（基础数学专业论文）非对称波动方程的strichartz估计.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文主要研究了两类非对称波动方程，一方面研究齐次非对称波动方程解的 s t r i c h a r t z 估计，另一方面研究了非齐次非对称波动方程解的s t r i c h a r t z 估计，主要分为 三个部分： 第一部分：首先，我们借助非对称波方程解的r r 估计，得到了齐次非对称波 方程解的s t r i c h a r t z 估计。 第二部分：通过建立齐次非对称波方程解的和第一部分的结论，得到方程解在 b e s o v 框架下的s t r i c h a r t z 估计。 第三部分：应用d u h a m e l 原理和齐次非对称波方程解的衰减估计，建立非齐次非 对称波方程解的s t r i c h a r t z 估计。 本文研究了非对称波动方程的柯西问题，运用经典的s t r i c h a r t z 估计方法，给出了 非对称波动方程局部解的s t r i c h a r t z 估计。 关键词： s t r i c h a r t z 估计；b e s o v 空间；非对称波动方程；格林函数 西南交通大学硕士研究生学位论文第1i 页 l e _ e - 目i 目- 目i ii i i l iiipii l 目| j 目目| g 自_ a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yf o rt h es t r i c h a r t ze s t i m a t et ot h ea s y m m e t r i cw a v e e q u a t i o nw i t hh o m o g e n o u sa n di n h o m o g e n o u sc a s e s i nt h ef i r s t p a r tw ep r e s e n ts o m er e m a r k sf o rt h es t r i c h a r t ze s t i m a t ef o ra s y m m e t r i c h o m o g e n e o u sw a v ee q u a t i o nb yu s i n gt h ea b s t r a c ts t r i c h a r t ze s t i m a t e so fk e e l t a oa n dt h e m e t h o do fg r e e nf u n c t i o n i nt h es e c o n dp a r tw eg e tt h ed e c a ye s t i m a t e si nt h eb e s o vs p a c ea n dal o c a le x i s t e n c e r e s u l ti nt h i ss p a c eb yu s i n gt h el re s t i m a t e sf o ra s y m m e t r i ch o m o g e n e o u sw a v ee q u a t i o n ， a n dw ea l s oo b t a i nt h es t r i c h a r t ze s t i m a t e sf o rh o m o g e n e o u sc a s e i nt h et h i r dp a r t ，c o m b i n e i n gt h es t r i c h a r t ze s t i m a t e sf o rh o m o g e n e o u sc a s ea n d d u h a m e lp r i n c i p l e ，w eg e ts t r i c h a r t ze s t i m a t e sf o r i n h o m o g e n e o u sa s y m m e t r i cw a v e e q u a t i o n n a m e l y , w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mf o ra s y m m e t r i cw a v ee q u a t i o n ，a n do b t a i nt h e s t r i c h a r t ze s t i m a t et ot h ea s y m m e t r i cw a v ee q u a t i o nw i t hh o m o g e n o u sa n di n h o m o g e n o u s c a s e s k e yw o r d s ：s t r i c h a r t ze s t i m a t e s ；b e s o vs p a c e ；a s y m m e t r i cw a v ee q u a t i o n ；g r e e nf u n c t i o n 西南交通大学四南父逋大芋 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密母往用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：懊母 同期：扣【o 6 g 指导老师签名： h 期： 痧诊 加h 二g 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： 1 ) 建立齐次非对称波方程解的s t r i c h a r t z 估计。 2 ) 给出齐次非对称波方程解的f 衰减估计，并将其推广到b e s o v 空间。 3 ) 应用d u h a m e l 原理和齐次方程解的衰减估计，建立非齐次非对称波方程解的 s t r i c h a r t z 估计。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：内籼 r 期： 如b6 g 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 在本章中，我们介绍了发展方程特别是非对称波动方程的研究进程，给出了波动 方程解的s t r i c h a r t z 估计方法的研究现状，并对本文研究的主要内容作了系统的概括。 1 1 导引 上世纪8 0 年代以来，f o u r i e r 分析方法越来越多地应用在线性和非线性偏微分方程 中，调和分析( 包括微局部分析) 作为现代数学的一个重要分支，它建立的许多理论和 工具，如：奇异积分算子理论，函数空间理论，算子插值理论，l i t t l e w o o d p a l e y 理论， 拟算子理论，仿微分算子及f o u r i e r 积分算子等已成为研究现代偏微分方程的必备工 具之一。特别地，m e y e r ，c h e m i n 及其学派利用微局部分析技术和函数空间理论，如： b o n y 的仿微分算子理论，l i t t l e w o o d p a l e y 理论，b o s o v 空间，b m o 空间等，发展了 一整套研究磁流体力学方程的技术和方法，得到了一系列深刻的结果。调和分析给偏 微分方程的研究提供了新的工具和方法。 在过去二十年罩，由于调和分析等细致的分析工具的引入和应用，特别是 s t r i c h a r t z 估计，多线性估计以及仿微分演算的应用，波动方程的理论研究，其中最具 代表性的是对于其在低正则s o b o l e v 空间中适定性的研究有了长足的发展。对于一般的 齐次和非齐次对称波方程，到目前为止已经基本解决了其适定性和不适定性的各种机 制。然而就作者所知对于非对称波方程的研究结果还不是很多。 在本文中，我们将主要研究了如下这个非对称波动方程 u h - - u z l , r i = a u r ，工= ( x l ，x 2 ，z 一) 尺”， o ( 1 1 ) i u ( 0 ，x ) = n o ( z ) ，“，( 0 ，x ) = “1 ( 工) 解的s t r i c h a r t z 估计，所用的主要工具是刻化波动方程色散性质的衰减估计。对于齐次 对称波方程的s t r i c h a r t z 估计( 我们称其为齐次估计) ，已经何较为完备的结论 ( 1 ，8 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 6 ) 下面我们回顾齐次对称波方程的s t r i c h a r t z 估计。 1 2 齐次对称波方程的s t r i c h a r t z 估计 s ir i c h a r l z 似汁址结合波力 ；l i ! l ，f ，j 包敝。f ，f 顷和能耐i i ii 给l ，l ，j 仲坩j 1 乃利f 0 牮| ，n 彤撕 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 i i n k t ( 2 - ：q ，厂s ) 的时空估计，它与调和分析中关于锥面上的f o u r i e r 限制定理有着天 然的联系。在过去二十几年中，这个估计的发展与波方程( 更一般的，非线性色散型 方程，比如非线性s c h r od i n g e r 方程) 的适定性理论的发展相辅相成，共同促进，为 我们更好的理解所研究的方程提供了一个很有用的工具。关于， 3 ，s t r i c h a r t z 估计对于齐次非对称波动方 程得以成立。 1 3 非齐次对称波方程的s t r i c h a r t z 估计 在过去十几年中，人们对于齐次和非齐次对称波方程的适定性问题进行了广泛而 深入的研究，在很多方面取得了重大进展( 3 ，4 ，6 ，7 ，1 1 ，1 8 ) 。在 2 中，作者给出了 对于非对称波动方程的柯西问题的r r 估计，不过对于非对称波动方程的 s t r i c h a r t z 时空估计，至今研究的人还很少。 尽管s c h r od i n g e r 方程和非对称波动方程的容许对并不相同，但是我们总是可以 选取统一的容许对进行类比估计。而且对于这个问题，我们受非齐次对称波方程 s t r i c h a r t z 估计结论的启发，在本文第血章中，我们系统的研究了在非线性项f ( x ，f ) 满 足十h 应基本假设的f ；i ，j i 提下，通过s o b o l ( 3 v 嵌入定理、齐次化原理以及标准的 s t ric h a r tzf i l 1 l ，13 对 f 齐次项进行了处理，得剑了非齐次m 对称波动力张的 s lr 沁h i r l7 ( 时，一) 竹汁。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 4 主要结论与文章结构 本文主要内容分为如下几个方面： 第一章，介绍了非对称波动方程以及波动方程解的s t r i c h a r t z 型时空估计的研究 现状。 第二章，给出了s o b o l e v 空i 日j 、二进制理论和b e s o v 空i 日j 的准备知识，并较为系 统的总结了齐次波方程经典的s t r i c h a r t z 估计。 第三章，对非对称齐次波方程解进行r r 估计，得到了方程解的s t r i c h a r t z 估 计。 第四章，在非对称齐次方程解的衰减估计基础上，给出非对称齐次波方程解在 b o s o v 框架下的s t r i c h a r t z 估计。 第五章，应用齐次化原理、g r e e n 函数与齐次非对称波方程解的衰减估计结论，得 到了非齐次非对称波方程解的s t r i c h a r t z 估计。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章预备知识 在这一章中，我们给出了几类重要不等式，介绍了s o b o l e v 空间、b e s o v 空间的基 本结论，并在此基础上系统的总结了齐次对称波方程经典的s t r i c h a r t z 型时空估计。 2 1 常用不等式 在这- d , 节中，我们将论文中将要用到的一些重要不等式不加证明地罗列出来。 ( m i n k o v s k i 不等式) 设1sps0 0 ，则 咀。蚊。f ( x ，y ) d yl p a x ) 石s 正。咀1 y ( x ，y l p 出) i d y ( y o u n g 不等式) 设1sp 墨0 0 ，厂e l p ( r ”) ，ge l l ( r ”) ，nh = ，宰g 几乎处处存在 而且 0 厂木gi i s 0fi i 旷0g1 0 ( g a l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) 假设“e l p ，d ”u 口，1 s p ，qs0 0 ，那么对于任意 满足等式 一1 ：( 1 一三) 三+ 三三 厂，咒pmq 的，以及f ( 0 s is m ) ，都有d u r ，而且存在不依赖于“的常数c 使得 ，1 1 0d 么忆sci i - 屹”l id “嵫 ( h a r d y - l i t t l e w 。d s 。b 。l e v 不等式) 设1 p g 0 , 1 + 1 。1 ，魄，y 尺+ ) pq 2 2 齐次对称波方程的s t r i c h a r t z 估计 众所周知，齐次对称波方程解适定性的一个有效方法就是利用齐次对称波方程的 时空估计，亦即s t r i c h a r t z 估计。在这一节，我们给出经典的齐次s t r i c h a r t z 估计，这些 估计会在以后几章中得到一些应用。 定义2 2 1令刀芑2 ，2s q ，so o ，如果 ! s 盟正一马 ( 2 1 ) 一s i 一一一i l 厶l ， q 2 、2 ，7 那么我们就说( q ，1 ) 是可容许的。另外，我们说他们是径向容许的，如果我们将式子 ( 2 1 ) 改成三 ( h 一1 ) ( 委一! ) ( ( 鼋，) ；( ，2 ) ) q zr 定理2 2 2 ( 单频的s t r i c h a r t z 估计 2 9 】) 令n 芑2 ，庐是一个非负且紧支集的径 向光滑函数，则对于所有的函数厂，我们有估计 0e x p ( i t d ) q ) ( d ) f ( x ) ，s 0 厂| l 。： 当且仅当( g ，r ，r 1 ) 是可容许的以及( q ，r ，1 ) ( 2 ，o 。，3 ) 对于定理2 2 2 应用齐次l i t t l e w o o d p a l e y 定理，我们可以得- i l l l l 下推论： 推论 令6 ；忍( i 1 一! ) 一一i ，则对所有的， b ，我们有估计 i io u0 曰ts0 厂1 0 ，+ 0g ， ( 2 3 ) 当且仅当( 留，厂，n ) 是可容许的以及( g ，n ) ( 2 ，o o ，3 ) 而对于除( m a x ( 2 ，生) ，) 和国，) ；( ，) 之外的可容许组，估计( 2 3 ) 对5 ：b 也 成立。 2 3b o s o v 空间的引进及二进制分解 为了定义b o s o v 空间，我们需要借助于二进制分解。取“b u m p ”函数矿皓) c f 俾”) f 0 s 矿( 亭) s 1 满足 尹( 亭) - 1 ，i 亭l 2 和笋 0 g ( z ，0 ) = 0 ( 3 2 ) g ，( z ，0 ) 一6 ( 工) 我们由f o u r i e r 变换和d u h a m e l s 原理，可以得到方程( 3 1 ) 的解可表示为 u ( x ，f ) = ( a ，一a ) c 拳“o ( z ，f ) + g 宰“1x ，f ) ( 3 3 ) 其中g ( x ，t ) 的f o u r i e r 变换为 ( ；( 亭，f ) ；学t ；二童- 二粤九：兀孺 八0 z 注：我们首先来定义e ( 芋，f ) = z ( 芋) e ( 亭，f ) ，x e c o ( r “) ，s u p p xc d ，+ l x i n ：1 e ：= ( 1 一z ( 亭) ) e ( 亭，f ) 。同时，将方程( 3 1 ) 的解分为两个部分： u ( x ，t ) = ( a ，一a ) g 母“o ( x ，t ) + g 宰“1 ( x ，t ) = v ( 工，t ) + w ( x ，t ) 其。 iv ( x ，t ) 和w ( x ，f ) 分别满足： 移( 善r ) = ( a + + i 宇1 2 ) e ( 亭，f ) 露。，( 亭，) + 0 ，( 亭，f ) ，( 亭，f ) 订( ；f ) = ( 一+ l 亭r ) ( ；二( 耋，) u o ( 亭，) + 西! ( 亭，f ) 正。( 亭，) 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 引理3 2 1 ( 参看 2 】) 若芋d ，；偕r ”，l 引2 s ，i 岛i ， 2 ，l 4 我仃 有 ，+ l 宇1 2 ) ei l e s c t j ，+ i 引2 ) 矗l i l c t i 1 - n g 】i i ，is c t z 0g l | i ，2s c t 14 下面我们给出对于方程解的估计非常有用的引理： 引理3 2 2 ( 参看 2 ) 若“。，“。e l p ( r ”) ，力23 ，存在一常数， 2 ，使得 s u p p t ：。，s u p p t ：，cd ，这时我们可以得到：若p 阻2 ) ，对于v 匆【生，+ o o ，可以得 z p 到： 一睾( 上上)1 一生( 上一上) i k l l 。cf 2 p 9 i b 。i i 。，+ c f 2 p - 7 ib 。i i ：， 引理3 2 3 g = u 。，“。e h ”1 ，1 ( r “) ，刀：- 3 ，则方程( 1 1 ) 的解的高频部分w 0 ，f ) 满足： 1 1w l l r 3 ，我们有下述估计： “ h 矿“一sc 【r l ( 2 v - s 1 ) + r g + r g + r i n z ( ，1 宁i ) c ”“。“+ 。+ “比。“。+ ，c 3 5 ， 证明我们知道 谛= ( a ，+ i 占1 2 ) g ：( 亭，f ) u o ( 亭) + g ：( 亭，f ) 五。( 亭) 由直接运算，我们可以得到 帚= ( 1 一z ( 亭) ) f ( e + p 幻+ f 亭i zo ) 正。+ d 打，1 当q = 2 时， 忪l l ；1 2 = ( l ：i 告( e + e + l 芋i ：g ) 露。+ d 露。】! d 亭) s f ，i 圭( p t7 + p “+ l ；i 二西) 五。1 2 d 亭+ ，：id ( 亭，r ) 打ii 二c ；亭 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 为估计万便，找1 门将上述枳分分为四个郡分分别进仃估计： 0w 嘭= l l 影i e ：誊，。+ ，：+ 3 + ，。 s l i 丢氓1 2 d 宇饥i 峨1 2 d 事 亭陶宇，f ) 历。p 亭i e ( 芋，f ) 五1 2d 亭 对，。口j 。的估计如下： 若亭历；倍r ”，i 引2 ，1 毒i ，这时有 九；避2 s 一开 1 2 j 1 = ，11 + ，l2 = l m f 虿1p ”露。1 2 d 亭+ l ；膨i 虿1p ”露。1 2 d 亭 ( 3 6 ) 分别对( 3 6 ) 做如下估计： ln c lo ：i e a + t - 矗o d 鼍 5c l m p2 la 。i ( 1 + l 乡阿( 1 + i 芋附d 亭 s s u p e 2 ( 1 + i 亭1 2 ) - l ：i 五。( 亭) ( 1 + i 芋陌1 2 矗亭 再由不等式 k su p i 亭l e c i # 1 2 量c ( 1 + f ) 一i 0 陪i = 6 我们可以得到 ，。，董supf2 毒( 1 + i 亭iz ) 一， i i “。 sc ( 1 ) 一亍。峨 ( 3 7 ) 由芋e ，e = 亭r “i i 亭1 2 l 亭i ) ，亭= ( 氧，戋，) ，这时我仃 有 ，tz 2l 。( p 2 i i i l ( 亭) l ：) d 占 sl m 。e 。队亭i 二d 亭ss up e - ( 1 + i 芋i 二) ”帅帆， 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 由九； 2，对于v 亭可得九s 一譬 ，：sc lp 埘r ( 1 + i 亭1 2 ) ( 1 + 蚶) 5la 。( 甜d 亭 s s u p p 制扎( 1 + l 亭1 2 ) - 5 ) | i 。略 1 sct 2 。峨， 若宇d 嗲= 亭r “，i 亭1 2 ，l 皇i ，贝0 有l 亭1 2 艿= l 占1 2 以得出： ，2l 亭1 2 若亭d ： 0 ( 宇，f ) 1 露。( 亭) i ) 2 d 亭 墨c l ：e2 九。id 0 ( 亭) ， 1 2 d 亭 sc 【( 1 + f ) 2 + p 叫】i i “oi l 刍， ，g ( 亭，t ) = e a + e a 一 e 1 + ( 1 我们有i 引2 2 i 岛1 2 ，这时可以得到： ，。s l l 6 ( 纠1 2 | 五，( 钟d 亭 一，4 1 + ，4 2 e 一厨虿) s 厶旧i e ( 亭，f ) | 2 i 玩( 亭) 1 2 蝣+ 丘他1 6 ( 亭，f ) 1 2 1 喀( 亭) 1 2d 亭 l 矿s 帅e c g( 宇，f ) 1 2 i 露。( 亭) 1 2d 亭 s l 帅e c i t 2o k i 1 厅。( 芋) ld 亭 s c 。s u p t 2 e 一( 1 + i 亭1 2 ) 。 0 “。0 ：， 一- - t sce 3 。峨， ，。：= f o ：n i6 ( 亭，t ) l ：。( 亭) i ：d 亭 s c + s u p t 2 e 2 t ( 1 + l 历，( 芋) i ：) 。 。0 “。0 j s c ，二i i “i 峨 e z , t e z - t ( 3 8 ) sce2 t , , t ，可 ( 3 9 ) s t e t ，并且若同时亭e ， ( 3 1 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 我们由上面的估计式( ( 3 7 ) ( 3 1 2 ) ) ，可以得到： i 访i i ：；i i ( 1 - x ( 亭) ) 【丢( p 以+ p - + i 亭1 2 。 毫i l + 1 2 + 1 3 + i4 ) 矗。+ g 五。城： ，1 2 3 5 c 【( 1 + f ) 一j + e 一+ t 2 一】i i “。i i 刍，+ c ( e 一了+ t z ) i i “。l i ；， 由直接运算，则可得到下式 jt1i3 i i 谛。：墨c 【( 1 + f ) 。i + e i + t 4 一】i i “。i i ，+ c ( e 一- f + t 一4 ) i i “。i i h ， 一三一三 一三一! 三 s c 【( 1 + f ) 4 + ( 1 + f ) 2 + t4 】i lu oi i ，+ c ( ( 1 + f ) 3 + t 4 ) i i “，l i h ，( 3 1 2 ) 同时由插值公式和引理3 2 2 ， v2sqso o 这时我们可以得出： s1 1 1 1 w 1 1 p s c 【( 1 + f ) 一i + ( 1 + f ) 一j + f i 】i i “。 ! 【f 2 一三一三 一3 2 2 s c 【( 1 + f ) 4 + f4 + f 4 】g ( 1 l u o 二， 彳一：( 1 一；( o “。o 薯。+ o 肌。o 未) + 1 3 2 + 【( 1 + f ) 一j + f i 】0 “。0 ，) 9 2 忆峨) 一三一三 三 一三f l 一三、 22 s c 【( 1 + f ) 2 9 + f2 9 + f2 9 】。f2 9 ( 1 lu 。0 三，+ 0 “。l l 三，) ( 0 u 。 l 一一2 嶙+ 再由s o b o l e v s 嵌入定理： l 一= 吣。) h 。，_ h 5 1 一，5 l s 2 ( 3 1 3 ) h 坤一h 小n 若s 一旦= s i 一一n ，1 p sp 1 ，s l ，s 二er ( 3 1 4 ) pp ， p n h ”_ l 而，1sp ，0 3 ) 注：若( q ，r ，1 ) 为容许对，一2 ：q 一1 ) ( i 1 一! ) qzr 这时删麻乏1 ( 1 厂叫中等击。乌= 一昱击 一1 ，11 、 2 一r22 r2 7 一扣。i n - 1 五一石一1 其中s 2 ，三( 手_ 1 ) 妒一1 ( 尼25 ) ，互1 ( _ 4 - s - 1 ) s 三1 【一1 z rr _ 1 )么，zz 注：与对称线性波方程相比，由于所研究波方程( 3 1 ) 的非对称性，能量方法对这个 方程在进行p 一口( 衰减) 估计时失效。所以只能得到非对称波方程解的衰减估计式 中的c 是一个跟t ( r ) 有关的常数。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 第四章齐次非对称波方程解在b e s o v 空间的估计 本章将对非对称波方程齐次时解的衰减估计作较为深入的探讨，并将方程解的 s t r i c h a r t z 估计结论进一步推广到b e s o v 空间中去。 4 1 非对称波方程解的r 估计 齐次对称波方程解在b e s o v 空间的衰减估计请参看文献 9 。由b e s o v 空问的定义 可知，要想得到b e s o v 空间的衰减估计，需要给出齐次非对称波方程解的r 估计。根 据s o b o l e v 嵌入定理与插值不等式可以得到： 引理4 1 1 令l p 2 s p ls ，l 3 ，v r e 2 ，+ 叫这时我们有， 1 1 w i l l 二s c ( t 2 i i n 。1 0 + p 3 l i n ，i i l ；) 证明我们由第： 章的定理3 2 4 ，可以得到： i ：。呱磬- + e t + 蝌e ) 。五。+ o 甜d 亭) s ：i 吉( p 。+ p t7 + 蝌6 ) 训2 d 亭+ l i o ( 甜d 亭 f - d ：r 将1 i - 埘伯：波力n f i | 午f l j t t j l 少，r j j 分w ( x ，t ) j 杉! 分分成l j q 个嗣；分： 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 力吩l i i j l c a + t 露。 陆也i 三阳亭 饥f 主i 引2 。 ，r 尬。1 2d 亭+ 1 6 瞎，f 弦。1 2 d 亭 5 e i j l l 口，。的估计如下： 若宇讲一信r “，i 引2 ，i 磊i ，这时有一 ，。sc l 少”f r o1 2 d 亭sc l n p 2 蚶d 占 s s u p e 2 a + t 】l m i 五。( 亭) 1 2 d 亭s 由宇e 。，这时我们有l 引2 s2i 皇1 2 再由a = ，z 2 l m ，( g 2 k i 露。1 2 ) d 宇 c t i l u 。忆 2 s s l 膨e 叫i 露。( 亭) 1 2d 亭ss u p e - ( 1 + j 亭1 2 ) - 5 1 1 “。忆 sp叫胁。吣 2 ，可以得到对于v 亭ed j ，有九s 一譬 ，：sc l e 制l 。l 五。( 亭) 1 2d 宇 s s u p e - 1 5 1 2 1 1 “。| j i ：s c f 一“i i “。| i ： 若手d j ，则有i 亭1 2 6 = i 宇1 2 e + - 一e x - t 艇丁面 ，= l ；( i 亭f 2 o ( 亭，f ) k ( 亭) 咖宇 sc l d ：e 23 t i o ( 毒、) f d 薹 c t 胁。略 若亭d ，c ，贝00 ( 亭，) = e a + - 一e a s 陀1 + ，。sf ，。io ( 亭f ) h 打。( 亭) i 二d 亭 皇2 bi i 亭1 2 sce ，可以得到估计： s ，1 6 ( 亭，i i ：lz ；。( 亭) | d ；+ ，川。f o ( 亭，) | 2 lr i i ( ；) i 二d 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 t2 e2 a + t 2 一- - t sce 3 i l 舀。( 亭) id 亭 i i n 。嵫 由上述的估计式，我们有 | i 力：= ( 1 - x ( 亭) ) 【丢( e k + e + l 亭1 2 。) ，露。+ 6 tl s c 【f i + p i + f i 】。0 “。i l ；： 一三一! s c ( t 2 lu o 吣+ p 3 0比，忆) 下面给出非对称波方程解w ( x ，t ) 的r 估计： 露。眦： 定理4 1 4 假设u o ，l g ，f f ( r ”) ，甩 3 ，v re 2 ，+ 叫，我们可以得到估计 1 f 0 w o rs c ( f j8 “。i i f + e j0 “，i l l ：) 证明再由参考文献l i u - z h o u ( 参看 2 ) 可以得出下面的估计： i i rs i i 访 i i r = 厶【丢( e x t + e x - t + 2g ) 慨+ “，f 宇 s i 丢( e a , t + e & t + 2 。) 哦憎+ 厶i 。( 静) t 若亭矿，这时有- s 一番辛 l 。s 1 ) ：n 。i ea + t - 矗o 考+ l 帅：、i 1 一t 矗。惦 s c 呱n e i e z + t 1 童。惦+ l 憎i e - 五。i d a ) s c 呱n e i , i 。憎+ l 皑p i 五。id 亭) s c 啦p 旨刮e 一函跳；) l sc t 2 0“o 吣 i d 亭 u i f u i 的证明过程与定霸13 2 4 的证i _ ! j j 过科棚类似，通过赢拨运算可得： l iw 忆 s c 【t 2 4 - c ( f ：。| i ，+ p i i ，) ( 4 2 ) 一 pc+ “ -_i 一，- 一 ，+ ，一，一 一 p 西南交通大学硕士研究生学位论文 第19 页 s - _ _ _ _ l 目_ l _ _ _ _ 目= l = e ! | e e e 自- 目! ! = = ! = e 自! ，e l 口_ e e 目! = ! s e 目目目日l 。e j _ i | ，自_ s l l 目_ 自目= _ 目s i g 目g l 自 由插值公式：v 2s ，s ， l l w l l r s l l w 卿2w 哆2 这时我们有 i t 三 一三一1 1 一兰 吐sc ( f 2 lu 。吣+ e 3 i in 。“o 2 i in 。i i r + p 3 i i n ，i i l ) 7 s ( ：( f 一7 1 i。ii主+p一；o“。li主)(f一一1。l一；，ii。o：j；+p一；(1一；ii。ii：j72u 1 2 2 1 i nu) s c ( f 7 i o ：+ p3 忆嵫) ( f 7 o 驴+ p 3 7 1 ) s c ( f ji i “。i t , l l “。o ：i + e ji i “。i i 二l l “。i i 7 一!一三 c ( t 2 i lu 。l i r + e 3 l i n 。 4 2解在b e s o v 框架下的s t r i c h a r t z 估计 本节讨论非对称波方程解在b e s o v f j 的衰减估计，并给出具体的b e s o v 估计式。 要定义b e s o v 空问，我们先给出二进制分解如下： 考虑函数7 7 c f 俾”) 满足 稚，= 罐甚 并且我们定义序列 f ) 越cs ( r “) 满足 妒胎) = 叩( 吾) 一叩( 南) 与此同时，。我们有 s u p p ，；，( 亭) c ( 亭：2 qs l 亭i s2 “) 和 荟妒，c 亭，= ：喜三吕 由此我们可以定义齐次b e s o v 空i h j 雪；。( 尺“) 对于1sp , q 和s 尺装备以f 范数： 舌；。( 尺“) = u g s7 ( 尺”) ：0 “0 癣。 】 b 以社 臼i 齐次b e s o v 窄i l i j 估计为： l if - i ( 妒，训，) 9 ) 9 q 。 s u p2 ”l lf - ( f ，西) 忆i n ( ，= j c ， 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 0 页 首先来讨论齐次非对称波方程解“ ，t ) 的估计： 定理4 2 1 若“( 工，f ) 为方程( 3 1 ) 的解，则对于任意的容许对( g ，) 和( g ，) ( 2 ，o 。) ， 存在常数c 与t 3 有下式成立： m 咄) s g ( 慨i i l - + l l q il l ：) ( 4 4 ) 证明由性质( 4 1 ) 和( 4 3 ) ，这时我们可以得到： s * 1 “。”c f l * 1 i l c t 钿“，i l ：s 2 k7 。l l “池：+ c f 2 2 忆i l z 和 1 1 w l l r sc 7 ( f 2 i l u 。i i f + p 3 i l “。il l - , ) 令( q ，r ) 为最佳容许对，t 4 5 q ( 1 l u 。吣+ l l u 有了上面的一系列准备工作，我们来给出波方程解在b e s o v 空问的时空估计： 定理4 2 2 令( q ，r ，1 ) 为最佳容许对，若q 2 ，【2 ，_ 2 ( i n -