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随机电磁光束的大数值孔径聚焦 i 论文摘要论文摘要 激光束的大数值孔径聚焦是近年来兴起的新课题，特别是 1959 年提出 debye 矢量衍射积分理论后， 很多研究者对各类光束的大数值 孔径聚焦做了相关的研究。在本论文中，我们以常见涡旋和非涡旋光 束，如拉盖尔-高斯光束，贝塞尔-高斯光束和高斯光束为例，详细研 究了各种不同偏振类型光束经过大数值孔径透镜聚焦后在聚焦场的 聚焦特性，以及相关参数变化对聚焦特性的影响。主要工作包括： 1. 从 debye 矢量衍射积分理论出发，研究了线偏振超短光脉冲经过 大数值孔径透镜聚焦的聚焦特性，呈现了涡旋和非涡旋超短光脉 冲的聚焦过程，并研究了超短光脉冲在传输过程中的速度变化。 研究结果表明：在大数值孔径聚焦的过程中，超短光脉冲的传输 速度会发生变化，出现快光和慢光的现象。并且，非涡旋超短光 脉冲的传输速度比涡旋脉冲的传输速度大。另外，超短光脉冲的 大数值孔径聚焦可以提高光学系统的时空分辨率。 2. 根据 debye 矢量衍射积分理论推导了部分相干圆偏振涡旋光束经 过大数值孔径透镜聚焦后在聚焦场的光场表达式，分析了入射光 束相干长度及聚焦透镜数值孔径大小变化对聚焦光强分布的影 响。研究发现在大数值孔径聚焦的过程中，光束本身的自旋角动 量会转化成轨道角动量。另外，通过调整相应参数，可以得到有 广泛应用意义的平顶光束。 3. 根据相干度和 3d 偏振度的定义， 比较了左旋和右旋圆偏振部分相 华侨大学硕士研究生毕业论文 ii 干涡旋光束在聚焦场的相干度和偏振度特性。研究结果表明，大 数值孔径聚焦对光束有去偏效应，并且入射光束相干长度及聚焦 透镜数值孔径大小变化对右旋圆偏振光在聚焦场的偏振度影响相 对左旋圆偏振光大。 4. 研究椭圆偏振涡旋和非涡旋光束的大数值孔径聚焦，分别考虑无 光阑和有光阑情况下的聚焦特性，包括光强，相位和轨道角动量 特性，考虑了光束带有不同偏振和相位对聚焦光斑的影响。研究 表明，经过大数值孔径透镜聚焦后，光束的自旋角动量会转化成 轨道角动量。另外，通过改变光束的偏振和相位可以实现光束的 整形，得到理想大小和形状的光斑。 关键词： 关键词： debye 矢量衍射积分，大数值孔径聚焦，超短光脉冲，部 分相干，偏振，涡旋光束，角动量 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 iii abstract the high-numerical aperture focusing of laser beams is a newly arisen topic. especially since the vectorial debye diffraction theory was proposed in 1959, many researchers have done much research on the focusing of different kinds of laser beams through a high-numerical aperture objective. in this dissertation, the common vortex and non-vortex beams, such as laguerre-gaussian beams, bessel-gaussian beams and gaussian beams, are taken as examples to study the tight focusing properties of laser beams with different polarization states. then the influence of certain parameters on the tight focusing properties is also investigated. the main research topics are listed as: 1. by using the vectorial debye diffraction theory, the focusing properties of linearly polarized ultrashort light pulse through a high-numerical aperture objective is investigated. the tight focusing process of the vortex and non-vortex ultrashort light pulse is shown and the velocity variation in the focusing process is studied. it is found that the propagation velocity of the light pulse will vary when the pulse is focused and exhibits fast light and slow light phenomenon. and the non-vortex light pulse generally propagates faster than the vortex light pulse. it is also found that focusing of the ultrashort light pulse through a high-numerical aperture objective will increase the 华侨大学硕士研究生毕业论文 iv time and the space resolution of the optical system. 2. based on the vectorial debye diffraction theory, the field distribution expression in the focal region when the partially coherent and circularly polarized vortex beam is focused by a high-numerical aperture objective is derived. the influence of the source coherence and the numerical aperture on the intensity distribution is investigated. it is found that in tight focusing, the spin angular momentum of the beam will convert into the orbital angular momentum. moreover, by adjusting certain parameters, the top-hat beam which is of great application is obtained. 3. according to the definition of the coherence and 3d polarization, the coherence and polarization properties in the focal region with the focusing of the right-circular polarized and the left-circular polarized beams are compared. it is shown that the depolarization effect exists in the high-numerical aperture focusing. it is also shown that the influence of the source coherence and the numerical aperture on the right-circular polarized beam is more obvious than on the left-circular polarized beams. 4. the high-numerical aperture focusing properties of the elliptically polarized vortex and non-vortex beams, including the intensity, the phase and the orbital angular momentum properties are studied. the influence of beams with different polarization and phase states on the 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 v focusing spot is considered. the results show that, the spin angular momentum of the beam will transform into the orbital angular momentum. moreover, by modulating the polarization and phase state of the beam, the beam shaping can be realized and the spot shape of ideal size and shape can be obtained. keywords: vectorial debye diffraction integral, high numerical-aperture focusing, ultrashort light pulse, partially coherent, polarization, vortex beam, angular momentum 华侨大学硕士研究生毕业论文 ii 原创性声明 原创性声明 本人声明兹呈交的学位论文是本人在导师指导下完成的研究成 果。论文写作中不包含其他人已经发表或撰写过的研究内容，如参考 他人或集体的科研成果，均在论文中以明确的方式说明。本人依法享 有和承担由此论文所产生的权利和责任。 学位论文作者签名： 日期： 学位论文版权使用授权声明 学位论文版权使用授权声明 本人同意授权华侨大学有权保留并向国家机关或机构送交学 位论文和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅。 论文作者签名： 指导教师签名： 签 名 日 期： 签 名 日 期： 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 1 第一章第一章 引言引言 1.1 研究背景研究背景 激光束经过大数值孔径聚焦系统后，会得到一个比普通聚焦更小的聚焦光 斑， 光斑大小可达到亚波长量级， 因而这种聚焦可以提高成像系统的空间分辨率， 从而广泛应用于平版印刷术， 光数据存储， 粒子束囚禁及数据处理等方面1-12。 同时，激光束经过大数值孔径透镜聚焦后，在聚焦场会产生一个三维分布的空间 光场， 因此， 傍轴近似下推导出的普通衍射理论公式不再适用， 而是采用richards 和wolf于1959年提出的矢量衍射积分公式对激光束经过大数值孔径透镜的聚焦 进行研究13-17。由于激光束经过大数值孔径透镜聚焦具有许多独特的性质， 至今为止已有不少学者对各类光束的大数值孔径聚焦特性产生了广泛的兴趣并 做了大量的研究 18-34。2000 年，k. s. youngworth 对圆柱偏振矢量光束的 大数值孔径聚焦进行了研究；2006 年，q. zhan 研究了圆偏振光束经过大数值孔 径透镜聚焦的光强特性；2008 年，j. pu 等对部分相干涡旋线偏振光束经过大数 值孔径透镜聚焦后在聚焦场的光强，相干度和偏振度特性做了全面的研究。研究 表明，激光束经过大数值孔径聚焦后，在聚焦场的特性与入射光束的偏振特性和 相位特性有很大的关系 35-37。随后，k. singh 研究小组将球差引入透镜， 首次研究了带球差的透镜对大数值孔径聚焦的影响；另外，z. zhang 等人又研 究了激光束经过介质面和单轴双折射晶体的大数值孔径聚焦21,38-39。 近年来，出现了一种新的光学分支即奇点光学。在奇点光学中，光束的波 前不再是简单的平面或者球面，而是带有波前位错或者称为相位奇点 40-43。 奇点光学中一种典型的光束称为涡旋光束，这是一种带有螺旋形相位因子 exp()im的新型光束，常见的涡旋光束有高阶拉盖尔-高斯光束，高阶贝塞尔- 高斯光束等。涡旋光束具有许多独特的性质，使得这种光束具有广泛的应用前景 44-48。首先，涡旋光束的位错使得它具有空心型的光强分布，在中心形成一 个光学势阱， 可用于囚禁粒子 12， 49-51。 同时， 带有螺旋形相位因子exp()im 的涡旋光束带有拓扑电荷数m，这使得光束带有m?的轨道角动量，可用于粒子 囚禁与操纵，充当光学扳手等 44,52-57。另一方面，光束携带的拓扑电荷数 包含光束的信息，它既可以为整数形式，也可以为分数形式，这意味着可以利用 华侨大学硕士研究生毕业论文 2 这种涡旋光束携带的拓扑电荷数进行信息编码，2004 年，gibson 等人研究了利 用涡旋光束的轨道角动量进行信息传输的可能性， 并通过实验证明利用轨道角动 量作为信息的载体进行信息编码具有更高的保密性， 所以这种光束在量子信息和 光通信等领域有着很广泛的应用前景 45,57-59。由于涡旋光束的独特性质及 广泛应用，许多研究人员对涡旋光束的产生，轨道角动量的传输和测量及利用涡 旋光束进行拓扑电荷数的编码解码进行了大量的研究 57,60-65。 在上面研究的基础上， 我们知道对大数值孔径聚焦及涡旋光束的研究具有非 常重要的意义。但是目前，将涡旋光束应用于大数值孔径聚焦的研究相对还比较 少，有些相关领域甚至至今尚未研究过，例如对涡旋超短光脉冲经过大数值孔径 透镜聚焦后的聚焦特性的研究， 对部分相干涡旋光束经过大数值孔径聚焦后自旋 角动量与轨道角动量之间的转化的研究等。因此，本论文除了在前人研究的基础 上进行更深入的研究外，还自行拓展，对相关未研究的领域开展研究工作，得到 了一些有意义的成果。 1.2 研究动机与目标研究动机与目标 1. 激光束经过大数值孔径透镜聚焦后可以得到比普通聚焦更小的光斑，在焦平 面附近产生一个很强的纵向分量，得到一个三维空间分布的光场，在平版印 刷术，光数据存储，粒子束囚禁及数据处理等方面都有广泛的应用，所以对 激光束经过大数值孔径聚焦的研究具有重要的意义1,15。 2. 研究超短光脉冲的大数值孔径聚焦特性，利用大数值孔径聚焦提高空间分辨 率，利用超短光脉冲提高时间分辨率，组成一个高时空分辨率的光学系统。 重点研究超短光脉冲经过大数值孔径透镜聚焦后的传输速度变化规律，使该 光学系统更好地应用于粒子加速等方面。 3. 研究部分相干涡旋光束经过大数值孔径透镜聚焦前后，光束本身所带自旋角 动量与轨道角动量之间的转化，分析相应轨道角动量的变化规律，从而可以 根据实际应用的需要，选择合适的光束，使深聚焦光束更有效地应用于粒子 囚禁和操控等领域。 4. 研究光束的偏振特性和相位特性对大数值孔径聚焦光斑大小和形状的影响， 通过调制激光束的偏振和相位实现光束整形。由于光斑的大小和形状直接影 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 3 响到光束在粒子操控方面的应用，所以寻求相应偏振和相位的光束得到最理 想的光斑十分重要。 1.3 本论文主要内容及各章节安排本论文主要内容及各章节安排 第一章：引言 介绍论文的研究背景，研究的动机与目标，研究意义等。 第二章：光束大数值孔径聚焦的基础理论 介绍debye近似理论，比较傍轴情况和非傍轴情况下的debye衍射理论。 研究激光束经过大数值孔径聚焦后光场变化的切趾函数以及在聚焦场的光场分 布情况。 第三章：线偏振超短光脉冲的大数值孔径聚焦 研究和比较了涡旋超短光脉冲和非涡旋超短光脉冲的大数值孔径聚焦特性， 着重分析超短光脉冲聚焦前后的速度变化， 首先在大数值孔径聚焦过程中发现了 快光和慢光现象，具有重要的意义。 第四章：部分相干圆偏振涡旋光束的大数值孔径聚焦 首先介绍了部分相干圆偏振光束的大数值孔径聚焦理论， 较为系统地分析了 聚焦场处的光强，相干度和偏振度特性并研究相关参数变化对聚焦特性的影响。 第五章：椭圆偏振光束的大数值孔径聚焦 根据debye矢量衍射理论，研究了涡旋和非涡旋光束的大数值孔径聚焦特 性。研究光束偏振和相位的不同对聚焦特性的影响，发现可以通过调制偏振和相 位参数实现光束的整形。同时，对光束聚焦后轨道角动量的变化研究发现在大数 值孔径聚焦过程中，光束所带自旋角动量会转化成轨道角动量。 第六章：本文的主要结论及创新点 简要归纳了本学位论文的主要结论和创新点。 华侨大学硕士研究生毕业论文 4 第二章第二章 光束大数值孔径聚焦的基础理论光束大数值孔径聚焦的基础理论 到目前为止， 对于激光束经过透镜聚焦的大部分研究都是在傍轴近似的基础 上进行的，而傍轴近似条件适用的前提条件是聚焦透镜的数值孔径很小，在这种 情况下，许多效应如光线的变迹（即切趾） ，去偏效应以及像差等效应都被忽略。 然而，当聚焦透镜的数值孔径大于0.7时（称为大数值孔径聚焦或深聚焦） ，这 些效应就会变得明显而不能忽略，所以傍轴近似条件下推导出的公式都不再适 用，这种情况下的成像分析只能在debye矢量衍射理论的基础上进行。这里，我 们主要介绍大数值孔径聚焦的基础理论debye矢量衍射理论， 这也是本文研 究的核心理论基础 13,14,66-68。 2.1 debye 标量近似理论标量近似理论 考虑一如图2-1-1所示的衍射光阑 ，并假设在衍射孔径处的波前为一以o 为原点的球面w，这种情况对应的是光束折射后经过透镜时由透镜引起的衍射， 因而，球面w处的场可以表示为： 11 exp() ()() ikf u pp p f =， （2-1-1） 其中， f 表示球面的焦距，即球面的半径，exp()/ikff 因子表示一个会聚到原点 o的球面波。 有些时候， 球面波前的场不为常数， 所以这里引入一个函数 1 ()p p 来 表示球面波前的场分布。 则聚焦场中原点附近任意点 2 p 处的光场可以写为： 21 exp() ()()cos( , ) iik rf u pp pds fr = n r， （2-1-2） 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 5 图 2-1-1. 球面波的聚焦 为了简化式（2-1-2） ，假设观察点 2 p 在原点o附近，则可以引入以下近似： a) 距离之差rf可以近似表示为： rf= i s r， （2-1-3） 其中，s 为球面上点到原点的单位矢量，而为原点到观察点的单位矢 量。这个近似表明，衍射光阑处的微小球面波被近似为微小平面波。 b) 面元ds被近似表示为： 2 dsf d=， （2-1-4） 其中d为对应面元ds的立体角。 c) 方向余弦可以近似为： cos( , )1n r， （2-1-5） 其中r为点 1 p 到点 2 p 的单位矢量，n为衍射光阑的法向矢量。 d) 式（2-1-2）分母中的距离r可以用焦距f代替。 基于以上近似，式（2-1-2）可以简化为： 21 ()()exp() i u pp pikd = i s r， （2-1-6） 式（2-1-6）即所谓的deybe积分，在推导该式过程中所用到的近似即为debye 近似。 对于圆透镜的聚焦，在原点o处建立球坐标系，则点 1 p的位置可以用球坐标 华侨大学硕士研究生毕业论文 6 表示为： 1 1 1 sincos , sinsin , cos , xf yf zf = = = （2-1-7） 其中， 2222 111 222 111 , . fxyz rxy =+ =+ （2-1-8） 同样，在原点o处建立极坐标系，则 2 p点的位置，即位置矢量r的坐标可以写 为： 22 22 2 cos, sin, , xr yr z = = （2-1-9） 其中， 2 r满足： 222 222 rxy=+. （2-1-10） 在这些条件下，并根据 1 sinrf=，则有如下变换关系： sindd d =， （2-1-11） 11 ()( , , )( , )p pp rp =. （2-1-12） 用单位矢量i，j和k来表示图2-1-1中的x，y和z方向，则单位矢量s可 以表示成： sincossinsincos=+sijk. （2-1-13） 所以有： 222 22 sincoscossinsinsincos sincos()cos rrz rz =+ =+ i s r ， （2-1-14） 则式（2-1-6）就可化为： 2222 ( ,)( , )expsincos()cos sin i u rzpikrikzd d = （2-1-15） 若光线在聚焦场的最大会聚角为，则式（2-1-15）中对和对的积分范 围就分别为0到和0到2。另外，由于实际中所用透镜均为圆对称透镜，所 以有( , )( )pp =。在这些条件下，式（2-1-15）的积分就与变量无关，即式 （2-1-15）为一个圆对称函数。再根据以下数学关系： 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 7 2 0 0 1 ( )exp(cos ) 2 jxixt dt = ， （2-1-16） 则式（2-1-15）可以化简为： 22022 0 2 ( ,)( )(sin )exp(cos )sin i u r zpjkrikzd = . （2-1-17） 2.2 切趾函数切趾函数 透镜的切趾函数( )p描述的是图2-1-1中会聚波面w上的光线密度， 而瞳孔 函数( )p r描述的是横平面上的光线密度，在大数值孔径聚焦系统中， ( )( )pp r。这里，我们首先考虑切趾函数与孔径函数的普遍关系。如图2-2-1， r处的光线投影到会聚波面w上满足如下关系： /( )rfg=， （2-2-1） 其中( )g为光线投影函数，表示的是光线穿过透镜平面投影到波面w的关系。 图 2-2-1. 透镜聚焦 假设一均匀分布，振幅为( )p r，能量为 2 0 ( )prs的光束入射到透镜上，其 中， 0 s为平面上在r处极小面元的面积。当光束经过透镜折射后，其振幅用 ( )p表示，相应的出射能量为 2( ) ps ，其中s表示会聚波面w上角度处极 华侨大学硕士研究生毕业论文 8 小面元的面积。由图2-2-1可得， 0 s和s分别可以写为： 2 0 22( )( )srdrf ggd=， （2-2-2） 2 2sin( )sfd=， （2-2-3） 其中， ( ) g是( )g对求导的函数。 根据能量守恒定律，则有 22 0 ( )( )prsps =， （2-2-4） 利用式（2-2-2）与式（2-2-3）可得， 2222 ( )2( )( )( )2sinprf ggdpfd =. （2-2-5） 因此，切趾函数与相应瞳孔函数的关系可以用以下式子表示： ( )( ) ( )( ) sin gg pp r =. （2-2-6） 这个关系式适用于任何类型的透镜。 由于日常生活中一般的透镜都满足正弦近似 条件，所以以下我们讨论正弦近似条件下的切趾函数表示形式。 在正弦近似条件下，光线投影函数可以表示成： ( )sing=. （2-2-7） 即有 69： sinrf=. （2-2-8） 由几何光学的知识（如图2-2-2）可知，正弦条件对应于67： 1 11000 sinsinnyn y=, （2-2-9） 其中， 01 ()n n， 01 ( )y y和 01 ( ) 分别为介质的折射率，光线在波前的高度以及光线 在物（像）空间的会聚角。满足式（2-2-9）的成像系统称为等光程成像系统。 一般的透镜在设计过程中都满足正弦条件68， 即光束经过透镜成像时都满足式 （2-2-9） ，所以，根据该式就可以求得光束经过薄透镜成像时在像空间的表示。 根据式（2-2-7） ，则可得正弦近似条件下切趾函数为： ( )( ) cospp r=， （2-2-10） 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 9 图 2-2-2. 几何光学中的正弦近似， in w和 out w为透镜系统入射和出射波前。 2.3 debye 矢量理论矢量理论 为了研究大数值孔径聚焦的去偏效应， 这里引入debye矢量理论来研究大数 值孔径聚焦。由2.1节中式（2-1-6）可知，debye积分是由在最大会聚角所决定 的空间立体角范围内所有平面波的叠加。假设入射光为线偏振光，则在矢量情况 下，聚焦场中电场的debye积分表达式可以写为： 201 ()()exp() i ppikd = iees r， （2-3-1） 其中， 2 ()pe为聚焦场中 2 p点处的电场分布， 而 01 ()pe为参考面上 1 p点处的电场。 同样利用式（2-1-7）和（2-1-9）建立的坐标系表示点 1 p和 2 p的坐标，则有： 22022 ( ,)( , )expsincos()cos sin i e rzeikrikzd d = . （2-3-2） 为了得到激光束经过大数值孔径聚焦后在聚焦场的电磁波表达式， 我们首先 要了解电场 0( , ) e 的矢量分布形式。首先假设入射电磁波 i e 为沿x方向的线偏 振光，则对圆对称系统有： ( )( ) i rp r=ei. （2-3-3） 这里，( )p r是透镜光阑处的振幅分布，i为沿x方向的单位矢量。通常，我们也 用 j 来表示沿y方向的单位矢量。 华侨大学硕士研究生毕业论文 10 为了描述经过透镜折射后的电磁场，这里引入单位矢量 a和 a表示和 方向，图2-3-1给出了这两个单位矢量的正方向。 根据图2-3-1的几何关系，式（2-3-2）变为： ( )( )cos( )sin i rp rp r =eaa . （2-3-4） 因此，入射电磁波包含沿 a和 a方向的两个分量。经过透镜折射后，在聚焦场 新建的坐标系中，这两个矢量的方向可能会发生改变。 图 2-3-1. 单位矢量i，j， a和 a的定义 假设经过透镜折射后，电磁波落在图2-3-1中所示的子午面aa上，经过 透镜折射后， a的方向不发生改变，而 a的方向变到了 a方向如图2-3-2所示。 图 2-3-2.入射波在子午面aa上的折射 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 11 根据2.2节的讨论可知， 该电磁波经过透镜折射后， 变成一个关于的函数， 即切趾函数( )p。 所以经过透镜折射后， 瞳孔函数( )p r转变成了切趾函数( )p。 因此，式（2-3-4）变为： ( , )( )cos( )sin i pp r =eaa， （2-3-5） 其中， coscoscos sinsin sincos a =i+j+k, a =i+j. （2-3-6） 很显然，式（2-3-5）即为式（2-3-2）中 0( , ) e 的表示形式。将式（2-3-6）代入 （2-3-5）可得， 2 0( , ) ( )cossin(1 cos )cossin (cos1)cossinep =+ i+ j+k. （2-3-7） 将式（2-3-7）代入式（2-3-2）可得线偏振光束经过大数值孔径透镜聚焦后 在焦平面附近的电场分布为： 2 22 22 1 ( ,)( )cossin(1 cos )cossin (cos1) cossinexpsincos()cos sin e rzp ikrikzd d =+ i+j +k . （2-3-8） 上式中，的积分范围从0到2，的积分范围从0到。为了化简积分，应用 到以下积分 70： 2 0 2 0 cos()exp cos()2( )cos(), sin()exp cos()2( )sin(), n n n n nitdi jtn nitdi jtn = = （2-3-9） 其中，n为整数。利用以上积分，则经过透镜聚焦后的电磁波在聚焦场的电场表 达式可以简化为： 220221 ( ,)cos(2 )sin(2 )2 cos i e rziiiii =+i+j+k. （2-3-10） 式中，变量 0 i， 1 i和 2 i的定义分别为： 0022 0 ( )sin (1 cos )(sin )exp(cos )ipjkrikzd =+ ， （2-3-11） 2 1122 0 ( )sin(sin )exp(cos )ipj krikzd = ， （2-3-12） 华侨大学硕士研究生毕业论文 12 2222 0 ( )sin (1 cos )(sin )exp(cos )ipjkrikzd = ， （2-3-13） 其中， 0( ) jx， 1( ) j x和 2( ) jx分别为第一类零阶，一阶和二阶贝塞尔函数。 式（2-3-10）表明，即使是x向线偏振入射的光，经过大数值孔径透镜聚焦 后，在聚焦区域的衍射场包含x，y和z三个方向的分量，这就是所谓的大数值 孔径聚焦的去偏效应。当且仅当/2=时，才不会存在去偏效应。从该式还可 以看出，当聚焦透镜的数值孔径变小时，去偏效应就变得比较不明显甚至消失， 这种情况就对应 2.1 节的 debye 标量理论。 以上推导出的是线偏振光入射情况下的 debye 矢量衍射理论， 其他偏振状态 的 debye 矢量积分公式可以由类似过程推导得到。 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 13 第三章第三章 线偏振超短光脉冲的大数值孔径聚 焦 线偏振超短光脉冲的大数值孔径聚 焦 近年来，随着飞秒脉冲激光技术的迅速发展，人们对超短光脉冲及其应用的 研究取得了许多新成果71-73。 超短脉冲激光技术的发展使其广泛应用于生物， 化学等领域的瞬态动力学过程研究中， 已经成为生物医学领域中进行时间分辨光 学成像及多光子荧光成像的必要光源5，74-77。 另一方面，光束经过大数值 孔径透镜聚焦后，可以得到极小的聚焦光斑，因而大数值孔径聚焦可以广泛应用 于光刻， 平板印刷术， 材料加工， 显微成像和高密度光数据存储中2， 5， 78-80。 所以， 超短光脉冲经过大数值孔径透镜聚焦后将得到高时空分辨率的光焦点和很 高的轴上光强，在光学相干层析成像和共焦扫描荧光成像中有着很重要的应用 81-83。因此，研究超短脉冲光束经过大数值孔径透镜聚焦具有重要的意义。 3.1 线偏振高斯超短光脉冲的深聚焦线偏振高斯超短光脉冲的深聚焦 在实际应用中，激光光束常见为高斯型空间分布，因而本节研究高斯超短光 脉冲经过大数值孔径透镜聚焦的聚焦特性， 着重研究焦平面上的光强及聚焦后的 传输速度变化， 考虑了聚焦透镜数值孔径大小及超短光脉冲脉宽大小对聚焦场脉 冲传输速度的影响。 3.1.1 线偏振高斯超短光脉冲深聚焦的理论分析线偏振高斯超短光脉冲深聚焦的理论分析 本节考虑入射光脉冲为x向线偏振的高斯型飞秒光脉冲84，则在时刻t， 点( , )x y=r处的入射电场可以表示为： 2 0 2 0 ( , )exp() ( ) x r e r tea t =， （3-1-1） 其中， 0 e和 0 分别为高斯脉冲的振幅常数和束腰， 并假设与频率无关73。( )a t 是入射超短光脉冲的时间波形，这里假设其时间波形也为高斯型分布85： 2 0 ( )exp () exp() g t a tait t =, （3-1-2） 华侨大学硕士研究生毕业论文 14 式中，2ln2 g a=，t为脉冲脉宽， 0 对应超短光脉冲的中心频率。 利用傅立叶变换法，可以得到入射超短光脉冲( , )e r t在空间-频率域中的场 分布为 31: 22 2 00 22 0 1 ( ,)( , )exp() 2 exp()exp() 42 g g s re r ti t dt trt e aa = = . （3-1-3） 在正弦近似条件下68，sinrf=，其中f是大数值孔径透镜的焦距，是 数值孔径角，从而式（3-1-3）可以转化为高斯脉冲经过大数值孔径透镜光阑面 的切趾函数： 22 2 00 22 0 (sin ) ( ,)expexp() 42 g g tft se aa =, （3-1-4） 图 3-1-1. 超短光脉冲经过大数值孔径聚焦 假设飞秒高斯脉冲经过如图 3-1-1 所示的圆对称透镜聚焦， 则根据 debye 矢 量衍射理论，高斯脉冲一个频率分量( ,)s 经过大数值孔径透镜聚焦后在聚焦 场的电场可以表示为14,66,68： max 2 00 22 ( ) ( , , ,)( ,)exp( ) sincos()( ) cos 2 coscossin sincoscos sin (cos1) sincos ikf e rzsikrikz d d = + + ? ， （3-1-5） 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 15 式中，( , , )rz为观察点的柱坐标表示，( )/kc=是波数，与脉冲的角频率有 关， 8 3 10/cm s= 是光在真空中的传播速度， max 为聚焦透镜的最大数值孔径角。 经过一系列复杂的积分计算后， 我们得到了超短高斯脉冲一个频率分量经过 大数值孔径透镜聚焦后在焦平面附近的光场表达式为： max 0 02 ( ) ( , , ,)( ,)sincosexp( ) cos 2 (cos1) ( ) sin (1 cos ) ( ) sin cos(2 ) x ikf e rzsikz j krj krd = + ， （3-1-6） max 0 2 ( ) ( , , ,)( ,)sincosexp( ) cos 2 (1 cos ) ( ) sin sin(2 ) y ikf erzsikz j krd = , （3-1-7） max 2 1 0 ( , , ,)( )( ,)sincosexp( ) cos ( ) sin cos( ) z e rzkfsikzj krd = （3-1-8） 以上考虑的是超短高斯脉冲一个频率分量在聚焦场的光场特性， 所以飞秒高 斯脉冲在聚焦场的总光场特性可以表示成所有频率分量的叠加31: 0 ( , , , )( , , ,)exp() jj e rz te rzi t d = (, , )jx y z=. （3-1-9） 将式（3-1-6）-（3-1-8）代入式（3-1-9）可以得到高斯超短光脉冲经过大 数值孔径透镜聚焦后，在焦平面附近的总光强为24,32,37: 2 , , , ( , , , )( , , , )( , , , ) jj j x y zj x y z i rz tirz te rz t = = . （3-1-10） 根据文献86，根据激光光强可以确定光束的质心。这里，我们令0=， 利用光束质心来确定高斯超短光脉冲的平均传输距离为： ( , , , ) (0, ) ( , , , ) zi rz t drdz zt i rz t drdz = . （3-1-11） 最后，超短高斯脉冲光束经过大数值孔径透镜聚焦后，沿z方向的传输速度 可以由传输距离对时间求导得到： ( ) ( ) dz t v t dt =. （3-1-12） 基于以上推导的公式，在下一节中我们将通过数值计算的方法研究超短光脉 冲经过大数值孔径透镜聚焦的聚焦特性，并分析相关参数对聚焦特性的影响。 华侨大学硕士研究生毕业论文 16 3.1.2 线偏振高斯超短光脉冲的深聚焦特性分析线偏振高斯超短光脉冲的深聚焦特性分析 首先， 我们在图 3-1-2 中研究了高斯超短光脉冲经过大数值孔径透镜聚焦后 在焦平面上的光强分布情况。图中所有位置坐标均对超短光脉冲的中心波长 249nm=归一化。我们注意到，尽管入射脉冲考虑的是x向线偏振的超短光脉 冲，经过大数值孔径透镜聚焦后，在焦平面上，除了有x分量光强外，还有y和 z分量光强，可见，大数值孔径聚焦对光束有去偏效应24。从图 3-1-2 可以看 出，聚焦的总光强分布在x向被拉长了，成椭圆形的光强分布，而且所得聚焦光 斑在亚波长量级。该椭圆形光斑的半高全宽(fwhm)大小分别为0.8和0.6。而 从图 3-1-2（b）-（d）可以看出，x分量光强呈圆对称分布，y分量光强分裂成 四部分，关于焦点呈对称分布，而z分量光强包含关于y轴对称的两部分。 图 3-1-2. 超短高斯脉冲经大数值孔径透镜聚焦后在焦平面上的光强分布图。 (a)总光强； (b)x分量光强；(c)y分量光强；(d)z分量光强。其他参数选为： 151 0 7.57 10s =， 5tfs=，1.5fcm=， 0 2cm=，0.9na =，0tfs=， 0 1e=。 图 3-1-3 给出了超短高斯脉冲经大数值孔径透镜聚焦后在聚焦场的传输情 况。从图可以看出，光脉冲在离焦平面较远的地方光斑较大，传输速度较快，并 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 17 且在焦平面附近光斑聚焦到最小，光速也减小到最慢。当光束经过焦平面以后， 光斑又开始发散，光速又开始增加，焦平面前后的情况一致。所以，超短高斯脉 冲经大数值孔径透镜聚焦后在聚焦场的传输速度会发生改变。 (a) (b) (c) 华侨大学硕士研究生毕业论文 18 (d) (e) (f) 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 19 (g) (h) (i) 华侨大学硕士研究生毕业论文 20 (j) (k) 图 3-1-3. 超短高斯脉冲经大数值孔径透镜聚焦后在聚焦场的传输图。(a)10tfs= ； (b)8tfs= ；(c)6tfs= ；(d)4tfs= ；(e)2tfs= ；(f)0tfs=；(g)2tfs=； (h)4tfs=；(i)6tfs=；(j)8tfs=；(k)10tfs=。其他参数同图 3-1-2。 接下来， 我们着重研究超短高斯脉冲经大数值孔径透镜聚焦后的传输速度变 化。图 3-1-4 给出了聚焦脉冲的传输速度及其x，y和z分量的传输速度，图中， 所有速度均对真空中的光速 8 3 10/cm s= 进行归一化。 从图中可以看出， 超短光 脉冲x分量的传输速度与整个脉冲的传输速度相近，而y和z分量的传输速度都 明显小于x分量的传输速度。另外，在0tfs=时刻，即当脉冲的峰值传输到焦平 面(0z =平面)的时刻，脉冲传输速度与光速相比小很多，而在焦平面前后，我们 发现光速在焦前和焦后都出现传输速度超过光速的现象。并且，在7tfs= 和 7tfs=两个时刻，光速达到了最大值。这些结果表明，在超短光脉冲经过大数值 随机电磁光束的大数值孔径聚焦 21 孔径透镜聚焦的过程中，出现了快光和慢光现象。 图 3-1-4. 经大数值孔径透镜聚焦后脉冲及其x，y和z分量传输速度。其他参数同图 3-1-2。 接下来我们研究超短光脉冲深聚焦后传输速度受聚焦透镜数值孔径na和 脉冲脉宽t的影响。图 3-1-5 首先研究了聚焦透镜数值孔径na