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摘要 基于独立分量分析的地震信号多次波 盲分离方法研究 作者简介：刘诚，男，1 9 8 2 年7 月生，师从成都理工大学郭科教授，2 0 0 8 年7 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 多次波问题一直是勘探地震学中备受关注的热点问题之一，特别是在海洋油 气地震勘探中。多次波的存在，干扰有效波的成像，直接导致错误的地质解释。 因此研究并提出有效的多次波压制方法具有重要的现实意义和应用价值。 常规的多次波压制技术是基于输出信号能量最小的原则，它是通过二阶统计 量推导得到，其需要假设一次波和多次波正交才能得到最优解，这种假设往往不 符合地震勘探的实际情况。 i c a 技术是近年由盲信号处理理论发展起来的一种新的多维信号处理方法， 它是将观测信号按照统计独立的原则建立目标函数，通过优化算法将观测信号分 解为若干独立成分，从而帮助实现信号的增强与分析。该技术是基于高阶统计量， 将该技术应用于多次波问题，无需假设一次波和多次波正交，从而更符合地震勘 探的实际情况。 本文在对独立分量分析的基本理论和常规多次波压制技术学习和分析的基 础上，根据地震信号的构成特点，提出了可以使用独立分量分析处理的地震信号 多次波盲分离i c a 模型，并基于非高斯最大化的准则进行了多次波盲分离的算 法设计。该算法利用混合矩阵的一些先验知识，巧妙的解决了分离出的有效波的 振幅和次序两个不确定性问题，实现了一次波和多次波的有效分离。 文章最后根据一次波和多次波的时距方程，人工合成地震记录，然后利用本 文所提出的方法进行仿真试验，并与常规的预测减去法比较，得到了满意的分离 结果，较好的恢复了一次波信息，说明的本文提出的多次波盲分离方法的有效性。 i c a 克服了常规多次压制要求假设一次波和多次波正交的缺点，有效的去除 了地震记录中的多次波，展示了i c a 技术在地震信号处理中的应用价值和前景。 关键词：独立分量分析多次波压制快速i c a 预测减去法盲信号分离 成都理工大学硕士学位论文 t h em e t h o do fm u l t i p l ea t t e n u a t i o nb a s e do n i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a j y s i s i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：l i u c h e n g ，m a l e ，w a sb o mi nj u ly ，1 9 8 2w h o s et u t o r w a sp r o f e s s o rg u o k e h e 伊a d u a t e df r o mc h e n g d uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yi n a p p l i e dm a t h e m a t i c sm a j o ra n dw a sg r a n t e dt h em a s t e rd e g r e ei nj u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t i ns e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g ，t h ei n t e r f e r e n c eo fm u l t i p l er e f l c c t j o n sj ss t i l lal a 唱e p r o b l e m ，e s p e c i a l l yf o rm a r i n ed a t a s e t s t r o n gm u l t i p l e sc a nl e a d t of a u l ts e i s m i c i n t e 印r e t a t i o na n df i n a u yl e a dt od r y - w e l l s 0i ti si m p o n a n ta n dn e c e s s a r yf b rm u l t i p l e s u p p r e s s i o n n a d i o n a lt e c h n o l o g yf b rm u l t i p l eb a s e do nt h ep r i n c i p l eo ft h el e a s te n e r g yo f o u t p u ts i g n a l sa n dd e d u c e db ys e c o n d0 r d e rs t a t i s t i c a ld a t a ，n e e dt oh y p o t h e s i z et h a t s i n g a lr e n e c t i o n 柚dm u l t i p l em u s tb eo r t h o g o n a lf o ro p t i m a l i t ys o l u t i o n ，w h i c hi sn o t i na c c o r d a n c ew i t ht h er e a ls i t u a t i o no fs e i s me x p l o r a t i o n i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ( i c a ) d r i v e df 如mb l i n ds o u i es e p a r a t i o n ( b b s ) i san e wm e t h o df o rf i n d i n gu n d e r l y i n gf a c t o r so rc o m p o n e n t sf r o mm u l t i v a r i a t e s t a t i s t i c a ld a t a n e9 0 a lo fi c ai st 0r e c o v e r t h eu n o b s e r v e ds o u r c es i 印a l sw i t h o u t a n yp r i o ri n f o 姗a t i o n 西v e no n l yt h es e n s o ro b s e r v a t i o n st h a ta r eu n l ( 1 l o w nl i n e a r m i x t u r e so ft h ei n d e p e n d e n ts o u i e s a n di c ad on o tn e e dt h eh y p o t h e s i z a t i o n ，w h i c h i sm o r ei na c c o r d a n c ew i t ht h er e a ls i t u a t i o n ，n l j sp a p e rr a i s e dt h ei c am o d e jf o rb l i n ds e p a r a t j o no fm u l t i p l e s ，b a u s e do n s t u d y i n ga 1 1 dn a n l y s i n gt h et h e o r yo fl c aa n dt h ec o m m o nt e c h n o l o g yo fm u l t i p l e a t t e n u a t i o n ，a n dt h es t m c t u r eo fs e i s m i cd a t a ，a n dd e s i g n e dt h es e o a r a t i o na 1 9 0 r i t l l i n w i t ht h ep r i n c i p l eo fn o n - g a u s sm a x i m i z a t i o n ，w h i c hs o l v e dt h eu n c e n a i n l yp r o b l e m a b o u tt h ea m p l i t u d ea n do r d e ro fs i n g a lr e f l e c t i o nh a n d i l y ；a n da c h i e v e dt h eg o a lo f s e p a r a t i o no fs i n g a lr e n e c t i o na n dm u n i p l e ，t a k i n gu s e f u lo ft h ep r i o rk n o w l e d g ea b o u t m i x e dm a t r i ) 【 w ec o m p o u n dt h es e j s m j cd a t ai ns e c t i o na c c o r d j n gt ot h et - xe q u a t i o no fs j n g a l r e f l e c t i o na n dm u l t i p l e ，a n ds i m u l a t e d ，c o m p a r e dw i t ht h ec o m m o nm e t h o d ，a n dg o t b e t t e rr e s u l t ，w h i c hp r o v e dt h en e wm t h o de f ! i e c t i v e i c ao v e r c o m et h ed e f e c tt h a tc o m m o nm e t h o dh y p o t h e s i z et h a ts i n g a lr e f l e c t i o n a n dm u l t i p l ea r eo n h o g o n a l ，r e m o v em u l t i p l ee f ! i e c t i v e l yf 内ms e i s m i cd a t a ，w h i c h r e v e a lt h ea p p l i c a t i o nv a l u ea n df u t u r eo fi c ai ns e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g k e y w o r d s ：i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s m u j t j p 】e a t t e n u a t j o n f a s ti g 气 m u l t i p l ep r e d i c t i o na n ds u b t r a c t i o n b l i n ds o u r c es e p a r a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛都堡兰太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 叫氓 弦。扩年r 月砷日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛都堡王丕堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛都堡王太堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) i、l 、 学位论文作者签名：砂i 神v 学位论文作者导师签名：j f7 到 o 崎护f 月叫日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 选题依据及研究意义 地震勘探是地球物理中重要的方法之一。它是通过测量和分析由人工激发 的地震波，依据岩石的弹性，研究地震波在地层中的传播规律，以查明地下地 质结构的方法。主要有数据采集、数据处理与分析、地质解释三个环节组成。 我们所采集到的地震数据，除了有效信号( 一次波) 外，还包含了大量的干扰 信号( 主要有随机噪声和相干噪声两大类) 。多次波，作为一种规则干扰，与有 效反射如影随形，只不过有时强烈，有时微弱。强能量的多次波干扰会影响有 效波的成像，甚至导致错误的解释，最终导致错误的布井和打钻。因此，多次 波的压制一直是地震数据处理过程中的难点和重点，特别对于海洋油气勘探， 多次波的问题更加突出。海水面( 自由界面) 是个很强的反射界面，一般反射 系数可达0 9 ，海底也是个很强的反射界面。由于这些强反射界面的存在，不可 避免的会产生强烈的交混回响和微曲多次波。多次波的存在使得地震资料的分 辨率降低，干扰人们对有效波的识别，使得后续的速度分析、偏移成像乃至解 释带来极大的困难，影响地震成像的真实性和可靠性。因此，研究多次波，并 借助现代数学工具，深入研究和应用一些新的数学方法，对多次波进行压制和 分离，不仅有着重要的理论意义和技术价值，而且具有实际的应用价值和直接 的经济效益。 盲信号分离技术是当今现代数学非线性科学研究的一个重要热点，盲信号 分离是指在不知源信号和传输通道参数的情况下，根据输入源信号的统计特性， 仅由观察信号就可从源信号中提取所需要特征信号或恢复出源信号各个独立成 分。根据这一原理，运用盲信号分离技术可从观测得到的地震信号中分离出有 效波和多次波，以此达到提高信噪比和分辨率的目的。由于盲信号分离技术也 是刚刚起步，在地震信号处理中的应用也比较少，独立分量分析作为盲信号分 离的一种处理方法，发展相对成熟，本文试图以此为突破口来研究地震信号多 次波的盲分离问题。 本论文是成都理工大学信息管理学院博士点基金项目“基于盲信号理论的 地震资料高分辨率和高信噪比研究”中的一部分。 1 2 独立分量分析的研究现状 独立分量分析【1 】( i c a ，1 1 1 d e p e n d e n tc o m p 伽e n ta m a l y s i s ) 是近年来由盲源分 1 成都理工大学硕士学位论文 离技术( b s s ，b l i n ds o u r c es e p a r a t i o n ) 发展来的一种新的多维信号处理方法，其 基本思路是将多维观察信号按照统计独立的原则建立目标函数，通过优化算法 将观测信号分解为若干独立成分，从而帮助实现信号的增强和分析。i c a 从多 维观测数据的高阶统计特性出发，提取其中的独立成分，从而使得分解结果更 具实际意义。与传统的二阶空间去相关技术【2 】【3 j 【4 】相比，i c a 不仅可以去除各分 量之间的一、二阶相关性，同时还具有发掘并去除数据间的高阶相关信息的能 力，使得输出分量之间相互独立。因此i c a 可以被看作是二阶空间去相关技术 的一种扩展。 i c a 的发展经过了一个曲折的过程。1 9 8 6 年，在还没有出现i c a 这一名字之 前，西班牙学者j e a n n vh e r a u l t 和c h r i s t i a nj u t e n 在美国犹他州举行的一次关于 神经网络计算的会议上发表了名为“神经网络模型的空时自适应信号处理”1 5j 的 论文。他们在论文中建立了一种基于神经网络和h e b b 学习规则的新的计算方 法，使用这种方法可以实现独立信号混合的盲分离。这是最早的独立分量分析 技术的雏形。而在随后的很长一段时间内，i c a 的研究基本上只限于法国。直 到1 9 9 4 年，法国学者p c o m o n 才比较系统的阐述了i c a 的概念并构造出了一 种基于高阶统计量的目标函数i 酬。1 9 9 5 年，a j b e u 和t j s e j n o w s k j 从信息 论的角度说明了盲源分离问题并且证明了神经网络输出信息熵的最大化就意味 着输入和输出之间的互信息最小化；同时，他们还使用随机梯度下降学习算法， 构造了熵的最大化实现，这就是通常所称的信息最大化i c a 算法( i n f o m a x ) i 7 。 虽然这一方法只对处理超高斯信号有效，但它在当时还是产生了很大的影响， 从此i c a 的发展逐渐加快。1 9 9 7 年，s i a m a r i 进一步证实，使用自然梯度的 i n f o m a x 算法可以使算法的计算量减小，并说明了它和最大似然法间的联系l 引。 1 9 9 8 年，t e w b nk e 通过和m a r kg i r o l a m i 等人的合作对i n f o m a x i c a 方法做 了扩展，使它可以用来处理一般的非高斯信号【9 1 ，包括超高斯信号和欠高斯信 号。随后a h y v a r i n e n 和e o j a 提出了一种名为快速i c a 的固定点算法1 1 0 j 。这 种算法计算简单且有很好的收敛性质，它极大地促进了i c a 在各种领域的实际 应用研究。 i c a 的应用范围非常广泛，并有进一步扩大的势头。i c a 的应用首先是从 对生物医学信号的处理开始的。1 9 9 6 年，m a k e i g 等人使用i n f o m a x 算法对e e g 和e r p 数据进行了处理【1 1j ，实验显示这种算法有一定效果。随后i c a 的应用 又扩展到图像处理，语音信号处理方面。近年来，随着人们研究的不断深入， i c a 在数据压缩、图像处理、模式识别、通信以及经济等领域的研究成果【1 2 】【1 3 】【1 4 】 也越来越多。 i c a 发展的时间虽然很短，但其取得的成绩却是卓越的。在理论方面，新 2 第1 章引言 的算法不断被提出，i c a 模型也从开始的线性模型向非线性模型发展【1 5 1 。在实 际应用方面，其范围也在不断扩大，并且随着一些新算法的出现，其应用研究 也逐渐从理想条件下的研究向更加实用的方面发展。从目前国际上的发展情况 来看，美国、法国、芬兰、日本在i c a 方面的研究处于领先地位。我国在l c a 方面的研究起步比较晚，且其研究主要集中在应用上，特别是在生物医学方面 的应用研究。最近几年，不少学者专家将i c a 应用到地学上，也取得不少的成 绩。其中主要体现在对地震资料进行分解识别【1 剐、对地震灾害系统中声波振动 信号进行分离【1 7 】【1 8 】、地震数据去唰1 9 儿冽【2 1 】【2 2 1 ，另外l c a 在地震信号多次波压 制应用中也取得了初步成绩，但是仍然有许多需要改进和进一步完善的地方 【2 3 】【驯【矧。 1 3 地震信号多次波压制的研究现状 多次波问题一直被人们所关注【矧，自2 0 世纪5 0 年代以来，产生许多压制 多次波的处理方法，预测反褶积是较早运用的一种方法，它是利用相关函数从 初始到达的有效反射预测出多次波( r o b i n s o n ，1 9 5 7 ) 。对于简单一维空间介质模 型，预测反褶积是比较成功的，但是对于复杂介质情况，其效果就大大减弱了。 自由界面多次波和内部多次波的概念是在7 0 年代晚期提出的【2 7 1 【矧。k e n n e t t ( 1 9 7 9 ) 提出了一维空间自由界面多次波模拟方法及反演方案。由于该方法对 数据采集方式和地下介质作了太多的简化和假设，所以在实际应用中效果并不 好。r i l e y 和c 1 a e r b o u t ( 1 9 7 6 ) 提出了二维空间自由界面多次波模拟算法，但没 能获得合适的反演方法。v e r s c h u u r ( 1 9 9 1 ) 利用能量最小准则消除了与自由界 面有关的多次波，并成功的估算出了逆源子波【2 9 】【3 0 1 。w e 西e i n ( 1 9 9 4 ) 用反散射 级数法实现了消除自由界面多次波和内部多次波【3 1 】。从1 9 3 6 年的第一卷 g o e p h y s i c s 上发表的关于多次波处理的论文到现在，几乎每期杂志都或多或少 的涉及到多次波问题。1 9 9 9 年，s e g 在t h ek a d i n ge d g e 杂志上特意出版 了关于多次波的专集：n en e ww b r l do fm u l t i p l e a t t e n u a t i o n 。 就目前趋势来看，对多次波的研究不但没有消退，反而更加深入、更加透 彻。随着深度成像技术的发展，随着油气勘探地质情况越来越复杂、成本越来 越高、风险越来越大，都迫使地震信号处理技术不断发展，各种各样的新方法 新思路被发展起来消除多次波。 当今，国外对多次波压制的研究动向主要有如下特点： ( 1 ) 基于波动理论的多次波压制技术已成为主流； ( 2 ) 基于波动理论的消除多次波的方法大致分为两类：一是反馈环方法， 即d e l r 方法或s r m a ( s u r f a c er e l a t e dm u l t i p l ea t t e n u a t i o n ) 算法，以荷兰的d e l f t 3 成都理工大学硕士学位论文 大学的a j b e r l 【l l o u t 和d j v e r s c h u u r 为代表；二是反散射方法，以a 劬u r b w e 酉e i n 为代表； ( 3 ) 与自由界面有关的多次波预测取得了突破性进展，目前已开始向内部 多次波的预测和消除推进； ( 4 ) 三维问题及简化方法的研究。 当今，国内对多次波压制的研究现状：多次波问题在我国海洋地震勘探中 相当严重，陆地上在深层勘探时也会遇到多次波问题。虽然目前已有许多方法 对其进行处理，但是效果往往不太理想。国内目前在解决多次波问题时，大多 还在沿用比较陈旧的方法。 因此，对现代数学和信号处理中的新方法进行研究，并引入地震勘探领域 是非常有现实意义和发展前景的。 1 4 本文主要研究内容及创新点 1 4 1 主要研究内容 本论文的主要研究内容： ( 1 ) 研究独立分量分析技术的基本原理和算法设计。首先根据独立分量分析 的数学模型，学习i c a 的预处理理论和不确定性问题，接着根据随机变量的 几个独立性判据，引出了它们相应的解决算法。其中重点介绍了i c a 批处理和 自适应算法，分析了她们各自的优缺点，并引出了独立分量逐次提取算法，从 而为其在以后章节的应用作铺垫。 ( 2 ) 总结和吸收前人在多次波压制技术方面的研究成果。传统的基于二阶统 计量的地震信号多次波压制方法，必须假设一次波和多次波是正交的才可以得 到最优解。针对此不足，本文提出基于高阶统计量的独立分量分析方法来压制 多次波的设想，设计了一个符合地震信号构成的i c a 模型。 ( 3 ) 根据非高斯最大化的准则，进行算法设计。在此过程中，我们解决了算 法中存在的两个不确定性问题，从而成功提取出一次波的有效信息，并将此过 程命名为多次波盲分离方法。 ( 4 ) 本文根据地震波传播的几何学特点，合成人工地震资料数据，并以人工 合成的地震记录( 剖面) 作为仿真实验的依据。通过仿真实验的结果可以得到 结论：在无需假设一次波和多次波正交的前提下，一次波的信息依然可以被基 本无损伤地保留下来。 4 第1 章引言 本文研究技术路线如图1 1 所示。 地震记录( 剖面) i 信号的零均信化 1 l 信号的白化 1 0 i 基于波动方柙多次波预测及个数确定 l ll 地地混 震震合 道 道矩 信信阵 号号奇 高 独 异 斯 业性 性性分 分分析 析 析 -+ i l 基于l c a 地震名次波盲分离 l ： l i 正确性检验有效性分析 图卜1 技术路线 数据预处理 多次波预测 盲分离条件分析 多次波盲分离 结果分析 1 、将盲信号分离理论应用到地震信号处理中，对该理论的应用推广是一个 有益的尝试。 2 、多次波压制在地震信号处理中是一个非常重要的环节，而多次波压制方 法的研究在当今国内外是一热点问题。本文将盲信号分离理论与方法应用多次 波分离中，试图为多次波压制寻找一种简单有效的方法。 3 、传统的多次波压制技术是基于二阶统计量的，需要假设一次波和多次波 正交才能得到最优解；而基于i c a 多次波盲分离技术是基于高阶统计量，无须 假设一次波与多次波正交，更符合地震勘探实际应用条件。 5 成都理工大学硕士学位论文 1 5 本文章节框架 论文共分为六章，各章主要内容如下： 第一章，引言。阐明了地震资料处理中多次波压制的必要性和重要性，即 研究背景及意义；综述了独立分量分析的研究现状；总结了国内外多次波压制 技术的研究现状及动向；最后，给出了论文研究的主要内容、技术路线、创新 点和框架安排。 第二章，独立分量分析的基本理论。本章内容主要是对前人研究工作的总 结和回顾。首先基于独立分量分析的数学模型，介绍了i c a 的两个不确定性 问题和预处理理论：接着根据随机变量的几个独立性判据，引出了它们相应的 解决算法。其中详细论述了批处理i c a 算法和自适应i c a 算法，并对独立成 分逐次提取的i c a 算法作了概括，从而为第四章中的算法设计进行铺垫。 第三章，地震信号多次波分离技术。本章中首先对多次波的概念和分类进 行了阐述和说明；对前人提出的多次波压制方法和技术进行了总结和学习，并 详细阐述了滤波方法、基于波动方程的预测减去法等几类主要的方法，并对常 规多次波压制方法的优缺点做了总结和归纳，说明形成新的多次波压制方法的 重要性和必要性。 第四章，基于i c a 多次波盲分离技术。首先对本文的研究对象进行了简单 的说明，建立了基于i c a 的多次波盲分离模型，并阐述了算法原理，设计了基 于峭度和负熵为目标函数的i c a 固定点算法来解决多次波盲分离问题；并对 i c a 问题中两个固有的不确定问题进行分析和解决；最后给出了实现步骤。 第五章，多次波盲分离仿真实验。本章中根据多次波和一次波的时距方程 ( 传播方程) ，人工合成地震记录，然后利用本文所提出的方法进行仿真实验， 并与常规基于输出能量最小的预测减去法相比，得到了满意的分离结果，较好 的恢复了一次波信息，说明了算法的正确性和有效性。 第六章，总结与展望。本章中对本文的研究成果和缺陷进行了总结，并对 下一步的发展和研究方向进行了展望，提出研究意见。 6 第2 章独立分量分析的基本理论 第2 章独立分量分析的基本理论 2 1 独立分量分析问题的数学模型 独立分量分析是指从若干观测到的多个信号的混合信号中恢复出无法直接 观测到的独立原始信号的方法。通常，观测信号来自一组传感器的输出，其中 每一个传感器接收到多个原始信号的一组混合，如图2 1 所示1 1 1 。 在图2 1 中，咒个信号源s ，s ：，s 。所发出的信号被m 个传感器接收到后得 到输出而，z 扩，z 。这里假设传输是瞬时的，即不同信号到达各个传感器的时 间差别可以忽略不计，并且传感器接收到的是各个原始信号的线性组合，即认 为第f 个传感器的输出为 x r2 再口f s ，o ) + 刀ro ) z = 1 ，2 ，一，朋( 2 - 1 ) 其中，口玎为混合系数，以，( f ) 为第f 个传感器的观测噪声，s ，o ) 为第f 个原始信 号。式( 2 1 ) 可以用矩阵表示为 x o ) = 彳s o ) + r o ) ( 2 - 2 ) 其中， s ( f ) 一【s 。( f ) ，s 2 ( f ) ，s 。( f ) 】r 是咒1 的原始信号列向量， x o ) = 陋。o ) ，石：o ) ，工。o ) 】r 是聊1 的混合向量，( f ) 墨【刀，o ) ，刀：( f ) ，l 。o ) 】r 为 m 1 的噪声向量，矩阵4 为肌甩的混合矩阵。 原始独立信号 输出混合信号 图2 1 信号混合过程示意图 目前在考虑i c a 问题时通常不考虑观测噪声，即认为不存在噪声或者在进 行盲分离之前已经通过其他方法降低到了可以忽略的程度，此时，式( 2 2 ) 可 以写成 7 成都理工大学硕士学位论文 x o ) = 彳s o ) ( 2 - 3 ) 那么i c a 问题也就可以表述为：在混合矩阵彳和原始信号s o ) 均未知的条 件下，求一个咒惭的矩阵分离，使得形对混合信号x o ) 的线性变换 y ( f ) = 肠( f ) ( 2 4 ) 为对原始信号s o ) 或某些分量的一个可靠估计。如果将式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 合 并得到 y o ) = w 彳o ) = w 彳s o ) = c s o ) ( 2 - 5 ) 其中，c = 黝为，z 玎矩阵，称为混合分离复合矩阵。 由式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) 可以看出，i c a 模型是一种统计“隐藏变量”( 1 a t e n t 撕a b l e s ) 模型【3 2 】。其中的独立分量s ，o ) 是隐藏的变量，不能被直接观测到。而 混合矩阵彳也是未知矩阵，i c a 可直接利用的信息只有传感器观测到的随基向 量五o ) 。若无任何前提条件，要仅由x ( f ) 估计出s ( f ) 和彳，i c a 问题的解必为 多解，即对于一组观测信号x o ) ，可能存在许多不同的混合矩阵彳和原始信号 s o ) 。为使i c a 问题有确定的解，有必要给出i c a 问题的假设和约束条件【6 】【3 3 】： ( 1 ) 混合矩阵么凡。为列满秩，即阳础即) = ，l ； ( 2 ) 各原始信号j 。o ) 为零均值平稳随机过程，各分量之间相互统计独立。若 & o ) 的概率密度函数( p d f ) 为见( s ，) ，则源信号向量s 的p d f 为： p 5 ( s ) = m 。p 心，) ( 2 - 6 ) ( 3 ) 原始信号各分量中，服从高斯分布的分量不超过一个，否则原始信号 不可分离； ( 4 ) 噪声( f ) 为零均值随机矢量，且与原始信号s o ) 相互统计独立，或者 噪声可忽略不计。 2 2 信号预处理 在对混合信号进行i c a 处理之前，通常需要先对信号进行一些预处理，最 常见的预处理过程主要有两个，一是去除信号的均值，二是信号的白化。 2 2 1 信号的零均值化 在绝大多数i c a 算法中，都假设原始信号的各个分量是均值为零的随机变 量，因此为了使实际的i c a 问题能够符合所提出的数学模型，必须在分离之前 预先去除信号的均值。去除信号均值的过程是一个平凡( t r i v i a l ) 过程。设x 为 8 第2 章独立分量分析的基本理论 均值不为零的随机变量，只需要用x = x e ( x ) 代替x 即可。在实际计算中则 用算术平均代替其数学期望来对随机变量的样本去均值。设 x o ) ； ，( f ) ，z ：( f ) ，毛o ) ) 丁，f = l 2 ，为随机矢量x 的个样本，则采用以下 方法去除样本的均值： 1 x f g ) o ) 一专薹一= 棚 ( 2 - 7 ) 2 2 2 信号的白化 所谓随机矢量x 的白化，就是通过一定的线性变换r ，令 x = ( 2 - 8 ) 使得变换后的随机矢量岩的相关矩阵满足砖；研詹r 】= ，即j 的各个分量满 足研厨r 】= 6 ，其中屯为n e c k e rd e l t a 函数。对混合信号的白化实际上就是 去除信号各个分量之间的相关性，即使得白化后的信号的分量之间二阶统计独 立。式( 2 8 ) 中的丁称为白化矩阵。 信号白化的方法主要有两类i ，一是利用混合信号的相关矩阵的特征值分解 实现，另一类是通过迭代算法对混合信号进行线性变换实现。下面分别加以说 明。 一、相关矩阵特征值分解 设混合矢量x 的相关矩阵为r z ，则由相关矩阵的性质可知，尺z 存在特征 值分解( e v d ) 为 略= q z 2 q 1 ( 2 9 ) 其中矩阵2 为对角矩阵，其对角元素砰，麓，为矩阵r t 的特征值，而正交 矩阵q 的列矢量为与这些特征值对应的标准正交的特征矢量。于是可以取白化 矩阵为 丁。- 1 q r ( 2 1 0 ) 设j ：掰，则有 r j = e 【豆矛r 】= 硒【豆牙r 】丁r = 豫x 丁r ( 2 1 1 ) 将式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 代入式( 2 1 1 ) 有 r j = ( - 1 q 了1 ) ( q 2 q 丁) ( 1 q r ) r = ， ( 2 1 2 ) 因此，通过矩阵z 的变换，混合信号各分量之间变得不相关了。 对相关矩阵来说，其特征值分解和奇异值分解是等价的，因此也可以通过 9 成都理工大学硕士学位论文 对混合信号矢量的相关矩阵的奇异值分解( s v d ) 来求白化矩阵。通常矩阵的 奇异值分解的数值算法比特征值分解的数值算法具有更好的稳定性，因此一般 采用混合信号相关矩阵的奇异值分解来求白化矩阵。在 在实际计算中，混合信号的相关矩阵只能通过混合信号的样本来估计。设 x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，工( ) 为混合信号随机矢量的一组样本，则混合信号的相关矩阵可由 下式估计： 疋2 志荟x o m r ( 2 - 1 3 ) 二、混合信号的迭代算法 混合信号白化的另一类方法是通过对某些代价函数的最小化来实现。由于 白化的目的是寻找一个白化矩阵z 使得变换以后得到的新矢量的相关矩阵为单 位矩阵，因此可以取z o ) = 丁o ) x o ) ，通过迭代不断调整变换矩阵丁o ) 的各个元 素的值，并逐渐缩小新矢量z o ) 的相关矩阵和单位矩阵之间的“距离”，以此来 实现混合信号的白化。设z ( f ) = 丁o ) x o ) ，一个可行的方法是按下式进行迭代： 丁o + 1 ) = 丁o ) 一九【z o ) z o ) 2 一j 】丁o ) ( 2 1 4 ) 其中无为学习系数，设c = 翻为混合白化复合矩阵，通过对代价函数 驴。( c ) = 去恃一州f ( 2 - 1 5 ) 来进行优化。不难看出，当式( 2 1 4 ) 的迭代算法收敛后，将有 e 【z o ) z o ) r 一，j = o ，即吃；，因此迭代算法( 2 1 4 ) 能够实现混合信号的白 化。 2 3 独立分量分析的优化判据 在2 1 节中我们知道，i c a 问题实际上是一个没有唯一解的优化问题，因此 只能在某一衡量独立性的的判据最优的意义下寻找其近似解答，使得y ( f ) 中各 分量尽可能独立。 由于i c a 问题的第一步是信号白化，白化后的信号已经是二阶统计独立， 因此下一步的分解算法只要考虑三阶以上的统计量。 既然i c a 是在某一判据意义下进行寻优计算，所以问题实际包含两个部分， 首先是采用什么判据作为一组信号是否接近相互独立的准则，这是本节将重点 讨论的问题；其次是用怎样的算法来实现这这样的目标，它是后面章节将要讨 论的问题。 1 0 第2 章独立分量分析的基本理论 2 3 1 互信息最小化【3 4 】 i c a 的目的是使输出信号y o ) 尽可能独立，而l 也散度( 或互信息) 则是统 计独立性的最佳测度。设x 是，l 维列向量，p ，o ) 和p ： ) 是两个概率密度函数， 它们之间的相似程度可用l 也散度来衡量： m - 圳恢例2 p - 刚o g 【豢协 ( 2 - 1 6 ) k l 值越大，则二者越不相似。当p ，o ) = p ：o ) 时，k l 值为0 。 设刀维输出列向量y 的概率密度函数为p ，( y ) ，各分量y ；的概率密度函数为 见( y z ) ，则可用p ，( y ) 与兀二。p t ( y ，) 之间的l ( l 散度来衡量) ，各个分量之间的统 计独立性。这种测度称为输出y 各分量间的互信息，即 坳m 呱以，2 川吲芾淼坳( 2 1 7 ) 2 3 2 信息传输最大化或负熵最大化【7 】【3 4 】【3 5 】 在噪声较低的情况下，输入与输出之间互信息最大化( 信息传输最大化) 意味着输出与输入之间的信息冗余达到最小，这样就使得各输出之间的互信息 最小，从而各输出分量相互统计独立。 由于系统输出负熵j ( ) ，) = h ( y 。) 一日( ) ，) ，其中h ( ) 为熵，y 。是与y 方差相 同的高斯随机向量。由于负熵与互信息的关系为 地m 一扣小扣骺， 协 其中c 为y 的协方差矩阵，巳是c 的对角元素，当y 的各个分量不相关时， 上式可简化为 ，( y ) = j ( y ) 一从) ，f ) ( 2 - 1 9 ) 由此可以可得，最小化输出信号y 各分量之间的互信息等价于最大化各分 量的负熵和善j r ( y r ) ，即基于负熵的目标函数为 成都理工大学硕士学位论文 p ( y ) ；_ r ( y ；) 筒 2 3 3 最大似然目标函数【3 6 】【3 7 】【3 8 】 ( 2 2 0 ) 设p ，o ) 是对观测向量x 的概率密度p ，o ) 的估计，原始信号的概率密度函 数她。因为刚s ，故有刍川= 镏。 对于给定模型，观测数据x 的似然函数是模型参数4 的函数，为 l ( 彳) = e l o gp ，( z ) ) = r p ，l o gp 。( 么- 1 z ) 出一l o gld e t 彳i ( 2 2 1 ) 当模型参数为分离矩阵= 彳4 时，对数似然函数为 三( ) 2 ；善 1 。g p s 陬o ) ) + 1 。g id e t 形i ( 2 - 2 2 ) 其中z 为独立同分布观测数据的样本数。 2 4 独立分量分析算法 2 4 1成对数据旋转法( j a c o b i 法) 及极大峰度法( m a x k u r t 法) 【6 】【3 7 】【3 9 】 这种方法的处理过程有两步，首先将观测数据白化，然后再对白化后的数 据作正交变换，来优化度量独立性的判据。前一步使数据正交化，但未必独立， 后一步则在保持熵值不变的前提下使各分量尽可能独立。 一、g i v e n s 旋转 g i v e n s 旋转是j a c o b i 算法的基础它是通过一种迭代步骤，按照一定优化要 求对一个随机矢量进行正交归一变换的方法，通过反复进行一系列坐标平面旋 转来达到正交归一的变换目的。 令z 为mx 1 矢量，对它的f ，分量按下式作平面旋转，同时保持z 中其它分 量不变： 阱隅矧纠 协2 3 ， 当按照上式把所有掣对z ，z f 都作过一轮旋转后，因为旋转其它z ，z ， 时，由于序号f ，- 需要重复使用，因此以前已经做过旋转的乙，z ，还会受影响， 1 2 第2 章独立分量分析的基本理论 所以需要反复进行，其处理步骤为： ( 1 ) 第一轮旋转：对所有些学对元素一次进行以下变换：对 1sfs _ s 肘 ( a ) 计算g i v e n s 旋转角b ，其目标是使旋转后的乙，z 胄邑使优化判据( z ) 减小。 ( b ) 如果计算得到的k i 预设阈值口胁，则对z 。，z ，按照式( 2 2 3 ) 进行旋转， 否则保持不变。 ( 2 ) 重复上一步旋转过程，直到前轮旋转中所有各对z f ，z ，均不再需要旋转为 止。 二、极大峰度法 在上述步骤中有两个关键问题： ( 1 ) 阈值日曲如何确定，它直接影响优化结果的准确程度。根据c a r d o s o 的经 验可取日晌一1 0 之( 样本集总数) 。 ( 2 ) 如何确定每次旋转角，本文中以采用白化数据输入条件下的极大似然 判据m 为例加以说明。 根据m l 判据，对正交变换后的输出y 有： 产( ) ，) 。去；( y ) 呵2 ( 碱】2 + 去荔【( y ) 以酬2 q 乞4 ) 其中k 玎，k 洲分别表示二阶及四阶联合统计量，口2 ，七。分别表示方差和峰度。 经白化及正交变换后k ；f ( ) ，) = 6 ，又根据原始假设62 ( 墨) ；1 ，于是有： 加去卜也 蚶 ( 2 - 2 5 ) 2 去荔【( y ) 一驴( 训之荔啪加彬( y ) 】 上式中第二项与y 无关，又在白化输入下第一项k 删( y ) 为常数，而第三项只有 在f = j = 七；z 时有值，故上式可以写成 皿( y ) = 一去善她) 碱) = 一去荟她) e ( y 4 r ) 2 2 6 c 1 j i ， c 1 式( 2 2 6 ) 中= 表示与原式只相差一些与y 无关的项( 包括常数) ，该式即为 m a x k u n 算法的表达式。 为了说明如何确定以， 以一个简单情况进行说明。假设 七。( s 1 ) = 七。( s 2 ) = = 七。o | i ，) = 七4 ，此时( 2 - 2 6 ) 式可化简为： 皿( y ) = 一七。( y 4 ，) = 心一七。九c o s ( 4 一q 盯) ( 2 - 2 7 ) 成都理工大学硕士学位论文 其中，其中心为皿中与岛无关的项，九，q 均可入由白化数据z ，z j 求得。因 此不难通过单变量寻优求得。 2 4 2 特征矩阵的联合近似对角化法( 儿如e 法) 1 9 9 9 年c a r d o s o 对m a x k u n 算法作了一些改进，其主要特点是加强算法的 代数概念，即引入多变量数据的四维累积量矩阵，并对其作特征分解，简化了 算法，也提高了算法的稳健性。其具体做法如下： 令z 为白化后的咒通道观测矢量z _ 【z ，z 2 ，z 。】r ，m 为任意，l ，l 矩阵，z 的四维累积量矩阵q ：) 的定义为： q ：( m ) 】l 竺耋骞k 心o ) m 盯 f ，j = 1 ，2 ，棚 ( 2 2 8 ) 其中k 州( z ) 表示矢量z 中第f ，_ ，七，四个分量的四维累积量。 若令y = 黝，其中爿为混合矩阵，矽为白化矩阵，即z = 坯，由于信源s 和白化数据z 的方差都是1 ，且s 中各元素相互独立，z 中各元素相互正交， 故矿必定正交归一。若取m ；v ，v 肌= 1 ，2 ，咒，则以m 为权重阵构成的累积 量阵可分解为