（概率论与数理统计专业论文）随机微分方程的研究.pdf

摘要 本报告共分四章。 第一章考虑两类非线性随机泛函微分方程，根据方程的有关系 数，建立了解的随机比较定理，推广和改进了已有文献的结果 第二章研究一类非线性和非齐次随机微分方程的解的随机有界 性，得到了随机有界解存在唯一的充分条件，同时也获得了其平稳解 和周期解存在唯一的充分条件 第三章首先提出了位相型半马尔可夫过程，然后利用马尔可夫化 方法，将马尔可夫调制的各种随机系统的稳定性，推广到位相型半马 尔可夫调制的各种随机系统中。本章分别研究了位相半马尔可夫调制 的线性系统的随机稳定性，带位相半马尔可夫跳跃参数的伊藤随机微 分方程的随机稳定性，以及带位相半马尔可夫跳跃参数和白噪声的容 错控制系统的随机稳定性 第四章考虑马尔可夫调制和带普阿松跳跃的无穷维随机泛函微 分方程，这类目前是最广泛和最复杂的一类模型之一本章获得了这 类方程解的各阶矩的指数稳定性和几乎必然稳定性。 关键词：随机泛函微分方程、比较定理、随机有界、半马尔可夫 过程、位相分布、随机稳定性、几乎必然稳定性、无穷维随机泛函微 分方程。 a b s t r a c t t h i sr e p o r ti so r g a n i z e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h en o n l i n e a rs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e c o m p a r i s o n t h e o r e mi nt e r m so f t h ec o e f f i c i e n t sf o rt h es o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n s i so b t a i n e d t h ek n o w nr e s u l t sa i ei m p r o v e da n d g e n e r a l i z e d c h a p t e r 2d e a l sw i t ht h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t c n c 宅o fa s t o c h a s t i c a l l yb o t m d e d s o l u t i o no ft h en o n l i n e a ra n dn o n h o m o g e n e o n ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e s t a t i o n a r ya n dp e r i o d i cc a s e sa r ea l s oc o n s i d e r e d i nc h a p t e r3 ，w ef i r s tp u tf o r w a r dt h ec o n c e p to fa p h a s et ) ，p es e m i - m a r k o v i a n p r o c e s s t h e nb yu s i n g t h em a r k o v i z a t i o nm e t h o dw et r a n s f o h l lt h e s t a b i l i t yo f s o m e s t o c h a s t i cs y s t e m s 、i t l lm a r k o v i a ns w i t c h i n gt ot h a to ft h es t o c h a s t i cs y s t e m sw i t l l p h a s et y p es e m i m a r k o v i a ns w i t c h i n g i nt h i sc h a p t e rw ef o c u so nt h es t o c h a s t i c s t a b i l i t yo fl i n e a rs y s t e m sw i t hp h a s et y p es e m i m a r k o v i a ns w i t c h i n g ，o ft h ei t o s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hs e m i m a r k o v i a nj u m pp a r a m e t e r s ，a n do ft h e s t o c h a s t i cf a u l tc o n t r o ls y s t e m sw i t hs e m i - m a r k o v i a n j u m p p a r a m e t e r sa n d n o i s e i n c h a p t e r4 ，w ec o n s i d e r t h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ls t o c h a s t i c f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 、i mp o i s s o nj u m p sa n dm a r k o v i e n s w i t c h i n g , w h i c hi so n eo f t h em o s tg e n e r a la n dc o m p l i c a t e dm o d e l s t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n da l m o s t 鼬黼 s t a b i l i t yo f t h ep t hm o m e n t o f t h es o l u t i o i l sa r cs t u d i e d k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；c o m p a r i s o nt h e o r e m ； s t o c h a s t i c a l l yb o u n d e ds o l u t i o n ；s e m i m a r k o v i a np r o c e s s ；p h a s et y p ed i s t r i b u t i o n ； s t o c h a s t i cs t a b i l i t y ；a l m o s ts u r es t a b i l i t y ；i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e r1 s t o c h a s t i cc o m p a r i s o no f s o l u t i o n s o fs t o c h a s t i cf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s t o c h a s t i cc o m p a r i s o no fs o l u t i o n so f n o n l i n e a rs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i f f e r e n td r i f ta n dd i f f u s i o nc o e m c i e n t si so b t a t n e d ， t h ek n o w nr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e da n d i m p r o v e d 1i n t r o d u c t i o n i ti sw e l l - k n o w nt h a tc o m p a r i s o nt h e o r e m s r e p r e s e n tau s e f u lt 0 0 1i nt h e t h e o r yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o t hi nt h ed e t e r m i n i s t i c a n di nt h es t o c b a s t j c c a s e a f i r s tc o m p a r i s o nt h e o r e mf o ro r d i n a r ys t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w a sp u b l i s h e db ys k o r o h o d 5 5 】i n 1 9 6 1 a sac o n s e q u e n c eo ft h ee n 啡 m o n s p r o g r e s si ns t o c h a s t i ca n a l y s i sh i sr e s u l tw a s g e n e r a l i z e da n de x t e n d e d b yv a m a d a 6 2 1 ，m a l l i a v i n 3 9 ，i k e d a 2 1 ，a n dm a n yo t h e r s f o re x m n n p h ， i k e d a 2 1 】s t u d i e dt h et e m p o r a l l yh o m o g e n e o u ss t o c h a s t 沁d i 髓r e n t i a ie a u a - 1 t i o n sw i t ht h es a m ed i f f u s i o nt e r m s ；f e r r e y r a 1 4 ，g a l c h u k 1 7 ，h u a n g 2 0 a n d0 b r i e n 4 9 1c o n s i d e r e dt h et e m p o r a l l yh o m o g e n e o u ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i me q u a t i o n sw i t ht h ed i f f e x e n td i f f u s i o nt e r m s ；a b u n d o 1 】a n dg e i s s 1 8 】 i n v e s t i g a t e dn o n h o m o g e n e o u ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h ed i f - 巳r e n td r i f ta n dd i f f 嚼i o nt e r m s c o n s i d e r i n g t h ee f f e c to f t h et i m e d e l a y , m a l z e n b e r g 3 8 r e c e n t l y m a d et h e f i r s ta t t e m p tt os t u d yt h ec o m p a r i s o n0 fs o l u t i o n so fs t o c h a s t i cf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h o w e v e r ，m a i z e n b e r g 3 8 o n l yf o c u s e do nt h ec a s e w h e nt h ed i f f u s i o nt e r m s 珊t h e8 鼬e + i nt h ep r e s e n tp a p e r 。w ew i l lc o n s i d e r t h en o n l i n e a rn o n h o m o g e n e o n ss t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hd i f f e r e n td d f ta n dd i f f u s i o nt e r m s t h ec o n d i t i o n si nt e r m so ft h ed r i f t a n dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sf o rc o m p a r i s o no ft h es o l u t i o n so ft h e s ee q u a t i o n s a r ef o r m u l a t e d o u rr e s u l tg e n e r a l i z ea n d i m p r o v e s t h er e s u l t so f 【1 1a n d f 3 8 】 2m a i nr e s u l t s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gt w os t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r d x ( t ) _ 6 纯州曲 皿扣o ，即) ) 州砷， ( 1 ) l 函= ，( $ ) ，8 【- h ，0 】， a n d r d r ( 幻= c m y ( 幻戌渺忡( t h t ) m o ) ( 2 ) ly o = 9 ( 8 ) ，8 【- h ，o 】， w h e r e 五= x ( t + 口) ，k = r ( t + 口) ，t r + ，b 卜h ，o 】i sd e l a y , w ( t ) i s s t a n d a r dw i e n e rp r o c e s s ，口a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so nf - h ，0 1 w em a k e t h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n so i lt h ec o e f f i c i e n t s ： 2 1 6 ( t ，妒( 一) ) 一6 ( ，玑妒( ) i + i c ( t ，茹，妒( 口) ) 一c ( t ，妒( 口) ) l ( 3 ) 沌霸妒) f + 讹毛妒p ) ) + 讯$ ) + 盹霉) 【4 ) ( t 忍似净。器奏一 ，i r 。盯( t ，u ) a 口( t ，“) 一n o ，喾) a 仃( t 。 ) 。 1 ， j ，( o ) 盯怫“j 3 雄 卯) ) 垒。箨主一 。厂。l “( t ，“) a 口( t ，“) 一a ( t ，u ) 鼠弘o ，u ) j 。， j ，( o )旷怫u j 1 5 ( t ，窖，妒徊) ) 5 ( t ，l f ，妒( ) l + 睁( t ，毒) 一n ( t ，l ，) l f 9 ) i 云( t ，孔妒( 口) ) 西( 。，y ，妒( ) l + i 口( t , x ) 一a ( t ，暑，) f n 0 1 o i i ) v t 20 ，y z r ，肇( 功。p ( 毋c - h ，o j ，0 冬0 ，矿妒p ) 妒( 口) ，t h e n 砾，z ，妒( 口) ) - ( t ，1 i p ( 口) ) ( 1 2 ) i na d d i t i o n , s u p p o s et h a t ，d ra l l t 0a n d 茁r 裂 。，渊 。， ， 厶渊砒厶嬲妇 ， t h e n ，妒i n i t i a lc o n d i t i o n s ，( s ) ，夕( 8 ) c - h ，o 】s a t i s l yt h a t ，g ，加rt h e s o l u t i o n so fe q u a t i o n 。 i ) a n d1 2 1 t h ei o l i o w i n gh o l d s ： p x o ) 1 ，( t ) ，v t o ，= 1 ( 1 5 ) p r o o fw ea 鹤u m et h a t ( o ) = 9 ( o ) ：i ff ( 0 ) 仉 ( 1 6 ) i ，( t ) ，t i - h ，0 】， g c t , x ) = 泓粼妣纶o ， ( 1 7 ) l9 ( t ) ，t 【- h ，0 1 f r o mc o n d i t i o n ( 1 3 ) ，w eg e tt h a t 餐 0 ，筹 0 n o wf i x e dt 0 ，f o r a n yz 正竺 名：g = f ( t ，霉) ，f o r8 哪e 霉r t h e r ee x i s t s au n i q u e z = z ( 孑) s u c ht h a tf c t ，z ) = z ；a n a l o g o u s l yf o ra n y 一z 兰 ，：一= g ( t ，霉) ，f o rs o m e 嚣r t h e r e e x i s t sau n i q u ez = 善( ，) s u c ht h a tc ( t ，z ) = z t d e f i n et h ep r o c e s s e sx l ( t ) a n dh ( t ) b y x d t ) = f ( t ，x ( t ) ) h ( t ) = a ( t ，y ( t ) ) b y i t 5 f o r m u l a ，w e g e t f o r f i x e d t 0 d x l ( t ) = 5 ( t ，x c t ) ，咒) i l d t + a ( t ，x ( t ) ) d ( t ) ， d k ( t ) = e ( t ，y ( t ) ，y o , d t + a ( t ，x ( 1 ) ) c 地j ( t ) ，( 2 1 ) w h 戗e6 ( t x ( o ，x d h 舶e a t h a t6 ( t ，x ( o ，x 1 ) i 8c a l e u | a t e di n ( t ，x ( t ) ，x ) s u c ht h a tf ( t ，x ( t ) ) = x l ( t ) ，a n d ( f ，y ( t ) ，k ) f lm e a n st h a t ( t ，y ( t ) ，k ) i s c a l c u l a t e di n ( y o ) ，y t ) s u c ht h a tc ( t ，l ，( t ) ) = m ( t ) n o w ，托( ) a n dm ( t ) a r e t h es o l u t i o n so fs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht h es a m ed i f f u s i o nt e r m sa n di n i t i a lc o n d i t i o n sl ( t ) a n d 5 錾： 9 ( t ) ，t 【- h ，0 】，r e s p e c t i v e l y b yt h er e c e n tr e s u r so f 【3 8 ，w eh a v e p x l ( t ) s h ( t ) ，v t 20 l = 1 o nt h eo t h e rh a n d ，w ec l a i mt h a tf o rf i x e dt ( 2 2 ) f ( f ，霉) c ( t ，v ) 垮霉s l f ( 2 3 ) i nf a c t ，b yt h ec o n d i t i o n ( 1 4 ) ，i tf o l l o w st h a tf ( t ，v ) o ( t ，挈) ，8 0f ( t ，z ) g ( t ，们f ( t ，) ，a n ds i n c ef ( t 功i si n c r e a s i n gw i t hr e s p e c tt ot h es e c o n d v a r i a b l e , t h i si m p l i e s 霉si ，c o m b i n g 而t h ( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) ，w eh a v ex ( t ) y ( t ) w i t hp r o b a b i l i t y1f o r a l lt 0 _ r e m a r k2 i nt h ec a s ew h e nh = 0 ，t h a ti s ，t h es t o c h a s t i cf u n c t i o n a le q u a - t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) r e d u c e t ot h es t o c h a s t i co r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o u r r e s u l tt h e o r e m1w i t ha ( t ，z ) ；以i sr e d u c e dt ot h e o r e m2 1i nf 1 】s oo u r r e s u l tg e n e r a l i z ea n di m p r o v e st h em a i nr e s u l ti nf l 】 r e m a r k3 i nt h ec a s ew h e no ( t ，茹) 岂扯( t ，z ) ，t h a ti s ，t h es t o c h a s t i cr u n e t i o n a ie q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) w i t hd i f f e r e n td i f f u s i o nt e r m sa r er e d u c e dt o s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w i t ht h es a m ed i f f u s i o nt e r m i fw ec h o o s e a ( t ，茹) = 口( t ，z ) ，t h e no u r r e s u l tt h e o r e m1i st h es a m eo n e 嬲t h et h e o r e m i n 3 8 1 s oo t l r - e s u l tg e n e r a l i z ea n di m p r o v e st h em a i n r e s u l ti n 【3 8 1 6 c h a p t e r 2 s t o c h a s t i c a l l yb o u n d e d s o l u t i o n so fa n o n l i n e a rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas t o c h a s t i c a l l yb o u n d e ds o l u t i o no fa n o n l i n e a rn o n h o m o g e n e o u ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ef o u n d t h e s t a t i o n a r ya n dp e r i o d i cc a s e sa x e a l s oc o n s i d e r e d t h er e s u l t si n 【2 3 】( t h e o r p r o b a b i l i t ya n dm a t h s t a t i s t ，6 8 ( 2 0 0 4 ) ，4 1 4 8 ) a r eg e n e r a l i z e d 1i n t r o d u c t i o n t h eq u a l l t a t i v eb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a sr e c e n t l yb e e ns t u d i e di n t e n s i v e l y o n ep r o b l e mt h a th a sb e e no fp e r m a - r e n ti n t e r e s ti st of i n dc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs t o c h a s t i c a l l yb o u n d e d s o l u t i o n s ，e s p e c i a l l yi nv i e wo ft h ef a c ts t a t i o n a r ya n dp e r i o d i cs o l u t i o n s p o s s e s st h i sp r o p e r t y v e r yr e c e n t l y , i l c h e a k o 2 3 1c o n s i d e r e da l i n e a rn o n h o m o g e n e o u ss t o c h a s - t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n do b t a i n e ds o m ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fa 7 s t o c h a s t i c a l l yb o u n d e ds o l u t i o na n dap e r i o d i c ( a n ds t a t i o n a r y ) s o l u t i o n i t t u r n so u tt h a tt h ea b o v ee x i s t e n c e sd e p e n do nw h e t h e ras o l u t i o no ft h eh o - m o g e n e o u s s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni se x p o n e n t i a l l yp - s t a b l ef o rs o m e p 0 ( s e e 【5 4 】f o rt h ed e f i n i t i o n ) i nt h ep r e s e n tp a p e r ，m o t i v a t e db y 【2 3 ，w ec o n s i d e ran o n f i n e a ra n d n o n h o m o g e n e o u s s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ea l s os t u d yt h ee x i s t e n c e p r o b l e mo ft h es t o c h a s t i c a l l yb o u n d e ds o l u t i o no ft h ek i n d o u rr e s u l t s g e n e r a l i z et h ek n o w n r e s u l t si n 【2 3 1 2m a i nr e s u l t s c o n s i d e rt h es t o c h a s t i cd i f i e r e n t i a le q u a t i o n m d z ( t ) = f ( t ，。( t ) ) d t + g ( t ，卫( t ) ) d ( t ) ， ( 1 ) = l w h e r e 甜 ( t ) ，= 1 ，2 ，- 一，仇，& r eo n ed i m e n s i o n a lw i e n e rp r o c e s s e s ；f ( t ，) a n dg i o ，) ，后= 1 ，2 ，- 一，m ，t 冗，a r ec o n t i n u o u sr e r df u n c t i o n s ，w h i c h s a t i s f yf o ra l lt ，g r ， f f ( t ，$ ) 一b x i 冬i l ( t ) l ，( 2 ) f g k ( t ，z ) 一以立i ( t ) i ( 3 ) h e r e 坟以，七= 1 ，2 ，m ，a r er e a lc o n s t a n t s ，( t ) ，甄( t ) ，七= 1 ，2 ，m ，t r ，a r eb o u n d e d c o n t i n u o u sr e a lf u n c t i o n sa n d s a t i s f ys u p t e r i ( t ) l ，【) f ；= 1 ，2 ，m ) sk ；o a b i n 【2 3 】，w ec o n s i d e rt h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n e o u se q u a t i o n 砒= b h * d t + a k h o d w k ( t ) ，。t ， ( 5 ) 量= 1 w i t ht h ei n i t i a lc o n d i t i o n 九i2 1 - o b v i o u s l y , e q u a t i o n ( 5 ) h a s as o l u t i o n 越= 唧卜卅砉叽叫钏 ， w h e r e t n 7 垒b 一2 。1 ( 7 ) f o ra na r b i t r a r y p r ， 靴一”扩1 副c 一卜 t h e s o l u t i o n ( t ) ，8st ，t r ，o fe q u a t i o n ( 1 ) c a nb er e p r e s e n t e di nt h e f o l l o w i n gf o r m ( t ) = 碡 却) + z ( h d 一渊叩) 地( “) 一o k ( g ( u , x ( t i ) ) 吼$ o ) ) l d u ( 9 ) +妻，僻)-l喜(嘶，嘶)-otx(u)dwk(u)k=1) + ( 鳞) 。1 ( 郴( 杜) ) o5 七= 1 j t h e f o r o w i n g t w ol e m m a sa r ef r o m 【2 3 1 ，w h i c ha r ee s s e n t i a li nt h ep r o o f 9 l e m m a1 a s s u r n et h a t 妒( ”dc o n t i n u o u sf u n c t i o no nt r t h e nt h e o l l o w i n 9r e d e r s ei n t e g r a t ef o r r n u l ah o l d si o rs t o c h o s t i ei n t e g n x t e 8w i t hss t ： l ：，( 。u ，- - 1 妒( ) d w k ( 让) = = 一z ：妒( u ) d t “( 让) 一。f 3 圮妒( ) d ( 1 。) l e m m a2 a s s u m et h a t ，y 0a n d 妒【0 snc o n t i n u o u 9 u n c t i o ns u c ht h a t 8 u p t 矗l 妒( t ) f k + 。o t h e n ( 1 ) ，o rr = 1 ，2a n d0 0a n d 0 矿2 1 s 一“ ( ) l ，l t h + 1 )j 如ra l l t r ，n oa n d p o s i t i v ei n t e g e r t l i ( 2 ) t h ef o l l o w i n gt w ol i m i t s 骢z 砖妒( u ) 如2z 醚妒( ) d u ( 1 2 ) ，5，一 。里z h 知( u ) d w t ( ) 2 j(砭妒(牡)dwk(oo 让) ，一 曲ta l m o s ts u r e l y o ra l lt r r e s p e c t i v e l y ( 1 3 ) - t h e o r e m1 t h e r ee 船幻8u n i q u es t o c h o a t i c a l l yb o u n d e d s o l u t i o n 童( t ) ，t r 。o le q u a t i o n i ) 堪a n do n l yi l1 0 i nt h i sc a s eo it h ee a 口i s t e n c e t w eh a v e 倒w h e n 7 0 ， 孟( t ) = 一f ( 1 h ? ) 一f ( t ，i ( ) ) 一磕( t ) 一哪( g ( “，孟( 乱) ) 巩雪( ”) ) 】d t 一【c h d 。( c k ( u ，面( t ) ) 一以童( u ) ) d 蛳( u ) = lj t ( 1 5 ) m o r e o v e r , s u p e i 孟( 0 r + o 。( 1 6 ) f o r 0 等) ( 1 8 ) + 喜p i f 一喇叩h 币抛刮 鼎) ， i ti ss u f f i c i e n tt op r o v et h a te v e r yt e r mi nt h ea b o v ei ss t o c h a s t i c a l l yh o u n d e d p i f 一。 磕【f ( 屯盆( u ) ) 一6 。( u ) 】) 砒i 7 ) sl t 0 9 ) f o rr = 1 ，2 ，0 p 一q ) 薹p 晨邺( t ，荆旷如 删州，) ( 2 0 )薹p z 撕。) 邺( t ，荆) 坼) i 如 胞舢” 2 s 妻n = op 篡1 ) 蛐c 蛐脚小) 2 9 l ( 1 一口) 一1 n 一 s e c o n d ，w ec l a i mt h a t p i z 一0 。磕( g t ( 嵋z ( u ) ) 一几z ( 让) ) d 叫t ( u ) l ) s l 。一，( 2 1 ) w h e r e0 p ) l i r a 佃n - p e ( 。躲岬水州蝴( 嘲妣i ) ( 2 2 ) s y 1 i m n - 勺e ( 7 , 4 一p ( h d a 。( u ，霉( u ) ) - - ( ，k x ( u ) ) ) 。d u ) 5 s y t 吣( t ) ) u ) ) ) 2 如) s ，班( 一几邺加( u ) ) - - o k x ( j埘如) 5 t 1 2 f o rs o m e c o n s t a n t 唧 + o o ( s e e 【2 1 】) s oi tr e m a i n st os h o wt h a tf o rt r a n d0 p p o e ( 一，一”( 砬( 1 巩扣，g ( u ) ) 一。茹( 钍) ) ) z d u ) 2 + o o ( 2 3 ) a si nt h ep r o o fo f e q u a t i o n ( 1 9 ) ，w eh a v e e ( 一，一”( ：( g 。( u ，。( 钍) ) 一口t 茹( u ) ) ) ：如) 。 薹州p 卜一j t 一( 懒“心”炉郴4 r + 1 ) 枷 l j s 妻n = 0 删，p 铲 一j n m g 小，心) ) _ 酬蝴胁) s 掣1 ) p 4 n ，吨n - p ，( 2 5 ) w h e