（应用数学专业论文）中国股市的分形结构的检验和长记忆建模.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 如果一个股票市场是属于f a m a 有效市场假设e m i l1 4 0 l ( e f f i c i e n tm a r k e th y p ot h e s i s ) 所说的弱式有效状态。那么任何根据股票价格序列数据去试图预测的努力都是多余的。因 为，今天的价格己经反映了昨天的价格。价格的变化，亦即收益只反映了未曾预期到的信 息，而信息是完全随机的，因此，收益序列也是完全随机的，不可预测闽题在于关于中国 股票市场收益序列的研究分析表明，收益序列绝非是完全互相独立的。它不但存在短期榴 关性，而且还存在中长期相关性。因此，从预测的理论来讲，事件之间的相关性存在使得预 测可行。 本文以分形市场理论( f r a c l a lm a r k e th y p o t h e s i s , f m h ) 和长期记忆模型a t f i m a ( a 椰e g e s s i v ef r a c t i o a d 砸e g r 曲。dm o v i 略a v e r a g e ) 为理论基础，镪述了短期记忆模型、 分形市场理论和长期记忆模型的理论背景、主要观点、假设前提等。然后结合我国股票市 场的现实情况进行实证分析，先对我国沪、深两市日股价指数收益率进行正态性检验，发 现我国股票市场收益率不符合正态分布，与有效市场假说所假定的前提条件矛盾。在此基 础上，进一步用分形统计学的相关方法( r s ) 为手段，对我国沪、深两市的长记忆性进 行实证检验和长记忆建模并用所建的模型进行预测，得出了很精确的结果。 结果表明：上海股票市场和深圳股票市场均具有长记忆性不过长期记忆性在减弱。 最后分析了我国股票市场具有长记忆性的原因并且提出提高股票市场有效性的途径，希望 能为我国股票市场宏观管理者提供管理和决策依据，为广大投资者制定合理的投资策略提 供参考。 关键词；长期记忆模型r s 分析h u r s t 指数a r f i m a 第h 贡武汉科技大学硕士学位论文 a b s t 髓d i ft h es t o c km a r k e ti st h ew e a ke f f i c i e n to ff a m ae 陆_ c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s 。t h e nt h ea n y h a r dw o r kt of o r e c a s tt h es t o c kp r i c ea c c o r d i n gt ot h ep d c es e r i e si su n i s e x u a l b e c a u s et o d a y p i i c ci ss h o w nb yy e s t e r d a yp r i c e t h ec h a n g eo ft h ep r i c e ，i no t h e rw o r d , t h ei n t e r e s to n l yd i s p l a y t h ei a f o r m a t i o nw h i c hw a st m - w e d i c t a b l e , b u ti n f o r m a t i o n 缸c o m p l e t e l y r a n d o m , 8 0 , t h e i n t e r e s ts e r i e si sr a n d o m ，w h i c hi st m - w e d i c t a b l et o o b u tt h es t u d yo fc h i n as t o c km a r k e t i n t e r e s ts e r i e ss h o w st h a tt h ei n t e r e s ts e r i e si sn o ti n d e p e n d e n ta ta l i t h e yn o to n l yh a v e s h o r t - t e r mc o r r e l a t i o n , a l s oh a v el o n g - t e r mc o r r e l a t i o n s o , a c c o r d i 雄t ot h ef o r e c a s t i n gt h e o r y , 曲喀c o w e l a t i o nm a i t h ef o r e c a s tf e a s i b l e t p a p e rb a s i st h ef o u n d a t i o no ff r a c t a lm a r k e th y p o t h e s i s i o n g - m e n m f ym o d e l a g f i m at h e o r y , t h i sa r t i c l ed e m o n s t r a t e st h et h e o r yb a c k g r m m d , m a i ni d e a sa n dt h e m y p r e r e q u i s i t e so ft h es h o r t t e r mm e m o r y 、f r a c t a lm a r k e t 、l o n gm e m o r ym o d e l t h e nt e s t e st h e d a i l yh k i e x e so fi n t e r e s tr a t ei ns h e n z h e na n ds h a n g h a iw i t ht h ec o n s i d e r a t i o no ft h es t o c k m a r k e ti o c f o u n d i n gt h ei n t e r e s tr a t eo ft h es t o c km a r k e to fc h i n ai sn o ti na g r e e m e n tw i t h n o r m a ld i s t r i b u t i o n , c o n t r a d i c t i n gt h ep r e r e q u i s i t e so fe f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s o nt h i sb a s i s t h i sa r t i c l et e s t e st h ee f f e c t i v e n e s si ns h a n g h a is t o c ka n ds h e n z h e ns t o c kw i t ht h ex e l e v a n t m e t h o d so fd i s t r i b u t i n gs t a t i s t i c s a n dm a t eal o n gm e m o r ym o d e l u s i n gt h i sm o d e lt op r e d k l d r a wav e r ya c o t l r a t er e s u l t s 砸把r e s u l t ss h o wt h a tt h es h a n g h a is t o c km a r k e ta n dt h es h e n z h e ns t o c km a r k e ta l lh a v e l o n gm e m o r yp r o p e r t i e s ，b u ti tb e c a m ew e a k e r , w i n l 枷t h e s ef i n d i n g s ，t h i sa r t i c l ec o n c l u d e s t h a tt h e e f f e c t i v e n e s so ft h es t o c km a r k e to fc h m ai sl o w i ta l s oa n a l y z e st h e e a s o n sw h yc 鱼i n a s t o c km a r k e th a v el o n em e m o r yp r o p e r t i e s , p u t t i n gf o r w a r dt h ew a y st o i m p r o v et h e e f f e c t i v e a e s so ft h es t o c km a r k e t h o p i n gt ob ea b l et op r o v i d eb a s i sf o rm a n a g e m e n ta n d s 仃a t e g i e sf o rm a a - oa d m i n i s t e r s , t op r o v i d er e f e r e n c ef o rt h eb r o a dm a s s e so fi n v e s t o r st om a t e s u i t a b l ei n v e s t m e n tp o f i c i e s k e y w o r d ：l o n gm e m o r ym o d e l ，r sa n a l y z e ，h u r s ti n d e x ，a r f i m a 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 1 研究意义 第一章绪论 常用的时间序列模型，如a r 模型a r m a 模型以及a r i m a 模型等，它们都是建立在 相距较远的两个观测值之问完全独立或几乎独立的基础上，这些模型所反映的时间序列的 自相关函数呈指数率迅速衰减，一般称为短记忆过程( s h o r tm e m m y 鲫掷s ) 。然而在很多物 理、水文过程。经济时问序列中存在着一种现象，其数据时间序列中远距离观测值问的相关 性尽管较小，但不能被忽视，其自相关函数呈双曲率缓慢下降。这种现象称为长记忆过程 ( i o n gm e m o r yp m c c s s ) 。对长记忆过程的时间序列仍用传统的时弼序列模型来描述就远远 ， 不够了。 金盈资产收益巾的长期记忆性是指，收益率序耐中粗距较远绚时嗣甸瞎其有显著的 自相关性邸历史事件的影响会持续影响着未来。金融资产收益的长期记忆性具有重要意 义：长期记忆性反映出的对初始条件的敏感依赖性，充分说明了历史信息的重要性，这 显然与“有效市场假定 ( e m i l , e f f i c i e n tm a r k e th y p ot h e s i s ) 相悖。因此，如果股市收益率具 有长期记忆性，则意味着收益是可预测的，这将为投机利润驹出现提供可能性。如果市 场存在长期记忆性，则以往描述金融经济时问序列的短期记忆模型( 如自回归模型( a r ) 、滑 动平均模型( m a ) 、自回归滑动平均模型( a r m a ) 、自回归整合滑动平均模型( a r i m a 等 的有效性将面临严重挑战，必须构建可充分考虑长期记忆性的新模型。长期记忆反映出 股市具有非线性结构。因此传统的线性模型将无法描述股市的本质。基于对长记忆时间序 列的讨论，本文引入对分整自回归滑动平均模型( a r 丹m a ) 的研究。本文介绍a r f i m a 模型 的性质，并通过实例说明经济分析中有必要引入“长记忆性”概念，并建立相应的长记忆的 分整模型。 1 2 研究动态综述 自h u r s t 率先从潮汐数据中发现了水文时问序列中的长期记忆性1 1 1 ( 1 0 n gm e m o r y ) 、 m a n d e l b m t 引入分数布朗运动及分形概念奠定了长期记忆分析的严格数学基础1 2 l 后，长期 记忆研究在流体学、气象学及地球物理学等自然科学领域引起了广泛关注。 1 9 5 1 年h u r s t 提出了经典r s 分析法，来求长记忆参数d 。具有长期相关性的时间序 列适合的模型最卑是由g r a n g e j o y e u x ( 1 9 8 0 ) ，g r a n g e r ( 1 9 8 1 ) p 4 1 以及h o s k i n 9 1 5 l ( 1 9 8 1 ) 给出的，称为非整数次积分模型，它把分数维差分噪声模型f d n ( f r a c t i o n a ld i f f e r e n e c e d n o i s e ) 与自回归移动平均模型a r m a ( a u t o r e g r e s s i v em o v i n g a v e r a g e ) 结合起来，创立 了a r f i m a 模型，用来刻画长记忆时间序列过程。g e w e k e 和p e t e r - h u d a r k 在1 9 8 3 年提出 了从序列的谱密度函数的回归方程中求出d 。后来，l o ( 1 9 9 1 ) 和c h u e n g a n dl a i ( 1 9 9 3 ) 等 的研究发现，h u r s t 的r s 分析在序列包括短期记忆性、序列存在异质性、序列非平稳时， 第2 页武汉科技大学 硕士学位论文 会产生有偏的h u r s t 指数。为此，i o ( 1 9 9 ) 提出了修正的r s 分析 2 0 1 1 2 2 1 。1 9 9 3 年c r a i ge m s 在论文中综叙了这几种方法嘲。 最近2 0 年，经济、金融时间序列的长期记忆性成为经济学、金融学领域的研究热点。 b e 舢1 7 焖较全面的总结了a r f i m a 模型在其他领域的应用研究情况。堪称a r f i m a 模型 应厨研究的经典之作是o o m s d o o m i k 对美国与英国的通货膨胀序列建模并预测，预测 的精确度令人椐当满意 2 0 0 2 年5 月，侯永建对中国1 9 8 5 年6 月1 日年1 2 月3 1 日的外汇市场汇率进 行了分形分析。2 0 0 2 年8 月，天津大学系统工程研究所教授王春峰对沪市( 1 9 9 3 1 4 7 旧0 1 2 2 3 ) 深市( 1 9 9 3 1 1 2 1 4 2 ) 分别进行了长记忆建模1 1 0 l ，樊智1 1 4 】及田宏伟1 1 5 】 分射在他们的硕、博士论文中对a r f i m a 模型进行了应用研究。前者尝试用g a r c r 模 型来刻画a 】婶融随模型中的噪声序列，以反映时间序列的异方差现象，并用上证指数等数 据进行了实证检验。后者则为上证指数、深证成分指数及君安指数建立了 r h m a 鄹豳嘲联合预测模型。苍玉权和章建伟( 2 0 0 3 ) 1 1 6 l 利用谱回归对a r f i m a 模型的分数差分参数进行估计的方法，并据此方法对上证指数收益率的长期记忆性进行了 检验，根据分段检验的结果，得出一些有关我国证券市场有效性的结论。张庆翠( 2 0 0 5 ) 和 王春峰( 2 0 晒) 研究了上证3 0 指数和深圳成分指数所含个股的成交量与收益波动性的长 程相关关裂切应用多变量频域两步半参数估计方法，辅助数据加窗技术对非平稳时间序 列的长期记忆性进行了一致有效的估计研究结果发现中国股票市场的成交量和波动性均 具有显著的长期记忆性，并且对于大多数股票而言，成交量序列与波动性序列具有相同的 长期记忆性 虽然有前人为中国股市建立了a r f i m a - g a r c h 或a r f i m a - f l g a r c ：h 模型。但还存 在以下问题：选取的样本序列个数太少；没有对a r f i m a 模型关于中国股市收益预测 是否有效作出判断。因此，本文的目的是扩大样本序列的个数，集中关注a r f i m a 模型对 收益序列的预测，而忽略对波动性的预测。确定该模型能否捕捉住各收益序列的短期相关 性与长期相关性，并进行有效的预测。 1 3 研究思路 本文实证表明中国股票市场收益率不符合正态分布，市场属于分形结构，然后以分形 市场假说和时间序列的长记忆性为理论基础，结合中国股票市场的现实情况以分形统计学 的相关方法为手段，对我国沪、深两市的进行长记忆性建模，力图对中国股票市场做出准 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 确的模拟和预测。提出提高股票市场有效性的途径，为中国股票市场宏观管理者提供管理 和决策依据，为广大投资者制定合理的投资策略提供参考。 1 4 研究方法 本文以重标极差分析法和a r f i m a 模型及s a $ 、o x m c t r i c e 一1 2 1 3 1 软件来模拟中国股票市 场的走势。另外本文还遵循理论分析与实证分析相结合韵原则方法 i s 本研究的刨新之处 1 本文通过统计检验发现我国股市收益率不符合正态分布，在此基础上，引入了适合 中国股市实际情况的检验方法。即重标极差分析法，并且提出霹j h u r s t 指数作为判断股市有 效性的标准。通过分形的统计方法( r s 分析法) ，对我国股市有效性状态做出了较为可靠的 判断。 2 本文采用我国股市进入规范发展阶段后的最新较长时间历史数据( 2 0 0 1 年1 月1 日至 2 0 0 7 年1 1 月2 日选取较有代表性的样本，对样本进行a r f i m a 模型建模，并做出预测， 得到了很准确的预测结果。 3 本文提出了提高我国股市有效性的合理建议与对策。 1 6 本论文的内容安捧 本论文分为五章： 第一章为绪论。综述了国外、国内研究动态；然后，总结了全文的研究思路和方法；最 后，指出文章的创新之处。 第二章介绍常用短记忆模型，重点介绍分形市场假说和长计议模型。在这部分中， 阐述了本文研究的理论基础，即分形市场假说和长期记忆模型的理论背景、主要观点、假 设前提等：最后对它们进行了简要的评述。 第三章沪、深两市股价指数的正态性检验。通过对沪、深两市收益率的正态性检验， 发现中国股市不符合传统检验方法的假设前提。 第四章沪、深两市分形结构检验和长记忆建模。在这部分中，在上文的基础上，运 用重标极差分析法( r s 分析法1 ，阐述了r s 分析法在股票市场上的应用，指出h u r s t 指数 是衡量股票市场有效性的客观指标。运用重标极差分析法，分别对进入规范发展阶段后的 沪、深两市股价指数日收益率进行了分形检验，发现上海股票市场和深圳股票市场均具有 分形结构，赫斯特指数分别为0 6 1 2 0 和0 5 9 4 6 ，然后对我国沪、深两市的长记忆性进行实 证检验和长记忆建模并用所建的模型进行预测，得出了很精确的结果。 第五章我国股票市场的评论及建议。 第4 页武汉科技大学 硕士学位论文 第二章短期记忆模型和长记忆模型 2 1 短期记忆模型的种类和简单介绍1 2 1 1 短期记忆模型主要有a r 幻p ) 、m a ( q ) 、a n u a ( p , o 、a r i m a ( p ，d ，q ) 模型， 有如下结构的时问序列模型称为p 阶自回归模型，简记为删 再一九+ 懿1 + 如薯一2 + + 晦薯- ，+ 以，o 皇( 摹，) - av a t ( e ，) z ，e ( 乞) - 0 j - f 甄- o , v s f 特别当 i o 时，称为中心化锄) 模型 a l 咿濮型的自相关系数递推公式p k 。掣派_ l + 掣l 反- 2 + + 略俄叩 拖尾性， p 8 ) - 嚣q 譬岛，c ，不能恒等于零 呈复指数衰减p o ) 艺q 对一o ，( 为特征方程的特征根) a r 劬序列的预测 预测值 童( ，) - 魂毫o 1 ) + + 妒 o p ) 预测方差砌r k ( f ) 】- ( 1 + 四+ + g 三。) 彩 其中系数g 称为g r e e n 函数，递推公式为 譬矗川幺舯“ ：等 1 g ，- 熹妒：g 卜。，- t ，2 ，其中“。 ；：。，苫 定义：具有如下结构的模型称为q 阶自回归模型，简记为m a ( q ) 武汉科技大学硕士学位论文 第5 页 【- _ i l4 e t - 岛一1 一吼2 一一吃一。 l 岛一0 i e ( ) - 仉p h ，( z ，e ( ) 一q j - f l 正电- o , v s 特别当- d 时。称为中心化m a ( q ) 模型 m a 模型的性质 常数均值 局- e ( p + 一只- 1 岛岛2 - o q e , - | ) - 鼻 蔼刳赣穷差p j ”盹 ，叫p + 1 日i 山一d 搬2 一一哦 ；( 1 + 砰4 - - - - + 酲) ( 吨+ 薹一山 卜 b g 瞅触脯尾n 。 龚，主鼋 l o ， b 9 竺肭麓憎钆m 预测值 毫 。 ：一荟q 钆“二三 预测方差眺叫芸：鬻：鬻等 定义：具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为a r m a ( p ，q ) 模型 ( a u t o r e g r e s s i o nm o v i n ga v e r a g e ) 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 l 九+ 纸- l + + 昨薯，+ 一只q i 一巴1 咋- 0 ，岛一0 e ( ) - 0 , - 么r ( ) - o 2 ，e ( ) - o , s f 戤- o ，协c f 特别当九o 时，称为中心化a r m a q ) 模型 闰赜l a m q ) 模型的统计性质 均值 协方差 如。南 ，传) z 荟g g + 阶鬻繁 预测值 一掣嚣 预测方差 v a r f e , ( o - - c x t - 1 , c 为任意常数 3 8 “土乳) _ - 1 只1 、秒8 善l _ 工。4 5 ( 1 - b ) 。篆( - 1 ) 1 c ：童其中n 为整数 模夔结捣 f m ( b 。薯- o ( a ) e e ( e ，) ，西v a r ( e , ) 一口；，e ( e , e ，) - o , s - f 、戤i t = o , v s c t 其中，b 为滞后算子，d 为整数，。为白噪声序列，似口) 和o ( a ) 分别为p 阶和q 阶的平稳算子： 垂( b i - 0 l ( 占) 一垂：( 口) 一垂，( 曰) e 聊一l 一0 1 ( b ) - 0 2 ( 口) 一一e j ( 口) a r n 汜a ( p ，d ，q ) 模型的特殊情况 ( 1 ) d 印a r l m m q ) = a r m a o ，q ) ( 2 ) p = o a r n 似p ，d q ) = 叫南q ) ( 3 ) q = o a m m a ( p , d , q ： = a r i ( p ，d ) ( 4 ) d = l ，p = q = 0a r i m a ( p , d , q ) = a r ( 1 ) , 为r a n d o mw a l k m o d e l 模型的预测薯“；( 乞“+ 掣，l 。1 + + 奶- 1 e t + 1 ) + 乞+ 鹕+ 1 乞- l + 令弓回= 纯w + 织乓。- l + “- 卜锡_ 1 岛+ 1 ) t ( z ) t 仰j ，+ 缈i + 1 e ，1 + ) 有： 耳e ，p ) 】- 0 ，铆k i f ) l - ( 1 + 妒；+ + 妒二- ) 彰 2 2 分形市场假说傍h c 叫m a r k 砖h y p o t h e s i s , f m m 2 2 1 分形 “分形几何学，是2 0 世纪下半叶最伟大的科学成就之一。“分形”这个名词是由美国 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 m m 公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年首次提出，其 原义是“不规则的、分数韵、支零破碎的”物质。1 9 7 7 年m a n d e l b r o t 出版了第一本著作分 形：形态，偶然性和维数，标志着分形理论的正式诞生。1 9 8 2 年他出版了著名的专著自 然界的分形几何学，至此，分形理论初步形成i l l 。目前，分形是非线性理论的一个前沿 课题，在不同的文献中，分形被赋予不同的名称，如“分数维集合一h 卸s d 删试集合一s 集合“非规整集合”以及“具有精细结构集合”等等。 m a n d e l b f o t 给分形下的原始定义是：其砘眦d o r f f 维数( d ，) 严格大于拓扑维数( 珥) ，邵 d ，卜4 。后来经众多研究修订，认为分形具有下列特性。 ( 1 ) 具有精细结构，即在任意小的比例尺下，都可呈现出更加精致的细节。 ( 2 ) 其不规则性在整体和局部不能用传统的几何语言加以描述。 ( 3 具有某种自相似的形式，即存在标度率，但不是完全数学意义上的白相似性， 而是统计上的自相似性，或近似的自相似性。 ( 4 ) 一般d ，卜b ，即砌惦d o f 雠数严格大予拓扑维数。 ( s ) 该集可由简单的方法来定义，可能由迭代产生。 ( 6 ) 其大小不能有通常的测度来量度。 一般而言。分形结构有二个明显的特征：第一是自相似性，即重复放大分形的细部( 分 形元) 又可看到与本身相似的结构再度出现，并且这种出现过程具有随机性，即具有标度不 变性。第二是缺乏平滑性，到处都不连续，亦不可微分。 1 分形维1 分形维是特征化一个客体如何满足它的空间，描述了客体如何规模变化。作为物理分 形，这个规模法则在空间里发生。当一个分形物体被置入一个比它的分形维更大的嵌入维 时，它保留了原来的维数，随机分布( 白噪声) 没有这一特性。如果固定数量的气体被放进 一个容积更大的容器，气体将简单地扩散进这个更大的空间，因为没有东西将气体分子捆 绑到一起。而对一个分形的时间序列，这个规模则是统计上的规模变化。在一个分形时间 序列中，相关性把各点聚集在一起，但在一个随机序列中，就没有相关性把各点聚集到一 起了。 分形维是由物体或时间序列如何填充其空间决定的。一个分形的物体是以不均匀的方 式填充其空问的，因为它的各个部分是有关系或相关的。要确定分形维，我们必须度量物 体在其空问中是如何团在一起的。有许多计算维数的方法，但所有这些方法都涉及到算出 分形形状的体积或面积，以及当体积或面积增加时，它的标度如何变化。 1 9 6 7 年m a n d e l b r o t 提出用分形维来比较海岸线的长度。海岸线是参差不齐的线，所以 它的分形维大于1 ( 一条光滑的直线分形维是1 ) ，究竟大多少则取决于海岸线参差不齐的 程度阳。越是参差不齐，则维数越接近于2 ( 一个欧几里得平面分形维是2 ) 。m a n d e l b r o t 认为，通过计算多少个具有某个直径的圆才能覆盖住海岸线，就可以计算出海岸线的分形 维数。m a n d e l b r o t 得出如下计算分形维数的公式。 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 x ( 2 r ) o - l 其中：n - - 圆的数目，r = 半径。d = 分形维数，对其进行一下变换，得出 d 。塑盟 l o g o z - ) 分形维( t h ef r a c t a ld i m c n s i o n 提描述分形的重要指标，它定性的描述一个物体如何填 充其空问。在欧几里得( 平面 几何中，物体是坚固和连续的，没有洞或阃隙。那么，它们 有整数维。而分形是粗糙的，经常是不连续的，因此分形的维数是分数而不是整数海岸 线的分形维介于1 和2 之同，有人计算过挪威的海岸线的分形维是1 5 2 。而不列颠的海岸线 的分形维是1 3 0 。这意味着挪威的海岸线比不列颠的海岸线更参差不齐，因为它的分形维 更接近2 一一 2 分形分布与分形臀| 阔序列j 在时何序列领域中同样发生着由整数维时俺痔殉f 每分数维时同序萝l 的扩展：分数维时 间序列中的分数布朗运动和分数差分噪声，是整数维时间序列中布朗运动和自噪声的扩 展。分数布朗运动就是分形时问序列，它服从分形分布，是有偏的随机游动。分形市场假 说认为分数布朗运动可以更加准确地刻画资本市场的波动。分形分布在经济学文献中被称 作“帕雷托 孤e l o ”、或4 帕雷托莱维( p a r c t o - l c v y ) 或“稳定帕雷托( s t a b l ep a r e t o ) ”分布。 这些分布的性质最早是由莱维( l e v y ) 推倒出来，并于1 9 2 5 年发表的1 1 8 l ，莱维推广了概率分 布的特征函数，形成了下面这个公式： l o a f ( o ) a f 昂一，i f j 。0 + 妒和堆i ) 伽i 研，2 ) 这个公式中有四个特征参数：口、卢、6 和y 。毋是均值的位置参数。r 是可以调整的 标度参数，例如，在日数据和周数据之间的调整。芦是偏斜度的度量其取值范围是 - i ，+ l 】。 当卢0 时，分布是对称的；当卢，0 时，分布是右胖尾的，或向右偏斜的，右斜程度随声趋 向+ 1 的而增加；当芦t0 时，情况恰好相反。a 既度量分布的尖峰程度又度量分布的胖尾程 度。a 取值范围是i o 2 l 。当口= 2 ，一0 ，d - 1 ，r - 1 ，时，分布恰好是正态分布，上式变 成正态分布的特征函数l o g f ( o - f 一p 2 2 ) t 2e m i l 实际上是说口2 ，而f i v i h 认为 口1 1 2 l 这是这两个市场假说的主要区别。然而改变a 的值会剧烈的改变时问序列的性质。 分形分布具有三个主要的特征。 ( 1 ) 分形分布在时f 司上具有足够的自相似性。也就是经过一定的时间标度的调整， 序列的概率分布依就保持同样的形状。 ( 2 ) 约瑟夫效应( j o s e p h e f f e c t ) 。指分形分布趋向于有趋势和循环。约瑟夫效应认为， 同一变量现在时刻的观测值在时间上与以前的观测值有一定的联系，但这种影响有时难以 预料。 ( 3 ) 挪亚效应( n o a he f f e z t ) 。在正态分布中，一个大的突变是因为存在很大数目的小 的突变，定价被认为是连续的。而在一个分形分布中，大的突变是因为一些很小数目的大 的变化而产生，这些大的价格变化可以是不连续的和突然的。股票市场的分形分布可以解 第l o 页武汉科技大学 硕士学位论文 释为什么美国股市1 9 8 7 年1 0 月、1 9 7 8 年、1 9 2 9 年的事件会发生。在那些市场中，流动性的 缺乏引起了突然的和不连续的定价。 2 2 2 分形市场假说内容 分形市场假说的主要内容包含以下五点： 1 市场由众多的投资者组成，这些投资者具有不同投资时间尺度，如长线的和短线的。 这使得他们有着不同的投资行为。 2 信息对于不同投资时间尺度的投资者所产生的影响是不同的。短线投资者的主要投 资行为是频繁的交易，因此他们格外关注技术分析信息。而基础分析的信息对他们没有多大 的价值。而对于长线投资者来说，他们通常认为市场在技术分析层面上所表现出来的趋势并 不能用于长期投资决策，只有对证券进行价值评估才可获得长期的投资收益。 3 市场的稳定在于市场流动性的保持。而这需要同时存在大量具有不同投资时问尺度 的投资者。在证券市场上，正是因为有了大量不同投资时间尺度的投资者，才使得市场既稳 定。同时又有活力 4 价格是短线技术分析和长线基础分析共同作用的产物。一般来说，短期价格变化比 长期价格变化更具易变性。市场发展的内在趋势反映了投资者期望收益的变化，并受整个经 济环境的影响。短期交易行为更多是从众行为的结果。因此，市场的短期倾向与经济长期发 展趋势并无内在一致性。 5 如果证券与经济循环无关，那么就不会有长期趋势。交易、流动性和短期信息将在 市场中起决定作用。 事实证明具有分形结构的市场是稳定韵、有生命力的，具有很好的容错性。全局韵有 序( 确定) 使系统稳定，而局部的无序( 随机) 为系统带来活力。股票市场正是有了大量不同 投资时间尺度的投资者，才使得市场即稳定又具有活力。因为不同投资时间尺度的投资者 都承担相同的风险水平，所以不同时间尺度上的收益具有类似的频数分布，即时间尺度的 不变性。上证综指的日、周和月收益率也具有类似的频数分布，即市场存在统计自相似结 构。来自基本面的信息是长线投资者赖以评估市场的基础，一旦认为来自基本面的信息不 再重要或不可信时，长线投资者就采取短线投资策略或停止交易，大量的卖盘抛出，丽缺 少资金承接，市场失去流动性，那么股市必将崩盘。同样，如果受重大利好信息的刺激， 长线投资者对基本面充满信心，纷纷看好后市，囤积居奇，市场完全由短期投资行为所主 导，失去流动性，变得高度不稳定。只有当长线者再次进入市场，市场才得以稳定。所以 唯有市场保持分形结构，即投资时间尺度不变性，市场才能够提供充分的流动性，抵得住 意外的冲击，维持稳定、活跃的交易环境。和e m h 不同，f m h 认为同一条市场信息对不同 投资时间尺度的投资者具有不同的影响。所以在任何时刻，价格并未反映所有可能的信息， 仅仅反映出对某一投资时间尺度相对重要的信息而已。 总之，f m h 将资本市场看作是一个非线性动力系统，具有和e m h 完全不同的如下特征。 首先，具有长期相关和趋势。价格的变化受历史信息的影响，具有反馈效应。价格变动不 武汉科技大学硕士学位论文第l i 页 是独立的，因此也不遵循随机游动，收益率也不服从正态分布。由于市场恐慌引起的投资 时间尺度趋于一致导致了价格变动的不连续性即价格大的变化，使频数出现了胖尾。 其次，某些条件下或某些时刻的无规市场，如果长线投资者停止交易或本身转变成短线投 资者，短线投资者的群体效应导致价格变化剧烈，可能出现混沌现象。这些条件即为非线 性动力学中引起混沌的临界水平。再者，在更小的时间增量上看上去仍就相同并具有类似 统计特性的收益时间序列，即具有分形结构。最后，全局的有序和局部的无序便短期预测 是可能的，但长期预测则不可靠。之所以可预测是因为长线投资者使价格的变动具有长期 的相关性，即系统有记忆性。短线行为的无序使这种记忆迅速消失，这是对初始条件具有 敏感的依赖性。 幼疆分形理论在资本市场研究中的意义 将分形理论和其他非线性理论引入资本市场的研究，为研究资本市场的效率、波动性 以及其他许多金融问题开辟了一个道路。分形理论在资本市场研究中具有如下的意义： 1 分形理论发展了传统的有效市场理论 与传统的有效市场理论相比，用分形理论来研究资本市场的运行规律，更符合资本市 场实际运动规律。传统e m h 的理论框架是基本线性的市场假设，如市场无摩擦、无交易成 本、无信息费用、投资者的理性和齐次预期假设等。对于资本市场效率及特征的研究主要 集中于价格的波动是否无序、不可预测，市场是否均衡。在实证分析上，主要通过运用布 朗运动来衡量市场是否有效。但是，实际中市场并不像有效市场理论假设的那么简练，而 是经常表现为有偏的随机游走，因此e m i t 的分析往往忽视了市场的一般特性。按照非线性 系统理论，非均衡往往是系统发展的本质。因此，非线性、非均衡系统是一种更一般的存 在。用分形理论研究资本市场解决了有效市场理论中许多前提假设的局限性和缺陷，考虑 了投资者的非理性预期以及市场对于信息反应的非线性因果关系。因此，用分形理论研究 资本市场的非线性波动特性，能够反映一般情况下的市场结构和特征。在分形资本市场理 论的框架下，借助于非线性系统理论和非线性系统动力学，对市场特性的研究更为广泛、 深入和切入本质。因此，有关资本市场的价格波动的分维特性、市场的非线性结构等许多 重要问题是资本市场理论研究的重要内容i 2 分形理论是对资本市场进行定量分析的新工具 传统的e m h 理论难以研究资本市场复杂的波动状态，对于资本市场的研究需要一个由 整数维向分数维的转变，因为它们并不像人们一厢情愿地假设的那样规整。分形资本市场 理论借助于非线性系统理论，一方面解释了市场行为的许多复杂现象，同时也提供了一个 定量分析的途径。非线性资本市场理论展示的是个复杂的市场结构，将分形、分维时间序 列、混沌动力学引入资本市场的波动预测，将会产生更好的预测效果。分形资本市场理论 改变了人们对于市场特性的认识，如波动的长记忆性、收益的自相似性以及市场的混沌特 性等等，这些都是传统有效市场理论所未能包含的。对于资本市场均衡特性认识的改变， 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 将会对资本市场许多问题的分析与定量研究产生影响。 3 分形理论为资本市场的监管与调控提供了依据 在传统的有效市场理论框架下，主要研究价格波动是否满足随机游走的检验标准，而 对于异于随机游走的市场波动状态，则被捧斥于有效市场研究之外，对其产生原因和形成 机理缺乏深入分析。非线性系统理论的应用以及分形资本市场理论的提出，为资本市场波 动特性与结构的研究提出了新方法，分形理论为资本市场的研究构建了一个新的理论框 架。诸如市场的分形维数和非线性结构，市场对于信息反应的非线性因果关系等问题的研 究，对于市场的监管者和政策的制定者，都具有重要的意义。资本市场的非线性特性是产 生分形市场的机理。在实践中，根据对市场特性的分析，可以发现市场的结构形式，制定 一定的监管政策，并且采取适当的调控手段，实现对市场的监管和调控。 2 口长记忆模型x r f i 砌, ( p , d , q ) 金融资产收益存在随机长期记忆性，这是金融理论和实证上需要研究的一个重要阔 题。如果资产存在长期的记忆性，或者说存在长期依赖性，在时间上分散分布的金融资产 收益的观察值就会存在显著的自相关，也就可能通过相距很远的过去值来预测未来值，这 样市场上就可能存在套利机会。因此，存在长期记忆性与有效市场假说是矛盾的，尤其是 随机游走模型下的有效市场假说。如果股价行为确实存在长期记忆性那么资产价格的线 性模型将受到质疑，而必须引入非线性的模型来解释长期记忆特性。m a n d e l b r o t ( 1 9 7 1 ) 发 现，如果股价存在长期记忆性，那么资产价格的鞅模型将受到质疑。另外，如果标的物的 连续随机过程出现长期记忆性，衍生产品的鞅定价模型也会产生问题。这样，金融市场定 价的传统理论将受到严重的挑战。研究长期记忆性的一般模型为g r a n g e r 和j o y e u e x ( 1 9 8 0 ) h o s l d n g ( 1 9 s 1 ) 提出的自回归分数综合移动平均过程一a r 兀m a 。许多实证研究长期记忆 性的文章采用了r s 统计量( r e s c a l e da d j u s t e dr a n g e ) 分析法或周期j 虱( p e r i o d o g a m ) 方法。如 g r e e n e 和f i e l i t z ( 1 9 7 7 ) 研究发现，美国股票市场存在长期记忆性；i o ( 1 9 9 1 ) 改进了r s 分 析法并用其进行实证后发现，美国市场不存在长期记忆性；c h e u n g 和l a i 0 9 9 5 ) 研究后没 有发现世界上几个主要的市场存在长期记忆性；c h o w 等( 1 9 9 5 ) 也没有发现发达国家市场 股票价格存在分形结构。 中国的资本市场属于新兴的市场；其有别于发达国家资本市场的表现，在于其效率往 往低于发达国家的市场。本文主要同时采用两种模型来研究中国市场是否存在长期记忆 性。同时，本文认为，只有在正确理解股价行为的基础上才能建立起真正适合中国市场 的金融理论。 2 3 1 长记忆时町序列的概念 定义：1 如果平稳序列 薯) 的自相关函数n 随时间间隔的增大以比负指数率更慢的双曲率 而缓慢衰减，即：以砖“1 1 ，k m ，其中c 为常数，o d 0 5 武汉科技大学 硕士学位论文第1 3 页 则称 为长期记忆时间序列；而当- o 5 以及琢溺【i n g ( 1 9 8 1 ) 给出的。称为非整数次积分模型 是平稳可逆的，且表现出一种特有的相 关性，称为长期相关性，自相关函数的衰减缓慢。传统的对问序列差分阶数都是整数，这 里的序列差分采用非整数形式。 检验长期相关性的方法常用的有两种，g s 分析和朋球讯t a 模型 a 瞄嘎m a 模型定义 若平稳时阅序列 薯满足差分方程： 争( 口) ( 1 一口，瓴一雎) - e ( b ) a 。 ( 2 2 ) 其中，b 为滞后算子，i d l o 5 ，口，为白噪声序殂h 为的均值，垂( 口) 和e ( 口) 分别为p 阶和q 阶的 平稳算子： 垂( 口) - 1 - o ，p ) 一西2 p ) - o ，p ) e ( 口) - 1 一o i p ) 一9 2 ( 矗) 一e ( b ) ( 2 3 ) 称而服从d ( - 0 5 ，0 5 ) 的分整自回归滑动平均模型，模型( 2 2 ) 中参数d 反映了时间序列 的长记忆性，如果细分，当0tdto 5 体现长记忆过程当_ o 5 - ：dt0 体现为中等记忆过程，参 数q ，中：o ，与e 1 ，e 2 o q 体现其短记忆性。 a r h m a 模型的建模过程 将模型改写为： 垂( 口) 砗一“) 一o ( o x l - b ) - 。口，一e ( 丑) ， ( 2 4 ) 其中仉- v 。4 ，因此 x 3 可以看成由“分数差分噪声”导出f 搀a r m a ( p , q ) 过 程，a r f t m a 模型是分析长记忆时间序列最有效的工具之一，一般来说要先清除原始序列中 的趋势和波动影响，滤除短记忆因素( 利用a r 模型) ，最后分析时间序列中长记忆性因素，对 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 d 进行初步估计，通过