（基础数学专业论文）微分方程的伪概周期解.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文研究了两类具体含逐段常变量微分方程的伪概周期解的存在性问题和一类 阶微分方程组的数值解。全文由如下三部分组成：第谭简要地介绍了对逐段常变 鼍微分方程周期解及伪概周期解的研究概况。第二章在文献 1 2 的基础上进一步推广 了关于一类中立型逐段常变量微分方程存在伪概周期解的充分条件的适用范围。第三 章研究了一类更广泛的具有无穷时滞的二阶中立型逐段常变量微分方程，通过构造概 周期序列及不动点定理获得了其存在伪概周期解的充分条件。第四章运用模糊的扩展 运算，给出了一阶微分方程组( 常系数或变系数，线性或非线性) 当其初始状态具有 模糊不确定性时，用模糊仿真原理求数值解的方法。 关键词：周期解，概周期解，伪概周期解， 方程，不动点定理，微分方程组，模糊仿真 逐段常变量微分方程，中立裂泛函微分 数值解。 第1 l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t j nt h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c e so fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp s e u d oa l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e v e r a ic l a s s e so ff u n c t i o n a ld i f i e r e n t i a ie q u a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d t h i sp a p e ri so r g a n i z e db yf o u rp a r t s ：i nc h a p t e r l w es i m p l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n t o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t i nc h a p t e r 2 w eg e n e r a l i z et l l e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c e so fp s e u d oa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so fs e c o n d o r d e r n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n ti nr e f e r e n c e 【1 n c h a p t e r 3 w ec o n s i d e r ac l a s so fg e n e r a l i z e ds e c o n d o r d e rn e u t r a ld e l a yd i f i e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t ；b yc o n s t r u c t i n gp s e u d oa l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n so ft h ed i f i e r e n c ee q u a t i o na n du s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m w eo b t a i na s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c e so fp s e u d o a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n i n c h a p t e r4 w ec o n s i d e r st h ep r o b l e mn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nf u z z y i n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n s e tu pam e t h o do ff u z z ys i m u l a t i o n k e y w o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o n ，a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，p s e u d oa l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t ，n e u t r a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，f i xp o i n tt h e o r e m s y s t e m so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，f u z z ys i m u l a t i o n ，n u m e r i c a ls o l u t i o n 第l i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：越金左蕉整佐攫周期堡 学位论文作者签名： j 查塑著 日期：，曲叶年，f 月，。日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：煎金左蕉煎丛燕围翅篚 学位论文作者签名：! 垒! 塑差 日期： 妒尹年月；。日 作者指导教师签名：! i 兰! ! 日期：训p 年f ，月3 口日 国防科学技术人学研究生院学位论文 第一章引言 微分方程解的性态是微分方程理论中一个重要而又基本的问题，其中关于系统的周期 解，概周期解以及伪概周期解的存在性问题吏是具有重要的理论意义和实践应用。对于研 究泛函微分方程的周期解而言，许多学者获得了一系列优秀结果1 2 2 - 2 5 , 3 1 - 3 3j 。例如，王克， 黄启昌【2 2 j 将y o s h i z a w a 型周期解定理推广到无穷时滞的泛函微分方程。而对概周期解的研 究是现实中的概周期系统f 例如，研究天体运动模型1 27 ，”j 的迫切需要，同时也是微分方程定 性理论中极富挑战性的重要课题，而且也促进了对方程周期解研究的发展。在这方面，李 志祥将l i a p u n o v 函数法运用到概周期系统，得到全新的概周期解的存在性和稳定性判据： 曾唯尧l 淋木仁 3 3 瞎另辟蹊径，运用指数二分性来保证概周期解的存在性。在研究周期 解和概周期解存在性的证明思想和常用方法之中，我们发现，构造对应的差分方程的概周 期解、不动点定理、指数二分性和拓扑度理论是行之有效的工具。本文对两类特殊的逐段 常滞量微分方程研究了伪概周期解的存在性问题。 含逐段常滞量微分方程描述了f 列运动现象：“运动状态变化率由当前状态及过去， 将来某一时刻确定，当时间越出一个时间片段进入下一个时间片段时，确定运动状态变化 率的过去，将来时刻随之改变”。这类方程在单位长的区间上有连续系统的性质，而解在 区间端点上的值则满足一定的差分方程，目连续性及离散性由解在任两相邻区端点的连续 性结合起来。因此含逐段常滞量微分方程描述了混杂系统( 连续和离散的组合) 。这样它 们组合了微分方程和差分方程的性质。并且这类方程在控制理论和生物模型理论中具有重 要意义。对逐段常滞量微分方程的研究时间并不久远，但迄今为止也有了许多的工作1 1 。“。 研究逐段常滞量微分方程的重要动力是它们描述了连续和离散的组合这样一类混杂系统。 最初提出并研究逐段常滞量微分方程的是c o o k e & w i e n e r 【lj 和s h a h & w i e n e r p j 。 c o o k e & w i e n e r 1 l 首先讨论了常系数的纯量微分方程的初值问题 卜( f ) = a x ( t ) + o 工( 【f ) + 。】x ( f 一1 】)r ，、 1 x ( 一1 ) c _ p x ( o ) = c o “ 通过构造差分方程的解，详细研究了方程( 1 1 ) 的解的存在唯一性，解的反向延拓及零解 的渐近稳定性等基本问题。基于此c o o k e & w i e n e r i l l 进一步还研究了方程 x ( ) = 甜o ) + a i x ( 【r m ，a 0 ( 1 - 2 ) 励 以及b a n a c h 空间中的方程 x ( f ) = a x ( t ) + b x ( t 一【f 】) ， j o ) = a ( t p o ) + b o ) x ( p 】) 等一系列方程的解的存在性问题。 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 此后a f t a b i z a d e h 等【3 1 和w i e n e r & c o o k e l 4 1 5 l 分别研究了方程 y o ) + a ( t ) y ( t ) + 扫( f ) y ( f 一1 】) = 0 ， ( 1 5 ) 第1 页 和 工，( f ) = 出 + b x ( t + 争) + ，o ) ， ( 1 6 ) 的解的振动性及周期解的存在性问题。 一曼：，号o ? k ? w i e n e r 垆1 给出了关于逐段常滞量微分方程的研究概况，从中可见之前的 鐾謇孝要集中在方程解的稳定性，振动性和周期解存在性e 。稍后，p a p a s c h i n o p o u l o s 1 6 1 莉 用指数二分性研究了方程 y7 ( f ) = a ( o y q ) + 口( r ) y ( r 】) + f ( t ，y ( f ) ) ，t r + ， ( 1 7 1 的拓扑等价性及方程的解的渐近性质。 近年来，关于逐段常滞量微分方程的研究手要集中在方程的概周期解以及更一般的伪 概周期解的存在性之上。y u a n & h o n g 7 过构造差分方程的概周期序列解，研究了方程 z ( ，) ；鲫p ) + 口，七( p + f 】) + f ( 0 ，n 2 ( 1 8 1 j 并 概周期解的存在性。 之后，袁荣l s 】研究如下二阶中立型逐段常滞量微分方程概周期解的存在住 嘉仁g ) + 彤。一1 ) ) ：掣( 2 掣 ) + 弛坤) ，雄f 】) ， ( 1 9 ) 其中是p ( o ) ，g ( 一0 ) 常数，g ：r x r x r r 是关于f 在尺r 上的致伪概周期函数，表 不最大整数函数。其主要结论是： 先考虑方程 箸0 p ) + p x ( t 一1 ) ) = 私( 2 【掣】) + 心) ( 1 1 0 ) 定理1 1 8 1 设酬 o ，当0 sr 弘时，方程( 1 9 ) 有难一概周期解。 进而，如g ( 1 ，x ，y ) 关于l 是甜一周期的，则如下结论成立； ( i ) 如= n 。，n o z + ，则方程( 1 9 ) 有唯一的一周期解； ( i i ) 知珊；m ”n d ，m o z + ，n o g l m o 互素，则方程( 1 9 ) 有唯一的。一周期解。 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 l i & h e l 9 】等又用类似的方法研究了方程( 1 9 ) 概周期解的存在唯一性。得到如下结论 成立：当( 1 ) 若( 1 1 0 ) 对应的齐次差分方程的特钲根有一二蕈根，一根为单根( 记为 九，a ，a 、一1 ) ：( 2 ) 若( 1 1 0 ) 对应的齐次差分方程的特征根有三重根时，相应的定理1 8 1 ， 定理2 18 】结论仍成立。并在此基础上对 笔b o ) + p p ) 工( f 一1 ) ) ：q x ( 2 华】) + ，( f ) 。 ( 1 1 1 ) 笔) + p ( f 沁( f 1 ) ) ；q x ( 2 掣】) + g ( t , x ( f ) ，工【f 】) ( 1 1 2 ) 的概周期解的存在唯一性进行了研究，得到如下结论： 定理1 3 1 9 】对任意概周期解函数f ( t ) ，p ( t ) ，若q ，0 ，4 m i2 + 二ic 1 ，或口c 一4 ， g ， 埘 1 + 予丢) c 1 成立，其中m = 怕o ) 则方程( 1 1 1 ) 有唯一概周期解。进而，如f ( t ) “t ) 是甜一周期的，则如下结论成立： ( i ) 如t o = 2 n 。n z + ，则方程( 1 1 1 ) 有唯一的一周期解； ( i i ) 如= 2 n o m o ，n ，脚o z + ，n o 和所。互素，则方程( 1 1 0 ) 有唯一的朋o 一周期解。 定理1 4 1 9 】对任意概周期解函数p ( t ) ，若方程( 1 1 2 ) 中g ( t ，) 是关于的一致概 周期函数满足：k o ，石。，y ，) 一g p ，z ：，y ：) f s l 忙一z ： + y 。一y 2 f j ，则若q ) 0 ， 4 ( 埘+ l 1 2 + 兰1c 1 ，或gc 一4 ，4 ( m + 1 1 + 里= 1c 1 成立，其中m = 忉( f ) 则方程( 1 1 2 ) 有唯一概周期解。进而，如p ( t ) 是c o 一周期的，g ( t ，x ，y ) 关于t 是一周期的，则如下结论成立： ( i ) 如o ：2 n 。，z + ，则方程( 1 1 2 ) 有唯一的o a 一周期解； ( i i ) 如( 1 1 ：2 n 。i m 。，h 。m 。z + ，n 。和m o 互素，则方程( 1 1 2 ) 有唯一的m 一周期解。 y u a n & h o n g l l 0 1 结合指数二分性研究以下两方程的概周期解的存在唯一性： x ( f ) = 爿( f k 0 ) + 口o 讧( p 】) + ，o ) ，f r ， ( 1 1 3 ) 和 z ( f ) ；爿( f 弦0 ) + 曰( f 弦( p 】) + g ( f ，x ( o ，工( p 】) ) ，t u r ( 1 1 4 ) 其中a ，b ：尺一r 一，：r r 。，g ：r x r 。r 4 一r 4 是连续的。他们得到的主要结论有： 定理1 5 1 1 0 】设a ( t ) ，b ( t ) ，f ( t ) 是概周期的，且( 1 4 ) 满足指数二分性，则( 1 1 3 ) 有唯 一的概周期解。 定理1 6 1 1 0 】设a ( t ) ，b ( t ) ，f f t ) ，g ( t ，x ，y ) 关于t 在r r 9x r 。是一致概周期的 且( 1 4 ) 满足指数二分性；则存在叩。，0 当o5 可( 1 1 4 ) n - n 概n n n 。 定理1 7 1 1 0 i 设a ( t ) ，b ( t ) ，“t ) 是一周期的，且( 1 4 ) 满足指数二分性，则( 1 1 3 ) 有 第3 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 唯一的概周期解。则如下结论成立： ( i ) 如t o = t 0 , n 。z + ，则方程( 1 1 3 ) 有唯一的一周期解 ( i i ) 如= n o m o ，月o ，卅o e z + ，n o ：g l m o 互素，则方程( 1 1 0 ) 有唯一的m 一周期解。 定理1 8 f 1 0 1 设a ( t ) ，b ( t ) 是t o 一周期的，g 关于t 是一周期的且( 1 4 ) 满足指数二 分性，则( 1 1 3 ) 有唯一的概周期解。则存在如下结论成立： ( i ) 如t o = n 。n 。e z + ，则方程( 1 1 4 ) 有唯一的甜一周期解； ( i i ) 如= u m o ，n o ，o z ，h o 和脚。互素，则方程( 1 1 4 ) 有唯的一周期解。 结合指数二分性，朴大雄【1 2 】又分别研究了线性微分方程 工o ) = a x ( t ) + b x ( t + 妄】) 十，o ) ， ( 1 1 5 ) 和非线性微分方程 上o ) ：n x q ) + b x ( t + 三】) + g q ，x p ) ，上( p + 昙】) ) ( 1 1 6 ) z o ) = a x ( t ) + b x ( i t + 】) ( 1 1 7 ) 的概周期解的存在性及其唯一性。其中一，b ：r 一尺，f ：r r 9 ，g ：r r 9x r 9 一r 。是 连续的。 定理1 9 【1 2 j 如果齐次方程( 1 1 7 ) 指数型二分性，则( 1 1 5 ) 有唯一的概周期解。 定理1 1 0 “l 如果齐次方程( 1 1 7 ) 指数型二分性，g ：r x r qx r q r 。是关于f 是一 致伪概周期函数且满足i 。i p s c h i t z 条件： l g ( t ，_ ，y ) 一g ( f , x 2 , y ：) is 0 _ 一工：i + l y 。一y ：1 ) ， ( f ，工i ，y 。) e r r 9x r q ，i = 1 , 2 ，其中 工 l o = ( 2 d q k ( m + 1 ) ( 1 + g 一“) ( 1 + p 一“) 一1 p 2 材+ 2 q e m ) ， 则( 1 1 6 ) 存在唯一的概周期解。 定理1 1 1 1 1 2 】设a ( t ) ，b ( t ) ，f ( t ) 是一周期的，且( 1 1 7 ) 满足指数二分性，则如下结论 成立： ( i ) 如= n 。，h o z + ，则方程( 1 1 5 ) 有唯一的调和解； ( i i ) 如= h 。m 。n 。，m o e z + ，月。和m 。 互素，则方程( 1 1 5 ) 有唯一的次调和解。 定理1 1 2 1 1 2 】设a ( t ) ，b ( t ) 是珊一周期的，g 关于t 是一n n n r ( 1 1 7 ) 满足指数二 分性，g ：r x r 4x r 4 一r 。满足l i p s c h i t z 条件，则关于方程( 1 1 6 ) 如下结论成立： ( i ) 如= n 。n 。z + ，则方程( 1 1 6 ) 有唯一的调和解： ( i i ) 如= 月。埘。，n 。，m 。z + ，月。和m 。 互素，则方程( 1 1 6 ) 有唯一的次调和解。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 最近y u a n j 3 1 又通过构造差分方程的伪概周期序列解，部分地研究了方程( 1 9 ) 的伪 概周期解的存在性，其主要结论有： 定理1 1 3 设例t1 ，p 0 ，若( 1 1 0 ) 对应的齐次差分方程的特征根的所有根为单根 ( i g n 五。，a ：，旯，z1 ) ，则对任何伪概周期函数f ( 0 ，方程( 1 1 0 ) 有唯一伪概周期解。进 而，如f ( t ) 是伪一周期的，则如下结论成立： ( i ) 女1 1r o = 0 , h 。e z + ，则方程( 1 1 0 ) 有唯一的伪一周期解； ( i i ) 如棚= n o m o ，n 。，晰。e z + ，n 。和。互素，则方程( 1 1 0 ) 有唯一的伪m 。c 【，一周期解。 定理1 1 4 i 】”设驯c 1 ，p 一0 ，若( 1 ，1 0 ) 对应的齐次差分方程的特征根的所有根为单根 ( 记为a 。，a ，a ，1 ) ，g ：r r r 一尺是关于f 在r r 上的一致伪概周期函数且满足： j s ( t ，x l ，y 】) 一g ( r ，x 2 ，y 2 ) ls 工0 x 1 一石2 l + i ) ，1 一y 2 l j ，( f ，x ，y i ) e rx r r ，i = 1 , 2 ， 则存在叩。，0 ，当0s 叩c 叩。时，方程( 1 9 ) 有唯一概伪周期解。进而，如g ( t ，x ，y ) 关于t 是 伪甜一周期的，则如f 结论成立： ( i ) 如甜= h 。n 。z + ，则方程( 1 9 ) 有唯一的伪甜一周期解； ( i i ) 如山= n o m 。，n o ，l d z + ，n o 和m o 互素，则方程( 1 ，9 ) 有唯一的伪m o 一周期解。 王鑫1 1 1 】通过构造差分方程的伪概周期序列解研究( 1 9 ) 的伪概周期解的存在性。讨 论当( 1 1 0 ) 对应的齐次差分方程的特征根有一个二重根，个为单根及特征根有一个三 重根时，定理1 1 3 及定理1 1 4 1 3 1 的结论仍成立。 同时，王鑫讨论如下二阶中立型逐段常滞量微分方程 嘉( 删+ 扛) 出) 吲2 【等】) + 俐 ( 1 1 8 ) 和 嘉( 删+ 删m 渺) 喇2 【孚”北州州， ( 1 1 9 ) 概周期解的存在性，其中j 三：i p ( s ) 陋c 。，q ( 一o ) 是常数，g ：r 尺r r 是关于f 在r r 上的一致伪概周期函数，h 表示最大整数函数。其主要结论有： 定d 1 i 】列v ，引嘴删叫z + 号) c t 或q - 4 , 4 m ( ：+ 言) 钉成屯其中 m = 1 p ( s ) 出l ；则方程( 1 1 8 ) 有唯一概周期解。进而，如f ( t ) 是m 一周期的，则如下结论成 立： ( i ) 如“= 2 n o ，z + ，则方程( 1 1 8 ) 有唯一的一周期解； ( i i ) 如c 【j = 2 n o m o ，h o ，m o z + ，n o 和o 互素，则方程( 1 1 8 ) 有难一的小o 一周期解。 第5 页 舢叫z + ，或q - 4 , 4 m ( z + 昙) c - 魁其中m = 肌蚺 则方程( 1 1 9 ) 有唯一概周期解。进而，如g ( t ，x ，y ) 关丁t 是一周期的，则如下结论成立： ( i ) 如= 知。，n 。e z + ，则方程( 1 1 9 ) 有唯的珊一周期解； ( i i ) 如= 2 n 。m 。”。m 。e z + ，n 。和卅。互素，则方程( 1 1 9 ) 有唯一的卅。一周期解。 结合指数二分性j i a l i nh o n g 等1 1 4 l 进一步研究了方程 x o ) ；a ( t ) x ( t ) + 曰o ) 石( 【f ) + 4 。0 e ( r 一 f 】) + 彳。0 ) 工o i t ) + ，( ，) ， ( 1 2 0 ) 和 x o ) = a ( t 沁0 ) + b ( t ) x ( t 1 ) + a 。( f ) 工o p ) + 爿。( t ) x ( f p ) + g ( t ，x p ) ，j ( 【f ) ) ( 1 2 1 ) x o ) = a ( t ) x q ) + 口( r ) 工( 【f 】) ( 1 2 2 ) 的伪概周期解的存在性。 他们得到的主要结论有： 定理1 1 7 1 4 1 1 假设a ( t ) ，b ( t ) 是可测的和有界的，方程( 1 2 2 ) 具有指数二分性，若 4 。，a 。e e a & ( r ，r “4 ) r m 。，e p a p | ，僻，r 4 ) n m 。，并且| 爿。l = s u p 。1 4 。( 丁) ic 1 ， 则存在 卢。，当l 爿。l + h lc 卢。时，方程( 1 2 0 ) 有唯一的解x 尸爿r ( 尺，r “) 。其中 m 。俾，r 。) = ，：r - - - r 。是上p b e g u p 可测的和有界的j 定理1 1 8 1 4j 假设a ( t ) ，b ( t ) 是口j 测的和有界的，方程( 1 2 2 ) 具有指数二分性，若 a 。，a ，p a p o ( r ，r “4 ) n m 6 ，gp a p o ( r r 。r 4 ) 是有界的且满足 l g ( f ，x 1 ，y ，) - g ( t ，x ：，y ：) ls 叩【卜。一工：l + l y ，- y ：1 1 ，x ，y ，r j 且l 一， = s u p 。l 爿。( 7 _ ) lc 1 则存在卢。，o ，仉，o ，当l 爿。l + i a 。1c f l o , 0sr cr l 时，方程( 1 2 1 ) 有唯一的解- x g p a p o ( r ，r 4 ) 。 定理1 1 9 【1 4 1 假设a ( t ) ，b ( t ) 是概周期的，a o ( f ) = a ( f ) ；0 方程( 1 2 2 ) 具有指数二分 性，若以下条件成立： ( 1 ) 对任意f p a p o ( ( r ，r 4 ) ，p a p o ( r ，r 4 ) ) ，方程( 1 2 0 ) 有解 x p a p o ( ( r ，r “) ，( p a p 。( 见r 4 ) ) 进而若，俐尸，r 4 ) 或，p a p ( r ，r 4 ) n m 。( 尺，尺4 ) ，则x 是唯一的。 ( 2 ) 对任意，删p ( 职，月“) ，( 刚尸( 尺，月4 ) ) ，方程( 1 2 0 ) 有解 x p a p ( ( r ，r 4 ) ( 剐尸( r ，j r “) ) ； 进而若f p a p ( r ，r 4 ) 或，删p ( r ，月。) n m 。俾，r “) ，则x 是唯一的。 定理1 2 0 h i 假设a ( t ) ，b ( t ) 是概周期的，a 。( f ) = a 。( f ) zo 方程( 1 2 2 ) 具有指数二分 第6 页 一 国防科学技术人学研究生院学位论文 性，若存在，7 ，0 满足以下条件： 当0s 叼叩。，若占p a p o 僻r 。r 4 ，r 4 ) 是有界的且满足 i g ( t ，x ，_ ) ，。) 一g ( f ，工：，y ：) ls 叩【卜。一x ：l + l y ，一y ：| ，工。，y ；e r 则方程( 1 2 1 ) 有唯一的解z 以只作，r 4 ) 。 本文的第二章在以上工作的基础上研究了更一般的二阶含逐段常滞量的中立型微分 方程 矿d2 ) 州啦) ) = 仲 半 ) + 巾) ( 1 2 3 ) 和 矿d2 + 加瑚一1 ) ) = 删( 2 【孚】) + 如，砸) ，硼f 】) ) ( 1 2 4 ) 的伪概周期解的存在唯一性；可以看出方程( 1 2 3 ) 、( 1 2 4 ) 在类型上进一步拓广了前人 的研究范围。 第三章研究了含无穷时滞的中立型微分方程 嘉( 删+ 丘徘) 叭帕) 咧2 【等 ) + ，( f ) ，( 1 2 ” 和 筹( 娴+ 丘邢) 肌蛐) = 卿 等”啪m 删) ) ( 1 2 6 ) 的伪概周期解的存在唯一性。在王鑫研究( 1 1 3 ) 的概周期解的存在性的基础上研究 ( 1 2 6 ) 的伪概周期解的存在性。 微分方程在很多情况下不可能求出解的解析表达式。有时既使能求出解的表达式，也 往往由于计算量太大而不适用。而且，在实际问题中常常只要得到解在若干个点上的近似 值，数值解法就是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法。 秦林祥，杨泰敏”“介绍了几种数值解法。但数值解必须有一个前提条件，既初始状态 提供的信息提供的信息足够充分，但在许多情况下，由于各种噪声的作用，其初始信息残 缺，无论从宏观上还是从微观上要刻划其系统的初始状态都非常困难，也就是说初始状态 呈现一种模糊性。黄崇福 3 6 提出模糊近似推理规则。 本文第四章考虑下列一阶微分方程组 x t l ( f ) = f l ( t ；x 1 ，x 2 ，一，工。) 石7 2 ( f ) = 厶( f ；z i ，x 2 ，一，并。) 工。l ( t ) = l o ；工l ，x 2 ，x 。) x 1 0 0 ) = x l o ，x 2 0 0 ) = x 2 。，石。o 【1 ) = z 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 初始状态具有模糊不确定性时，依据模糊仿真原理，用r u n g e k u t t a 法求其数值解的问 题。为此我们在第四章中，用模糊扩展原理给出模糊数的运算法则。 第二章二阶中立型含逐段常滞量微分方程伪概周期解 本章研究如下二阶中立型含逐段常滞量微分方程 矿d2 ) + m 川1 ) ) = 掣( 2 等 ) + 触垧砌】) ) ， ( 2 1 ) 伪概周期解的存在性，其中p ( t ) 是伪概周期函数，9 e0 ) 是常数，g ：r r r r 是关于 t 在r r 上的一致伪概周期函数，【】表示最大整数函数。 称函数x ：r r 是方程( 2 1 ) 的解，如果它满足下面条件： ( 1 ) x 存r 上连续： ( 2 ) x ( t ) + p ( o x ( t 一1 ) 的二阶导数在r 上存在，可能除去点f ；n e z 外，但单侧导数存在 ( 3 ) 在每一个区| 日j b ，n + 1 ) a 二x 满足方程( 2 ，1 ) ，n z 。 2 1 相关定义及引理 定义2 1 1 1 8 嘛函数，：r r 为概周期函数，如果对任意，0 ，厂的一平移集 丁( ，e ) = ：i ，p + f ) 一厂( f ) lcs ，v t 6 7 _ r 足r 巾的相对稠密集。 定义2 2 i 1 8 l 称函数g ：r x r x r r 为关于f 在r x r 上的一致概周期函数，如果对任 意e ，0 和任意紧集w rx r ，g 的一平移集 丁( g ，) ；扛：j 占( f + r ，石，y ) 一g ( t ，x ，y ) jc ，v ( t ，x ，y ) r w 是r 中的相对稠密集。 定义2 3 1 18 】序列工：z r 称为概周期序列，如果对任意e ) 0 ，x 的e 一平移集 r ( s ) ：扛：i x ( n + z ) 一x ( n ) lcs ，v n z 是z 中的相对稠密集。 命题2 1 u s l 设仁( n ) l 。是概周期序列，( f ) 是概周期函数，则集合t ( f ，e ) n z t ( x ，) n 丁( ，) 是相对稠密集。 第8 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 命题2 2 * s l 如果，( f ) 是概周期函数，则 ，( n ) k 是概周期序列。 引理2 1 【1 1 1 如果，( f ) 是概周期函数 伽2 吨。：虻1 f ，p ) d 础l 是概周期序列。 足 则序列 l = 拓“j ：施) d 础l ， 引理2 2 1 “1 。i 爱x ( t ) 是概周期函数，g ( t ，) 是关于f 在r r 上的一致概周期函数，且满 g ( t , x l , y ，) 一g ( t , x z , y ：) 1sl 0 z ，一x ：i + l y ，一y ：l 】，v ( t , x i , y 。) o r r r ，i ；l 2 则函数g ( t ，z ( f ) ，x 【f 】) 也是概周期函数。 定义2 4 【1 1 】称函数f ：r r 为伪概周期函数，若，可以表示成和式： f = f ”+ f e ； 其巾，”是概周期的，8 连续有界且满足 m ，。j ) ：- 。t i m 。型l 。f 。 t f 砸) 陋= o 。 ，”和，。分别称为函数，的概周期部分和遍历扰动。 注：g z 3 1 中的厂”和，。都足唯一确定的。事实上，n ( f ”) = ，l i m 。z 1 - ! - j ，f r 。i f ”( s ) 陋是 a p ( r 1 上的范数。 定义2 5 【l i 】称函数占：r r r r 为关于f 在尺r 上的一致伪概周期函数，若g 可以 表示成和式： g = g ”+ g 。： 其中g ”关于f 在r r 上是一致概周期的，在任意紧集w r x r 上，g 。连续有界且满足 m ) - l i m 训l d 。g ( f ，刎) i d t = o 在0 ，y ) w 上一致成立。g 。和g 。分别称为函数占的概周期部分和遍历扰动。 定义2 6 称序列x ：z 一只为伪概周期序列，若z 可写为和式： z ( 胛) = x 印( n ) + x8 ( 九) 其中x ”是概周期序列，z 。有界且 m 圳：l i r a 上2 。驴( ”) | = o 川印； 工”和x 。分别称为序列x 的概周期部分和遍历扰动。 引理2 3 【1 1 l 如果，( r ) 是伪概周期函数，则序列1 ，l 。：拓“f ，( 盯) d 础i 。 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 引理2 4 【1 1 】设x ( f ) 是伪概周期函数，g ( t ，- ，- ) 是关于f 在r r 上的致伪概周期函数 且满足： f 占p ，x 。，y ) 一g ( t ，工：，y ，) f5 叩0 x 。一z ：i + l y 。一y ： ，v ( f ，x ；，y ；) 曰r r ，i = 1 ，2 则函数g o ，工( f ) ，科r 】) 也是伪概周期函数。 引理2 5 如果，( f ) ，g ( t ) 是连续的伪概周期函数，则f ( t ) g ( t ) 是伪概周划函数。 证明：设，( f ) = 厂9 ( f ) + ，。( f ) ，g ( r ) = ga p ( f ) + g8 0 ) ，且，( f ) ，甙t ) 是连续的则有 f ( t ) g ( t ) = ( 厂”( f ) + f 。o ) ) ( g ”o ) + g8 0 ) ) = ，9 q ) g ”p ) + ，。o ) 9 9 ( f ) + 厂9 0 ) g 。o ) + f 。( f ) 占。( f ) ，印( r + r ) g 叩o + z ) 一，叩( r ) g 叩p ) ) l 2 l ，”o + r ) 占”o + r ) 一，”o + z ) 9 9 ( f ) + fo p ( f + f ) 占”o ) 一，”( f ) g ”o ) l s i f p o + r ) ll g ”( f + r ) 一9 9 ( f ) i + l fo p o + r ) 一厂”( f ) l 旧”o ) i 所以厂”( f 冶”( f ) 是概周期函数。 又由 寺正( f ) g ) + ，枷) 圹( f ) g ) m s 旨丘，go v ( 渺r 1 刍丘，”o 矿“) d r + i 寺九岫1 可得，。( o g 。g ) + ，9 0 ) g 。( f ) + ，。垮。p ) 是遍历扰动的。 由定义2 4 可得f ( t ) g ( t ) 是伪概周期函数。 2 2 主要定理的叙述及证明 记只4 p 为所有连续概周期函数所成集合，定义其上范数洲为最大模范数，( e 舅e , l l l l ) 是b a n a c h 空间，仍记为刚p 。 设r p a p ，首先考虑方程 第1 0 页 l 一2 m+ 上孤 m s 蔓 0 ，或q 一4 ，则对v ，剐p ，v 妒删p ，方程( 2 3 ) 有唯概周 期解。 证明：若上( f ) 是( 2 3 ) 在r 上的解，则对v 2 n 一1 s t 2 n + 1 ，h z ，将方程从2 n 到 t 积分有 孚t i t 州唧( f _ 1 ) ) _ 孚a t 叫嘶( f - 1 虬。 + 1 。 = q x ( 2 n ) ( t 一2 n ) + 上。) 如， 再次积分可得到 。( r ) + p ( ) 一1 ) ) 一 ( 2 n ) + p ( 劢) ( 2 n - 1 ) ) 一丢。o ) + p ( f ( r 。) l 。( f 一2 n ) = 三掣( 知) ( f 一孙) 2 + ：。j ：。，p ) d o d s 由解的连续性知，当f = 2 n + 1 时，有 ( x ( 2 n + 1 ) + p ( 2 n + 1 ) 妒( 2 n ) ) 一b ( 2 n ) + p ( 2 n ) 口b ( 2 n 一1 ) ) 一j a 。( x ( o + p o ) 庐( f 一1 ) 1 ，。：。 = 昙掣( 2 n ) + 艇； ( x ( 2 n 一1 ) + p ( 2 n 一1 ) b ( 2 n 一2 ) ) 一( x ( 2 n ) + p ( 2 n ) g 。( 2 n 一1 ) ) + 丢b + 刖妒”1 , i 。 = 三班( 2 咖f ( 2 ) 其中协1 ，l 。，协2 l 定义见o f 理2 1 。 由此得到如下关系 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 工( 2 ，z + 1 ) 一( q + 2 ) x ( 2 n ) + x ( e n 一1 ) = 9 2 。， ( 2 4 ) 其中 g a = 定+ 馏一p ( 抽+ 1 ) 庐( 勘) 一p ( 知) 庐( 勘一1 ) + 2 p ( 2 n 一1 ) 烈抽一2 ) 考虑( 2 4 ) 对应的齐次差分方程 x ( 2 n + 1 ) 一( q 十2 ) x ( 2 n ) + x ( 2 n 一1 ) = 0 ， ( 2 5 ) 特征方程为 矛一( 阜+ 2 ) a + 1 = 0 ， ( 2 6 ) ( 2 5 ) 又当qc 一4 或g ) 0 时，方程的根为单实根且绝对值不为1 。从而必有根绝对值小于 1 记为五，另一根绝对值大于1 记为a 。 令 c n = k ，硝一”1 g 。+ 七z 鸩叫”g ， ( 2r 7 ) m s n - i m ” 其中k l , k ：待定。 将其代入方程( 2 6 ) ，得 虾扩1 o m 七一m z 蹦2 n * ln + l - - ( m + 1 ) g m _ z ) h 搿州l g m 吨2 m ) + 疋。羔一”g m + 乜。互叫”g m 一； 比较等式两端g 。的系数，有 由此得到 。，( ，一鲁：刍i ：a _ 1 ：。 t ，：一 1 一如 女，：l 一a 2 这样 c 。l 。是方程( 2 3 ) 的解，且还可知它是伪概周期序列。事实上，由引理2 1 ，引理 2 3 ，命题2 2 可知k 。l 是伪概周期序列。故任取f 丁( g ，s ) ，有 l c - - c h a p i = 。一一忡“g ”m + t z 码一忡“g ”m 一t _ 一”g ”m 一：薹码”g ，” m 州r 一1 m 槲fm n - 1m “ 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 = l 七，互r 川c g a l m + r - ga p m 卅：磊掣“1 c g a p m + c - g a p m ， s 吲m 一“”妒一ga p m t ：j m 一”j g ”一g ”m 一1 s 驯如川卟毋圹巾删h 端+ 龄卜 战由定义知# ? 上e z 是概周期序列。易知 气8 = k i 罗智一”。+ 女2 码一“g 。 是有界的。为证明序列 c 。) 的伪概周期性，只需证明m 0 c 川= 0 即可。事实上 面1 。副nc ：卜掣。蚤n 磊叫”蚓十梁喜互一m ”蚓 ；裂瞻m 制辄卜+ 。卜制“1 k + 卜制2 “l 驯“”圳 + ( 1 + i ：0 9 鼻一：l + 制2 ”l 删“”圳 + 2 - 1 ) g _ s 掣 高习萤蚓+ f 浠罂圳+ 裂 看习萤蚓+ f 浠罂圳 s 掣南封蚓+ f 浠罂圳+ 黔 南营蚓+ f 浠翌圳 再由k ： 的有界性知， 牌土2 n 川。o 。 一。刍j “1 综上，序列 ：j 是伪概周期的 再设 或：c 。+ p + 1 ) 艇h ) - c - e ( , ) “n 一1 ) 一二1 蚂一卵，v h e z 。 第1 3 页 + 峙h蚓丽 + 一 国防科学技术大学研究生院学位论文 与上同理可知 d 。l 。也是伪概周期序列。 现按下列方式逐段定义函数x ：r r ， x ( t ) = -