第二章二次函数同步练习及答案.doc

2.1二次函数所描述的关系 同步练习一、填空题: 1.已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数,则k=_. 2.已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为_. 3.填表:c2614 4.在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的函数关系式为_. 5.用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为_.二、选择题: 6.下列结论正确的是( ) A.二次函数中两个变量的值是非零实数; B.二次函数中变量x的值是所有实数;C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零 7.下列函数中,不是二次函数的是( ) A.y=1-x2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x2 8.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为( ) A.y=x2-4 B.y=(2-x)2; C.y=-(x2+4) D.y=-x2+16 9.若y=(2-m)是二次函数,则m等于( ) A.2 B.2 C.-2 D.不能确定三、解答题: 10.已知y与x2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y与x的函数关系式,并求当x=-3时,y的值.当y=8时,求x的值. 11.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元,市场调查发现;单价定为70元时,日均销售60kg.单价每降低1元,日均多售出2kg,在销售过程中, 每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算).设销售单价为x元, 日均获利为y元,求y关于x的二次函数关系式. 12.现有铝合金窗框材料8米,准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度AB必须小于窗户的高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2米.设AB为x米,窗户的总面积为S(平方米). (1)试写出S与x的函数关系式; (2)求自变量x的取值范围.答案:1.2或-3 2.S=c2 3. 4.y=16-x2 5.y=-x2+4x 6.B 7.D 8.D 9.C 10.y=2x2;y=18;x=211.y=-2x2+260x-650012.(1)S=4x-x2;(2)1.2x1.62.2 结识抛物线 同步练习一 填空题：1当 时，函数是二次函数；2函数的字变量的取值范围是 ；3函数的图象是 ；对称轴是 ；顶点是 ；4要函数开口向上，则 ；5抛物线的图象可由抛物线的图象向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；6抛物线的图象可由抛物线向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；7抛物线经过点（3，5），则 = ；8抛物线与直线交于（1，），则= ；抛物线的解析式9把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 10抛物线的顶点在轴上，其顶点坐标是 ，对称轴是 ；二选择题：11对于的图象下列叙述正确的是 （ ）A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小12在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图 （ ）13满足函数与的图象为 （ ） y y y y O x O x O x O x（A） （B） （C） （D）14直线不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ）y y y yO x O x O x O x （A） （B） （C） （D）15抛物线则图象与轴交点为 （ ）（A） 二个交点 （B） 一个交点 （C） 无交点 （D） 不能确定三解答题：16已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为，求的值； 答案:1.m不等于3和-1,2.任意实数,3.抛物线,y轴,(0,c),4.m0,b0,c=0,则其图象的顶点是在第_象限. 4.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是_. 5.二次函数y=x2+3x+的图象是由函数y=x2的图象先向_平移_个单位,再向_平移_个单位得到的. 6.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1的图象有最低点,且最低点的纵坐标是零,则m=_. 7.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象交于y 轴一点,则m=_. 8.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象, 试确定下列各式的符号:a_0,b_0,c_0;a+b+c_0,a-b+c_0. 9.函数y=(x+1)(x-2)的图象的对称轴是_,顶点为_.二、解答题: 10.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h= -5t2+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点?最高点的高度是多少? 11.抛物线y=x2-x+a2的顶点在直线y=2上,求a的值. 12.如图所示,公园要造圆形的喷水池, 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大,高度2.25m. 若不计其他因素, 那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外? 13.某农场种植一种蔬菜,销售员根据往年的销售情况,对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测,预测情况如图,图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系,观察图象,你能得到关于这种蔬菜的哪些信息?答案:1.上, , 2.-4 0 3.四 4.0 5.左 3 下 2 6.1 7.-1或3 8. 9. ,10.故经过15秒时,火箭到达它的最高点, 最高点的高度是1135米 11.由已知得=2.即a2-a-2=0,得a1=-1,a2=2,又由得a0,故a=2.12.以地面上任一条直线为x轴,OA为y轴建立直角坐标系,设y=a(x-1)2+2.25, 则当x=0时,y=1.25,故a+2.25=1,a=-1. 由y=0,得-(x-1)2+2.25=0,得(x-1)2=2.25,x1=2.5,x2=-0.5(舍去),故水池的半径至少要2.5米.13.如:7月份售价最低,每千克售0.5元;1-7月份, 该蔬菜的销售价随着月份的增加而降低,7-12月份的销售价随月份的增加而上升;2月份的销售价为每千克3.5元;3月份与11月份的销售价相同等.2.5用三种方式表示二次函数 同步练习【知识要点】1二次函数可以用哪些方式表示？它们各有哪些优缺点？2二次函数的三种解析法你是如何选择的?3选择顶点式和两根式解析法表示有什么优点和缺点？4你能总结选择恰当的表示方法来解决二次函数实际应用问题吗？【典型例题】 例1 一个二次函数，它的图象的对称轴是轴，顶点是原点，且经过点（1）写出这个二次函数的解析式；（2）画出这个函数的图象；（3）抛物线在对称轴左侧部分随的增大怎样变化？（4）这个函数有最大值还是最小值例2 函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式，然后解三元方程组求解；（1）已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。（2）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求解。（3）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6），且经过点（2，8），求该二次函数的解析式。三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式。（5）二次函数的图象经过A（1，0），B（3，0），函数有最小值8，求该二次函数的解析式。例3 分析若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x=,对称，那么图象还必定经过哪一点？例4 抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。（1）求该抛物线的解析式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）求证：AOBBDE 。例5 已知一次函数，二次函数（1）根据表中给出值计算对应的函数值，并填在表格中-3-2-10123=（2）观察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；（3）试问是否存在二次函数，其图象经过点（-5，2），且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由例6 如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.【经典练习】1.已知x1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，3），则该二次函数的解析式 。2.抛物线与x 轴交于（2，0）、（3，0），则该二次函数的解析式 。3.若抛物线的顶点坐标为（1，3），且与的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。4.抛物线与x 轴交于（1，0）、（3，0），则b ，c .5.若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，4)，则该二次函数的解析式 。6.已知二次函数的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x轴的距离为3，则该函数的解析式 。7.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：(1)根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；(2)若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）8.已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。(1)求二次函数的图象的解析式；(2)设此二次函数的顶点为P，求ABP的面积。【大展身手】1.如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）求能使成立的x的取值范围。2.已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：x（天）51525 y（元）151015(1)求y与x的函数关系式；(2)大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？3.已知二次函数的图象经过点（c,2），且，不等式无解，试求出二次函数的解析式。3.把抛物线y=3(x1)2向上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=，请你求出k的值.4.如图，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)求m的值和抛物线的解析式；求不等式的解集(直接写出答案)2.6 何时获得最大利润 同步练习1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的函数关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).2.某旅社有客房120间,每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大?(总利润=总收入-总成本).4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t之间的关系)为s=t2-2t. (1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么? (2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元? (3)求第8个月公司所获利润是多少万元?5.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y=. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费: (1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元? (2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:项目ABCDEF每股(万元)526468收益(万元)0.550.40.60.50.91 如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.6.某市近年来经济发展迅速很快,根据统计,该市国内生产总值1990年为8.6 亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005 年该市国内生产总值将达到多少?- 20 -答案:1.(1)设y=kx+b,则 当x=20时,y=360;x=25时,y=210. , 解得 y=-30x+960(16x32)(2)设每月所得总利润为w元,则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920. -301.6万元. 取B、D、E各一股,投入资金为2+4+6=12万元1.6万元 .6.可以把三组数据看成三个点:A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9).设y=ax2+bx+c.把A,B,C三点坐标代入其中,得 ,解得a=0.014,b=0.29,c=8.6. 故y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,得y=0.014152+0.2915+8.616.1. 所以可预测2005年该市国内生产总值达到16.1亿元人民币.2.7 最大面积是多少 同步练习1.如图,已知ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?2.如图,在RtABC中,ACB=90,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运动至B,C),DEAC,交AB于E,设BD=x,ADE的面积为y. (1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;(2)x为何值时,ADE的面积最大?最大面积是多少?3.如图,ABC中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ的面积最大?最大面积是多少?4.如图所示,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是16m,宽是6m.抛物线可以用y=-x2+8表示. (1)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4m,车载大型设备的顶部与路面的距离均为7m,它能否安全通过这个隧道?说明理由. (2)如果该隧道内设双行道,那么这辆运货汽车能否安全通过?(3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么?5.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P,Q 两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动. (1)设运动开始后第t秒钟后,五边形APQCD的面积为Scm2,写出S与t 的函数关系式,并指出自变量t的取值范围. (2)t为何值时,S最小?最小值是多少?6.ABC是锐角三角形,BC=6,面积为12,点P在AB上,点Q在AC上,如图所示, 正方形PQRS(RS与A在PQ的异侧)的边长为x,正方形PQRS与ABC公共部分的面积为y. (1)当RS落在BC上时,求x; (2)当RS不落在BC上时,求y与x的函数关系式; (3)求公共部分面积的最大值.7.如图,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=表示.在正常水位时水面AB 的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m. (1)在正常水位时,有一艘宽8m、高2.5m的小船,它能通过这座桥吗? (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时, 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能, 要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?答案:1. 过A作AMBC于M,交DG于N,则AM=16cm.设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由ADGABC,故,即,故DG=(16-x).y=DGDE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.2.(1)在RtABC中,AC=6,tanB=.DEAC,BDE=BCA=90.DE=BDtanB=x,CD=BC-BD=8-x.设ADE中DE边上的高为h,则DEAC,h=CD.y=DECD=(8-x) ,即y= +3x.自变量x的取值范围是0x7 .故汽车可以安全通过此隧道. (2)可以安全通过,因为当x=4时, y=16+8=7.故汽车可以安全通过此隧道. (3)答案不惟一,如可限高7m.5.(1)第t秒钟时,AP=t,故PB=(6-t)cm;BQ=2tcm.故SPBQ=(6-t)2t=-t2+ 6t.S矩形ABCD=612=72.S=72-SPBQ=t2-6t+72(0t6). (2)S=(t-3)2+63.故当t=3时,S有最小值63.6.(1)过A作ADBC于D交PQ于E,则AD=4.由APQABC,得,故x=.(2)当RS落在ABC外部时,不难求得AE= ,故. 当RS落在ABC内部时,y=x2(0x).(3)当RS落在ABC外部时, .当x=3时,y有最大值6. 当RS落在BC边上时,由x=可知,y= . 当RS落在ABC内部时,y=x2(0x),故 比较以上三种情况可知:公共部分面积最大为6.7.(1)由对称性,当x=4时,y=.当x=10时,y=.故正常水位时,AB距桥面4米,由,故小船能通过. (2)水位由CD处涨到点O的时间为10.25=4小时. 货车按原来的速度行驶的路程为401+404=200280. 货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到x千米/时, 当4x+401=280时,x=60.要使货车安全通过此桥,货车的速度超