材料力学(I)第五版课后习题答案完整版.pdf

第二章第二章第二章第二章轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2-12-1 试求图示各杆试求图示各杆 1-11-1 和和 2-22-2 横截面上的轴力，并作轴力图。横截面上的轴力，并作轴力图。 （a）解解解解：；（b）解解解解：； （c）解解解解：；。(d) 解：解：解：解：。 2-22-2 一打入地基内的木桩如图所示一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为沿杆轴单位长度的摩擦力为 f=kxf=kx （k k 为常数为常数），试作木桩的试作木桩的 轴力图。轴力图。 解：由题意可得： 0 l Fdx=F,有 1/3kl=F,k=3F/l FN（x1）= 0 1x 3Fx/ldx=F(x1/l) 2-32-3 石砌桥墩的墩身高石砌桥墩的墩身高 l=10ml=10m，其横截面面尺寸如图所示其横截面面尺寸如图所示。荷载荷载 F=1000KNF=1000KN，材料的密度材料的密度=2.35=2.35 1010 kg/mkg/m ，试求墩身底部横截面上的压应力。，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： gAlFGFN=+=)(2-3 图 )(942.31048 . 935 . 2 10)114 . 3 23(1000 2 kN=+= 墩身底面积：)(14 . 9 )114 . 3 23( 22 mA=+= 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPakPa m kN A N 34 . 0 71.339 14 . 9 942.3104 2 = = 2-42-4图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向 撑杆用角钢构成撑杆用角钢构成，其截面均为两个其截面均为两个 75mm75mm8mm8mm 的等边角钢的等边角钢。已知屋面承受集度为已知屋面承受集度为的竖的竖 直均布荷载。试求拉杆直均布荷载。试求拉杆AEAE和和EGEG横截面上的应力。横截面上的应力。 解解解解：= 1）求内力 取 I-I 分离体 得（拉） 取节点E为分离体 ， 故（拉） 2）求应力 758 等边角钢的面积A=11.5 cm 2 (拉) （拉） 2-52-52-52-5图示拉杆承受轴向拉力图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积，杆的横截面面积。如以。如以表示斜截面与横表示斜截面与横 截面的夹角截面的夹角，试求当试求当，3030，4545，6060，9090时各斜截面上的正应力和切应力时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表并用图表 示其方向。示其方向。 解解解解： 2-62-62-62-6一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长 200mm200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，的正方形，材料可认为符合胡克定律， 其弹性模量其弹性模量E E=10=10 GPaGPa。如不计柱的自重，试求：。如不计柱的自重，试求： （1 1）作轴力图；）作轴力图； （2 2）各段柱横截面上的应力；）各段柱横截面上的应力； （3 3）各段柱的纵向线应变；）各段柱的纵向线应变； （4 4）柱的总变形。）柱的总变形。 解解解解：（压） （压） 2-72-72-72-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 解：取长度为dx截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为： )( )( xEA Fdx ld=， = ll xA dx E F dx xEA F l 00 )()( l x rr rr = 12 1 ， 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r+ =+ =， 2 2 112 22 )(u d x l dd xA= + =，dx l dd du d x l dd d 2 ) 22 ( 12112 =+ du dd l dx 12 2 =，)( )( 2 2 )( 2 21 2 12 u du dd l du u dd l xA dx = = 因此，)( )( 2 )()( 2 0 21 00 u du ddE Fl xA dx E F dx xEA F l lll = l l d x l dd ddE Fl uddE Fl 0 112 21021 22 1 )( 21 )( 2 + = = + = 2 1 22 1 )( 2 1112 21 dd l l dd ddE Fl 2-102-102-102-10受轴向拉力受轴向拉力F F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E E，试求，试求C C与与 D D两点间的距离改变量两点间的距离改变量。 解解解解： 横截面上的线应变相同 因此 2-112-112-112-11 图示结构中，图示结构中，ABABABAB 为水平放置的刚性杆，杆为水平放置的刚性杆，杆 1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3 材料相同，其弹性模量材料相同，其弹性模量GPaE210=，已，已 知知ml1=， 2 21 100mmAA=， 2 3 150mmA=，kNF20=。试求。试求 C C C C 点的水平位移和铅垂位移。点的水平位移和铅垂位移。 2-11 图 解： （1）求各杆的轴力 以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为 AB 平衡，所以 0= X ，045cos 3 = o N，0 3 =N 由对称性可知，0=CH，)(10205 . 05 . 0 21 kNFNN= （2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 A 点的铅垂位移：mm mmmmN mmN EA lN l476 . 0 100/210000 100010000 22 1 1 1 = = B 点的铅垂位移：mm mmmmN mmN EA lN l476 . 0 100/210000 100010000 22 2 2 2 = = 1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为 刚性杆，可以得到 C 点的水平位移：)(476 . 0 45tan 1 mml o BHAHCH = C 点的铅垂位移：)(476 . 0 1 mml C = 2-122-122-122-12 图示实心圆杆图示实心圆杆 ABABABAB 和和 ACACACAC 在在 A A A A 点以铰相连接，在点以铰相连接，在 A A A A 点作用有铅垂向下的力点作用有铅垂向下的力kNF35=。已知。已知 杆杆 ABABABAB 和和 ACACACAC 的直径分别为的直径分别为mmd12 1 =和和mmd15 2 =， 钢的弹性模量钢的弹性模量GPaE210=。 试求试求 A A A A 点在铅垂点在铅垂 方向的位移。方向的位移。 解： （1）求 AB、AC 杆的轴力 以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出： 0= X ：045sin30sin= o AB o AC NN ABAC NN2=(a) 0= Y ：03545cos30cos=+ o AB o AC NN 7023=+ ABAC NN(b) (a) (b)联立解得： 受力图 变形协调图 kNNNAB117.18 1 =；kNNNAC621.25 2 = （2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移 2 2 2 2 1 1 2 1 222 1 EA lN EA lN F A += )( 1 2 2 2 2 1 1 2 1 EA lN EA lN F A += 式中，)(141445sin/1000 1 mml o =；)(160030sin/800 2 mml o = 22 1 1131214 . 3 25 . 0 mmA=； 22 2 1771514 . 3 25 . 0 mmA= 故：)(366 . 1 ) 177210000 160025621 113210000 141418117 ( 35000 1 22 mm A = + = 2-132-132-132-13 图示图示 A A A A 和和 B B B B 两点之间原有水平方向的一根直径两点之间原有水平方向的一根直径mmd1=的钢丝的钢丝， 在钢丝的中点在钢丝的中点 C C C C 加一竖向荷加一竖向荷 载载 F F F F。已知钢丝产生的线应变为。已知钢丝产生的线应变为0035. 0=，其材料的弹性模量，其材料的弹性模量GPaE210=， 钢丝的自重不计。试求：钢丝的自重不计。试求： （1 1 1 1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律） ； （2 2 2 2）钢丝在）钢丝在 C C C C 点下降的距离点下降的距离； （3 3 3 3）荷载）荷载 F F F F 的值。的值。 解： （1）求钢丝横截面上的应力 )(7350035. 0210000MPaE= （2）求钢丝在 C 点下降的距离 )(7 210000 2000 735mm E l EA Nl l=。其中，AC 和 BC 各mm5 . 3。 996512207 . 0 5 . 1003 1000 cos= o 7867339 . 4 ) 5 . 1003 1000 arccos(= )( 7 . 837867339 . 4 tan1000mm o = （3）求荷载 F 的值 以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得： 0= Y ：0sin2=PaN sin2sin2AaNP= )(239.96787 . 4 sin114 . 3 25 . 0 7352 02 N= 习题习题 2-152-152-152-15 水平刚性杆水平刚性杆 ABABABAB 由三根由三根 BC,BDBC,BDBC,BDBC,BD 和和 EDEDEDED 支撑支撑，如图如图，在杆的在杆的 A A A A 端承受铅垂荷载端承受铅垂荷载 F=20KN,F=20KN,F=20KN,F=20KN, 三根钢杆的横截面积分别为三根钢杆的横截面积分别为 A1=12A1=12A1=12A1=12 平方毫米，平方毫米，A2=6A2=6A2=6A2=6 平方毫米，平方毫米，A,3=9A,3=9A,3=9A,3=9 平方毫米，杆的弹性模平方毫米，杆的弹性模量量 E=210GpaE=210GpaE=210GpaE=210Gpa，求：，求： （1 1 1 1） 端点端点 A A A A 的水平和铅垂位移。的水平和铅垂位移。 （2 2 2 2）应用功能原理求端点应用功能原理求端点 A A A A 的铅垂位移的铅垂位移。 解： （1） 3 0 3 233 11 0 3 123 1 111 7 1 1 96 1 2 2 2 , 3/ ()3/(/ ) cos450 sin450 0.450.150 60,401,0, 60 100.15 3.87 210 1012 10 40 1 l l N N NN N N N fdxFklF kF l FxFxl dxF xl F FFFF FF FKN FKN FKN F l l EA F l l EA = = = = += += = = = = = 1 有 3 由胡克定理， 7 96 x2 y21 00.15 4.76 210 1012 10 4.76 2320.23 Al All = = = = + = 从而得， （ ） （2） y1122 y +0 20.33 VFAFlFl A = =（ ） 2-162-162-162-16 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆 ABABABAB 用两根用两根 63mm63mm63mm63mm40mm40mm40mm40mm4mm4mm4mm4mm 不等边角钢不等边角钢 组成组成，钢的许用应力钢的许用应力 =170MPa=170MPa=170MPa=170MPa。试问在提起重量为试问在提起重量为 P=l5kNP=l5kNP=l5kNP=l5kN 的重物时的重物时，斜杆斜杆 ABABABAB 是否满足强度是否满足强度 条件条件? ? ? ? 解:1.对滑轮 A 进行受力分析如图： FY=0； FNABsin300=2F，得，FNAB=4F=60kN 2查附录的 63mm40mm4mm 不等边角钢的面积 A=4.0582=8.116cm 由正应力公式： =FNAB/A=6010/(8.11610-4)=73.9106Pa=73.9MPa=dD，所以上式中小括号里的第二项，即由 Q 所产生的剪应力 可以忽略不计。此时N mm mmNmm R d R d F25.981 10016 /5001014 . 3 ) 4 1 (16 233 2 2 3 = = + = （2）证明弹簧的伸长)( 16 2 2 2 121 4 RRRR Gd Fn += 外力功：=FW 2 1 ， p GI dRT dU 2 )( 2 = d n RR R GI F dR GI F GI dRFR U n p n p n p 3 2 0 12 1 2 2 0 3 2 2 0 2 2 222 )()( += = 12 4 1 4 2 2 4RR RR GI nF p = UW=， 12 4 1 4 2 2 42 1 RR RR GI nF F p = )( 16 2 21 2 2 2 1 4 12 4 1 4 2 RRRR dG nF RR RR GI nF p += = 3-193-193-193-19图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩。已知材料的切变模量。已知材料的切变模量， 试试 求：求： （1 1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；）杆内最大切应力的大小、位置和方向； （2 2）横截面矩边中点处的切应力；）横截面矩边中点处的切应力； （3 3）杆的单位长度扭转角。）杆的单位长度扭转角。 解解解解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向 ， ， 由表得， ， 长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力 MPa 短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角 3-213-21 图示图示 T T 形薄壁截面杆的长度形薄壁截面杆的长度ml2=，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量GPaG80=， 杆的横截面上和扭矩为杆的横截面上和扭矩为mkNT=2 . 0。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。 解：（1）求最大切应力 MPa mmmmN h T i ii 25 101202 10102 . 03 3 1 3 6 2 1 3 max max = = = （2）求单位长度转角 )(92000101202 3 1 15 . 1 3 1 43 2 1 3 mmhI i iit = = m mmN mN GI T i /56 . 1 14 . 3 180 1092000/1080 102 . 0180 0 0 41229 30 = = 3-223-22示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶 e M。材料的许用切应力。材料的许用切应力 MPa60=。试求：。试求： （1 1）按强度条件确定其许可扭转力偶矩）按强度条件确定其许可扭转力偶矩 e M （2 2）若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩）若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩 e M将减至多少？将减至多少？ 解：（1）确定许可扭转力偶矩 e M 22 min0min0 max = A M A T e 2 min0 AMe 2 min0 AMe )(28809)25 . 1100()25 . 1300( 2 0 mmA= )(371.10)(10371240603288092mkNmmNMe= mkNMe=37.10 （2）求开口薄壁时的 e M max max = t e I M max / te IM )(709232)97297( 3 1 43 mmIt=+= )(142 . 0 )(1418403/709260mkNmmNMe= mkNMe=142 . 0 3-233-23 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和两杆的长度和 材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1 1） 最大切应力之比；最大切应力之比； （2 2） 相对扭转角之比。相对扭转角之比。 解：（1）求最大切应力之比 开口： t e I M = 开口max, 3 0 3 0 3 2 2 3 1 rrIt=依题意： ar42 0 =，故： 33 0 3 0 3 4 3 2 2 3 1 a rrIt= 23 max, 4 3 4 3 a M a M I M e e t e = 开口 闭口： 2 0 max, 22a M A M ee = 闭口 ， 2 32 4 3 2 2 max, max, a M a a M e e = 闭口 开口 （3）求相对扭转角之比 开口： 33 0 3 0 3 4 3 2 2 3 1 a rrIt=， 3 4 3 Ga M GI M GI T e t e t = 开口 闭口： 342 0 2 0 4 4 44Ga M Ga aM GA sM GA Ts eee = = 闭口 2 23 3 4 3 4 3 a M Ga Ga M e e = 闭口 开口 第四章第四章第四章第四章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力 4-14-14-14-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 a（5）=h（4） 0 0 0 1 100 1 1000 2 2 22 2000 2 2 13 224 1111 22312 114 0,222 233 RARB S S q FFaq a q Fq aaq a a Mq aqaq a FMq aaqaaq a = = = = = b（5）=f（4） 4-24-24-24-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解解解解：（a a） （b b）时时 时 （c） 时 时 （d d） （e e）时，时， 时， （f f）ABAB段段： BC段： （g g）ABAB段内段内： BC段内： （h h）ABAB段内段内： BC段内： CD段内： 4-34-34-34-3 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。 4-44-44-44-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。 4-64-64-64-6 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 4-84-8 试用叠加法作图示各梁的弯矩图。试用叠加法作图示各梁的弯矩图。 4-8（b）4-8（c） 4-94-9 选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。 4-9（b）4-9（c） 4-104-10 一根搁在地基上的梁承受荷载如图一根搁在地基上的梁承受荷载如图 a a 和和 b b 所示所示。假设地基的反力是均匀分布的假设地基的反力是均匀分布的。试分别求地试分别求地 基反力的集度基反力的集度 q qR R，并作梁的剪力图和弯矩图。，并作梁的剪力图和弯矩图。 4-134-134-134-13 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆的轴线为圆弧，其半径为圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆的轴线为圆弧，其半径为R R，试写出任意横截面，试写出任意横截面C C上剪上剪 力、弯矩和轴力的表达式（表示成力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。 解解解解：（a） （b） 4-164-164-164-16 长度为长度为 250mm250mm、截面尺寸为、截面尺寸为的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成 中心角为中心角为的圆弧。已知弹性模量的圆弧。已知弹性模量。试求钢尺横截面上的最大正应力。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解解解解：由中性层的曲率公式及横截面上最大弯曲正应力公式 得： 由几何关系得： 于是钢尺横截面上的最大正应力为： 4-184-18 4-214-214-214-21 4-234-234-234-23 由两根由两根 36a36a36a36a 号槽钢组成的梁如图所示。已知号槽钢组成的梁如图所示。已知;F=44kN;F=44kN;F=44kN;F=44kN，q=1kN/mq=1kN/mq=1kN/mq=1kN/m。钢的许用弯曲正应。钢的许用弯曲正应力力 170M170M170M170Mp p p pa a a a，试校核梁的正应力强度。，试校核梁的正应力强度。 4-254-25 4-284-284-284-28 4-294-294-294-29 4-334-334-334-33 4-364-364-364-36 4-354-354-354-35 第五章第五章第五章第五章梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 5-35-3 5-75-7 5-125-125-125-12 试按叠加原理并利用附录试按叠加原理并利用附录 IVIV 求解习题求解习题 5-45-4。 解解解解： （向下） （向上） （逆） （逆） 5-125-125-125-12 试按叠加原理并利用附录试按叠加原理并利用附录 IVIV 求解习题求解习题 5-55-5。 解解解解：分析梁的结构形式，而引起BD段变形的外力则如图（a）所示，即弯矩与弯矩。 由附录（）知，跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶M 作用时，跨中点挠度为。用到此处再利用迭加原理得截面C 的挠度 （向上） 5-125-125-125-12试按叠加原理并利用附录试按叠加原理并利用附录 IVIV 求解习题求解习题 5-105-10。 解解解解： 5-135-135-135-13试按迭加原理并利用附录试按迭加原理并利用附录 IVIV 求解习题求解习题 5-75-7 中的中的。 解解解解：原梁可分解成图 5-16a 和图 5-16d 迭加，而图 5-16a 又可分解成图 5-16b 和 5-16c。 由附录得 5-5(5-5(5-18)5-18)5-18)5-18)试按迭加原理求图示梁中间铰试按迭加原理求图示梁中间铰C C处的挠度处的挠度，并描出梁挠曲线的大致形状。已，并描出梁挠曲线的大致形状。已知知 EIEI为常量。为常量。 解解解解：（a）由图 5-18a-1 （b）由图 5-18b-1 = 5-7(5-25)5-7(5-25)5-7(5-25)5-7(5-25)松木桁条的横截面为圆形，跨长为松木桁条的横截面为圆形，跨长为 4m4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为，两端可视为简支，全跨上作用有集度为 的均布荷载。已知松的均布荷载。已知松 木的许用应力，弹性模量。桁条的许可相对挠度为。试求桁条 横截面所需的直径。（桁条可视为等直圆木梁计算，直径以跨中为准。） 解解解解：均布荷载简支梁，其危险截面位于跨中点，最大弯矩为，根据强度条件有 从满足强度条件，得梁的直径为 对圆木直径的均布荷载，简支梁的最大挠度为 而相对挠度为 由梁的刚度条件有 为满足梁的刚度条件，梁的直径有 由上可见，为保证满足梁的强度条件和刚度条件，圆木直径需大于。 5-245-245-245-24图示木梁的右端由钢拉杆支承图示木梁的右端由钢拉杆支承。 已知梁的横截面为边长等于已知梁的横截面为边长等于 0.200.20m m 的正方形的正方形， ；钢拉杆的横截面面积钢拉杆的横截面面积。试求拉杆的伸长试求拉杆的伸长及梁中点沿及梁中点沿 铅垂方向的位移铅垂方向的位移。 解解解解：从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力 40 于是拉杆的伸长为 = 木梁由于均布荷载产生的跨中挠度为 梁中点的铅垂位移等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移与中点挠度的和，即 第六章第六章第六章第六章简单超静定问题简单超静定问题简单超静定问题简单超静定问题 6-16-16-16-1试作图示等直杆的轴力图。试作图示等直杆的轴力图。 解解解解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变 形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 6-26-26-26-2图示支架承受荷载图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为 ，和和。试求各杆的轴力。试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。此时各杆的变形及如图所 示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。 即： 亦即： 将，代入，得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦即：（2） ；， 亦即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得： （拉） （拉） （压） 6-36-36-36-3一刚性板由四根支柱支撑一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同四根支柱的长度和截面都相同，如图所示如图所示。如果荷载如果荷载F F作用在作用在A A 点，试求这四根支柱各受力多少。点，试求这四根支柱各受力多少。 解解解解：因为 2，4 两根支柱对称，所以，在F力作用下： 变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 6-46-46-46-4刚性杆刚性杆ABAB的左端铰支的左端铰支，两根长度相等两根长度相等、横截面面积相同的钢杆横截面面积相同的钢杆CDCD和和EFEF使该刚性杆处于水使该刚性杆处于水 平位置，如图所示。如已知平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力，试求两杆的轴力 和应力。和应力。 解解解解：， （1） 又由变形几何关系得知： ，（2） 联解式（1），（2），得， 故， 6-76-76-76-7横截面为横截面为 250mm250mm250mm250mm 的短木柱的短木柱，用四根用四根 40mm40mm40mm40mm5mm5mm 的等边角钢加固的等边角钢加固，并承受压并承受压力力 F F，如图所示。已知角钢的许用应力，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量，弹性模量；木材的许用应力；木材的许用应力 ，弹性模量，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。试求短木柱的许可荷载。 解解解解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件， 有（2） 由物理关系： （3） 式（3）代入式（2），得 （4） 解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件 由木柱强度条件： 故许可载荷为： 6-96-96-96-9图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。已知上、下两段杆的横截面面积。已知上、下两段杆的横截面面积 分别为分别为和和，材料的弹性模量，材料的弹性模量。试作图示荷载作用下杆的轴力图。试作图示荷载作用下杆的轴力图。 解解解解：变形协调条件 故 故， 6-106-106-106-10两端固定的阶梯状杆如图所示两端固定的阶梯状杆如图所示。已知已知ACAC段和段和BDBD段的横截面面积为段的横截面面积为A A，CDCD段的横截面面积段的横截面面积 为为 2 2A A；杆材料的弹性模量为；杆材料的弹性模量为，线膨胀系数，线膨胀系数 -1-1。试求当温度升高 。试求当温度升高 后，该杆各部分产生的应力。后，该杆各部分产生的应力。 解解解解：设轴力为，总伸长为零，故 = 6-116-116-116-11图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。若。若，试求固，试求固 定端的支反力偶矩定端的支反力偶矩，并作扭矩图。，并作扭矩图。 解解解解：解除B端多余约束，则变形协调条件为 即 故： 即： 解得： 由于 故 6-126-126-126-12 一空心圆管一空心圆管A A套在实心圆杆套在实心圆杆B B的一端的一端，如图所示如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯 穿孔，但两孔的中心线构成一个穿孔，但两孔的中心线构成一个角。现在杆角。现在杆B B上施加外力偶使杆上施加外力偶使杆B B扭转，以使两孔对准，并穿扭转，以使两孔对准，并穿 过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B B上的外力偶。试问管上的外力偶。试问管A A和杆和杆B B横截面上的扭矩为多横截面上的扭矩为多 大？已知管大？已知管A A和杆和杆B B的极惯性矩分别为的极惯性矩分别为；两杆的材料相同，其切变模量为；两杆的材料相同，其切变模量为G G。 解解解解： 解除端约束， 则端相对于截面C转了角， （因为事先将杆B的C端扭了一个角）， 故变形协调条件为=0 故： 故： 故连接处截面C，相对于固定端的扭转角为： = 而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角为： = 应变能 = = 6-156-156-156-15试求图示各超静定梁的支反力。试求图示各超静定梁的支反力。 （b）解解解解：由相当系统（图 ii）中的位移条件，得补充方程式： 因此得支反力： 根据静力平衡，求得支反力： , 剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。 （c）解解解解：由于结构、荷载对称，因此得支反力； 应用相当系统的位移条件，得补充方程式： 注意到，于是得： = 剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。 其中： 若截面的弯矩为零，则有： 整理： 解得：或。 6-216-216-216-21 梁梁ABAB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，试确定梁的约束反力时，试确定梁的约束反力 。 解解解解： 当去掉梁的A端约束时， 得一悬臂梁的基本系统 （图 a） 。 对去掉的约束代之以反力和， 并限定A截面的位移：。这样得到原结构的相当系统（图 b）。利用位移条件， ，与附录（）得补充式方程如下： （1） （2） 由式（1）、（2）联解，得： 从静力平衡，进而求得反力是： 第七章第七章第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论应力状态和强度理论应力状态和强度理论 7-17-1 试从图示各构件中试从图示各构件中 A A 点和点和 B B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 （a a a a） 解：A 点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d FF A N A = = （b b b b） 解：A 点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1 d T d T W T P A = MPa mm mmN 618.79 8014 . 3 10816 33 6 = = A A （c c c c） 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0= A M 04 . 028 . 02 . 1= B R )(333 . 1 kNRB= )(333 . 1 kNRQ BA = MPa mm N A Q A 417 . 0 12040 1333 5 . 15 . 1 2 = = B 点处于平面应力状态 MPa mm mmmmN I yM z B B 083 . 2 12040 12 1 30103 . 0333 . 1 43 6 = = MPa mmmm mmN bI QS z z B 312 . 0 4012040 12 1 45)3040(1333 43 3* = = （d d d d） 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mmN W M z A A 064.50 2014 . 3 32 1 10 3 . 39 33 3 = = MPa mm mmN W T P A 064.50 2014. 3 16 1 10 6 . 78 33 3 = = A B B A A 7-27-2 有一拉伸试样有一拉伸试样， 横截面为横截面为mmmm540的矩形的矩形。 在与轴线成在与轴线成 0 45=角的面上切应力角的面上切应力MPa150= 时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力 F F。 解： A F x =；0= y ；0= x 00 45 90cos90sin 2 0 x yx + = A F 2 0 45 = 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 150 2 0 45 = A F kNNmmmmNAF6060000540/300300 22 = 7-47-47-47-4一拉杆由两段杆沿一拉杆由两段杆沿m m- -n n面胶合而成。由于实用的原因，图中的面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于角限于范围内。作范围内。作 为为“假定计算假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比 较。现设胶合缝的许用切应力较。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力为许用拉应力的的 3/43/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控 制。为了使杆能承受最大的荷载制。为了使杆能承受最大的荷载F F，试问，试问角的值应取多大？角的值应取多大？ 解解解解：按正应力强度条件求得的荷载以表示： 按切应力强度条件求得的荷载以表示，则 即： 当时 ， 时， 时， 时， 由、随而变化的曲线图中得出， 当时， 杆件承受的荷载最大，。 若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算 则 即： ， 则 故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。 最大荷载随角度变化曲线 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 0102030405060 斜面倾角(度) Fmax,N,Fmax,T Fmax,NFmax,T 7-67-67-67-6 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 0.72m0.72m 的截面上的截面上，在顶面以下在顶面以下 40mm40mm 的一点的一点 处的最大及最小主应力，并求最大主应力与处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x x轴之间的夹角。轴之间的夹角。 解解解解： = 由应力圆得 7-77-77-77-7 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1 1）指定截面上的应力；）指定截面上的应力； （2 2）主应力的数值；）主应力的数值； （3 3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 习题习题 7-77-77-77-7（a a a a） 解：坐标面应力：X（20，0） ；Y（-40，0） 0 60=。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为： MPa25 0 120 =，MPa26 0 120 =；MPa20 1 =，MPa40 3 =； 0 0 0=。 习题习题 7-77-77-77-7（b b b b） 解：坐标面应力：X（0，30） ；Y（0，-30） 0 30=。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中 比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为： MPa26 0 60 =，MPa15 0 60 =；MPa30 1 =，MPa30 3 =； 0 0 45=。 习题习题 7-77-77-77-7（c c c c） 解：坐标面应力：X（-50，0） ；Y（-50，0） 0 30=。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图 中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为： MPa50 0 60 =，0 0 60 =；MPa50 2 =，MPa50 3 =。 1 3 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 习题习题 7-77-77-77-7（d d d d） 解：坐标面应力：X（0，-50） ；Y（-20，50） 0 0=。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图 中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为： MPa40 0 45 =，10 0 45 =；MPa41 1 =,MPa0 2 =，MPa61 3 =； 0 0 3539=。 7-87-87-87-8 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求：各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1 1 1 1）主应力的数值；）主应力的数值； （2 2 2 2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向 习题习题 7-87-87-87-8（a a a a） 解：坐标面应力：X（130，70） ；Y（0，-70） 。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为： MPa 5 . 160 1 =,MPa0 2 =，MPa 5 . 30 3 =； 0 0 5623=。 2 3 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 习题习题 7-87-87-87-8（b b b b） 解：坐标面应力：X（-140，-80） ；Y（0，80） 。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为cm1代表MPa40。按比例尺量得斜面的应力为： MPa 0 . 36 1 =,MPa0 2 =，MPa176 3 =； 0 0 6 . 65=。 习题习题 7-87-87-87-8（c c c c） 解：坐标面应力：X（-20，-10） ；Y（-50，10） 。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为： MPa0 1 =,MPa25.16 2 =，MPa75.53 3 =； 0 0 1 . 16=。 习题习题 7-87-87-87-8（d d d d） 解：坐标面应力：X（80，30） ；Y（160，-30） 。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为： MPa170 1 =,MPa70 2 =，MPa0 3 =； 0 0 6 . 71=。 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图 7-107-107-107-10已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应试利用应力圆求该点处的主应 力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。值。 解：两斜面上的坐标面应力为：A（38，28） ，B（114，-48） 由以上上两点作出的直线 AB 是应力圆上的一条弦，如图所示。作 AB 的垂直平分线交水平坐 标轴于 C 点，则 C 为应力圆的圆心。设圆心坐标为 C（ 0 , x） ，则根据垂直平线上任一点到线段段 两端的距离相等性质，可列以下方程： 2222 )480()114()280()38(+=+xx 解以上方程得：86=x。即圆心坐标为 C（86，0） 应力圆的半径： 570.55)