（基础数学专业论文）关于m次剩余数的渐近性质和dirichlet+l函数的加权均值.pdf

关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 基础数学葛丹指导老师高丽副教授 摘要 本文利用解析的方法研究了两类均值问题：第一章研究的是i n 次剩余数对于几个常 见的数论函数，如除数函数，除数和函数及欧拉函数的若干渐进性质。关于这一问题的 研究分为三步进行： ( 1 ) 研究了较简单的m = 2 时，即平方剩余数的渐进性质，得到了五个渐进公式； ( 2 ) 讨论了一类特殊的m 次剩余数( n = p o 时) 的性质，得到了两个渐进公式； ( 3 ) 研究了一般的m 次剩余数的渐进性质，得到了四个渐进公式。 具体方法是：首先作在半平面r es 1 + e 上绝对一致收敛的一系列级数，然后利 用欧拉无穷乘积公式求其和，最后根据带余项的p e r r o n 公式，取适当的参量值，移动积 分路线，并且利用留数定理及一些特殊的解析方法可达到预期目的。 第二章利用特征和估计、三角和估计及其解析方法，首先研究了一类d i r i c h l e tl 一函 数的二次加权均值，给出了一个均值公式然后进一步研究了一般的2 k 次的加权均值， 并得到了其均值分布的渐进公式 关键词m 次剩余数渐进性质数论函数d i r i c h l e tl 函数加权均值 答辩日期： 2 。争、6 伤 指导教师签字：肖诵 o nt h em p o w e rr e s i d u e sn u m b e r s a n dt h e w e i g h t e dm e a n o fd i r i c h l e tl f u n c t i o n s a b s t r a c t ：i nt h i s p a p e r ，t w ok i n d so fm e a nv a l u ea r es t u d i e dw i t ha n a l y t i c m e t h o d s i nc h a p t e r1 ，t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft h em p o w e rr e s i d u e sn u m b e r s a r e s t u d i e d ，w h i c ht a k e st h r e es t e p sa sf o l l o w i n g ： ( 1 ) s o m ep r o p e r t i e so ft h es q u a r er e s i d u e sn u m b e r sa r es t u d i e d ，w h i c hi st h ec a s e o fm = 2 ，a n df i v e i n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a sa r eg i v e n ， ( 2 ) t w op r o p e r t i e so f ak i n do fs p e c i a lr e s i d u e sn u m b e r s ，w h i c hi st h ec a s eo f n = p o ，a r ed i s c u s s e d a n dt w oa s y m p t o t i cf o r m u l a sa r eo b t a i n e d ， ( 3 ) s o m ep r o p e r t i e so ft h eh i p o w e rr e s i d u e sn u m b e r sa r ep r o p o s e d ，a n df o u re o r r e s p o n d i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a sa r ep r e s e n t e d i no r d e rt oa c h i e v et h eg o a l s ，f i r s t l y ，s o m es e r i e sa r ed o n ew h i c hc o n v e r g eo nh a l f - p l a n er es 1 + e s e c o n d l y ，t h e i rs u m sc a nb ee x p r e s s e da sa b s o l u t e l yc o n v e r g e n t i n f i n i t ep r o d u c t sb ye u l e r sf o r m u l a ，t h i r d l y ，e x p e c t a b l er e s u l t sc a nb eo b t a i n e dw i t h t h ep e r r o nf o r m u l aa n dr e s i d u et h e o r e ma n ds o m es p e c i a la n a l y t i cm e t h o d s i nc h a p t e r2 jb yu s i n g t h ee s t i m a t ef o rc h a r a c t e r s u m s ，t h ee s t i m a t ef o rt r i g o n o m e t r i c s u m sa n dt h ea n a l y t i cm e t h o d s ，o n ep r o p e r t yo fd i r i c h l e tl - f u n c t i o n sw i t ht h ew e i g h t o fg a u s ss u m sa r es t u d i e da n dam e a n s q u a r ev a l u ef o r m u l a i sg i v e na tf i r s t t h e n ，i t s 2 k t hm e a nv a l u ei ss t u d i e df u r t h e ra n di t sa s y m p t o t i cf o r m u l ai so b t a i n e d k e y w o r d s ：i t i p o w e r r e s i d u e sn u m b e r s a s y m p t o t i cp r o p e r t i e s n u m b e r t h e o r e t i cf u n c t i o nd i r i c h l e tl f u n c t i o n s w e i g h t e dm e a n g e d a n ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db ya s s 0p r o f g a ol i 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 罄业日期：2 塑丝! 垃 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业高校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许奁阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名： 一澎盘 日期：z 艘垡。正；f 互 导师签名：；堑堑i日期： 2 1 1 华、f z ，! 第一章关于m 次剩余数的渐进性质 5 1 引言 第一章关于1 t 1 次剩余数的渐进性质 罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在文献 1 】中提出了m 次剩余数的问 题，其定义如下： 定义设n 是自然数，m 2 是一给定的正整数，若 n = p ? 1 p ；2 霹 其中p ；为素数，；芝1 ，i = 1 ，2 ，r 则称 a ( n ) = 钟1 p ；2 p 争 为整除n 的最大的无m 次幂因子数，即m 次剩余数。这里，b i = m i n ( m 一1 ，) ，i = 1 ，2 ，r ， 当m = 2 时，称其为n 的平方剩余数，记为 s ( n ) = p l p 2 p ， 当m = 3 时，称其为礼的立方剩余数 在文献 1 】中，f s m a r a n d a c h e 教授要求我们研究数列 a ( n ) ) 的性质，关于这一问 题，已有学者进行了初步的研究 文献【2 】中，作者利用解析方法研究了平方剩余数 s ( n ) ) 的一个渐进性质，得到了 对任意实数z 1 ，我们有渐进公式 d ( s ( n ) ) = 再6 【。l nz + ( 2 ，y 1 ) z 】+ 。( 。 l i l 2 z ) n 1 ，有渐进公式 至d ( ( 蝴) = h 水( 1 ) ) n z + 器( 2 7 n o 。1 一鬻器z + 。( 幽 ) ( 1 - a ) 其中，( ( s ) 是r i e m a n nz e t a 函数，i i 表示对所有整除的素数p 求积，表示对 所有整除的素数p 求和，岬) 2 黑1 + 扩，坝1 ) 2 累+ 车高，7 为 e u l e r 常数 定理1 2 对任意的实数茁r 且峦 1 ，有渐进公式 。( 吣( n ) ：掣z ：+ 。( 。沁) ， ( 1 2 ) n 9 一 e 为任意固定的正数 定理1 3 对任意的实数x r 且。 l ，有渐进公式 姗s ( n ) ) ) = zh ( 1 + ；1 ) + o ( 。 ( 1 3 ) n 1 ，有渐进公式 盯( ( ，s ( n ) ) ) = 2m z + d ( z 扣) ( 1 4 n 兰。 其中u ( ) 表示的不同的素因子个数 定理1 5 对任意的实数z r 且。 1 ，有渐进公式 洲蚰( 枷) = 华2 吣) z + 。( 声。( 1 - 5 ) n 兰。 首先我们来证定理1 1 ，令 。、虽d ( 陬o ( 凡) 】女) m ) = 坐警幽 3 苤至望达型玺墼笪塑堂性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 显然f ( s ) 是n 的积性函数，于是当r e8 = a 1 时，由e u l e r 乘积公式知 m ) _ i - ，i ( ，+ 掣掣 + 亟尝必+ ) 。 口2 s 。 。， 2 珥c1 + 半+ 等掣+ - ， 2 鼎c - + 等+ 挚h ，瓢c + 警+ 磐h ， 2飘(1+歹1+1+)飘(1+尹2+尹2pp h ) ik 1 tk 1。 2 瓢毒瓢毒 q “ = 籍晕焉 = 器取”扩 三器吣) 因为d ( 阮s 胎刷级数耋攀掣在半平面川绝对 又因为他) = 器) 1 _ b ( 叱c r 1 驴如) = 刍e ，( s ) 等d s + 。( 亍x b ) + 0 ( 鼍娑) ( 1 7 ) 取n = 互1 + e ，并将积分路线从l ：i t 移到；士汀考虑到函数，( s 番磊黯九( s ) 警 4 第一章关于m 次剩余数的渐进性质 在8 = 1 处有一个二级极点，于是( 1 7 ) 式变为 其中 驴，咖w * ，- r e s , p ( s 轳) 等+ 熹c 肛艨+ 群，”。， 怨m ) + o ( 芋) + 。( x h ( 擎x ) l n x ) 1c e + 廖淄琊和 ”。、 小州t 妒争芋+ 竿； i 群怒郴和 = lj 厂a 8 - + i t t te z c 。，善od 。i = d ! o t ! ! ! 毒；竽z n d t ：。；。单，吾+ z ；z t 警d 。 c 一。， z ；z 丁帮出z j z t 等a t z j li n 2 n + 1 ) i tz i n 2 t 由( i - 9 ) 式和( i - 1 0 ) 式得 驴如眠= t 怨忡) 等+ o ( 弘。( x i n 2 x ) + o ( 争 + d ( 学) 地s 捌淄m ) 等+ o ( ；) + 。( 捌1n 2 聃。( t x l + e l n x ) 5 关于1 1 1 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl - 函数的加权均值6 取t = z 如，( 1 1 1 ) 式变为 而 ( 1 1 2 ) - 怨m ) 了x s = 。l i r a ( ( s _ 1 ) 2 r s ) 裂) = 。l i r a ) 2 ( 2 ( s ) ) 裂”一1 ) 2 r 小( 描) f 】 = 。l i m 【2 ( s _ 1 s ) 洳叫( ( s ) ) ，裂+ ( s _ 1 ) 2 ( 2 ( s ) ( i - 1 3 ) ( 垫铲+ 型铲( 2 s m ) ) 、 s ( ( 2 s ) s 2 ( 2) 、1 “ 锄等+ 坐瑞型一掣铲州) = 器zc i n x + 2 7 - 1 - 鬻，+ 错。 汶里当s _ 1 时f s 一1 1 ( f s l - 1 ，f ( s 一1 1 c f s l l ，- - 4 - 1 ，f 7 为e u l e r 常数) 且由 不难得到 和 ( s ) = ( 1 + 专) 。1 pl k 。 岬) = i - i ( ，+ pi 女 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 坝1 ) 2 见1 + ；1 ) 氘1 l n + p ；，( 1 - 1 6 ) 一 ：舭o 卜 + k ， h 扛 扛 0 d + + 护一s 矿一s 曲 曲 m m 丽盟 滞 仁 船 r r | | | | 肚烈 呻 第一章关于m 次剩余数的渐进性质 由式( 1 - 1 1 ) 一( 1 1 6 ) 口j 知【1 - 1 ) 式成立，即芫成，足理1 1 的证明。 以下我们完成其余定理的证明，令 州s ) = 掣 胁) = 妻盟掣 胁) ：妻掣 及 徘，= 妻警掣 由e u l e r 乘积公式分别有 ( s ) ：h ( 1 + ! 学+ ! 学+ ) = 耳c + 学+ 学一， 。见，+ 歹1 + 1 川飘1 + 等+ 川 = h p l 1 _ 歹 = ) h + 嘉) pf 七 丌1 _ ( 寿) 2 = ( ( s ) n 竿 p l 1 一p s - 1 = 渊i i ( 1 + 芦1 一 一洲s 一1 ) ) plk 卜1 ，2 ( s ) _ i 。i ( + 掣+ 掣一) ( 1 1 7 ) 7 每 + q 小 关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl - 函数的加权均值 及 = 耳c ，+ 警+ 磐+ p 十 1。 ，鼎叶等+ 笋川 2 瓢，+ 歹1 + 1 川覃”等 = pf 七 l 1 1 一一 口s = i i ( 1 + 歹1 ) pi k ) = n ( t + 掣+ 掣 p ，4 ( s ) + 2 瓢t - + 歹1 + 1 川鼎l + 等+ 川 2 川i i 专1 - 小1 - i ( 1 + 巧p + 1 ) 仆 歹9 f 。 ( 卜歹，p = ) i i ( ，+ 嘉) pi = i 。i ( ，+ 竽+ 掣+ 2 飘t + 歹1 + 万1 川取1 + 等+ 川 2 瓢毒1 - 鼎”莓 p 十 歹9 l 。 【1 _ 歹) p 。 叫s ) i i 卜歹2 + 嘉) pi 七 1 ( 1 2 0 ) 然后对 ( s ) ， ( s ) ，3 ( s ) 和丘( s ) 分别利用p e r r o n 公式与定理1 1 同样的方法便可 得到( 1 - 2 ) 式，( 1 - 3 ) 式，( 1 4 ) 式及( 1 - 5 ) 式，即定理1 2 至定理1 5 均得证 8 尸一尸 ，一芝一矿 ，l一 一 一q r l t i p 第一章关于埘次剩余数的渐进性质 当n = p a 时的m 次剩余数的渐进性质 m 次剩余数的性质较复杂，我们只讨论了其两个渐进性质，即下面的 定理1 6 设凡= p o ，k 是正整数，对任意的x r 且z 1 ，有渐进公式 d ( ( ，a ( 礼) ) ) = n o 其中n 表示对所有满足 矿i i k 盯( 七) k z1 1 年孕+ 。( z + 6 ) ，当a m 一1 时。 p o i i k p p 。| | k 的索数p 求积，p 。即p aj ，p q + 1 k 定的正整数，e 为任意固定的正数 则 ( 1 2 1 ) 是某一固 是正整数，对任意的z r 且z 1 ，有渐进公式 为了方便定理的证明，我t f j 弓l h p a 下四个引理 引理1 1 设p 为素数，对任意的复数5 ，有 证明：令 ，当n m 一1 时； ( 1 2 2 ) ，当o m 一1 时 m 。p 。( 。m 。- 。1 ) s 二1 a=i1+磊2ppp + p 要+ ssz 5 。s ( 1 2 3 ) 9 时 驺 此 ，j、【 d ， | | = 跚 岫 7 以 1 1 1 凯 唣 定 南砖訾一脚 + 旦妒 + 0 一矿 + l | | a 旦旷 + 关于t 1 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 于是 从而 ( 1 一嘉) a 1m 十黟一声 a = 藩一两与 上式即( 1 2 3 ) 式，这样就证明了引理1 1 则 引理1 2 证明：令 p 一3 ( 1 一p ) + p m + l ( 1 一p 一8 ) 一( 1 一p 1 5 ) p m 8 ( 1 一p ) ( 1 一p s ) ( 1 一p 1 5 ) a ：1 + 型+ + p 5 p “一l + p ”一2 + + 1 p ( m - 1 ) s a = 1 + 歹1 + 万1 + - + 万1 可+ p 歹1 + 万1 扣。+ 杀去) + 一z c 南+ 高，+ 茄 = 等川嘉考，+ 坩叫蒜， p “一1 。p ( m 一1 ) s f 1 弓+ 嘉+ + 南) 一 c 嘉+ 嘉一+ 杀高卅茄 土矿旦尹 土垆。 寺掣 | | 监 一 第一章关于m 次剩余数的渐进性质 = 南c 苷 莉 _ p 习r o - 1 ) + 茄m - 1 )，尹5 ( 1 一p ) 7 。p ( s p m 5 一p “5 + 1j 。p 1 5 1p “一1 一p m s ( 1 一p ) ( 1 一p - s ) ( 1 一p 1 一s ) p ( m 一1 p 一竺：! ! 二堕贮：! ! ! 二竺：l ! ! = 竺l 二竺 一p r o s ( 1 一p ) ( 1 一p - s ) ( 1 一p 1 一s ) 上式即( 1 2 4 ) 式，从而证明了引理1 2 则 引理1 3 令 f ( s ) = m ，= 妻警掣 n = l ：( 譬 ，当n m 一1 ； 酬1 矿 f l 一2 5 ) n1 1 二p ( a + 广1 ) n ，当。m 一1 p a l l e p 5 却忙三i 弛) ：n ( + 妻掣) ：l - i ( t + 壹警掣) ( + 妻警掣) p 十k t = l p o i i k t = l 关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 1 2 ，( s ) ：i i ( - + 妻1 ( ，+ 芝警+ 妻螋p t 8 ) p 十k t = l 1 p o l f b 1 4 b ” 由引理1 1 ，有 ，( s ) = 飘碍1 瓢藩一丽m 习+ 砗m 驴) 刈s ，瓢南黑藩 ”2 6 ， = n 壬 p o | | p 5 ，( s ) = i i ( ，+ 霎嘉) h ( 1 + 型p s + + d ( p a ) + p k 扛l 酽i i = 瓢弓1 黑( 喜歹d ( f f ) + 。耋歹d ( p a ) 1 ) p t 矿矿批 扛o c ：o + 1 刈s ，飘再1 pp 熙希 5 矿僻” 矿 = ( ( s ) 等 矿1 1 k 矿 由f l 一2 6 ) 式和( 1 2 7 ) 式便知( 1 2 5 ) 式成立，于是引理1 3 得到了证明一 引理1 ，4s 为复数，令 ，、虽仃( ( ，( 凡) ) ) g ( s ) = 半 ，一矿 。 燮矿 一脚 n 帅南小 | | ，一p 筹 第一章关于脚次剩余数的渐进性质 则 f i m 一1 ，当o ，n 一1 如) = 耳( ，+ 喜萼掣， o= l 1 = p 飘c ，+ 喜1 学，p 骣c t + 喜学，f e o 怕 口l i ) 若n m l ， 由引理l 2 ，有 如) ：l - i 再1l - i ( ，+ 葚等+ 妻学) p 矿矿忡 k l 1 k m ：南n ( r n - 1 警州蓬 pf 七矿p n 帅t = 0 仁m 1 ( 1 2 8 ) 1 3 小卜瓢弓1 黑c 鼍等祭熹垮产+ 百_ p m 4 而， = p n k 击p 。罪而赤厕+ 而磊厕一而丽p r n 币) 刈s ，瓢”刍，罪而 刈s ，黑，篇 旷怕 、 1 1一pm(1一。ii = ( ( 引。等等 矿七 ( 1 2 9 ) 莘等 关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值1 4 i i ) 若q m 一1 ，类似地可以证明 如) _ ( p n 。i i k 警 由( 1 - 2 9 ) 式和( 1 - 3 0 ) 式便知( 1 2 8 ) 式成立，从而引理1 4 也得到了证明。 定理的1 6 的证明由p e r r o n 公式，得 ( 1 3 0 ) p 蛐肛去o 缸。t 南m t 然i 这里，取b = ；，t = z ，a ( z ) = z ， = z ，上式变为 础咖肛熹k 馋) 等。f ”3 1 ) 为估计刍k m ，即1 。f 3 坩+ i r m ，知剐舰分线从移到 ；+ i t ，考虑到函数，( s ) 在s = 1 有一个一阶极点，由留数定理，可得 嘉e 七瞄+ 薯七瞬。两 m 3 = r e s s = 1 ，( s ) 8 ：旧小1 ： ”。， 【z 罪苷m 一l i掣z ，当n m 咄 iz 罪譬m 一l 第一章关于珊次剩余数的渐进性质 容易估计 i 。1 。， 5 + + 。丁i t ，( s ) 等d s i ；z + e l 熹：作和李声f l 虿1 丌i j f 。一+ ，r i r ，( s ) 誓d s i z + e 由式( 1 - 3 1 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 3 3 ) ，( 1 3 4 ) 及( 1 - 3 5 ) ，得 d ( ( ，。( n ) ) ) n o 三盟z + 。( z 牝) ，当d m 一1 日寸； z 等+ 。( z ，当。m 一1 时。 矿忙 p 上式即( 1 2 1 ) 式，从而完成了定理1 6 的证明 ( 1 3 3 ) f 1 3 4 1 ( 1 3 5 1 定理的1 7 的证明对g ( s ) 利用p e r r o n 公式及定理1 类似的方法，可得( 此时 取b = ；，t = z 2 ，a ( z ) - 矿) 口( ( 七，8 ) ) ) n o zi - im + 。( z 十)，当。 m 一1 矿i 陋 z ( q + 1 ) + o ( z 扣 p a i i k m u ( 。) 。+ 0 ( 。 + ) 当d m 一1 ，当血 m 一1 d ( 七) z + 0 ( z + ) ，当。m 一1 上式即( 1 2 2 ) 式，从而完成了定理1 7 的证明 ( 1 3 6 ) 1 5 ，j0，【，、【 = | | 关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值1 6 4 一般的m 次剩余数的渐进性质 由上述讨论不难知道，对于一般的m 次剩余数的渐进性质，有相应的渐进公式，及 下面的： 定理1 8 设m 2 为整数，对任意的z r 且z 1 ，有渐进公式 薹d ( ( 蛐( 圳5 等z + d ( 痧q ( 1 - 3 7 ) 定理1 9 设m22 为整数，对任意的z r 且z 1 ，有渐进公式 。a ( n ) ) ) = d ( 。( ) ) z + o ( 。扣) 。 ( 1 3 s ) n 。 定理1 1 0 设m 2 为整数，对任意的z r 且z 1 ，有渐进公式 驴咖渺，= 帮川2 一帮，。、 + z 盟瑞笋型+ 0 ( 扣1 其( 1 ) = 毒 p o i i q 丌卜1 定理1 1 1 设m22 为整数，对任意的z r 且z 1 ，有渐进公式 到咖胎) = 避铲“。+ f ) ( 1 - a 。) 巾) = i i 。生尹 p 。i 首先我们来证定理1 8 ，令 ，。虽d ( ( ，n ( n ) ) ) 蒯= 半 n = 1 桷 n 然 | | 瀑 篡 | | 啦中其 咖卜卜三! ( s )：1 - i ( + 妻掣) 口= 1 7 2 即掣+ 学警+ 等 2 瓢c + 等+ 磐卜一+ 等h 凇 i i ( ，+ 警+ 警+ p n 忙 1 n 矿| | 1 q 仇 + 垫掣+ 塑竺+ ，1 1 p ( m 一1 ) s 口”j 。1 ，“ + 等扣+ 器川 飘，+ 歹1 + 声1 “_ 鼎+ 歹2 + 喜+ + 万m 巧+ 万m + n 矿 1 o ( m + 歹a + l + 渺a + l + 岩h + 1 r + 渺+ + 歹+ ) 瓢南黑嵩刑1 1 。群 ) 刑1 1 i 。等p o l i 女 p 5 ，船砷芎p a j l b ( ) 一 矿 1 口 m l + 盟垆 + 燮矿 q + o 一尹 + 0 一矿 +i 芋 _ 。 n 徘 关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值1 8 因为d ( 咖) ) ) n e _ 蹴所以级数喜警掣在半平面胁= 绝对一致收敛 于是对6 = j 3 + e ，t 1 及半奇数z ，根据带余项的p e r r o n 公式，有 d ( ( 咖) ) _ 熹篡，l ( s ) 等d s + o ( 争。( 掣竽) _ 薹啦咖) ) ) 2 壶匕 ( s ) 等( 争d ( 坐严) _ 取n = 互1 + e ，并将积分路线从；土i t 移到；土i t 考虑到函数，( s ) = ，( s ) 享在 s = l 处有一个一级极点，于是上式变为 州咖c 删，= r e s s = l a 等+ 嘉c z ：+ z + z ：s ，等如。、 +(彳xb)+d(xhf(2x)lnx0 ) + ( 亍) + d ( 可一) 取t = ；，容易估计 。1 脚f 5 + 。r i t ，1 ( s ) 缸孕加f ( 1 _ 4 3 ) i 嘉詹腓和孕疹 ”a 。) i 驯1 h + t i t ，1 ( s ) 缸声e ( 1 瑙) d ( ( k ，o ) n o 胁。，l ( s ) 手+ 即沁) ：【 ( 。) 竺】。+ o ( z ；1 + e ) = m 嘲+ 。z 妒 ( 1 _ 4 6 ) = z 可l p j + + 。( 茁沙1 ) 帮z + d ( 疹) 第一章关于m 次剩余数的渐进性质 上式及【1 3 7 ) 式，运样耽元戚j 足埋1 8i e f i = 明 以下我们完成其余定理的证明，令 ，。虽a ( ( ，n ( n ) ) ) ，2 ( s ) = 盟掣 ，。虽d ( 阮n ( n ) 】) 厶( s ) = 竖等螋 及 ，。虽a ( ，n ( n ) ) ( s ) = 型掣 由e u l e r 无穷乘积公式分别有 ，2 ( s ) ：i i ( - + 妻掣) = i i ( ，+ 掣+ 学小+ 等掣+ 等掣川 2 瓢+ 刍+ 声1 p + 万1 川 珥c + 警+ 笋+ p 。l i 女 + 帮+ 字川x 瓢南罪而 制p 飘k 等瓢 o 1 p 。j | m 刈引，船的年孚， 1 l 芦a l 【。( 七) p 1 + 巫盟+ 盟+ 1 。p ( m - 1 ) 8 。p “3 。 1 一p ( 。+ 1 ) o - s ) 1 一p 1 5 垡：! ：二翌：! p ( 1 ) s ( 1 一p l - s ) ( 1 一p 1 ) ( 1 4 7 ) 1 9 + 等 + 型矿 n 淼 一然 关于m 次剩余数的渐进性质和d j f j 曲l e tl - 函数的加权均值 ，3 ( s ) = 珥c-+妻半，t p = l = n ( - + 学+ + p d ( 【，p m - z k ) d ( 【，p r o - 1 i l k ) p ( m 一1 、sp r o s = 1 - - 1 ( + 警+ 等扣+ p k h p o l l k 鸳竺+ 垫竺h ) p ( m - 1 ) 3 。p m 5 一7 。 c ，+ 警+ 警+ 一+ 器+ 努+ hc + 等+ + 努+ 蔫+ 筹+ p o i i 女 1 + 筹+ 等+ ( t + ；+ 3 + pfk 1 仃zm、 + 石两+ 万+ ) x 黑1 十尹1 + 1 + - + 黟1 + 歹1 川 n 矿 1 o ( m 一1 + 嘉) + 声1 歹2 + 3 + + ) + 矿i y t - - 两o z + ) = 瓢等等罪碍1 瓢c 专兽署+ 三宴署一嘉， ：h ( i - - - 邶) - - 4 - f 罪碍1 鼎筹竽 ：器瓢黪熙弓1 黑= 擎 = 器罪前1 - - 上驯1 7 i - + 蔫卜 。“一1 1 4 ”一1 f 1 4 8 ) 第一章关于i t l 次剩余数的渐进性质 及 五( 。) ：( 1 + 妻丁o ( k , a ( n ) l k ) ) = l - i ( t + 竺盟生i 尝丛立+ 乎+ ，- + 竺铲 + 地：竺：竖2 + 1 十而- 1 7 = 取c t + 警+ m - - 7 2 + - t + 搿+ 警川 5 lt - + 警+ 警+ + 器+ 磐h 小 黑”警扣+ 岩十黠+ 器+ ，。、 + 筹挈+ 1 0 ( p “f - , - o ) 一) 。 口( m 1 ) s 。 口“s 。 。7 = p k 1 一p r o ( 1 5 ) 百i 芦丽而 骤哥1 一筹 p o 忙 一坐二! ! ! 盟 一( ( m ( s 一1 ) ) p - ( o + l 】3 + 1 歹可可i i 瞄掣笋+ 而p - ( a + 而1 ) s + l1 一p m ( 1 5 )。1 一p m ( 1 3 ) 与定理1 8 同样的方法，对，2 ( s ) ， ( s ) ，和 ( s ) 分别利用p e r r o n 公式，得 a ( ( ，n ( n ) ) ) b o 2 1 南 裟 n 等 然 一n 然 羞王望达型垒墼塑逝遵仕质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 d ( 限n ( n ) n o = 鼢蹦止( s ) 等+ d ( z 扣) = 【，2 ( s ) 警k + o ( 扩1 ) ( 1 - 5 0 ) = d ( o ( 七) ) z + o ( 。i 1 + e ) = r e s 。；，厶( s ) 了2 ：s + 。( 。；+ ) 2 。l i m ( 8 - 1 ) 2 蒯了x s 】7 + 。( ( 1 5 1 ) = 帮州n 一2 7 一- 一搿，+ ，坐! ! ! ! 1 2 ! ! ! 型! 1 2 “ ( ( m ) 其中6 ( 1 ) = i i 蒜，c ( 1 ) =i i ( 1 + 摘) p o i 口o l | 及 盯( 女，a ( 扎) n = r e s 删 ( 5 ) + o ( 。1 + 6 ) m s ：f 厶( s 1 竺1 。一，+ ( 1 + t1( 1 5 2 ) 0 o z ) = 丘( s ) 冬】瑚+ ( 1 + ) d = 鬻“。 其中“( 2 ) = 导，”( 2 ) = it 1 匀1 卫1 ， p o p。|k 上三式即式( 1 3 8 ) ，( 1 3 9 ) 及( 1 4 0 ) ，从而定理1 9 ，定理1 1 0 ，和定理1 1 1 也得到了证明 注：利用同样的思想方法还可以计算e u l e r 函数的均值，此处不再鏊述 2 2 塑三童 关于d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 第二章关于d i r i c h l e tl 函数的加权均值 1 引言 设整数q 2 ，x 为模q 的d i r i c h l e t 特征，对任意的整数m ，g a u s s 和g ( m ，) ( ) 的 定义如下 其中e ( n ) = e 2 “ g ( m ，x ) = q ) ( ( 8 ) e ( 等) a = l 1 关于g a u s s 和的性质，许多数论教科书中都有阐述，也许g ( m ，x ) 的最重要的性质 就是：当( m ，q ) = 1 且x 为模q 的原特征时有i g ( m ，x ) l = g i l ，对于非原特征，奇特征， g ( m ，x ) l 的值变化较大，也就是说，对不同的特征x ，| a ( m ，) ( ) l 的值很不规则! 然而 在许多加权值中i a ( m ，) ( ) 1 又表现出良好的值分布性质。最典型是d i r i c h l e tl 函数的加 权均值，而有关这一问题已有很多学者进行了研究 o 。 其中主要有：设) ( 为模g 的d i r i c h l e t 特征，l ( s ，x ) = fx ( 礼) 札一5 表示对应于x n = l 的l 一函数，对于任意整数m 及正整数k ，文献1 2 利用解析的方法研究了d i r i c h l e tl 一 函数的2 k 加权均值k ( x ) l “ii l ( 1 ，x ) 1 2 2 的渐进性质，其中表示对模q 的所有 x x ox x o 非主特征求和，给出了一个较为精确的渐进公式 文献【1 3 、 1 4 】分别研究了i g ( m ，x ) 1 2lf l ( 1 ，x ) 1 2 2 和l a ( m ，x ) 1 2l i l ( 1 ，) ( ) x x ox x o 的渐进性质，也得到了其渐进公式， 本文利用特征和估计，三角和估计及其解析方法，研究了d i r i c h l e tl 一函数的2 k 次 加权均值 i a ( m ，x ) i2 il ( 1 ，x ) l2 的渐进性质，其中 表示对模q 的所有 x m o d qx t h o 由 x ( - 1 ) = 一1x ( 一1 ) = 一1 奇特征求和 2 3 关于m 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值2 4 2 d i r i c h l e tl - 函数的二次加权均值 定理2 1 设整数q 2 ，对任意的整数竹k 且( m ，q ) = 1 ，我们有均值公式 i g ( m ，x ) x t n o a q x ( - 1 ) = - l 1 2 i 坤卜掣 a 骣+ 冲+ d ( 声1 ”) 其中， 表示对模q 的所有奇特征求和，妒( q ) 为e u l e r 函数，n 表示对所有整 x t 7 t o d q p l 口 x ( - 1 ) = - l 除模q 的素数p 求积，e 为任意固定的正数 为了方便定理的证踞，我们引入以下几个引理 引理2 1 设整数q 2 ，则有恒等式 轰阪圾胪= 掣f 。骣”扣) ”2 ) 证明：参阅文献 2 1 】 引理2 2 设整数q 2 ，x 为模q 的d i r i c h l e t 特征，则有估计式 孚 di x p d 十1 ) l ( 1 ，x ) l 2 = o ( q 净) ( 2 3 ) 卅g r = l x m o d q x ( 一l 】_ 一1 证明：为书写方便，记 则由a b e l 恒等式容易推出 a ( x ，可) = x ( n ) q n 硼2 。萎。掣+ z 。掣咖 pt ， 第二章关于d j r j c h l e tl 一函数的加权均值 由( 2 - 4 ) 式有 l ( 1 ，x ) 1 2 从而有 + 蚴x ( , 0f ”掣幽 ”。， + 蜘e ；。掣z 。掣厂掣d ” ：。掣由 d 训g r = l d d l q r = l + d 圳口r = l + d d k r = l + d d l 目r = 1 i x ( r d + 1 ) i l ( 1 ，x ) l 2 x m o d q x ( 一1 ) = 一1 x m o d q 心川h 。萎。掣h ，蒹。掣， 1 n g1 m q x ( - l 、= 一1 x ( r d + 1 ) ( 萎。掣) ( j ( 。0 掣瑚l x m o d q 1 g 。o 。 时圳，蒹。掣) ( z 。掣训 x m n d q l m q ”o 。 三l 1 + l 2 + l 3 + l 4 时圳c z 。掣剐c 厂掣剐 下面分别估计上式中的各项： 1 ) 首先由模q 的特征和的正交性知，当( 1 n m ，q ) = 1 ，时，有恒等式 ) ( ( f ) ) ( ( n ) 元( m ) = x r a o a q ( 一1 ) = 一l ：北) ，当f n 兰m ( m o d 口) 时 一；妒( q ) ，当f n 三一m ( m o d q ) 时 0，其它 2 5 掣 铽 x 一 | | 耀 关于1 1 1 次剩余数的渐进性质和d i r i c h l e tl 一函数的加权均值 由此可得 l 。= 刎口 r = l d1 x ( r d + 1 ) ( 掣) ( 掣) xmd由lnq1 m 口 至d l掣而1r=l n ( r d + 1 ) - ；m ( m o dq i _ “ +dlq至川一掣)，-m，而1r=ln ( v d + i - m ( m o dq ) 掣击宴嘉 + 至d ( 一掣) d l q r = l 一 n 妒( q ) d 赢 d l q r = 1 刊q ) 萎南r = l 鲥口 妒( q ) 口r = l 咿( g ) d ( q ) i n q = q 1 + 2 ) 由p o l y a v i n o g r a d o v 定理知，对任意y l 有 于是 r d + 1 a ( x ，y ) i q i 十 上 ( 2 7 ) 厶! 一亿2 ，毳。时删，萎。掣，c ：。掣 m o 由