（电磁场与微波技术专业论文）电磁散射问题的高效矩量法建模.pdf

电磁散射问题的高效矩量法建模 摘要 矩量法是分析电磁散射问题最常用的方法之一。矩量法以积分方程为基础，在 处理这类问题时有其自身的优势，但生成的阻抗矩阵为稠密阵，存储量级是d ( 2 ) 。 通常使用迭代法求解这样的矩量法矩阵方程，其计算量级是k o ( n 2 ) ，这里是未 知量个数，k 是迭代次数。这样大的存储量和计算量对计算机资源提出了很高的要 求，大大制约了矩量法的应用范围。因此，研究和发展快速有效的矩量法成了当今 计算电磁学领域里的一个热点。本文着眼于如何对目标体进行高效建模，从基函数 的角度出发，减少未知量的个数，从而实现矩量法的快速计算，主要的工作包括： 1 、用矩量法计算p e c 和介质体散射问题。传统矩量法是其它新的改进矩量法和快 速算矩量法的基础，因此首先研究了分别用面域积分方程和体域积分方程处理 理想导体( p e c ) 和非均匀介质体散射问题的实施过程，并编程实现。 2 、研究了线性相位r w g 矢量函数结合矩量法在计算p e c 电磁散射问题中的应用。 首先介绍了线性相位r w g 矢量函数的形式以及特性，然后详细讨论了矩量法矩 阵元素的生成及自阻抗矩阵元素的处理细节。已有文献只是在局部坐标系下对 两个完全重合的三角形单元提出了一种奇异性处理方法，但这个方法不能直接 推广到包括几乎奇异性的情形，本文在关于r w g 矢量函数积分的奇异性处理技 术的基础上，推导了关于线性相位r w g 函数积分的一般奇异性处理公式。最后 给出数值算例，验证了该方法在处理电磁散射问题时的正确性。 3 、研究了适于m c d ( m i x e dc o n d u c t o r - d i e l e c t r i c ) 目标体敖射问题的建模方案和基 函数的构造。针对混合目标体的边界条件，我们提出了一种新的非线性矢量基 函数，用于展开位于导体表面附近介质体的电通密度矢量。这种基函数不但满 足理想导体表面切向电场为o 这一边界条件，还较好的描述了四面体内场的变 化情况，提高了模拟精度，能有效减少这部分介质用于展开未知量所需的基函 数的个数，同时又避免了特殊的剖分处理。给出数值算例，进行验证。 关键字：矩量法、基函数、奇异性提取技术 电磁散射问题的高效矩量法建模 a b s t r a c t n em e t h o do f m o m e n t ( m o m ) i so n eo f t h em o s tp o p u l a rm e t h o d si na n a l y z i n gt h e e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s 1 1 1 em o mc a nb eq u i t ea c c u r a t e h o w e v e r , d u et oi t s d e n s es y s t e mm a t r i x ，t h em o ms u f f e r sf r o ma ne x c e e d i n g l yl a r g es t o r a g er e q u i r e m e n to f 0 ( 2 ) a n d d i r e c ts o l u t i o n t i m e o f 0 ( n 3 ) t h a t b c c o l n e p r o h i b i t i v e l y l a r g ea s t h e e l e c t r i c a l s i z e o f as c a t t e r e r g r o w s t h e r e f o r e ，e x t e n d i n g t h er a n g e o f a p p l i c a b i l i t y b y i m p r o v i n g t h e e f f i c i e n c yo f t h ec o n v e n t i o n a lm o m h a sr e c e i v e da s i g n i f i c a n ta m o u n to f a t t e n t i o n t l l i s t h e s i sf o c u s e s0 1 1e s t a b l i s h i n ge f f i c i e n tm o d e lf o rt h es c a t t e r e rt or e d u c et h en u m b e ro f u n k n o w b sw i t h o u tc o m p r o m i s i n ga c c u r a c y 1 1 1 em a i nw o r k so f t h i st h e s i sa r el i s t e da s f o l l o w s ： 1 w ch a v ei n v e s t i g a t e dt h ed e t a i lp r o c e s sf o r t h en u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o no f t r a d i t i o n a lm o mt os o l v ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s w ch a v ea n a l y z e dt h e p e c ss c a t t a r i n gw i t hs u r f a c ef i e l di n t e g r a le q u a t i o na n dt h ei n h o m o g e n o u sd i e l e c t r i c b o d i e ss c a t t e r i n g 埘t 1 1v o l u m ee l e c t r o n i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n , a n dt h e nh a v e p r o g r a m c dt oi m p l e m e n tt h e s ep r o c e s s e s a sw e l l 2 w eh a v ed i s c u s s e dt h ea p p l i c a t i o no f t h en e wm o mw i t hl p r w gb a s i sf u n c t i o n si n a n a l y z i n gt h ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s w ef i r s ti n t r o d u c et h ep r o p o s e d b a s i sf u n c t i o n sa n dt h e nd i s c u s st h ed e t a i l so ft h et r e a t m e n to fe f i es i n g u l a r i t i e sf o r t h i sk i n do f b a s i sf u n c t i o n s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tl p - r w gb a s i sf u n c t i o n s c a ne x p r e s s e dt h eu n k n o w ns r r f a c ec u r r e n t so nt h ep e r f e c te l e c t r i c a lc o n d u c t o r s c a t t e re f f i c i e n t l y 3 i no r d e rt om o d e lt h ed i e l e c t r i cr e g i o fa nm c db o d y w eh a v ei n t r o d u c e da v o l u m e - s u r f a c ef o r m u l a t i o nt h a ti l s c sai l e ws e to fb a s i sf u n c t i o i l st om o d e lt h e d i e l e c t r i cr e g i o na tt h ec o n d u c t o rd i e l e c t r i ci n t e r f a c e t 1 1 i sk i n do f b a s i sf u n c t i o n sc 锄 s i m u l t a n e o u s l y 蜘瞳i s 匆t h e 姗t a n g e n t i a le l e c t r i cf i e l db o u n d a r yc o n d i t i o na tt h e c o n d u c t o r - d i e l e c t r i ci n t e r f a c ea n dm o d e lv a r i a t i o u so ft h ef i e l d sw i t h i nt h e t e t r a h e d r o n t h eu 鸵o ft h i sk i n do fb a s i sf u n c t i o n sh a sb e e nf o u n dt os i g n i f i c a n t l y r e d u c et h en u m b e ro f u n k n o w n sn e e d e df o rt h a tr e g 0 1 1 k e yw o r d s ：t h em e t h o do f m o m e n t , b a s i sf u n c t i o n s ，s i n g u l a r i t ye x t r a c t i o nt e c h n i q u e 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日 期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括 刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日期 第一章绪言 1 1 研究历史和现状 第一章绪言 计算电磁学是随着电磁散射、辐射和传输等问题的精确分析需要而发展起来 的。近几十年来，计算机硬件软件的不断升级为计算电磁学奠定了优越的发展平台， 使它成了一门十分活跃的新科学。计算电磁学是根据电磁场的m a x w e l l 方程组，利 用适当的边界条件，然后通过数值方法求解所关心区域或物体内的电磁场分布、电 位分布或电流分布，进而得到所需要的物理参量。电磁场数值方法主要分成两大类： 一是微分方程法，二是积分方程法。具体说来，有时域有限差分法征d 巾) 【l l 【2 】、有 限元法( f e m ) 【3 l 、矩量法( m o m ) 4 1 1 5 】嘲及边界元法( b e m ) 【。7 1 等。 1 9 6 8 年，h a r r i n g t o n 系统地介绍了矩量法【4 】，之后这一数值方法在电磁辐射和 散射问题中得到了广泛的应用。矩量法以积分方程为基础，把等效电磁流作为未知 函数，利用适当的“基函数”展开未知函数，再经过适当的测试方案得到一个矩阵方 程，在求解矩量法矩阵方程后，就可以计算各种物理参量。矩量法矩阵是稠密阵， 存储量级是d ( 2 ) ，其中是未知量个数。如果用l u d 求解矩量法矩阵方程，则 计算量级是o ( n ) 。目前大量使用迭代法求饵矩量法矩阵方程，计算量级是k o ( n 2 ) ， 这里k 是迭代次数。随着电磁波频率增高，目标( 物体) 的电尺寸变得越来越大，对 应的矩量法矩阵也就越来越大，很快就耗尽了计算机资源，导致矩量法不能使用或 根本不适用，这大大制约了矩量法的应用范围。因此，研究和发展快速有效的矩量 法成了当今计算电磁学领域里的一个热点。 研究快速矩量法可以从不同的角度着手： ( 一) 当今著名的多层快速多极子算法( m l f m a ) 1 6 、自适应积分法( a i m ) i s 1 9 l 等都着眼于加速矩阵向量积和只存储矩阵的一个稀疏部分。沿着这个途径的研究已 经相当多，也相对成熟。 ( 二) 另一个途径是在保证精度的前提下，用尽可能少的基函数来展开未知函 数，这也意味着矩量法矩阵的阶数减小，存储量随之大大降低，从而减少计算所需 的时间。 本课题将从第二条路径出发探讨计算电磁学中的矩量法模型，如何对电磁散射 东南大学硕士学位论文 问题进行高效矩量法建模，如何构建有效的基函数是成功的关键。众所周知，用于 展开未知量的基函数携带原函数的信息越多或者越符合物理意义，那么这种基函数 效率越高。 传统基函数一般不含相位信息，将相位信息加入基函数是一个减少未知量的个 数的途径。j a m e s 首先将这一思想用于解决电磁问题【l o j ，a i r m a n 等例证了在散射体 的光滑部分的感应电流可以由一组复指数函数高效表示【l l l ，随后，文献 1 2 1 将其应 用于三维理想导体。在文献 1 2 1 的基础上，文献 1 3 1 进一步将这一思想发展到使用 r w g 函数的矩量法，并构造了一种称为线性相位r w g 函数( l p r w o ) 的新型基函 数，得到了理想的结果。 矩量法用于任意形状m c d ( m i x e dc o n d u c t o r - d i e l e c a i c ) 目标体的散射问题时，通 常采用面一面积分方程【2 2 11 2 3 1 1 2 5 i 或体一面积分方程1 2 4 t 刀，采用体一面积分方程，对 于介质部分，电通密度通常用体r w g 基函数【1 5 】展开。在四面体内，体r w g 基函 数对矢量反成简单的线性变化，不能很好的描述靠近导体表面的介质体内的电通密 度的变化规律。为保证精度，需用更多的体r w g 函数展开。文献 1 4 1 针对这个问 题，提出用棱柱割分，构造了一种新的矢量基函数，这种基函数符合物理意义，较 好的模拟了边界条件，能有效减少未知量的个数，数值结果表明了其优越性。这个 方法的缺点是混合网格的生成比较困难，而且对复杂结构的适应程度不高。 1 2 本课题的主要工作 这篇论文主要研究针对理想导电体( p e c ) 、非均匀介质体以及m c d ( m i x e d c o n d u c t o r - d i e l e c t r i c ) 目标体散射问题的矩量法建模，内容包括以下三个方面：第一是 对矩量法的原理、建模步骤和求解方法进行总结，为随后的内容奠定基础；第二是 研究线性相位r w g 函数结合矩量法在计算p e c 电磁散射中的应用，主要介绍了其 自阻抗矩阵元素的奇异性处理技术；第三是以体积一表面电场积分方程组为基础， 研究适于m c d ( m i x e d c o n d u c t o r - d i e l e c t r i c ) 目标体散射问题的矩量法建模方案并构造 新的矢量基函数。 第二章介绍矩量法的基本原理。详细描述了矩量法的建模步骤和实施细节，包 括基函数和测试函数的选取、阻抗矩阵和右边项生成、矩阵方程求解以及远区r c s 的计算等，最后给出一些数值算例。 2 第一章绪言 第三章研究了线性相位r w g 函数结合矩量法在计算p e c 电磁散射问题中的应 用。首先介绍了线性相位r w g 函数的形式以及特性，然后详细讨论了矩量法矩阵 元素的生成和自阻抗矩阵元素的处理细节。已有文献只是在局部坐标系下对两个完 全重合的三角形单元提出了一种奇异性处理方法，这个方法不能直接推广到包括几 乎奇异性的情形。本文在关于r w g 函数积分的奇异性处理技术的基础上，推导了 关于线性相位r w g 函数积分的一般奇异性处理公式。最后提供了数值算例，验证 了所提出公式正确性。 第四章研究了适于m c d ( m i x e dc o n d u c t o r - d i e l e c t r i c ) 目标体散射问题的矩量法建 模方案和构造新的基函数。基于体一面积分方程，用面r w g 基函数展开表面电流， 用体r w g 基函数展开介质体内电通密度，针对靠近导体表面那部分介质，构造了 一种新的非线性矢量基函数。新的矢量基函数较好的模拟了边界条件，在处理m c d 问题时能提高模拟精度，减少这部分体r w g 矢量基函数的个数。同时，四面体网 格具有很强的灵活性，能较好的拟合复杂目标体的结构特点，避免了文献 2 8 】混合 网格的生成困难，对复杂结构的适应程度不高的缺点。最后给出了数值算例。 第二章矩量法基本原理与实现 2 1 引言 第二章矩量法基本原理与实现 自二十世纪六十年代r f h a r r i n g t o n 关于矩量法的著作1 4 1 问世以来，矩量法 ( m o m ) 在电磁散射与辐射问题的数值计算中得到了广泛的应用，已经成为电磁问题 数值计算领域中最受欢迎的方法之一。矩量法是基于电磁场积分方程的数值方法， 积分方程方法的优点在于，首先，与微分方程方法求解整个空间分布的场不同，积分 方程方法求解的是源。以理想导体的散射为例，其未知等效电流定义在理想导体的 表面上，而非整个空间，这样就大大减少了未知量的个数。其次，由于格林函数严 格地描述了任意两个离散未知量之间的相互作用，并满足电磁场在无限远处的辐射 条件，从而避免了数值色散误差。因此，矩量法比较适用于计算电大尺寸的电磁散 射问题。 传统矩量法是其它新的矩量法模型和快速算法的基础，为方便后面章节的介绍， 本章将从矩量法的一般原理出发，详细介绍矩量法模型数值求解的基本步骤和实旌 细节，最后给出数值算例。 2 2 电磁散射问题的数学描述 三维理想导电体 e c ) 的散射问题。s 表示理想导电体( p e c ) 外表面，根据等 效原理1 4 1 ，引入等效电流，电场在边界s 上满足边界条件： , q x ( p + 豆5 ) = o ( 2 1 ) 其中，p ( i ) 为散射场，表示为 肚嘲鳓i ( 了c m 寿v v 二加， g c w 拶 仁刁 将( 2 2 ) - f 七x ( 2 1 ) 得 卜，= ( 歹c m 专v v 蛔 g c w 埘l 其中，岛，是真空中的介电常数和磁导率，g ( 尹一尸) 为格林函数， ( 2 3 ) 三维自由空间 东南大学硕士学位论文 格林函数 g ( 卜耻艺而1 ( 2 4 ) 口一向一明 自由空间波数 = 函以忑 ( 2 5 ) 自由空间波阻抗 = 雁 入射波雪( 产) 往往采用平面波，即 p ( 尹) = ( 扫+ 乓i ；) p 咱7 ( 2 7 ) 其中，丘为传播矢量， 七= 丘= k o ( i s i n6 ：c o s 力+ 多s i n e , s i n # , + c o s 岛)( 2 8 ) 三维非均匀介质体的散射问题。与分析金属体散射一样，入射波仍然采用平面 波。设介质体y 是各向同性的，在介质体上的电场满足 豆( 尹) = 豆。( 尹) + 雷( f )( 2 9 ) 散射场旁 豆= ( 了c 即+ 专v v 执即 g c 尹一， q 加， 在介质体上，电流定义1 3 0 l 3 2 1 为： 了( 尹) = _ ，岛【匆( 力一l 】雷( 尹) ( 2 1 1 ) 其中，丢( 芦) 是f 处的相对介电常数。介质体上的电通量为 西( 尹) = 鼻( 力岛豆( 力( 2 1 2 ) 那么，式( 2 1 7 ) 可以表示为 7 ( 芦) = ，r ( 尹) 西( 尸) ( 2 1 3 ) 其中， 噼等 ( 2 1 4 ) 将( 2 1 0 ) 、( 2 1 3 ) 代a ( 2 9 ) 式，得到用于非均匀介质体的体电场积分方程( v e f i e ) 第二章矩量法基本原理与实现 蛔= 器胁阳，+ 吉v v 峒耵，卜啪g 朋， 2 3 矩量法离散 描述电磁散射问题的数学模型，如分析理想导电体散射问题的电场积分方程式 ( e f i e i 和用于非均匀介质体的体电场积分方程( v e f i e ) ，都可以用算子方程来描述： 巧= 季 ( 2 1 6 ) 其中，；是已知的源函数或激励函数，7 是待求的未知函数。7 和i 分别定义在函 数空间f 和g 上，是线性算子，将f 空间的函数映射到g 空间上。 首先，用f 空间内的一组基函数万，一f ：，万的线性组合来展开7 7 = 五 ( 2 1 7 ) 其中，是待求系数。如果废 完备，则等式( 2 17 ) 可以精确表示未知函数，但这时 通常是非常大的，考虑到计算机容量的有限性，所取基函数的数目只要满足精 度要求即可。将( 2 1 7 ) 代入( 2 16 ) ，可以得到 定义余量 兰z ；i ( 2 1 8 ) 肛l 夏：；一兰c 万 ( 2 1 9 ) 如果选取不同的函数使余量r 在某种意义下取极小值，便可获得不同的求解方法。 最一般的方法是令余量加权后取零值，即有 呒( ；一粪啦互p = 。 其中，m = l 2 ，称为权函数( 或测试函数) a 定义内积 ( - ，7 ) = f 劢 其中表示复共轭。那么方程( 2 1 9 ) 的可写为 7 ( 2 1 9 ) 东南大学硕士学位论文 芝( 诜，c 7 。) = ( 诜，；) ，肌= l ，2 ， ( 2 2 1 ) 将方程上述方程( 2 2 1 ) 简写为矩阵形式 z i = 矿 ( 2 2 2 ) 其中，矩阵i 的元素z 二= ( 诫，c 7 。) ，向量了的元素为圪= ( 呒，动，向量的元素 厶= 为待求未知量。如果矩阵乏非奇异，求解方程( 2 2 2 ) 可得未知向量旷，代入式 ( 2 1 7 ) 便可求得未知函数7 。对线性方程组的求解有u j 分解，s v d 分解，q r 分解， c g 迭代等方法【1 9 1 。 本节讨论的是矩量法的一般原理，源函数和待求函数可以是标量函数，也可以 是矢量函数。 2 4基函数和测试函数的选择 矩量法用于电磁散射问题时，选择合适的基函数和权函数的是至关重要的， 求解过程的繁简程度和解的精度很大程度上取决于基函数和测试函数的选择。一 般来说，理想的基函数和权函数应具备以下特点： l 、能获得高精度的解。 2 、阻抗矩阵元素z 。易于计算。 3 、在满足精度的前提下，使用尽可能少的基函数与权函数，以生成小的系数 矩阵。 4 、阻抗矩阵z 为良态矩阵。 上述特点往往是相互矛盾的，难以同时满足，譬如为了能获得满足高精度的 解，基函数五和测试函数瓦应尽可能的完备，这通常需要更多数目的基函数与测 试函数，必然使矩阵行数与列数增大；如果基函数包含的待求函数的信息越多， 所需基函数的个数必然越少，生成的矩阵系数越小，但这通常是以阻抗矩阵计算 的复杂为代价的。 理想的基函数及测试函数并不存在，但在解决具体问题时选择合适的基函数 与测试函数，必将大大减小计算的复杂度。基函数通常分为两大类，一类为全域 基函数，另一类为分域基函数。全域基函数定义在整个求解区域上，这类基函数 矗 第二章矩量法基本原理与实现 在解决某些特殊问题时比较有效，但对于复杂结构，这类基函数很难构造，因而 已经很少使用。目前通常使用的是分域基函数，分域基函数定义在求解区域的子 域上的。针对不同的剖分形式，也有不同的基函数，例如基于三角网格剖分r w g ( r a o w i l t o n - g l i s s o n ) 基函数1 5 1 ，基于四面体剖分的体r w g 基函划嘲，这两类 基函数分别在分析p e c 和介质体的散射问题时有着广泛的应用。 测试的方式决定了权函数的选择。测试方法通常有点匹配、线匹配、g a l e r k i n 匹配方法，相应的权函数可取为点脉冲、线性函数和与基函数相同的函数。通常 采用的是点匹配和g a l e r k i n 匹配两种方法。虽然g a l e r k i n 匹配方法实施起来较为 复杂，但它的计算生成的阻抗矩阵的条件数最好，在迭代求解的时候效果较好， 本文采用g a l e r k i n 匹配方法。 2 4 1 面基函数 三角形网格能很好的拟合复杂目标体表面，有很强的适应能力，因而在分析任 意形状的理想导体的散射问题时得到广泛的应用。对于三角形网格，使用最广泛的 是r w g 矢量基函数5 1 。如图2 1 所示，r w g 矢量基函数定义于相邻的三角形对譬 和巧上，形式如下： z ( f ) =嘻露 厶 二一 一2 4 7 岛 图2 - lr w g 基函数 9 筇 2 q 譬 巧 e r r 焉 东 一 一 ， 一r 上珥土珥 + 一 = | i 东南大学硕士学位论文 其中，厶是内边的长度，4 和4 分别表示三角形彳和巧的面积，群、厉是三角 形对譬、巧中由顶点o + 、o - 指向源点( 或场点) 的位置矢量，名、磊分别为顶点d + ， d 一的坐标向量。 与电荷密度相关的基函数的散度为 v 工( 芦) = 从定义( 2 2 3 ) 及散度表达式( 2 2 4 ) d p 我们可以清楚地看到： 1 电流沿着三角形对矸和巧的边界流动，因此在外边界没有线电荷的存在。 2 在公共边( 内边) 厶两侧，电流的法向分量连续，因此在内边上也没有电荷 积累。 3 在两个三角形矸和巧上，面电荷都是常数，同时总的面电荷为零。 从以上分析可以得出结论，r w g 基函数有非常清楚的物理意义。 2 4 2 体基函数 + 图2 - 2v r w g 基函数 对于任意形状的介质体，通常使用四面体离散，这时可以采用体r w g 基函数。 l o m g 彳 巧 一r _ r 上土 第二章矩量法基本原理与实现 基函数定义式为【1 5 1 如图2 - 2 所示，基函数定义在四面体对矸和了：上，其中，厶是内边的长度，曙和巧 分别是四面体彳和巧的体积，露、霹是譬、巧中由顶点d + 、o - 指向源点( 或场 点) 的位置矢量，名、i 分别为顶点d + 、0 一的坐标向量。 与体电荷密度相关的基函数的散度为 v 工( 芦) = 从定义中我们可以清楚地看到： 1 在每个四面体中的外面( 区别于公共面) ，电通密度沿边界方向，不会产生面 电荷。 2 在公共面上，电通密度法向连续，不会在内表面上产生电荷的积累。 3 耳和矸上，体电荷都是常数，总的体电荷为零。 从以上分析可以得出结论，体r w g 基函数有非常清楚的物理意义。 2 5阻抗矩阵生成及奇异性处理 2 5 1 方程的离散与测试 对于三维p e c 散射，将金属表面离散生成m 个三角网格单元，它得到成n 个 r w g 基函数，展开表面电流 了( 尹) = 以z ( 尹) ( 2 2 7 ) n - i 代入方程( 2 3 ) 得 筋 q 矸 巧 一r _ ， t 东 一 一 旷 旷 旦w 卫w + 一 = = 露 厉 旦w 旦圻 h 一 、 = 旷 _ 厶 回 2 g 矸 巧 一r r 生瞄旦吁 东南大学硕士学位论文 p c 力= 风吼兰n - i ( 以五c 即+ 专v 弘以z c 即 g c 尹一尸油l 。c z 瑚， 用g a l e r k i n 方法进行测试，即用厂( f ) 测试电场积分方程( e f i e ) ，则计算三维p e c 散射体的阻抗元素 z 二= 风l 五( 力。z ( 广) g ( 尹一，) 凼协 + 寿加m v z ( v ) g ( 尹- v ) d s 协 ( 2 2 9 ) 对于三维介质散射体，对其用四面体离散，生成m 个四面体网格单元，得到n 个四面体对基函数，展开介质体内电通量 西( f ) = 乜z ( f ) ( 2 3 0 ) 代入方程( 2 1 5 ) ，得 阳= 器彳胁粪( 晚c m 吉v v 州概c 尸，p 啦 ( 2 3 1 ) 同样采用g a l e r k i n 方法测试，用体r w g 基函数于( f ) 测试式( 2 3 d ，得矩量法 阻抗元素 = 学名胁 胁妒) z ( 堋硝删v 一古v 荪力护娴翮g ( w ) 咖伽 亿，：， 2 4 2 自阻抗单元奇异性处理 当场点与源点相距较远时，矩阵元素表达式中的被积函数为平滑函数，采用 g a u s s 积分可以稳定计算，当基函数单元与权函数单元重合或部分重合时，积分有 奇异性，需要特殊处理。 对r w g 奇异性的处理，现有文献已有相当多的讨论，一般来说，处理方法主 要有：奇异降阶法、奇异性提取技术以及d u f 玲法，本课题所用方法基于奇异性提 1 2 第二章矩量法基本原理与实现 取技术1 1 6 j ，下面对其做简单介绍。 要计算式( 2 2 9 ) ，主要考虑以下积分： # tc 硗( 尹) v 凼( v ：磊( 尸) ) g ( ，一尸) ( 2 3 3 ) 1 2 - - - d 磊扩) 量凼需旷) g ( 尹一尹) ( 2 蝴 由于，v ( 矿力= 妒甲于+ 于v 矿，式( 2 3 3 ) 可以写为 车一d 五( 即凼( v ：磊( 尸) ) g ( i 一即 ( 2 3 5 ) g ( 尹一，) 为格林函数，三维自由空间格林函数如式( 2 4 ) 所示，当芦_ ，时，内层被 积函数的值将趋向于无穷大。 对于式( 2 3 4 x 2 3 5 ) ，外层积分依然采用g a u s s 积分，内层积分有奇异性，不考 虑系数，只需解决以下两式： 婶一倒= 茄并 ( 2 s 6 ) 酮尹一弛= 盱力蒜并 ( 2 3 7 ) 进行如下变换 茄并= 击i - 巡r + ，巡r 盟矾去i - b r 峨4 丌i 尹一尸i 4 万乜。4石也 、7 ，p 一心一订 扩亩f 了p = 去( 尹一7 ) ，s i n r ( k r ) ，+ j ( f f ，c o s ( k r r ) - 1 d s + 去( 尹一尸) 去彬( 2 3 9 ) 显然，式( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 的第一部分积分，当f _ 尹时，内层被积函数已经是有限值， 不再含有奇异性，对于第二部分积分，存在解析解，文献【l6 】给出了具体的表达形 式，可以快速高效计算。 至此，有关面r w g 基函数的自阻抗元素的奇异性处理完毕。 对于v r w g 基函数，在局部球坐标系下通过坐标变换可以把积分的奇异性去 处，然后采用数值积分可以稳定地计算，这方面论文【1 7 】已有详细介绍。在本文第 四章中处理奇异积分时，仍会用到这种方法。特别之处自会阐明，在此不再详述。 2 6 远场r c s 计算 雷达散射截面( r c s ) 是定量描述目标体散射强弱的物理量，定义为： r c s ( = 卿l i m 2 两i 蜃 1 2 = 卿l i r a 胛2 辫 在求解矩阵方程后，未知电流密度函数已知，便可计算远区场雷达散射截面( r c s ) 。 r c s 的计算采用论文【1 7 】所述方法，这里简单介绍。 在r 峥o o 时，远区磁矢量位j ( 尹) j = 等少( 渺h 刚哪，蝴蛐，刚谢 ( 2 4 1 ) 从上式可以看出，远区的场近似为平面波，用球坐标表示时，有 蜀= 吼哆，乓= - r o n o ( e = o ，珥= o )( 2 4 2 ) 舍去高阶项，2 ，保留主项，一，就有了( 尸) 产生的磁场为 易= ( v x 爿) 口= 成4( 2 4 3 ) h o = ( v 4 ) = 一j k 0 4 ( 2 4 4 ) 对应的电场为 e 。= r o h = 一j ， 冉。如= 一j p o a 母t 2 4 5 易= = 一j r o k o a = 一_ ，翻z b 4 ( 2 4 6 ) 等效电流的两个分量可以表示为 d a ( e ) = 以( 尸) c o s 口c o s 妒+ 以( 尸) c o s 口s i n 矿一以( 尹) s i n 口( 2 4 7 ) ( 尹) = 以( 即s i n + 以( 尸) c o s 妒( 2 4 8 ) 远区矢量磁位的两个分量可以表示为 4 = i e - # o rn 磊- i 驴y 力一w = 告z ， ( 2 4 9 ) 4 = i e - # o vu 缶- t 妒( 力p “州叫一“删拈等z ( 2 5 。) m 为未知量的个数，j s 为第j 个未知量的解，z y ，z ) 表示第j 个基函数。r c s 1 4 第二章矩量法摹本原理与实现 方向图 为 r c s ( p ，妒，= l ，i ，m 。4 石，2i - ：i ： 掣= c 玑k ) 21 1 1 ；：；- 掣( 2 s - ， 在矩量法求解时，我们采用了关于自由空间波长凡的归一化，故实际计算的r c s r c s ( 口，妒) ，鬈= ( ，7 0 ) 2 帮( = 2 万) 2 7数值结果和分析 算例一用面积分方程来计算半径1 凡的p e c 球体的散射场。图2 - 3 给出了采用e f i e 电场积分方程计算的远场的r c s 与m i e 级数解析解的对比，用边长不大于o 1 凡的 三角单元离散球体模型，生成3 1 7 6 个单元，得到4 7 3 3 个r w g 基函数，采用g a l e r k i n 方法，在c p u 为p 4 - 2 8 ，2 g 内存的p c 机上运行，填充矩阵用时4 8 4 3 1 2 5 秒，共 轭梯度法求解矩阵用时3 8 3 7 6 6 秒。计算结果表明可以精确的p e c 散射体的r c s 。 o加4 0 1 1 2 0t 4 01 1 8 0 1 1 1 a ( d e o m e ) 图2 - 3 金属球体r c s 半径为口= 1 九 一mp)田。匣 东南大学硕士学位论文 算倒二边长分别为为o 2 凡，o 2 凡，o 0 8 厶介质立方体的散射。相对介电常数 = 4 0 ，采用v e f i e 电场积分方程，用边长不大于o 0 5 凡的四面体离散，产生2 2 2 个四面体单元，得到5 0 8 个未知量，依然在c p u 为p 4 2 8 ，2 g 内存的p c 机上运 行，计算结果r c s 如图2 - 6 ，填充矩阵用时1 5 3 5 3 2 秒，l u 分解求解矩阵用时4 2 1 8 秒。 可 c ) 芷 o4 0 6 08 0 1 0 0 2 01 4 01 8 01 8 0 t h i t a l d 叼) 图2 - 4 介质立方体的r c s ，边长分别为o 2 五，o 2 凡，0 0 s & ，介电常数= 4 2 8 小结 传统矩量法是其它新的矩量法模型和快速算法的基础，在本文第三章运用m o m l p r w g 分析p e c 散射时所用积分方程为电场积分方程式，第四章讨论的m c d 散射问题的矩量法建模也是基于电场积分方程和非均匀介质体的体电场积分方程。 为了很好的展开后面的工作，在这一章中，我们详细介绍了传统矩量法的建模和处 理过程，同时，对常用的r w g 基函数和四面体对基函数自阻抗矩阵的奇异积分处 理技术也做了相关介绍。最后给出两个数值算例。 1 6 茄 瑚 ：筝 m 鹕 锄 第三章线性相位r w o 基函数 3 1 前言 第三章线性相位r w g 基函数 矩量法是常用的电磁场数值方法之一1 4 1 。r a o ，w i l t o n 和g l i s s o n 在1 9 8 2 年构 造出r w g 函数之后1 5 1 ，矩量法在电磁辐射和散射问题中得到了更加广泛的应用。 经典矩量法的数据存储量和计算复杂度都很高，存储量的量级o ( n 2 ) ，计算量的量 级为d ( 3 ) ，大大限制了矩量法的应用范围。因此，研究和发展基于矩量法的快速 算法成了当今计算电磁学领域里的一个热点。研究快速矩量法可以从不同的角度着 手，著名的多层快速多极子算法( m l f m a ) 1 6 1 、自适应积分法( a i m ) 嘲1 9 ) 、等都着眼 于加速矩阵向量积和只存储矩阵的一个稀疏部分。另一个途径是在保证精度的前提 下，用尽可能少的基函数来展开未知函数，这也意味着矩量法矩阵的阶数减小，存 储量随之大大降低。这点可以通过在基函数中加入正确预测的相位信息得以实现。 j a m e s 首先将这一思想用于解决电磁问题1 1 0 1 。a l t m a n 等例证了在散射体的光滑部分 的感应电流可以由一组复指数函数高效表示【1 l 】。文献【1 3 】进一步将其应用于r w g 函数( f i p 线性相位r w g 基函数l p r w g ) ，并得到了理想的结果。 应用g a l e r k i n 法进行测试时需计算二重奇异积分，以l p r w g 函数作为展开和 测试函数时，积分核更是含有复杂的复指数函数，必需进行特殊处理。因此矩量法 矩阵元素的奇异性和几乎奇异性的精确处理成为这种矩量法模型实现的一个重要 基础。在文献【1 3 】中，作者在局部坐标系下针对两个完全重合的三角形单元提出了 一种奇异性处理方法，但这个方法不能直接推广到包括几乎奇异性的情形。我们在 文献【7 】提出的关于r w g 函数积分的奇异性处理技术的基础上，推导了关于线性相 位r w g 函数积分的一般奇异性处理公式。文中提供了数值算例，验证了所提出公 式正确性。 3 2 线性相位r w g 函数 众所周知，由于三角形网格能很好的拟合目标体并易于进一步分解为更小的三 角形网格，有很强的适应性，因而得到广泛的应用。假定我们采用三角形网格离散 1 7 东南大学硕士学位论文 等效电流面，则通常用r a o - w i l t o n g l i s s o n ( r w g ) 基函数来展开未知等效电流。传 统r w o 基函数不含相位信息，我们将加入相位信息的“带相位因子的r w g 函数” 称为线性相位r w g 基函数( l p r w o ) ，其定义如下1 1 3 1 ： z c 力= 贪；善薹：篓兰i ；：； c ，t ， 其中，砖( ，) 为通常的r w g 矢量基函数，定义为： a ( ，) - 南露，艇芽 一 9 乏 图3 - l 线性相位r w g 基函数 ( 3 - 2 ) 如图3 1 所示，与通常的r w g 基函数类似，线性相位r w g 基函数同样定义于相邻 的三角形对矸和巧上，l 为公共边的长度，霹为三角形芽的面积，菇为由自由顶 点指向点，的向量，蒇为由顶点指向公共边乞中点的向量，t 为相位因子。t 描述 了散射体表面电流密度的相位信息，与入射场和散射体的形状有关，一般是通过一种 预测计算来得到的1 3 】。 另外，与面电荷密度相关的基函数的散度为： v 。夯譬笋c - 了毕， c s 固 从定义中我们可以清楚的看到： 1 、根据式( 3 4 ) 、( 3 5 ) ，显然有在在公共边( 内边) 两侧，电流的法向分量 第三章线性相位r w g 基函数 l 疗讯f ) l = 卜去加啦懈哦l - b 等e 巩井础l = t b 。， 岍叫卉去惦荫l = b 争崩玢斗， 睁s ， 2 、在矸和t - 的边界( 外边) ，电流沿边界流动，没有线电荷的存在 3 、在两个三角形巧和巧上，总的面电荷为零。 从以上的分析中可以得出结论，与r w g 基函数一样，线性相位r w g 基函数 有非常清晰的物理意义。 同样，这种基函数也可以用于四面体对，定义如下： 五c 力= 炎；：三：篓i ；e 巧：r , - c s 。 其中， ( ，) 为通常的v r w g 矢量基函数1 5 1 ，定义为： 0 + a ：( 尹) = 3 - 以f f ：p 一，i 芽 图3 - i 线性相位v r w g 基函数 ( 3 7 ) 如图3 - 2 所示，为公共面( 内面) 的面积，增为四面体砰的面积，成为由自由 顶点指向点f 的向量，箴为由顶点指向公共面中心点的向量，露为相位因子。同 东南大学硕士学位论文 样，毛描述了散射体内电通密度矢量的相位信息，与入射场和散射体的形状有关，通 过一种预测计算来得到的。 另外，与面电荷密度相关的基函数的散度为： v 夯笋( ，了华 显然，由线性相位v r w g 基函数的定义及其散度表达式可以非常清楚的看到 对于线性相位v r w g 基函数也有非常清楚的物理意义： 1 、在公共面两侧，电通密度矢量法向连续，因此在公共面上没有电荷积累。 2 、在矸和巧的外表面( 区别于公共面) ，电通密度方向沿表面流动，不会产 生电荷。 3 、在两个三角形巧和巧上，总的面电荷为零。 3 3 物理光学方法和相位信息 物理光学方法( p h y s i c a lo p t i c s ，p o ) 1 1 8 1 以菲涅尔一基尔霍夫原理为基础，是一种 高频近似方法，以目标体表面感应电流作为散射场的源，进而对感应电流积分求得 散射场。在求目标体表面的感应电流时，物理光学方法作了两点假设：( 1 ) 散射体 表面只有