捕获再捕获模型的一个应用.doc

捕获再捕获模型的一个应用胡桂华 *，!（*(天津财经大学，天津 !；!(广西财经学院，南宁 6）摘 要：! 世纪 $ 年代初，捕获再捕获模型首次用来估计某一地区吸毒者总体规模。如同其它统计模型一样，它也是建立在一些假设条件的基础之上，如两样本独立，总体封闭，总体中的每一个个体 有相同的捕获概率等。关键词：吸毒者；捕获再捕获模型；总体规模估计中图分类号：10*文献标识码：2 文章编号：*!3#405（!#）$3*03!1 模型构建设吸毒者总体规模为 7，从中不重复随机抽取两个独立 样本，第一样本记作 2 样本，第二样本记作 8 样本。第 9（9:*/!/ /7&个体落入两样本的概率见表 *。 按个体落入两样本的实际情况，将个体分为四类：仅落入 2 样本；仅落入 8 样本；同时出现在 2 样本和 8 样本中；未落入 2 样本和 8 样本中。表 ! 中，;*:同时出现在 2 样本和 8 样本中的个体数；;*!:仅出现在 2 样本中的个体数；;!*:仅在 8 样本中的个体数；;!:未出现在 2 样本和 8 样本中的个体数。除 ;! 和含它的 ;!(，;(! 和 ;(外，其它所有单元都是可以观 察到的。为估计 7，需要引入多项分布函数 :%;*/;*!/;!*/;!&， 并且规定约束条件：型决策问题。决策者是决策问题的主体，因而风险型决策评价准则应将决策者对待风险的态度考虑在内；决策目标有两 重含义：一是客观的指标%通常为最大收益或最小损失&；二是 决策者对客观指标的满意程度，即决策目标的客观指标数值 在决策者心目中的综合效用的大小。效用值是后果值在决策 者心目中所对应的的综合效用，它既代表决策者对待风险的 态度，又说明决策者对于收益或损失的独特兴趣、感受或取 舍反应。因此，从决策的本质来看，应提倡使用期望效用值决 策评价准则。( 从利用信息角度看，三种决策评价准则对新信息的利 用方向不同由于对每一实际决策问题，贝叶斯决策评价准则或选择 期望后果值最优或选择期望效用值最大来评判决策方案的 优劣，因此我们可将贝叶斯决策评价准则划分为两种：贝叶 斯决策评价准则 ) （期望后果值）和贝叶斯决策评价准则 )（期望效用值）。从信息角度来看，获取表 * 中的信息是风险型决策分析 必备的基础信息。期望后果值决策评价准则在此基础信息下 便可进行决策分析，即不利用新信息。而其它决策评价准则 却需要补充新的信息后才能进行决策分析，但利用新信息的 方向各不相同：期望效用值决策评价准则利用的新信息是决 策者对待风险的态度；贝叶斯决策评价准则 )（期望后果值） 利用了状态概率分布的新信息；而贝叶斯决策评价准则 )（期望效用值）既利用了决策者对待风险的态度的新信息，又图 ! 风险型决策评价准则利用新信息的方向利用了状态概率分布的新信息。具体情况见图 !。在风险型决策中，一般来说，因为后验概率分布是对先 验概率分布和关于多种自然状态概率分布的补充信息进行 科学综合的结果，所以后验概率分布较先验概率分布更接近 实际情况，也就是说，从状态概率分布这一信息角度来看，贝 叶斯决策评价准则 )（期望后果值）优于期望后果值决策评价 准则。综上所述，从利用信息量的角度来看，贝叶斯决策评价 准则 )（期望效用值）将是其中的最佳者。参考文献：+*,涂葆林(统计与管理决策%上册& +-,( 武汉.中国地质大学出版社/*$0$(（责任编辑 ! 亦 民）%&%&!%!&%! +！/ 0+8/6$#%&(%&!)%!&)%!*+$%&*,&! ，-./0%&1%1&2%&1，然后使用似然函数 B（+）*是二项分布的反问题。/70+8/670&85! 6 5!估计 +，这表 &个体落入两样本概率+ 理解为多项分布+H *%H 11* /5!*/&80&85&160&851&6;（#）R在 S 样本中不在 S 样本中总和在 样本中5.&5.&!5.&1不在 R 样本中5.!&5.!5.!1总和5.1&5.1!5.11在 S 样本中不在 S 样本中总和在 R 样本中%&%&!%&1不在 R 样本中%!&%!%!1总和%1&%1!%11表 !个体落入两样本数目%&%&!%!&%!的 + 次 独 立实验，%&%&!%!&%! 理 解 为 + 次独立实验中 落 入 四 类的 个 体 数目。将5H &1*%& C %1&，5H 1&*%& C %&1代入（#）式，得+H *%H 11*%&1%1& C %&（I） 希尔和戴明还使用 法推导出%H 11的渐近方差： JKL0+H 6*%&1%1&%&!%!& C %&（M） 查普曼 &$F& 年对（I）式估计的+H 的分布特性作了详细的讨论。他指出，当 +(N 时，+H 是 + 的最佳渐近正态估计量， 但却是有偏的，并且样本规模很小时，偏差很大。然而，当 %&1(+75& 5&! 5!& 5!，%&时，并且第二个样本不重复抽取，它的修正估计30%&%&!%!&%!4+5&5&!5!&5!6* %7% 7% 7%（&）7%1&!+!M如果两样本独立，那么5&*5&151&5&!*5&151!*5&10&851&65!&*5!151&*0&85&1651&5!*5!151!*0&85&160&851&6& &! !& !量几乎是无偏的，即+H O* G%&1)&6G%1&)&6 8& （$）G%&)&6+H O 服从渐近正态分布，希伯（&$I 年）建议使用区间估 计法估计 +，$FP概率把握程度下的 + 的置信区间为：代入（&）式，得：+H OQ&1$# )JKLG+H 6E（&）30%&,%&!,%!&,%!9+,3&,5&!,5!&,5!6其中，JKLG+H 6E*G%&1)&6G%1&)&6G%&18%&6G%1&8%&6 C G%&)&6!G%&)!6%&* +705&151& 6%&!:5&10&851& 6;%!&0&85&1651& =%!?%&,%!,%,%A95&,5&!,5!&,5!6*5& 5&! 5!& 5!%&,%!,%,%A* 或 &抽取容量为 + 的简单随机样本 !&，!， ，!+，建立似然函 数：+!+.&2 模型假设像许多其它统计模型一样，捕获再捕获模型也是建立 在一些假设条件的基础之上。在所有科学研究领域中，为便 于研究问题，经常做出某些假设。受各种条件限制，研究者 常常只能假设他们所看到的和没有看到的情况是一样的。 当然，假设不能完全脱离实际，应该与现实情况尽可能吻合，否则，建立在假设基础之上的理论模型就失去存在的意. * &B0!&,!+95&,5&!,5!&,5!6* &0!&,!+95&,5&!,5!&,5!6*5 & 5. * &义。+!.!. * &+!. * &+!.A. * &%&%&!%!&!%（）在吸毒者规模估计问题研究中，应用上述两样本捕获再&! 5!&5!*5& 5&! 5!& 5!捕获模型或其估计量公式应该满足下面条件：（）右边乘以（+8/）！%&7%&!7%!&7%!7 C +7BD0!&, ,!+95&,5&!,5!&,5!6（&）同质性，即在吸毒者总体中，每个吸毒者有相等的捕 获或再捕获概率，也就是说，有相同的机会进入 R 样本或 S%&%&!%!&%!*+75& 5&! 5!& 5! C 0+8/67%&7%&!7%!&7%!7（A）样本容量为 +，但我们已经知道的样本容量 /*%&)%&!)%!&，于是落入第四类的个体数目是 %!*+8/，相应概率 5!*&805&)5&!)5!&6，代入（A）式，得BD0!&, ,!+95&,5&!,5!&,5!6样本，当然不要求进入这两样本的概率相等。（!）独立性，即吸毒者进入 S 样本的概率，与他们是否已 经进入 R 样本无关，换句话说，进入或未进入 R 样本的个体 有相同的机会进入 S 样本。（）记录能够保留下来。出现在第一样本中的吸毒者被* +7 0& 85/0+8/6 /7 %65EE登记后，调查员应该将登记的个人记录档案妥善保管，不要%&/70+8/67%&!%!&!&7%&!7%!&7%! 7丢失。如果丢失，就无法确认同时进入 R 样本和 S 样本的个体数（%&）。05&151& 65&10&851& 6;0&85&1651& ;/（F）（A）抽取两样本必须有时间间隔，使出现在第一样本中0&85! 6若要同时估计出 +，5&1,51& 的最大似然估计量，需要对（F） 求最大值。虽然求最大值能做到，但很繁杂，因而采用一个相对简单的方法，即先使用似然函数 BG5&1,51&6*/7E%& 7%&! 7%!& 7%! 7的吸毒者有足够长的时间与其他未出现在第一样本中的吸 毒者在吸毒者总体中混合均匀。（F）总体封闭，也就是说，在第一次抽样、调查、登记后，没有新生或迁入的吸毒者进入该总体，也没有死亡或迁出的 吸毒者离开该总体。如果新生或迁入吸毒者人数等于或近似%&05&151& 6%&!5&10&851& 6;%!&0&85&1651& ;估计 5 ,5 。5HH于死亡或迁出的吸毒者人数，也认为总体封闭。/0&85! 6&1 1&1*%& C %1&，51&*%& C统计与决策 !# 年 $ 月（下）!#如果这些假设条件与研究问题的现实情况完全吻合，只 要不出现其它误差，使用捕获再捕获模型得到的估计结果将 是非常准确的。但是，现实情况与上述假设总是存在或多或少的差异。在这样的情况下，是否就不能够使用上述模型呢%这要看这 个差异的程度，还要看研究总体规模的大小，比如说，如果在日)! 年 & 月 *& 日。（(）估计总体规模和标准差。第一样本吸毒者人数用 3&2 表示，第二样本用 32& 表示，同时出现在两次捕获中的吸毒人 数用 3& 表示，3&24+&，32&4&$&，3&4*。根据公式（$）和（&），得56 74 ,3&28&-,32&9&- )&4 ,+&9&-,&$&9&- )&4*.(研究期间有 &( 名吸毒者新生或从外地迁入，有 !)* 名死亡,3&9&-=,*9&-或迁出，而研究总体估计大概有 & 名左右的吸毒者，那么，可以使用该模型。 但是，如果差异超出模型使用的临界标准，就要另行考虑。比如说，如果总体封闭假设不成立，就使用开放式的 乔利)希伯捕获再捕获模型；如果同质性假设不成立，就先 对总体分层，将捕获概率相同或相近的吸毒者归入同一层，然后在各层内独立使用捕获再捕获模型；如果独立性 假设不成立，就使用多样本对数线性捕获再捕获模型，等 等。3 模型应用&$+ 年以来，四川利山地区吸毒情况十分严重，引起四 川省省政府的高度重视。!& 年 & 月)! 年 & 月，四川 大学公共健康流行病研究所受省政府委托，奔赴该地区实地 调查吸毒情况。在当地戒毒中心负责人的帮助下，从戒毒中 心抽取两个独立样本。两样本抽取的时间,即捕获期-均为四 个月，抽取的时间间隔,即间隔期-为八个月。第一样本有 +& 名吸毒者，第二样本 &$& 名，另外发现 * 名吸毒者同时出现 在两样本中。（&）确定估计目标。估计的是 !& 年 & 月 & 日!年 & 月 *& 日四川利山地区吸毒者人数。（!）收集吸毒者个人资料。每名吸毒者的个人资料应该 包括：姓名、年龄、性别、职业、出生年月、出生地、当前所在 地、婚姻状况、经济收入水平，以及进出戒毒中心的时间，等 等。（*）依据利山地区戒毒中心 &$+ 年 . 月 & 日)! 年& 月 *& 日提供的吸毒者进出或停留在戒毒中的时间和人 次确定间隔期,/-和捕获期,0-。表 * 表明，&$+ 年 . 月 & 日)! 年 & 月 *& 日，共有表 * 吸毒者 ! 次或多次进出戒毒中心时间间隔分布:; ,3&8&-!,3&8!-4,+&8&-,&$&8&-,+&)*-,&$&)*- ,*8&-!,*8!-4!1(*+=!:;,5 -7 4&.1# =$(?置信区间56 7&2$# !:;,5 -A 4,(.! #*#1-该估计结果准确吗%回答是肯定的。理由有下面几点：第一，在 !& 年 & 月 & 日)! 年 & 月 *& 日期间，在利山 地区，没有发现吸毒者死亡或迁出，也没有发现新生或从其 它地区迁入的吸毒者。第二，调查前，进行了宣传，消除了吸毒者心理上的顾虑，积极主动到戒毒中心戒毒，这样一来，就保证了吸毒者进入戒毒中的概率相等。第三，捕获期及捕获 间隔期是依据实际调查数据确定的。第四，该估计结果与当 地警察局掌握的数据基本一致。值得说明的是，为什么不使用传统的全面调查和抽样调查呢%主要原因是吸毒人群是一个特殊群体，不被社会所接 纳，调查员难以接近他们，此外，抽样框也很难建立，不具备 进行抽样调查的基本条件。4 结论 捕获再捕获模型估计公式是依据抽样理论推导出来的，因而是可信的。如同任何其他统计模型一样，捕获再捕获模 型也是建立在一些假设条件的基础上。如果模型中的假设与 所研究问题的现实情况不相吻合，模型使用的效果就比较 差。从国外实践的情况来看，估计某一地区的交通事故人 数、无家可归人数和吸毒人数，基本上都是在捕获再捕获模型所需要的假设条件未得到完全满足的情况之下进行的，而 本文吸毒人数估计，假设条件得到了很好的满足，因