（流体力学专业论文）线性分层流体中水波与结构物的相互作用.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 实际的海洋经常由于温度、密度沿铅垂方向的变化而呈现层化结构。本文 采用线性连续分层模式，研究了水波与三类典型的海洋结构物( 垂直薄板、水 面漂浮矩形箱、截断圆柱) 的相互作用，着重研究结构物对入射波的散射、振 荡结构物的辐射以及结构物所受的波浪载荷问题。 本论文的主要工作和成果如下： 1 ) 解析求解了线性分层流体中上述三种结构物的水动力特性问题。在 b o u s s i n e s q 近似下，基于分离变量法，导出了具有自由面的平面行进波的色散 关系。计算结果表明，当入射波频率大于浮力频率时，流场中只有一种模态的 平面行进波：当它小于浮力频率时，流场中可存在无数多个模态的平面行进波。 2 ) 研究了水面漂浮和座底半潜式的垂直薄板的反射能量与透射能量，并对 作用在薄板上的水平波浪力进行了计算分析。结果表明，流体的线性分层对水 动力有显著影响。特别是，当入射波频率小于浮力频率时，与第一模态入射波 的情形相比，其它模态入射波的能量转化量及其对薄板产生的水平波浪力都要 大得多。 3 ) 研究了水面漂浮矩形箱和截断圆柱在分层流体中的散射问题。计算分 析表明，流体的分层效应十分明显，特别是在入射波频率小于浮力频率时，尽 管第一模态入射波引起的结构物水动力变化较小，其它模态入射波产生的结构 物的水动力变化却是不可忽视的。 4 ) 当结构物在线性分层流体中做垂荡、横荡或横摇运动时，对振荡频率大 于浮力频率的情形，仅在两种频率相近时，流体的线性连续分层所产生的附加 质量和辐射阻尼才有一定影响；而当入射波频率小于浮力频率时，这种影响很 大。 本文的结果表明，流体的分层对于结构物水动力学特性的影响是必须予以 恰当考虑。 关键词：线性分层流体，内波模态，刚性薄板，漂浮矩形箱，截断圆柱，散射， 辐射，色散关系，反射能量，透射能量 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eo c e a nf r e q u e n t l ye x h i b i t sas t r a t i f i e ds t r u c t u r ed u et ot h ev a r i a t i o no f t e m p e r a t u r ea n dd e n s i t yi nt h ev e r t i c a ld i r e c t i o n i nt h i st h e s i s ，t h ei n t e r a c t i o no f w a t e rw a v e sw i t ht h r e et y p i c a lm a r i n es t r u c t u r e s ，i n c l u d i n ga _ f i g i dv e r t i c a lt h i n b a r r i e r , af l o a t i n gr e c t a n g u l a rb u o ya n dat r u n c a t e d c i r c u l a r c y l i n d e r ，i na c o n t i n u o u s l ys t r a t i f i e df l u i di si n v e s t i g a t e d t h es c a t t e r i n go f w a t e rw a v e sb yt h e s t r u c t u r e s ，t h e i rr a d i a t i o nd u et ot h es m a l l a m p l i t u d ev i b r a t i o na n dt h el o a d so nt h e s t r u c t u r e sd u et ow a v e sa r es t u d i e d t h em a i nw o r ka n dr e s u l t si nt h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h eh y d r o d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fav e r t i c a lt h i nb a r r i e r ，af l o a t i n g r e c t a n g u l a rb u o ya n dat r u n c a t e dc i r c u l a rc y l i n d e ri nal i n e a r l ys t r a t i f i e df l u i da r e a n a l y t i c a l l ye x a m i n e d u n d e rt h e b o u s s i n e s qa p p r o x i m a t i o n ，t h ed i s p e r s i o n r e l a t i o n sa r ed e r i v e df o rt h ei n c i d e n tp l a n em o n o c h r o m a t i cw a v e sb ym e a n so ft h e m e t h o do fv a r i a b l es e p a r a t i o n t h er e s u l ts h o w st h a ta st h ef r e q u e n c yo ft h e i n c i d e n tw a v e si s g r e a t e rt h a n t h eb u o y a n c yf f e q u e n c y ，t h e r ee x i s t so n l yo n e m o n o c h r o m a t i cw a v em o d e ，w h i l ea si ti ss m a l l e rt h a nt h eb u o y a n c yf f e q u e n c y ，t h e r e a r ea ni n f i l l i t en u m b e ro f m o n o c h r o m a t i cw a v em o d e s s e c o n d l y , t h er e f l e c t e da n dt r a n s m i a e de n e r g i e s ，a sw e l la st h ei n d u c e df o r c eo n t h eb a r r i e r sd u et oi n c i d e n tw a v e sa r ec a l c u l a t e d f o rt w os t r u c t u r e s ，i e ，a s u r f a c e - p i e r c i n gb a r r i e ra n d ab o t t o m - f i x e do n e t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h e e f f e c t so fd e n s i t ys t r a t i f i c a t i o no nt h eh y d r o d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb a r r i e r s a r er e m a r k a b l e i np a r t i c u l a r , a st h ef r e q u e n c yo ft h ei n c i d e n tw a v e si ss m a l l e rt h a n t h eb u o y a n c yf r e q u e n c y ，c o m p a r e dt ot h et r a n s f e r r e de n e r g ya n dt h ef o r c ei n d u c e d o nt h eb a r r i e r sd u et oi n c i d e n tw a v e so ft h ef i r s tm o d e ，t h o s ed u et oi n c i d e n tw a v e s o fo t h e rm o d e sa r em u c hg r e a t e r t h i r d l y , t h es c a t t e r i n g so fw a v eb yaf l o a t i n gr e c t a n g u l a rb u o ya n d at r u n c a t e d c i r c u l a rc y l i n d e ra r ei n v e s t i g a t e db yn u m e r i c a la n a l y s i s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e 上海大学硕士学位论文 e f f e c to ft h ed e n s i t ys t r a t i f i c a t i o no nt h eh y d r o d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h e s t r u c t u r e si sc o n s i d e r a b l yo b v i o u s i np a r t i c u l a r , a st h ei n c i d e n tf r e q u e n c yi s s m a l l e rt h a nt h eb u o y a n c yf r e q u e n c y , t h o u g ht h ec h a n g eo f t h eh y d r o d y n a m i cf o r c e s o nt h es t r u c t u r ed u et oi n c i d e n tw a v e so ft h ef i r s tm o d ei ss m a l l ，t h ec h a n g eo fo t h e r m o d e so u g h tt ob ec o n s i d e r e d f i n a l l y ，a st h es t r u c t u r e sa r ei nh e a v i n 岛s w a y i n g o rr o l l i n gm o t i o ni nal i n e a r l y s t r a t i f i e df l u i d ，t h er e s u l t si n d i c a t et h a ta st h ev i b r a t i n gf r e q u e n c yi sg r e a t e rt h a nt h e b u o y a n c yf r e q u e n c y , t h ea d d e dm a s sa n dr a d i a t i o nd a m p i n go ft h es t r u c t u r e si s a f f e c t e db yt h el i n e a rs t r a t i f i e a t i o no n l ya st h et w of r e q u e n c i e sa r ec l o s e ，w h i l et h e v i b r a t i n gf r e q u e n c y i ss m a l l e rt h a nt h eb u o y a n c y f r e q u e n c yt h ee f f e c t o f s t r a t i f i c a t i o ni sm u c hg r e a t e r t h er e s u l t so fn l et h e s i sh a v ed e m o n s t r m e dt h a tt h ee f f e c to ft h es t r a t i f i c a t i o no f t h eo c e a nm u s tb ep r o p e r l yc o n s i d e r e di nt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e no c e a nw a v e sa n d m a r i n es t r u c t u r e s k e y w o r d s ：l i n e a r l ys t r a t i f i e df l u i d ，i n t e r n a l w a v em o d e ，r i g i dt h i nb a r r i e r , f l o a t i n g r e c t a n g u l a rb u o y , t r u n c a t e dc i r c u l a rc y l i n d e r , s c a t t e r i n g ，r a d i a t i o n ， d i s p e r s i o nr e l a t i o n ，r e f l e c t e de n e r g y , t r a n s m i t t e de n e r g y v i i 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 人们普遍认识到，2 1 世纪将是海洋的世纪。海洋高科技及其产业将是世界 各国竞争的焦点，而海洋工程结构物( 防波堤、船舶、海上石油平台，海上飞 机场等) 即是人们征服海洋获取海洋资源的一个重要组成部分。随着海洋资源 开发需求的日益增长，海洋工程结构物不断向大型化方向发展，而且所处的环 境条件也变得日益恶劣。海洋开发的工程实践，给海洋工程科学技术提供了现 实的课题。特别地，在海洋环境条件下，海洋工程结构物不可避免地会受到波 浪( 水波) 的作用，它们的安全性和可靠性主要取决于它们对波浪的响应能力。 因此准确地预测预报大型海洋工程结构物与水波相互作用的水动力特性并给设 计者提供合理的设计依据，不但具有重要的理论和实用价值，而且对海洋高科 技及其产业的发展具有重要的实践意义。 在海水密度分布均匀且流场有势的假定下，对水波与大型海洋结构物相互 作用的理论已经有相当长的研究历史了，而且建立了比较成熟的线性理论( 刘 应中、缪国平，1 9 8 7 、2 0 0 0 ) ，并解决了许多的海洋工程的实际问题。然而，由 于温度和盐度的变化，海水的密度分布实际上是不均匀的，存在着层化现象， 我国的近海就存在着严重的层化现象( 毛汉礼、邱道之等，1 9 6 4 ) 。在层化海洋 中不仅存在着表面波，而且还存在着内波。海洋内波的存在与表面波一样普遍， 它是一种几乎贯穿海洋全深度的波动现象。与表面波相比，内波的频率通常较 低、波速较小，但波长可能很长、波幅很大，它可以向各个方向传播，而且在 传播过程中，通常会携带巨大的能量，这对海洋工程结构物将造成很严重的威 胁。例如，1 9 9 0 年，在南海流花1 1 1 油田的早期延长测试期间，就曾发生过 因内波产生的突发性强流而导致缆绳拉断，船体碰撞，甚至拉断和挤破漂浮软 管的事故，在邻近陆丰2 2 1 油田的早期延长测试期间也遇到过类似事故；1 9 9 2 年，我国南海东部石油公司在东沙群岛附近的石油钻井机，在内波经过时无法 操作，锚定的油罐在不到5 分钟内摇摆了1 1 0 度；1 9 9 8 年5 6 月，中科院南海 上海人学硕士学位论文 所的“实验三号”科学考察船在执行“南海季风实验”计划时，在东沙群岛南 部海域附近的锚定观测中，也因遭遇内波而导致船体持续晃动的事件。上述例 子说明，内波研究极具重要性。然而，目前大多数海洋工程结构物的设计通常 只考虑表面波的作用，对于内波和结构物的相互作用的理论研究，目前还处于 初级阶段，还没有可供工程实践应用的成熟的理论方法。随着人类认识自然能 力的提高，对内波的认识逐步走向新的高度，内波在诸多领域愈来愈引起人们 注意。 对密度分层的流体，经常使用的简化是两层模式，即把流体看作是密度均 匀的两层，两层之间的密度有突变。对这种两层流体中的入射水波，会以两种 不同模态的波数传播，一种是表面波模态，另一种是内波模态。当某一种模态 的入射波遇到流体中的结构物时，两种模态的水波都是会被散射，还会发生相 互之间能量转化的现象( s t u r o v a ，1 9 9 3 ) 。另一种经常采用的简化是线性连续分 层模式，即把流体看作是密度在垂向线性分布的。与两层流体的情况不同，在 这种情况下，需要采用b o u s s i n e s q 型方程。对圆柱体等一些简单物体在线性连 续分层流体中的简谐振荡辐射问题，已有一些研究工作( s t u r o v a ，2 0 0 1 ) 。但对 在连续分层流体中水波与结构物相互作用的问题，所见的报道还相当少。 在各种海洋开发、海上石油钻探及海洋水产养殖业的生产中，由锚链系泊的 大尺度浮体具有广泛的应用前景，其可用作防波堤、浮桥和海上飞机场等。它以 造价低廉、使用方便、防波效果好等特点被广泛应用于港口和海岸工程之中。 海洋中结构物的设计属于障碍物与波浪的相互作用问题，涉及到波的绕射 和辐射问题。对这一问题的处理主要从两个方面着手。一个是时障碍物的反射 系数和透射系数的估算，另一个是对障碍物受波浪力作用大小的估算。根据波 浪理论，这两者都需要首先求出水波的散射势。 散射势的求解除了与入射波势有关外，还与障碍物的几何特征、边界条件 等因素有关。尤其是障碍物的几何特征决定着问题求解的难易和繁简，因此我 们在建立模型的时候，尽可能把障碍物简化为薄板、矩形箱、圆柱等一些规则 的几何图形，使得问题得以简化。 随着计算机科学、实验及测量手段的飞速发展，工程设计中很多难题逐渐 上海大学顾士学位论文 得到解决，数值计算的各种方法完全可以满足当前的需要。而最终问题的解决， 一方面取决于算法的选择，另一方面还取决于对原物理问题的理解、所做的假设 以及所建立的数学模型。本文力图从简化的工程模型出发，进行分析和计算，评 估分层效应的相对重要性。本论文的具体主题是：线性分层流体中海洋工程结构 物( 垂直刚性薄板、漂浮矩形箱、截断圆柱) 的水动力特性。 1 2 国内外研究概况 对于海洋结构物( 如海洋平台、防波堤、消波设备等) ，设计者们关心的 是作用在结构物上的波浪力。一般来说，结构物的形状可以理想化为刚性的薄 板、漂浮的矩形箱或截断圆柱。 半潜式薄板构成的防波堤是港口和海岸工程中的一种重要防波设施。由于 它不仅能起到良好的控制波浪的作用，而且造价经济，施工方便，因此受到了港 口与海岸工程界的很大关注。水面漂浮和座底半潜式薄板，是目前应用比较广泛 的两种形式的防波设施。作为一种防波设施，它的防波性能主要与波浪通过这种 设施时的反射和透射能量的特性有关。此外，从安全性的角度，薄板的水动力性 能也是一个需要进行预测预报的重要因素。目前对半潜式薄板的水波反射与透射 问题，主要限于均匀流体的情况。与水波相互作用的薄板一般分为四种情况：1 、 部分淹没型：2 、完全淹没型：3 、水中悬浮型；4 、夹缝型。如图1 1 所示。 o 部分淹没型 完全淹没塑 悬浮型 夹缝型 图1 1 薄板障碍物的四种类型 g o s w a m i ( 1 9 8 2 b ，1 9 8 2 c ，1 9 8 3 ) 考察了有限水深中法向入射波与1 、2 、3 三 种型式的薄板障碍物作用的问题。他利用g r e e n 积分定理求得了积分方程，利用 上海大学硕士学位论文 摄动法对上述三种情况下所获得的结果只适合有限的水深，但不适合中等水深。 l o s a d a 等( 1 9 9 2 ) 后来考察了1 、2 、4 型三种薄板障碍物在有限水深和斜波入射下 的散射问题。他们利用了特征函数展开法导出方程组，用截断误差法求近似解。 问题是其结果收敛得太慢。m a n d a l d o l a i ( 1 9 9 4 ) 利用单项g a l e r k i n 近似法处 理了上述四种薄板障碍物在有限水深下的斜波入射问题。在障碍物的两侧利用了 特征函数展开法。每一种情况下的反射系数和透射系数都用包含水平速度分量的 积分来表示。他们利用准确地获得了反射系数和透射系数的上限和下限。这种方 法比起g o s w a r n i ( 1 9 8 2 b ，1 9 8 2 c ，1 9 8 3 ) 和l o s a d a 等( 1 9 9 2 ) 使用的方法来得简单、 直接。尤云祥等( 2 0 0 5 ) 就两层流体中水波与半潜式薄板相互作用的问题，揭示 了一些新的水动力现象，发现对有限深两层流体，当某一种模态的入射波遇到流 体中的半潜式刚性垂直薄板时，另一种模态水波的反射与透射能量是相等的，而 且当薄板的一端位于两层流体的界面上时，两种模态水波能量的转化是最大的。 矩形箱是海洋工程结构物经常简化的模型，在线性势流理论框架内，对这 类结构物的水动力计算，已建立了成熟的解析理论方法( m e ie ta 1 1 9 6 9 ，l e e 1 9 9 5 ，h s u 1 9 9 7 ，z h e n g 2 0 0 4 ) 。 m e i b l a c k ( 1 9 6 9 ) 利用m i l e s 的变分公式，研究了方形障碍物在有限深渠 道中的散射问题，指出反射系数是振荡型的。v i n c e n tr e y 等人( 1 9 9 2 ) 对法向入 射波穿越实心方形障碍物的情况作了理论和实验两方面的研究。他们应用了两个 模型：一个是由k i r b y d a l r y m p l e ( 1 9 8 3 ) 导出的所谓“精确模型”，另一个是由 d e v i l l a r d 等( 1 9 8 8 ) 利用m i l e s ( 1 9 6 7 ) 引进的重正化变换矩阵而建立的所谓“近似 模型”。通过研究，他们发现，对于给定的入射波振幅，障碍物棱角的形状对涡 的产生有影响，而对反射系数的影响不大。l e e ( 1 9 9 5 ) 提出用解析法对于在常 水深的无限区域内的矩形箱在作升沉运动的情况进行了求解，得到了附加质量和 辐射阻尼。h s u 和w u ( 1 9 9 7 ) 采用边界元法和解析法研究了漂浮矩形结构物，在流 体为有限深度，一边为垂直固壁，另一边为开区域情况下，研究了该结构物升沉 和转动问题。z h e n g ( 2 0 0 4 ) 提出用解析法求解在无限区域中具有有限深度的漂 浮矩形箱的绕射和辐射问题。 上面的两种结构物是在二维的情况下进行求解的，对于轴对称情况下物体 上海大学硕士学位论文 的绕射问题已有不少工作，如直立圆柱、有限体积船坞以及淹没的球体等的绕射 计算。d e a n ( 1 9 4 8 ) 考察了水平圆柱淹没于深水中的反射情况，发现反射能在所 有波长下皆为零。后来，o g i i v e ( 1 9 6 3 ) 继d e a n ( 1 9 4 8 ) 和u r s e l l ( 1 9 5 0 ) 的工作 之后，考察了相同的问题，得出了作用于圆柱上的力的表达式。半淹没圆柱在深 水情况下的问题已由d e a n u r s e l l ( 1 9 5 9 ) 做了解析和实验两方面的处理。 n a f t z g e r c h a k r a b a r d ( 1 9 7 9 ) 对二维圆柱、半圆柱形障碍物在有限深水中的波 的散射问题，应用g r e e n 定理推导出散射势的积分方程，并进行了数值求解，并 计算出反射系数和波浪力等。半圆形截面的周面所受的动波压合力通过底盘中 心，不产生偏心力，即使受到波的作用时底盘反力也近似均匀分布，因此，2 0 世纪7 0 年代末至8 0 年代，日本学者对半圆形沉箱式防波堤展开了大规模的应用研 究。例如，谷本腾利等( 1 9 8 7 ) 对半圆形沉箱式防波堤的水动力特性和设计波力进 行了全面的理论和实验研究。吴建华( 1 9 9 1 ) 等基于特征函数展开法，就圆柱浮 体的水动作用力进行了数值分析，表明在某个频率范围内，流体的分层效应对水 面浮式结构物作用力的影响是不可忽视的。在线性势流理论范畴内，y e u n g 等 ( 1 9 9 9 ) 基于面元法，对作用在有限深两层流体中浮式物体上的水动作用力进行 了分析，表明了在某个频率范围内，流体的分层效应对浮式物体水动作用力的影 响是不可忽视的。i v s t u r o v a ( 2 0 0 1 ) 假定流体是理想的不可压的，在b o u s s i n e s q 近似下，研究了圆柱体在线性分层流体中的简谐振动辐射问题，得到简谐振动圆 柱的辐射阻尼和附加质量。蔡树群等( 2 0 0 2 ) 依据实测的速度场，采用孤立子内 波来估算小尺度圆柱体的受力。尤云祥等( 2 0 0 3 ) 基于分离变量法，研究了在两层 流体中大直径桩柱的水动力特性。d e k u iy u a n & j i a n h u at a o ( 2 0 0 3 ) 利用有限差分 法( f d m ) 和边界元法( b e m ) 对半圆形防波堤三种淹没情况的波力建立了数值计算 模型。沈国光等( 2 0 0 5 ) 研究在浅海潮频、高频内波情况下，利用m o r i s o i l 公式估 算了小尺度直立圆柱体的荷载问题。蔡树群等( 2 0 0 6 ) ，在原有工作的基础上， 进一步运用m o r i s o n 公式估算内孤立波的作用于小直径圆柱上的力，研究表明第 一模态的内波产生的作用力是比较大的，并导出了运用实测的温度、盐度、孤立 波的波幅数估算小直径圆柱的波浪力公式。 上海大学硕士学位论文 1 3 本文研究内容 本文对于结构物在线性分层流体的绕射和辐射进行研究，主要做以下两方 面的工作： l 研究在线性分层流体中水波与半潜式刚性垂直薄板、水面漂浮矩形箱和 截断圆柱相互作用的问题。在b o u s s i n e s q 近似下，基于分离变量法，得到半潜 式刚性垂直薄板、水面漂浮矩形箱的反射与透射能量计算公式，及其它们与截 断圆柱的波浪力的计算公式。 2 对于漂浮矩形箱和截断圆柱的在做垂荡、横荡、横摇运动辐射问题进行 了研究，给出相应的附加质量和辐射阻尼。 本文得到的主要结果有： 1 ) 对三种结构物对入射波响应的计算结果表明，当入射波频率大于浮力 频率时，流场中只有一种模态的平面行进波；当它小于浮力频率时，流场中可 存在无数多个模态的平面行进波。 2 ) 对垂直薄板的反射能量和透射能量及水平波浪力的数值分析表明，流 体的线性分层效应对水动力的影响是不可忽视的。特别是在入射波频率小于浮 力频率时，与第一模态入射波的能量转化量及其对薄板产生的水平波浪力相比， 其它模态入射波的能量转化量及水平波浪力都要大得多。 3 ) 对水面漂浮矩形箱和截断圆柱的绕射和辐射的计算分析表明，流体的 分层效应对结构物的影响是很明显的，特别是在入射波频率小于浮力频率时， 与第一模态入射波对结构物产生的水动力相比，其它模态入射波对结构物的水 动力是不可忽视的。 4 ) 当结构物在线性分层流体中做垂荡、横荡、横摇运动时，当入射频率 大于浮力频率时，在某个频率范围内，流体的线性连续分层效应对结构物作微 小振动时产生的附加质量和辐射阻尼有一定影响：当它小于浮力频率时，这种 影响很大。 6 上海人学硕士学位论文 第二章连续分层流体中垂直薄板的水动力特性 半潜式薄板型防波堤是港口和海岸工程中的一种重要防波设施。由于它不仅 能起到良好的控制波浪的作用，而且造价经济，施工方便，因此受到了港口与海 岸工程界的很大关注。水面漂浮和座底半潜式薄板，是目前应用比较广泛的两种 形式的防波设施，其防波性能主要与波浪通过这种设施时的反射和透射能量的特 性有关。此外，从安全性的角度，薄板的水动力性能也是一个需要进行预测的重 要因素。目前对半潜式薄板的水波反射与透射问题，主要限于均匀流体的情况。 本章研究线性连续分层流体中水波在半潜式刚性薄板上的反射与透射，以及 作用在薄板上的水动作用力特性的问题。 2 1 数学模型 设有一线性分层流体，其深度为日，未扰密度分布在水平方向是均匀的， 在垂直方向的分布为线性的。建立直角坐标系o x y z ，使得o z 轴垂直向上，o x y 平 面与未扰静水面重合，那么垂向密度分布可表示为如下形式： p o ( z ) = 一( 1 一s z h ) ( 一h z 0 为最大和最小密度的相对差。 x 水面漂浮式薄板座底式薄板 图2 1 薄板型防波堤示意图及坐标系 x l 海大学硕士学位论文 在线性连续分层流体中，有一铅垂刚性薄板，假定在o y 轴方向无限延伸， 且与o y z 平面重合，并且有一频率为珊的时谐入射波，垂直作用于薄板上。在这 种情况下，流域中整个流场在与o x z 平面平行的面上的分布是均匀的，因此只需 考虑在垂直断面o x z 内的流场即可。考虑如图1 所示的两种情况：水面漂浮和座 底式薄板。设薄板的吃水为d ，f 为其所占据的区域，a 为同一立面水下剩余部 分( 为流体占据) ，如图2 1 所示。 设线性连续分层流体是理想和不可压缩的，记p ( x ，z ，t ) 为频率的平面行进 波引起的流体扰动压力，并且关于时间t 为简谐的，即 p ( z ，t ) = r e p ( x ，z ) e 1 “) ( 2 2 ) 其中，p ( x ，z ) 为扰动压力的空间分布，它起着相当于速度势的作用。 在b o u s s i n e s q 近似下，在整个流域中，扰动压力必须满足控制方程 肇= 等等c 删， 汜。， 其中，n = 佃g h ) 0 2 为浮力频率，g 为重力加速度。 在流体区域的上表面和底部，扰动压力分别满足 挈：一咝p ( z ：o ) ( 2 4 ) o z g 生：0 ( z ：一h )( 2 5 ) 出 其中，卢2 = n 2 肠2 1 。 设薄板是刚性不可渗透的，那么在薄板上扰动压力必须满足条件 望：0 ( 在r 上)( 2 6 ) 另外，还有反射和透射波向外传播的远场条件：啦导h 瓦8 p i k p ) = 。 2 2 入射波 设在流域中的平面行进波为右传波，即扰动压力p 有如下形式： p 也2 ) = p o z ( z ) e “ ( 2 7 ) 上海大学硕士学位论文 其中，七为水平波数，z 为扰动压力的垂向特征函数，p o 为某个常数。 由( 2 3 ) 可知，z 满足控制方程 z ”= - , u 2 z ( 一h = n ，那么2 n 时，平面行进波的色散关系。方程 9 上海大学硕士学位论文 ( 2 1 5 ) 只有一个正实数根球，就是自由面上平面行进波的波数。此外，方程 ( 2 1 5 ) 还有无数多个虚部为正的纯虚数根f 够( 月= 1 ，2 ，3 ，) ，其中砰( n 1 ) 为流场中第n 个非传播模态的波数。由( 2 1 1 ) 可得，垂向特征函数系为 盈砷( z ) = c o s h 属砷( z + h ) c o s h z 1 5 ”h ，属砷= 卢弼砷 ( 2 1 6 ) 曩砷( z ) = c o s ”0 + 日) c o s 以”h ，? = 卢k # ，n = 1 ，2 ，3 ( 2 1 7 ) 容易证明，特征函数系 乏砷( z ) ) 在卜h ，o 上具有如下正交性质 l 露( z 蛾o ) d z = 0 ( m n ) ( 2 1 8 ) 如果 n ，那么控制方程( 2 3 ) 是双曲型的，色散关系( 2 1 3 ) 有无数 多个正实数根硝q 琏q 硝q 碟q 孪1 ( z ) p 略。 ( 2 2 4 ) 1 0 上海大学硕士学位论文 下面考虑埘 n 的情形。由前面的分析知，在这种情况下，有无数个模态的 平面行进波，设第n 个模态的平面行进波在自由面上的波面起伏为 = r e p 。壮训) ( 2 2 5 ) 其中，口：q 为第一个模态的自由面上平面行进波的波幅。 由动力学条件得 p = n g q ( ：= 0 ) ( 2 2 6 ) 由( 2 2 ) ，( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 得到 p = n g ：e 础”。( z = 0 ) ( 2 2 7 ) 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 7 ) 可得，第1 1 个模态的入射波可表示为如下形 式 p ”= p l g a t 时的解 将整个流场区域分为上游q ，( x 0 ) 两个区域。在上 游区域，流场中的扰动压力可用特征展开式表示为 碟( x ，z ) = n g 露 o 帮。+ 硝o , e - 穗”。) z t ( z ) + 妻碍。e 一毋刁( z ) ( 2 2 9 ) 尸l 其中，程= 程“，p = 汝尹( ，1 ) 。 在式( 2 2 9 ) 中，第一项为入射波，第二项为反射波，求和号中诸项均为非 传播模态。在下游区域，流场中的扰动压力可用特征展开式表示为 磁( 础) ：n 弘护【( p 韶+ 露。) e 霄。) z t ( z ) + 妻巧。) e 蚋乏( z ) 】 ( 2 3 0 ) j = l 在式( 2 3 0 ) 中，前两项均为透射波，求和号中诸项均为非传播模态。为了 确定在表达式( 2 2 9 ) 一( 2 3 0 ) 中的未知系数，需要用到上下游速度势在两个 流域交界处z = 0 上的匹配条件。由在a 上的速度连续条件和在r 上的物面条件可 得( 参看图2 1 ) 上海大学硕士学位论文 掣：攀( 在工：o 上) 靠o ( 2 3 1 ) 由上式及式( 2 1 8 ) 可得 碍= - - 巧“，= o ，1 ，2 ， ( 2 3 2 ) 另一方面，由在人上的压力连续条件和在r 上的物面条件，得 2 碍。刁( z ) = o ( 在a 上) j = o 静瑶( z ) 一毋q 刁( z ) = o ( 在r 上) 在式( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 两边同时乘以哥砷( z ) 上积分，可得关于碍砷的复矩阵方程为 扣砷等删虬彬小叫，z ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 并对所得等式分别在a 和r ( 2 3 5 ) 其中 霸砷2 【哥砷( z ) 刁砷( ：) 出，巧砷2f 习砷( z ) z ? ( z ) 出，20 ，1 ，2 ， ( 2 3 6 ) 由式( 2 3 2 ) 和( 2 3 5 ) 即可确定( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 中的未知系数。由此 得到作用在薄板上的水平波浪力如下 掣= f 喘( o 一，z ) 一理( o + ，z ) 协 ( 2 3 7 ) f 面考虑反射与透射能量。为此，设s 是由z = 0 ，z = 一h ，x = 和r 构 成的区域，c 为其边界，那么由g r e e n 定理和控制方程( 2 3 ) 可得 o = ( 溅( 芦) 磷( p ) ) 凼2 ( 越( 芦) 一鹂( p ) ) 甜 ( 2 3 8 ) 其中 轳轰+ 两0 2l 譬) = r f i 昙+ 裔未 。， 式中，n = ( 玛，玛) 为c 的单位法线矢量，指向流体域外。 由( 2 4 ) 一( 2 6 ) 得 ec p 罗警啼? 警肛c p ? 警币? 警胁 亿a 。， 上海大学硕士学位论文 其中，c l 和c 2 分别为c 的左右边界。 在式( 2 2 9 ) 中，令工斗一o o ，可得在上游区域中扰动压力的远场形式为 碟( 薯z ) 岛鲥 e 蜉。+ 尉。) p 一霄。】魂( z ) ， x _ 一o o ( 2 4 1 ) 在式( 2 3 0 ) 中，令x 斗+ m ，可得在下游区域中扰动压力的远场形式为 础( 工，z ) p l g a ； p 帮。十矿p 。曾。】z 5 ) ( z ) ，p h ( 2 4 2 ) 在式( 2 4 0 ) 中让一+ ，并由( 2 4 1 ) 和( 2 4 2 ) 得到 e ；+ 酲= 1 在上式中，霹= 尉。| 2 为反射能量 可知，反射与透射能量之和是守恒的。 ( 2 4 3 ) 瑶= 1 1 + 霹町1 2 为透射能量。由( 2 4 3 ) 2 4 当出 n 时，水面漂浮式薄板的反射能量( a ) 和透射能量( b ) 图2 3 当0 5 , n 时，座底式薄板的反射能量( a ) 和透射能量( b ) 图2 4 当 n 时，水面漂浮式薄板( a ) 和座底式薄板( b ) 的无量纲水平波浪力幅值 1 6 上海人学硕士学位论文 在图2 4 中，分别给出了水面漂浮和座底式薄板的无因次水平波浪力的幅 值，并与单层流体的情况进行了比较，由图可知，在当q 接近于1 时，流体的线 性连续分层效应对两种情况下的无量纲水平波浪力幅值都有比较显著的影响。 下面考虑c o n 的情况是不一样的，因此在下面的计算中，将只考虑水面漂浮式薄板的情 况； ( 2 ) 在均匀流体的情况，随着无量纲频率q 的增大，入射波的反射能量增 加，透射能量减小，但对第一模态的入射波，情况正好相反。如所周知，对均匀 流体，随着无量纲频率q 的增大，入射波的波数增大，波长减小，而对线性连续 分层流体，由色散关系( 2 1 3 ) 可知，随着无量纲频率q 的增大，第一模态入射 波的波数减小，波长增大，这正是出现前述现象的原因； ( 3 ) 第一模态入射波的能量确实有一部分会被转化为其它模态的反射能量与 透射能量，而且第二模态的反射能量与透射能量最大，其它模态的能量则比较小， 并且随着无量纲频率q 的增大，其它模态的反射与透射能量是减小的，因此它们 的总能量也是减小的，在无量纲频率q = 0 0 1 时，第一模态的能量约有7 2 被转 化为其它模态的能量，在无量纲频率q = o 9 7 时，第一模态的能量约有2 被转化 为其它模态的能量。 土塑查兰堡主兰堡堕苎 一 ，。，j 。 l s o 叫 ， l = = = ：兰塑1 。 ， 。j j 一一一j 一7 。 图2 5 当 n 时在第一模态入射波作用f ，水面漂浮式薄板的反射能量( a ) 与透射能量( b ) ，其它模态的反射能量( c ) 及它们的总能量( d ) 厂一 e 三剿 j ， i ， ， 一一一一。_ | 8 *oiu岳oo hl；0uu育_o_udp 上海大学硕士学位论文 图2 6 当 n 时，在第一模态入射波作用下，座底式薄板的反射能量( a ) 与透射能量( b ) 其它模态的反射能量( c ) 及它们的总能量( d ) 胛= n = 3 划 一一门= 5 胛= 6 胛= 2 - n = 3 n 到 一一n = 5 n = 6 图2 7 当 n 时，水面漂浮式薄板在第7 模态入射波作用下 它的反射能量( a ) 与透射能量( b ) 在图2 7 中，给出了当 n 时，水面漂浮式薄板在各个模态入射波作用下 的反射能量与透射能量( 其中，n = 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 。由图可知，与第一模态入射波的 反射能量与透射能量相比，其余模态入射波的反射能量明显增大，而透射能量明 显减小。 1 9 !d吾。苫h詈；l芑ug可苫p o 岳 上海大学硕士学位论文 图2 8 当国 n 时，水面漂浮式薄板在第n 模态入射波作用下，其它模态的总能量( a ) 以 及在第一模态入射波作用下，作用在薄板上的无因次水平波浪力幅值( b ) 在图2 8 ( a )