（基础数学专业论文）平面映射不变曲线的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 平面映射不变曲线的研究 胡明才 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 非线性科学已经成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十 分重要的角色。动力系统就是要研究一个确定性系统的状态变量随时间变化的规 律，根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭 示的离散动力系统。对迭代动力系统的研究涉及线段上的自映射、迭代根与迭代 函数方程、迭代泛函微分方程与嵌入流等。 许多物理学、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由连续的或离散 的迭代过程描述的。动力系统的许多问题都可已化为迭代函数方程，以迭代为基 本运算形式的迭代方程，深刻地影响着自然科学与工程技术的发展。迭代函数方 程伴随着迭代理论的发展，从巴贝奇、阿贝尔等数学家开始至今，已经形成了一 个理论体系。 本文在第一章中介绍了函数迭代的特性及其在现实生活中的应用、迭代与动 力系统的概念、离散动力系统与连续动力系统的概念、迭代函数方程的基本形式、 迭代根问题、不变曲线向题及d 撕e 引理，并且简要介绍了近几年在迭代函数方 程方面的研究成果。 平面保积映射的不变曲线在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要 的角色，研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义。在第二章中讨论了 两类平面映射的解析不变曲线的存在性化为等价的迭代函数方程解的存在性，利 用s c h r 6 d e r 变换把迭代函数方程化为等价的不含未知函数迭代的非线性函数方 程，再利用优级数的方法得到解析解的存在性。以前在这方面的工作要求未知函 数在其不动点处的线性化特征值口不在单位圆周上或在单位圆周上满足 d i o p h a n t i n e 条件，此处突破了d i o p h a n t i n e 条件的限制，在a 是单位根的情形以 及已知函数有正则奇点的情形，给出了解析解结果。 关键词：迭代，迭代函数方程，优级数，解析解，不变曲线 山东大学硕士学位论文 t h e o r yo fa n a l y ticln v a ria n tc u r v e s f o rap l a n a rm a p h um i n g c a i s c h o o lo f m a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 010 0 ，c h i n a a b s t r a c t n o n l i n e a rs c i e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nt o d a y ss c i e n c e s t h e t h e o r yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e t h e p u r p o s eo fd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi st os t u d yr u l e so fc h a n g ei ns t a t ew h i c hd e p e n d s o nt i m e u s u a l l yt h e r ea r et w ob a s i cf o r m so fd y n a m i c a ls y s t e m s ：c o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s d e s c r i b e db yi t e r a t i o no fm a p p i n g s t h es t u d yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si n v o l v e s s e l f - m a p p i n g so ni n t e r v a l s ，i t e m t i v er o o t so ff u n c t i o n s ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s ， i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n de m b e d d i n gf l o w s m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l si np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，b i o l o g ya n da s t r o n o m ya r e g i v e ni ns u c hf o r m s m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m sc a nb er e d u c e dt oa n i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n i t e r a t i v ee q u a t i o n sa r et h o s ee q u a t i o n sw h i c hi n v o l v e i t e r a t i o n 弱ab a s i co p e r a t i o n , a f f e c tt h ed e v e l o p m e n to fn a t u r a ls c i e n c ea n d e n g i n e e r i n gd e e p l y s i n c em a t h e m a t i c i a n s l i k eb a b b a g e ，a b e le r e ， i t e r a t i v e f u n c t i o n a le q u a t i o n sh a v ef o r m e dat h e o r ys y s t e mw i t ht h ed e v e l o p m e n to fi t e r a t i v e t h e o r y i nc h a p t e ro n e ，t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n da p p l i c a t i o n so ff u n c t i o n a li t e r a t i o n ，t h e c o n c e p t so fi t e r a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h ec o n c e p t so fd i s c r e t ed y n a m i c a l s y s t e m sa n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h eb a s i cf o r m so fi t e r a t i v ee q u a t i o n sa n d t h ep r o b l e m so fi t e r a t i v er o o t sa n di n v a r i a n tc u r v e sa n dd a v i el e m m aa l ei n t r o d u c e d ab r i e fi n t r o d u c t i o ni sa l s og i v e na b o u tt h ea c h i e v e m e n t sm a d ei nt h ef i e l do fi t e r a t i v e 2 山东大学硕士学位论文 f u n c t i o n a le q u a t i o n si nr e c e n ty e a r s i n v a r i a n tc u r v e so ft h ea r e ap r e s e r v i n gm a p sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r y o fp e r i o d i cs t a b i l i t yo fd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h e e x i s t e n c eo fa n a l y t i ci n v a r i a n tc u r v e sf o rt w ok i n d so fp l a n a rm a p p i n g s w er e d u c et h e e x i s t e n c eo fi n v a r i a n tc u r v e st ot h ee x i s t e n c eo fa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n t h e n w eu s et h es c h r f d e rt r a n s f o r m a t i o nt oc h a n g et h ei t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o nt o a n o t h e rw i t h o u ti t e r a t e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o n f u r t h e r ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f a n a l y t i cs o l u t i o n so fs u c ha ne q u a t i o nb ym e a n so fm a j o r a n ts e r i e s p r e v i o u sw o r k s r e q u i r ea ，t h ee i g e n v a l u eo ft h el i n e a r i z a t i o no ft h eu n k n o w nf u n c t i o na ti t sf i x e d p o i n t ，i sn o to nt h eu n i tc i r c l eo rl i e so n t h ec i r c l e 、柝m t h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n w e b r e a kt h r o u g ht h er e s t r i c t i o no fd i o p h a n t i n ec o n d i t i o na n do b t a i nr e s u l t so fa n a l y t i c s o l u t i o n si nt h ec a s eo fu n i tr o o t 位a n dt h ec a s et h a tg i v e nf u n c t i o n sh a v ear e g u l a r s i n g u l a rp o i n t k e y w o r d s ：i t e r a t i o n ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s ，m a j o r a n ts e r i e s ，a n a l y t i c s o l u t i o n s ，i n v a r i a n tc u r v e s 3 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 蛰豳盆 日期： 边粗丛目 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：址盟i 导师签名：五r 垫犁日期：狸堕钮生尘日 山东大学硕士学位论文 第一章引言 由两个或两个以上相互作用、相互依赖的元素做成的具有特定功能的有机整 体称为一个系统，这些元素是相互联系并不断变化的，既可以是自然科学中的某 些物质，也可以是社会客体和组织的抽象的事物。一个系统如果其历史和未来完 全由某一时刻的状态来确定，或者说只要知道它在某一时刻的状态，就能准确的 预测它的未来的命运并能回溯它历史发展过程，则称之为一个决定性系统。动力 系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律。微分方程描述的 连续运动和映射迭代描述的离散运动都是动力系统研究的范畴。连续动力系统以 牛顿力学为背景，其历史可以追溯到1 9 世纪末p o i n c a r 6 创立的微分方程几何理 论，而对以迭代为背景的离散动力系统的研究则起始于一百多年以前，由数学家 e s c h r 6 d e r 、n h a b e l 、b b a b b a g e 等人创立的迭代论。虽然动力系统有漫长的 发展历史，但在近半个世纪，在近代自然科学如物理学、化学、天文学等学科的 关注和推动下，动力系统理论，尤其关于迭代动力系统的理论才蓬勃发展起来， 取得了一些重大发现，如关于周期性的s h a r k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂性的s m a l e 马蹄等，所有这些都极大的促进了动力系统的发 展，使动力系统成为多个学科关注的焦点，也成为数学研究的热点。 大量的物理学、力学、生物学以及天文学等问题的数学模型都是离散的或连 续的迭代过程描述的。许多重要的发现都是通过对迭代的研究产生的。比如，2 0 世纪最重要的成就之一的k a m 理论，其主要方法就是映射的迭代。在自然界中， 许多复杂的现象是由迭代函数方程与迭代泛函微分方程描述的。比如，在离散动 力系统中研究映射的倍周期分岔时，描述倍周期分岔的普适性的具体表现就是重 正化群方程，即费根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 函数方程( 5 ) ： ry g ( x ) = - g ig ( 一二) l ，g ( o ) = l l aj 这就是一个迭代函数方程。微分方程中的不变流形，h a m i l t o n 系统中的不变环面 和不变曲线，都可归结为对迭代函数方程的研究。 近二十多年来，动力系统的研究产生了质的变化，这主要来源于结构稳定性 的研究。这方面的主要成果许多是在x 是紧致光滑流形m 的情况下得出的。m 4 山东大学硕士学位论文 上的一常微系统s ，如果充分小的扰动不改变s 的相图结构，就称它为结构稳 定的。也就是说：若m 上任一一常微系统z 充分靠近s 则有m 到其自身上的一 拓扑变换把s 的轨线映到z 的轨线( 这里所谓充分靠近是就c 。意义下来说的) 。 结构稳定性这一概念由于在实际应用中所取的数学模型，比起真实现象来，往往 经过了简化，使所取模型成为有效而虽有小扰动仍能有某种程度不变的结构，所 以广泛为人们接受。 平面映射的不变曲线在离散动力系统的周期稳定性理论中占有重要位置关 于二维不变曲线的存在性，已有许多学者进行了研究如( 6 6 7 1 ) ，( 7 3 7 5 ) ，而 文献( 9 9 1 0 1 ) 等也讨论过解析不变曲线的存在性问题 鉴于迭代函数方程在理论上和应用上的重要性，本文的研究主要在迭代函数 方程理论方面就平面映射的不变曲线的理论方面展开工作。 1 1 迭代与动力系统 设x 是一个集合，厂和g 是定义在x 上的自映射。厂。g 表示映射厂和g 的复 合，即u 。g ) ( x ) = 厂( g ( x ) ) ，x x 。由此得到迭代的定义 定义1 1 1 设f ：x h x 是集合x 到自身的一个映射，记 “( x ) = f o f ”1 ( 砷，f o ( 曲= x ， 其中疗为正整数，称”( 功为( x ) 的力次迭代，并称刀y , s f ”( d 的迭代指数。 从定义可见， f 吨= i d 4ot 1 = m m 其中耐表示恒同映射，映射的迭代构成了一个半群，如果厂是拓扑空间j 上的 连续映射，其迭代被认为是构成了一个离散半动力系统扩”：n 6 z + ，如果厂在拓 扑空间x 上是一个同胚，其迭代构成了一个离散动力系统扩一：刀z 。 定义1 1 2 一个映射( f ，工) ：r xhx 成为集合x 上的一个流，如果对 v ，l ，t 2er ，x x 满足( i ) 驴( o ，x ) = x ，( i i ) 妒( + r 2 ，x ) = ( f l ，9 i ( f 2 ，x ) ) 。 5 山东大学硕士学位论文 如果在上述条件中，t 仅在r + 上有定义，则称妒( ，x ) 为一个半流。 定义中的集合x 如果是拓扑空间，i i i i d p ( t ，力连续，这是我们称多为x 上的一个连 续( 半) 动力系统，如果x 上有c 7 微分结构，且妒( ，x ) 也是，阶连续可微，则称 为c 7 流，对连续流进行采样，即若上述定义中的，z ( z + ) ，记f ( x ) = 驴( 1 ，x ) ， 其中驴( 1 ，x ) 称为流咖的时间1 一映射，则称矿ik z ( z + ) 为x 上的一个离散( 半) 动力系统。反之，映射，：，h ，如果有妒( f ，x ) ，使得驴( 1 ，x ) = f ( x ) ，则称f 是 一个可嵌入流( 半流) 。 迭代作为决定性过程的数学模型，有着鲜明的实际背景，事实上人们在生活 中常常遇到这样的系统：系统在时刻f 的状态五由其在初始时刻f d 和初始状态k 及确决定 五= f ( t t o ，民) 若我们每隔一个时间单位做一次观测，则第n + 1 次观测到的状态五一= ，( 乙+ 。一 乙，) 。由于乙“一t n = l ，记f ( 力= f ( i ，x ) ，则化为迭代。因此，通过对f 的迭 代研究，可以预测系统在未来的状态和发展趋势。我们还可以对微分方程的解曲 线通过时间1 一映射化为迭代来进行研究，事实上微分方程的许多定性问题都可 已化为拓扑空间上的连续映射的迭代来处理。 设f o 拓扑空间x 上的一个同胚，f 为的k 次迭代，称集合 o r b ：( x ) = 扩( x ) l i z ， 吣( x ) = 扩( 圳七z + ， 呖( 功= 扩( x ) l k e z 一 为离散动力系统厂过点x 工的轨道、正轨道、负轨道。显然我们有：o r b ：( x ) = o r b ；( x ) u o r b ( x ) 。如果存在自然数p ，使得厂p ( x ) = x ，则称x 为厂的周期点， 满足这一关系的最小自然数p 称为x 的周期，并直接称x 为p 一周期点。当p = l 时，x 称为不动点，分别用心，( 力和鼢( 门表示厂在x 上的所有周期点和不动点 山东大学硕士学位论文 的集合，显然有f i x ( f ) c 凡，( 厂) ，过周期点的轨道称为周期轨道，它必定为有 限轨道，反之亦然。 定义1 1 3 如果存在序列专佃( 砌) ，f 一佃，使得 l i m f ( x ) - x 0 ， 则点称为厂的 ) 极限点。 o b r i ( x ) 的c o ( a ) 极限点的全体称为c o ( a ) 极限集，分别记为( x ) ( 口( 工) ) ，并称 ( x ) = c o ( x ) ua ( x ) 为o b r i ( x ) 的极限集。 1 2 迭代方程与不变曲线 函数方程理论是一个历史悠久、内容丰富、应用极其广泛的数学分支。我们 所说的迭代函数方程是指含有未知函数迭代的函数方程。这种方程的特点是除了 基本的代数运算外，它以未知函数的迭代作为其基本的运算形式，作为现实世界 中抽象出来的一种十分重要的模型，迭代方程具有广泛的现实意义和应用背景， 一直受到数学家们的广泛关注。关于迭代函数方程的研究，开始于迭代根问题， 即下列问题：设f ( x ) 是石上的自映射，如果 。( x ) = f ( d ，x x ( 1 2 1 ) 则称f 是f 的n 次迭代根。显然，上述方程是一种形式最简单的迭代函数方程， 迭代根问题是一个古老而有意义的课题，关于它的研究至少可以上溯到n b a b e l ( 1 0 ) ，甚至更早的b b a b a g e ( 1 1 ) 。1 9 5 0 年，i s a a c s ( 1 2 ) 在一篇精辟的论文中 完成了一项奠基性的工作，给出了抽象集e 上的自映射的迭代根存在的充分必要 条件。这个结果后来又有所发展( 1 3 ) 。 在实域中讨论迭代根问题的工作，最早有b 6 e d e w a d t ( 1 4 ) 和f o r t 1 5 关于 单实变函数的结果。s t e i n b e r g 1 6 - 【1 8 】关于可微变换与现行变换共轭的研究，实 际上就是s c h r & l e r 方程。单实变函数迭代根的研究，一般限于单调连续函数，非 单调情形只讨论了某些特例。即便像x 2 1 这样简单的函数的二次迭代根也长期 使人困惑。1 9 8 3 年，张景中和杨路( 1 9 ) 讨论了逐段单调连续函数的迭代根， 7 山东大学硕士学位论文 得到了非常漂亮的结果，使得这一古老而困难的课题有了新的进展。后来，张伟 年( 2 0 ) 又在这个方向上做出了新的贡献，并在( 2 1 ) 中证明了不存在全局光滑 迭代根的通有结论。这方面的工作可见k n e s e r ( 2 3 ) 以及r i c e ( 2 4 ) 一( 2 7 ) ， 其中包括r i c e 的博士论文( 2 5 ) 。在函数方程和迭代根研究方面，以k u c z m a 为 首的波兰学派的工作是卓有成效的，这在专著( 7 ) ，( 2 8 ) 可见一斑。关于圆周 上自映射的迭代根问题可见麦结华( 2 9 ) ，何连法( 3 0 ) 等的开创性工作。关于 迭代根的研究，波兰数学家k b a r o n ( 3 1 ) 以及张景中，杨路和张伟年( 3 2 ) 都 有较为全面的综述。 出于对迭代根问题的自然推广，人们对各种迭代函数方程的研究产生了浓厚 的兴趣。这方面早期的工作基本上总结在( 7 ) 中。近三十年来，又涌现出好的 工作。这方面的工作大致可分为三个方面，其一是方程中关于迭代是线性的，即 所谓线性型( 或多项式型) 的迭代方程；其二是方程中关于迭代是非线性的迭代 方程，即所谓非线性型迭代方程；其三是平面映射的不变曲线方程。 关于二阶迭代方程的研究直接源于平面映射的不变曲线问题。例如，w a g n e r 【3 3 ) ，n a b e y a 【3 4 ) 和d h o m b r e s ( 3 5 ) 在分别研究某类不变曲线问题时，最终 都归结到讨论方程 厂2 ( x ) = 矿( x ) + ( 1 - a ) x 的解。 ( 1 2 9 ) 如果y = 厂( x ) 设平面映射r 的不变曲线，则有m = 厂( _ ) 。从而可得不变曲 线满足方程 厂( 9 ( x ，厂( x ) ) ) = g ( x ，厂( x ) ) ( 1 2 1 0 ) 关于不变曲线方程早期的工作基本上总结在两本专著( 7 ，8 ) 中。在解析解 的研究方面，1 9 6 9 年，d i a m o n d ( 6 6 ) 讨论了方程 + ( x ”= ( x ) ( 1 + f i x 七) + ，( 薯( x ) ) 的解析解的存在性。1 9 8 5 年，m c c a r t h y ( 7 2 ) 研究了方程 8 山东大学硕士学位论文 ( 厂( x ) ) 一2 ( 厂( x ) + x = 0 e 1 2 1 1 ) 的连续通解。1 9 9 5 年，司建国( 7 3 ) 研究了 f ( z + 厂( z ) ) = p ( 厂( z ) ) 的解析解的存在性。1 9 9 7 年，c t n g 和张伟年( 7 8 ) 研究了由一类具逐段常数 的时滞微分方程导出的一类平面映射的不变曲线方程 1 厂( 厂( x ) ) = 2 f ( x ) 一x 一去( g ( 厂( x ) ) + g ( x ) ) ( 1 2 1 2 ) 的解的构造和解析特解的存在性。2 0 0 1 年，司建国和张伟年( 7 9 ) 研究了方程 ( 1 2 1 2 ) 的解析解的存在性。最近，司建国、王新平和张伟年( 8 0 ) 有研究了 方程 ( x + 厂( x ) ) = ( x ) + g ( x ) + 月( x + ( x ) ) ( 1 2 1 3 ) 的解析解的存在性。 刘凌霞( 1 0 3 ) 研究了 厂 p ( z ) + 旷( ( z ) ) ) = j i ( 厂( z ) ) + ，( z ) ，z c 的解的构造和解析解的存在性。 关于迭代函数方程的研究，还有许多问题需要人们去探索。本文突破传统 d i o p h a n t i n e 条件的限制，利用比d i o p h a n t i n e 条件更弱的b r j u n o 条件，在下一章 我们将对( 1 2 1 2 ) 进行研究，并对另一类比较重要的方程进行研究。在这里， 作者感谢导师的指引，加入到这个队伍中来。 1 3 预备知识 在这一部分，我们给出一个重要的引理和口应满足的四个条件，这将在f 一 章用到。本文我们将对下列四种不同情况的a 加以研究。 ( h i ) o i a i 和 吼) ，n en ： g 2 = 1 ，g i = 0 ，g 一= 吼1 + 吼一2 p - 2 = o ，p - l = 1 ，见= 见一l + 见一2 易证岛q 。= 【口o ，口l ，】。因此，对任意的0 r q ， 函数 召( p ) ：妻生警 0 是 一个常数，则9 = 【a o ，口l ，q ，】是一个b r j u n o 数，但不是一个d i o p h a n t i n e 数， 因此，( 1 4 2 ) 包含了d i o p h a n t i n e 条件和a 在共振点附近的情况。b r j u n o 条件比 d i o p h a n t i n e 条件更弱，因此需要引入d a v i e 王j i r l 。 令4 = 伽。o 柏l 寺，e = 麟 吼，等 ，仇2 瓦q k 令4 ：p e j o 的正数集，使得满足，4 或对某个五，五4 ，五一j i e ， 1 0 山东大学硕士学位论文 且五 0 和珂4 ，贝, l j h k ( n ) h k ( n 1 ) + l ( 3 ) 吃( 刀) h k ( n - 1 ) 对所有的刀 0 ( 4 ) h a n + q k ) 吃( 刀) + l 对所有的自然数n 我们令咖，= 一卜，嘲) 其悯满庐纷州，。显糊力， 是单调不减的。函数繇( 玎) 具有下面的性质： ( 1 ) ( 0 ) = 0 ( 2 ) ( 疗) 垒竺坐对任意的自然数玎 ( 3 ) ( 啊) + ( 他) ( 啊+ 吃) 对任意的自然数啊和 ( 4 ) 如果6 4 和刀 0 ，则伽) & ( 玎一1 ) + l 因此，有下面的结论： d a v i e 引理设k ( 力) ：疗1 0 9 2 + 篁( 玎) l o g ( 2 吼+ 1 ) ，则 山东大学硕士学位论文 ( a ) 存在一个不依赖于聍和日的常数， 0 ，使得 那以瞎掣+ 刁 ( b ) k ( n o + k ( n z ) k ( m + 伤) ( c ) 一l 。g 弦一1 i o ，k o ，使得p ”一l i y 一1 刀一，疗1 下方程在原点的邻域内可逆解 析解的存在性。下面我们讨论满足( h 2 ) 以及( h 3 ) 时，解析解的存在性问题。 2 1 1 辅助方程的解析解 定理2 1 1 假设满足( h 2 ) 成立，则对于任意的f c ，辅助方程( 2 1 3 ) 在原点的邻域内存在解析解( z ) ，使得驴( 0 ) = 0 ，妒( 0 ) = f 。 ( 2 1 5 ) 证明固定一个f c 。显然，如果f = 0 ，则( 2 2 4 ) 有一个平凡解咖( o ) 基0 。假 设f 0 ， 设g ( z ) = e a n g na l = 考 ( 2 1 6 ) n = l 利用文( 7 9 ) 中类似的证明，可以假设 i a 。阵1 n = 2 , 3 ， 设 咖( z ) = 丸， ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 是( 2 1 3 ) 的形式解，代( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 到( 2 1 3 ) ，我们得到 y b a 2 ”z ”= j ；一一 一皇l 1 4 ( 2 a ”- o b z 1 一d 寺 ”q 6 f 1 6 f 2 ) z ” 二n = l l 业g 。( ，) e 鬈 山东大学硕士学位论文 去( 吼6 f l6 f 2 ) z ” 二n = l l c d c n ，( ，) e 前 ( 2 1 9 ) 其中群- ( 啊，n k ) e z ： o ，j = l ，k ，+ + 仇= 刀) 比较系数可得 ( a 扫一2 a “+ 1 ) 吃= 一去他“+ 1 ) 嚷气气气n = l ，2 ，( 2 1 1 0 ) 二l g k 主n ，( ) e 这就可以推出 f ( a 2 - 勉+ 1 + 三( a + 1 ) 肭= o p 划小妒删跳一妒删：啦磊k 名q 晰“”哪一 注意到( 2 1 1 1 ) 的第一个等式中岛的系数不为零，可以推出毒= 一譬。所以， 2 ( a 一一a ) ( a 肿1 + 口”+ a 一3 ) 良= - ( a + 1 x a “+ 1 ) q 6 j l6 f 2 2 盈如鸫) e 鬈 融卜万罴2 业羞蚶蝴气 眨1 1 2 ) 因此，对任意取定的6 l = fs 0 ，可由( 2 1 1 2 ) 取定唯一的确定数列 屯 二：。 下面证明( 2 1 8 ) 在原点的邻域内的收敛性。 考虑a = e x p ( 2 t r i o ) ，0 r q ，则 i a - 3 1 = i c o s ( 2 万0 ) + i s i n ( 2 2 0 ) - 3 1 _ _ 3 一c o s ( 2 2 0 ) 2 c n t a - 3 1 - 2 0 ，再从( 2 1 1 2 ) 可得 h ls 瓣尚羯春雨：站驯唰m 矿南：站荔扣剖6 f 2 i m 1 5 山东大学硕士学位论文 z 。n - i 一| 1 ：业磊k i b , , i l i v 脚 考虑函数 m ，一赤卜i i z 一 它满足方程 忡比专嘲 显然，y ( z ) 是连续的，并且y ( o ) = o 。所以矿( z ) i 1 且 m ) = i f b 万薹o o ( m 矿 在原点的邻域( o ) 成立。此外，当 z 0 ，使得 c ：丁“，f = 1 ，2 ， 可以用归纳法证明： i b nj - - c , ：k ( n - 1 ) , 刀l ( 2 1 2 0 ) 此处k ：专r 在d a v i e 引理中已经定义。事实上，i6 ii = l ri - - g ，设l b j - - - c ：足n ， j n 一1 ，由2 j ：- j ：满足 ( i ) d l - i f l ，( i i ) 乜= r 。h l i c f 2 1 1 c ，l l 刀= 2 ，3 ，y ( 2 1 2 2 ) 2 x k s n ，( ，垮 其中f = m a x l ，l 口- 1r ：f = 1 ，2 ，p - i 。 定理2 1 2 假设a 满足条件( h 3 ) ，数列 色 ：。满足6 l = 卜1 和 2 ( a 一一a ) ( a 肿1 + a ”+ a - 3 ) b , = a q ，口) ，n = 2 ，3 ， 其中a ( 撑，a ) = 七+ 1 ) 缸“+ 1 ) 鲰气气 ( 2 1 2 3 ) 2 口翻，( ，) e 鬈 贝t j a ( v p + l ，口) o ，v = l ，2 ，时，方程( 2 1 3 ) 在原点的任何邻域都不存在解 析解；当人( 印+ 1 ，a ) = 0 ，v = l ，2 ，时，方程( 2 1 3 ) 在原点的邻域内存在解析解 妒( z ) ，使得妒( 0 ) = o ，妒( o ) = f 和节+ 1 ( 0 ) = ( 节+ 1 ) ! f 甲+ i ，其中f 吵l 是满足 | r 甲+ i + 的任一常数，t t 歹d d l ，由( 2 1 2 2 ) 定义。 1 7 山东大学硕士学位论文 证明显然，如果f = 0 ，贝j j ( 2 1 3 ) 有一个平凡解妒( o ) - = 0 。假设f 0 ，6 l = f ， 用定理1 同样的讨论可用( 2 1 1 2 ) 唯一确定数列 吃) ：，代入并比较系数，可 知( 2 1 1 2 ) 及( 2 1 2 3 ) 仍然成立。 当a ( v p + 1 ，a ) 0 , v ven 时，因为a 节+ 1 一a = 0 ，所以( 2 1 1 2 ) 的两边不相 等，从而方程( 2 1 3 ) 没有形式解。 当a ( v p + l ，a ) = o ，v v e 时，在( 2 1 2 3 ) 中相应的+ i = f p + i ，使得 i f 州l e 蠢 ( 2 2 1 1 ) 从( 2 2 5 ) 可知，( 2 2 1 1 ) 的第一个等式中a 的系数不为零。特别的，从( 2 2 5 ) 可以推出喜：二兰。所以，( 2 2 1 1 ) 可已化为 口+ 一1 p 卅制妒，鲁+ - a b 。2 ”n 纽磊k z 鲰晰一气+ 吼j l l 6 f 1 6 f 2 气 2 譬如( f 即以= 而j 瓜雨i 鬲a 巧+ p 万- 1 百面再而。 【 “一1 ) 吼气气气+q j l l 气6 f l 】 2 9 9 。( f ，) e z2 窜如，( 0 ) e 2 1 = 打 z 抽 口 九 。科 山东大学硕士学位论文 口+ “一1 ：- _ - _ _ _ - _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - j ：_ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - 一 a ( a 1 ) 【a 2 “一1 + p a2 ”一2 + p a ”“+ ( p 一1 ) a ”+ ( p - 1 ) a ”- 1 + ( 1 一p ) 】 【 ”一1 ) q 气6 f 2 6 i + q p 6 l6 f 2 6 f l 】 2 g a n ，( ) e 以 2 9 如，( ) e ( 2 2 1 2 ) 因此，对任意取定的6 l = f 0 ，可由( 2 2 1 2 ) 取定唯一的确定数列 吃 ：。 下面证明( 2 2 8 ) 在原点的邻域内的收敛性。 考虑0qal l ，则 熙l 丽矿蒜矧丽两一= 雹i 丽而万警筹可d = ，0 q ai 1 ，0q al l 于是，存在m o ，使得 i；：；2 生尘了_ i mv n2 l a 一1 ) 陋2 ”1 + p a 2 ”2 + p a ”1 + ( j l l 一1 ) a “+ (