（数学专业论文）一类耗散的浅水波方程吸引子研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要依赖于一些先验估计、k a t o 理论以及紧致性方法来研究 耗散c h 方程。全文分为三部分： 第一部分介绍浅水波研究背景、c h 方程研究现状和本文主要结 果的概述。 第二部分首先考虑一类强耗散c h 方程在周期边界下解的整体存 在性、指数吸引子存在性；接着证明了其在区间 0 ，1 上的解的局部 存在性和在一定条件下吸引子存在性。 第三部分研究了弱耗散的广义c h 方程的解在全空间上的局部存 在性，方程解具有b l o w - u p 现象及在适当的条件下吸引子存在性。 关键词：强耗散c h 方程，弱耗散的广义c h 方程，初边值问题，整 体解，爆破，吸引子 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sp a p e r ，c - he q u a t i o nw i t hd i s s i p a t i o na t es t u d i e dm o s t l yr e l y i n g o ns o m ep r i o re s t i m a t i o n ，k a t ot h e o r ya n dc o m p a c t n e s sm e t h o d t h e r ea t e t h r e ec h a r t e r si nt h ep a p e r ： 皿ef i r s ts e c t i o n s ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds u m m a r i z et h e m a i nr e s u l t sa b o u tt h e m n es e c o n ds e c t i o n s ，w ef i r s t l yc o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo ft h ec he q u a t i o nw i t hs t r o n gd i s s i p a t i o no nt h ep e r i o d i c a l b o u n d a r y 砀ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o na n dt h ee x p o n e n t i a la t t r a c t o r i so b t a i n e d n e x t ，n ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no nt h ei n t e r v a l 【0 , 1 】a n dt h e a t t r a c t o ra r eo b t a i n e d f i n a l l y , w e c o n s i d e rt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f t h e g e n e r a l i z e dc he q u a t i o no nt h et o t a ld o m a i n t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a l s o l u t i o na r ep r o v e d a tt h es a m et i m e ，t h eb l o w u pp h e n o m e n ai sf o u n d e d u n d e rs p e c i a lc o n t i o n s k e yw o r d s ：s t r o n g l yd i s s i p a t i v ec h e q u a t i o n ，w e a k l yd i s s i p a t i v e g e n e r a l i z e dc - he q u a t i o n ，i n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m ，g l o b a ls o l u t i o n ，b l o w - u p ，a t t r a c t o r s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 保密口 本学位论文属于，在年我解密后适用本授权书。 不保密团 学位敝作者虢帕彳耀 2 0 0 7 年1 2 月1 4 日j 指导教师签名 2 0 0 7 年4 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：彳乡4 唬瞿 日期：2 0 0 7 年1 2 月1 4 日 江苏大学硕士学位论文 1 1浅水波的力学意义 1 1 1 浅水运动的条件n 删 第一章绪论 ( 1 ) 有自由表面 ( 2 ) 以重力为主要驱动力，以水流与固体边界之间内部的摩擦力为主要耗散 力，有时还存在水面气压场，风压力及地转柯氏力等的作用。 ( 3 ) 水平流速沿垂线近似均匀分布，不必考虑实际存在的对数或指数等形式 的垂线流速的分布。 ( 4 ) 水平运动尺度远大于垂直运动尺度，垂向流速及垂向加速度可忽略，从 而水压力接近静压分布。 1 1 2 浅水运动中的实际问题 ( 1 ) 水深相对较浅 这里说的不是根据水深的绝对值，而是根据水深h 与波长l 之比来区分的， 通常当杉0 4 时称为浅水长波，可作为浅水处理。 即使是水深很大的陆架边缘， ，- 因风场，气压场和潮汐波的波长很大，仍可作浅水处理。风浪，涌浪及地转力产 生的e k m a n 流场占相当比重情况则不能作为浅水处理。 ( 2 ) 水深坡度较缓 设底坡倾角为口，判断缓坡的条件是：口s i n g t a t l o f _ ，此时，可以忽略坡 引起的垂直流速和垂直环流，也不必考虑重力加速度及由此产生的动力压力，在 计算中对沿坡底的流速和水平流速可以不加以区分。当底坡较陡时( 如陡槽。潜 坝溢流) 及水底突然升降引起的上升流和下切流等，垂直流速引起的浅水压力改 变了流动的性质，水压分布不同于静压分布。 ( 3 ) 水面渐变及坡度较缓 即使满足上述两个条件，在特定情况下，由于受到天然或人工控制，有时水 面比降仍很大，如小河突发性洪水、闸门突然启闭泄流、涌潮及溃坝、决堤与滑 坡引起的洪水等，水深沿程变化很大的急变流。水压力不能用静压分布来近似， 江苏大学硕士学位论文 当过渡波段相对很短时( 如涌潮) 在数学上常概化为间断，过渡段以外的区域仍 可作为浅水流动处理。 ( 4 ) 无明显垂直环流 对湖泊，水库等相对封闭水域的浅水运动，因这种风作用驱动下的浅水运动 的流速垂直结构不符合对数、指数等分布形式，同样在河湾水流运动中也会出现 槽向环流，这些流动在严格意义上不能作为浅水处理。可见，风生流、河流弯曲 及滩槽交换等因素在垂直平面内产生的环流会给浅水方程模拟带来误差，需加以 修正。综上所述，浅水运动是指在重力作用下的密度均匀具有自由表面，流动近 似水平的长波传播现象。 1 2 水波的基本方程3 删 在只考虑重力作用下的水波运动时，水的可压缩性可以忽略。因此，连续方 程和动量方程可以表示为如下形式： v z ，= 0 ( 1 2 1 ) ( 昙+ “v ) 甜= 一v ( 号+ 髟 + v v 2 甜 。1 2 2 ， 这里甜( x ，t ) - - ( u ，v ，w ) 表示速度矢量，p ( x ，f ) 为压力，p 为密度常数，g 为重力加 速度，为水的运动粘性系数，x = ( 为弘z ) 为坐标矢量，z 轴铅直向上，并取流体 无扰动的静止表面为z = 0 。进一步对无旋的理想流体的速度矢量u 可以表示成标 量势的梯度： 1 , 1 = v t d ( 1 2 3 ) 由连续方程我们得知标量势满足l a p l a c e 方程： v 2 = = o ( 1 2 4 ) 忽略水的粘性作用，并设水深为d ，扰动后相对z = 0 的流体的表面高度为f 。将 式( 1 2 3 ) 代入式( 1 2 2 ) 中，对空间变量积分，并选择适当的积分常数。由此，我们 得到了无旋的理想流体的伯努利方程： 詈+ 三( v ) 2 + g z = 一号，挑斛 ( 1 2 5 ) 为得到实际问题的解，我们还需要知道流体运动所满足的边界条件。显然，水流 2 江苏大学硕士学位论文 是小能流出答器边界的。故在崮定的崮体边界向上，流体的法向速度必须是零， 即： 塑：o (126)co n 、。一。7 这里n 是固体边界面上的单位法向量 现在考虑与大气接触的流体的自由表面。正如上面所假设，自由表面的铅直 位移是f ( x ，y ，f ) ，则自由表面的曲面方程： f ( x ，y ，z ，f ) = z - f ( x ，y ，t ) - - 0( 1 2 7 ) 设自由表面的流体质点x 的速度为q ，则在短时间d t 以后，自由表面的方程变为： f ( x + q d t ，t + d t ) = o( 1 2 8 ) 通过n y l o r 公式将该方程展开，得到： ) + ( 詈圩w 卜。) = 。 n 2 9 ) 注意到式( 1 2 9 ) ，对足够小的d t ，有： 詈岬即= o ( 1 2 1 0 ) 将式( 1 2 3 ) 代入式( 1 2 1 0 ) ，得其等价方程： 筹也六坞白= o ( z - - c ) ( 1 2 1 1 ) 进一步，我们考察与作用力有关的动力学边界条件。在这种情况下，紧接自由表 面之处的压力必定等于自由表面上的大气压力见，则自由面上的伯努利方程为： 詈+ 三( v ) 2 懈= 一告 ( z = f ) ( 1 2 1 2 ) 若考虑流体表面的张力作用，微曲面流体中邻近表面的压力近似为： p 一文誊+ 等 2 ， 舻见叫【紊+ 萨j u 2 1 3 ) 其中口为流体表面的张力系数 则有： 詈+ 三1 ( v 吼酽文等+ 等 _ _ 告仁f ) 2 “， 3 江苏大学硕士学位论文 方程( 1 2 1 2 ) 和方程( 1 2 1 4 ) 也称为自由表面上的动力学边界方程。 1 3 c a m a s s a - h oim 方程的研究状况 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 在研究浅水波运动时， 的色散浅水波运动经典模型k d v 方程： u r + 6 “，+ “嚣= 0 ，t 0x r 引入了描述具有小振幅 ( 1 3 1 ) 其中u ( x ，1 表示波的高度( 相对于平底) 该方程与我们所熟悉的线性波动方程不同，具有一些有趣的性质( 如孤立子 解的存在性、无穷多个守恒律等) ，由此引起了非线性完全可积方程研究的热潮。 另一方面，浅水波运动确实会出现间断现象，而水波间断现象是研究者们感兴趣 的问题之一，于是w l f t t h a m 提出了一个相对简单模型： + u u x + j ! k o ( x f ) ，( x f ) d f = 0 t 0 x r ( 1 3 2 ) 、一羔 舯奇异核k o ( x ) 忑1 f o oi ( t h f ( - p 锄f 来描述波的间断现象，但数值计算结果表明，方程( 1 3 2 ) 无孤立子解，即方程 不能很好地描述浅水波运动。1 9 9 3 年c a m a s s a 和h o l m 在研究浅水波运动时导出 了另一类完全可积方程 1 0 1 2 ： u t 一埘+ 3 “x = 2 u 。u x r + “嬲 ( 1 3 3 ) 而发现该方程带有尖点的孤立子解h ：一i x - c t ，这个解表明方程( 1 3 3 ) 可用于描 述水波不光滑现象。由于c h 方程有许多特殊的性质，所以成为浅水波理论研究 的重要方程。 从数学理论方面，c o n s t a n t i n a 研究了c h 方程周期边值问题整体解的存在性、 谱与逆谱问题、用几何方法描述了长期波与间断波的存在性 1 3 1 6 ，c o n s t a n t i n 和 e s c h e r 研究了c h 方程c a u c h y 问题整体解的存在性及解的b l o w - u p 性质、解的适 定性、弱解的存在性等 1 7 2 1 】，刘正荣和q i a nt f f e i 等研究了一类推广的c h 方程 带尖点的孤波解的存在性 2 6 - 2 9 1 ，高洪俊等用不动点定理证明了c h 方程初值问 题局部解的存在性，f o i a s 和h o l m 等则把c h 方程推广到了三维情形，证明了整 体吸引子的存在性以及粘性系数趋于零时其解趋于n a v i e r - - s t o k e s 方程的解， 4 江苏大学硕士学位论文 s t r a u s s 等人则研究了孤立子解的稳定性 2 2 - 2 5 。 由于e u l e r 方程是关于理想流体的方程，由此得到的c h 方程是关于理想流体 的浅水波方程，但是实际物理流体总是存在粘性作用的，其结果就是流体运动的 能量耗散。在一定的条件下，可以用具有无穷多的守恒量的可积方程来近似描述 实际的具有耗散的物理流体运动，更多的时候我们希望描述流体运动规律的方程 本身就能反映出耗散的基本特性，需要考虑粘性对流动的作用。正是基于这种考 虑，f i o a s 等在管道流的湍流研究中，充分考虑到粘性的影响，推导出了粘性c - h 方程，通常记为v c h e 4 5 4 6 。实验结果表明在适当条件下，v c h e 较好的解释 了槽流和管流中的湍流现象。这是非常有意义的重要的工作。考虑了粘性作用后 的c a m a s s a - h o l m 方程比原来方程更加接近物理流体的真实情况。本文来研 究带耗散的c _ h 方程及广义c _ h 方程有关问题。 1 4 预备知识及主要结果 1 4 1 整体吸引子 定义1 4 1 1 7 】对于有界集n oce ，使得对任何有界集bce ，如存在 f o ( b ) o ，有： s ( f ) bcb o ，v t 岛( b ) 则称鼠为e 中的有界吸收集。 定义1 4 2 1 7 1 设e 为b a n a c h 空间，s ( ，) 为连续算子半群，即有： s ( r ) ：e 专e ，s ( t + r ) = s ( f ) s ( f ) ，v t ，f o ，s ( o ) = ，( 恒同算子) 如紧集赳ce 且满足： ( i ) 不变性：即在半群s ( f ) 作用下为不变集： s ( t ) a = a 。v t o ( ) 吸引性：为吸引e 中一切有界集，即对任何有界集bc e 有： d i s t ( s ( t ) b ，a ) = s u pi n f s ( ，) x y 怯jo ，t - - - , o o x b 一 尤其，当，专o o 时，j ) k u o 出发的一切轨线s ( ，) 收敛于a ，即有： d i s t ( s ( t ) u o ，a ) jo ，j o o 5 江苏大学硕士学位论文 那么紧集为称为半群s ( ，) 的整体吸引子。 定理1 4 1 1 7 1设e 为b a n a c h 空间，s ( f ) 对于定义1 4 1 的条件成立且满足以 下条件： ( i ) 算子半群s ( f ) 在e 中一致有界，即对一切实数r 0 ，存在常数c ( r ) ，使得 当l l u l l e j i c 时，有0 s ( ，) “k c ( r ) ( ) e 中存在有界的吸收集玩 ( 1 i i ) 当v ，o 时，s ( f ) 为全连续算子 则算子半群s ( ，) 具有紧的整体吸引子。 命题1 4 1 1 7 1若将定理1 4 1 中条件( ) 中的有界的吸收集玩改成为存在紧 的吸收集岛，则条件( ) 中s ( f ) 为全连续算子可改s ( ，) 为连续算子，这时定理 1 4 1 的结论仍成立。 定理1 4 2 1 7 1 设e 为b a n a c h 空间，s ( ，) 为连续算子半群，设存在一个开集u 和一个有界集b ，使得b 在u 中是吸收的，又若满足条件： ( i ) 半群s ( f ) 对充分大的t 是一致紧的，即对每个有界集b ，存在f t o ( b ) ，使得 u s ( t ) b 在e 中是相对紧的，或： ，t o ( b ) ( ) s ( t ) = 墨( f ) + 曼( f ) ，其中算子s ( ) 对充分大的t 是一致紧的，算子最( ) 为连 续映射，岛( f ) ：e e ，且对每个有界集bc - e ，有： ( f ) = s u p 慨( f ) 班寸o ，t - - o o 彩b 则b 的极限集魍= w ( b ) 是紧的吸引子。 1 4 2 指数吸引子 定义1 4 3 1 3 7 1 对于一个连续算子半群s ( r ) ，若存在l o ，使得s ( ) 满足 对一切7 7 ( o ，s ) ( o f 1 ) 存在一个秩为o 幻) 的正交投影氏，使得v 甜，v e b ， 若： i i 级( 瓯一鼠) 忆0 氏( 瓯- s ，) l l x 6 江苏大学硕士学位论文 则有 i i s - s ，l l 工- 7 7 l l u - v l l 则称s ( ，) 在b 上满足挤压性质。 定义1 4 1 1 3 8 j 指数吸引轨道且关于流的正向不变的一类紧分形集叫做指数 吸引子。 定理1 4 3 | 3 8 1 如果算子半群s ( f ) 在b 上满足挤压性质且在b 上满足l i p s 连续性，则s ( r ) 在b 上存在一个指数吸引子m ，使得： d v 似) 0 ，1 + 1 ：1 pqp q 3 肺，a c r 不等式 8 m 帕) 出m h 古( 州x ) 吉 其中1 p ，g ，! + 一1 ：1 4 a g m o n 不等式 8 设qcr “是关于每个坐标都是l i p s c h i t z 连续的，则存在 仅依赖q 的非负常数c ，满足： 7 江苏大学硕士学位论文 z ，l 扣( q ) c i f “0 ；譬( 。) 0 甜l l 丢警( n ) ， c 0 甜0 丢譬( n ) i i z ，0 ；譬( q ) ， n + 2 v u 日2 ( q ) ，提偶数 n + l v 甜h2 ( q ) ，拧是奇数 5 p o i n c a r 6 不等式 9 设四( q ) 表示有界开区域qc r ”上一切m 次连续可 微，并在边界触的某邻域内为o 的函数集合。即： c 7 ( q ) = u e c ( 五) i 甜( x ) = 0 ，当x 触的邻域) 那么v u c 彳( q ) 有： 肛甜( x ) 1 2 d x - ，若h 。eh ，则上述方程的解是整体 存在的，在x ( x = 日2 ( q ) ) 中存在有界吸收集且且其解所确定的算子半群s ( f ) 在 石中存在整体吸引子a ，则a = 国( 蜀1 ，b = us ( ，) 且是x 的不变集。 0 r g 其中垦= 甜xi | | 甜睡夕) ( p 是正常数) 2 方程的解算子半群s ( ，) 在口中存在指数吸引子m ，使得： 砟) o 此 方程存在唯一的局部解。 2 若条件( i ) 、( ) 、u o 日4 ( q ) n 硝( q ) 且占掰( 1 ) 一砜( 1 ) 。( 1 ) = 伊( ( 1 ) ) 满 足，那么对于v t 0 ，此方程有唯一的整体解。 3 若条件( i ) 、( ) 、h 4 ( n ) n n t ( n ) r 占, , o 脯( 1 ) - 8 u o ( 1 ) u o 搿( 1 ) = 伊( ( 1 ) ) 成 立，那么此方程的解所确定的算子半群s ( f ) 在h 2 ( q ) 上具有全局吸引子。 第二部分：研究弱耗散的广义c h 方程： l l t u x x t 一+ g ( z ，) ，= 2 u x u x 。+ ”z k t o ，x r 在全空间上局部解的存在、爆破现象及整体吸引子。具体的阐述如下： 1 u o h 3 ( r ) ，g ( u ) 嘧( r ) ，那么存在t 0 ，方程有唯一解 u ( x ，) c ( 【o ，丁】，h 3 ( r ) ) n c 7 ( 【o ，丁】，日2 ( r ) ) ；并且映射 日3 ( r ) - u ( x ，f ) c ( 【o ，丁】，h 3 ( r ) ) 是连续的。 2 若u o 日3 ( r ) 且是奇的，同时满足 甜，( o ) ox q ( 2 1 3 ) u ( x ，0 ) = a o ( x ) ( 2 1 4 ) “( o ，0 - - u ( 1 ，t ) 蚝( o ，f ) = ( ，t ) u x x ( o ，f ) = ( ，于) ( 2 1 5 ) 在周期边界条件下的解及其整体吸引子存在性，在此基础上我们研究更一般的情 形，即： 珥一u x x t + 虬+ 3 u u ，一c ( u 就一) = f l ( 2 u ，u x x + 甜“蹦) t o 石q ( 2 1 6 ) u ( x ，0 ) = u 。( x ) ( 2 1 7 ) u ( o ，) = 甜( ，r ) 咋( o ，f ) = 以( ，) ( o ，f ) = ( ，f ) ( 2 1 8 ) 其中占是耗散系数，本文讨论s ，y 为正实数的情况下该方程的解及吸引子问 题。 1 0 江苏大学硕士学位论文 2 1 2 指数吸引子的存在性 本节中( ”，) = 如w a x 表示d ( q ) 中的内积，q = 【0 ，】，l l i i = 1 1 1 i p 表示由内积给 出的范数，1 1 - 1 1 。= 1 1 岫，l i 洲2 矿= 妻i l 窘1 1 2 ( 厅= 1 ，2 3 ，4 ) ，令x = 日2 ( q ) y = 日1 ( q ) 显然xqy 是紧嵌入。 引理2 1 1 设日= “iu er ( q ) ，且( 2 1 8 ) 式成立，若h 。eh ， 则方程 ( 2 1 6 ) 一( 2 1 8 ) 存在唯一整体解。 证明：在q 上用u x 寸方程( 2 1 6 ) 1 棚j 2 9 _ 作内积，有： ( u t ，“) 一( 甜枷，甜) 一g ( “勰，“) + g ( 以一， ) + y ( z ，u ) + 3 ( u u ，甜) = f l ( 2 u x u , = ，) + ( “z k ，u ) ( 2 1 9 ) 通过分部积分及周期边界条件： u t , u ) 一u x x t ，甜) = 垴咋z 胁一【甜k + 如础= 圭岳( 2 + l l v ”n ( 2 1 1 0 ) ( ，”) = 【甜】q 一如甜：出= 一胁1 1 2 ( 2 1 1 1 ) ( “，“) 2 “2 q 一2 h 甜u , , u = d x = - 2 ( u x u 麒，甜) ( 2 1 1 12 ) ( ，甜) = 【“】q u x l l x x q + b 出= l | 甜| | 2 ( 2 1 z 3 ) 故有： 黜甜i2 + l v 甜l | 2 ) + 2 占v 甜1 1 2 + i i a ”i | 2 ) = o 设五是算子一等在周期边界条件下最小特征值，则上面的等式满足： 黜甜| 1 2 + u v 甜咿2 咖2 + i v 甜卟。 根据g r o n w a l l 不等式有： 2 + 酬1 2 1 2 + i i v o 盹啦甜= o 将式( 2 1 1 4 ) 在【f ，f + f 】上积分，得： 艿肜竹吣“( 哪+ i v 甜( 讲p 川 在q 上用比。对方程但1 6 ) 两边作内积，有： 1 1 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 i s ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) 江苏大学硕士学位论文 ( u t ，z l x 。) 一( 1 l 埘，u x x ) 一占( ，) + 占( ，) + y ( 甜。，) + 3 ( “畋，u x x ) = ( 2 甜，材。，“。) + ( z ，够。，z k ) 通过分部积分及周期边界条件得： ( 2 1 1 8 ) 丢( | 2 + l i v 甜| 1 2 ) + 2 s ( m 1 2 + | i v 甜n = 6 ( ) 一3 , b ( u x u 盯，) ( 2 1 1 9 ) 利用h g m o n 不等式、h s l d e r 不等式、s o b o l e v 嵌入定理，我们可以得到： ( 2 2 x ，x x ) - lu l i 。i l v u ll l a u l j q j k au x u 三a x t o ( b ) ，使得： l i s ( t ) u 。峙 - t o ) 再根据文献【7 】，引理2 1 2 的结论成立。 弓i 理2 1 3 1 3 5 1 设u 0 ( x ) b ，则有i k 0 。l i v u 忆毛 0 z f i i 。岛 l i v a n 忆岛i l u - a u 。缸l l v ( 甜一材) 忆毛镌( s = o ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为正常数 根据文【3 5 】知非线性演化方程： v f 一山+ 狮m + m v l ，= 0 ( 2 1 3 5 ) 的算子在x 上是有界共轭的且正的。方程( 2 1 6 ) 可化为类似形式，设 乃) ， 江苏大学硕士学位论文 表示算子在周期边界条件下特征值序列且五是最小特征值， o o ，c ，c 1 ，c 2 为l ：j t ，无关的非负常数，l 是一正常数，露( 肼) 为m 的分形维数。 证明：将方程( 2 1 6 h 2 1 8 ) 重新表述为如下形式： u t - - a u t + “- e 丛( u 一甜) + 2 ( 甜一甜) v 材+ 甜v ( 甜一a u ) + 3 ( 1 一) ”v “= 0 u ( x ，o ) = ( x ) ( 2 1 3 8 ) u ( 0 ，f ) = “( ，f ) 蚝( o ，t ) = u x ( 1 ，) ( o ，f ) = ( ，f ) ( 2 1 3 9 ) u 1 ( ，) ，”：( r ) 是方程( 2 1 3 7 ) 一( 2 1 3 9 ) 的解，i go = u ( f ) 一u ：( f ) ，则有： 倪一a o , + 刀口一丛( 乡一a o ) = _ 2 ( 秒一a 0 ) v u 。一2 f l ( u ：一a u ：) 一p u 。v ( o a o ) 一p a 咿( u ：- a u 2 ) 一3 ( 1 - f 1 ) 0 v u , 一3 ( 1 一p ) u ：v o o ( x ，0 ) = o o ( x ) o ( o ，f ) = o ( i ，t ) 晚( o ，f ) = 色( z ，t ) 吒( o ，f ) = 氏( ，t ) 用0 对式( 2 1 4 0 ) 两边在q 上作内积，由于( v 0 ，0 ) i n = 0 ，得到： 五i 。d ，( 0 1 2 + l i v 目1 1 2 ) + 占( 0 v 秒1 1 2 + l | 口0 2 ) = 一( 2 p ( o 一o ) v u l , 9 ) 一 ( 2 1 4 0 ) ( 2 1 4 1 ) ( 2 1 4 2 ) 一( 2 f l ( u ：一甜：) v o ，0 ) 一( “。v ( o - a o ) ，0 ) 一( v ( z 乞一a u ：) ，0 ) 一( 3 ( 1 - f 1 ) o v u , ，o ) - ( 3 0 - p ) u ：v o ，0 ) ( 2 1 4 3 ) 对式( 2 1 4 3 ) 右端第一项分别利用h 6l d e r 不等式、s o b o l e v 嵌入定理、p o i n c a r e 不等式、y o u n g 不等式，得： 1 6 江苏大学硕士学位论文 i ( 2 p ( o - a o ) v u , ，口) l i ( 2 刃，口) i + l ( 2 肚田，秒) i - 2 p l v u 。+ 2 , 8v 材, l l l l a o l l l e l 2 v 忆0 e li o + 2 f li v u , 忆i i a o li o l i 触一帆k ( 1 l e l l 2 + i v o l l 2 ) + 所i 酬讲+ m 1 2 ) ( 2 1 4 4 ) - 4 一j | j lle l l 2 + 2 p g v o l 2 + 所la e l l 2 根据h6l d e r 不等式、s o b o l e v 嵌入定理和p o i n c a r 6 不等式，得： l ( 2 f l ( u 2 一a u ：) r e ，秒) i - 2 ，l l u = 一咄 v o 8 0 - 2 p 42 颤l i v e l l 2 ( 2 1 4 5 ) 类似( 2 1 4 4 ) 计算过程，可得： l ( e u 。v ( e 一口) ，o ) l - pl u , i 。iv o l le l + lu , l l 。iv a e le l 所j 。i v e ll v o l + 去纠哪+ 号1 w e l 2 所j k o l l v 秒f | 2 + l q sp 2 矿删v e l l 2 + l l e l l 2 ) + 割弘秒0 2 l ( 胛( 甜：一a u 2 ) ，目) 卜p l v ( u ：一a u ：) o le l i l ( 3 ( 1 - f 1 ) ；k t t t i ，0 ) _ 3 ( 1 - f 1 ) i v u , i i 。0 0 l lo 3 , 1 1 1 ( 1 _ p ) lv u , i 。l e llv e l l 吾( 1 一) 丑一j 酬口j 1 2 + 妄( 1 一) a 一l v e l l 2 ( 2 1 4 8 ) l ( 3 ( 1 一) h ：v o ，秒) l - - - 3 ( 1 - p ) l u ：i 。o iv o l - - - 3 ( 1 - f 1 ) & 一j k o l l v e l 2 ( 2 1 4 9 ) 用一a 0 对( 2 1 6 ) 式两边在q 上作内积，得： 丢刹d 秒n i v o l l 2 ) + 巾研+ 1 2 ) = 一( 2 p ( e 一秒) 。，枷) j 剧 v卜 州叫 0 毛 1 2 一i_i 硎 阳 护 5 钏! 礓 旯 地一似 一2 + 一 旷 也 咿 ，j _ 一 5陬! 魄 w 扣 v i = 江苏大学硕士学位论文 一( 2 ( 甜：一甜：) v e ，臼) 一( l ，v ( o - a o ) ，口) 一( v ( “：一a u ：) ，一a 0 ) 一( 3 ( 1 一) 田，一护) 一( 3 ( 1 一) v 臼，口) 式( 2 1 5 0 ) 的右端各项计算类似于式( 2 1 4 3 ) ，得： i ( 2 p ( o a 8 ) v u 。，一a e ) l - l ( 2 e e v 甜l ，- a o ) - ( 2 f l a s v u , ，一秒) l 融。m 。忆( 1 v e t 2 + i l a e l l 2 ) + 2 f l v u , 秒0 2 运用n = l a g m o n 不等式，州l 。州刚v d 其中是仅依赖于q 的非负常数，有： v 甜，1 1 2 。2i l v 洲0 ( 2 1 5 0 ) ( 2 1 5 1 ) 再由p o i i 廊芒不等式，得： i i v , 12 0 0 - - - - 2 i v | | i | l i z 五一j 1l v 坼l i l l y k ，0 v k ： 一j 1 | | v 坼忆 则有： ( 2 ( 乡一a 8 ) v u 。，一秒) f l ( 2 秒9 约，- a o ) - ( 2 f l a o v u l ，一矽) l 似一 v u l 。( v o i 2 + i a e l 2 ) + 2 励2 a 一v a u 。秒1 1 2 似一iv a 1 2 + 丑一i i a e l l 2 + 2 f l 2 2 a j 毛0 毋0 2 ( 2 f l ( u ：一a u 2 ) r e ，一秒) i 2 刚材：- a u ：v e ll a o l _ _ _ 2 # 4 = k , l a e l 2 ( j b u l v ( 8 一口) ，一乡) i 0 坼忆iv e la e l l + p l l 材。忆i i v a e l l l l a e l l 似一i k ol 的1 1 2 + 土z s 2i l u , 1 1 2 。j j e l l 2 + 扣研 所j k o 忪口1 1 2 +