（基础数学专业论文）共形映射与区域的双曲度量.pdf

摘要 本文主要研究共形映射与矩形区域的双曲度量及共形度量的双曲凸性 共形映射理论足复变函数论的一个分支，也是函数论中重要的研究方向 之一，它是用几何的观点来研究复变函数，是解析函数的几何理论随着人们 对共彤映射的研究的不断深入，共彤映射理沦已逐步渗透到数学其它分支、 物理学和工程技术等各个领域，为其它学科的发展提供了有力的研究工具 本文共分三章： 第一章，绪论在这章中，我们简单介绍了共形映射和双曲度量的概念、 性质及其相关知识；并简要地介绍了本文的研究背景和主要结果 第二章，矩形的双曲度量本章利用椭网函数的性质，给出了矩形区域在 中心周围四点处的双曲度量密度，并结合共形模的知识，给出了模为m 的一类 矩形区域在相应四点处的双曲度量密度；一般地，给出了矩形区域内的两条 线上任意点的双曲度量密度；还讨论了矩形区域的测地线 第三章，n e h a r i 函数族与共形度量的双曲凸性我们称满足n e h a r i 单叶性判 据的解析函数全体所组成的集合为n e h a r i 函数族在本章中，我们介绍了s c h w a r z 导数与n e h a r i 函数族的基本理论；结合双曲凸函数的概念，我们讨论了s c h w a r z 导 数在一般情形即满足i s ，( z ) js2 a ( 1 + ( 1 一q 州2 ) ( 1 一i z l 2 ) ，( 1sas2 ) 的n e h a r i 函 数族与共形度量的双曲凸性，得到了单位圆盘在n e h a r i 函数作用下的像区域 的共形度量为双曲凸函数的条件 关键词：共形映射；双曲度量；椭网函数；共形模；s c h w a r z 导数；n e h a r i 函 数族；双曲密度；双曲凸函数 a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w es t u d yc o n f o r m a lm a p p i n g sa n dt h eh y p e r b o l i cm e t r i co fr e c t a n g l e s b e s i d e s ，t h eh y p e r b o l i cc o n v e x i t yo fc o n f o r m a lm e t r i ca n dn e h a r ic l a s si sa l s od i s c u s s e d c o n f o r m a lm a p p i n gi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ff u n c t i o n so fc o m p l e xv a r i a b l e ，i ti st h eg e o - m e t r i c a lt h e o r yo fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，w i t ha ni n t e n s i v es t u d yo fc o n f o r m a lm a p p i n g s ，i tp l a y s a ni m p o r t a n tr o l ei nt h ef i e l d so fp h y s i c s ，t e c h n o l o g ya n do t h e rb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，i t p r o v i d e sa nu s e f u lr e s e a r c ht o o lf o rt h ed e v e l o p m e n to fo t h e rs u b j e c t s t h ef u l lt h e s i sd i v i d e si n t ot h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 ：p r e f a c e t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ee x p o s i t i o no ft h eb a s i ct h e o r yo f f o r m a lm a p p i n g sa n dh y p e r b o l i cm e t r i c ，i n c l u d i n ga ni n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n do f p r o b l e m sw h i c ha r ed i s c u s s e di n t h i sp a p e r ，b e s i d e s ，t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r e b r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i sc h a p t e r c o n t h e a l s o c h a p t e r2 ：o nt h eh y p e r b o l i cm e t r i co fr e c t a n g l e s b yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fe l l i p t i c f u n c t i o nw eg e tt h eh y p e r b o l i cm e t r i c so f ar e c t a n g l ea tf o u rp o i n t sa r o u n di t sc e n t e ra n dt h e h y p e r b o l i cm e t r i c so fak i n do fr e c t a n g l ew h o s em o d u l u si sm ；b e s i d e s ，af o r m u l a ef o rt h e h y p e r b o l i cd e n s i wo ft w ol i n e so far e c t a n g l ei sg i v e n ，w h i l e ，t h eh y p e r b o l i cg e o d e s i c so fa r e c t a n g l ea r ea l s od i s c u s s e di nt h el a s ts e c t i o n c h a p t e r3 ：o nt h e h y p e r b o l i cc o n v e x i t yo fc o n f o r m a l m e t r i ca n dn e h a r ic l a s s d e n o t e t h ef a m i l yo fa n a l y t i cf u n c t i o n ss a t i s f y i n gn e h a r i su n i v a l e n c ec r i t e r i o nb yn e h a r ic l a s s i n t h i sc h a p t e r ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m eb a s i ct h e o r yo fs c h w a r z i a nd e r i v a t i v ea n dn e h a r ic l a s s t h e nw es t u d yt h eh y p e r b o l i cc o n v e x i t yo fc o n f o r m a lm e t r i ca n dn e h a r ic l a s sw h o s es c h w a r z i a n d e r i v a t i v e ss a t i s f yi s s ( z ) i 2 a ( 1 + ( 1 一q ) i z l 2 ) ( 1 一f z 2 ) 一2 ，( 1so t 2 ) ，a n dg e tac o n d i t i o n f o rt h eh y p e r b o l i cc o n v e x i t yo fp o w e r so ft h ep o i n c a r 6m e t r i co ft h ei m a g e k e y w o r d s ：c o n f o r m a lm a p p i n g ；h y p e r b o l i cm e t r i c ；e l l i p t i cf u n c t i o n ；c o n f o r m a lm o d u l u s s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ；n e h a r ic l a s s ；h y p e r b o l i cd e n s i t y ；h y p e r b o l i c a l l yc o n v e xf u n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：f 寸小茵 签字自期：沙纱年多月够日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：付小静 签字日期：砌8 年6 月陟日 撇名：删乞 签字日期：妒睁6 月5 一日 1绪论 1 1 研究背景及意义 共形映射理论足复变函数论的一个分支，也是函数论中重要的研究方向 之一，它足用几何的观点来研究复变函数，是解析函数的几何理论共形映射 在数学的一些分支中有着不少应用，如拉普拉斯方程的边值问题；然而，共形 映射又与物理学中的概念有着密切的联系，在物理学中许多领域有着极为重 要的应用；它成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场 与热场理论以及其他方面的许多实际问题h e 茹科夫斯基应用著名的茹科 夫斯基函数作为出发点来研究各种飞机机翼截而，足很有成效的不但如此， 2 0 世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从共形映射理论到拟共形映射 理论的发展 对于共形映射，我们要考虑什么样的区域之问存在共形映射或什么样 的区域之间是共彤等价的? 由于区域的一般性使得解决复平面区域问共形 映射的存在性问题变得相当复杂r i e m a n n 于1 8 5 1 年在他的博士论文中研究 了r i e m a n n 曲面上的共形映射，为共形映射的研究开辟了新的篇章他在论文 中给h 了r i e m a n n 映射定理，此定理保证了非全平面的单连通区域与单位圆盘 之间有共形映照，它表明任意两个单连通区域是共形等价的 根据r i e m a n n 映射定理，单位圆盘d 到任一单连通区域s 2 都存在共形映射，由 于双曲度量具有共形不变性，给定d 的双曲度量密度，就可以通过找出单位圆 盘d 到单连通区域q 上的共彤映射，从而计算出区域q 的双曲度量密度 由于区域q 的双曲密度函数a n 具有单调性，这样可通过比较q 和一些已知 双曲度量密度的区域，对某些给定区域q 进行密度估计可足，由于这种已 知双曲度量密度的区域较少，于是有必要对更多区域的双曲度量密度进行 研究a h l f o r s 和m i n d a ，还有其他很多学者很早开始就对双曲度量进行了广泛 而深入的研究( 见【l 】 2 】【3 【4 】) ，那时的研究大多是围绕双曲度量的性质及其相 关知谚 而进行的；最近b e a r d o n ( 见6 ) 研究了矩形区域的双曲度量，得到：对 于矩形区域r = ( 一k ，k ) ( 0 ，k ，) ，有a r ( i k 尹 ) = 1 + k ，( 0 k 1 ) 其中k ，k 7 为椭 圆积分( 见 4 】 7 8 】) b e a r d o n 给出了矩形区域r 在中心点处的双曲度量密度，根 据s c h w & r z c h r i s t o f f e l 公式，矩形区域r 到上半平面的共形映射彤如椭圆函数，虽 然椭网函数比较复杂，但它却有很多有用的性质，结合这些性质我们可求出 矩形区域在其它点处的双曲度量密度；然而，这样得出的结果是非常有限的， 我们结合矩形区域的共形模，这样即可给出模为m 的一类矩形区域在相应点 处的双曲度量密度 一 随着人们对解析函数的s c h w a r z 导数的不断深入的研究，学者们发现s c h w a r z 共形映射与区域的双曲度量 导数和共形映射之f 0 j 存存内存的联系，关于这方而的开创性工作是由n e h a 。i 作 出的，他证明了一个定理，揭示了解析函数的s c h w a r z 导数的增长与函数的单 叶性之i b j 的联系 c h u a q u i ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 9 】中提剑：n e h a r i 函数与共彤度量的双曲凸性之 问存存某种联系这足由于对任意m 6 b i u s 变换t ，有s t 。f ：s ，结合双曲凸函数 的性质，有单位圃d 在解析两数作用下的象通过m 6 b i u s 变换所得区域的双曲 度量与单位圆d 的双曲度量有相同的凸性；另一方面，若共形度量的双曲凸性 存m s b i u s 变换下具有不变性 对于n e h a r i 函数与极值共彤度量的双曲凸性，c h u a q u i ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 等 人很早就进行了广泛研究，通过双曲度量次幂的双曲凸性来刻i 雨i n e h a r i 函数 的特征，并在 9 】中证明了：若，为d 内的解析函数，且q ：，( d ) ，且厂满足n e h a r i 准 贝, l j s j ( z ) l 2 ( i 一2 ) ，则对耶，任意m 6 b i u s 变换丁，a 孕为双曲凸函数随 后，c h u a q u i 等( 见 1 0 ) 再次对此进行了深入的研究 c h u a q u i ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 等研究的n e h a r i 单叶性准则所对应的极值共形 度量恰好为极值区域的双曲度量，而对于s c h w a r z 导数存一般情形即满足1 s f ( z ) l 2 a ( 1 + ( 1 一q ) 2 ) ( 1 一2 ) 一2 ，( 1 a 2 ) 的n e h a r i 函数族与共形度量的双曲凸性条 件知之甚少，这促使我们进行本文的研究 1 2 预备知识? 我们把解析函数所实现的映射称为解析映射，或全纯映射 定义1 2 i i i 】若解析映射f ：q g 是区域q 上的单射，且是到g 的满射，则 称，是区域q 到g 的共形映射 对于区域q ，有q 内的单叶解析函数的导函数处处不等于零，于是处处保 角；从而，区域2 上的共形映射与q 上的单叶解析函数实质上是相互等价的概 念因此，我们通常又把单叶解析函数所确定的映射称为共形映射或共形映 照由此可见，共形映照有两个要素：即单叶和解析 若区域q 与g 之间存在一个q 到g 的共形映射，则称q 与g 解析同构或共形等 价，而q 到g 的共形映射称为解析同构映射 一个区域2 上的全体n 到自身的解析同构映射，在复合运算作为乘法的意 义下，构成一个群，通常记做a u t ( f 1 ) ，并称之为q 的解析自同构群确定一个区 域或一个r i e m a n n 血面的解析自同构群常常是很重要的，尤其是对一些常见的 区域若记单位圆为d = z ：h 0 这样的映射妒是惟一的 热传导、流体力学和静电学中的许多物理问题都有其截口为多角形的边 界，因此，如果能找到一个对应的映射w = ，( z ) ，把z 平面上的这种多角彤区域变 成w 平面的上半平面，并且将多角形变成实轴，这对我们解决物理问题是有很 大帮助，因为我们得到的足简化的区域形状h a s c h w a r z 和e b c h r i s t o f f e l 于1 9 世 纪6 0 年代就开始对此进行了研究的，并给出一个很有用的映射公式即施瓦 兹一克里斯托费尔( s c h w a r z c h r i s t o f f e l ) 公式，讨论将单位圆内部或上半平而内部 共形映射到多边形内部的解析函数 定l 里i i 1 3 】设函数叫= ，( z ) 把上半平面共形映射成顶角为风( o 仇 2 7 r ，凤7 r ；k = 1 ，2 ，3 ，礼) 的多角形的内区域p ，而且实轴上的点z k ( 一。 z 1 z 2 o ，使得q ( z 1 ，z 3 ，z 4 ) 共形等价于矩形r ( o ，o ，口+ b i ，h i ) 这里比例罟由四边形q ( z 。，z 2 ，z 3 ，z 4 ) 惟一地决定 定义1 2 3 1 1 5 】若拓扑四边形q ( z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 ) 共形等价于矩形n ( o ，o ，o + b i ，b i ) ，则 称暑为拓扑四边彤q ( z 1 ，锄勿，z 4 ) 的共形模，并记之为m ( q ( z 。砌，魂) ) ，或简记为 m o d ( q ) 。 根据上述定义可知，矩形r ( o ，n ，a + b i ，b i ) 与本身共形等价，于是其模为m o d ( r ) = n b 1 3 本文主要结果 b e a r d o n ( 5 】中研究了矩形区域在它中心一点处的双曲度量密度，在第2 章中， 我们利用了椭圆函数的性质，讨论了矩形区域在中心周围四点处的双曲度 量密度，并结合共形模的知识，给出模为m 的一类矩形区域在相应四点处的双 曲度量密度；一般地，研究了矩形区域内的两条线上任意点的双曲密度，得到 如下主要结果： 定理2 1 设矩形区域r = ( 一k ，k ) ( 0 ，k ，) ，( 0 k 1 ) ，则有 州半m r ( 掣) = 何丽 定理2 2 设矩形区域r = ( 一k ，k ) ( o ，k ，) ，( o k o ) 则有 a r ( 0 ( 一扣锄( 争 共形映射与区域的双曲度量 = ( 1 + 2 。三= 1c 。s h l ( 2 n ) ) 【( 1 + 2n 兰= lc o s h l - ( 4 n ) ) + 讵( , , = 1 c o s 土h ( 4 一n ) 一。三= 1c o s h l ( 2 n ) ) 钆 岫f ) ( = a n q ) ( 一百7 r ) - 【2 ( 1 + 2 三志高) ( 1 + 2 。一= 1c o s h 。( 2 n 1 ) ) 5 定理2 4 对于m o d ( d ) = l 的正方形区域d = ( 一o ，。) ( 一o ，n ) ，有 a 。( 善) = a 。( 一互a ) = 墨竺三尘二，入。( 筹) = a 。( 一i a i ) = 墨兰警 定理2 7 设模蔓j m o d ( r 3 ) = m 的矩形区域r 3 = ( o ，m a ) ( o ，o ) ，则有 概( 等+ 争砘( 等+ 争柙+ 2 薹忑高) _ 2 v 不f + k ) 概( 警+ 警) = 砘( 警+ 等) = 丌( 1 + 2 主忑去孬) 坠誓等巫 其中 南= 4 e 一焉丌( 妄= 而) 4 n = l 定理2 8 设矩形区域r = ( - g ，k ) ( o ，k ，) ( o k 1 ) ，则有a 兄( “+ 下i k ) ： 坐鼍毫詈尘，其中u ( ，- k ，k ) 。 定理2 9 设矩形区域r = ( 一k ，k ) ( o ，k ，) ( o k 1 ) ，则有a r ( i 口) ：。d - - ，其 中口( o ，k ，) ，s 7 = s n ( v ，七，) ，c = c n ( v ，k ，) d 7 = d n ( v ，南，) 。 在第3 章中，我们结合双曲凸函数的概念，讨论了曼h w a r z 导数在一般情形即 满足i s i ( z ) l 2 a ( 1 + ( 1 一a ) l z l 2 ) ( 1 一i z l 2 ) ，( 1 q 2 ) 的n e h a r i 面1 数族与共形度量 的双曲凸性，得到了单位网盘在n e h a r i 区| 数作用下的像区域的共形度量为双 曲凸函数的条件我们得到如下定理： 定理3 1 设厂为d 内的单叶解析函数，且n = ，( d ) ，若，满足n e h a r i 单叶性条 t 牛l s a z ) l 2 a ( 1 + ( 1 一q ) 2 ) ( 1 一i z l 2 ) ，( 1 q 2 ) ，则对v p 字，对q 内任意m 6 b i u s 变 换t ，a ；( n 1 为双曲凸函数，其中9 = t 。， 定理3 3 设，( z ) = o o + a l z + a 2 2 2 + 在z = o 的邻域内解析，若( 1 一2 ) a l ，协) i 在z = o 取到局部最大值，则n 2 = 0 ，l a 3 i 罟1 0 1 i ，且i s s ( o ) l 2 a ，其中1 q 2 6 2 矩形的双曲度量 2 1 预备知识 设上半复平而上的双曲度量为抽( z ) i 如i ，其中抽( z ) = i 盖为皿的双曲密度 若，为皿到单连通区域s 2 上的任一共形映射，由于双曲度量足共形不变量，于是 有 ( 2 1 )a h ( z ) = a n ( ，( 石) ) l ，( z ) i 由于区域q 的双曲密度函数a n 具有单调性，即：若区域u 和y 都共形等价 于衄，且uck 则在u 上有a v a u 这样就可以通过比较q 和一些已知双曲度量 的区域，对某些给定区域q 进行密度估计可是，由于这种已知双曲度量的区 域较少，于是有必要对更多区域的双曲度量进行研究a h l f o r s 和m i n d a ，还有其 他很多学者很早开始就对双曲度量进行了广泛而深入的研究( 见【1 【2 【3 】 4 】) 最 近b e a r d o n ( 见【5 】 6 】) 研究了矩形区域的双曲度量，得到以下结果： x , ：t t ： g n 区域r ( f ) = ( - l ，f ) ( - i ，暑) ，有 咖) ( 0 ) 一+ 2e 而1 而对于正方形区域d = ( 一o ，o ) ( 一n ，o ) ，有) 、d ( o ) = 型必a 盈对于矩形区域r = ( 一k ，) ( o ，k ，) ，有入r ( i k 2 ，1 = 1 + k ，( o k 1 ) 其中kk 7 为椭圆积分( 见 4 】 7 】 8 】) ，分 别定义为 k 垒k ( q = z 1 了丽 南，k 全k ( 南) = 一i v 了丽乏蠢 b e a r d o n 5 】中研究了矩形区域在它中心一点处的双曲度量密度，本章我们 将利用椭圆函数的性质，讨论矩形区域在中心周围四点处的双曲度量密度， 并结合共形模的知识，给出模为m 的一类矩形区域在相应四点处的双曲度量 密度；一般地，研究了矩形区域内的两条线上任意点的双曲密度；还讨论了矩 形区域的测地线 设矩形区域r 定义如上，可作狂丑到只的共形映射f ( z ) ；把h _ l 的点一 ，一1 ，1 ，；分 别映到r 中的点一k + i k ，一k ，k ，k + i k ；h i t s c h w a r z - c h r i s t o f f e l 公式( 1 1 ) 得： 砟) = j ( 2 而蠡，( 0 k 1 ) 其反函数s n ( z ) 是椭圆正弦函数，可知s n ( z ) 足以( 4 k ，2 i k 7 ) 为周期的奇函数( 见【8 】【1 6 】 1 7 1 1 8 1 9 ) ，且8 n ( i k 7 一z ) = 一面高，于是s n ( z ) s n ( i k7 一孑) = 一i 1 另外还有加法公式 ( 2 2 ) s n ( u + ) = s n ( u ) c n t ( v ) d 巧n ( v 丽) + 丽s n ( 再v ) c n 广( u ) d n ( u ) 共形映射与区域的双曲度量 和二倍角公式，若记s = s n ( u ) ，c = c n ( “) ，d = d n ( u ) ，c = c n ( 2 u ) ，d = d n ( 2 u ) ，则有 ( 2 3 ) s 2 = 而1 - c ，c 2 = 篙，d 2 = 而c + d 2 2 矩形区域n , n r ( t ) 的双曲度量 2 2 1 矩形区域r = ( 一k ，k ) ( 0 ，k 7 ) 的双曲度量 对于如上定义的矩形区域r ，吐j b e a r d o n 【5 知s n ( t i k ) = 丽i ，而s n 2 ( 让) + c n 2 ( u ) = 1 ，k n 2 ( u ) + d n 2 ( “) = 1 ，s n ，= c n ( u ) d n ( 乱) 于是有c n ( 警) = 州半) 咄( 证明：由于s n ( k ) = 1 ，c n ( k ) = 0 ， ( ，“一，c n ( 争属 下k + i k ) ：以丽i - - - - - - 一 ，i o ，v 一、一。， d n ( 譬) = 瓜， 由二倍角公式( 2 3 ) 知s n ( 等) = ，d n ( 等) = 岛”，由加法公式( 2 2 ) 可算得 州一k+ik，：坐,_笔1焉骆i一-_k,l7：一vt+k+iv压-k 而( 鼍铲) 2 ；两2 + 2 k = 2 ，故 ，k + i k 、厕+ i 僻 饥【t ) _ 丽广 - 、z k 进而( 半) = 与等 于是有 d n ( 半) ：店( 厕一i v f f - k ) 冰半h ( s n ( 半) ) 陋7 ( 半肛砰1 佃( 半) d n ( 半) 因此有a r ( 删2 、_ j 、厄丽 又由：# s n ( z ) s n ( i k 7 一z ) = 一丢令z = 鲥笋，即有 进而有 于是 s n ( 半) = 堑学 州半，= 与警，a n c 半 州掣) = 砰1 一小n ( 半胁( 半肛网 故有a r ( 华) = a r ( 半) - 、伍再面 8 定理2 2 设矩形区域兄= ( 一k ，k ) ( o ，k f ) ( o 七 1 ) ，则有a r ( 下i k ) ：a r ( 擎) ( 1 + 瓜) 们了1 证明：由于s n ( 丁i k ) = 去 由二倍角公式( 2 3 ) 得 c n ( 等) = 疆，d n ( 巡2j k 佩 叫了i k ，2 可( 1 瓜i 丽- 1 ) - i ，c n c 竿，= c 巫1 j + 塑l v f f - - 4 - - 乏汽州等，：c 笪1 蔓+ 尘i v i - 户 于是 h ( 丁i k t ) 2 丽1 小n c 竿m c 等恃专署罴 = ( 1 + 饭) 以再 又由于s n ( t i k ) s n ( 擎) ：一 于是 s n ( t 3 i k ) ：罢墅， 4 七( 、l + 一1 ) o 亍是 c n ( 学h 1 + 者焉戌州孚h 辱等，； 州擎，= 两1 | c n c 了3 i k 灿c t 3 i k 肛黑 = ( 1 + 橱俑 故有妇( i k 。 ，= h ( 学) ：( 1 + 弧) 以瓢 注： 特别地，对于矩形区域r = ( - k ，k ) ( o ，k ，) ，( o 南 1 ) ，结合定理2 1 和2 2 有： 当忌_ o 时，k ( 忌) 。詈，k 似) 一l o g ，( 趋于+ o 。) 此时冗接近于( 一考，暑) x ( o ，l 。g ) ， 而1 0 9 _ + o 。( 当七一。时) ，此时尺接近于半带形s l = ( 茁+ 蚓 o ) 由上述 两定理得： h ( 三+ 华7 1 + 孚) 砸h ( 丁i l 0 9 4 h “挈( 半) - 1 当岛_ l 时，k ( 后) 一l o g 刁，k 协) 一号，此时月接近于带形岛：扛+ 匆i o 可 罾l ， k ( 矿刀 i a s 2 ( i 3 7 r i ) _ 2 讵 ：( 孕+ 争吲一下：o g + 弘埘争2 b ，e a r ，d o n 5 1 知，对于带形区域s 2 = z + i y l o 0 ，都存在七， 使得鼎= 华，即第= 面7 1 ，且可作共形映射，( z ) ：r r ( 2 ) ，厂( z ) = 豢+ 1 定义函 数q ( 七) = e 一嬖，于是有q ( 南) = e - 4 f ，而a r ( 2 ) = a n ( 0 ( ，( z ) ) l ，他) l ，因而有 于是有 ( 2 4 ) 同理有 ( 2 5 ) 撕( 扣孚( 半) = i 2 k 何两， ( 一百7 ) = i 2 k ( 丝笋) = 了2 k 何啊 a 酬三) = a 酬一百7 f ) = i 2 k 丽 a n ( 0 ( 一；) = 蛔“圭) = i 2 k ( 1 + v 伍) v q - + k 又a r ( 丁i k ) = a r ( 0 ( 0 ) 索，于是a r ( f ) ( o ) = i 2 4 ( 1 + 岛) b e a r d o n 5 】知 咖( 。) = l + 2 。= 1 c o s h l ( 2 n )玳肛尹7 1 + 2 薹高， 故有 油1 ) ( 。) ( ) ( 1 + 2 薹南) _ 1 + 2 n 子= l 上c o s h ( 2 n ) 因而可求得南，分别代x ( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得： 蛔i ) ( 一剐) ( - 护7 1 孚厕_ ( 1 + 2 薹南) - 【2 ( 1 + 2 薹高) ( 1 + 2 , 三, = 1c o s h l ( 2 n ) ) 且a n ( f ) ( 虿- 1 ) = a 删( ) = ( 1 + 2 墨l 孤1 ( 4 n f ) 12 o o = 1 凼) 阳+ 弧) 丽1 戌”2 薹高灯v 互( 蠡z 1 硒薹南内 即得以下结论： 定理2 3 设矩形兄( z ) = ( - t ，z ) ( 一i 1 1 ，考) ，( z o ) 则有 a n o ( 一j 1 ) - 蛔2 ) ( ；) = c ，+ 2 薹忑南崩c ，+ 2 三o o 。咖1 。铡，) ；+ 讵c 薹磊赤面一薹磊南向 南 州 丽一m s一 1 m 江两师范人学硕士学位论文 2 3矩形区域的模与双曲度量 对于矩彤区域r ：( 一k ，k ) ( o ，k ，) r = ( o ，2 k ) ( o ，k ，) 可作共形映射，：r r + ：，( z ) = z + k ，定义舻的共形模m o d ( r + ) = 簪= m o d ( r ) 定理2 4 对于m o d ( d ) = 1 的正方形区域d = ( 一o ，o ) ( 一o ，n ) ，有 入。( 量) = ) 、。( 一互a ) = 2 4 2 2 4 0 ， 蛔( 警) = 蛔( 一詈) = 2 4 2 2 4 n 证明：对于上述矩形区域r 若有k ，：2 k ，则r 为m o d ( r ) ：1 的正方形区域， 由已知有d 为中心在原点，边长为2 0 的正方形区域d = - a , ) x ( 一n ，o ) ，于是 有m o d ( d ) = 1 ，则可作共形映射g ( z ) ：r d 其中g ( z ) = 幽k 于是a rz ) = a d ( 夕( z ) ) 叭z ) f ，即有a r ( 譬) = a d ( o ) 霄a ，于足得a v ( o ) = 掣( 1 + 岛) ，其中砖满足k 协) = k ( 七) 于足詹= t a n 2 詈= 3 2 以 b e a r d o n 5 】知有入d ( o ) = 丛坠a 盈，故有a d ( o ) = 垡警亟( 4 2 以) = 掣，即k ( 3 2 以) ：1 5 8 2 5 进而有 捌争孙( 学) = 芸何两，圳一互a ) - k 。a n ( 于是有 k + k i 2 a 。( 争a 。( 一扩a _ k ( 3 - 2 v 2 ) v 2 ( 4 - 2 v 2 ) = 1 2 4 2 2 4 同理可算得 吲争坝一a i = t k ( 3 - 2 v 互) 丽= ) = 等俪啊 2 4 2 2 4 定理2 5 对于m o d ( r 1 ) = 击的矩彤区域r 12 ( o ，n ) ( o ，孚) ，有 概( i a + 孚) 咄。( 了3 a + 孚) = 半 ( 詈+ 孚h “兰+ 下3 v 信a ij = 半 证明：对于上述矩形区域r ，若有k = 瓶k ，即r 为m 0 d ( 冗) = 击= m 。d ( r - ) ，此 时有南= 务，k ( 券) = 1 5 9 8 1 由已知r - = ( o ，n ) ( o ，孚) ，作共形映射h ( z ) ： r r 1 ， ( z ) ：锣，有a r ( z ) ：a r ，( h ( z ) ) i 九) i 结合定理2 1 和2 2 即得： 吲半r 。( 3 a + 4 - 3 a i ) 懈圳，州尘笋) = a r t ( 竽乎) | i 概( 华) = a r t ( 3 a + v 信a i ) = 2 k u ( k ) v 狐+ k ) 同理可得 概( 互a + 孚) = 概( 互a + 下3 x 3 a i ) = 掣( 1 + 蛹佣 经计算得鼍粤乖了可= 华，掣( 1 + 弧) 师= 警 即证 若k 7 = 以k ，则有k = 以一1 ，k ( 以一1 ) = 1 6 4 5 5 m o d ( r ) = 以= m o d ( r 2 ) ，并 设矩形区域r 。= ( o ，。) ( o ，费) ，同理可得以下推论： 推论2 6 对于m 列( 兄。) = 以的矩形区域r 2 = ( o ，n ) ( o ，费) ，有 概( i a + 字) = a r 2 ( - 警+ 字) ： 型砺( 以一1 ) 5 5 3 5 0 n n 概( 罢+ 字以j a + 丁3 v 2 a i ) = 缨出辱迪；可6 4 3 2 7 更一般地，对于模为m 的矩形区域有以下结论： 定理2 7 设模为m 。d ( r 3 ) = m 的矩形区域r 3 ：( o ，m n ) ( o ，n ) ，则有 抵c 等+ 争概c 等+ 争m + 2 薹两1 ，挈 坻( 警+ 筹) 。枫( 警+ 等) = m + n 嘲k 1 丽) 其中 七= 4 e 蒿f i ( 。一l 蔷+ + e 等e 事) 4 证明：由已知可作共形映射，( z ) 入r a ( ，( 2 ) ) l ，( z ) i 即有入r 。( 他) ) = 掣 e 一 r 甏= e 一鲁，由b e a r d 。n 【5 】知 ( 1 + 狐) 廊 r _ r a ，( z ) = 繁+ 警，于足有a r ( 名) = a | r ( z ) ，其中足使得错= 鬲2 ，作函数g ( 七) ： k c 地，= 三e l + 4 薹番每，2 三e ，+ 2 薹忑未莉，七2 = ，6 q 娶。帝1 + q 2 n ，s 于是 皓4 e - & 娶( 舞) 4 - 而a 凰( 半+ 譬) = a 凡( 孕+ 警) = 呈幽r f l , a a r ( 魁笋) ：鲨m 盟a 盯了可故有 砘c 等+ 争坻c 等+ 争川+ 2 薹南，挈 同理可得 坻c 警+ 筹，2 概c 等+ 了3 a i ，= 丌( - + 2 n 子- - - - i c o s h 南) 坠学 即证 2 4 矩形区域内曲线的双曲度量 前面利用椭圆函数的性质及双曲度量的共形不变性，讨论了矩形区域r ： ( 一k ，k ) ( o ，k ，) ，( o k 1 ) 在围绕中一心四点处的双曲密度；现对上而的结论进 行推广得： 定理：8 设矩形区域r = ( k ，k ) ( o ，k ，) j ( o 南 1 ) ，则有a r ( 札+ 等) ： 世浆意掣，其中u ( - k ，k ) 1 2 江两师范大学硕士学位论文 证明：由加法公式( 2 2 ) 知 s n ( u + 等) = 由前而的讨论可知 代入上式即得 通过计算可得 s i l l , c n ( 等) d n ( 丁i k ) + s n ( 下i k ) 1 一k 2 s n 2 u s i l 2 ( 丁z k ) s n ( 丁i k ) = 丽i c n ( 等) = s n ( u + 等) = 1 孤 c n ( “+ t i k i ) = = l + k ( 1 + k ) s n u4 - i c n u - d n u 1 + k s n 2 u v 1 - 2 s n 2 u + k 2 s n 4 u - 2 i s n u c n u d n u d n ( u + 等) = = 佩堡、1 - 巫2 k 2 s n 譬2 u + 黑k 2 s n 窘- 2 匦i s n u c n u d n u 当u ( - g ，k ) 时，s n u 为实数，且i s n 训 1 ，于是c n u ，d n u 均为实数，从而有 c n ( u + l - 等) i ：俘 v 。l 。- 。k 。2 。s 。n 。4 。u 1 了丙：鬲 d n ( 札+ t i k 肛佩需 由双曲度量的共形不变性可得 州u + 孚) 咄( s n ( 札+ 等) ) ( 14 - k s n 2 札) 以 = 一 c n u d n u 故当仳( - g ，k ) 时，有 v i - k 2 s n 4 u 1 了瓦孑了 ( 1 + 后) ( 1 一k s n 2 u ) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 c n 珏d r l u a r ( u4 - 警) = 坐掌 i c n ( 半) d n ( 半) v 。i 。- 。k 。2 。s 。n 。a 。u 1 了瓦；鬲 即证 特别地、 ( i ) 当u = o 时，s n 0 = o ，c n o = d n 0 = 1 ，于足有a 兄( 丝2 ) = 1 + 幺 ( i i ) 当u = 等时，s n 譬= 赤舯等= 历，d n 每 捌等+ 等，= 譬掣 佰，于足 犀 共形映射与区域的双曲度量 c n 等， 、22 ( 1 + 七) 2 ( 1 + 惫7 ) ( 1 一向)2 ( 1 一七2 ) ( 1q - k ) j 。可币了两一2 可r ( i i i ) 当“= = 笋时，由于s n u 为奇函数，c l l u ，d n u 为偶甬 d n 孚= d n 等，通过计算可得 州竿+ 等) = 何丽 数，于是s n 警 通过计算可知s i l u ，c n “，d n u 在u = o 附近有t a y l o r 展式( 见 1 8 1 9 】) 将上述s f l u ，c n 札， s n u = u 一可l + k 2 u 3 + 掣u s c n u = 1 - l u + 1 + 矿4 k 2 “4 一 d n u = 一等u 2 + 掣u a d n 札的展开式代入入r ( u + 等) = 2 ( 1 + k 1 = s n 等，c a 芋= 州u 十等) = 坠学 令q = 簪札2 一心等坐札4 ， 进而有 不妨设其为很小的数，于是 1 一上学“2 + 上丝铲u 4 + = 击= + q + 9 3 + = ，+ 可l + k 2 u 2 + 学 州u + t i k i ) _ ( 1 州( 1 + 学u 2 + 坠些等! 坐u 4 - 4 - - ) 其中u ( - g ，k ) ；由上式显然有，当u = o 时，入r ( 等) = l + 南，这与b e a r d o n 【5 】中 的结果吻合 定理2 9 设矩形区域r = ( - k ，k ) x ( o ，k ，) ，( o k 1 ) ，则有妇( 锄) = 品，其 中 ( o ，k ，) ，s = s n ( v ，七，) ，c ，= c n ( v ，七，) ，d ，= d n