（基础数学专业论文）lotkavolterra+n种群竞争系统的研究.pdf

摘要 本文分三部分，第一部分为引言，介绍了主要的研究背景与研究内容； 第二部分，第三部分分别为第二、三章 在第二章中，主要研究了具有脉冲的一种群的竞争模型 ，n iz = ( t ) ( b 。( t ) 一。j ( t ) ( t ) ) ，t t k ， 1a q ( 缸) = l 诫x d t ) ， t = 屯， ( 1 ) l 耳( t j - ) 2x i o ，i = 1 ，2 ，佗；k = 1 ，2 ， 其中锄( t ) 表示第i 种群在t 时刻的种群密度，x i ( “) = ( t ) 一吼( “) 表示 第i 种群8 ( “) 在t - 时刻的脉冲量通过利用微分不等式理论，比较定理及 构造l y a p u n o v 函数，得到了判别种群灭绝定理 在第三章中，主要研究了具有输出反馈的n 种群竞争模型 ， j 。：( t ) = 盟( o ) ( 6 t ( t ) 一啦( ，x ( f ) ) 一吐( t ) 地0 ) ， r m i “；( t ) = ( # ，t “( ) ，锄( t ) ) ，i = l ，2 ，n ， 其中x ( t ) = ( 。( t ) ，x 2 ( f ) ，( t ) ) ，( t ) ，( t ) 分别是第i 种群在t 时刻的种群 密度及输出反馈控制量，利用上下平均值函数，比较定理及l y a p u n o v 函数 法，得到了判别种群持续生存和全局渐进稳定的三个定理 关键词：一致持久性；灭绝性；全局渐近稳定性；脉冲；反馈控制 a b s t r a c t t h i sp a p e re o l i s i s t so ft h r e e p a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h em a i nt h e m ea n dt 1 1 e s i g n i f i c i e n e eo ft h er e s e a r c hw i l lb eg i v e n i nt h es e c o n dp a r t 】w cc o n 8 i d c rt h ef o l l o w i n gn o n _ a u t o n o m o u sl o t k a _ v b l t e r r a n s p e c i e sc o m p e t i t i v es y s t e m t 如， t = “， i = 1 ，2 ，一，n ；= 1 ，2 w h e e 。z ( t ) 0i st h ep o p u l a t i o ns i z e o ft h ei t hs p e c i e sa tt i m et ，a n d z i n b l = 翰( 譬) 一。t ( “) i st h ei m p u l s i v es p e c i e sa tt i m et a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fd i 脑e n t j a l 1 n e q u a l i t ya l l ( 1c 。1 n p a r i s i o nt h e r e t o 】w ew i l le s t a b l i s hs o m en e wa n d 盯l o r e 口r a c t i e a l c m 。1 ao ft h ee x t i n c t i o n ，u i i l f e r u lp e r s i s t e n c ea r i d g l o b a l l ya s y 皿p t o t i c a ls t a b i l i t yf e r p a r t i a ls p e c i e so ft h ea b o v es y s t e m ， 一 l nt h et h l 。dp a tt ，w ec o n s i d e j t h ef o l l o w i n gs y s t e mw i t hf b e d b a c kc 。n t r o l s jz = 甄( ) ( b 。( t ) 一o ：( t ，x ( t ) ) 一d d t ) u ，( t ) lu = ( t ，地( ) 舟( ) ) ，i = 1 ，2 ，n ， w h 。x ( 。) = ( q ( t ) ，观( t ) ，( t ) ) ，戤( t ) ，地( t ) i s t h ed e n s i t i e so fc 。m p e t i f f v es p e c j e s ， “ ( 嘶= 1 ，2 ，n ) i st h cc 。n f r o 、m r 蛔b l c b ym c a n s 。fl o w e ra n du p p e ra v e 。a g e 8a f u “。t i 衄，”舀v et h 。a v e r a g e dc 。n d i t i 。n sf o rp e r m a i l e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i n g0 f a b 。v e s y s t e m t k e y w o r d s ：p e r m a n e n t ；e x t i n c t i 。n ；g l o b a la t t r a c t i v i t y ；i m p u l s i v e ；f e e d b a c kc o n t r o l 啦 。博， 一 “ 砉=k 蒙一 第一章引言 自然科学发展到今天，生态问题的研究已提到了日程上来对l o t k a - v o l t e r r a 系 统的研究便是其中很重要的一部分，许多学者致力于这方面的研究 对于经典的l o t k a - v o l t e r r a 一种群竞争模型 t l 。= ( ) 瞰) 一芝：( ) 巧( t ) 】，i = 1 h 2 ，亿( 1 1 1 ) j = 1 已有许多很好的结果文献 1 4 】利用微分不等式理论和l y a p u n o v 函数，得到了 ( 1 11 ) 的解的一致持久，灭绝和全局渐近稳定的一些结果，文献 5 ， 6 】把 3 】的工作 推广到了具有离散时滞和连续时滞的情形相关资料可参阅7 1 0 1 另一方面，资源保护是与持续发展密切相关的热门话题。种群资源的开发与合理 利用引起了许多学者的兴趣，他们在建立开发性数学模型的基础上，研究了种群的持 续发展和对种群的最优捕获等一些问题可参阅【1 1 1 3 _ 这些问题的研究都离不开人 为的控制，这些控制可以是连续实施的，如 1 5 】就研究了具有反馈控制时，( 111 ) 的 持久性和全局渐近稳定性；这些控制也可以是瞬时实施的，即脉冲控制本文第二章 的研究内容就是当( 1 1 1 ) 具有脉冲控制时，系统的持久与渐近稳定性本文第三章的 主要工作，受【1 6 】的启发，推广和改进了一些结果 通过研究控制量对系统产生的影响，可以消除一些有害控制，创造一些有益控制， 从而可以更好地保护资源当然，并不是所有的现象都是可控的 考虑函数f ：，n 一形，= 【t o ，+ ，t o r 且q c 卵设函数f ( t ，x ) 在，n 上连续，则系统 z 也) = f ( t ，z ( t ) ) ，( 1 12 ) 过每一点( t o ，z o ) ，n 都至少存在一个饱和解 定义1 1 ，1 称z ( t ) = ( z ，( t ) ，。z ( t ) ，z 。( t ) ) 是系统( 1 1 2 ) 的一个正解，如果它满 足( 1 1 2 ) 且在解的最大存在区问上，均有z 。( t ) 0 ，i = 1 ，2 ，n 定义112 如果对于( 11 2 ) 的任意正解x ( t ) = ( z 1 ( t ) ，x 2 ( t ) ，一，x n ( t ) ) ，均存在正 常数m ，m 及t ，当t 丁时，有m 翰( t ) m ，i = 1 ，2 ，n 则称( 1 1 2 ) 是持久 的 2 l o t k a - v o l t e r r an 种群竞争系统的研究 定义1 1 3 如果定义1 12 中的m ，m 均与z ( t ) 无关，则称( 1 1 2 ) 足一致持久的 定义11 4 若有l i m 。戤( ) = 0 ，则称第i 个种群是灭绝的 定义115 如果对( 1 12 ) 的任意两个正解z ( t ) = ( z l ( t ) ，x 2 ( t ) ，z 。( ) ) 和( ) ( 1 ( t ) ，口2 ( t ) ，口，。( t ) ) ，均有l i m 一。( 甄( t ) 一y i ( t ) ) = 0 ，则称( 1 12 ) 是全局渐近稳定的 第二章一类脉冲系统的灭绝 2 1引言 多物种生态竞争系统具有非常重要的实际意义，历来受到学术界的重视，文 4 j 研 究了多种群竞争的l o t l “t - v o l t e r r a 系统，我们受文 4 的启发，将结论推广到了具有脉 冲的l o t k a - v o l t e r r a 系统 t 靠， t ：t k ， ( 2 1 1 ) i = 1 ，2 、- - - n ：k = 1 2 其中鼠( t ) ，( = 1 ，2 ，n ) 表示第i 种群在t 时刻的种群密度，乩) = 缸( t 古) 一虢( 靠) 表示第i 种群甄( “) 在如时刻的脉冲量缸表示发生脉冲的时亥0 ，满足0 l t 2 0 使得1 i m i n f6 c ( s ) d s o ，l i k m _ i o 。n f ( ( s ) d s 0 t e m p o i 且( t ) m ， h女_ o 。 、 + o 。) ( z 如) 对每个i ，j 1 ，2 ，n ) ，当i j 时，a i j ( t ) 是+ o 。) 上的非负的有界连续 函数 ( 岛) l 诂是给定的常数，且满足l * ( 一1 ，o 】，i = 1 ，2 ，n ，：1 ，2 ，和曼l 。k = 1 定义2 1 1 我们称。( t ) = ( x l ( t ) ，z z ( t ) ，z 。( t ) ) 是( 21 1 ) 的一个解，如果它满 足( 21 1 ) 且对每个i 1 ，2 ，一，n ) ，甄( t ) 在点如( k = 1 ，2 ，) 左连续，右极限存在 定义r ”上的范数为l = 墨。，c = ( c - ，c 2 ，) r “ 巧 。斛， 删 一 卜 功 筑培 4l o t k a - v o t e r l an 种群竞争系统的研究 2 2主要引理 考虑如下的l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 f = 叭( ) 眦) 一a “( t ) 玑( t ) ：。e ，i = 1 h 2 - - ，n ， ( 2 2 1 ) i = 1 其中a j ( t ) = a i j ( t ) n ( 1 + l j ) ，6 ( t ) ，o 。( t ) ，l j k 由( 2 1 1 ) 定义定义如下算子 “ f ：p c “ t o ：) 一p c “ t o ，。) v = ( l ，y 2 ，) 7 p c “i t o ，。) ，有 f = ( ( 1 + l ) y ，n ( 1 + l 2 k ) y 2 ，一，1 - i ( 1 十l 。k ) y 。) ( 2 2 2 ) “ e“ “ 易知f 可逆，且 f - l y = ( n ( 1 + l l k ) 。弛n ( 1 + l 2 k ) y 2 ，( 1 + l 。k ) - 1 ) ( 2 2 3 ) “ “ “ 则有下面的引理 引理2 2 1 ( i ) 如果v ( t ) = ( 1 ( o ) ，2 ( ) ，( t ) ) 7 是( 2 2 1 ) 的一个解，则。( t ) = ( f ) ( t ) 是( 21 1 ) 的一个解 ( i i ) 如果。( ) = ( z - ( t ) ，。z ( t ) ，( t ) ) 7 是( 21 1 ) 的一个解，则v ( t ) = ( f “。) ( t ) 是( 2 2 ，1 ) 的一个解 证明设。( 6 ) = ( z - ( ) ，z 。( f ) ，x n ( t ) ) 7 ，则由( 2 2 2 ) 知，z ；( t ) = 兀( 1 + 厶) 虮 且( t ) 在( t k ，t k + l ) 上连续可微，并有 z ：( )= 兀( 1 + z t k ) y l ( t ) 札 = n ( 1 + l m ) 【玑( t ) ( b 。( 亡) 一a 巧( t ) 协0 ) ) k “ n ，2 l = z 。( t ) ( 6 。( t ) 一o u ( t ) 。j ( t ) ) ，t ， j = l ，( t ) = 兀( 1 + ) 玑( t ) 0 培 = ( 1 + l i k ) 丌( 1 + l i j ) y _ c ( t ) 第二章一类脉冲系统的灭绝 5 可见x ( t ) 是( 2 1 1 ) 的解( i ) 得证 ( i i ) 设y ( t ) = ( 玑( t ) ，2 ( t ) ，玑。( t ) ) 7 ，则由( 2 2 3 ) 知，矶( t ) = 兀( 1 + 工。) 一1 q ( t ) “ t 则 鲥( t ) = n ( 1 + l * ) _ 1 x l ( t ) t k = n ( 1 + l i k ) 一1 ( t ) ( b 。( t ) 一a i j ( 亡) n ( 1 + 岛k ) 兀( 1 + l j k ) 一1 ( ) ) “ o ，i = 1 h 2 ，- ，忍 k = l 取扣1 r a 掣i n 。厶，则由( 皿) 虮 a i ! i ( t ) 助7 l ，i = 1 ，2 ，n ( 2 2 5 ) 札 z b k = r t q l盟地 | | 一一 6 l o t l m v o t e r r an 种群竞争系统的研究 先证明( i ) 任取d = ( d l ，d 2 ， ，d 。) 即，令w ，d ( t ) = 或l n ( “；( t ) ) ，t + 。) 令n = c lc = ( c l ，c 2 ：，c n ) ，c 。 0 ，c i a i ( t ) 伽，t r ) ，由( 2 25 ) 易知n 0 取c = ( c l ，c 2 ，) n ，则 瞰( ) = 岛j n ( 地( ) ) ，t t o ，+ 。) ( 2 ，2 6 ) 咄) = 喜岛器= 喜矾一删引啪，t ( 2 z ，) 令m = s u p b ；0 ) ft t o ，1 i n ，p = i y i o & c c 1 ，c 2 ，c 。) 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 得 哦( t ) m i i c i 卜量m i l u ( t ) i ，t t k ， 1 忆( t ) p f f 4 t ) 1 1 故 联( ) + 塑睨( ) m j ，t t 女 一 再结合w ( t ) 的连续性知，w ( t ) 在 t o ，o o ) 上有界 取c 1 = ( 2 ，1 ，- - ，1 ) ，c 2 = ( 1 ，2 ，1 ) ，c ”= ( 1 ，1 ，一，佗) ，贝0c 。n ，i = 1 ，2 ，一，n 令d = ( c 1 ，c 2 ，c t l ) ，w = ( 职- ，哦：，眠n ) ，k ( t ) = i n t “( t ) ，v = ( ，k ，k ) ， 则d 可逆，且v ( t ) = d _ 1 w ( t ) ，由w ( t ) 的有界性知，y ( t ) 是有上界的，故存在慨 使得0 l i r as u pu 。( t ) 尬，i = 1 ，2 ，n ( i i ) 设u ( t ) = ( “1 ( ) ，“。( t ) ) 7 和 ( ) = ( u - ( t ) ，u 。( t ) ) 7 是( 2 2 4 ) 的任意两个 解任取c = ( c l ，c 2 ，一，c n ) n ，令r ( t ) = c j i i n u j ( t ) 一i n 嘶( t ) i ，则r ( t ) 是【t o ，+ o 。) 上的连续函数首先证明存在集合，m e s u ) = 0 ，使r ( t ) 在j = e o ，+ 。) ，上可导， 且r 7 ( t ) - 1 _ l i m t ) 一u ( t ) | l ，t ， 事实上，令d 1 = 靠，k = 1 ，2 ，) ，最j ( t ) = i n ( t ) l “( t ) ，j = 1 ，2 ，n ，k = 1 ，2 ，则f k j ( t ) 在( “，t + 1 ) 上可导令_ d 可= 0 ：t k t ( ) ) ，s _ = d ：u j ( t ) ( t ) ，s o = ，： u j ( t ) = 啦( t ) ) 令s = 耳u s 一，可见s o ，当j s o 时，有景 i n u 4 ( t ) l n v i ( t ) l = 0 第二章一类脉冲系统的灭绝 则 7 r 7 ( t ) = 一c ，a ，( t ) ( u ( ) 一( t ) ) 一勺山，0 ) ( ( t ) 一坳( 亡) ) 3 s +3 s 一 = 一啦，e s + ( 嘶( 。) 一( 。) ) 一“暑( 删一州( 2 28 )j，s l z zo 一m l l i u 0 ) 一”0 ) l i 0 故r ( t ) 是 t o ，+ ) 上逐段递减的连续函数故0 r ( t ) r ( o ) 由( 2 28 ) 知， 懈) 一”( t ) l l 一而j - ，协! 从而 j o “忡) 一u ( s ) l l 蟋一击【r ( 0 ) _ 心) 瓮，忡) 一”出一意一删老 故( s ) 一 ( s ) i l d s r ，存在i k ，使得 limsup烘 r ) 是灭绝的即对于系统( 21 1 ) 的任意正解x ( t ) = ( 。( t ) ，。2 ( t ) ，。( t ) ) 当t 一。时，都有乩( t ) 一0 ，i r 8 l o t l a - v o t e r r an 种群竞争系统的研究 证明首先，令y ( t ) = ( f 一1 z ) ( t ) ，由引理2 2 1 ，可( t ) 是( 2 21 ) 的一个正解下证 对任意的i r ，当t o 。时，玑( t ) 一0 由( h 1 ) 知，存在哟 0 ，t o 0 ，使得 f t + w f也( s ) d s 铂，t t o ，i = 1 ，2 ，n 首先证明熙抓( t ) = o 事实上，设= n j t 时，由( 3 3 1 ) 知 pc 十w 糕limlim s u p l i m i n f 群，矿一+ 一鬻， 1 。 缸，( s ) d s “”、。 n ( 333 ) 处不可导 w ( t ) = v 。( t ) 【一a ( 6 j j ( t ) 一a p s ( t ) z j ( t ) ) + 卢( 6 ，。( t ) a 町( t ) 巧( t ) j = l 。：_ 1( 334 ) = v 。( t ) 【一n ( t ) + 卢b 。( t ) + n a 撕( t ) 码( t ) 一卢a 。( 码( t ) j = l j = l 由( 3 33 ) 知， f t + w r + 削 ( 一a b ，( s ) + 卢6 。( s ) d s ) d s r ，均有玑( t ) 一0 ，i k 下面证明y k ( t ) 一0 由条件( 3 3 2 ) 知，存在正常数a ，q ，d ，死t o ，使得 罐 ； 器= 羽a q j ( t ) ，钆z ，s 删 其中g = i k 令k ( t ) = ( 。( t ) ) 一1 ( 孤( t ) ) 1 ，则利用前面相同的证明可得y k ( t ) 一0 由数学归纳法可知，当i 时，均有2 骢佻( t ) = 0 又由于( ) = n “c t ( 1 + l a i ) y i ( t ) 且n ( 1 + l m ) r 证毕 k = l 第三章一类具有输出反馈系统的持久性 3 1引言 考虑下面的系统 io ：( ) = z 。( t ) ( d 。( t ) 一。( t ，x ( t ) ) 一画( t ) “；( t ) ) i “：( t ) = o ，。0 ) ，z ；( t ) ) ，i = 1 ，n ， ( 3 11 ) 。 ( 3 1 1 ) 6 其中x ( t ) = ( z ，( t ) ，z 。( ) ) ，孔( t ) 和地( t ) 0 = 1 ，n ) 分别是第i 种群在t 时刻 的种群密度及输出反馈控制量； b d t ) 和d ；( t ) 是 t o ，+ ) 上的连续有界函数； a ； c ( t o ，+ o 。) 毋，兄) ， v ( t o ，+ o 。) 皿咒+ ，r ) 且均为 t o ，+ 。) 上的有界函数 这里霹= ( z r “：z o ) 当也( t ) ；0 时，( 3 1 1 ) 。是生态数学中描述一种群增长的一种重要模型，特 别是，当啦( f ，x ( ) ) = 吼j ( t ) x a t ) 时，( 3l1 ) 。就成为下面著名的一种群非自治 j = 1 l o t h v o l t e r r a 模型 z = 抚( ) ( b 。( t ) 一n “( t ) z ，( ) ) j = l 关于( 3 1 2 ) 已有许多很好的结果 16 j 利用a h m a d 和l a z e r 所提出的函数上下平均 值法，研究了( 3 12 ) 的一致持久性和全局渐近稳定性 1 5 把 1 6 的研究推广到丁 具有反馈控制量的情形然而，至今仍没有学者研究( 3 1 1 ) 的一致持久性和全局渐近 稳定性 我们首先介绍下面基本定义及引理 任给【t o ，+ 。o ) 上的函数 ( ) ，记 h m = s u p h ( t ) l t o 曼t 0 ，i = 1 ，2 ，n 的解均为正解从生物学角度看， 我c r 关心( 31 1 ) 的正解，故只考虑具有初始条件x i ( t o ) 0 ，i = 1 ，2 ，札的解 3 2主要引理 研究下面的方程 z 他) = f ( t ，z ( t ) ) 其中，是 t o ，+ 。) 月+ 一冗上的连续函数，且假设 ( q ) 存在正的常数d ，= j ，( nd ：= 如( ，) ，甄= k - ( ，) a n dj 屯= k 2 ( f ) ，使得 f ( t ，z ( t ) ) d l ，0 t o ； f ( t ，z ( t ) ) 一如，岛 0 ，使得对任意的( ，z ) t o ，+ o 。) 风，均有筹( t ，z ) 墨一m 引理3 2 1 ( i ) 若，满足( g 1 ) ，则( 3 2 1 ) 是一致持久的； ( i i ) 若，满足( q ) 和( 岛) ，则( 3 2 1 ) 是全局渐近稳定的 证明( i ) 我们首先证明当t 充分大时，有。( t ) j 如否则存在点列 “) ，当k 一+ o o 时，一+ 。使得 x ( r k ) 娲 ( 3 2 2 ) 此时，只可能有下面两种情况 ( i ) 存在t ，使得当t t 时，总有x ( t ) 飓 ( i i ) ( t ) 关于e 振动 1 2l o t k a v o t e r r sn 种群竞争系统的研究 假设( i ) 成立，由( c 1 ) 知，当t t 时，总有 z 也) = f ( t ，z ( t ) ) 尬则存在t 5 ( 也t 1 ) ，使得z ”6 ) 0 另一方面，z ( t 5 ) k 2 ，故 z 俅5 ) = ，( t 3 ，z ( t 5 ) ) o 】1 i m ：臻上( s ) 8 s o 其中。在( 日：) 中定义 ( 列差，差均存在且 恶( 一。) o ，( 讪沪。) + 。) 耳耳 ( 凰) x i 每- + i 1 ，2 ，n ) ，存在正的常数啦，胱和m ，使得 m ) + ，塞。删+ 觑鼢u i ) 嘲 0 和( 3 3 ，1 ) 的任 意正解霸( t ) ，均存在t ， 当t t 时，有 q ( t ) s 。o ( t ) + e s 凡， ( 33 2 ) 其中天 = s u p 茁 o ( t ) + e l t 仕o ，十o 。) ) 再考虑下面的方程 t 。：( t ) = ( t ，地( t ) ，x 。) ， “：( ) = ( t ，啦，o ) ， 其中x 在( 33 2 ) 中定义下面的引理可作为引理3 21 的推论 引理3 3 2 若有下面的条件 ( k ) ( ，u 。，凡) 和 ( t ，嘶，0 ) 均满足( q ) ，则 ( i ) ( 3 3 3 ) 和( 3 34 ) 均为一致持久的； ( 讪当( 聪) 也成立时， ( 33 3 ) 和( 3 34 ) 是全局渐近稳定的 定理3 3 1 设( 盯1 ) 一( f ) ，( 职) 和( g ) 均成立，且 ( 甘) 引“0 ) 一o 。( t ，x 。o ( t ) ) 一也( t ) t c ( 亡) 1 o ，i 2 1 ，2 ，一，”， ( 3 33 ) ( 3 , 3 4 ) 1 4l o t k a v o t e r r an 种群竞争系统的研究 其中x m ( t ) = ( z l o ( t ) ，。( 一1 ) o ( t ) ，0 ，。( m ) o ( t ) ，z n o ( t ) ) ，x m ( t ) 和u | f o ( t ) 分别是( 3 3 1 ) 和( 3 3 3 ) 的解，则( 3 1 1 ) 是一致持久的 证明设( x l ( t ) ，z 。( t ) ，i z l ( ) ，“。( t ) ) 7 是( 3 11 ) 的任意一个解，由( h 1 ) ，( 月2 ) 及多元函数中值定理知， n ；( t ，x ) = n ；( t ，o ) + f 塑o x i ( t ，( t ) ) ( t ) ， 其中( t ) = ( ，( t ) ，2 ( ) ，f 。( t ) ) ，且对v t ，有6 ( t ) 介于0 到置( t ) 之间由( 如) ，得 。( t ) ( ) 啦( ，x ( t ) ) ( t ) q ( t ) j = l j = 1 由( 3 1 1 ) 得 圳兰。删6 z ( 。) 一j = l 啪) 码( 。”胁5 1 戤( t ) ( 6 ；( t ) 一a - i l ( t ) q ( t ) ) 由( 3 , 3 5 ) 及比较定理知，存在( 3 31 ) 的一个解i 。( t ) ，使得 乩( t ) s 五( t ) ，t t o 再由引理3 3 1 知，存在乃，当t 五时，有 x i ( t ) 2 ，( t ) x i o ( t ) + e 凡 其中a ；由( 3 32 ) 式定义 另一方面，由( 皿) 知 k ( t ， ，0 ) k ( t ，“。 ) k ( t ，u ，j ) 由( 3 1 1 ) b 知 k ( t ，u 。，0 ) “：( t ) k ( t ，u 。，x ) 令u ( ) 是( 3 34 ) 的解，则由比较定理及引理3 3 2 知，对上述e ，存在咒，当t t 2 时，有 啦。o ( t ) e 。( t ) u m ( t ) + e 曼岷，( 3 36 ) 第三章一类具有输出反馈系统的持久性 1 5 其中i = s u p u i o ( t ) + e 忙 t o ，+ c 。) ) ，n i = i n f u ( t ) 一e k 【t o ，+ 。) ) 下面我们来证明，对任意的i l ，2 ，n ) ，存在正的常数m ；及t 3 噩，使得 当t 码时，z d t ) m 。 由( 风) 知 1r e 2 l i r a s u p ( 仉( ) 一。i 0 ，) 0 0 ) ) 一也( t ) u m ( t ) ) d t i b t 。：。) 0 s _ 。 b 2 一o l t ， 故 r 虹 l i m s u p ( 6 。( t ) 一n 。( t ，五o ( t ) ) 一吨( t ) u ( t ) ) d l 。一。：。= + o 。 对充分小的e ，有 r c 2 l i m s u p 阻( ) 一n 。( ，x i o ( t ) + e e o ) 一咄0 ) ( u 。o ( t ) + e ) d t l # 。一，：。= + 。，( 3 3 7 ) j h 其中e o = ( 1 ，1 ，1 ) 7 如果对上述e ，存在t 3 t 2 ，使得t t 3 时 么结论得证否则存在点列下m 一+ o 。，使得m 一+ 。时，有 孔( ) t 2 ，使得当t t 2 时，总有x i ( t ) e ( i i ) ：z d t ) 关于e 振动即存在点列 t 和 t ) ，使得( t ) = 甄( t ) = e 且 x d t ) e ，当t ( f f ，1 ) 时 当( i ) 成立时，由( 3 1 1 ) 。有 ，c 她( t ) = z ：( 码) e x p ( 6 ( s ) 一o t ( s ，x ( s ) ) 一哦( s ) “t ( s ) ) d s 。氇 x g ) e x p ( 陋。( s ) 一毗( s ，五o ( s ) + e ) 一d i ( s ) ( “。o ( s ) + c ) d s 门 由( 3 , 3 7 ) 式知，存在“一o 。，使得一o 。，有x t ( t k ) 一+ 。o 矛盾 当( i i ) 成立时，令轧= 一 ，则乳有界否则利用与( i ) 类似的讨论，可知存 在( 畦) 的子列 t ! ，使得瓤( t f ) 一+ 矛盾令a = s u p s k i k = 1 ，2 ，) 和 鼠= s u p l “( ) 一。( t ，x ) 一d l ( t ) lj ( t ，x ) ，+ ) o ，批 【o ，坛 ， 1 6l o t k a v o t e r r an 种群竞争系统的研究 其中 ，尬= a ，分别在( 3 36 ) 和( 3 32 ) 中定义显然，有0 a ，且。 t 时，有 n 巩z 。( t ) m ；，趣u d t ) 证毕 注定理3 31 推广并改进了文【14 】和 1 5 的主要结果， 定理3 3 2 设( 风) 和定理3 31 的条件成立，则( 3 11 ) 是全局渐近稳定的 证明设( 。，( t ) ，z 。( ) ，u - ( ) ，t h ( t ) ) 7 和( - ( t ) ，( ) ，v l ( t ) ：，”。( t ) ) 7 是 ( 311 ) 的任意两个正解由于( 3 】1 ) 是一致持久的，故存在充分大的t ，使得 m 。孔( t ) ，y i ( t ) n 矾，啦u 。( t ) ，饥0 ) m ，t t ，i = 1 ，一，n ，( 3 31 2 ) 其中砜，尬，吼和眦在定理3 3 1l ：p 定义 令v ( t ) = ( i i n 甄( t ) i n 玑( ) l + a b i ( t ) 一让( 吼计算其右上导数，经过简 单的计算可得 m ) 至n ( 岷( f ) + i = 妻1) + 反差删怎驯删哪i 7 ( t ) ( 毗。0 ) + ) + 反吾刍( t ，吼( t ) ，已( t ) ) ) l 甄0 ) 一叭( t ) i = i f,j-iv a a t 1 。“2 + 耋m 似屈差删，驯“以) 一娟) l ( 3 31 3 ) 一m ( 1 0 ) 一玑0 ) l + 1 u l ( t ) 一v d t ) 1 ) ，t t o ，。) j ， 其中6 ( t ) 介于甄( t ) 与玑( ) 之问，吼( t ) 介于蚴( t ) 与饥( t ) 之间从t 到t 积分 ( 3 3 1 3 ) ，可得 y ( t ) + m 上( 怫) 咄( 5 ) j + ) 叫( s ) 呐 y ( 丁) + 。 第三章一类具有输出反馈系统的持久性 故 翟掣f 磐( s ) 咄( s ) ( s ) 刊s 等 悯 再由( 331 2 ) 知，壹( 旧( t ) 一玑( 0 1 + i 。：( t ) 一( 驯) 一致连续，故由巴尔巴拉定理 拦恐i ( t ) 一挑( t ) l = 0 ，t 1 i r a 。l u 。 ) 一仉( t ) 1 = 0 ，i = l ，。，” 证毕 1 7 1 8 结束语 近年来，数学模型已逐渐应用于害虫控制、益虫利用、鱼类捕捞、森林及牧场改良 与管理等许多方面，并给他们提供了一系列最优管理策略及预测方法所以从事这一 方面的研究是非常有意义的 本文在第二章中把4 1 的结论推广到了具有脉冲的非自治l o t k a - v o l t e r r a 系统，通 过一个主要引理，沟通了具有j j , i v i l , 的非自治l o t k a _ v o l t e r r a 系统和不具有脉冲的非自 治l o t k a v o l t e r r a 系统之间的联系在第三章中，放宽了对种群自然增长率和由于竞 争引起的减少率的要求当然文中还有许多需要继续深入研究之处例如，在第二章 中，我们可以考虑把结果推广到带有变时脉冲的系统；在第三章中，我们可以继续讨 论更一般的模型另外全文的一些条件我们还可以继续斟酌，看能否再减弱，使本文 得到更好的结果今后如何提出更符合实际的模型，如何得到更好的系统稳定性条件 以使各种群协调发展，始终将是我们所关心的内容! 参考文献 l 】r a y m o n dr e d h e f f e r ，o l da n d d e wr e s u l t so nl o t k a - v o l t e r r a s y s t e m j 1 n o n l i n e a r a n a l t h e o r y ，m e t h o d s a p p l 1 9 9 7 ，3 0 ( 6 ) ：3 2 0 7 - 3 2 1 3 2 l i us h e n g q i a n g ，c h e nl s n s u na n dl i uz h u o j u n ，e x t i n c t i o na n dp e r m a n e n c ei nn o n a u t o n o m o u sc o m p e t i t i v es y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r e j ，j m a t h a n a l a p p l 2 0 0 2 j2 7 4 ： 6 6 7 _ 6 8 4 【3 】t e n gz h i d o n ga n dl iz h i m i n g ，p e r m a n e n c ea n da s y m t o t i cb e h a v i o ro ft h en s p e c i e s n o n a u t o n o m o u sl o t k a v o l t e r r ac o m p e t i t i v es y s t e m j 】1c o m p a n dm a t h w i t ha p p l 2 0 0 0 ， 3 9 ：1 0 7 - 1 1 6 4 jt e n gz h i d o n g ) o nt h en o n a u t o n o m o u sl o t l ( a - v o l t e r r an s p e c i e sc o m p e t i n gs y s t e m s j ， a p p l m a t ha n dc o r n p2 0 0 0 ，1 1 4 ：1 7 5 - 1 8 5 5 1 滕志东，具有时滞的非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统的持久与灭绝【a l ，数学学报2 0 0 1 ， 4 4 ( 2 ) ：2 9 3 3 0 0 6 】t e n gz h i d o n gc h e nl a n s u n ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fp e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r as y s t e m s w i t hd e l a y s j 】，n o n l i n e a ra n a l 2 0 0 1 ，4 5 ：1 0 8 1 1 0 9 5 7 1 bg r a n a d o s ，p e r m s h e n c ef o ra l a