（运筹学与控制论专业论文）关于模糊优化与模糊空间的某些研究结果.pdf

摘要随着在模糊环境下的优化问题在经济生活中的广泛应用，人们希望把更多的经典优化方法应用到模糊优化问题中来但是，由于经典数学中的运算与模糊算子有着本质的区别，使得这种推广十分困难为了解决这一问题，本文论述了一种半线性空间结构，它具有经典线性空间与模糊空间的某些共性，为经典优化方法在模糊优化问题中的推广应用提供了一种基本工具在这个理论框架下，研究了两类具体的模糊优化问题一一模糊关系约束优化问题与模糊数量优化问题在第二章中提出了拟域和半线性空间两个新概念，并研究了这两个代数结构中的重要概念和性质首先给出了半线性空间的基、标准半线性空间等概念；定义了拟域上的矩阵，并用以描述半线性空间之间的变换其次，建立了真半线性空间的概念，并根据真半线性空间的特性，定义了其上的偏序最后，在上面工作的基础上，定义了半线性空间上的凸集及凸( 凹) 映射，并讨论了它们的基本性质，为第三章中新模糊优化模型的建立提供了理论基础在第三章中，依据半线性空间的理论，从模糊向量及其运算的角度重新定义了模糊集、模糊线性空间和模糊线性空间的基，并证明了l u b c z o n o k 、m u g a n d a , 和m a l i k 所定义的三种不同形式的模糊线性空间基都可以转化为本文定义的基提出了模糊数量拟域上的矩阵一一模糊矩阵的概念，并讨论了模糊矩阵与模糊线性变换之间的关系依据半线性空间理论，由模糊数量拟域中的运算诱导出其上的偏序，并在此基础上，提出了与已有定义不同的模糊凸集的概念以上面的工作为理论基础，给出了一种新的模糊优化模型一一模糊数量优化模型，研究了该模糊优化模型最优解的存在性，证明了若问题的目标函数在可行域内是本文意义下的模糊凹映射且有下界，则问题一定存在最优解，且最优值可在其可行域极点( 本文意义下) 达到定义了模糊数量优化的“一确定解，并给出了求解p 一确定解的算法在本章的最后，根据模糊向量的运算及模糊拟域上的偏序，给出了一种模糊线性空间上的度量，并讨论了在该度量意义下模糊线性空间的完备性第四章的主要研究对象是一类具有模糊关系约束的优化问题，称为模糊关系约束优化( f r c o ) 首先根据半线性空间理论，重新从代数的角度刻画了该问题可行域的结构，定义了i 一凸集、i - 凸多面体、极点等概念，进而给出了类似经典线性规划基本定理的结论，在一定条件下，若同题的目标为一个凹映射，则该问题的最优值一定可在可行域的某极点达到以此为基础，对几类具体的模糊关系约束优化问题的算法进行了进一步的研究在汪培庄 6 9 1 工作的基础上，讨论了更一般的格化线性规划模型，给出了其解集的结构及能求得全体最优解的算法；在方述诚等人【1 5 、1 8 4 工作的基础上，对一类线性目标的f r c o 问题进行了深入的探讨，给出了可行域极小点是最优解的必要条件，并由此构造了一个改进的算法新算法进一步缩小了最优解的搜索范围，因而与已有算法相比，计算速度更快最后，我们给出了具有光滑非线性目标的f r c o 问题的一般数值算法数值例子表明，本文给出的数值算法的迭代次数要远远少于已有的遗传算法关键词：模糊数量优化，p 一确定解，模糊关系约束优化( f r c o ) ，模糊关系约束( f r c ) ，格化线性规划，线性目标f r c 优化，非线性f r c 优化，模糊线性空间，模糊矩阵，模糊关系方程，模糊关系不等式，半线性空间，拟域1 1a b s t r a c tw i t ht h ea p p l i c a t i o no ff u z z yo p t i m i z a t i o ni nm a n ya r e a s ，r e s e a r c h e r si n t e n dt oe x t e n dm o r em e t h o d sf o rs o l v i n gc l a s s i c a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m st of u z z yo p t i m i z a t i o n b u ti ti sv e r yd i f f i c u l tb e c a u s eo ft h ed i f i e r e n c eb e t w e e no p e r a t o r si nc l a s s i c a lm a t h e m a t i c sa n dt h o s ei nf u z z ym a t h e m a t i c s t h i si st h em o t i v a t i o nf o rt h i sp a d e rt oc o n s t r u c ta na l g e b r as t r u c t u r et h a th a st h ec o m m o n n e s so ff u z z ys p a c e sa n do r d i n a r yl i n e a rs p a c e st h ew o r kw o u l dp r o v i d eab a s i ct o o lf o rt h ef u r t h e rs t u d yo ff u z z yo p t i m i z a t i o n ，e s p e c i a l l yt h ea l g o r i t h m st h a ta r es i m i l a rt ot h o s eo fc l a s s i c a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s b a s e do nt i l et h e o r yo ft h en e wa l g e b r as t r u c t u r e ，t w of u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e l s ( f u z z ys c a l a ro p t i m i z a t i o na n do p t i m i z a t i o nw i t hf u z z yr e l a t i o nc o n s t r a i n t s ) a r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e ri nw h a tf o l l o w s tw ew i l li n t r o d u c et h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e rb r i e f l y t h es e c o n dc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft w on e wn o t i o n s ，i e ，q u a s i d o m a i n sa n ds e m i l i n e a rs p a c e s ，s o m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ft h en o t i o n sa r eg i v e n f i r s t l y t h eb a s e so fs e m i l i n e a rs p a c e sa r ed 商n e dt h et r a n s f o r m a t i o n so ns e m i 1 i n e a rs p a c e s ，t h em a t r i c e sd e f i n e do nq u a s i - d o m a i n sa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e ma r ei n v e s t i g a t e ds e c o n d l y , t h ed e f i n i t i o no fp r o p e rs e m i l i n e a rs p a c e si sg i v e na n dak i n do fp m t i a lo r d e ri ns e m i l i n e a rs p a c e si sd e r i v e db yt h eo p e r a t o ri nt h es p a c e s l a s t l y ，c o n v e xs e t si ns e m i - l i n e a rs p a c e ，c o n v e xa n dc o n c a v em a p p i n g sa r ei n t r o d u c e da n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e ma r ep r e s e n t e d t h e s en e wc o n c e p t sa r et h eb a s eo ft h en e wf u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e lg i v e ni nt h en e x tc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，b a s e do nt h et h e o r yo fs e m i - l i n e a rs p a c e s ，f u z z ys e t s ，f u z z yl i n e a rs p a c e sa n dt h eb a s e so ff u z z yl i n e a rs p a c e sa r er e d e t i n e df r o map o i n to fv i e wo ff u z z yp o i n t s t h en e wd e f i n i t i o no ff u z z yb a s e su n i f i e st h et h r e eg i y e nd e f i n i t i o n st h a ta x ed i f i e r e n tf r o mo n ea n o t h e ri nf o r m t h ef u z z ym a t r i c e sd e f i n e do nf u z z ys c a l a rq u a s i d o m a i na r ea l s os t u d i e di nt h ec h a p t e r i ti sp r o v e dt h a tf u z z y1 i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yf u z z ym a t r i c e sm e n t i o n e da b o v e a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fs e m i l i n e a rs p a c e s ，t h ep a r t i a lo r d e ri nf u z z ys c a l a rq u a s i d o m a i ni sd e r i v e db yt h eo p e r a t o ri nt h eq u a s i - d o m a i n a n dt h e n ，an e wd e f i n i t i o no ff u z z yc o n v e xs e t si sg i v e nb a s e do nt h e s ew o r k s ，an e wf u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e li sp r o p o s e d t h ee x i s t e n c eo ft h eo d t i m a ls o l u t i o no ft h ep r o b l e mi si n v e s t i g a t e d i ti sp r o v e dt h a ti ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni sal o w e rb o u n d e df u z z yc o n c a v em a p p i n gi nt h ef e a s i b l ed o m a i n ( d e f i n e di nt h i sp a p e r ) ，t h e nt h eo p t i m a ls o l u t i o no ft h ep r o b l e mm u s te x i s ta n dt h eo p t i m a lv a l u ec a nb ea t t a i n e da ts o m ev e r t e xo ft h ef e a s i b l ed o m a i n ( d e f i n e di nt h i sp a p e r ) ，f o rt h eo r d i n a r yc a s e ：肛一c e r t a i ns o l u t i o ni sd e f i n e da n d8 na l g o r i t h mf o ro b t a i n i n gp - c e r t a i ns o l u t i o n si sg i v e n ak i n do ff u z z ym e t r i ci sg i v e nb a s e do nt h eo p e r a t o r si nf u z z yl i n e a rs p a c e sa tt h ee n do ft h ec h a p t e ra n dt h ec o m p l e t e n e s so ff u z z ym e t r i cs p a c e si si n v e s t i g a t e d t h el a s tc h a p t e rf o c u s e so nac l a s so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hf u z z yr e l a t i o ni n e q u a l i t y ( f r i ) c o n s t r a i n t s f i r s to fa l l ，t h ef e a s i b l ed o m a i no ft h ep r o b l e mi sd e s c r i b e da c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fs e m i - l i n e a rs p a c e s s o m en e wn o t i o n sa r ed e f i n e d ，s u c ha si - c o n v e xs e t s ，l c o n v e xp o l y h e d r o n s ，v e r t i c e sa n ds oo n a n dt h e n ，b a s e do nt h e s en e wn o t i o n s ，w eg e tas i m i l a rc o n c l u s i o nw i t ht h a to fl i n e a rp r o g r a m m i n g b a s e do nt h er e -s u l t so b t a i n e db yw a n gf 6 9 】，am o r eg e n e r a lm o d e lo fl a t t i c i z e dl i n e a rp r o g r a m m i n gi si n v e s t i g a t e da sas p e c i a lc a s eo ff r c o ( o p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hf u z z yr e l a t i o ni n e q u a l i t yc o n s t r a i n t s ) b yt h em i n i m a lp o i n t sc h o o s ep r i n c i p l eg i v e ni nt h i sp a p e r ，w e 舀v eam o d i f i e da l g o r i t h mf o rt h ef r c op r o b l e mw i t hal i n e a ro b j e c t i v ef u n c t i o n t h en e wa l g o r i t h mc a r lg e tt h eo p t i m a lp o i n te v e nb yo n es t e pf o rs o m ep r o b l e m s a tl a s t ，w eg i v ea na l g o r i t h mf o rt h ef r c op r o b l e m sw i t hs m o o t ho b j e c t i v ef u n c t i o n s t h r o u g hs o m ee x a m p e s ，i tc a nb es e e nt h a tt h i sa l g o r i t h mi sb e t t e rt h a nt h eo n eg i v e nb yl uf r o map o i n to fv i e wo fc o m p u t a t i o nt i m e k e y w o r d s ：f u z z ys c a l a ro p t i m i z a t i o n ，# - c e r t a i ns o l u t i o n ，o p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t hf u z z yr e l a t i o nc o n s t r a i n t s ( f r c o ) ，f u z z yr e l a t i o nc o n s t r a i n t s ( f r c ) ，l a t t i c i z e dh n e a rp r o -g r a m m i n g ，f r c ow i t hal i n e a ro b j e c t i v ef u n c t i o n ，f r c ow i t han o n l i n e a ro b j e c t i v ef u n c t i o n ，f u z z yl i n e a rs p a c e ，f u z z ym a t r i x ，f u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n ，f u z z yr e l a t i o ni n e q u a l -i t y ，s e m i - l i n e a rs p a c e ，q u a s i - d o m a i n 1 v1 绪论1 1 研究工作的背景及发展现状不确定性是客观世界中广泛存在的一种现象随着对实际问题的研究不断深入，特别是在人工智能方面，人们认识到客观事物的不确定性并不唯一的表现为随机性，模糊性也是普遍存在的不确定现象，因此，模糊数学的产生是人们对客观实际认识发展的必然美国控制论专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年在杂志i n f o r m a t i o na n dc o n t r o l 上的著名论文f u z z ys e t s 标志着模糊集合理论的诞生模糊集合理论在数学领域本身以及许多的实用领域都得到了广泛的应用到2 0 世纪的9 0 年代，已经形成了具有完整体系和鲜明特点的模糊拓扑学，模糊分析学，以及模糊逻辑理论等模糊数学的实际应用已经涉及到了国民经济的各个领域，比如地质勘探、医学、军事、经济学、工业控制等在与优化有关的一些实际问题中，不确定性也是广泛存在的为了更好的解决一些不确定环境中的决策问题，1 9 7 0 年，b e l l m a n 和z a d e h ( 3 1 在多目标决策的基础上，提出了模糊决策的基本模型z i m m e r m a a n 8 5 1 将该模型中的思想应用到数学规划中来，并在众多学者的共同努力下，使得模糊规划，尤其是模糊线性规划得到了迅速的发展，建立了依据可能度理论算法及容差法等模糊线性规划求解方法刘宝碇f 39 1 根据随机规划的建模原理，给出了模糊规划的期望值模型，并建立了模糊相关机会规划理论曹炳元8 1 对模糊几何优化做了深入的研究已有的模糊优化方法大多是依据某种不确定性理论( 比如可能度理论，机会规划和相关机会规划理论等) 把模糊规划问题转化为一般的优化问题求解，而不是把经典优化中的方法直接推广应用到模糊规划问题这是因为对于模糊优化的理论基础，凸模糊集、凸模糊映射等问题的研究，只得到一些理论上的结果，还不足以构造模糊优化的有效算法下面简单介绍有关凸模糊集和凸模糊映射的已有结果z a d e h 在其开创性文章f u z z ys e t s 中提出了凸模糊集概念，并指出凸模糊集在优化中有着广阔的应用前景随后l o w e nf 4 4 】对凸模糊集的性质做了较为详尽的讨论；z h o u 8 6 】提出了基于模糊点的凸模糊集定义，并在此基础上，讨论了凸模糊集的拓扑性质；袁学海 7 9 】推广了凸模糊集概念，给出了( 卢，丘) 一凸模糊集等新概念a m m a r f 2 1 于1 9 9 9 年在定义模糊直线和模糊线段的基础上，定义凸模糊集为隶属函数为凸函数的模糊集在凸模糊集研究工作的基础上，n a n d a 5 1 】于1 9 8 6 年提出了凸模糊映射的概念，随大连理工大学博士学位论文：关于模糊优化与模糊空间的某些研究结果后许多学者都对定义在口到矗( 全体模糊数集) 上的模糊映射做了深入的研究，并期望这些研究能应用在模糊优化，尤其是模糊凸优化中，详见，【5 2 】，【3 4 】，m 6 2 】， 6 4 】，f 6 6 】等其中dfl i 3 4 1 于1 9 9 8 年定义了b - 凸模糊映射，并证明了b ，凸模糊规划的最优解集一定是凸集，且若目标函数严格b - 凸，则有唯一最优解s y a nf 6 2 】2 0 0 1 年定义了多维模糊函数的微分，并在此基础上，给出了目标函数为p r e i n v e x 的模糊优化问题充要的最优性条件；gx w a n g ，c x w u 6 6 l 在2 0 0 3 年定义了凸模糊映射的次微分，并给出了凸模糊规划的一个充分的最优性条件；s y a n1 6 4 1 于2 0 0 3 年推广了凸模糊映射的概念，定义了( 西，也) 一凸模糊映射，并说明了已有的各种凸模糊映射都可看成( ，咖2 ) 一凸模糊映射的子类；证明了当目标函数为妒t b 一凸模糊映射时，问题的局部最优解一定是全局最优解综上所述，由于凸模糊集与凸模糊映射在模糊优化中的潜在应用价值，这一领域一直是模糊数学研究的热点之一，并且也有相当多的研究成果但是，这些结果大多只是做理论上的探讨，至今还没有得到能直接导致有效算法的结论，因此，凸模糊集，凸模糊映射及其在模糊优化中的应用还有待进一步研究在这一研究领域中遇到的主要困难之一就是元素关于运算没有逆元对于凸模糊映射，因为它的值域是由模糊数构成的集合，而由扩展原理定义的模糊数之间加法没有逆元，这使得微分等概念的定义及有关结论的获得十分困难与此同时，在对模糊线性空间的研究中，也遇到了类似的问题，即元素关于运算没有逆元下面将简要回顾模糊线性空间研究的发展概况并说明它与经典优化所依赖的线性空间之间的异同模糊线性空间是由k a t s a x a s 和l i u 在文【2 8 1 中提出的模糊线性空间，也称为模糊线性子空间或模糊向置空间。如下定义t设e 是域k 上的一个线性空间，工是f 的模糊子集称l 为k 上的一个模糊线性空间，如果l 满足f j ) l + l c l ；偿ja lcl ，对任意a k l o w e n 在文 4 4 中给出了模糊线性空间的分解定理，并以此为工具，研究了空间的结构与拓扑性质1 9 9 0 - 1 9 9 1 年l u b c z o n o k 、m u g a n d a 和m a l i k 分别给出不同的模糊线性空间基的概念，其中，l u b c z o n o k 【4 5 j 定义的基是组线性空间中的向量，m u g a n d af 5 0 1 定义的基是一个映射，而m a l i k l 4 6 定义的基是个模糊集合；而后，其他学者分别对以上三种基的存在性、计算方法等做了进一步的探讨，见【1 1 】【4 9 】， 3 5 】， 3 6 ，【3 7 1 ；关于模糊线性空间的其它研究成果可参见文献1 8 1 ， 4 】，i a 2 ， 2 2 1 ，【8 4 1 等但与经典线性空间不同，模糊线性空间理论研究太多是以模糊集合丽不是点为基本的研究对象以模糊线性空问基的定义方式为例，m a l i k 定义的基就是个模糊集台而不是向量组虽然何家儒，z h o uf y 【8 6 ，张家录【8 3 l 等人分别对模糊集，凸模糊集和模糊线性空间的点式刻画给出了一系列的结果，但还没有将这些结果应用到模糊优化中在研究过程中人们2第1 章绪论发现，当应用z a d e h 提出的扩展原理定义模糊点的代数运算时，同模糊数一样，模糊点关于这些运算没有逆元这正是模糊线性空间与经典线性空间的主要区别，也是阻碍建立在经典运算意义下的优化算法在模糊数学中直接推广的主要障碍因此，至今还没有建立在模糊线性空间基础上的模糊规划模型由此可见，对于模糊线性空问，模糊凸集以及凸模糊映射做进一步研究是十分必要的前文中讨论的模糊优化所依赖的两类代数结构( 模糊线性空间、模糊数空间) 有一个共同的特点，即其中元素关于运算没有逆元在对另一类模糊优化模型一一带有模糊关系约束的优化问题以及模糊关系方程的研究中，也发现了类似的问题下面来介绍模糊关系方程与模糊关系约束优化问题的发展概况及存在的问题模糊关系是经典关系的一种推广，描述了客观世界中某些事物之间的不确定性关系，而模糊关系的合成是经典关系合成的一种推广1 9 7 6 年，s a n c h e z 6 0 i 提出了解决模糊关系合成的逆问题，也称模糊关系方程问题，并随后应用在医疗诊断中 6 1 】模糊关系方程广泛的应用于模糊故障诊断，模糊决策，模糊控制，专家系统等诸多领域模糊关系方程是指方程ao o = b( 1 1 1其中a 是一个m n 阶的模糊关系矩阵，即a = ( ) 。，n ， 0 ，1 】，z 是各分量取值f 0 , 1 区间的n 维向量，b 是各分量取值1 0 , 1 区间的m 维向量，“o ”是模糊关系合成运算，。v ”，“a ”分别为取大和取小运算关于模糊关系方程的解法，从问题提出到上个世纪9 0 年代后期，一宣是许多学者关注的问题s a n c h e z 在文【6 0 】中指出，若模糊关系方程解集不空，则存在一个最大解，并给出了解存在的充要条件及最大解的求解方法1 9 8 2 年c z o g a l a 和p r e d r y c a 【1 2 1 对模糊关系方程的解集结构做了进一步的研究，给出了极小解的概念，并证明了模糊关系方程的解集可由极小解和最大解确定，在此基础上，给出了求解模糊关系方程极小解的算法但不足之处是，算法虽然能求得所有的极小解，但同时也可能得到部分其它解1 9 8 4 年h i g a s h i 和k l i m1 2 7 l 修正了c z o g a l a 和p r e d r y c a 算法中部分不妥之处，并给出了满足如下条件6 1 b 2 b 。( 1 3 1的模糊关系方程的极小解算法对这类模糊关系方程，汪培庄于1 9 8 4 年6 7 给出了模糊关系方程极小解个数的确定方法罗承忠等【4 3 】给出t e a , 解的筛选方法关于模糊关系方程的其它研究成果，见【1 1 】，【27 ， 4 7 1 ，【9 1 ， 5 3 】，【4 2 】， 2 3 ，1 3o 】等32lml=t机=一u0。v 触的阶等或大连理工大学博士学位论文：关于模糊优化与模糊空间的某些研究结果一般的，若模糊关系方程( 11 ) 的解集非空，则它有唯一的最大解面和有限个极小解姜1 ，墨f ，方程( 1 1 ) 的鹪集为爿= z 3 15i fs t fsz i )虽然从理论上，模糊关系方程问题已基本解决，但在其应用过程中，还会遇到一些更复杂的实际问题例如，在某些故障诊断中，要求在某种模糊关系约束条件下，求得误差最小的诊断结果为了解决模糊关系方程在应用中遇到的各类问题，许多学者提出了各种具有模糊关系方程或模糊关系不等式约束的优化问题1 9 9 1 年，汪培鹿在文f 6 9 1 中提出了一种弗有模糊关系不等式约束的规划闻题。称为格化线性规划或逻辑规划闻题，用于解决如下类型的模糊推理已知y 是z 的结果；期望y 在一个范围内；则满足一定条件的z 应该是什么?这类格化线性规划的一般模型为或m “，= ，o zs t b s a o sd( 1 4 )l i n ，2c to 。、s t 6 s a 。z sd【1 5 )其中a 是一个m n 阶的模糊关系矩阵，o ( 0 1 1 卜，6 ，d ( 0 ，l j ”，“o ”是模糊关系合成运算事实上，格化线性规划邵为有模糊关系不等式约束和格运算目标的规划问题汪培庄给出了b 满足( 1 3 ) 的条件下格化线性规划的一般算法但对于一般的情况没有给出相应结论，也没对最优解集的结构加以讨论p e e v a 5 4 1 于1 9 9 2 年在总结求解模糊关系方程及模糊关系不等式算法的基础上，也提出了类似的模型，但没有给出具体的算法1 9 9 2 年，w a n gh f 1 7 3 】在应用模糊模式识别解决一类医疗诊断问题中，提出一种具有模糊关系方程约束的优化问题1 9 9 8 年l u 在解决通讯设备的某些问题中也用到类似的规划模型一般的，可将这类问题描述为i i l i n ，( o )s t 、ao o = bx i 0 ，1 1 ， = 1 ，n4( 1 6 )第1 章绪论其中a 是一个mxn 阶的模糊关系矩阵，b 0 ，l 】”，是一个r 上的函数1 9 9 9 年方述诚在文【15 1 中，解决了其中一类具有线性目标的问题，即m i n 皂1c 墨s t a 0 z = bx 。【0 ，1 】，i = 1 ，n其主要的思想方法为：根据问题可行域的特殊结构，将原同题转化为两个具有单调目标函数的子问题，r a i n 羔l 可戤s tao x = b奶【o ，1 】，i = l ，血n ：1 寸墨s t ao z = b挑【o ，l 】，i = 1 ，其中c j = m a x c l ，o ) ，百= m i n c i ，o ，v ，然后转化为整数规划，利用分支界定法求解其求解过程较为复杂，需要验证的约束模糊关系方程极小裤较多2 0 0 1 年l u 和f a n g 4 1 利用遗传算法给出了问题( 1 6 ) 的般算法从文【4 1 】中给出的数值例子可以看出，遗传算法是有效的，但是需要的迭代次数较多1 9 9 8 年，w a n gh ，f ， 7 1 i 在解决固定费用问题中提出具有模糊关系不等式约束的优化问题，并在目标为单调函数的条件下给出了算法，类似的模型还出现在知识库的扩充问题中【7 2 】综上所述，一类具有模糊关系方程或模糊关系不等式约束的优化问厨，越来越多的受到人们的重视，并应用于模糊诊断、模糊决策、专家系统等诸多领域我们称这类问题为模糊关系约束优化( f r c o )问题一般的模型为m i n ，( o )s aoxzdd21b0z d 2、 o ，1 ，i = 1 ，一，n不难看出，格化线性规划问题和( 1 6 ) 都是如上优化模型的特例但到目前为止，对这一类问题的研究，仅限于具有单调目标的模型，而求解具有非单调目标的此类问题，仅有启发性算法，例如l u 4 1 1 提出的遗传算法综上所述，对模糊关系约束优化问题可行域的理论刻画及模糊关系约束优化的一般数值算法的研究，即具有理论意义又有广阔的应用前景。本文将在这两个方面做较为深入的探讨解决模糊关系约束优化问题的困难在于其约束函数是非光滑的，可行域也不是凸集，因而直接用经典的优化方法求得全局最优解十分困难事实上，其根本原因在于模糊关系方程或模糊关系不等式中的运算是格运算，而不是加法、数乘等线性空间中的代数运算而它与经典的线性空间代数运算的主要区别在于，格运算没有逆运算，元素关于这些格运算也没有逆元因此，可以看出5大连理工大学博士学位论文：关于模糊优化与模糊空间的某些研究结果这类模糊优化问题所依赖的代数结构，与经典优化问题不同，而同模糊线性空间、模糊数空间类似，是一种其中元关于其中运算没有逆元的代数结构综上所述，一种与线性空间类似却没有逆元的代数结构是模糊数学研究中诸多领域共同依据的代数结构本文建立了这样一种其中元没有逆元的代数结构，称为半线性空间，研究了它的基本性质，并在此理论框架下，对具有模糊关系约束的优化问题、模糊线性空间及其基础上的模糊数量优化做了较为深入的探讨1 2 本文研究内容与主要结果由于经典数学中的运算与模糊算子有着本质的区别，使得经典优化方法在模糊规始中的推广十分困难为了解决这一问题，本文提出了一种新的代数系统一一半线性空间，它有经典线性空间与模糊空间的某些共性，因此，为经典优化方法在模糊优化问题中的推广应用提供了一种基本工具在这个理论框架下，研究了两类具体的模糊优化问题一一模糊关系约束优化问题与模糊数量优化问题下面简要介绍本文的主要结果第二章提出了拟域和半线性空间两个新概念，并研究了这两个代数结构中的重要概念和性质本章首先给出了半线性空间的基、标准半线性空间等概念；定义了拟域上的矩阵，并用其描述半线性空间之间的变换其次，提出了真半线性空间的概念，并根据真半线性空间的特性，定义了其上的偏序最后，在上面工作的基础上，定义了半线性空间上的凸集及凸( 凹) 映射，并讨论了它们的基本性质，为第三章中新模糊优化模型的建立提供了理论基础在第三章中，依据半线性空间的理论，从模糊向量及其运算的角度重新定义了模糊集、模糊线性空间和模糊线性空间的基，并证明了l u b c z o n o k 、m u g a n d a 和m a l i k 所定义的三种不同形式的模糊线性空间基都可以转化为本文定义的基提出了模糊数量拟域上的矩阵一一模糊矩阵的概念，并讨论了模糊矩阵与模糊线性变换之间的关系依据半线性空i 可理论，由模糊数量拟域中的运算诱导出其上的偏序，并在此基础上，提出了与已有定义不同的模糊凸集的概念以上面的工作为理论基础，给出了一种新的模糊优化模型一一模糊数量优化模型，研究了该模糊优化模型最优解的存在性，证明了若问题的目标函数在可行域内是本文意义下的模糊凹映射且有下界，则问题一定存在最优解，且最优值在其可行域极点( 本文意义下) 达到定义了模糊数量优化的p 一确定解，并给出了求解p 一确定解的算法在本章的最后，根据模糊向量的运算及模糊拟域上的偏序，给出了一种模糊线性空间上的度量，并讨论了在该模糊度量意义下空间的完备性第四章的主要研究对象是一类具有模糊关系约束的优化问题，称为模糊关系约束优化( f r c o ) 首先根据半线性空间理论，重新从代数的角度刻画了该问题可行域的结构，定义了l 一凸集、l 凸多面体、极点等概念，进而给出了类似经典线性规划基本定理的结6第1 章绪论论，在一定条件下，若问题的目标在可行域内为一个凹映射，则该问题的最优值一定可在可行域的某极点达到随后，对几类具体的模糊关系约束优化问题的算法进行了进一步的研究在汪培庄f 6 9 工作的基础上，讨论了更一般的格化线性规划模型( 其约束无需满足条件( 1 3 ) ) ，给出了其解集的结构及能求得全体最优解的算法；并在方述诚等人f 1 5 】、【8 4 l 工作的基础上，对一类线性目标的f r c o 问题进行了深入的探讨，给出了可行域极小点是最优解的必要条件，并由此构造了一个改进的算法新算法进一步缩小了最优解的搜索范围，因而与已有算法相比，计算速度更快最后，我们给出了具有光滑非线性目标的f r c o 问题的一般数值算法基本思想是通过把原问题转化为若干个只具有简单线性约束的非线性规划问题求解数值例子表明，本文给出的数值算法的迭代次数要远远少于已有的遗传算法1 3 预备知识本节将列出论文中将要用到的模糊集理论与模糊线性空间的部分定义及定理；模糊集合的概念、运算及其基本定理，模糊关系及其合成，以及模糊线性空间的基本概念1 3 1 模糊集合、分解定理和扩展原理设x 是一个非空论域x 上的任何经典集合a 可由其特征函数 0 唯一确定，其中孙，= 化耋：嚣于a函数在某点的值指明了该点隶属于集合的程度不过隶属度只取0 与1 两种值，它反映了z 绝对不属于a 和x 绝对属于a 两种情况，因而它只能表现非此即彼的确切概念如果打破隶属程度只取0 与1 两种值的限制，就可以表现“亦此亦彼”的模糊概念定义：给出映射m ：x 一 0 ，1 】，。一肌( z ) ，我们说脚确定一个x 上的模糊集am 称为a 的隶属函数，p ( z ) 称为z 对a 的隶属度当m 的值域是 o ，1 时，a 就是经典集合，而纵就是它的特征函数所以，经典集合是特殊的模糊集合x 上的所有模糊集合记为户( x ) ，称为x 的模糊幂集因为一个模糊集由它的隶属函数唯一确定，有时也将模糊集与其隶属函数等同起来，即记模糊集a ：x 一 0 ，1 】，x a ( x ) 例：设人的年龄为论域x ，z a d e h 给出“年老”0 、“年轻”y 两个模糊集，它们的7蔓壅望三奎鲎竖主堂垡堡塞：差王夔塑些垡皇塑塑窒塑些苤些受塞堕墨隶属函数分别是似扯 ，畦鬟州牡 ，呸鬟模糊数和模糊点是两类特殊的模糊集合。其中模糊点是由p u 和l i u 于1 9 8 0 年提出的定义在非空集合x 上的模糊集z 称为是模糊点，若z ( 。) ：f 凡z = 。；v = x。l0 ，。其中a ( 0 ，1 】模糊数a 是定义在实数轴上的模糊集合且满足如下条件，1 对任意a 【o ，1 1 ，a 。= 如l a ( z ) o ) 是一个凸集；2 存在z r 使得a ( x ) = 1 下面我们介绍只x ) 上的序和运算首先来定义，( x ) 上的序设a ，占厂( x ) ，称a 包含b ，记为b a ，当且仅当对任意2 x ，总有m ( 。) 肋( z ) ；称a ，日相等当且仅当对任意z x ，总有m ( z ) = “b ( 。) ；称a 真包含b ，记为口ca ，当且仅当对任意z x ，总有m p ) 肋( 。) 且存在z o x 使得m ( z o ) “日( o o ) 同经典集合一样，可以定义模糊集的交、并、补等运算设a ，8 ，( x ) ，定义运算a m b ，a n b ，a 。如下：对任意z x ，弘 u f ( z ) = p ( g ) vf 增( z )。p a n b ( 茁) = , u a ( x ) ap b ( 蕾)。p a c ( z ) = 1 一, u a ( x )其中“v ”、“a ”分别为取大，取小运算a u b ，a n b 分别称为模糊集以，b 的并集与交集，而a 。称为模糊集a 的补集可以看出，如上定义的序和交并运算都是经典集合中相应概念的推广不难验证，模糊集的交、并、补运算满足如下性质：幕：等律a u a = a ，a n a = a ；交换律a u b = b u a ，a n b = b n a ；结合律( a u b ) u e = a u ( b u c ) ，( a n b ) n c = a n ( b n g ) ；吸收律an ( a ub ) = a ，a u ( a n b ) = a ；分配律a n ( b u c ) = ( a n b ) l j ( a n a ) ，a u ( b n c ) = ( a u b ) n ( al j g ) ；0 彳满足a n x = a ，au x = x ，a u 口= a ，a n0 = 0 ：8第l 章绪论复原律( a 。) 。= a ；对偶律( a u b ) 。= a 。n b 。，( a n b ) c = a 。u b c模糊集合是经典集的扩充，下面将阐明如何用经典集来表现模糊集，即模糊数学中的基本定理一一分解定理一个元素是否属于一个模糊集是不确切的，如果选择一个阀值a ，a 【0 ，1 ，当x 对a 的隶属程度u a ( x ) a ，便称x a a ，否则称z 不包含在九中这样就得到一个经典集合凡，我们称这个集合为模糊集a 的a 一截集也的直观意义是，若z 对a 的隶属程度超过水平a 者，就算合格成员，那么这些合格成员的全体构成如，它是x 的一个经典子集模糊集合的截集有如下性质：( a u b ) = a u 风( a n b ) x = a n ba 口= 4 a 口a n = x定理：设a ，( x ) ，则有a = ua a 矩i o ，1 】其中p ( 山) ( z ) = a a p 籼( z ) ，v x x ，p 扎为a 一截集的特征函数下面我们来介绍模糊数学中的另一个基本的定理一一扩展原理，它将一个由x 到y的映射扩展成一个，( x ) 到7 ( y ) 的映射有了扩展原理，我们就可以由实数的加法数乘等运算来定义模糊集的相应运算定理的内容如下：定理：，：x y 1z 一，( z ) ，若a ，( x ) ，则，可诱导出一个，皤) 到7 ( y ) 的映射，：f ( x ) 一，( y )a 一，( a ) = u ，( a ) 阻，1 】1 3 2 模糊关系及其合成在自然界中存在着这样或那样的关系，有些关系是确定性的，而更多的是界限不明显的关系，如信息处理中各种信息的相近关系，远远大于关系等模糊关系就是用来描述这些不确定性关系定义：设x ，y 为论域，若r ，( x y ) ，则称r 是x 到y 的模糊关系；若x = y则称r 是x 上的模糊关系对于x x ，y y 冗( z ，y ) 刻画了。对于y 的相关程度如果将r 限制为xx y上的分明集，则此时r 即变为普通的关系，所以，模糊关系是经典关系的推广9大连理工大学博士学位论文：关于模糊优化与模糊空间的某些研究结果定义：设r y ( x y ) ，q 7 ( z z ) ，则称模糊关系r