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文档简介

恰当方程 全微分方程 一 概念二 全微分方程的解法 若有全微分形式 则 称为全微分方程 定义 例1 所以是全微分方程 方程是否为全微分方程 解 通解则为 C为任意常数 问题 1 如何判断全微分方程 2 如何求解全微分方程 3 如何转化为全微分方程 是全微分方程 中连续且有连续的一阶偏导数 则 1 证明必要性 证明 因为是全微分方程 则存在原函数 使得 所以 将以上二式分别对求偏导数 得到 又因为偏导数连续 即 所以 2 证明充分性 设 求一个二元函数使它满足 即 由第一个等式 应有 代入第二个等式 应有 这里 因此 则 因此可以取 此时 这里由于 故曲线积分与路径无关 因此 1 线积分法 或 2 偏积分法 第一个等式对积分 代入第二个等式求 即可得 3 凑微分法 直接凑微分得 例2 验证方程 是全微分方程 并求它的通解 由于 解 所以方程为全微分方程 1 线积分法 故通解为 2 偏积分法 假设所求全微分函数为 则有 代入可得 因此 从而 即 3 凑微分法 由于 方程的通解为 根据二元函数微分的经验 原方程可写为 2019 12 20 14 可编辑 例3 验证方程 是全微分方程 并求它的通解 由于 解 所以方程为全微分方程 1 线积分法 故通解为 2 偏积分法 假设所求全微分函数为 则有 所以 从而 即 3 凑微分法 方程的通解为 根据二元函数微分的经验 原方程可写为 练习 验证方程 是全微分方程 并求它的通解 方程的通解为 积分因子法 一 概念二 积分因子的求法 一 定义 连续可微函数 使方程 成为全 例1 的积分因子 并求方程的通解 解 是全微分方程 方程通解为 1 公式法 求解不容易 特殊地 两边同除 a 当只与有关时 b 当只与有关时 2 观察法 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式 一般可选用的积分因子有 等 可选用的积分因子有 可选用的积分因子有 例2 解 则原方程成为 1 公式法 原方程的通解为 2 观察法 将方程左端重新组合 有 可选用的积分因子有 可选用的积分因子有 因此取积分因子为 原方程的
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