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上证综合指数的马氏性和时间序歹f j 模型的组合分析和预测 摘要 马尔可夫链预测方法应用于股票市场随着我国股票市场的发展在国内己经得到了重 视，而时间序列分析技术对股票市场的研究由来已久，它也是一个非常重要的分析预测工 具。本文分别对马尔可夫链和金融时间序列分析的技术进行了探讨，不仅对它们的实际应 用进行了检验，而且综合了它们的特长，设想出一种新的模型时间序列一马尔可夫过程 ( t s m c ) 运用于股票市场，取得了比较满意的效果，得到了些有价值的结论。 具体来说，本文的研究包括以下几个方面的内容： 第一，采用马尔可夫链预测方法分析我国股市的未来变动情况，得到了一定的结论， 经检验与实际相吻合。 第二，根据收益率变化图、柱状图和一些基本统计量分析我国股市的分布特征，发现 我国股市的收益率序列不符合正态分布有明显的波动群集现象。 第三，采用随机时间序列模型来分析我国的股票市场运用a r m a 模型拟合沪市综台指 数的收益率序列，发现能够很好地反映我国股市的变化情况，研究结果与国内外已有的一 些结论基本相吻合。 第四，综合运用时间序列一马尔可夫过程对我国的股票市场进行了进一步的分析，拟合 沪市综合指数的收益率序列，并对未来五周的收盘价分别进行预测，取得了较好的效果， 得到了一些有价值的结论。 关键词：马尔可夫链，时间序列分析，a r m a 模型，时间序列冯尔可夫过程 t h ec o m b i n e d a n a l y s i sa n dp r e d i c t i o no fm a r k o vc h a i na n dt i m e s e r i e sm o d e lo ns h a n g h a is t o c ki n d e x a b s t r a c t m a r k o vc h a i np r e d i c t i o nm e t h o dh a sb e e na t t a c h e di m p o r t a n c ei nc h i n aw h e n c h i n a ss t o c km a r k e t se s t a b l i s h e d t h et i m es e r i e st e c h n o l o g yi sa ni m p o r t a n tt o o li n s t u d yo fs t o c km a r k e ta n di th a sb e e nt a k e no ni tl o n gt i m e t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h e m a r k o vc h a i na n dt h et r a d i t i o n a lt i m es e r i e sm o d e l s ，n o to n l yt h e i ra p p l i c a t i o nb u t a l s oan e wm o d e lc a l l e dt i m es e r i e s m a r k o vc h a i n ( t s m c ) m e t h o d t h e nw ea p p l y i to nt h es t o c km a r k e t ，a n da c h i e v eac o n t e n t m e n tr e s u l t a f t e rs t u d y , w ec o m et o s o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n s t h e s ea r et h ep r i m a r yc o n t e n t so f t h i sp a p e r ： f i r s t ，w ea p p l ym a r k o vc h a i no nt h es t o c ki n d e xa n dp r e d i c ti t st e n d e n c ya n d g a i ns o m er i g h tr e s u l t s s e c o n d , w eo b s e r v et h es t o c ky i e l dd i s t r i b u t i o ng r a p h 、h i s t o g r a ma n ds o m e b a s i cs t a t i s t i c sd a t aa n dc o n c l u d et h a tt h es t o c kr e t u r n so fo u rc o u n t r ya r e n o n - g a u s s i a na n dh a v ev o l a t i l i t yc l u s t e r i n gp h e n o m e n o n t h i r d t r a d i t i o n a lt i m es e r i e sm o d e l sa r eu s e dt oa n a l y z ec h i n as t o c km a r k e t m o d e l sa r m ai sf i t t e ds t o c kr e t u r n s t h es t u d yr e s u l t sa r ef i t t e dt o g e t h e rw i mt h e o w n e dc o n c l u s i o n s f o u r t h ，w ec o m b i n et h eu p p e rt w om o l la n da p p l yt s m cm e t h o do np r e d i c t i o n s t o c ki n d e x ，a n dp r e d i c tt h ec o n t i n u ef i v ew e e k ss t o c ky i e l d ，a n dc o m et oag o o d e f f e c ta n ds o m ev a l u a b l ec o n c l u s i o n s k e yw o r d s ：m a r k o vc h a i n ，t i m es e r i e sa n a l y s i s ，a r m a ，t s m c 2 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：= 薹赶壹 日期：2 翌厶：! 旦 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库 进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文 在解密后适用本规定。 作者签名：兰盘鲎 日期：趔：! ! 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：至堑壹 日期：銎型：堇：! ! 导师签名： 日期： 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 1 1引言 第一章绪论 现实生活中的大多数经济现象都受到许多不确定因素的影响而呈现出一种随机变化的 形式，这种随机性的存在使得人们很难用一个确切的方程来描述它们，股票指数也不例外。 所以历来的这方面的研究及从业人员都力图找出一种方法使得人们至少能够掌握其变化规 律，或者达到控制它的目的。2 0 世纪2 0 至3 0 年代，计量经济学作为- - i 学科正式诞生了。 经过了几十年的发展，它由最初的单方程回归模型到了现代的高级计量经济学阶段。现在这 一阶段已经发展到了一个高峰时期，其中最典型的就是2 0 0 3 年诺贝尔奖获得者e n g l e 和 g r a n g e r 对计量经济学的发展立下了又一个里程碑。e n g l e 的a r c h 模型和g r a n g e r 的协整理论更加促进了人们对时间序列模型的关注，时间序列模型的研究及应用达n t 迄今 为止的顶峰时期。 时间序列模型其实是由回归模型发展而来。回归模型使我们建立了解释变量与被解释变 量之间的随机关系模型，而当我们对某一行业不很了解，而又想知道其某一指标的未来变化 趋势，在解释变量不好选取的情况下，我们可以由这一指标的历史数据，即时间序列数据本 身来寻求其变化规律，达到掌握和预测的目的。另外，经济分析中的三大类重要数据中，时 间序列数据是其中最常见，也是最重要的一类数据，因此，对时间序列数据的分析也就成了 计量经济分析最为重要的内容之一。正是由于这些原因，使得人们对它的研究孜孜不倦。应 用时间序列模型分析和预测证券市场上的未来变化无论在理论还是经验方面都已成为金融 市场研究中不可分割的组成部分。 时问序列分析属概率统计学科的一个分支，它是运用概率统计的理论和方法来分析随机 数据序列，并对其建立数学模型，进行参数估计，对模型定阶，以及进一步应用于预报、预 测、自适应控制等诸多方面，尤其在时闯序列的短期预测方面准确率较高。 马尔可夫链属随机过程的一个分支，是研究事物的状态转移概率的一种数学方法。它是 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 在已知序列先验性概率的基础上对总体的未来走势做出预测。这种预测技术不需要连续不断 的历史资料和数据，只需要当前和最近的状态数据。该方法的基本思想是：虽然影响股票价 格因素包罗万象，但是在股票价格频繁变动的长期趋势中，有其基本因素起主导作用，也就 是说，股票的价格既具有一定的趋势性，又受诸多随机因素的影响，而这种影响股票的价格 波动性很大，不容忽视，将这种趋势性与随机性分别予以考虑，建立股票回归一马尔科夫链 预测模型。该模型与前面的时间序列预测方法有一些类似，但回归一马尔科夫链预测模型是 利用状态转移概率矩阵来对未来做出预测，具有一定的统计学意义。但是这个模型准确率很 大程度上依赖于未来一期的趋势的预测，因此拟合曲线的选择将对预测的准确性产生十分重 大的影响。这也是此类预测模型的弱点所在。 时间序列马尔可夫过程是在时间序列模型预测的基础上，运用马尔可夫过程得到的时 间序列未来的走势情况或未来的变动概率进行调整，这样可以在一定程度上增长时间序列模 型的预测期限，变短期预测为中、长期预测，提高预测的准确度这也是笔者提出来的思想。 【l 】 1 2 研究意义n 2 】 股票市场是金融市场的重要组成部分，与国民经济发展密切相关。股票作为资本证券化 的工具，一种虚拟资本的代表，可以很便捷地在国际市场筹集和融通资金。股票价格就是股 票在市场上的买卖价格，又称股票市价或股票行市。股票作为一种有价证券的凭证，本身并 不具有价值，它之所以有价格，是因为它能够在市场上进行流通并给持有者带来收益，因而 具有价值形态，从而成为一种特殊商品并在股票市场上流通。股票价格指数是衡量证券市 场发展状况的一个重要指标，是衡量一个国家或地区经济发展状况的“晴雨表”，其联动效 益正日益在世界各市场中表现出来。股票市场的各种数据一直对预测者有着巨大的吸引力， 也是各种预测方法应用的热门领域。股票的数据貌似杂乱无章，但某时期的数据常常在另 一时期不同程度地再现。另外，金融时间序列样本发生频率非常高在很短的时间内可以取 得很大的样本，人们可以轻松地获得所需要的数据。 随机过程的思想应用于股票市场由来已久，马尔可夫链仅是它的一个应用，它对股市的 2 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 预测起了定的指导作用。时间序列分析是经济学中重要的一个领域，它转变了经济学家和 统计学家对随时间变化的变量的演变和相互作用的分析方法。由于金融时间序列变化的分析 对于制定精确的定价和预测决策是至关重要的，所以本文所研究的技术是分析金融市场所需 要的重要工具。随着中国股票市场的发展以及更多数据的取得，利用这些技术的范围将会扩 大，进而合理分析我国股市的波动特性以及正确预测股市，对于我国政府对证券市场加强宏 观调控和管理，引导股民进行正确的投资，使股价指数真正成为经济发展的晴雨表，保障我 国证券市场的健康持续发展都具有重要的意义。 1 3 国内外研究现状 1 3 1 股票价格是否可预测性的研究 5 6 _ 2 。，2 4 _ 2 5 2 8 】 2 0 世纪6 0 年代，金融学家开展了许多关于金融市场理论基础的研究，并导致了有效资 本市场理论的发展。f a m a 和r o b e r t s 提出有效市场假说( e m h ) 理论，将有效市场分成三 个层次： 一是强型有效市场( s t r o n g - f o r me f f i c i e n c y ) 在该市场中，现时的股票价格反映了所有 信息，没有人能够利用包括内幕消息在内的任何信息获得超额收益。 二是半强型有效市场( s e m i - s t r o n g - f o r me f f i c i e n c y ) ，在该市场中，现时股票价格反映了 所有公开的相关信息，如年报、简报、报纸专栏等等。 三是弱型有效市场( w e a k - f o r me f f i c i e n c y ) ，在该市场中，现时般票价格反映了所有过去 的相关信息。 市场效率的决定因素是市场对不同信息的反应程度，包括历史信息、公开信息和内部信 息。e m i l 理论认为在弱式有效市场上，历史信息如股票过去的价格等对未来价格的影响已 经体现在现有价格中，投资者般不能简单依靠过去信息获取超额利润，过去的信息对未来 的收益而言只有随机影响。对中国股票市场的有效性检验，基本集中于弱型有效市场或无效 市场这两个层次上。根据大量研究表明，目前全世界除美国以外的主要发达国家成熟的股票 市场达到弱式有效程度、美国证券市场处于半强型有效阶段外，其余的股票市场只达到弱型 有效甚至无效。但近几年一些研究成果表明国内外股票市场普遍是混沌的。股票市场混沌现 3 上证综含指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 象的发现开辟了股票指数预测模型化的一个新的典范。一方面由于股票市场混沌现象的随机 特性，限制了预测能力，另一方面，股票市场混沌现象所固有的确定性为股票指数的短期预 测提供了理论上的保证。因此，格伦吉在回顾对当前股票市场的某些研究时，提出：如果从 长期的观点来考虑，使用分散具体的数据，剔除意外事件，使用非线性模式转化模型，股票 市场是可以预测的。 13 2 马尔可夫过程的研究现状 马尔可夫过程是随机过程理论中比较完善和成熟的一个理论，随着社会向多样化的发 展，它的应用也在多种行业中展现出来，尤其在预报、预测等方面发展显著，其建模的依据 是在对实测数据统计所得的先验概率基础上来分析其统计特性的。马尔可夫过程充分考虑到 了现实中的不确定性，从不确定性中找出一种规律， 1 3 3 时间序列模裂的研究现状【9 1 2 0 世纪6 0 年代后期，随着计量经济学理论发展到现代计量经济学阶段，时间序列模型 得到了飞速的发展。自1 9 7 0 年，b o x 和j e n k i n s 系统提出了a r m a 模型的一系列理论以来， 随机时间序列模型得到了广泛的重视。1 9 8 0 年，g r a n g e r 和j o y e u x 提出非整数积分a r l m a 模型- a r f i m a ( a rf r a c t i o n a l l yi m a ) ，1 9 8 2 年，e n 目e 首次提出自回归条件异方差模型一 a r c h ( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c ) ，随后，b o l l e r s l e w 在1 9 8 6 年将a r c h 模 型推广到广义a r c h 模型，即g a r c h 模型，n e l s o n 在1 9 9 1 年提出了指数的g a r c h 模型， 即e g a r c h 模型，到目前为止，a r c h 模型及其变体，已在金融计量经济学中得到了广泛 的应用。2 0 0 3 年，诺贝尔经济学奖授予了e n g l e 和g r a n g e r ，以表彰他们在时间序列模型研 究中的突出贡献( a r c h 模型和协整理论) 。 1 4 本文主要创新之处 本文分别对马尔可夫链预测模型和随机时间序列分析模型进行了应用- 分析了我国股票 市场上收益率的变化情况，并且在对收益率数据预测分析的基础上，发展了一种新的思想一 4 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 一马尔科夫时间序列模型，并对股指的变化进行了预测，得到了比较有价值的结论。这就 是本文的创新之处。 1 5 本文内容与结构 为了对中国股市收益率或股指的变动情况进行准确的分析和预测。本文在国内外已有的 研究基础之上，对上证综合指数的变动情况运用两种方法进行了分析和预测，为了加强其对 中、长期数据的预测能力，综合两种方法的优点，对预测的结果进行了修正，并对修正后的 结果进行了误差检验。 论文的第一章绪论部分引出我们研究的主要内容，简单介绍了我国股市的发展状况以及 时间序列模型和马尔可夫过程的发展状况，引出研究股市收益率预测和波动的重要性。 第二章运用随机过程的有关理论，建立了马尔可夫链转移概率模型并对股指未来的走势 进行了实际预测。 第三章介绍了几种常见的时间序列模型，并运用模型的定阶理论试探性地对一组样本数 据进行了a r m a 模型的估计和a r c h 效应的检验，详细阐述了模型的建立步骤。结合我国 股市的实际情况对沪市的模型结果进行了分析，并且引入一种组合时间序列一马尔可夫链思 想，对预测结果进行了修正，对我国股价指数进行了五周的预测，结果较令人满意。 最后分析了本文的不足，对今后我国股市的研究进行了展望。 1 6 本章小结 本章首先简单地介绍了马尔可夫过程、时间序列模型及股指的可预测性问题，引出了研 究它的必要性及研究意义，同时本章还对全文主要研究内容、创新之处及全文的框架作了简 要的介绍。 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 第二章股指马氏性的检验和预测4 1 n1 2 1 3 4 】 2 1 引言【3 】 “高价三天，低价一百天”，这句话常用来形容股市的涨跌。也就是说，行情高涨的时 间很短，而一旦跌落，则会持续低迷相当长的时间。由于停留在股价高峰的时间很短，所以 在最高价买进的股票，往往变成套牢，无法脱身。因此，从全局上掌握股市的涨跌走势对 个投资者是至关重要的。 利用马尔可夫链进行股指的分析和预测，其建模的依据是在对实测数据统计所得的先验 概率基础上来分析其统计特性的。这就可以使我们由过去的股指序列的分布情况统计得出此 序列的大体涨跌趋势，对投资者提供借鉴。 对一个规范的市场来说，股指是一随机时间序列。本文首先利用z2 统计量进行股指序 列马尔可夫性的检验，然后利用马氏链分析预测股指的变动趋势。 2 2 。时间序列马尔可夫性的检验 随机序列 以，珂n ，若参数n 表示时间，则此随机序列称为时间序列。肘间序列 分析最早是应用于经济上的。当把股指看作一个时间序列时，可利用z2 统计量来检验其是 否具有马氏性。 具体步骤如下： 设”f 表示工l ，五，五，从状态i 经过一步转移到状态j 的频数，并将频数矩阵( 口) 。 的第j 列之和除以各行各列的总和所得到的值记为毫，即 6 圭堡堡垒塑墼望兰垦堡塑堕璺壁型壁型塑塑鱼坌堑塑耍型 点，：旦 配 则统计量( 当n 较大时) 再：喜针1s 矧0 z 2 = 2 o g 挚l f = l 产l 1 ，l 服从自由度为( n - 1 ) 2 的z 2 分布。选定置信度口，查表得z ：( 一1 ) 2 ) ，如果 z 2 z 2 1 ) 2 ) ，则可认为j 。符合马氏性，否则认为不是马尔可夫链。如果验证了x 。为 马氏链，则当前殷市符合随机游走的特性，股市走势包含和反映了历史信息，市场为弱有效， 可构建马氏链模型分析股指未来的涨跌情况。 2 3 马尔可夫链预测模型 2 3 1 马尔可夫链的基本原理 马尔可夫链是一种参数离散、状态离散的随机过程。其数学表达如下 随机过程 五，厅n ，其中时间参数集n = o ，1 ，2 , - - - ) ，状态空间i - 0 ，自相关系数都为0 的联合假设，这可通过如下9 统计量进 行 蜴。叫棚缕熹 ( 3 3 ) 该统计量近似地服从自由度为m 的z 2 分布( m 为滞后长度) 。因此，如果计算的q 值大于 显著性水平为口的临界值，则有1 一口的把握拒绝所有风( k o ) 同时为0 的假设。 3 2 2 平稳性的单位根检验 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为 上证综台指教的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 准确与重要的。单位根检验( u n i tr o o tt e s t ) 是统计检验中普遍应用的种检验方法。 3 2 2 1d f 检验 随机游走序列 x ：= x t + p t ( 3 4 ) 是非平稳的，其中麒是白噪声。这是因为虽然该序列有相同的均值，但其方差 v a r ( 置) = t 8 2 ，即鼻，的方差与时间t 有关而非常数，故为一非平稳序列。 而该序列可看成是随机模型 五= 成一1 + “ ( 3 5 ) 中参数p = l 时的情形。也就是说，我们对式( 3 5 ) 做回归，如果确实发现p = l ，就说随机 变量x ，有一个单位根。显然，一个有单位根的时间序列就是随机游走序列而随机游走序 列是非平稳的。因此，要判断某时间序列是否是平稳的，可通过( 3 5 ) 式判断它是否有单 位根。这就是时间序列平稳性的单位根检验。 ( 3 5 ) 式可变形成差分形式 墨= ( p 一1 ) 工卜1 + ，= d x h + ， ( 3 6 ) 检验( 3 5 ) 式是否存在单位根p = 1 ，也可通过( 3 6 ) 式判断是否有d = 0 。 一般地，检验一个时间序列肖，的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型 x t = g t + 卢墨一1 + f ( 3 7 ) 中的参数p 是否小于1 ，或者说检验其等价变形式 a x f = 口+ 骈卜l + t ( 3 8 ) 中的参数万是否小于0 。 1 4 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 ( 3 7 ) 式中，参数p 大于或等于1 时，时间序列x ，是非平稳的，对应于( 3 8 ) 式时 则是占大于或等于0 。因此，针对( 3 8 ) 式，是在各择假设h l ：占 q 时，五与置+ t 不相关，这种现象称为截尾，因此，当k q 时，户 = 0 是m a ( q ) 的一个特征。也就是说，可以根据自相关函数n 是否从某一点开始一直为0 来 判断m a ( q ) 模型的阶q 。 4 3 2 a r ( 口) 的自相关函数 模型( 4 2 ) x t = 甲i x i + 9 1 x 一! + 八+ 9p x t p + p 的自协方差函数为 r k = e ( x t x f ) = 研( 仍五m l + 仍z m 2 + a + 砟z m _ + 鸬+ t ) 置】 = 吼一l + 仍_ 一2 十a + p p 咋一p ( 4 1 0 ) 从而根据自相关函数的定义有自相关函数 p = = 仍n 一1 + 尹2 p k 2 + 人+ 妒p 所一p ( 4 1 1 ) 由此可见，a r ( p ) 模型的自相关函数为非截尾序列，称为拖尾序列，因此，自相关函 数拖尾是a k ( p ) 模型的一个特征。 由( 4 1 1 ) 式，利用p 女= p 一女，得到下列方程组： f n = 纯+ 仍岛+ a + 砟户川 j p 2 = 妒l p l + 伊2 + a + 9 p p p 一2( 4 1 2 ) m i p p = 妒】p p 一1 + 妒2 p p 一2 + a + p ， 上证综台指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 此方程组称为y u l e 。w a j k e r 方程组a 若已知模型参数妒l ，p 2 ，a ，则由方程组( 4 1 2 ) 可解 出自相关函数p 1 ，p 2 ，a ，p 。，然后再带入( 4 1 1 ) 式，则可求出k p 时的p 。反之，由 仃，2 ：五( ? ) ：，0 一羔纯妒，。一。 i , j = l 若已知，1 ，2 ，a ，0 ，则由公式( 4 i i ) 可求出n ，肪，人p p ，再由方程组( 4 1 2 ) 可 解出模型参数仇，尹2 ，a ，从而据此估计出盯：。 4 3 3 a r m a ( p ，q ) 的自相关函数 a r m a ( p ，q ) 的自相关函数，可以看作a r ( p ) 的自相关函数和m a ( q ) 的自相关 函数的混合物。当p = 0 时，它具有截尾性质；当q = 0 时，它具有拖尾性质；当p ，q 都不为 0 时，它具有拖尾性质。经推导可得a r m a ( p ，q ) 的自相关函数为： = e ( x ，“，x 。) = 张 一1 + 仍，七一2 + a + 砟唯一p + 7 勘( 七) 一q 7 ( 七一1 ) 一a 一岛，x 一g ) 其中 ( 后) 2e ( x m ) 2 1 盯玩0当i k ( 0 0 当 所以当k ) q 时，有： 以= 仍0 一l + 妒2 咯一2 + 人+ 妒p “一9 故a r m a ( p ，q ) 的自相关函数同( 4 1 1 ) 式，为： p l = 咋= 仍p 女一i 十仍成一2 + 人+ 妒p p 一p 4 3 4 a r m a ( p ，q ) 的偏自相关函数 偏自相关函数是a r m a ( p ，q ) 模型的另一个统计特征，它是在已知序列值， 一十x t - 2 , a 一m 的条件下，对x ，与x h 之间关系的一种度量自相关函数a c f ( k ) 给出 “ 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 了x 。与x “的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。例如 在a r ( 1 ) 随机过程中，置与x m 间有相关性可能主要是由于它们各自与五一1 间的相关性 带来的，即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，偏自相关函数则是消 除了中间变量带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值z - 1 ，a ，x h “的条件 下，x ，与x h 间关系的度量。因此，在a r ( 1 ) 中，从z ，中去掉爿的影响，则只剩下 随机干扰项卢，显然它与x m 无关，因此我们说z ，与x f - 2 的偏自相关函数为0 ，记为 p ：；c o r r ( t ，z - 2 ) = 0 。同样地，在a r ( p ) 过程中，对所有的后 p ，墨与x h 闻 的偏自相关函数为oo 可见，a r ( p ) 的一个主要特征是，后 p 时，p ：= c o r r ( i t ，x h ) = 0 ， 即席在p 以后是截尾的。 4 4 模型的识别 由a r ( p ) 过程的特征可以得到对一随机时间序列的识别原理；若置的偏自相关函数 在p 以后截尾，即七 p 时，p ：= 0 ，而它的自相关函数矶是拖尾的，则此序列是自回归 a r ( p ) 序列。 对于m a ( q ) 过程可类似地得出：若随机时间序列的自相关函数截尾，即自q 以后 n = 0 ( 七 g ) ，而它的偏自相关函数是拖尾但却趋于零的，则此序列是q 阶滑动平均 m a ( q ) 序列。 a r m a ( p ，q ) 过程从识别上看。若随机序列x ，的自相关函数和偏自相关函数都是拖 尾的，则此序列是自回归滑动平均a r m a ( p ，q ) 序列。即a r m a ( p ，q ) 过程的偏白相 关函数在p 阶滞后前有明显的失柱，但从p 阶滞后项开始逐渐趋于零；而它的自相关函数则 是在q 阶滞后前有明显的尖柱，但从q 阶滞后项开始逐渐趋于零。至于p 和q 的识别。则要 从低阶开始逐步定出适合模型的阶数。 上证综合指数的马氏性和时阃序列模型的组合分析和预测 4 5 随机时间序列分析模型( a r ，m a ，a r m a ) 的参数估计 4 5 1 样本协方差和样本自相关系数的估计 通常需要使用样本的相关系数来估计a r m a 模型的参数，为此，首先介绍如何通过样 本来估计这些相关系数。假设现有已知均值为0 的样本序列。l ，x 2 ，az 。，定义滞后期为k 的样本协方差为： 五= t 。= 丢喜石，x 。“，c t = 。，z ，n 一， 样本自相关系数为 a = p 一 = 五名，( 1 f l ，2 ，n 1 ) 4 5 2a r ( p ) 模型的y u l e w a l k e r 方程估计 y u l e w a l k e r 由方程组( 4 1 2 ) 建立了a r ( p ) 模型的模型参数仍，p 2 ，a 与自相关 函数n ，p 2 ，a ，尸。的关系。则对经识别后的a r ( p ) 模型，首先利用实际时间序列提供的 信息，求得自相关函数估计值a ，a ，a ，戌，然后再代入( 4 1 2 ) 式，则可求出模型参数的 估计值磊，晚，a 蛾以及子；： 吼 妒2 m a 。净lk p 、 参。夸。a 每，一z m 净p - 、务m 八 氓 = 名一办包t f ，= i n p 2 m p p ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 0吩 宝川 一 兰 2 口 子 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 4 5 3m a ( q ) 模型的估计 将m a ( q ) 模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到 当k = 0 当1 k q 当k ) q 利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数估计值，再由方程组 矗= 毋：( 1 + 鲆+ 考+ 人+ 田) = ( 薯+ 反幺+ 人+ 吃一，幺) m 一，= 子；( 一或一。+ 砖岛) = 子；( 一晓) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 解出a ，幺，a ，或，司。由于方程组( 4 1 6 ) 为非线性方程组，故一般可用迭代法求解。 4 5 4a r m a ( p ，q ) 模型的矩估计 在a r m a ( p ，q ) 模型中共有p + q + 1 个待估参数吼，妒2 ，a 妒，；只，岛，a ，；毋：，各 估计量计算步骤及公式如下： ( 1 ) 估 十妒l ，伊2 ，a 妒。 计算公式为： 妒l p 2 m 妒p 危一t a 危 a m a + 阳a ，k “ 卢0 + 2 m 段十p ( 4 1 7 ) 其中，a ，i = g p + 1 ，g - p + 2 , a ，g + p ，是由样本观测数据所计算出的自相关函数估 计值，即样本自相关系数。 岛劲睥 + a m 劈气+ n q暗计 0 卜 盯盯o ，t-j，、，【 = 唯 a 岛孙 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 ( 2 ) 改写模型，求b ，0 2 ，a ，吱；子：的估计值 将模型 改写为： 令 x f = 庐l x r i + 庐2 x 卜2 + a + 庐p x f p + ，一日，一i 一0 v u f 一2 一a 一岛f g x 。一磊x h 一庐2 x 卜2 一a 一乒p z 卜p = 麒一岛f _ 1 一岛卜2 一a 一岛卜口 霹= _ 一矗x ，一1 一戎_ 一2 一a 一庐p 一p 则( 4 1 8 ) 式化为： 置= 一日h 一0 2 , u r 一2 一a 一0 q # h 目 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 构成一个m a ( q ) 模型( 4 1 9 ) ，参数日，0 2 ，a ，巳；子；为待估参数。则可按照上述m a ( q ) 模型的参数估计方法进行估计。 另外对a r ( p ) 模型也可以使用最小二乘估计。若模型( 4 2 ) 的参数估计值商，痧2 ，a 或 已经得到，即有： 一= 矗x i - l + 庐2 x l 一2 十a + 庐p x 卜p + 丘 则残差平方和为 s ( 庐) = p ? = z ( x ，一氟石。一庐：x ：一a 一，x ，) 2 t - p + lt = p + t 根据最小二乘原理，a ， 8 0 2 , a 。应为下列方程组的解： 了a s ( 6 ) ：o d 仍 即有 ( 4 2 0 ) 圭堡堡全塑鍪塑呈垦丝塑堕! 旦堡塑堡型塑垄鱼坌堑塑塑型 。一氟x h 一庐2 z 。一2 一a 一，工。，h 。= 0 ，f = i ，2 ，a ，p ( 4 2 1 ) t = p + l 解该方程组，即可得到待估参数的估计值。 为了与a r ( p ) 模型的y u l e w a l k e r 方程估计进行比较，将( 4 2 1 ) 式改写为 鲁，弘札，+ 鲁，弘z h ，鲁，弘= 去，磐札， i = 1 , 2 ，人，p ( 4 2 2 ) 由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值： 式= i 1 ，刍n - k j m x 代入，则方程组( 4 2 2 ) 式化为： j c = 磊t l + 庐2 t 一2 + a + 以t p ， i = 1 ，2 ，a ，p 解此线性方程组，得： 纠 ( 4 2 3 ) 即为参数的最小二乘估计。与a r ( p ) 模型的y u l e - w a l k e r 方程估计( 4 1 3 ) 式比较，当n 足够大时，二者是一致的a 吒的估计值为 司2 击，私= 而s 值得注意的是，上文中对时间序列的识别、参数估计都是建立在平稳的基础上，而实践 中，时间序列往往是不平稳的，这时首先要对数据进行平稳化处理，尔后再识别并进行参数 估计。通常的做法是对时间序列进行差分，再对差分后的序列识别其平稳性。如果仍不具备 平稳性，贝需进行= 次差分，直到差分后的序列平稳为止。对差分后满足平稳的序列的模型 a a 八 m铀 h b 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 类型进行识别、参数估计和上文介绍的方法是一样的，唯一不同的是现在的分析对象是差分 后的序列而非原始序列。由此所建立的模型称为a r i m a 模型，记为a r i m a ( p ，d ，q ) ， 其中p 为自回归阶数，d 为差分的阶数，q 为移动平均阶数。它有以下几种特殊形式： 当d = 0 ，q - - 0 ，p 0 ，则模型简化成a r ( p ) 模型； 当d - - 0 ，p = o ，q 0 ，则模型简化成m a ( q ) 模型； 当d 誊0 ，q = 0 ，p 0 ，则模型简化成a r i ( p ) 模型； 当d 0 ，p = 0 ，q 0 ，则模型简化成i m a ( q ) 模型。 4 6 随机时间序列分析模型的检验 时间序列模型的识别与估计过程往往是同步进行的。由于在实际识别a r m a ( p ，q ) 模 型时，滞后项阶数的选择并不是一件容易的事，因此模型在识别与估计之后还需进行检验。 由于a r u a ( p ，q ) 模型的识别与估计是在假设随机干扰项鸬是一白噪声的基础上进行的， 因此，如果估计的模型确认正确的话，残差a 应代表一白噪声序列。如果通过所估计的模 型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。在 实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。可用( k 统计量进行z 2 检验。因此，在 给定显著性水平下，可计算不同滞后期的统。值，通过与z 2 分布表中的相应临界值比较， 来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设，若某一鱿日大于相应i 临界值，则应拒绝所估计的 模型，需重新识别与估计。 另外遇到的一个问题是，在实际识别a r 姒( p ，q ) 模型时，需多次反复尝试，有可能 存在不止一组( p ，q ) 值都能通过识别检验。显然，增加p 与q 的阶数，可增加拟合优度， 但却同时降低了自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟 合优度的权衡选择问题。常用的模型选择的判别标准有赤池信息准则( a i c ) 与施瓦兹准则 ( s c ) 。在选择可能的模型时，a i c 与s c 越小越好，显然如果增加的滞后项没有解释能力， 则对残差平方和r s s 值得减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得a i c 或s c 的值增加。需注意的是在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。 3 0 上证综合指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 4 7 条件异方差模型 传统的回归模型在古典假设中要求扰动项具有同方差性，但是实践中这一点常常得不到 满足，取而代之的是异方差性，特别是在金融时间序列中，常常会出现某一特征的值成群出 现的情况。 如对股票收益率序列建模，其随机扰动项往往在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波 动，在较小幅度波动之后面紧接着较小幅度的波动，这种性质称为波动的群集性( v o l a t i l i t y c l u s t e r i n g ) 。收益率序列本身一般不呈现自相关性，但收益率序列的平方却具备较强的自相 关性，反映不同时间上的观测存在着非线性关系。这种序列一般不具备独立正态分布，常表 现为尖峰厚尾性质和负偏。收益率序列的波动常常具有非对称性，即股市上坏消息引起的波 动要比好消息引起的波动要大，这就是所谓的“杠杆效应”。在一般回归分析和时间序列分 析中，要求随机扰动项是同方差，但这类序列随机扰动项的无条件方差是常量，条件方差是 变化的量。这种情况下，使得传统的计量经济学模型很难刻画出其波动规律，需要使用条 件异方差模型。 有鉴于此，e n g e l 在1 9 8 2 年研究英国通货膨胀问题时首先提出自回归条件异方差过程 ( a u t o r e g r e s s i v ee o n d i t i o n a lh e t e r i o s k e d a s t i cp r o c e s s ) ，简记为a r c h 过程。该模型立即受到 广大理论和实际工作者的欢迎和重视，b o l l e r s l e w 在1 9 8 6 年将a r c h 模型推广到广义a r c h 模型，即g a r c h 模型，n e l s o n 在1 9 9 1 年提出了指数的g a r c h 模型，即e g a r c h 模型， 到目前为止，a r c h 模型及其变体，已在金融计量经济学中得到了广泛的应用。 4 7 1a r c h 模型 对于通常的回归模型 y i = x t 0 七g t 如果随机干扰项的平方e 服从a r ( q ) 过程，即 占? = 口o + 口l 占二+ a + 口4 蠢g + 盯， 产1 ，2 3 l ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 上证综台指数的马氏性和时间序列模型的组合分析和预测 其中，仉独立同分布，并满足五( 仇) = 0 ，d ( 仉) = 牙，则称模型( 4 2 5 ) 是自回归条件异 方差模型，简记为a r c h 模型。称序列t 服从q 阶的a r c h 过程，记作s ，a r c h ( q ) 。 ( 4 2 4 ) 式和( 4 2 5 ) 式构成的模型称为回归a r c h 模型。 a r c h 模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行建模，以更充分地提取残差中的信 息，使最终的模型残差项仇成为白噪声。所以，对于a