（应用数学专业论文）离散红利支付下的期权定价.pdf

abs t ract o p t i ons are one of t h emost加p o rt ant to ol sof fi n anc 1 alderi v at 1 o n st b e core p r o b l em o f o pt i o nsi s o p t l ons 州c i ng. inrecent y e ar s ， ino r d ert o p r e s s cl o s e tothe r e a 】 ity in五 n an c i alm ar k etan d s atis fymo rei n v e stors ， re se ar c h e r s re l axedthe h ypo t 】 l e s 此 esfo r the b 一 s m o d e l . f o r e x 别 m p l e ， i t i s nec e s s a r y tos tu d y the pric i ngo f o p t 1 o nsonstoc k s w i t h d l v l de n dsinre a l ity， m a n yp 叩ers cons i d e r e d the mo de ls诫thco ntilluo us di 、 ii d e n d s to s i m p l y the m odel . b utinre al ity， t h e d 1 v 1 d e n d s p ai d co n t in u o u s 1 y are h 山 d . inc hi na. th e p h e n o 幻 q e n a are o b v l ous s o q e li sted co m p 如esm ayn o t p a y di vi d endsinlr 旧 n y y e ar s . 50 it i s 油p o 比 劝 t t o s t u d y the 州c ing o f o p t i o nso n s t o c ks诫thd i s c r e t e d l v i d e n d s inr e a l ity. f o r thes e re as ons ， 而s p ap e r s tu d i e s the p ri c in go f th ea 1 1 eric an p u t o p tion on sto c k s w i t h d i s c r e t e div i d e n d s a n d t h e a n 1 e ri c anl o o k- b 即 k o p 6 o n b y the fi 币 te 一 d i ffer e n c e me t h o d . w 七 g l v e t b e e x p l i c its o l utio n o f o p t l o n 州cew i t h t h e . d i s c r e t e d i v i dsn d s and t h e fl o ate x erci s e p ri c e . k e yw o r d s :di s c retedi vi dend p a y m e ni s ，a j ll eric an opti o n两c ing ， a m e ri c anl o o k- b a c k o p t i o n p ri c ing， fi n i t e 一 d iffer e n c e 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致谢的 部分外， 不包含其他人已经发 表或公布过的 研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。 与我一同 工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中 作了明 确的 说明。 矛 ， 二冷 研咒 生 签各， 止军生兰一门 月月 晒 学位论文使用授权声 明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以 借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内 容， 可以向 有关部门或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的 全部或部分内容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研 究 生 签 名 : 戍 即 乞司年 月 了 日 硕 士论 文离散红利支付下的期权定价 第一章 绪论 1 . 1 研究背景 期权是最重要的衍生工具之一， 期权的核心问 题是期 权定 价问题。目 前， 在证券 市场上交易的期权大部分都是美式期权。 一般情况下， 美式期 权没有精确的解析定价 公式， 只能 用数值方法或近似解方法进行定价。目 前用于美式 期权定价的数值方法主 要有:蒙特卡罗 模拟法、二叉树图 法、 有限差分法l 、有限元法1 切、数值积分法和 外 推 法141 等。 回望期权是为迎合金融市场的需要而创造出 来的， 该期 权可以 应用到 任何金融资 产，但目 前主要在外汇市场上出现，并以外汇兑换率作为其标的资产。1 9 79年， g o l d m a n l ， 等给出t回望期权的定价公式，这一公式于1 9 9 1 年被c ( b ) 无风险 利率是常数: ( c ) 标的资 产不支付红利; ( d )标的资产价格变化遵循随机微分方程 =产 dt十 口 dz 塑s(t) ( e )不存在套利机会。 该模型过于严格的假设条件，制约了其适用性，使其在理论与应用上均存在缺 陷。 近年来， 许多学者一直致力于在适当削弱某些假设条件下， 建立更加接近实际 金融市场的期权定价模型。在众多放宽b 一 5 模型假设中，有很多是对有交易费用情 况下期权定价的 研究，如l e l a n d h . e( 1 9 8 5 )1 ， ， 1 ，b a r l e o g ， m e t e h( 1 9 9 8 )1 5 1 ， ams t e r ， p . a( 2 0 0 5 )“ g j ，郑小迎和陈金贤 ( 2 0 0 1 )1 加 ， 李莉英 ( 2 0 0 5 )1 2 。 除了上面考虑的存在交易费用的情况之外， 更多讨论的是标的资产有红利支付 的情况。 m ert on ( 1 9 7 3)圈在假设投资者是风险偏好型的 基础上， 建立了 在考虑支 付红利和随机利率下的期 权定价模型; 戴民( 2 0 0 4)网在金融 市场是多 维连续时间的 情况下，利用等价鞍测度的方法得出了具有连续红利的欧式看涨期权和看跌期权定 价公式， 并得出 买卖平价关系式。 唐耀宗， 金朝篙( 2 0 0 6)1 241基于b 一 5 微分方程， 采 用 crank 一 n i c o ls o n差分格式求解连续支付红利的美式看跌期权价值，并对 c- n 差分格式和隐含的差分格式进行了比较;基于连续红利模型下进行期权定价的研究 还有b o sm， v and e r 毗 k . 5( 2 0 0 2 )tz ， j ， s t y l i ano sp .l e o l l . j( 2 0 0 2 )1 加 等c 基于模型简化考虑， 这些模型中考虑的都是连续红利支付下的 期权定价问题， 这与现实的 红利支付还是 有很大的差距。在现实世界中， 红利很实现难连续支付， 在中国 更是如此， 很多的 上市公司 往往 每半年或一年支付一次红利。为此， 许多学 者开 始研究离散红 利支付下期权定价问 题。 国外对有离散红利支付下的美式期权定价的研究主要有:c oenraadc . w . l e e n t v aar a n dc o r n e l i sw .o o s t e r l e e ( 2 0 0 5 ) 1 2 7 对于只有少数格点下的 离散化的 black 一 sch o l e s 方 程，提出了一种精确的数值解法， 在红利支付日 有固 定红利发 放 的带跳离散模型的欧式和美式看涨期权定价问 题得到了 很好的解决。 在处理过程 中， 在红利支付日 采用了四阶有限差分 法， 拉格朗日 差值法以 及将格点在空间上 进 行拓 展的方法等。r a l fk o r n l a n dl . c . g . r o g e r s( 2 0 0 3 )1 邓 将股票的价格看成 将 来所有红利的贴现， 从而直接对 ( 离散化的) 红 利过程建 模， 推导出 股票价格过程， 2 硕 士 论 文 离散红利支付下的期权定价 同时 得到不同的期权定价公式。 当每相邻两次红利支付的时间间隔趋近于0 时， 得 到的 期权定价模型近似于具有连续红利支付的blac卜s choles 模型。 对有离散红利 支 付 下的 美 式 期 权 定 价 的 研究 成 果 还 有g e s k e and r o b e r t( 1 9 7 9 ) 12 1 ， w h a l e y a n d r o b e r t e ( 1 9 8 1 ) 11 3 1 ， b e n e d e r ， r e i mer and t onv o r s t ( 2 0 0 1 ) 1 4 1 ， s t e p h e n van d e 种 r k ( 2 0 0 2 )11 ， 1 ，fri s h l i n gandv o l f( 2 0 0 2 )1 16 lc . w . l e e n t v aara n dc o r n e l i s : o o s t e r l e e ( 2 0 0 3 ) t2 81 ， b o s ， r e m c o ， a l e x a n d e r ( 2 0 0 3 ) 130 等。 国内 对有离散红利支付下的 美式期 权定价的 研究主要有:陈萍和杨孝平 (20 0 5) 1311给出了随机波动率情形下有分红及配股的股票价格运动规律，并讨论了以定期分 红及配股的股票为标的 资产的 美式看涨期权的定 价问 题。 证明了美式看涨期权的最优 执行时间只可能在到期日 或每次分红或 送配股除 权除息前瞬间。 给出了 在各次分红或 送配股之间，期权的 值所满足的随 机微分方程. 随 着对期权定 价理论的探索和发展， 人们在标准期权的基础上又设计出各种形 式的 期权， 回望期 权是 众多的 新型期权之一。回 望期权作为一种重要的 衍生产品， 主要 是用于外汇市 场和银行间的 交易。1 9 79年，gol d m anis 等人给出了回望期权的 定价 公式，这一公式于1 9 91年又被g 和vis w a n a t han l 6 重新得到并加以 推广。 在随 后的 十几年中， 对回 望期权定价的 研究飞速发展。 在 b 一 5 模型 下 对回 望 期 权定 价的 研究 主 要 有 n gu y en 一 n g o c (2 。 0 3) 151 在一般 levy 过程下研究了路径依赖型期权的定价问题， 推出了回望期权的解析公式; 确d 如l i n e t s ky ( 2 0 04) 1， 1 ， m as 勿 o c 0 s tab ile (2 0 0 4)工，0 在c e v 模 型 下 给出 t 回 望期 权的 解析解: b a rt o s z zie m ki e wicz (20 04)11 1 利用部分几何布朗 运动的 积分表示， 模仿几何布朗 运动下的期 权定价过程， 给出了 一种在逼近标的资 产价格运动路径情 况下对回望期权定价，此时并不需要明确知道标 的资产 的运动过程 ; m as s 如。 c o s t a b l le( 2004)110)在扩空间下对路径依赖期权进行研究;d a v i d .q hobs o n (2 0 0 4) 国解 决了 看 涨的 回 望期 权 的 解的 边 界问 题， 在 其 研 究 过 程中 ， 并没 有给出标的资产价格的运动过程，而只是给出了标的资产的分布函数; min d ai (2004) 浏用二叉树模型给出了回望期权的 定价过程。 对回 望期权定 价的相关的 研 究 还 有c ome a ，v( 1 9 9 1 ) 134 1 ， y u ， h .， k w o 政叨 d l w i j ( 2 0 0 1 ) 13 ，1 ， l ip to n ( 加 0 1 ) t 3 司 ，min d aia n d 丫 k . k w o k( 2 0 02)1 3 7 1 ，m l n d ai ( 2 0 0 6 ) 1 3 5 1 等. 在修正b 一 5 模型假 设下对回望期权的研究有: 徐承龙， 部凯乐 (2cos) 1 391利 用 f o u ri e r 变换方法求出了 带一般收益函 数的欧式回望期 权的定 价公式;袁国军， 杜雪 樵 (20 0 5) 阅 研究了 有交易成本的回望期权的定价问 题，并且利用ito 公式， 得到了在该模型下期权价格满足的微分方程;袁国 军，杜雪樵 ( 2 0 0 6 )ll研究了 建立了p oi ss on跳一 扩散过程驱动下的回望期权价格模型。 国外相关的 研究有j o hnc h( 1 9 9 5 )142 ， n avid gl( 1 9 9 5 ) 1 43 1 ， hull j . w 肠 记 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 a ( 1 9 8 7 )1科 ，k w o ky .k ( 1 9 9 8 )14， 1 。 从上面的论 述中可知， 前人的大部分工作都是基于 连续红利支付模型对期 权定 价或 离散红利支付下考虑美式看涨期权定价。 然而在离散红利支付情况下还有 更多 种类的期权需要我 们去研究， 譬如美式看跌期权、 美式回 望期权等。 1 . 3研究内 容与论文结 构 考虑到交割价格固定的回望期权实际应用意义不大， 本文在考虑浮动交割价格 的 情况下主要运用微分方 程理论和有限差分方法， 讨论了 下面几个问 题: 1 .在已 有的“ 有限 差分方法下的美式看跌期权定价”1 例的 基础 上， 研究在期权有 效期内有一次红利支付的美式看跌期权的定价问题; 2 .给出有效期内一次红利支付的美式回望期权的定价过程; 3 .给出在期权有效期内 有。 次红利支付的 美式 看跌期 权定价， 同时 给出 在期权有 效 期内有n 次红利支付的美式回望期权定价的过程。 在绪论的最后一部分，我们介绍一下本文的结构安排: 第一章作为绪论部分， 介绍了 美式期权、回望期 权定 价理论的历史及现状。 第二章介绍了欧式期权的b 一 5公式和美式期权的定价公式，详细回顾了没有红 利支 付情况下美式看跌期权定价的 有限 差分方 法。 第三章和第四章是论文的主题部分。 主要研究了 离散红利支付情况下的美式看 跌期权定价和交割价格浮动的美式回望期权定价问题，主要用到的是有限差分方 法。 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 第二章 预备知识 2 . 1 关于期权定价的一般结果 为了 第三章讨论的方便， 这里简要回顾一下期权定价的一般结果。 引理 1 川( b l ack 一 s choles欧式看涨期权定价公式)设到 期日 为t ， 执行价格为k， 价格过程服从 标准布朗 运动的 股票欧式看涨期权价格为 c ( 5 ， t ) = sn(试 ) 一 ke一 尸 (t 一 t) 万 ( 鸽 ) 其中， 风= x ， 矿、 一 in 万 + l r + 万) ll 一 ) 。 召 于 二 下 ， 鸽= 风 一 ， 召 于 二 下 n( d ) 一 告厂 exn(一 荟 冲 v 艺 汀 一乙 引理2 111( 欧 式看涨 和看跌期权之间的 平价关 系)c(s，o 和p(s，o 分别 表示到期日 为t ，执行价格为k的 看涨期权和看跌期权在t 时刻的价格，它们之间 有如下关系 式 c (s ，t ) 一 p (5 ， t ) = 5 一 众一 r(t 、 ) 引理3t ll(b l ac卜s choles 欧式跌期权定价公式) 到期日 为t ， 执行价格为k， 价 格过程服从标准布朗运 动的欧式看跌期权价格为 p (5 ，t ) = 一 sn( 一 风 ) + ke一 r(1 衬 )n 卜 峨 ) 其 中试 ， 峨 ， n (.)的 定 义与 欧 式 看 涨 期 权定 价公 式 中 的 定 义 相同 . 引 理 4111 若 欧 式 期 权 在 有 效 期内 有 连 续 红 利 支 付， 红 利 支 付 率为q ， 此 时 欧 式 看涨 期权的价格为 。 (5 ，) 一 se- 厂 !，“ 万 (弓 ) 一 一j，r ，( ，“ 万 ( ) 其中， 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 5产 ， 、， 、 叮 ( r 、 ， ， m百 + i t r l r ) 一 q t 了 ) +一 二卜 j 召 丁1 ， 风 一赤赢一 鸽 = 试 一寸 “ 触 n(d) 二 雀 r exd (一 与 寸 2 汀 知一 2 考 虑红利支付时欧式看涨一 看跌期 权平价公式: c (5 ，) 一 尸 (5 ，) = se 一厂 “ ，“ 一 众 一厂 冲 利用此平价公式，我们可以得到欧式看跌期权定价公式 : (5 ，) = 称 一f ，“ 万 (一 么 ) 一 se 一j，t ;，二 万 (一 试 ) 其中试 ， 峨， n o的定义与连续 红利支付下欧 式看涨期权定价公式中的 定义相同。 下 面回 顾 美式 期 权定 价的 一 般结 果。 记 美 式 期 权的 价 格为v (st， t) ， 则v( st ， t) 满 足的随机微分方程为: 丝十 rs 理十 工 。 兮 迎 二 。 口愁2旅 由 于美式看涨期权在任何情况下都不具备提前执行的 条件，因 此， 美式看 涨期权 价格与欧式看涨期权价格相同，即 招( 叹 ，t ) = 增(st，t) 叮(st，t) 表示 美 式 看 涨 期 权 的 价 值， 咭(st， t) 表 示欧 式 看 涨期 权 的 价 值。 由于美式 看跌期权可以 提前执行， 则 美式看跌期权的定价按照5 的 大小被分解为 两 个 部 分 . 由 满 足 下 式 的 股 票 价 格st 组 成的 边 界 称为 执 行边 界 : 5:+ e 一 护t 刁 ，n (- 人 ) 一 s: n ( 喊) = k 美式看跌期权的定价过程将在接下来的部分单独给出。 2 . 2 美式看跌期权的有限差分方法111 由 于本文研究的 主要内 容都是基于 “ 有限差分方法” 进行的， 下面详细介绍美 式看跌期权的有限 差分方法。 美式看跌期权在到期日内 不存在封闭解128 】 。 但是我们可以 通过有限 差分方法得 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 到 美 式 看 跌期 权的 解以 及 是 否 提 前 执行 的 条 件。 把 0， t时 刻 划分 为 有限 个间 隔 不同 的小时间段， 假设夕= t / n， 总共有n+ 1 个时间 段0 ， 。 从这些值中，根据当前的股价，就可以计算出当前的美式看跌期权的价格。 硕士论文离散红利支付下的期权定价 第三章 离散红利支付下的美式期权定价 近年来， 为了 与金融市场实际 情况更好地吻合， 满足更多的不同 投资者的需求， 人们逐步放宽b 一 5 模型中最初对衍生品定价的假设。 例如， 考虑到期权生存期内 基 础资 产常有红利支付， 研究有红利支付的期权定价问 题很有必要。 从简 化模型的角 度， 大多数的研究基于 连续红利支付模型。 但是在现实世界中， 红利很 难是连续支 付的，在中国更是如此，很多的 上市公司往往每半 年或一年支付一次红利。因此， 考虑离散红利支付下的期权定价具有重要的现实意义。 基于此考虑， 在这部分内 容中，将先引 入离散红 利支付下的美式看涨期权定价 过程，同时 给出了其价 格的具体形式; 接着考虑离散红利支付下的 美式 看跌期权定 价过程。对看跌期权定价，用有限差分方法进行分析。 为得到离散红利支付下的美式期权定价，需要先给出在有一次红利支付情况下 标的 资产的价格变化过程。下面先给出有一次红利支付时标的资产的价格运动过 程 : 假设标的资 产的 价格满足一般的几何布朗 运动。记t 时刻 股票的价格为st，则 成 夕/ 又= 产 dt+ a dbt ， t c 0 ， 月 ( 3 . 1 ) bt是一个布朗 运动. 因 为 在 tl 时 刻 有 红 利 支 付， 设 红 利 支 付 率 为占。 则 在 支 付红 利 的 瞬间 ， 股价 有 一 个 跳 跃 的 过 程 。 记 支 付 红 利 前 瞬 间 股 价 为 凡 ， 支 付 后 瞬 间 股 价 为 stt， 则 两 者 之 间有下面的关系式: sn+= ( 1 一 占 ) 5.-( 3 . 2 ) 记。 时 刻股 票 价 格为 50，由( 3 . d 有 ， 当t 以 0， 叮 1 时， 故当t ， 叮 时 ， 、 = so exp 。 一 告 。 ) 十 obt 凡 一 、 exp ( ， 一 告 。 )、 十 。 民 1 由 关系式 (3. 2)， 5. 一 。 一 )、 exp 。 一 合 。 )、 + 。 乓 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 则由 ( 3 . 1)，当t 。 t:， t时有， 、 = 凡 e xp 、 一 合 。 2)犷 十 口 ， 在 t时刻 ， sr = stt exp 。 一 告 。 2)t + 。 br 】 期权有效期内 有多次红 利支付的情况下， 标的资产的 价格变化过程都可以 重复 上述方法得出。后面期权定价过程中用到的标的资产的 价格都是用上述过程求出 的。 在利用上述标的资产价格运动过程寻求期权的价格时， 先考虑在期权有效期内 只有一次红利支付的情况，然后向期权有限期内有多次红利支付推广。 3 . 1期权有效期内 只有一次红利支付的美式期 权定价 先引 入 到 期日 为 t ， 在t 二 tl(tl或 0 ，t) 时 支 付 一 次 红 利， 红 利 支付 率 为占 的 美 式 看涨期权定价。 对期权 有效期内有红利支付的期权定 价， 可以按照下面的三个步骤 进行: ( 1) 记 红 利 支 付 完 成 后 一瞬 间 的 时 刻为 tl+ ， 由 于 红 利 支 付 在 期 权 有效 期内 只 发 生 一 次 ， 则 在 红 利 支 付 完 成 后 ， 美 式 看 涨期 权 在t: ， t将 不 会 被提 前 执行 . 在 不 提 前 执 行条 件 下， 求 解当 比t，+， tl时 ， 美 式 看 涨 期权 价 格 满 足 的b l ac k- 一 s ch ol es方 程 ; ( 2) 由 于 红 利 支 付 的 发 生， 标的 资 产的 价 格 在tl 时 刻 将 会 发 生 跳 跃， 有 红 利 支 付情况下标的资 产的 变化过程将在稍后详细说明。 由于 股票价格的 跳跃， 期权的 价格 有可 能 会 发 生 跳 跃， 此 时 需 要 对 tl 时 刻 期 权的 价 格做 详 细的 分 析， 得出 tx+ 时 刻 和tl- 时 刻 ( 红利支付) 期权的 价格; ( 3) 用 上一 步 找 出 的 万 时 刻期 权价 格的 值 为 终 值 条 件 ， 求 解 t=tl- 以 前的 期 权 价 格 满 足的 扩 散 方 程。 而 美式 看涨 期 权 在0 ， t也 不 会 提 前 执 行， 从 而 美式 看 涨 期 权 在0，叮 1 也 满足b l ac k- 一 s ch ol es方程 。 解 此 方 程 就 可以 得 出 美 式 看涨 期 权 的 价 格。 3 . 1 . 1 期权有效期内有一次红利支付的美式看涨期权 考虑在期权有效期内 有一 次有红利支付的 情况 下美式期权的定价: 令r ，口为固定参数，占 为红利支付比例，0 占 0 为到期时刻， tl 。 (0 ， t)为 红 利 支 付 时 刻 ， 则 期 权 有 效 期内 股 票的 价 格 可 以 表 示 为 : 硕士论文离散红利支付下的期权定价 exv (r 一 告 口 2)， + 。 ， 一 )5 (tl ) exn (一 告 。 )(t 一 、 ) + 。 (b (t ) 一 b (tl ) 0 t tl tl t t 凡(l f.lesz.卫.t 一- t) 了.、 s 当tl t t 时 ， 即 红 利 支 付完 成 后， 期 权 不 会提 前 执 行。 记x = 尽， 则由 一般的 b 一 5 公式可以 给出此时期权的 价格 v (x，t) = xn( 幻一 ke一 叹 向 )n( 几 ) 其中， n (d)= 六二 exp (一 扣 峨= x矿、 一 m 万 + 甘 + 万) tl 一 勺 。 召 至 下 ， 姚= 试 一 。 刁 于 二 万 在tl 时 刻 ， 考 虑分 红 后 的 一 瞬 间， 美 式 看 涨期 权 的 价格 为 : v( tl ， 0 一 司 5 (tl ) = xn( 试 ) 一 ke一 叹 执)n ( 姚 ) 其中 x ， 护、 _ 风 = 兰 一互 华 乒华 卫， 口vl一11 几 = 风 一 。 沂可 记 在分 红 前 的 一 瞬间 期 权 价 格为 牙 (t， ， s( tl ) ， 其中 砰 ( tl ， x)= max 毛 ( x 一 k)+ ， v (tl ， ( 1 一 占 ) x ) ) 引 理3 . 1 1291 当。 t tl 时， 记 美 式 看 涨 期 权的 价 格 为砰 (t ， 5 (t) ， 其中 牙 (t， x)= 厂 声 e 一 尸(tl 一 )牙 (tl ， 5 (tl ) 此函数满足一般意义下的 b 一 5 方程: 一 尸 牙+ 兰二+ 改竺几+ 立 口 2 护 a牙日平a z 平 ， ， ， ， : 二 u ， 次axz欲 0 t tl ，x 之 0 终值条件 牙 (tl， x)= max (x一 k ) + ， v (tl， (l 一 占 ) x ) ，x 之 0 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 边界条件 平( t ， 0)=0 ， 0 t t 下 面 给出 当。 t tl 时 ， 期 权 的 价 格的 具体 形 式 : ca sel 当v (tl ，(1 一 占 ) x)之 x 一 k 时( 对于 看 涨 期 权， (x 一 k )+ = x 一 k) ， 此 时 期 权 将不 会 在tl 时 刻 提前 执 行。 我 们 可以 得 到 平 (tl ， x)= 犷 (tl ， (l 一 占 )x ) 则 在t 任 0 ， tl时， 牙 (t ， x) = 凡卜 一 ，(tl 一 )v (tl ， (l 一 司 x)f ca se z当v (tl ，(l 一 占 ) x) x 一 k时 ， 此 时 期 权将 会 在tl 时 刻 提 前 执 行。 我 们 可以 得到的支付函数为 x一k 则 在 t 叮 。 ， tl时 ， 牙 (t， x) 二 凡 e 一 电 一 t) (x 一 k) fj 这样可以得到下面的定理: 定理3 . 1记在期权有效期内 有 一次有红 利支付的 情况下美式期权的 价格为c (t ， x)， 则 牙( x ， t ) = ) 一 价一 心 一 n(姚 ) f ， ke一 ，( 卜 tl) n(姚 )， v ( x ，t ) = xn( 风 ) 一 ke一 r (t 一 )n ( 姚 ) ， 0 t tl 0 t tl tl k ，j ) : 2 . 与执行边界作比 较来判定是否提前执行的条件发生了改变。 在1 t 时刻，不 考 虑 红 利 支 付 情下， 是 否 提前 执 行， 用 期 权的 价 格k ，j 与x 一 少 昭做比 较 进 行 判定; 考 虑 红 利 支 付 情下， 是 否 提 前 执 行则 用 期 权的 价 格k 一 匀 ， 与x一 了 昭做比 较 来判 定。 在对有离散红利支付的期权定价时始终要抓住这两点。为讨论方便，我们给出 下面的记号: 1+ 夕:支付红利后的 一瞬间 1 一 夕 :支付红利前的一瞬间 玲 ，(l- )= 1+ 夕 时 刻 期 权 的 价 格 称，(l 一 。 ， : 1 一 夕时 刻 期 权 的 价 格 凡。 = 0 一 司 凡.j 下面先 对红利支付发生后 ( 即t (i 夕， tl)的期权价格进行分析。为了与不支 付红利的期 权价格区 分， 记红 利支付后的期 权价格为 珠， 卜 ， ) ， 其中m= 1 + 1 ， 1 +2 ， n。 将珠 ， 改为珠 .(l- 列主 要 是为 了 体 现 红 利 支 付 对 股价 的 影 响。 相 应 的 欧 式 看 跌 期 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 权 的 价 格珠 .( 卜 司 ， 满 足 下 面的 随 机 微分 方 程: 1 ， _ ， 护v_ a v a v 兮口一 百一 代 ， ， ; . 十矛 色， 二+一r 厂=u 2云 又 51 乃 一口 ( 3 . 1 . 1 ) 对于坐标方格内 部的点(m， (l 一 司力， 取 丝二 玉塑 二久 里丝， 丝二 a 夕公5扮 气 +l ，(l 、 )， 一 气 ，(l 一 8)j ( 3 . 1 . 2 ) 日 z v 丽 澎 珠 ，(，、 x ，+l ) + 气 ，(卜 ， x j一 :) 一 2 气 ，0 一 ; )， 八夕 2 ( 3 . 1 . 3 ) 将 ( 3 . 1 . 2 ) ，( 3 . 1 . 3 )代入 ( 3 珠 + 以 卜 ，) j 一 叹 ，(卜 ， )j at 1 . 1 ) ，就可以得到 + rj占 5生 迎 业当吧迫 业 十 工 。 2 2 ( 么夕 ) 2 气 ，(卜 ， x ， + 1) + 气 ，(卜 ， x ，一 1) 八夕 2 兰 鉴 止 纽 丛 _ ， v 其中j = 1 ，2 ， ， m一 1 ，m= 1 +l， 1 十 2 ， n.各项经过 合并，有 aj 珠 ，(1、 。 一 ，) + bj 气 ，(，、 )， + cj 气 ，( 卜 a 粉 1) = 珠 + ，.( 卜 a 。 其中， ( 3 1 . 4) rj ， ， 气 ， 一 从这些值中，根据当前的股价， 就可以计 算出当前的美式看跌期权的价格。 3 . 2 期权有效期内 有n 次红利支付 3 . 2 . 1 期权有效期内有n 次红利支付美式看涨期权 设 在 期 权的 有 效期 内 存 在n 次 分红 ， 分 红 的 时 间 为0 = to tl .二 气 = t . 我 们 采取 只 有 一 次红 利 支 付的 讨 论 方 法对 每 一 个时 间 段(tt，t，+11 进 行 研究 。 记(t， ， tj+l 间 的 期 权 价 格为 k (t ， 又 ) ， 我 们 从 最 后一 个 时 段向 前 推 导。 当气 t t 时，此时美式 看涨期权不会提前执行， 则由 一般的b 一 5 公式可以 给 出此时美式看涨期权的价格: v ( 尽 ，t ) = st n ( 试 ) 一 ke一 护(t-t )n (几 ) 其中， 1 禅，及 2 、 . _ 刀l a ) =一 花 于 =le x p ( 一 月 卜匆 锐 vz 汀乙 .5.口 2 、 一 m 二 舟+ ( r+ ) ( 1 一 t ) k一2 。 万二 丁 ， 峨= 试 一 。 方万 在气 时 刻， 考 虑 分 红 后 的 一 瞬 间， 美 式 看 涨 期 权的 价 格 为: 犷 (t，(l 一 司 5 (tj卜凡 n(砌一 ke一 叹 伙)n( 几 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 其中 试二 及。2 in书冬 +( r +共 习( t一丸) k2 。 沥下 ， 几 = 风 一 。 寸 矛 二 万 记 在第。 次 分红 前 的 一 瞬间 期 权 价 格为今(tn，st.) ， 则 气 一 (tat凡 卜max l st.一 k，班 气 ，(1 一 句 凡) 下 面给出 t 。 (t: ， 们时 ， 期权 的 价 格 的 具体 形 式: ca se l当凡一 k v (tn ， (l 一 句 凡) 时 ， 此时 期 权 将不 会 在几 时 刻提 前 执 行。 我 们 可以得到 k 一 ， (tn ， st.) = v (tn， (l 一 司 凡) 则 在 t (tn 、几 1 时 ， 气 、 (t， st 卜凡 e 一 呱 一 )v (tn ， (l 一 司 凡 ) 引 ca se z当凡一 k 之 f (tn ，(l 一 句 sta ) 时 ， 此时 期 权 将 会 在气 时 刻 提 前 执 行。 我们 可以 得到支付 凡一 k 则在t 任 认_ ， ， 们， k 一 (t ， 况 ) = eq e- 护 “ 一 ， ( st.一 k)l 月 这 样， 我们 对 每 一 个 支 付 红 利的 时 间 点 进 行 分 析， 最 终 可以 得 到t e0 ，t，的 期 权价 格。并 有结论: 推 论 期 权 的 最 优 执行 时 间 只能 在叮 ， 叮 ， 叮 时 刻 发 生， 万 为 时 间 从 左侧 连续 到 心 时 右 的 值， 执 行 条 件 是: f (万 ， (l 一 句 凡) st;一 k 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 3 . 2 . 2 期 权有效期内 有n 次红利支付美式看跌期 权 考 虑 在 期 权 有 效 期内 有n 次 分红 ， 分 红 的时 间 为。 = to tl .二 气 一 。尸 在 无红 利 支 付时 期 权将 会 在唁 时 刻 提 前执 行， 有 红 利 支付 时 期 权 将 不 会在1夕 时刻提前执行。 从而在每个红利支付时刻，美式看跌期权提前执行的可能性都会降低，这也印 证了有连续红利支付的美式看跌期权不提前执行的结论。 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 第四章 离散红利支付下的交割价格浮动的美式回望期权定价 回望期权是路径依赖期权的一种， 如今金融市场上常见的路 径依赖期权还有障 碍期权、 亚式期权等。 由于障碍期权的收益对资产在期权有效期内价格演化的依赖 程度较弱， 所以 把障碍期权归为弱路径依赖期权， 而亚式期权和回望期权的期末收 益 对资产在期权有效期内价格的演化的依赖性较强， 故把亚式期 权和回望期权归入 强路径期权。 回望期权的收益依 赖于标的资产价格在期权有效期内的 最大 值或最小值。 该期 权可以 应用到任何金融资产， 但目 前主要在外汇市场上出 现，并以外汇兑换率作为 其标的 资产. 回望期权一般可以 分为两 种类型:固定执行价格回 望期权和浮动执行 价 格 回 望 期 权。 设t 为 期 权 到 期日 ， 区间 0， t为回 望 期， 记mt二 蕊s( 约和 鱿一 麟 s( 约 分 别 为 资 产 在 0 到 t 时 刻 市 场 价 格 的 最 小 值 和 最 大 值 设路径依赖变量为j，对于回望看涨期权， j (t)= 蕊s( 劝 对于回望看跌期权， j (t)一 畏 黔 s( 吟 浮动执行价格看涨回望期权赋予其持有者在回望期内以资产的最低市场价格 购买某项标的资产的权利，而浮动执行价格看跌回望期权赋予其持有者在回望期 内 以 资 产的最高市场价格出售某项标的 资产的 权利。因 此， 人们也把它称为 “ 买进按 低价， 卖出 按高价”期权。 它们的到期损益分别为: max (sr 一 叭 ， 0) 和 max (m 一 凡 ， 0) 设v 是回望看跌期权的价格， v=v ( 5 ， j ， t ) 这里的j 如上面的定义。 为了 进一步讨论的方便，给出 下面的引 理: 引 理4 . 1 4，1 若 标的 资 产 有 连 续 支 付， 红 利 支 付 率为q 。 则 相 应的 欧 式 回 望 看 跌 期 权 的价格为 当r 笋 q 时: 哪 ，人 。 = je 一心 一t) n(al卜 告 管 闪 n( 一 ba) 硕士论文 离散红利支付下的期权定价 一(t ，n (、 ) 一 告 n (一 、 ) 当r = q 时: 。 (5 ，二 ，卜 一一 二 (、 )+ 、 () 二 (一 、 卜 誓 (: 一 ，)、 (、 一_ 了 不一下 _ 兮 二 五 买 钾 e j + je” 一 挥 咬 乌 ) 其中 互= + (- 宁 + 告 。 2)(t 一 t) j一5 坛 。 方万 乓 = 八 一 。 行下 _ 二. 2 ( r 一 q ) ( t 一 t ) 竹 一吃 宁一一十下于今犷一 哎 丁v l 一 1 口=2 ( r 一 叮 ) 口2 与上述情况类似地，我们可以 建立回望看涨期权定价的数学 模型，即 在区 域 (0 5 j co ， 0 t t)上 求解 定 价 问 题 a 犷 1 1 十 一 民 2 i v (s，j， 丝 。_ l al j 叼 ， 一 ， a z v 口 一 百 一 二 ， 二 a 兮 0= j 一 5 + 沼 丝一 ; 犷 一 。 韶 二o ( 0 j 5 二 ) (0 j co ) 其中 、 (t)= 恤、 )去 、 引 理4 . 2 贫471 若 标 的 资 产 有 连续 支 付 ， 红 利 支 付 率为 q 。 则 相 应的 欧 式回 望 看 涨 期 权 的价格为 当r 笋 q 时: v(s，j，t 卜 一 妇 ) n( * ) 一 委 (与 l-e n( ， ) 口o 硕士论文离散红利支付下的期权定价 一 反一 q (t 刃 n ( 、 ) 一 粤 n (- 。 ) 口 当r = q 时: _ _ ， _、_ ， ， 、 。 ， _ _ 、j 、 . ，、 口 2_ f t 占 ， j ， t ) = 一 韶 ” ” l 刀t 马) + m 昧 ) 刀卜马) 一 二 t l一 t) 川l 一 气) o乙 一 鲁e一乱 一 je 一 t)m 气 ， 其中 马 = 几 =马 一口 in( 荟 )+ (一 ; 、 合 。 2)(: 一 。 。 寸 于 二 下 石 ， 。 一 咐竺 弩 塑 “ 一 罕 引理 4 . 31 47根据无套利原理，美式回望期权的数学模型 ( 以看跌期权为例 )是在区 域(0 5 j 。 ， 0 t t)上， 求 解犷 = v(s ， j， t) ， 使 它 适 合 吵曰 v， f 一 (j 一 “ ) 一 ” 1 刁厂. 亏 1 。 _ ， = u l al - l v 、 j 一 5 ( 0 5三 j 的 ， 0 t t ) (0二 j ao ， 0 蕊 t t ) (