（应用数学专业论文）微分方程李群理论的一些探索与应用.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：本文利用不同的单参数李群方法研究一些非线性常微分方程的可积性，用 传统的l i e 群理论证明了四类班勒卫方程不接受任何l i e 群，因此不能降阶。用l 耐 号方法定义的拟齐次性，进一步研究给出了类陀螺系统的一个首次积分。本论文 共分为四章。 第一章主要介绍李群理论的研究发展概况、本文的选题背景及意义，并同时 给出本论文所涉及的基本概念和结论 第二章主要对班勒卫方程的所接受的单参数李群进行探索与研究。 第三章主要给出类陀螺系统的一个首次积分。 第四章主要对研究成果进行总结、归纳。 关键词：首次积分；单参数李群；拟齐次系统 分类号：0 1 7 5 1 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ： i nt h i sp a p e r ，w e1 1 s ed i f f e r e n tm e 翘so ft h es i n 舀ep a r 啪e t e rl i ef o u p ，s t u d y t h ei n t e f a b 订i t yo ft h es o m en 0 曲n e a r i t yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a i l dp r a v e t h eu n a c c e p 毫e d 甜l yl i e 鲫pf o ft h ef o u rc l a 胬e s 姆| s 妇lp a 址i e v 吾- e q u a t j o n ，m a k - i n gu 鼬o ft r a d i t i o n a lt h e o 可o ft h el i eg r o u p ，a c c o r d i n g l y 讹c hc a n n o tr e d u c eo r - d e r w 毫m a k el l s e “m e t h o do fl i ep 盯e n t h e s i s ：f 研d e 6 l l i t i 彻q u a s i h 砌o g e n o l l s ，w e i n v 髓t i g a t et h ei i r s ti n t e f a l0 fp e 争t o ps y s t e mi nt h es p e c i 出i 璐t 粕c e 0 fw h i c h ： t h ef i r s tc h a p t e rb r i 胡yi n t r o d u c 鹤t h ed e v e l o p m e n to ft h e “e 廖o u pt h e 0 叮 锄dt h e 凇鲫m do fs e l e c 伯1 9t h i sq u 鹤t i o n ，p r e s e n t st h ei m 湖v e dc o n c e p t sa n d t h e o r 衄塔i nt h i sl e c t u r e ht h es e c o n dc h a p t e r w es h 棚s t u d yt h ea c c e p t e ds i n 舀ep a r 啪e t e rl i e 鲈0 u p f o rm n l e v 6 - e q u a t i 叽 t h et h i r dc h a p t e r ，w es h a l ld i s c u s st b e 五r 8 ti n t e f a lo ft h ea n a l o g o l l sp e 争t o p 町r s t 锄， t h ef d r t hc h a p t e r ，w em a i n l yc a r r i 鹤o ns 哪m a r yt oi i l d u c et ot h e 溉a r c h r e s l l l t k e yw o r l d s ；t h e 五r s ti n t e 耵a l ；t h es i n 目ep a r 锄e t e rl i ef o u p q u 时 h 锄o g e n o u ss y s t e m c l a s sn o ：0 1 7 5 1 致谢 本论文是在我的导师管克英教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的 科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，一直感染和激励着我。从论 文题目的选择到论文的最终完成，管老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。 两年多来，管教授不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以 无微不至的关怀，让我学会了做事和做人。我深深知道，自己还和老师的要求有 一段距离，但我有信心，在未来的岁月，铭记老师的教诲，争取不断前进在此谨 向管老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 在此，我还要感谢理学院的各位领导和老师，是他们的不断付出才为我创造 了非常好的研究条件。正是由于他们的支持，我才能克服学习和生活中的一个个 困难。向他们表示深深的敬意! 我还要感谢各位同门、同学，正是由于他们的帮助，我才能克服一个个疑惑， 直至学业的顺利完成。他们不仅让我在学业上有所增进，还赋予我一个终生难忘 的研究生生活。谢谢她们! 感谢微分方程讨论班的所有成员，这些探讨，使我获益匪浅。在论文写作过程 中，我不断地感受到讨论班带给我的灵感之作用。谢谢她们! 最后，衷心感谢各位评审老师的教诲与帮助! 北京交通大学硕士学位论文 1 引言 1 1 研究背景及意义 1 引言 十九世纪上叶，挪威数学家a b e l 利用群论的思想证明了五次及五次以上的代 数方程一般是不能用根式表达的。在此基础上，法国数学家g a l o i s 通过建立方程 的g a l o i s 群，将该群的可解性与方程的根可用根式表示联系起来，给出了判定具体 多项式的根可用根式表示的条件【1 1 ，1 2 】；a b e l 与g a l o i s 的工作揭示了群论在方程 论中的重要意义。用a b e l 与g 幽s 的某些思想，法国数学家l i o u 、，i e 则证明了除一 些特殊情况外绝大多数的m c c a t i 方程及更复杂的方程的通积分是不能通过对方程 系数进行有限次的代数运算及有限次的微积分运算而求得的，或用l i o l m u e 的说 法通解不能用有限的方式表示( 参考【1 】) 。这些研究成果大大促进了数学多个领域 的发展。在l i o i i v i u e 之后，微分方程的研究一部分转向定性理论，另一个重要的研 究方向则是仿照a b e l 、g a l o i s 的思想，设法将群论与方程的可积性理论相结合。 十九世纪中叶，受a b e l 和l i 伽、，i l l e 工作的启示，挪威数学家s o p h o l l 8 l i e 将群 论应用到微分方程的可积性研究中，s o p h o 珊l i e 在研究微分方程的在什么变换下 不变时，创造了连续变换群理论，现在一般称为李群理论。 用李群理论研究微分方程的可积性已经取得了一系列重要的成果。对于二阶 自治系统，如果知道系统所接受的一个单参数李群，就可以通过找到系统的积分因 子而积出方程的解( 见【1 3 ，1 4 ，1 5 】) 。对于n 阶自治系统，l i e 有结果：如果系统接受 一个r ( r n ) 参数可解的l i e 群，那么方程就可使用积分法降阶到( n - r ) 阶，若r = n ， 方程就可用积分法积分( 见 1 3 1 ) 。寻找一个系统接受的多参数l i e 群一般较困难。针 对此困难，文献f 1 鲫书研究了高阶自治系统接受的单参数l i e 群的生成元所张成的 空间结构，且具体给出一种可行的判定n 阶自治系统接受单参数l i e 群的方法。在 文献【1 6 】中，作者通过研究复域上的二阶多项式系统大范围首次积分，给出了该系 统不存在大范围解析的非平凡单参数l i e 群的几何解释。文献【5 】中通过引入常微分 方程组变量的无穷小变换，给出自治与非自治常微分方程组接受单参数李群的判 定条件推广了关于自治常微分方程组接受单参数李群的充要条件。对于二阶多项 式自治系统，文献【3 】中给出了l i o u 、r i u e 可积的充要条件。文献【4 】中利用传统的李 群理论找到了b u r g e 睁k d v 方程可积的条件。 班勒卫方程是最重要的六类二阶代数微分方程。这些方程是由p p a i n l 吖、b g 啦b i e r 和r f u d l s 研究e p i c a r d 所提的下述问题时发现的：设兄( o ， ，) 关于w ，w 是 1 北京交通大学硕士学位论文1 引言 有理函数，对于z 是解析函数，寻找微分方程乱，= 矗( z ，叫，) 的所有类型，使得 它们的通解除了极点之外其他奇点仅依赖于所论方程而不依赖于积分常数上述 性质又称为p a i n l e v 性质，具有此性质的方程称为p 型方程；但只有六类方程产 生新的超越函数，并称为p 血l e v 超越函数虽然p 洳k 讵是从纯数学的考虑发现 这些方程的，但如今已经知道它们与许多数学物理方程密切相关这些联系的发 现以及p a i n l e 讵方程理论本身的问题引起了广泛的兴趣，使得p a i n l e 、r 方程理论 及其应用的研究成为国际上相当活跃的领域之一，并且取得了一系列重要的进 展m j a b l o w i t z 、a r 嬲l 锄i 和h s e g l l r 以及p a c k 盯k n 等在偏微分方程的p a j l l l e y 理论方面获得丰富的成果，还引入了对高阶p a i n l e v 方程的研究已知p a i n l e v 方 程的解一般地不能由线性微分方程的解或椭圆函数表示，但对特殊的参数值，相 应的方程之解能表为经典的特殊函数、代数函数或有理函数，特别是蹦n l e 讵方程 具有有理函数解的参数定则现今已完满地得到解决，并且特殊参数的解族之间可 由b a c l d l l n d 变换建立递推关系。v i g r o m a k 等对p a i n l 吖方程解的表示b 2 l d d l l n d 变 换和一般解析性质做了一系列的工作( 见【l o 】) 。但至今很少有利用李群理论研究班 勒卫方程的不可积性的文献。 经典陀螺系统的e u l e r - p o i 蹈o n 方程组是描述重刚体绕固定点转动规律的系统， 也是重要的力学系统之一1 7 4 9 年，击舢e m b e n 首先开始研究刚体绕固定点转动 运动，他指出，需要六个二阶常微分方程描述这种运动。1 7 5 0 年，e u l e r 通过引入两 个坐标系( 其中一个坐标系固定在刚体上随刚体一起运动) ，建立了刚体动力学方 程并给出刚体动力学的一般说法。后来l a g r 雒g e ，l a p l a c e 和p o i s s 在e u l e r 工作 的基础上做了进一步研究，得到了由六个自治常微分方程构成的陀螺系统的e u l * p o i 8 n 方程组( 见 2 0 ，2 l ，2 2 ，2 3 1 ) 。为了积分该系统，一般需要五个独立首次积 分，其中前三个独立的首次积分很容易得到，主要是求后两个独立的首次积分。而 由j a c o b i 定理( 见 1 8 1 ) ，在已知的三个独立积分的基础上，只要再知道该系统的第 四个首次积分，系统就可以完全求解了。文献【6 】中研究了关于k 0 、，a l e v s k a y a 陀螺 一般条件下的首次积分。文献【7 】中得出在较一般的条件下，对3 阶自治系统给出利 用系统所接受的两个单参数李群的生成元计算首次积分的方法。文献【8 】中讨论利 用单参数l i e 群求自治常微分方程组首次积分的方法，并对经典陀螺系统找到其接 受的一种非平凡单参数l i e 群，利用其所揭示的首次积分的特点就可用统一的思想 容易地求出e u l e r ，l a 留姐g e 及l ( o v a l e v s l 【a 弦情形下的第4 个首次积分，指出并纠正了 前人关于k o v a k v s b y a 陀螺在z g ，驰均不等于零的一般条件下第4 个首次积分的错 误。 2 北京交通大学硕士学位论文 1 引言 本文主要利用单参数李群的一些相关理论即系统接受单参数李群的传统理论 和近年发展的用l i e 括号判断的方法，对特殊系统班勒卫方程的所接受的单参数李 群进行探索与研究，并迸一步研究给出了类陀螺系统的一个首次积分。这对于进 一步深化李群理论在微分方程中的应用是有意义的。 1 2 本文用到的基本概念和重要结论 介绍一下本论文出现的几个基本概念 考虑n 阶自治系统 r l 鲁= 蜀( 钆勋，) 鲁= 列锄尚) ( 1 ) 、， l ； i 鲁= ( 勋，z n ) 把此系统可简单记作圣= ，( z ) ，其中石= ( z l ，z 2 ，) r dc 毋，圣= d 影出，t 【0 ，+ o o ) ，对e d ，0 ) = ( ( 聂( z ) ，恐( 卫) ，墨扛) ) t 是足够阶的连 续可微函数。z ( t ；知) 是系统( 1 ) 的满足初始条件z ( 0 ；黝) = 跏d 的解。如果对于 所有的t o ，都有，( ) = o ，则称跏为系统( 1 ) 的奇点。如果，( 如) o ，则称z o 为系 统( 1 ) 的常点。 定义1 1 如果有一个函数f ( z 1 ，勋，) 在系统( 1 ) 上的任何解保持常数， 即对所有的t o 和跏d 都有f ( z l o ；勋) ，z 2 勋) ，( ；勘) ) = c ( 勖) ，则 称f ( z 1 ，现，) 是系统( 1 ) 的首次积分。 定义1 2 设是r 中关于原点对称的一个小区间，开域uc 舻上的局部单参 数李群g 中的元素9 满足下列单参数变换族夕：u i 舻： i ) 对任何z ，有9 ( 霸o ) = z 囝对任何s l ，s 2 ，多( s 1 ，龟) ，z u ，有窖( 萝( z ，s 1 ) ，s 2 ) = 孽( ，多( s 1 s 2 ) ) 定义1 3 传统的李群理论系统接受l i e 群是指方程在李变换下不变。具体的 是指：若系统为f ( z ，可，讥，铷) = o ，y = f 岳+ 叩蔷是一单参数l i e 群的生成 元，其n 次扩展为y ( 4 ) = 亭岳+ 暗+ 刀1 毒+ + 叩”去，若有y “f i ，= o = o ，则 称方程f = 0 接受以y 为无穷小生成元的l i e 群。 3 北京交通大学硕士学位论文 l 引言 注：f 7 ( 扛，玑玑，鼽) = 里喾竽一弘旦铬字，玑= ! ，t = l ，m 特殊地，当定义1 3 中的n 取2 ，我们就得到了一个李群的二次扩展的定义。 定义1 4 设y = 岳+ ，7 岛是一单参数l i e 群的生成元，称y 2 = f 岳+ 7 岛+ ，7 1 寿+ ，7 2 参为其二次扩展 其中 7 1 ) = + ( 珊一) ! ，一毛( 矿) 2 一= 钕+ ( 2 锄一& ) 矿+ ( 锄一瑶，) ( 矿) 2 一锄( 矿) 3 + ( 嘞一毪) 矿一晦矿旷 若当f ( z ，耖，矿，) = o 时有y ( 2 ) f ( 为z ，矿，矿) = o ，即 循去f + 叩为f + 一导f + 南硎脚一。 则称方程f = o 接受以y 为无穷小生成元的l i e 群。 定义1 5 从广义上讲，系统( 1 ) 接受单参数李群g 是指，经过群g 中的任何元 素夕变换后，把原来的积分曲线族仍变成同一族曲线，只是族中的不同曲线之间相 互变化，一条积分曲线也可变成自己。 在定义1 5 的意义下，本文主要应用文 19 】等参考文献的一些结论，这里记为 引理。 就系统( 1 ) 而言，该系统对应一个偏微分算子 x = 咒矗+ 恐去+ - + 墨去 o z lo z 20 z 。 对于系统( 1 ) 任意的一个首次积分q ( z 1 ，z 2 ，) ，都有 x n ( z l ，勋，) = 0 引理如果y = k 岳+ 砼卺+ + k 击是单参数李群的生成元，当且仅当 存在函数口( 霉l ，z 2 ，z 。) ，使得李括号，明= x y y x = b x 成立，系统( 1 ) 按 照广义接受以y 为生成元的单参数李群。 以上引理中介绍了利用李括号判别系统是否接受某一个李群的方法，在此基 础上再介绍本文中用到的一个重要的概念。 定义1 6 如果存在7 l + 1 个整数如，h ，k 使得 ，= x 其中 x = 置丢“+ 墨去口z ln 北京交通大学硕士学位论文 1 引言 是系统( 1 ) 对应的微分算子， y = 蛔去+ b 勋毫“+ k 去 是一单参数l i e 群的生成元。则称系统( 1 ) 为一个拟齐次系统。 5 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 2 1 研究背景 人类关于多项式方程的研究很早就深入到复数域，著名的代数基本定理就是 在复数域上证明的。正是注意到了这一情况，1 9 世纪也有许多数学家将微分方程 的研究扩展到复数域。福赫斯、班勒卫等将方程的奇点作了不同的分类：一种是 根据奇点的位置是否与特解的选择有关而分为固定奇点与流动奇点，另一种分类 则是根据解在奇点附近的解析性质而分为临界奇点与非临界奇点，当解在围绕临 界奇点作解析延拓时其黎曼曲面将分层，在围绕非临界奇点作解析延拓时黎曼曲 面将不分层。临界奇点还可根据解在奇点附近黎曼曲面是否分为有限层而分为代 数型临界奇点与非代数型临界奇点。还可以根据自变量沿不同路径趋向于奇点时 函数值是否存在唯一的极限( 可以是无穷远点) 将奇点分为超越奇异点与本性奇异 点。根据方程的固定奇点是否全是非临界的，班勒卫与刚比叶对如下形式的二阶 常微分方程t = r ( z ，t t ，) 进行了分类，其中r ( 毛t ，t ，) 是变元的有理函数。他 们证明了固定奇点全是非临界的方程有5 0 个类型，其中4 4 种类型或可用积分法积 分，或可化为如下的一阶代数型方程f ( 名，t ，t t ，) = o ，其中f 是变元的有理函数，该 方程的所有流动奇点都是代数型的分支点，而剩下的6 类方程的形式分别为【1 i ( 1 ) 矿= 6 埘2 + z ( 2 ) 矿= 2 护+ 删+ n ( 3 ) = 扩狮q + 矿( 伽2 + 6 ) + 严( c l t ，3 + 咖- 1 ) 1 6 | + | d | o ( 4 ) t = ；t t ，2 t l ，一1 + 芸叫3 + 4 z 埘2 + 2 ( 严一口) + f b - 1 ( 5 ) 扩= 川去一击) 一等+ 字( a 叫+ 鲁) + 7 詈+ a 等掣 ( 6 ) 加= 萼( 丢+ 击+ 圭) 卅；+ 击+ 击) + 喾铲嘶+ 略+ 7 晶+ 错， 这六类方程现在称为班勒卫方程，它们的积分统称为班勒卫超越函数( 参考【2 q ) 近 三十年人们注意到这5 0 类方程在许多问题( 如非线性波动理论) 中有重要意义。这 六类方程一般认为它们不属于已知的l i o u 、，i u e 可积类型，但很少见到对其不可积 性的严格论证。 6 北京交通大学硕士学位论文 2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 2 2 推导过程 以下我们将严格证明其中的四类班勒卫方程按传统的李群理论不接受任何l i e 群， 在这个角度上论证了它们的不可积性。 2 3第一类班勒卫方程不接受任何非零传统李群的证明 ( 1 ) = 舻+ z ( 即一鼬2 一z = o ) 设 y = 磋+ 刀未 该单参数李群的二次扩展设为如下形式 y = f 晏+ 叩未坩，品“砷刍 令 y ( 2 ( 一鼬2 一彳) = o ( = 鼬2 + 名) 【2 j 即系统接受上述李群，下面我们看能否找到非零f 和叩 由假设我们得到 + ( 2 一已：) + ( 疆) 一2 已。) ( ) 2 一牡尸 一( 2 已一臻。+ 3 矗埘，) ( 6 t l ，2 + z ) 一f 一1 2 刀埘= o( 2 1 ) 整理得 一札，3 + ( 叩。一2 已。) ( ( 叫，) 2 ) + ( 2 一。一1 8 如t ，2 一名) 一1 抑+ 一f 一1 蚝舻一2 已2 + 6 矿+ 名= o 由t t j 喀的系数为o ，得到 从而可推出 由扩的系数为o ，得到 已。= o = n ( z 如+ 6 ( z ) t h = 葩 7 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 从而可推出 由的系数为0 ，得到 且 综上，我们得到 把( 2 2 ) 代入( 2 1 ) 得到 7 = 口，( z ) 埘2 + c ( z ) 坩+ d ( z ) n ( z ) = o 矿( 。) = 2 c ，( z ) = 6 ( 。) 叼= c ( z ) t u + d ( z ) ( 2 2 ) 【一6 c ( z ) 一1 2 6 ，0 ) 】叫2 + 【一1 2 d ( z ) + ( z ) 】t ，+ ( z ) 一6 ( z ) 一2 6 ，( z ) z + c ( 2 ) 名= o 由舻的系数为o ，得到 c ( z ) = 一2 6 ，( z ) 由埘的系数为o ，得到 ( z ) = 1 2 d ( z ) 由不含w 项的系数为0 ，得到 ( z ) 一6 ( z ) 一2 6 ，( z 弦+ c ( z ) z = o( 2 3 ) 由前面推导得到的结论c ( 2 ) ；一( 2 ) 和矿( z ) = 2 ，( z ) 可推得 6 ，( z ) = 0 从而c ，( z ) = o ，d ( z ) = 0 将c ( z ) = 一2 6 ，( z ) 和d ( z ) = o 代入( 2 3 ) 中，得到 一6 0 ) 一4 6 ，( z ) z = o( 2 4 ) 8 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 ( 2 4 ) 式两端同时对z 求导，得到 一4 6 ，( z ) z 一5 6 ，( z ) = o 而又由( z ) = o ，从而 即 由上我们推得， 6 ，( z ) = o c ( z ) = o n ( z ) = 6 ，( z ) = 6 ，( 名) = c ( 名) = d ( z ) = o 代入( 2 3 ) 式，得到 6 ( z ) = o 从而推得 即 n ( 2 ) = 6 ( z ) ：= c ( z ) = d ( z ) = o f = 叩= 0 可见找不到非零和叩。 从而说明第一类班勒卫方程不接受任何非零传统李群。 2 4第二类班勒卫方程不接受任何非零传统李群的证明 ( 2 ) 扩= 2 驴+ 2 埘+ b 设 y = 毒丕+ 刀嘉 该单参数李群的二次扩展设为如下形式 7 俨k 爰+ 卵品州品“2 ，南 令 y ( 2 ) ( 一2 t 沪一2 伽一n ) 一o ( 一2 矿+ 刎+ n ) 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 到 即系统接受上述李群，下面我们看能否找到非零f 和叩 由假设我们得到 仉。+ ( 2 豫一已：) + ( 仇。舢) 一) ( t 正，) 2 一扩 一( 2 已一，抽+ 3 如) ( 2 矿+ z + n ) 一t l i 一 7 ( 6 t 俨+ z ) = o ( 2 5 ) 由扩的系数为o ，得到 = 0 从而可推出 f = o ( z ) 叫+ 6 ( 。) 由俨的系数为0 ，得到 讯= 从而可推出 7 = ( z ) 舻+ c ( 名) 伽+ d ( z ) 由的系数为o ，得到 2 ，7 _ 。一如一6 0 矿一3 矗刎一3 n 如= o 把f = 口( 。如+ 6 ( z ) 和叩= 口，( z ) 伽2 + c ( z 如+ d ( z ) 代入上式，整理之后我们得 一6 0 ( z ) 扩十【3 n ，( 。) 一3 0 ( z ) 刁t | ，+ 2 c ，( z ) 一矿( 名) 一3 口8 ( z ) = o 由叫3 的系数为o ，得到 n ( z ) = 0 由伽的系数为0 ，得到 口，( z ) = 加( 名) 由不含蜘项为o ，得到 2 一( z ) 一矿( z ) 一3 n n ( 名) = o 综上，得到 n ( z ) = o 1 0 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 且 2 一( z ) = 矿( z ) 将n ( z ) = 毗入f = 口如) t t ，+ 6 如) 和叩= 口，( z ) 伽2 + c ( z ) 叫+ d ( z ) 得到 f = 6 ( z ) 和 叩= c ( z ) t l ，+ d ( z ) 由( 2 5 ) 不含w 项为o ，得到 一( 2 已一) ( 2 t 沪+ 刎+ o ) 一伽f 一卵( 6 t 沪+ z ) = o 将f = 6 ( z ) 和呀= c ( z 灿+ d ( z ) 代入得 ( 2 ) 伽+ ( z ) 一【2 6 ，( z ) 一c ( z ) 】( 2 扩+ z 如+ 吐) 一6 ( z ) t t ，一【c ( z ) 叫+ d ( z ) 】( 6 伽2 + z ) = o 整理得 【_ 4 6 ，( z ) 一4 c ( z ) 】矿一6 d ( z ) 叫2 + 矿( z ) 一2 6 ，( z ) z 一6 ( z ) 】t t ，+ ( z ) 一2 0 6 ，( 2 ) + 0 c ( z ) 一d ( z k = o 由叫3 的系数为o ，得到 6 ，( z ) = 一c ( z ) 由t l ，2 的系数为0 ，得到 d ( z ) = o 由埘的系数为o ，得到 ( z ) 一2 6 ，( z ) 。一6 ( z ) = o 由不含伽项的系数为o ，得到 ( z ) 一2 n 6 ，( 。) + n c ( z ) 一d ( 名) 名= o 把6 ，( 2 ) = 一c ( z ) 和d ( z ) = o 代入上式得到 3 n c ( z ) = 0 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 即 从而 c ( 2 ) = o 6 ，( 名) = 一c ( 名) = 0 将上式代入( z ) 一2 6 ，( z ) z 一6 ( z ) = o 得到 6 ( ：) = o 综上 n ( 彳) = 6 ( z ) = c ( z ) = d ( z ) = o 即 f = 田= 0 可见找不到非零和叩，从而说明第一类班勒卫方程不接受任何非零传统李群。 2 5第三类班勒卫方程不接受任何非零传统李群的证明 ( 3 ) w ”= t | 】l ，2 加1 + 矿( n 伽2 + + e 知( 伽，3 + d t t ，_ 1 ) | 6 i + ld i o 设 y = f 晏+ 叮未 令 俨k 晏+ 叩品“”品 刍 y ( 2 ) ( 缸，一切口叫一1 一e 。( n 叫2 + 6 ) 一e 缸( c 埘3 + d 硼一1 ) ) = o ( 叫”= 伽口埘一1 + 矿( o t t ，2 + 6 ) + e 知( c t 沪+ 咖一1 ) ) 即系统接受上述李群，下面我们看能否找到非零f 和叩。 由假设我们得到 啦。+ ( 2 仉。一已；) + ( ，h 。) 一2 f o ) t l 严一专。扩 一( 2 已一，硒+ 3 如叫，) ( 叫庇伽一1 + e 2 ( 伽2 + 6 ) + e 2 。( c 护+ d t t ，一1 ) ) 1 2 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 一f ( e 。( 口伽2 + 6 ) + 2 e 2 。( c 叫3 + d t u 一1 ) ) 一叩( 一t t ，2 一2 + 2 0 t l ，矿+ 3 c 舻e 缸一d 埘一2 e 2 。) 一+ ( 一妫t ，一如t t ，2 ) ( 2 t t ，t l ，- 1 ) = o 整理得 【一矗。一矗t ，一1 】扩+ h 一2 已。一伽一1 ( 2 已一) + 叫一2 7 2 伽一1 ( 弛一已) 】叫忍 + 【2 仇。一已：一3 如矿( t ，2 + 6 ) 一3 知e 如( c t l ，3 + 出口一1 ) 一2 仉 一1 】 + 仉。一( 2 已一，k ) p ( n t t ，2 + 6 ) + e 2 。( 例3 + 咖一1 ) 】 一亭 e 。( n t t ，2 + 6 ) + 2 e 2 。( c t 正，3 + c 珊一1 ) 】一2 口叫e 。7 3 c 珊2 e 2 。 7 + 6 f t 盯一2 e 钯叩 = 0 由彬喀的系数为0 ，得到 f 。= 一如t t ，一1 = = = 争 f 。+ 知= o = 号( 伽如) 0 = o = = 伽如= n ( 名) 号如= 警 = = 争f = n ( z ) z 删+ 6 ( z ) 由t t ，2 的系数为0 ，得到 碾。枷一2 埘一( 叩加一1 ) = 0 弓 = = = ， = = = ， 一2 掣咱埘。1 ) 。= o 一删以k = 2 掣 ，一 7 伽一1 = 2 n ，( z ) z 舢+ c ( 名)( 2 6 ) 由伽，的系数为0 ，得到 2 一已：一3 矗p ( 口埘2 + 6 ) + e 2 。( c 叫3 + 咖一1 ) 】一2 仉伽= o 把f = n ( z ) z 伽，+ 6 ( z ) 代入得 2 一陋”( 圳删+ 扩( z ) 】_ 3 警【e 2 ( 删2 + 6 ) + e 缸( 例3 + 咖一1 ) 卜轨埘= o 整理得 2 仉。一2 巩加一1 = n ，0 ) z 删+ 6 ，( 。) 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 + 3 警以删2 + 6 ) + 严( + 如- 1 ) 】- o ( 2 7 ) 由的系数为o ，得到 c ，( z ) + 6 ，( z ) + 2 t l ，一1 ( z ) = o 由不含项等于0 ，得到 一叫( z ) z 删+ 2 6 ，( z ) 一训以删2 + 6 ) + 严( + 咖一1 ) 】 一 【o ( z ) f n 埘+ 6 ( z ) 】【矿( m u 2 + 6 ) + 2 e 缸( c 叫3 + c h u 一1 ) 】 一2 删矿呀一3 c 叫2 e 2 2 叩+ 幽一2 e 钯叼= o 由( 2 6 ) 得到 啦，= 叩伽一1 + 2 一( z ) f n 埘+ c ( z ) 代入上式，得到 啦。一【2 ( z ) f n 伽+ 2 6 ，( z ) 一叫一1 ，7 2 口，( z ) z 删一c ( z ) 】 【e 。( 删2 + 6 ) + 严( c t 沪+ 胁一1 ) 1 一 【n ( z ) 饥伽+ 6 ( 名) 】【e 2 ( 伽2 + 6 ) + 2 e 缸( c t 正1 3 + d t ，一1 ) 】 一2 口伽矿叩一3 c 珊2 e 钯叩+ 西一2 e 2 。叩= o 整理化简得 啦：一【2 6 ，( z ) 一c ( z ) 】陋。( n 埘2 + 6 ) + e 缸( c l l ，3 + d 伽一1 ) 1 一陋( z ) z n t t ，+ 6 ( z ) 】f e 。( 口t l ，2 + 6 ) + 2 e 勉( c t ，3 + d 椰- 1 ) 】 + 叩【协一1 矿一n t | ，e 。一2 c 哪2 e 缸+ 2 6 h u 一2 e 2 2 】= o( 2 8 ) 由( 2 6 ) 得 ，：一仉t l ，一1 = 2 n ，0 ) f n 伽+ ( 2 )( 2 9 ) 挈一( 2 9 ) 得 铷一= 一；n ，( 枷舢+ ；矿( 。) 一c ，( z ) + ：掣f e ；( 伽2 + 6 ) + 萨( + 踟一1 ) 】 2 伽。一 ” 1 4 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 由于 仇 = ，；，即仇。一，；= o 所以 一；) 胁+ 扣) 卅卅；警坝删2 + 的 + 严( 删3 + 咖一1 ) 】- o 即 j 矿( z ) 一c ，( z ) = ；诈) f 舢一i 警脚埘2 + 6 ) + 严( c l t ，3 + 咖q ) 】 该式左端是只含有z 的函数，而右端是关于z ，t t j 的函数。 所以可推出 去矿( z ) 一一( z ) = 孰圳删一；警脚舻+ 6 ) + e 红( + 咖q ) 】 =0 ：矿( z ) 一c ，( 。) = o 且 瓤叫删一；警p ( n 舻+ 6 ) + e 如( + 知1 ) 】_ o 由 ；( 枷删一；警p ( 口舻+ 6 ) + e 缸( 例3 + 咖。1 ) l = o 显然可得 o ( 2 ) = o 将( z ) = 0 代入( 2 6 ) 得到 ，如一7 伽一1 = c ( z ) 将上式化简得 皂= 三+ c ( z )抛伽。、 1 5 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 解得 叩= 【c ( 名) i n t l ，+ ，( 。) 】 将n ( 。) = o 代入( 2 7 ) 得到 2 啦。一2 巩伽一1 = 矿( z ) = o 而由前面的推导知 ：( 。) 一c ，( z ) ：o 所以得到 ；矿( 。) = c ，( 名) = o 再由2 仉。一2 仉t l ，_ 1 = o ，并将叩= 【c ( ：) i n t l ，+ ，( z ) 】代入该式， 化简整理得到 ，( z ) 一，( 名) z m u 一，( 名) = o 该式成立，说明前面推导过程正确。 将叩= 【c ( 。) l n 叫+ ，( z ) 】代入( 2 8 ) 式，得到 叫，”( z ) 一【2 6 ，( 名) 一c ( 名) 】【矿( n 埘2 + 6 ) + e 如( c t 沪+ 如一1 ) 】一6 ( z ) 【e 。( 删2 + 6 ) + 2 e 缸( 例3 + c f t 口一1 ) 】+ 扣c ( z ) l n 伽+ ，( 。) 叫【咖一1 e 。一舢矿一2 c 叫2 e 2 。+ 2 d 叫一2 e 如】= o 整理得 卜2 0 e 如6 ，( z ) + o e 2 。c ( z ) 一2 6 ( 2 ) e 缸c 一2 c e 缸，0 ) 】t t ，3 + 【- 2 i 口矿6 ，( 2 ) + 口e 。c ( z ) 一 6 ( z ) 矿n o e 。，( z ) 】伽2 + ，( 名) 叫+ 【一2 f 把缸6 ，( 2 ) + d e 缸c ( z ) 一2 6 ( 名) e 缸d + 2 d e 如，( 名) j w 一1 + ( z ) 1 n 叫】【咖- 1 矿一删矿一2 伽2 e 如+ 2 如- 2 卅一铲【2 6 ，( z ) 一c ( z ) 卜砧( ：) 矿+ 6 ，( 办萨= o 由上式显然可以推出 c 0 ) = o 上式中由矿的系数等于0 ，可得 一2 0 e 缸6 ，0 ) 】+ o e 如c ( z ) 一2 6 e 知c 一2 0 e 2 。，( 。) = o 整理化简得 一2 6 ，( 彳) + c ( z ) 一2 6 ( 。) 一2 ，( z ) = o( 2 1 0 ) 1 6 北京交通大学硕士学位论文 2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 上式中由矿的系数等于0 ，可得 一2 口e 。6 ，( 2 ) + n 矿c ( 名) 一6 ( z ) 矿n d e 2 ，( z ) = o 整理化简得 一2 6 ，( 名) + c ( 名) 一6 ( z ) 一，( 名) = o( 2 1 1 ) 上式中由伽的系数等于o ，可得 ，( z ) = 0 由不含t l j 项为0 ，得到 一6 e 。f 2 6 ，( z ) 一“。) 】一幻( 彳) 矿+ 6 ，( 名) e 。= o 整理化简得 一2 6 ，( z ) + c ( z ) 一6 ( z ) + ，( z ) = o( 2 1 2 ) 由含棚- 1 项系数为o ，得到 一2 d 矿。6 ，( z ) + d e 2 。c ( z ) 一2 6 ( 名) e 缸d + 2 d e 如，( 名) = o 整理化简得 一2 6 ，( z ) + c ( z ) 一2 6 ( z ) + 2 ，( z ) = o( 2 1 3 ) ( 2 1 2 ) 一( 2 1 1 ) 得到 ，( z ) = o 由，( z ) = 0 ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 3 ) 式可化为 一2 6 ，( z ) + c ( z ) 一2 6 ( 孑) = o( 2 1 4 ) ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式可化为 一2 6 ，( 。) + c ( z ) 一6 ( z ) = o ( 2 1 5 ) 一( 2 1 4 ) 得 6 ( z ) = 0 1 7 ( 2 1 5 ) j e 京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 将6 ( z ) = o 代入( 2 1 5 ) 得到 综上 即 c ( z ) = o n ( 。) = 6 ( z ) = c ( 名) = ，( z ) ；：o f = 叩= o 可见找不到非零f 和吼 从而说明第三类班勒卫方程不接受任何非零传统李群。 2 6 第五类班勒卫方程不接受任何非零传统李群的证明 ( 5 ) 矿= 俨( 击一i 了) 一譬+ 垒；譬( 口叫+ 鲁) + 7 詈+ 6 竺等半 设 y = 嗟+ 叩未 倒= 磋+ 刁未州品舻南 令 俨一俨( 去一击) + 警一譬( 。加+ 鲁) 一，詈一6 等竿】- o 则 啦。+ ( 2 仉。一已：) + ( 田。一2 己。) 扩一扩一( 2 厶一，+ 3 t ，) 阮击一击) 一警+ 譬( a 伽+ 笔) + 1 詈+ a 等半1 一引箬一2 譬( n 埘+ 鲁一7 署) 】 一缈( 一去+ 南) + 掣( ) + 譬c 。一暴，+ + 当一南】 一k + ( 一鳓札，一如扩】 刎( 去一石b ) 一争= o 由扩系数为o ，得到 1 8 北京交通大学硕士学位论文 2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与研究 + 矗( 去一击) = o 解得 f = n ( z ) ( ；叫；一2 幻；) + 6 ( 彳) 由俨系数为0 ，得到 叫击一击h 卜击+ 南】 + ( t t ， 一协一；) 【一2 ( z ) + 2 n ( z ) 争= o ( 2 1 6 ) 南f 。，粟麴为0 得驯 2 仉”一( z ) ( ；坩；一知) 一矿( z ) + ：【2 d ，( z ) ( ；伽；一知) + 2 6 ，( z ) 一1 一批) ( 叫一伽嘲【譬( 伽+ 笔) + 7 詈 + a 絮掣卜警( 驷一警一z 仉( 去 一面与) + ；【一口，( z ) ( ；伽；一知 ) 一6 ，( z ) 】= o 2 艰一一2 仇( 去一石兰了) 一( z ) ( ；伽；一2 t t ，) 一6 ，( z ) + ：【2 n ，( 石) ( 和一知；) + 2 6 ，( z ) 卜孙( z ) ( 加一伽一) f 丝( n 叫 + 争一r 詈+ 占警竿卜警( ；伽；一知 ) 一警+ n ，( 名) ( 砌) 一6 ，( z ) 1 ：o ( 2 1 7 ) 由不含伽项为0 ，得到 一一训字( 。t t ，+ 鲁) + 7 詈+ a 等竿】 + z f 学( a t t ，+ 鲁一7 署h 芝( 。仰+ 笔) + 譬( 口一岳) + + 当一蒜】+ 警= o 1 9 北京交通大学硕士学位论文2 班勒卫方程的所接受的单参数李群探索与婴壅 将口( z ) ( ；埘；一2 ) + 6 ( z ) 代入上式得到 一m 州争一2 伽2 崛) 一训学( 删+ 笔) + ，y 詈+ 6 竺等竺半】+ 2 n ( z ) ( ；叫；一2 加；) + 6 ( z ) 】垒生；竺( 口凹+ 鲁 一7 争叼【掣c 。埘+ 争譬c 口一告， + + 告一南】+ 警= o z 加一1l 叫一jj 。 z 由( 2 1 7 ) 式可以得到 ( 2 1 8 ) 2 一2 叩( 去一面与) = 口，( z ) ( ； ；一知；) + 6 ，( z ) + 厂掣如( 驷墙幻 + 掣如一3 心九伽啕 【垒生；竺( 。埘+ g ) + 7 詈+ 6 竺；芋兰】如 一警( 一弛一譬如 一掣c 嘞弛一掣d z 从而 = 伽( 击一击) + 叼睦1 n 叫乩一1 ) 】+ ；比) ( 伽一t t ，一) + 掣撕k 埘- ；) 一；心) 【3 ( - 1 ) 2 ( 口埘+ 肋q ) + ( _ 1 ) 3 ( 扣- ；- i 肋嘲+ 三( 扣一妒) + a ( + 眦一；厂警( 舡彬啕如 一；厂掣( 伽；一埘- ；) 出 ( 2 9 ) 由( 2 1 6 ) 式可以得到 = ( 击一击卜去+ 南1讯一。如【瓦一面= 五j 十呀【一元万十石了= 了乒j ：一( 1 l ，一埘一；) 卜2 n ，( ：) + 2 n ( z ) 刍：o ( 2 2 0 ) 由( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 式可以得