（流体力学专业论文）参数反演的Bregman方法研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 参数反演( 或识别) 是一类非常重要的反问题，本论文依据欧共体合作项目的实验 数据，针对地下水中污染物传输控制方程中的几个重要参数，进行了反问题求解方法的 研究，通过将求解凸规划问题的邻近点方法引进参数反演问题求解，可以大大地扩充正 则化函数的可选范围。在算法研究的基础上，编程并开发了一个便于应用的用户界面。 通过模拟考题验证了本文方法的正确性、大范围收敛性和抗噪声的能力，并根据欧共体 项目的实验观测数据进行了实际计算。论文的具体内容如下： 第一章简要地介绍了论文的工程背景和选题意义，并在回顾了反问题当前研究现 状和存在问题的基础上，确定了本文的研究方向和研究内容。 第二章介绍了有关非饱和土中污染物传输过程的相关概念和控制方程，在此基础上 提出了待求解的参数反演闯题和拟采用的正则化方法。 第三章先用一个简单例子说明了造成反问题求解困难的根源和解决阔题的途径，然 后比较详细地介绍了求解凸规划问题的邻近点方法，分析了这种方法应用于反问题求解 的优点，最后将基于b r e g m a n 函数的邻近点方法引进非饱和中污染物运移中的参数反 演问题，推导了相应算法的迭代公式。 第四章以 i a t l a b 7 o 版本作为平台，针对参数反演问题求解开发了一个方便计算的 用户界面并编制了污染物运移中参数反演问题求解的计算机程序，对基于b r e g h l a n 函数 的邻近点方法进行了验证，并依据欧共体国际合作项目的土柱实验获得的观测数据，进 行了计算，绘制了穿透曲线并进行了结果比较。 关键词：反问题；污染物传输；正则化方法；b r e 鲫a n 方法；_ a t ia b 工具箱 大连理工大学硕士学位论文 s t u d i e so nb r 唧a nm e m o df o rp a r 锄e t e ri n v e r s i o n a b s 仃a c t p a 姗酏。rl n v e 瑚0 nl so n eo fv c r yl m p o r t a n t1 n 、，e i 苫ep r o b l c m sb a s e do n 抽e 幽t a 疔( ma c o l la _ b 0 瞰i v ep r o j e c to f e u r o p e a nu n i o 玛t h i st h e s i sc a m e so u t l es t u d i e so ns o l 谢o n s 仃a t e g y f o ri n v e r s ep m b l e m s ，p a n i c u l a r l ya i m i n ga tt h ep a r 锄e t e ri i e r s i o ni 1 1m ec o n n d lc q u a t i o n s o f 仃a n s p o r tp o c e s so fc o n t a m i n a n t si i l 曲e 硼d e n a t e r b yi m m d u c i n gt h ep m x i m a lp o i m a 1 9 0 r i t l l l mf o rc o n v e xp r o g r 姐眦i n gi m ot h es 0 1 u t i o no fp 猢e t e ri n v e r s l o np r o b l e m ，t h e n 啪b e ro fr e g u l 撕z a t i o nf 妇c t i o n su s e di nt l l e 耻忧n 酏胃j n v e r s i o ni sg r e a u yi n c r e a s e di nt h e t l l e s i s ，am e n d l yu s e r si n t 刚如ef o rp 盯j 珊c t e ri n v e r s i o ni sd e v e l o p e da n db r e g m a nf 嘶c t i o n b 船e da 1 9 0 r i n u ni si m p l 锄e n t e d 抽m a 廿a b 7 op l a 仃。瑚b ym e 鲫so fs 妇u l a t e dd a 诅，t k e 腧缸v e n e s sa n dc o n v e r g e n c eo fp r o p o s e dm e 也o di sv e r i f i e dt h e a 1 如r i m mi s ta l s ou s e dt o c o m p u t ct h ep a r a m e t e r sb a s e do nr e a lo b s e r v e dd a 协t h et t l e s i si so r g a n i z c d 觞f o l l o w s ： h c l a p t e ro n e ，t b ee n 昏n e e 五n gb a c k g r o u n d 距ds i g l l 主f i c a i l c eo ft l l e 也e s i si si n t m d u c e d 蛐e rs i l “e y i n gm es 切把o ft h ea no fs o l 、r i n gt h ei n v e r s ep r o b l e m s 蛆ds o m es h o r t a g e so f e x i s t i n g “g o r i t h m s ，血ed i r e c t i o n 姐dc o n t e n t so f t h ep r e s e mt l l e s i si sd e t e m l i n e d i nc h 印t e rt w o ，r e l a t e dc o n c e p t sa n dc 咖le q u a t i o n so fc o n 伽i l i l l a l l tt r a n s p o r tp r o c e s s i n l du n s a 栅妣ds o i l sa r e6 r s ti n t r o d u c e d ，a n dt l l c nt l l e 脚d - c ri n v e r s i o np r o b l 咖i s p r o p o s e d 姐dm er e g l i l 枷z a l i 伽a p p m a c hp l 删d t ob eu s e di sa l s oi n d i c a t e d i nc h a p t c rt h 赋，as m a l le ) ( a m p l ei sp r e s e m e dt od c m o n s 缸龇et h es o u r c e so fr e s l l l t i n g i i i - c o n d i t i o na n d 也ew a ”o fr e m e d y i n g 也ed 城c i l 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ee x p e r i m e 眺 参数反滇的b l 耀m 眦方法研究 o fs o i lc o l 啪n sf o rt 1 1 ep r o j e c to f 王沁r o p e a nu n i o n 锄dp e n e 仃砒i n gc u “e sa f ed i 孙w i t h c o m p a r i r 唱n 啪e r i c a lr e s i l l t s k e yw o r d s ： h v e r s ep r o b l e m s ；c o n t a m i n a n tt m n s p o r t ；r e g l i l a r i z a t i o nm e t h o d ； b r e g m a nm e t h o d ；m 8 t l a bt o o l b o x l v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：叠遗蕴日期：区婴：6 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：懿起作者签名：雠起 导师签名： 墨曼兰辽 & 亚6 年厶月j 丑日 1 绪论 参数反演( 或识别) 是类非常重要的反问题，本论文依据欧共体合作项目的实验 数据，针对地下水中污染物传输控制方程中的几个重要参数，进行了反问题求解方法的 研究。本章首先简要地介绍了论文的工程背景和选题意义，并在回顾了反问题当前研究 现状和存在问题的基础上，确定了本文的研究方向和研究内容。 1 1 工程背景和选题意义 土壤是人类赖以生存的物质基础，是不可缺少、不可再生的自然资源，是人类生 态环境的重要组成部分。世界面临的粮食、资源和环境问题都与土壤密切相关。随着工 业、城市污染的加剧和农用化学物质种类数量的增加，土壤污染日益严重，其中工农业 垃圾废料排放的重金属给土壤及地下水造成了严重的污染。目前，全世界平均每年排放 约1 5 万吨，c u3 4 0 万吨，p b5 0 0 万吨，m n1 5 0 0 万吨，n “o o 万吨”1 。重金属对 生态环境的危害极大，通过各种途径，如大气环境、江河海洋互相传播、农业灌溉等进 入土壤造成土壤污染，并参与生物链的循环，最终在生物体内积累，破坏生物体新陈代 谢，危害生物体的健康，并导致潜伏期较长的累积性中毒，严重影响农作物的产量和质 量。2 0 世纪6 0 年代，在日本的富山县神通川流域，由于铅锌冶炼厂排放的含镉废水污 染水稻田，居民长期食用含镉稻米和含镉水而造成镉中毒，镉进入人体后破坏人体的骨 骼系统，使骨质变脆易折，也就是所谓的“骨痛病”，疼痛难忍，痛苦万分，3 0 年过去 了，目前仍有人在疼痛中煎熬”1 。土壤污染具有明显的滞后性、隐蔽性、长期性和不可 逆转性的特点，难降解、易积累、毒性大，土壤一旦受到严重污染，则需要较长的治理 周期和较高的治理成本，且其危害比其他污染更难消除。因此，重金属对土壤污染的改 良和治理问题引起了人们的高度重视，对污染物在土壤中的传输和治理工作已成为当今 农业、生态和环境科学领域研究的重要内容。 重金属污染造成的土壤污染治理技术虽然有很多，但治理途径大都采用物理法、化 学法和生物法，出于地表垃圾、工业废水等污染源都是随地下水而迁移的，因此，必须 要深入研究污染物随地下水迁移的规律，尤其是研究污染物在非饱和土中的迁移规律， 才能为污染防治提供参考依据。目前污染物质在土壤中的持留、释放与运移研究工作， 国内外都作了大量研究，并形成了反映污染物质持留、释放规律的平衡模型与动力学模 型。这些模型对于预测土壤环境中污染物质的吸附、释放、运移等行为有积极作用。污 染物质在土壤环境中的迁移转化规律研究也取得了不少成果”1 ，对于防治土壤重金属污 参数反演的卿方法的研究 染有重要意义。其中数学模型的建立“1 、实验研究”6 1 和参数反演”9 1 是三个比较重要的研 究内容。 数学模型的建立可以描述出污染物在土壤中传输的本质特征和各个因素之间的内 在联系，依据先进的数学数据采集手段，选取正确的数值方法求解，有利于污染物传输 规律的揭示。然而数学模型在土壤污染方面应用研究相对薄弱，只有加强污染物在土壤 环境中迁移、转化、降解等过程的机理研究，探索和建立反映这些过程的环境化学、环 境生物等方面的数学模型，并提高模型的精确度，才能为土壤环境质量评价及污染、预 报等工作提供科学工具。 实验研究也是比较重要的方法，要真正掌握其迁移转化机理，必须借助于实验研究， 在大量实验资料的基础上，才能在理论上有所突破。研究污染物在土壤中的迁移规律， 通常采用现场实验和实验室试验，而土柱实验又历来是在实验室研究污染物迁移转化的 主要手段，其中具有代表性的有：v 龃g 曲u c h t e n ”( 1 9 8 1 ) 用硼作为示踪剂的迁移试验， 考虑不可动水体因素，得到了有关规律和参数：s t a i l i s l a w m a c i e e w s i ( i 唧( 1 9 9 3 ) 用碘的同 位素作为污染物的示踪剂，研究示踪剂在非饱和土壤中迁移、衰减及吸附的规律。近年 来，随着计算机的快速发展、实验水平的不断提高和一些高精度的测试仪器的问世，这 方面的研究取得了较大发展。 鉴于地下水的埋藏特点及其数据的不可直接测量性，使得参数反演成为非饱和土中 污染物传输规律研究的一个重要途径。污染物在土壤及地下水中迁移转化的规律是十分 复杂的，传输规律受到很多因素的影响，如：壤孔隙结构分布的特征参数；土壤孔隙 含水量；孔隙水流速；污染物的类型；污染物的对流、弥散；地球化学核生物化学反应： 污染物的衰变和降解：污染物的类型；压力水头分布等地下水运动特性参数；污染源的 几何形状及污染源释放方式：以及水分、污染物浓度的初始及边界条件等。污染物在土 壤中迁移时浓度的时空变化就是有上述原因共同作用的结果。因此，要掌握污染物迁移 规律，必须在大量的模拟实验基础上建立数学模型，将理论和实践将结合，才能获得有 用的研究成果。 非饱和土中污染物运移是一种长时间、大范围的非线性行为。对于此问题的研究涉 及到水文地质、地球物理与化学以及生物工程等多学科的方方面面 1 2 1 。j b e a r 在6 0 年 代末7 0 年代初关于多孔介质渗流理论的研究是地下水动力学的经典著作i n 】，对于地下 水模型、地下水系统管理的研究，r w i l l i s 等人在8 0 年代中的工作f j 4 】具有代表性。对 于地下水相关反问题( 水文地质逆问题) 的研究，从应用数学的角度，中国学者山东大学 数学院的s u nn e 曲e n g 先生从2 0 世纪8 0 年代始就进行了较为系统的研究畸1 6 】。但总体 大连瑾工大学硕士研究生学位论文 来看，对地下水模拟及模型参数识别问题研究较多，针对地下水污染问题的研究相对较 少。进入2 0 世纪9 0 年代，随着观测技术的提高、计算方法的进步与长期地下水运移资 料的积累，特别是由于计算机技术的迅猛发展，地下水污染相关问题的反问题理论与数 值计算方法研究受到数理学界与工程界人士的广泛关注【1 l 。虽然这其中以水文地质 学者与水利工作者的研究最多，但是数理方程的数值解法、最优化方法以及遗传算法等 方法却是推动地下水相关领域研究进展的主要方法。另一方面，2 0 世纪7 0 年代初，随 着c t 技术的出现，国际上对反问题的研究迅速发展起来。近3 0 年来，反问题研究已经 成为国内外数学、力学、地球物理学、水文地质与环境科学、生物学、医学与工程等领 域的一个重要的、非常活跃的研究方向，展示了反问题研究的重大理论意义和广阔的应 用前景。反问题的研究起源于数学物理方程，反问题大都是非线性的。主要表现在未知 函数与已知数据的关系都蕴涵在微分方程式中，反演算法中包含了微分方程数值解法、 最优化方法、积分方程方法以及参数估计等新型算法的许多思想和技巧。研究反问题必 须进行跨学科、多领域的携手合作，可以说，反问题的出现，为传统数理方程的研究开 辟了新的领域，反问题研究已成为关联科学创新、并具有重大现实意义的学科方向i l 叫。 地下水赋存于岩( 土) 层间隙之中，其运移具有对流、机械弥散、分子扩散等特征；一般 满足的是抛物型( 对流弥散) 偏微分方程组。鉴于含水层的水文地质参数大都不能直接测 量得到，因而需要通过间接的数学方法，主要是所谓反问题的方法加以辨识和确定。这 就导致模型参数识别的反问题。其次，对于地下水污染问题，有关地下水污染源的主要 信息( 位置、强度及持续时间等) 往往是不知道的。实际中常常通过现场勘测，利用试锘 法等工程技术方法进行处理，相对来说工作量大、经验性强且缺少统一的标准。这也需 要尝试运用数学方法结合实验手段，进行数值模拟进而加以确定和识别。可以看出，地 下水流动及其溶质运移过程中提出了大量的反问题。对于这类问题的研究，只要建立的 模型符合实际，数值算法正确，则一定程度上完全可以用数学方法与数值模拟来代替代 价较高的实际勘测工程和烦琐的数据整理工作，从而也带来一定的社会效益、经济效益 和环境效益。 1 。2 反问题研究现状与存在问题 1 2 1 反问题简介 在各种科学和工程问题中，因果关系是一种必然的联系，不同的原因导致不同的结 果。如果用系统的观点来描述，正问题对应于给定系统在己知输入条件下求输出结果的 问题，这些输出结果当然包含了系统的某些信息，而反问题则是由输出结果的部分信惠 参数反演的e 则l 方法的研究 来反求系统的某些结果特征。因此，反问题的一个比较适用的数学定义是“由定解问题 的解的部分信息去求定解问题中的未知成分”。反问题的求解通常包括正分析一反分析 一再正分析的过程。正问题的实质是实现对系统的预测，反问题的实质则是实现对系统 的控制。 反问题的类型千差万别，仅就微分方程控制的系统，根据未知量类型不同，反问题 就可分为如下几类呦1 ：已知控制方程中源项以外的各项，根据确定的区域和边界上的信 息来确定方程的源项，为源项控制反问题，最典型的源项控制反问题为控制污染源的排 放量；已知控制方程中的各项，由某些区域的信息确定相应的边界条件的类型或边界条 件中的参数，为边界控制反问题：已知控制方程的各项，而初始条件未知时，相当于从 后面的状态去确定初始状态，为初始条件控制反问题；已知区域边界几何形状的变化来 确定影响系统的特性，为形状控制反问题；已知控制方程和边界上的部分或完整信息来 确定方程的某个或全部系数，为参数控制反问题或参数反演问题等。 1 ，2 2 反问题求解的困难 反问题的求解就是要寻求待求参数的值，使其按正演模型计算所得观测量的理论值 和实际观测值在某种给定的定义下一致或接近。反问题的求解与正问题密切相关，反问 题的提出必须建立在正问题已经研究清楚的基础上，从数学角度上说，就是在微分方程 求解的存在性、唯一性及稳定性的定解条件均已清楚，而且求解的计算方法也已成熟的 条件下，才宜提出反问题。从物理上看，也就是在因果关系清楚( 即当各种因素确定时。 所得的实验结果是确定的、可以重复的) 条件下提出反问题才有价值。因此，与正问题 相比，反问题求解要困难得多。反问题的求解难点包含几个方面 2 堆“，如非线性问题、 适定性问题、灵敏度分析问题以及计算量问题等。其中，主要的难点表现在问题的不适 定性【2 ”，即解的存在性、唯一性和稳定性方面。 ( 1 ) 非线性：大多数反问题是非线性的，甚至对于许多线性正演问题，其反演问 题亦是非线性的。处理反问题非线性的方法主要有两类：l 、线性化近似加上“迭代过 程”的非线性问题的处理方法，是求解反问题的最常用方法，这类方法大多基于梯度信 息，往往只具有局部收敛信息；2 、完全非线性方法，即不进行问题的局部线性近似， 通过各种途径直接求解，实现从数据空间到模型空间的映射，目前主要指一些具有全局 收敛能力的搜索方法，如模拟退火法，遗传算法和神经网络方法等，但这些算法的计算 量都非常大，处理实际问题有一定困难。 大连理工大学硕士研究生学位论文 ( 2 ) 不适定性：反问题一般都是不适定性的。不适定性一直是反问题理论研究和实 际应用的瓶颈问题，对不适定性的研究包含对解的存在性、唯一性和稳定性研究三方面 内容。 存在性：反问题的解可能是不存在的。两个方面的原因会导致反问题的精确解 不存在，其一，我们对于正演模型的认知往往不够精确；其二，观测噪声导致没有与观 测结果精确匹配的解。 唯一性；反问题的解可能不唯一。如果模型空间存在零空间，其中的点在映射 箅子的作用下其象为零函数或零向量，这说明一组观测数据可以被多个模型所满足，因 【l ：反闯题的解就是不唯一的。导致这个问题的主要原因是，一方面对于所掌握的已知信 息不足。因为反问题往往是根据一些局部量求解全局量。另外，由于反问题的目标函数 往往是非凸的，具有多个局部极值，所以求解往往不唯一。 稳定性：大部分反问题的求解过程都是不稳定的。所谓的稳定性是指，当观测 数据有微小扰动时，如果反演求得的解与真解的差较小则反演是稳定的，反之，如果差 相较大，则反演是不稳定的。或者说，当模型空间中的点附近的一个小邻域上的各点与 数据空间的点附近一个小邻域上的各点有对应关系，则解是稳定的，否则就是不稳定的。 造成反问题的解不稳定的原因主要是解对于可观测量是不连续依赖的，并且输入数据中 不可避免的有测量误差。 造成反问题不适定的原因从数学角度考虑，是由算子的奇异性引起的，因此，我们 采用适当的方法可以降低问题的不适定性。而主要原因是对已知信息掌握的不足，因此， 必须尽量的融合各种信息，以改善反问题的不适定性，获得对于实际问题有价值的解。 一般而言反问题很难得到精确解，而且对于许多问题而言，精确解也是没有意义的， 只要符合一定的精度，而且这个精度又是已知的，就很理想了。反问题的解可以分为精 确解、最优控制解、最小偏差解、选择解、正规解、正则解等弘。 ( 3 ) 计算量大：由于反问题是非线性的，要采取相应措施来处理闷题的不适定性， 并且在反问题求解过程中要花费大量时间多次进行正问题计算，所以计算量很大。寻求 在可接受的计算量下成功求解反问题的计算方法，是反问题应用于实际的迫切需要。 1 2 3 反问题求解方法的分类和研究现状 反问题分为线性和非线性两大类。线性反问题的研究相对比较成熟，求解的方法也 很多。但在实际问题中，大部分的反问题都是非线性的，因此，求解方法的发展基本上 是围绕着如何有效解决各个领域中反问题存在的不适定性和非线性问题而进行的，可以 参数反演的研卿方法的研究 按照反问题解的定义，根据不适定性和非线性处理方式的不同，将非线性反演方法进行 如下分类口”。 ( 1 ) 采用等式定义反问题的解 解析法、半分析法：这种方法是通过分析手段对反问题的数学模型进行近似简 化，进而得到待求参数的显式表达式的方法。该方法应用的前提是可以找到反演变量关 于观测物理量的显式解析表达式。但各种解析法，半解析法都只能处理很简单的问题， 把它进一步推广到较复杂的实际问题有困难。而且，应用这些方法进行计算的数值稳定 性一般不是很好，此方法有待于避一步完善。 数值迭代法：通常指采用“线性化近似”加上“迭代过程”模式的非线性反问题 求解方法，具有代表性的工作有扰动法( 摄动法) 、脉冲谱法和广义脉冲谱法、逆b o m 反演法、正则化方法及其改进形式 冽等。 区间分析法：采用区间数描述问题的不确定性，根据观测数据的区间范围值来确 定反演变量的区间范围值。由于区间分析的复杂性，把区间数学的一些重要结果直接应 用于工程实际是困难的。目前，应用区间分析方法进行反演的文献还很少。这方法的研 究还有待于进一步深入。 ( 2 ) 采用求极值形式定义反问题的解 采用求极值形式定义反问题的解，形式多样，广泛为人们所研究和采用。反问题的 不适定性，本质上源于经典解的定义。解决反问题的不适定性有两种途径；一是通过对 方程中的已知部分加强条件，使得按经典解的定义求解时具有适定性；另一种是适当修 改解的定义，使得反问题求解具有适定性。采用求极值形式定义反问题的解，基本上属 于后一类的情况。将地球物理反问题表述为特定目标函数的最优化是目前数值上处理大 多数问题的主要方法。随着人工智能技术在反问题领域中的发展又出现一些新的分析 方法： 线性或拟线性化方法 其思想是将非线性问题线性化构成一种迭代格式，用逐次逼近求解，以建立的反 演目标函数连续可微为研究对象。包括最速下降法( 梯度法) 、共轭梯度法、牛顿法、 高斯牛顿法：松弛法、超松弛法；变尺度法与改进的梯度正则化法等。由于这些线性化 或拟线性化反演方法都是局部收敛算法，强烈的依赖于初始模型，若初始模型给的不恰 当，用他们求解所得的所谓满意解并不一定是欲求的最佳解。但这类反演方法中的很多 方法都具有收敛速度快、数值稳定性较好等优点。 完全非线性反演方法 大连理工大学硕士研究生学位论文 完全非线性反演方法的主要优点在于无需计算目标函数的导数，直接通过随机搜索 的方法搜寻到目标函数的全局最小值。这一类方法主要基于随机搜索理论，较早的方法 如蒙特卡洛方法( 2 9 j 。近年来一些启发式算法 3 0 】，如人工神经元网络、模拟退火、遗传算 法等较多的被应用于求解非线性反演问题。完全非线性反演研究代表了非线性反演研究 的方向，也代表了反演研究的方向，是反演研究的最前沿课题。这里着重总结三种方法 【3 1 】，即模拟退火、遗传算法和人工神经元网络、对于其他方法，如蒙特卡洛法、混沌法 等仅加以简单阐述。 模拟退火( s a ) 方法 模拟退火【3 2 】( s i m l l l a t e da n n e a l i i l g ) 源于统计热力物理学，1 9 8 2 年，由r k p a 血c k 等人将热力学中的淬火思想引入组合优化领域，是一种模拟高温金属降温热力学过程的 随机性组合优化方法。主要是指用计算机模拟冶金学中金属的淬火过程，金属淬火之后 形成原子的有序排列，处于热力学系统的最小能量状态。换句话说，淬火是使金属内部 处于最小能量状态的一种金属加工工艺，其对应的数学仿真就是一种成功的非线性廊题 最小化的计算方法。对地球物理反问题，“数据一非线性算子模型”构成了一个数值 系统，在l 2 空间数据与模型正演的拟合差代表着系统的“能量”，借助于成功的模拟退 火算法使系统的“能量”最小化，可以逐步逼近( 迭代) 反问题的真实解。模拟退火有两 种算法，一种是m e 臼邯0 1 i s 的两步法，即随机产生扰动和判断是否接受扰动；另外一种 叫做热浴法饵；e a t b a 也) ，或称为一步法，g p 把扰动和判断一步变为直接计算概率密度函 数。r d t h m 蛐( 1 9 8 61 已经证明这两种方法在原理上是一致的，但是热浴法的计算速度 要更快些。近年来，模拟退火法的理论和算法等各方面都得到了很大的发展。大量实践 结果表明，模拟退火算法具有广泛的应用性，可用于求解许多组合优化问题。但模拟退 火算法是一种随机性的近似算法，其效率和所得解的质量依赖于退火程序，还受到所用 的随机序列及表达问题数据结构的影响。对某些闯题或实例而富，模拟退火算法的性能 不一定优于目前己有的启发性算法，在实际应用时应根据问题的具体情况适当选择，以 尽量提高算法的效率和解的质量。并且，模拟退火方法是一种全局搜索算法，虽然从理 论上来说，该种方法具有可以以概率l 达到全局最优解的特点，但实际中往往并非如此， 采用多次退火搜索的回火退火算法，虽然从一定程度上可以改善这个问题，但同时也相 应地增加了计算时间。计算量是一个主要问题。 遗传算法( g a ) 遗传算法口3 】是j o h n h o l l a n d 在1 9 7 5 年提出的模仿自然界生物进化思想而得出的一 种自适应启发式全局概率搜索算法，是反问题求解的一种重要方法，体现的是具有随机 参数反演的b r 鸭m 出方法的研究 性的生物繁殖过程带有适者生存( 适应性强的染色体优生) 的总体趋向性。其实施过程 是：首先随即生成一组模型，模型的每个参数都表示为二进制数码。一个模型对应反问 题的一个可能解，模型的每个参数与反问题待求变量的分量相对应，全部参数用许多串 联在一起的二进制代码组成的字符代表。然后，对种群内各模型根据具体问题的目标函 数所对应的适应度函数决定其生存概率、来进行优胜劣汰，再把剩下的较优个体进行交 叉和变异，最终完成一次对种群的繁殖。如此反复循环，来模拟生物进化的规律的优选 模型。近年来，遗传算法在求解反问题中应用较多。遗传算法也是一种全局收敛算法， 但目前有关该算法的数学基础尚较薄弱，其数学物理基础不如模拟退火反演算法完善， 可能只对某些地球物理反问题适用。经过多次迭代得出的所谓“最优解”只能说得到了 一个比初始选择好的解估计，离全局优化还很远；计算量大是个问题。而且，在实际应 用中，如果相应的控制参数选择不当，还可能出现“早熟”等现象，即陷入局部极小点。 总之，遗传算法是一种模拟自然选择法则的最优化算法，具有良好的全局收敛性，但存 在讦算速度慢的缺点。最近，有一些学者致力于结合模拟退火算法的优点改进遗传算法， 即把m 咖p l o i s 抽样定理应用到遗传算法中来，取得了一些效果。 人工神经元网络( a n n ) 方法 神经元网络技术【35 】是8 0 年代兴起的一门非线性智能优化与识别技术，随着神经网 络理论研究的发展，它正在许多领域得到应用。在求解参数反演问题中，所使用的神经 网络多采用反囱误差传播算法彭l 练的多层前扁神经元网络，即通常所说的b p 网络【3 6 】。 反问题的求解实际上是求解正问题的逆，对于大多数问题，正问题的逆是很难直接表达， 甚至无法表达，利用人工神经元网络求解反问题的思路是将正问题的逆视作一个黑箱， 采用一个经过训练的神经元网络去逼近该逆，然后使用这个网络直接根据观测量求解出 参数。网络的训练通过事先给定参数及相应结果所组成的训练样本对进行。此种方法能 够进行实时处理，但精度和适用范围受网格的影响很大。 混沌是一种比较普遍的非线性现象。混沌优化是利用混沌运动的内禀随机性、遍历 性和规律性等特点的一种全局优化方法。该方法具有非常强的跳出局部最优解的能力。 但是，研究表明，该方法比较适合于优化变量( 反问题求解中是反演变量) 数目比较少 的情况。当优化变量( 反演变量) 较多，搜索空间范围大，且目标函数非常复杂时，计 算量可能非常大。 综上所述，完全非线性方法的好处是可能做到全局收敛，但几种启发式算法均存在 一个共有的问题，即计算量大，采用该类方法所需的正演次数大大多于迭代反演方法所 需的正演次数，这对于许多所需正演计算时间较长的实际问题是不得不考虑的问题。 大连理工大学硕士研究生学位论文 ( 3 ) 混合反演方法 混合反演方法即针对以上各种反演方法的优缺点，将两种或多种反演方法混合使 用，以迸一步的提高反演效率和准确性。混合方法可分为两类，一类是完全非线性反演 方法间的互相交叉使用；另一类是线性或拟线性化方法和完全非线性反演方法的混合使 用。 线性或拟线性化方法的优点在于收敛快，所需正演次数少等；完全非线性反演方法 的优点在于不需计算梯度，可能搜寻到全局最小点。因此，可以将这两种方法结合使用， 可以利用相对较少的计算时间获得相对较准确的反演结果。l i u f ”1 等针对材料物性识别 问题，将遗传算法与非线性最小二乘法联合使用。首先采用遗传算法确定一些初始值， 然后采用非线性最小二乘法进行进一步的反演计算，并得到精确解，最后比较这些结果， 并选择其中误差最小的一个作为反演结果。王文萍【3 8 】等采用类似的思路，将遗传算法与 最小二乘法相结合，首先采用遗传算法进行反演，一定阶段以后再以通过遗传算法反演 出来的值作为最小二乘法的迭代初始值，进行更精细的反演，收到了很好的效果。张霖 斌等1 3 卿将模拟退火算法与线性化方法结合起来，给定两个目标函数门限，对应于不同的 门限使用不同的算法，从一定程度上加快了收敛速度。熊盛武等将演化算法同线性化方 法结合，即首先采用线性化方法，如果迭代结果不满足精度要求，则认为陷入了局部极 小，采用演化算法进行变异，得到另一组初始值，重复线性化方法，直到迭代结果满足 精度要求，采用这种方法也可以减少计算时间。朱培民等将局部收敛的共轭梯度法与具 有全局搜索能力的随机爬山法结合使用，即首先采用局部算法，收敛以后记录该极小点， 再采用随机算法跳出此区域，进行下一次搜索。最后在所搜索到的所有局部极小值中选 择最小的一个作为全局最小点。此方法也能大大缩短计算时间。此外，林海燕1 4 。】等将模 拟退火方法与b f g s 方法结合使用，王登刚将混沌法和遗传算法分别与b f g s 方法结合， 均取得了良好的效果。 混合方法的另一类是完全非线性方法的混合使用。由于各种完全非线性反演方法各 自有其优缺点，因此将其有机的结合起来能够在一定程度上优于单独使用某一种算法。 杨斌等 4 1 针对神经网络抗干扰能力差，将神经网络与模糊理论结合起来，采用了神经模 糊系统方法，提高了反演的精度：尹成等分别将模拟退火算法和遗传算法、混沌方法和 遗传算法结合使用，在反演初始迭代阶段采用模拟退火或混沌方法，之后再使用遗传算 法在小邻域内进行搜索，均取得了较好的效果。 参数反演的b r e g m a l l 方法的研究 13 本文的研究工作 尽管反问题的研究已经有了很大发展，但是出于在实际工程问题中待解的问题类型 多种多样，由此建立的反问题模型与性质有着很大的差别，从而导致其求解的难度也不 尽相同。诚如前节所述，目前还没有哪一种( 类) 的方法能够包打天下，因此必须针对 具体问题采用或发展适当的求解方法。本文以本系以前完成的欧共体国际合作项目“非 饱和土中镉离子传输规律研究”的实验结果为依据，针对非饱和土壤里污染物非平衡传 输过程中的几个重要参数进行了反问题求解方法的研究。为消除反问题的不适定性，引 入b r e g m a n 距离作为正则化函数进行反问题的求解。 研究工作主要包括以下几个方面的内容： ( 1 ) 针对污染物传输方程的正问题，利用优化思想建立反问题的数学模型。 ( 2 ) 将b r e g m a i l 距离作为正则化函数，提出了求解反问题的一种新方法。 ( 3 ) 使用m a t l a b 进行编程，设计了一个便于使用和分析的用户界面，并实现了上 述的参数反演方法。 ( 4 ) 在模拟考题验证算法有效性及正确性的基础上，依据实验观测数据，对非饱 和土中污染物传输模型中的几个重要参数进行了反演计算，进一步证实了b r e g m a n 方法 的有效性。 1 0 大连理工大学硕士研究生学位论文 2 污染物传输过程中的参数反演问题 研究溶质在非饱和土壤中随地下水的迁移规律时，溶质运移模型的建立和基本方程 的求解，构成了污染物传输问题的主要内容。但是，由于非饱和流本身的复杂特性，使 得对参数的测定相当困难，而参数的不准确就会直接影响到整个问题的求解。因此，参 数反演作为解决上述问题的一个重要手段，受到愈来愈多的重视。本章在介绍有关非饱 和土中污染物传输过程的相关概念和控制方程的基础上，提出了待求解的参数反演问题 和拟采用的正则化方法。 2 ，1 溶质在非饱和土中的传输机理 由于土壤结构、组成的复杂性，污染物在迁移过程中将发生物理、化学反应，而要 研究污染物在地下水中的迁移规律，首先要知道污染物在迁移过程中的传输控制机理及 发生了那些现象。1 8 0 5 年，f i c k 提出了分子扩散定律，1 8 5 2 到1 8 5 5 年，法国人达西通 过砂层渗透试验总结并阐明了水在砂层中的渗透规律，称之为达西定律。1 9 0 5 年s l j c h t e r 报道了土壤中溶质并不是以相同的速率运移的现象。此后，人们逐渐提出并形成了溶质 运移方程的基本理论：水动力弥散理论。现在人们已认识到溶质在土壤中运移的机理有 三种，对流、扩散、和水动力弥散。对流是纯力学的结果，扩散是质点热运动的结果， 而水动力弥散是由于土壤孔隙水的微观流速和方向的变化引起溶质的机械弥散。n i e l s e n 等总结了非饱和土中溶质传输的一般方程形式，该方程考虑了对流、扩散、吸附及源 汇项等，为研究溶质在土壤中的迁移规律奠定了很好的基础。下面仅就有关的一些基本 概念和上述几种控制机制做简要说明盼4 3 1 。 21 1 基本概念 n ) 土壤含水率 土壤含水率是研究地下水运动及变化的基础，它是指一定土壤中含水的数量，他有 两种表达方式。 重量含水率( 臼m ) 重量含水率是指土壤中水的重量与土壤固体重量之比的百分数。这是土壤含水量最 基本的表示方法，可直接测之。具体表达式为： 口m ：坐二! 1 0 0 ( 2 1 ) 参数反演的研删方法的研究 其中：w 1 ：为原样湿土重量；w ：干土重量 体积含水率( 跏) 体积含水率是指土壤中的水的体积占土壤全部体积的百分比。他表示土壤水填充土 壤孔隙的程度，可表示为： 函：笠1 0 0 v s ( 2 2 ) 其中：v w ：水所占的体积；v s ：土壤所占的总体积 ( 2 ) 不动水 土壤中空隙分布很不均匀，存在较多的死端空隙，其中所含的水流动滞缓，甚至不 流动。因此。可将土壤水所占有的区域分为流动区和死区。污染物的迁移主要是由流动 区控制，但流动区和死区都含有污染物，且污染物还会在两个区域间通过扩散发生质量 交换。因此，在一定条件下，必须考虑不动水的影响。 2 1 2 运移机理 ( 1 ) 对流 污染物的对流是指当地下水在土壤介质的孔隙中流动时，同时携带着污染物以水的 迁移速度在孔隙中迁移，亦称推流输送。污染物的对流通量可表示为： 如= g c ( 2 3 ) 其中：g 为达西流速：c ：为液相中污染物的浓度。 为了便于计算保守性污染物单位时间通过距离，孔隙平均流速可表示为： 。：里 1 9 ( 2 ) 弥散 弥散作用是指流动在多孔介质中，成分不同的两种易混合的液体间的过度带发生和 发展的现象。地下水的弥散作用由分子扩散和机械弥散两种作用构成。分子扩散是物理 化学作用的结果，是分子布朗运动的种表现，亦称物理化学弥散。当地下水中污染物 浓度分布不均匀时，会形成化学势，于是污染物就会在浓度梯度的作用下，由高浓度处 向低浓度处运动，以使地下水中的污染物浓度趋于均匀。分子扩散可用f i c k 第一定律描 述，扩散通量以与浓度梯度的关系如下： 大连理工大学硕士研究生学位论文 * _ d d 篆 ( 2 4 ) 其中：仍为扩散系数。 机械弥散是由于污水进入多孔介质的含水层后。因两种液体( 污水和地下水) 在孔 隙范围内的速度分布不均匀，使得两种液体产生机械混合而造成的污染物扩散。它的通 量表达式与分子扩散表达式类似，为： 以：一哦翠 以 ( 2 5 ) 其中：仇为机械弥散系数。 水动力弥散是分子扩散和机械弥散共同作用的结果，其弥散通量为： 歹：以+ 厶一( 坟+ 绣) 攀d 睾 2 f 6 d zc 毪 由于非饱和带污染物迁移的复杂性，目前对于非饱和带弥散系数的形式多为经验公 式，常见公式有： d = 口( 目夙) 4 d = 甜1 v i + d d ( 2 7 ) d = 口 本文主要涉及的问题为非饱和土壤中污染物的传输，考虑到分子扩散项远小于机械 弥散项，同时考虑到反演中参数过多，容易引起解不唯一，所以实际模型中采用了( 2 ，7 ) 中最后公式。 f 3 ) 吸附 吸附是指土壤吸附、截留土壤溶液中分子、离子、悬浮的固体颗粒、气体及微生物 的能力，它对溶质运移有较大的影响。由于土壤胶体带有双电层，其扩散层的补偿离子 可以和地下水中同电荷的其他离子进行等当量交换，并且能迅速达到动态平衡，它是土 壤中吸附污染物的主要方式。吸附作用包括物理吸附、物理化学吸附和化学吸附等几种。 土壤介质特别是土壤中的胶体颗粒具有巨大的表面能，它能够借助于分子引力把地下水 中的某些分子态的物质吸附在自己的表面上，这种吸附称为物理吸附。此外，土壤胶体 参数反演的b r e g m a n 方法的研究 带有双电层，其扩散层的补偿离子可以和地下水中同电荷的离子进行等当量代换，这是 一种物理化学现象，故称物理化学吸附，亦称离子代换吸附，这是土壤中污染物吸附的 主要方式。化学吸附则主要是土壤颗粒表面的物质与污染物质之间由于化学键力的影响 而发生了化学作用，使得其化学性质有所改变，从而使原来在土壤溶液中的可溶性物质 经化学反应后