（基础数学专业论文）单位圆盘上解析hilbert空间的极值函数.pdf

单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数 中文提要 本文主要研究由单位圆盘上解析函数组成的h i l b e r t 空间x 上的极值函 数我们首先给出了x 的零基子空间的完全刻画，然后研究了极值函数的 基本性质，给出了具有有限零点的极值函数的计算方法，最后我们证明了 若人= 入。，a 2 ，k ) 是x 的零序列的子序列，g n 是k = 入l ，入2 ，k ) 所 对应的极值函数，则a 对应的极值函数是g 他的范数极限 关键词：解析h i l b e r t 空间；极值函数；零基子空间；b e u r l i n g 定理 作者：苗诗翠 指导老师：侯绳照( 副教授) t h ee x t r e m a lf u n c t i o n so fa n a l y t i ch i l b e r ts p a c e so v e rt h eu n i td i s k a b s t r a c t t h ee x t r e m a lf u n c t i o n so fa n a l y t i ch i l b e r ts p a c e s o v e rt h eu n i td i s k a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sm a i n l yw i t ht h ee x t r e m a lf u n c t i o n si nt h eh i l b e r ts p a c exw h i c h i sc o m p o s e do fa n a l y t i cf u n c t i o n so v e rt h eu n i td i s k f i r s t ，w eg i v et h ec o m p l e t i n g d e s c r i p t i o no ft h ez e r ob a s i ss u b s p a c e si nx a n dt h e n ，w es t u d yt h eb a s i cp r o p e r t i e so f t h ee x t r e m a lf u n c t i o n sa n dg i v et h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d so ft h ef i n i t ez e r oe x t r e m a l f u n c t i o n s a tl a s t ，w ep r o v et h a ti fa = a 1 ，入2 ，k ) i sas u b s e q u e n c eo fz e r o - s e q u e n c ei nx ，g ni st h ee x t r e m a lf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt h e 叽= 【入1 ，a 2 ，a n ) ， t h e nt h ee x t r e m a lf u n c t i o no fai st h en o r ml i m i to f 瓯 k e y w o r d s ：a n a l y t i ch i l b e r ts p a c e ；z e r ob a s i ss u b s p a c e s ；e x t r e m a lf u n c t i o n ；b e u r l i n g t h e o r e m w r i t t e nb ym i a os h i c u i s u p e r v i s e db ya s s o p r o f h o us h e n g z h a o i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：j 啤日 期：上西l 皿 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：蠹斗日 期：上竺扛j 业 导师签名：名兰茏红e t 期：垒翌l 啦 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数引言 芦i 士 ji i - - i 经典的h a r d y 空间是由单位圆盘d = 倒 1 ) 上满足一定增长条件的 解析函数组成的h i l b e r t 空间，即 h 2 = f i r h o l ( d ) ，姆万1 ” f ( r e 谚) 1 2 d o ) 这里h o l ( d ) 表示d 上的解 析函数全体组成的集合 设x 是由单位圆盘d 上的解析函数组成的h i l b e r t 空间，a = 入1 ，a 2 ，入n ，) ， 在本文中我们假定九在a 中出现了m i 次，( i = 1 ，2 ，3 ，) 我们称 i ( a ) = ，i ，x ，f ( a ) = o ) 是x 的零基子空间 若x ( a ) 是日2 的零基子空间，则对任意的，j ( 人) ，存在 b 2 娶- - 两& 而) k - z 七删 使得厂= b ，这里b 是b l a s c h k e 积，b ， h 2 ，且l i f b i l = i i f l l b 也称 为x ( a ) 的等距因子众所周知，a = 凡) 墨，是日2 的零序列的充要条件是 墨，( 1 一i 九i ) o o ，这也正是b 收敛于单位圆盘d 内的解析函数的充要条 件上述分解定理在h a r d y 空间的研究中起着重要作用，例如著名的b e u r l i n g 定理的证明就依赖于h a r d y 空间中元素的分解( 【2 】) 若 九) 墨。不满足墨。( 1 一i 入i ) o 。，那么将一个函数写成z 一九的因子的 无穷乘积的形式是非常困难的，另一方面，即使我们可以将，写成 与，2 乘积的形式， 恰好是z 一九的某些因子的乘积，也不能保证 或厶仍在 空间x 中 首先来看一个例子，设x 是以 扩) 甚。为正交基的h i l b e r t 空间，且i i z 2 n i i = 而1 ，i i z 加+ 1j i = i 1 则，( 名) = 是。名加“x ，f ( z ) = 名墨1 少，但甚1z 2 n 甓x ， 这是因为l l 墨。z 2 n i l 2 = 甚，石1 = c o 从上面的例子可以看出，即使我们可以很容易地给出，的分解，但仍不 】 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数引言 能保证，x 为方便起见，我们称g 是i ( h ) 的公因子，若对任意的，j ( 人) ，存在 南x ，使得，= g ，g 分解理论在解析函数组成的h i l b e r t 空间的研究中起 着重要作用然而除h a r d y 空间外，要想找到一个零基子空间的公因子是 十分困难的 b e r g m a n 空间三：( d ) 是由单位圆盘上解析函数组成的另一类重要的h i l b e r t 空间，即l ：( d ) = 厂i ，h o t ( d ) ，磊1 厶i f ( z ) 1 2 d a ( z ) 0 ，l i 一饥珂= 1 ，所以 ，( 糊= m l i m 。幽盥芈警些趔 = l i m ( f ( 巩竽掣a o )a _ 加 。 a 一 = ( 化) ，掣) ， 而 所以 所以 类似地可以推得 c 薹簖卜z 耋寄 zon a 。 z 一 - 1 * 三r 天刍i i z 舢i i 妄霹( z ) 八刨，z 薹苇茅， ，刨，嘉薹寄， = ( ，( 砒掣) = 未j m ) ，名戤( z ) ) 删= ( m ) 掣) = 妄( 化) ，名砖( z ) ) 产) ( a ) = 击( m ) ，矿砖( z ) ) 5 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数一零基子空间的垂直补 对于任给的f 【( z 一入) ，一定存在 ，使得f = ( z a ) 同理，对于任给的f 【( 名一入) n 】，一定存在 ，使得f = ( z 一入) n 下面证明当a 0 时， f ( z a ) n 】上= j 厶( z ) ，z j 氓( z ) ，矿一1 j f ，一1 ( z ) ) 因为 产( 入) = 击( ，( z ) ，矿砖( z ) ) ， 即证明 ( ，( z ) ，z n - 1 砖1 ( z ) ) = 0 因为当k = 1 ，2 ，n 一1 ，n 时， 广一知( a ) = 击( 北) ，纩砖叫( z ) ) = o ， 所以名( n 一七) 砖一七( z ) 【( z 一入) n 卜 又由于【( 名一入) n 】上是佗维子空间，并且玩( z ) ，z 磁( 名) ，名( n 一，) 砖- 1 ( z ) 线性 无关， 因此 【( 名一入) n 】上= j 厶( z ) ，z j 0 ( z ) ，z n - 1 j f ，一1 ( 名) ) 这就证明了右边左边 另一方面，( 人) = n h a 啼 ，x ，f d ) c a 。) = o ) ，这里礼= 1 ，2 ，3 - 一 巾】 【n 胥 ，x ，。( h ) = o ) ) 上= 地。( z ) ，z 砖。( 名) ，z m 一1 毋- 1 ) ) 。 下面先来证明等式 ( n n k ) 上= v n a 去 不妨设f ( n n a n ) 上，则f 簪( n n a n ) ， 于是，可知必存在某一n 0 n ，有，譬a 住。，故f a 乞，从而f v n 钟， 6 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数一零基子空间的垂直补 这就证明了 ( n 。a 。) 上v 。a 当 反之，设，v n 钟，则存在某一个n o n ，使得，a 乞，即，譬a 邶，当然， ，簪( n t i a ) ，这意味着，( n 。a ) 上， 因而 ( n n n a n ) 上2v 。a 当 由所得两方面的结果可知等式 ( n a n ) 上= v n a 去 成立 应用上面这个等式可知 ，( a ) 上= s p a n k x , ( z ) ，z 磁。( z ) ，z r n , a 一1 毋- 1 ) ( 名) ) 因此左边右边 如果0 a ，并且0 在a 中出现了m o 次，则由于( z 俨，z s ) = 0 ，t = 1 ，2 ，死 因此l ，z ，名t ，l o 一1 ，( a ) 上故 j ( a ) 上= 硒獗_ 1 ，z ，名咖，风，( z ) ，z 磁。( z ) ，z m x - - 1 。k ( m l - 1 ) ( z ) ， ，氏( 名) ，z 心( 2 ) 一，z 一1 珩- a ) ( z ) ) 从而命题成立 由上面的命题可得到下面的一个推论，这一结果在尥不是下有界时不 是显然的 推论1 1 两个序列人，与人。对应的零基子空间j ( a ，) 与i ( a 2 ) 相等当且仅当 a 1 = a 2 注：对于任意的人= q - ，a 2 ，口七) 存在一个空间x ，使得i ( h ) 不是尥的 不变子空间 7 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数一零基子空间的垂直补 事实上我们不妨设x 是由 扩) 甚。为正交基的h i l b e r t 空间，并且i i z ”0 = 去，咿卅10 = 2 n + 1 则存在f = 七0 0 ：1z 2 七x ，但是z f 隹x 这是因为 0 00 0 2 - | i k = l 尹j | 2 = k = l 忆2 知1 1 2 = k = l 南 0 证明：若 c ( 0 ) = 。+ b ( 6 。) ，fz ) = 紫， 此时显然l i f c z ) l i = l i c ( z ) l l ，并且 f ( 。) = 鱼等帮= 厕 l 冗e g ( 。) l = l n l ， 这与c ( z ) 为极值函数相矛盾，因此c ( o ) 为实数 若a ( o ) r e c ( z ) = a 0 性质2i l a ( z ) l i = 1 证明：若i i c ( z ) l l = 6 n e e ( o ) = 6 ，这与 c ( z ) 的定义矛盾，因此l i c ( z ) l l = 1 下面的性质是计算极值函数的基础，它的证明与b e r g m a n 空间的情形相 似( 【8 】) 性质3 若c ( z ) 为z ( a ) 的极值函数，则c ( z ) i ( a ) n z o i ( a ) 上，其中z o i ( a ) = f l f ，( 人) ，f ( o ) = o ) 证明：任取h z oj ( a ) ，则h ( 0 ) = 0 对任意的复数e ， 1n 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数 二 极值函数的性质 则 端= 器1 l g + 艇l ip 70 g + k 而斋g ( o ) ( 由g ( z ) 的定义可得) ， 即 l l g + 艇l l 1 ， 从而 ( g - i - h e ，g + h e ) = ( g ，g ) + ( g ，h e ) 4 - ( h e ，g ) + l e 2 l ( h ，h ) 1 由于i i c l l = 1 ，所以 ( g ，h e ) - i - ( h e ，g ) + 1 2 1 ( h ，h ) 0 令e = r e 谢，则 r ( c ，h e 徊) + r ( 舰循，g ) + r 2 ( 九，h ) 0 ， ( g ，h e 徊) + ( h e 谚，g ) + r ( h ，h ) 0 ， 令r _ 0 ，从而 ( g ，h e 讲) + ( h e 谢，g ) 0 ， 故 r e ( g ，h e 讲) 0 由e 坩的任意性知 h = 0 若( g ，h ) 0 ，令( g ，h ) = a + b i ，其中a 0 ，则 r e ( g ，h ) = a 0 ， 但是 r e ( o ，- h ) = 一口 0 ， 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数二 极值函数的性质 所以 ( g ，h ) = 0 从而 g 留oj ( a ) 】上 又因为g j ( a ) ，故 g z ( a ) n 【zo ，( a ) 】上 注： 事实上极值函数是1 在，( 人) 上的投影的常数倍 我们不妨记，7 = b ( a ) 1 ，则叼，( a ) 故对于任意的，z 。，( 人) ，存在 ，使 得，= z a ，此时 ( b ( a ) 1 ，) = ( 片( a ) 1 ，2 ) = ( 1 ，片( a ) z ) = ( 1 ，z a ) = o 即 b ( a ) 【zoj ( a ) 】上 由于，( a ) nl z 。，( a ) 】上是一维的，而g ( a ) n 陋。z ( a ) p ，故存在一个常数 仇，使得 g = m b ( a ) 1 1 2 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数三 有限零点的极值函数 第三节有限零点的极值函数 这一节讨论当a = a ，a 。，a 3 ，k ) 为有限序列时所对应的极值函数 由极值函数的性质3 可以得到下面的命题： 命题3 1 若人= 【a ，a 2 ，a n ) ，九0 ，九可以重复出现m , i 次，这里 i = 1 ，2 ，铊，则i ( a ) = f l f x ，f ( a i ) = 0 ，i = 1 ，2 ，佗) 所对应的极值函 数g ( z ) 可由 1 ，虬。( z ) ，名砖，( z ) ，z m l w ( m ，, - 1 ) ( z ) ，虬。( z ) ，z 戤( 名) ，z k ( m 。- 一1 ( z ) 唯一线性表出 证明： 由于g ( z ) i ( a ) n 陋o ，( a ) 】上，而 【z 。，( 人) 卜= 【1 ，虬，( z ) ，名戤，( z ) ，z r n a - 1 k ( m ，l - 1 ) ( z ) ，虬。( z ) ，z 戤( z ) ， ，名q 毋。1 ( 名) ) ， 又由于，( 人) n 【zo j ( 人) 】上是一维的，所以g ( z ) 是 1 ，风。( 石) ，z 磁，( z ) ，z m l k ( m 。, - 1 ) ( z ) ，虬。( z ) ，z 戤( 名) ， ，沙1 研- i ) ( z ) 的线性组合，故g ( z ) 可以表示为 g ( z ) = q o 0 t 1 0 k a l ( z ) + o t l l z g t a l ( z ) + + o t l m l 一1 z m l 1 k ( m ll - 1 ) ( z ) + + 。一1 z m n q 砖1 ( 名) 其中0 1 0 ，o t l o ，o t n m 。一l 为常数 首先由于g ( z ) ，( 人) ，因此 g ( a 1 ) = g ( a 2 ) = = g ( k ) = 0 】3 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数 三 有限零点的极值函数 又i i g ( z ) l i = 1 ，g 佻一七( k ) = 0 ，其中1 k 0 ，i i g ( z ) 1 1 = 1 ，虬( z ) = 墨。赫 贝og p ) = q 。+ q 1 以。( o ) + n 2 虬2 ( o ) + 是l 垒写萨 因为虬，( 0 ) = 地：( o ) = 1 ，所以a ( 0 ) = q o + 口1 + 嘞，又i i g c z ) l i = 1 ，所以 l g ( 0 ) | 2 + 壹k = l 丛生赫掣堂乩 ( 1 ) 由g ( a - ) = 0 ，即 锄+ q z 纸1 ( 0 ) + 口。虬2 ( 0 ) + 口善牒+ 口。壹k = l 丛i i z 七1 1 2 = 。 ( 2 ) 由g ( a 2 ) = 0 ，即 ，咖恂酬慨砉群怕掣l l z 七l l - - - 一o ( 3 ) 由( 2 ) 知 g ( o ) 怕薹牒讹群l l z , 。鳖1 1 2 一o ( 4 ) 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数三有限零点的极值函数 由( 3 ) 知 ( 4 ) x 西得 g ( 0 ) 怕若= 而i a 2 i 2 k 佃妻k = l 滁一o 删小1 1 2 掣l l z , , 2 l l ! ：忡z 妻, = ，盘l l z kl p - 0 酬制2 喜脯悃面喜群- o 由( 1 ) 知 砉趔堕铧盟剑_ 1 _ i g ( 0 ) | 2 七= l ” ( 6 ) + ( 7 ) 可得 ( 西+ ( 2 ) g ( o ) + 1 一l a ( o ) 1 2 = 0 对( 8 ) 两边取共轭，可得 ( q l + 口2 ) g ( o ) + 1 一i g ( 0 ) 1 2 = 0 再由 g ( 0 ) = q o + 口1 + 勉， 所以( q ，+ a 2 ) = a ( o ) 一蜘，结合( 9 ) 可得 咖2 丽 由( 4 ) 知 口- 砉群恂喜群一g 由( 5 ) 知 a 。善脯棚喜赫= 刮 我们记 薹。h i l = 幢1 1 - - - - 七互弘妻k 赫卸，= 1 厶例1 2 1 力 砷 吣 d 动 0 0 q q q 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数 三 有限零点的极值函数 则由( 1 1 ) 和( 1 2 ) 可得 妻k 群乱厶= l 忖l j 2 g ( 0 ) ， g ( 0 ) 把 一篙g ( 0 ) ，一品g ( 0 ) 椭= 丽1 代入g ( o ) = o t o - i - 口1 + 口2 可得 q 。2 d - b + a - b ， q，=1(d-b袒)x(ib萧2-ad甄)(ib2-豸ad-署d+b-a+b)， 一1(a-b鹕)x(b需2-ad焉)(b12-豸ad-鬻d+b-a+b) 从而c ( z ) = o t 0 + o t l 虬，( z ) + q 。地：( 名) 可唯一线性表出 例2 若a = a ) ，其中入是，( 人) 的二重零点，a 0 ，则它的极值函数 下面解o t o ，o t l o ，口1 1 由 则 这里 c ( z ) = c t o + a l o k a ( z ) - 4 - o t l l z k i ( z ) g ( z ) = o t o + o q o k a ( z ) + a l l z k x ( z ) ，、，、 鼍天七z 七毒三k 天k z k g ( 沪g ( 0 ) + 口1 0 k = l 簖怕，k = l 砰。 。 c ( o ) = o t 0 + a l o 1 6 一， v = 砖一胪贮矿 汹 “一叫“一刊 d p 0 一p 一6 6 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数三有限零点的极值函数 由i i g ( z ) l l = 1 ，则 l g ( 0 ) 1 2 + ( 匾。口u + 砒q z 。) 喜群+ 胁0 1 2 妻k = l 牌+ k l l 2 若o o 丽k 2 1 a 矿1 2 k = 1 ( 2 ) 由g ( 又) = 0 ，即 g ( j 善牒怕，善o o 砰k l , x 1 2 k o ( 3 ) 由g ( a ) = 0 ，即 咖蚤o o 丽k l a 1 2 k 协喜群- o ( 3 ) 听。可得 础铲善群墒薹群一o ( 4 ) 听1 可得 一k 妻1k l a j 2 k 岫l | 2 喜雠一o ( 6 ) ( 5 ) + ( 6 ) 再结合( 2 ) 可得 i g ( 0 ) 1 2 一面o g ( o ) = 1 ( 7 ) 对( 7 ) 两边取共轭，得 i a ( o ) 1 2 一口l o g ( o ) = 1 ( 8 ) 把( 1 ) 代入( 8 ) 可得 1 伽2 丽 i t i i - l 口- 。= g ( 。) 一丽1 我们记 n = 喜踹，6 = 喜群，c = 善o o 丽k = l x 矿l = , , 一若踹，6 。萎辨，归善丽矿 把q o = g ( o ) 一丽1 代入( 3 ) 可得 a ( a + 1 ) g ( 0 ) 铆12 石丽一r 一 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数 三有限零点的极值函数 把 代入( 4 ) 可得 从而 - g ( 旷丽1 阳- = 丽a 一丛掣 g(0)：迎x(b2吾-ac)霉(b2-。c-c) q 。= v ( b 2 - 百a c ) = ( b 2 磊- a c 一- c ) ， d 一口c ( 6 2 一n c ) ( 6 2 一口c c ) 知=帮-bx(写b2-a留c)(b2-ac-c) 因此a ( z ) 就可算出 我们可依据b e r g m a n 空间的极值函数的计算方法( 见【4 】) ，再运用上面的 两个例子的计算方法可类似地对有限零点的极值函数进行计算 1 8 单位圆盘上的解析h i l b e r t 空间的极值函数 四 无限零点的极值函数 第四节无限零点的极值函数 这一节讨论当a = 入。，a 。，入3 ，h ) 为无限序列时它的零基子空间 x ( a ) = f l f x ，( 九) = 0 ，i = 1 ，2 ，扎，) 所对应的极值函数 记g 。为a n = 入。，a ：，入3 ，k ) 所对应的极值函数，则有如下定理： 定理4 1若人是任意的x 的零序列的子序列，则它的极值函数g a = l i 。瓯( 范数极限) 若人不是零序列的子序列，则l i m 一。g 。= 0 证明：由于i l g n 0 = 1 ，由 g ( 入) = ( g ( z ) ，f 奴( z ) ) i l a ( z ) l i k 父( 入) = k l ( 入) 知，g n 是一个局部有界序列，因此由m o n t e l 定理知，g 的任一子列存在 一个收敛子列不妨记其子列的一个极限为g ，即1 i l h g n 。= g 则由于 g n 。( o ) g a ( o ) ，因此g ( o ) c a ( 0 ) 由下面的证明可知g 住。的范数极限存在， 因此i i g i i = 1 由极限的唯一性可知g = g a ，由礼七的任意性知，g n 点点收 敛到g 下面证明g n 依范数收敛到g 事实上我们可以证明： 若厶在单位圆盘d 内点点收敛到，且0 厶0 = 1 1 1 1 1 ，对所有的n 成立则 厶在单位圆盘上的解析h i l b e r t 空间x 内依范数收敛到， 首先证明f ( r z ) 依范数收敛于f ( r z ) ，对任意的r n 时，r 2 k 1 时， 对k = 0 ，1 ，n 成立 于是 k a k l 2 r 2 七1 2 , ! ( 2 1 1 f 1 1 2 + 2 1 1 f l l 2 ) k = 0 综上所述，对任意的 0 ，存在。，当礼 n 时， 因此 a ( r z ) 一f ( r z ) 1 1 2 4 ( i i a i l 2 - t - 1 1 1 1 2 ) e 1 i m 厶( r z ) = ，( r 。) n 2 0 = 一 n 时， 另一方面，由于r _ 1 ，因此存在6 0 ，当6 7 1 时， ( 1 一r 2 ) e 即 l n k a k l 2 ( 1 一r 2 七) l l z k i l 2 k = o ( 1 一r 2 ) l 口h 一口七1 2 l i z k i l 2 k = 0 ( 1 一r 2 ) 2 ( 1 l y 1 1 24 - i i f l l 2 ) 2 ( 0 厶0 2 + l i f l l 2 ) e 于是，当r _ 1 ，佗_ 时， 由于 0 0 厶( z ) 一y ( z ) 1 1 2 = l o k n * 1 2 r 2 七0 z k l l 2 + l 口k 一口七1 2 ( 1 一r 2 七) l l z 七1 1 2 k = ok = o 因此，当n o 。时， ( z ) 一f ( z ) _ 0 2 1 zr一口 一 k o 一 o_ 2k zr一1 七 d k o 脚 单位圆盘上的解析h i l b e r t 空间的极值函数 四 无限零点的极值函数 ( 依范数) 显然i l 瓯i i = 1 ，且g n 点点收敛到g 时，g n 依范数收敛到g 若a 不是x 的零序列的子序列，同第一步的证明可知g n 点点收敛到g 时，g n 依范数收敛到g 显然g ( a ) = 0 ，且g x ，因此这和人不是零序列 的子序列相矛盾，( z ( a ) 3a ) 故结论成立 由上面的定理可以得到如下重要的推论，它揭示了分解定理和零序列的 性质之间的重要关系 推论4 1 若存在x 的一个零序列，它的某个子序列不是x 的零序列，则 在x 内不成立关于极值函数的分解定理 我们称空间x 关于极值函数成立分解定理是指：若记g a 是z ( h ) 的极值 函数，则对任意的s j ( 人) ，：a a x 下面证明推论： 证明：记= 5 1 ，邑，凡，) 是x 的某个零序列的子序列，但是不是x 的零序列，记g 是，( ) 的极值函数，则由上面的定理4 1 知，g x ，若 z ( a ) = a ，与不是零序列相矛盾又显然z ( g ) ) ，因此是z ( g ) 的 真子集由推论1 1 ，x ( h ，) = j ( a ) 当且仅当a ，= a z 因此，( z ( g ) ) c ，( ) 取，j ( ) ，( z ( g ) ) ，则s g , , 不解析，因此x 上不 成立关于极值函数的分解定理 由于分解理论在解析h i l b e r t 空间的分析与几何结构的研究中起着非常 重要的作用，但极值函数能够作为因子的解析h i l b e r t 空间是相当有限的， 因此如何找到更一般的零基子空间的因子是非常重要的 我们以下面一个问题作为本文的结束 假设h = a 七) 七( k n ) 是d o ) 内的一有限或无限序列，且j ( a ) = 厂l ， x ，s ( a ) = o ) ，如果存在g ，( a ) ，允x ，使得，= g 尼，对所有的，( 人) 成立，则称g 是x 的零基子空间的公因子 问题：怎样找一个x 的公因子? 单位圆盘上解析h i l b e r t 空间的极值函数参考文献 参考文献 【1 】a a l e m a n ，s r i c h t e ra n dc s u n d b e r g ，b e u r l i n g st h e o r e m f o rt h eb e r g m a ns p a c e ， a c t am a t h 1 7 7 ( 1 9 9 6 ) ，2 7 5 - 3 1 0 【2 】a a l e m a na n ds r i c h t e r ，s i n g l ep o i n te x t r e m a lf u n c t i o n si nb e r g m a ns p a c e ，i n - d i a n au n i v m a t h j 5 1 ( 2 0 0 2 ) ，5 8 1 6 0 5 【3 】3 x m c h e na n dk y g u o ，a n a l y t i ch i l b e r tm o d u l e s ，r e s n o t e sm a t h 4 3 3 ， c h a p m a nh a l l c r c ，2 0 0 3 l c y r u s ，n l o t h a ra n ds a l e x a n d e r ，s o m ep r o p e r t i e so fc a n o n i c a ld i v i s o ri nt h e b e r g m a ns p a c e ，t oa p p e a ri ni n t e r n a t i o nj o u r n a lo fp u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 【5 】p d u r e n ，d k h a v i n s o n ，h s s h a p i r oa n dc s u n d b e r g ，c o n t r a c t i v ez e r o - d i v i s o r s i nb e r g m a ns p a c e s ，p a c i f i cj m a t h 1 5 7 ( 1 9 9 3 ) ，3 7 - 5 6 【6 】p d u r e n ，d k h a v i n s o n ，h s s h a p i r oa n dc s u n d b e r g ，i n v a r i a n ts u b s p a c e si n b e r g m a ns p a c e sa n dt h eb i h a r m o n i ce q u a t i o n ，m i c h i g a nm a t h j 4 1 ( 1 9 9 4 ) ，2 4 7 - 2 5 9 【7 】p d u r e na n da s c h u s t e r ，b e r g m a ns p a c e s ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v - i d e n c e ，r i ，2 0 0 4 f 8 】h h e d e n m a l m ，af a c t o r i z a t i o nt h e o r e mf o rs q u a r ea r e a ，i n t e g r a b l ea n a l y t i cf u n c - t i o n s ，j r e i n ea n g e w m a t h 4 2 2 ( 1 9 9 1 ) ，4 5 8 6 【9 】9h h e d e n m a l m ，a ni n v a r i a n ts u b s p a c eo ft h eb e r g m a ns p a c eh a v i n gt h ec o d i m e n - s i o nt w op r o p e r t y , j r e i n ea n g r e w m a t h 4 4 3 ( 1 9 9 3 ) ，1 - 9 【1 0 】c h o r o e i t z ，z e r o so ff u n c t i o n si nt h eb e r g m a ns p a c e s ，d u k em a t h j 4 1 ( 1 9 7 4 ) ， 6 9 3 7 】0 【11 】c h o r o e i t z ，f a c t o r i z a t i o nt h e o r e mi nt h eb e r g m a ns p a c e s ，d u k em a t h j 4 4 ( 1 9 7 7 ) ，2 0 1 2 1 3 【1 2 】s z h o ua n ds y w e i ，o r d e r e da n a l y t i ch i l b e r ts p a c e so v e rt h eu n i