转换的保序性； 互反型标度和互补型标度之间转换的保序性。 谭阳，吕跃进，覃菊莹【4 2 l 通过互反型标度和互补型标度的转换函数给出了两类标度 转换的保序性条件；将互反型的判断矩阵转换为互补型的判断矩阵，其转换公式为 6 f 。：旦 9 i + 吗 通过以上转换得出：当互反型的判断矩阵满足序传递时，转换后的排序与原先用e m ， l l s m 和l s m 给出的排序相一致。 王玉燕，吕跃进等p j 】给出了、三种情况下标度转换的保序性条件，进一步 完善了谭阳等所提出的标度保序性理论，得出如下结论：在任意标度( 互反型或互补型1 下的判断矩阵4 = ( k 。为序传递的，将其转换为另一标度下相应的判断矩阵 j = ( 毛) ，转换公式嘞= ，( 嘞) ，( _ ，= l ，2 ，疗) 若转换函数是相应定义域上的单调增 加函数，则经过转换后的排序与原先的排序相一致。 从已有的研究成果来看，目前对于保序性的研究主要集中在互反型判断矩阵上，关 于互补型的判断矩阵，区间型的判断矩阵和排序方法的保序性这些部分的研究工作比较 少见，对标度系统之间的保序性研究几乎还没有引起重视。 6 广西大掣啊曩士学位饿乞j 睁 p 中保序佳问捆【的研究 1 4 本文研究工作概要 通过前面的阐述和分析，可以看出，保序性问题是目前国内外决策科学领域的一个 重要研究课题，已受到许多学者的重视，然i 面还有许多理论、方法和应用研究还有待进 一步完善。本文针对互反判断矩阵和互补判断矩阵的有关保序性问题的理论进行了分析 与研究，完成了以下理论研究工作。 ( 1 ) 对于互反判断矩阵。通过举反例来说明文献 1 l 】中的保序性条件只是充分条件， 而不是必要条件。在此基础上又研究了对数最小二乘法( l l s m ) 和最小偏差法f l d m ) 增加 一个新元素时判断矩阵的强保序性和弱保序性条件。另外还对z 2 方法的保序性条件进 行了初步的研究。 ( 2 ) 对于互反判断矩阵。在( 1 ) 的基础上研究了对数最小二乘法( l l s m ) 、最小偏差法 ( l d m ) 以及列和求逆归一化方法( n c d 增加一组新元素时判断矩阵的强保序性和弱保 序性条件。这些研究结果，进一步完善了互反判断矩阵的保序性理论。 ( 3 ) 对于互补判断矩阵。目前由于关于互补判断矩阵这方面的保序性理论还很少，因 而很有必要对互补判断矩阵的保序性问题进行研究。由于矩阵的一致性分为加性一致性 和乘性一致性。对于不同的一致性，不少学者提出了众多排序方法。在加性一致性的前 提下，本文给出了强保序性的新定义，并且根据徐泽水提出的最小方差法【3 1 1 和吕跃进教 授提出的排序方法1 3 ，】，分别研究了单一准则下增加一个或者一组新元素时互补判断矩阵 的强保序性条件以及弱保序性条件。在乘性一致性条件下，由于互补判断矩阵的乘性一 致性和互反判断矩阵的一致性形式上和本质上的相似性，本文依据互反判断矩阵强保序 性的定义给出了z 2 方法引入一组新方案时强保序性的一个必要条件；另外还给出了此 方法下导入一个或者一组新元素时的弱保序性条件。 7 广西大掣旗士掌位论文关于a i i p 中保序性问捆【的研究 第二章互反判断矩阵增加一个新元素的保序性条件 在a h p ( 层次分析法) 的应用过程中，由于决策环境的变化，递阶层次结构中的元 素有可能增加或减少，此时人们关心的是，假定原有元素的两两比较不变，由于新元素 的导入或原有元素的减少，单一准则下原有元素的排序权值的比例是否改变? 他们的排 序是否改变? 这里把排序权值的比例关系保持不变称为强保序性；而把元素排序保持不 变称为弱保序性。由于新元素的导入与原有元素的减少在处理上是相似的，因此本章仅 介绍新元素导入的情形。然而有关互反判断矩阵的保序性问题还很不健全，因此很有必 要对互反判断矩阵的保序性问题进行深入研究。为此本章首先对互反判断矩阵的基本概 念进行概括，然后从最简单的条件入手研究了互反判断矩阵在只增加一个新元素时的保 序性条件。通过前面的综述可知，特征向量法( e 脚在单一准则下增加一个元素的保序性 条件已有研究，其它排序方法在此条件下保序性问题的研究还不多。本文在此基础上分 别研究了对数最小= 乘法、最小偏差法以及z 2 方法在单一准则下增加一个元素的保序 性条件。 2 1 基本定义 为了方便，令= 1 ，2 ，m 。 定义2 1 嘲设矩阵爿= 0 p ) 。，若有口， o ，嘞= 1 ，v f ，_ ，则称矩阵4 是互反 判断矩阵。 定义2 2 【2 1 设互反判断矩阵4 = ( 口，) 。若对v f ，_ ，j ，有口，= ，则称判断矩 阵彳= 0 ，) 。是一致性矩阵。 设r ( ) 是某一排序方法，r “) = w = ( w i ，k ) 1 ，爿= ( 口。) 是原有的元素两两 比较得到的互反判断矩阵，增加一个新元素后，在保持一两两比较不变的前提下，拧+ 1 个元素两两比较得到的判断矩阵材丢； ，其中c = c 小，i ) t ， d ；( _ l ，上，与。 口l 。m j 口2 ，j日 “ 定义2 s 翻对于准则h ，如果= 三i 的排序保持爿的排序的相对权值不变， 则称彳是强保序的( 或严格保序的) 。 8 广西大掌司睦掌位论文关于a h p 中期0 序性问题的研究 定义z 。嘲对于准则h ，如果4 + = 三 4 是弱保序的。 ； 的排序保持爿的排序的顺序不变，则称 2 2 对数最小二乘法增加一个新元素的保序性条件 由下列最优化问题导出的排序方法称为对数最小二乘法嘲( l l s m ) 。 m i n ( w ) = ( 1 n q l i l 十1 n _ ) 2 i = lj ；i s j 嵋= l ，m o 定理2 1 脚设互反判断矩阵彳= 0 d ) 。，则由对数最小二乘法求得的排序向量 ( m ，) 7 满足 w ，= ( 兀口，) i ( 兀w ， f 。 j lj - l 归一化得 。 月 l hh l 嵋= ( 兀吻) i ，( 丌嘞) i ， f ( 2 1 ) 由于l l s m 具备良好的性质，即具有协调性、相容性、对称性和置换不变性；而且 运用l l s m 对方案进行排序时，我们发现只需要计算出矩阵每一行元素的乘积的大小就 可以对方案进行排序了，既简单又实用。因此有必要对l l s m 的保序性问题进行研究。 定理2 2 设一是阶判断矩阵，w = ( 嵋，) 1 是彳按l l s m 算法得到的排序向 量，引入一个新元素后的判断矩阵为：i ci ，则，强保序的充要条件是 ld 1 口l = 玎嵋( i = l ，2 ，盯) ，其中_ 为任意正数，且c = ( 口聃i ，口2 l ，。1 ) 1 ， d ：( 上，上，上) 。 口l ，肿l口2 一+ i口 一“ 证明必要性设l l s m ( 彳) = ( ，w 2 ，) 7 ，其中嵋= ( 兀) i ( 丌叶) ；， f e 。 9 广西大掌硕士掌位论文簧于a f i p 中保序性问题的研究 l l s m ( 4 ) = ( w l ，w 2 ，以+ 1 ) 7 ， 则 得到 因此口。= 阜，对任意确定的e + l ，令玎= ，则口。= 粥， f 。 0“wn+1 充分性设l l s m 口) = ( w ，w ；，w ：，w = + 。) 7 ， 取定w ：+ 。= 三，且口，。= ，7 ， f e 。 玎 ，= 1 ，2 ，一十1 。 f e 。 满足以上方程组的一组解就是w = 嵋，f 。所以l l s m ( ) = ( m ，勺7 ，因 | | 此一是强保序的。 由定理2 2 可以看出，对于l l s m ，判断单一准则下导入一个新元素时，原有元素的 排序权值的比例关系是否发生改变? 只需要看新判断口f 。和的关系是否满足 口。“= ，7 峨就可以了。 定理2 3 设互反判断矩阵4 = ( 4 。) 。，利用l l s m 算法，在引入个新方案后， 满足下述条件之一时： ( 1 ) j f ，后，使得( 或口，) ，且至少有一个不等式成立，以及新 判断d ，卅l 吼，“( 或口，卅l 吼一+ 1 ) ； ( 2 ) j f ，七，使得嘞= ，- ，以及新判断口，川= 吼，“。 则第f 个方案和第t 个方案重要性相对次序不变。 证明 设原有方案的排序向量为( w l ，) 1 ，新的排序向量为 ( 订，以，以，以+ 。) 7 当满足条件( 1 ) ：乃，且至少有一个不等式成立以及 1 0 上m ) w 。n一 。 w ( 舯 ) 。n一 肘 似 = w 中其 !；、 竹 。兀一 ! 二、 。兀一 = 上州 ) 。n川 。 土州 ) 。n一 肿 雌 = _叫二、 。兀一 ( i 一” 、， ，丌一 ( = +。 卅 q 土m ) 叶 。兀一 +， 上州 、， 呀 。兀一 卅 = 中其 上州 、， 竹 。兀川 ( 土川 、， 峨 吩 。兀川 ( = 竹 则 广西大掌司陆掌位论文关于a h p 中甥r 序性问起的研究 口j _ + l2 口i 一+ l 时， hh 即 营n 呀 兀，而对于增加方案后的判断矩阵彳有 j 眚lj = l 即以 以，从而第，个方案和第个方案重要性相对次序不变。 类似可以证明嘞，的情形。将不等式改为等式就得到( 2 ) 的证明 由定理2 3 可以看出，对于l l s m ，如果原有两个元素的原判断值和导入新元素时的 新判断值满足条件( 1 ) 或( 2 ) ，则原有两个元素的排序不发生改变。 定理2 4 设彳2 ( ) 。是互反判断矩阵，l l s m ( 彳) = ( w l ，) 7 ，引入一个 新方案后l l s m ( ) = ( 计，以，w ：，w = + 。) 1 ，那么 ( 1 ) 若嵋 ，且新判断元素q ，“吼州，则必有嵋 以； ( 2 ) 若m = ，且新判断元素4 ，川= 口。州，则必有矿= w ：。 证明( 略) 。 由定理2 3 可以看出，两个元素保持顺序不变的条件比较强。通过定理2 4 ，减弱了 两个元素保持排序不变的条件，不需要原来的两个元素的对应判断值都满足同方向的不 等关系，只需要此两个元素的原有权重和对应新判断保持同方向的不等关系就可以了。 2 3 最小偏差法增加一个新元素的保序性条件 由下列最优化问题导出的排序方法称为最小偏差法【2 1 ( u ) m ) 。 r n i n 八们2 莩熹j 詈扣一号- z ， f l ，- l “盯f ， s ， 嵋= 1 ，嵋 o 定理2 5 【函数，( w ) 在d = _ ，= ( w l ，) 7 i ，群，窆w j = 1 ) 中有唯一的极小点 f = l 矿，且矿就是方程组 w i | !二、 w n一 ) 日 口 。兀川 ( 一h ) w 。兀一 ( ； ) 吩 。n川 ( = w 。坼 =上州 ) 。n川 一 二、 。兀一 + 钿 上州 。u 。兀一 。肿 上川 。n一 舯似 = 。坼 广西大掣h 嚣士掌位琵文关于 h p 中保序性问越的研究 在d 上的唯一解。 由( 2 2 ) 式容易得到 喜吩詈2 套峙，删。 m 矿。毒! 一州。 智u f 2 2 ) 由于l d m 具备良好的性质，即具有协调性、相容性、对称性、置换不变性和强条件 下保序性；而且运用l d m 对方案进行排序时，我们发现只需要计算一个方程组就可以得 到方案的权重，关键是此方程组只有一组解( 当方案个数比较多时，可以利用m a t l a b 软件 进行计算) ，所以很容易对方案进行排序，既简单又实用。因此有必要对l d m 的保序性 问题进行研究。 由( 2 3 ) 式我们得到如下定理： 定理2 6 设互反判断矩阵彳= ( 口。) 。，利用最小偏差法，在引入一个新方案后，满 足下述条件之一时； 。 ( 1 ) 3 f ，j j ，使得( 或口，) ，且至少有一个不等式成立，以及新 判断口。j “口i 。+ l ( 或4 ，月+ 1 4 i + 1 ) ； ( 2 ) j f ，后，使得口f = ，以及新判断口i = 吼，“。 则第f 个方案和第七个方案重要性相对次序不变。 证明设原有方案的排序向量为( w i ，w 2 ，) 7 ，新的排序向量为 ( 计，w ：，：，e + ) 7 当满足条件( 1 ) ：嘞，且至少有一个不等式成立，以及 q 月“2 吼m l 时， ， 因为嘞妒o ，且至少铲个不等式成立所以古董寺，古s 古 从而磐咿喜晰喜去 以2 扛 暑n j暑a i 广西大掌硕士掌位论文关于 i p 中保序性问捆l 的研究 即 ，而对于增加方案后的判断矩阵有 吒w ： r 2 嘉 w ：+ q ，w = 。 ：!：!，一 萎者+ 去 w ：+ 吼，。w ：+ 言去+ 去 即w 以，从而第，个方案和第七个方案重要性相对次序不变。 类似可以证明d ，的情形。将不等式改为等式就得到( 2 ) 的证明a 由定理2 6 可以看出，对于l d m ，如果原有两个元素的原判断值和导入新元素时的 新判断值满足条件( 1 ) 或( 2 ) ，则原有两个元素的排序不发生改变。 定理2 7 设爿是一阶判断矩阵，w = ( ，_ 1 ，2 ，) 7 是0 按l d m 算法得到的排序向量， 引入一个新元素后的判断矩阵为彳+ = 三 则，强保序的充要条件是 口，。+ l = ，7 嵋( f = 1 ，2 ，功，其中口为任意正数，且c = ( 4 l ，+ 1 ，口2 4 + l ，口。，+ i ) ， d ：( 上，上，上) 。 n 1 一“口2 ， “口h “ 嘞一 证明必要性设l d m ( 彳户( ，w 2 ，) 7 ，其中谚= 专l _ ，。l d m ( 产 v 三一 ( w 。，w ：+ 。) ，其中研= q 川以。+ 嘞_ 志+ 薯古。以。身嘞吩 口枷。w = + ，+ q 一 志+ 姜古口。w ：。鲁 ， f 。则 一 一 j = l 一 智m 整理得气“2 差，对任意确定的吒t ，令叩2 i j ，则t = 纠，i_“w_+1 广西大掌司l 士掌位论文关于a h p 中保序性问题的研究 充分性设l d m ( 4 ) = ( w ，w ，w ：，以+ ，) 1 ，其中( w ) 2 = ， f = l ，2 ，打+ l 。 一：冲川一删一彬：笺一。 鲁w ： 满足以上方程组的一组解就是矿= ，f j v 。所以l d m ) ：( w 。，w ：，土) ， 叩 因此一是强保序的。 由定理2 7 可以看出，对于l d m ，和利用l l s m 时一样，单一准则下导入一个新元 素时，判断原有元素的排序权值的比例关系是否发生改变? 只需要看新判断哆。和w j 的 关系是否满足口。= 叩嵋就可以了。 2 4z 2 方法增加一个新元素的保序性条件 由下列最优化问题导出的排序方法称为z 2 方法【2 1 1 ( c s m ) 。 川2 喜喜和一2j = l ，；l7 7 j丌， m = 1 ，嵋 o 定理2 8 伫1 1 函数f ( w ) 在d = 砂= ( m ，) 7 j w 砰，蕃2 1 ) 中有唯一的极小点 矿，且w 就是方程组 静删詈2 喜c 埘，詈，删 ( 2 4 ) 在d 上的唯一解。 由于c s m 和l d m 一样，具有协调性，相容性、对称性、置换不变性和强条件下保 序性；而且运用c s m 对方案进行排序时，我们同样只需要计算一个方程组就可以得到方 案的权重，而且此方程组只有一组解( 当方案个数比较多时，可以利用m a t l