（基础数学专业论文）脉冲微分方程的稳定性和有界性.pdf

摘要 x 6 6 3 4 31 本文研究脉冲微分方程的稳定性及有界性。在第一章，研究脉冲 微分方程的稳定性，建立了脉冲常微分方程零解的指数稳定性定理 和脉冲泛函微分方程零解的l i p s c h i t z 稳定性定理，得到的结果推广 或改进了前人的有关结果第二章，研究了脉冲常微分方程及脉冲 泛函微分方程的有界性，得到了方程解的一致有界及最终一致有界 的几个充分条件 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h es t a - b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n de s t a b l i s ht h ee x - p o n e n t i a ls t a b i l i t yt h e o r e m so fz e r os o l u t i o n so ft h ei m p u l s i v e o r d i n a r yd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h el i p s c h i t zs t a b i l i t yt h e o r e i n so fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e o r e m s e x t e n do ri m p r o v et h ef o r m e rr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d y t h eb o u n d e d n e s so f i m p u l s i v eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do b t a i ns o m en e w s u 瓶c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r m l yb o u n d e d n e s sa n d u n i f o r m l y u l - t i m a t eb o u n d e d n e s s 前言 上个世纪，俄罗斯著名数学家李雅普诺夫首创的运动稳定性的一 般理论受到了各国学者的高度重视。事实上，稳定性理论已成功地 应用到力学、生物学、医学、系统控制和信息学等领域，这使得对微 分系统的稳定性、有界性的深入研究既有理论意义又有实际意义。 半个多世纪以来，稳定性理论不断发展，新的课题、方法不断出现 ( 见文献1 1 ，1 8 ，2 9 ，3 5 ，4 3 5 0 1 ) ；常微分方程中的李雅普诺夫稳定性已推 广到了用差分方程、微分差分方程、微分积分方程、随机微分方程和偏 微分方程等数学模型描述的各种系统( 见文献 1 1 ，2 2 ，2 8 ，4 2 ，6 0 ，6 1 ) 。 随着科学技术的飞速发展，人们发现脉冲微分方程较之相应的不带 脉冲的微分方程能更准确地描绘现实生活中的某些现象，如在生物 学、医学、网络、光学控制、经济学模型中出现的变量状态的突变 就可通过带脉，中扰动的模型来更准确地描述；这些都使得对脉冲微 分系统的研究更具现实意义 脉冲微分方程的早期工作可追溯到1 9 6 0 年m i l m a n 和m y s h k i s 的研究( 1 4 】) 。近二十年来，脉冲常微分方程、脉冲泛函微分方程被 大量地研究。在稳定性、有界性、振动性、比较原理和周期解的存在 性等领域的研究相当活跃( 详见文献 1 - 9 ，1 1 1 7 ，2 6 3 0 ，5 3 5 9 ) ；而 对于脉冲微分方程零解的稳定性研究来说，早期的工作有a n o k h i n 的 2 1 ，g o p a l s a m y 和z h a n g 的 1 6 】和l i u 的【3 】；近期的工作( 如 y u 的【6 ， a o l ；s h e n 的 i i i ， 2 0 ， 5 9 1 ；y a n 和s h e n 的 8 】及f e n g 和c h e n 的【5 4 1 等) 越来越注重揭示脉冲对稳定性的影响，如脉冲 扰动能使不稳定的系统变得稳定、一致稳定、渐近稳定甚至一致渐 近稳定；或者使原本稳定的系统变得不稳定等。 作者在大量查阅近年来的文献后发现，脉冲微分系统的指数稳 定性、l i p s c h i t z 稳定性及有界性等方面的研究还相对较少。如在 指数稳定性方面，大多数文献致力于非线性微分积分方程、时滞微 3 分方程、中立型泛函微分方程和线性时变微分方程等系统零解的指 数稳定性的研究( 见文献 2 4 ，6 0 6 4 ) ；在l i p s c h i t z 稳定性方面， 现有的文献多致力于非线性常微分方程、泛函微分方程等系统零解 的l i p s c h i t z 稳定性的研究( 见文献f 9 ，6 5 6 7 ) ；在有界性方面，较 多的文献致力于非线性微分积分方程和泛函微分方程有界性的研究 ( 如文献 5 5 5 8 ) ，脉冲有界性方面的工作有l i u 和s h e n 的【3 6 】及 l u o 和s h e n 的5 1 1 等。 本文受到文 7 - 9 ，1 8 ，3 6 的启发，发展和运用了文献 7 ，8 ，2 0 ，2 4 ，3 6 的某些方法，考虑了脉冲常微分方程的指数稳定性、有界性和脉冲泛 函微分方程的l i p s c h i t z 稳定性、有界性，建立并推广了l i a p u n o v 函数法的几个指数稳定和l i p s c h i t z 稳定性及有界性定理，其中对 脉冲时滞微分方程运用了r a z u m i k h i n 方法，所得结果推广或改进 了前人的结果 本文尽量减弱现有文献中稳定性及有界性定理所要求的条件， 如大多数文献中要求l i a p u n o v 函数y 沿着方程的导数y 7 负定或 常负( 如文献 1 ，1 8 ，1 9 ，3 5 等) ，而本文中v 7 可为正；本文力求反映 脉冲对稳定性、有界性的影响，如脉冲能使不稳定或不指数稳定的 系统变得指数稳定以及脉冲能使无界的系统变得一致有界和一致最 终有界等，文中举例显示了上述特点。 4 第一章脉冲微分方程的稳定性 1 1引言 本章讨论了脉冲常微分方程和脉冲泛函微分方程零解的稳定性。 考虑脉冲常微分方程 篆群础枷乏n 峥如 q u ) i 茹( t 吉) = ( z ( t ) ) ，南 、。 和脉冲泛函微分方程 磊! 镰。气翟n 臀 地， 【z ( t ) = 以( z ( t i ) ) ， 克 ， ” 其中，：i r “_ r n ，f ：ixp c 斗酽，以：r “- r “，i = t o ，0 0 ) ，p c = p g ( 【一7 - ，o 】，舻) = 西： 一7 - ，o - r n ，中( t ) 除了 在有限个第一类不连续点i 外都连续，咖( ) 和圣( 产) 均存在且 垂( 矿) = 西( i ) ) ，s ( p ) = z r “：izi p ) ，t o t 1 t 2 - 靠 如+ 1 ，当尼_ 时，如o o 。 z 他) 对( 1 1 1 ) 和 ( 1 1 2 ) 分别指z ( t ) 的左导数和右导数 对于每个t t o ，规p c 定义为x t ( s ) = o ( t + s ) ，一7 _ s 0 。对于每个p c ，的范数定义为l l i l = s u p 一， 0 ，j 6 ( ) 0 ，使得对任意 的o 和2 0 0 ，当l z o i 0 和m = m ( 丁7 ) 0 ， 使得i x ( t ，盯，西) i a m - i i 对所有t 盯及| | s 卵成立，则称方 程( 1 1 2 ) 过( 盯，) 【亡o ，o o ) xp c 的零解是一致l i p s c h i t z 稳定 的；若叼= o o ，则称零解是全局一致l i p s c h i t z 稳定的。 定义1 1 3 函数v ( t ，z ) ：【t o ，) 舻- - + r + 属于集合，如果： ( a 1 ) v 在每个集合口一1 ，t k ) xl s ( 彩上连续，且对于所有z s ( 和七e n ，l i m ( t ，) _ + ( ，。) w ( t ，可) = 矿( 坛，z ) 存在 ( a 2 ) v ( t ，茁) 在口s ( p ) 上是局部l i p s c h i f z 的，且对于所有 t t o ，v ( t ，0 1 三0 定义1 1 4 函数v ( t ，z ) ： t o ，o o ) x 舻- r + 属于集合，如果： ( a 3 ) y 在每个集合( t k i ，t 女 s ( p ) 上连续，且对于所有z s ( p ) 和七n ，f i m ( t ，”) - ( t ：，：) w ( t ，可) = y 0 吉，z ) 存在 ( a 4 ) v ( t ，z ) 在z s ( p ) 上是局部l i p s c h i t z 的，且对于所有 t t o ，w ( t ，0 ) 三0 。 定义1 1 5 令v ( 或k ) ，对于任意( t ，z ) ( t k 一1 ，t k ) s ( p ) ，v 沿着方程( 1 1 1 ) ( 或( 1 1 2 ) ) 的解z ( t ) 的上右导数v ( t ，z ( t ) ) 定义 为： y 7 ( t ，z ( t ) ) = 1 i r 6 f + l s o + u p 丢( v + 6 ，。+ 巧) ) 一y ，z ( t ) ) ) 定义1 1 6 若函数u c ( r + ，r + ) 严格单调增加且u ( o ) = 0 ，则称 u 属于k 类函数，记为u k 。 定义1 1 7 设l ，2 k ，若存在p 0 ，v r 0 ，纠，了七1 0 ，七2 0 使得 h 咖1 ( r ) a 2 ( r ) 七2 咖1 ( r ) 6 则称1 ，妒2 具局部同级增势，若v r 【0 ，0 0 ) ，上式成立，则称1 ，咖2 具全局同级增势。 在整篇论文中，我们将集合g h ，k + ，k ”，q 及q + 定义为： g h = ( t ，。) ：t 0 ， o 时，妒( s ) o 时，日( s ) 0 ) q 4 = u ( t ，u ) ：u c ( “一1 ，“) xr + ，r + ) ，k ；对于每个茁r + k n ，l i m c t ，。) - + ( 坛，。) u 0 ，让) = u ( t i ，茁) 存在) 1 2 脉冲常微分方程的指数稳定性 定理1 2 1 设在g h 上存在函数v ( t ，z ) 及正常数m ，舰，l ，三1 ，q c ，1 8 ，非负数列d k ，惫= l ，2 ，使得： ( 1 ) 且彳i z1 l v ( t ，茹) 矗i 。i l l ， ( 2 ) v 心，z ) c v ( t ，z ) ，t t a ， ( 3 ) y ( 砖，以( z ) ) e - d k v ( t k ，写) ， ( 4 ) l i r a i n f n - + o o 景者= 卢 c 则方程( 1 1 1 ) 的零解指数稳定。 证明：令v ( t ) = v ( t ，茹( t ) ) ，其中z ( t ) = 茁( t ，t o ，x o ) 是方程( 1 1 1 ) 过( t o ，z o ) 的解。由条件( 2 ) ，( 3 ) 及文 1 中定理1 4 1 知 v ( t ) y ( t o ) e 。p 一。) i ie 一出，t t o ，( 1 2 1 ) t o r 1 c 。由( 4 ) 知，存在自然数n ，当n n 时有芒譬_ r 1 ，则有 e d n 一1 o ( 6 日) ，使当i 。o i 6 时 v ( t o ，x o ) e l ( t k - t o ) 一( d 1 + h 卜毗一- )sm 1 iz ol 工l e r l ( t k 一如) 一( d 1 + + d ) n ) 时 y ( t ) m e l e 。( t - t o ) - n ( t , - t n ) 1 ( 如一如) m e l e c ( t t o ) 一r l o t o ) 再由条件( 1 ) 可得： m i z ( t ) i l v ( t ) 0 ) 即f 。( 茚f e e 一 ( 卜t o ) ，t ( 如一1 ，如】。 即当l x o j 5 时有i 茁( t ) ； e e 一鲁( t - t o ) ，t ( t 。一l ，t 。 。 对于t ( t 。，t 。+ 1 】的情形类似可证；故当l 茁o l 0 使得： v ( t ，z ) ) 一咖3 ( i z 0 ) i ) 一尼1 曲2 ( i z ( t ) i ) 一k l v ( t ，z 0 ) ) ( 1 2 4 ) 当t t o ，t 1 时，由( 1 2 4 ) 式有： v ( t ，。( t ) ) v ( t o ，x o ) e - 。1 ( t - t o )( 1 2 5 1 当t ( t l ，t 2 】时，由( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 式有： v ( t ，z ( t ) ) v ( q ，z ( 对) ) e - k l ( t - t - ) 妒1 ( y ( t l ，。( t 1 ) ) ) e - k l ( t - t 1 ) 妒1 ( y ( t o ，。( t o ) ) e - k l ( 。一如) ) e - k l ( t - h ) 妒1 ( y ( t o ，z ( t o ) ) ) e - k l ( t - t o ) 当t ( t 2 ，t 3 时，由( 1 2 4 ) 及上式得： v ( t ，z ( t ) ) sv ( q ，。( t 手) ) e - k l ( t - t 。) 妒2 ( y ( t 2 ，z ( t 2 ) ) ) e “1 ( t - t 2 ) 妒2 ( 妒1 ( y ( t o ，。o ) ) e - k l ( t 2 - t o ) ) e - k 1 ( t - t 。) 妒2 ( 妒1 ( y ( t o ，z o ) ) ) e 一- ( t - t o ) 由类似的方法及简单的归纳可得，当t ( t m ，t m + 1 ( m = 1 ，2 ，) 时有 v ( t ，z ( t ) ) ( 一1 ( ( 妒1 ( y ( 。o ) ) ) ) ) e “( t - t o ) ( 1 2 6 ) 由条件( 3 ) 和( 1 2 6 ) 得： v ( t ，z ( t ) ) h l y ( t o ，x o ) e - k l ( t - t o ) t t 。 则由条件( 1 ) 得： 咖1 ( 1 。0 ) i ) v ( t ，z 0 ) ) s 日1 2 ( 1x 01 ) e 一。1 ( 。一如) 由于1 ，2 - 5 o 具有全局同级增势，故存在1 1 0 ，f 2 0 使得： f l j 。( ) i 。1 ( 1 。( t ) i ) v ( t ，z ( t ) ) h 1 2 2 i x o l 。e 一2 1 0 一。) 即 m 驯s ( 半) v 。e 一，( 1 2 7 ) 此式说明了方程( 1 1 1 ) 的零解指数稳定。 1 3 脉冲泛函微分方程的l i p s c h i t z 稳定性 定理1 3 1 假设存在函数y 及u 1 ，0 ) 2 k 使得 ( i ) y ( t ， ( 。) ) ：冬( 1 + b k ) v ( t ；，z ) ，七n 其中b k 0 且茫1 b k 0 及m = m ( r ) 0 使得l zl 0 及v ( t + s ，z ( 矿+ s ) ) v ( t 。，。( 扩) ) ， y t s 0 。由条件( i i i ) 可得v 也+ ，2 ( ) ) 0 。矛盾! 因此( 1 3 1 ) 成立。由( 1 3 1 ) 和条件( i ) 可得 v ( t m ) = v ( t 。，。7 m ( z ( t 二) ) ) ( 1 + 6 。) v ( t 二) ( 1 + 6 。) u 2 ( 1 l 妒1 1 ) ( 1 3 2 ) 由与( 1 3 1 ) 及( 1 3 2 ) 的证明相类似的方法可得 v ( t ) ( 1 + 6 m ) 2 ( 1 l j ) ，t 。t 0 成立，其中u f l 是u l 的反函数。 ( i i i ) 对方程( 1 1 2 ) 的任意解z ( t ) ，v ( t + s ，z + s ) ) v ( t ，z ( t ) ) ，一下s s 0 ，蕴涵 v ( t ，。( t ) ) g ( t ，u ( t ) ) 如果带脉) 中的标量方程： i ；9 ( t ，u ) ，t t o ， u ( t k ) = 妒( u i ) ) ，南n ，( 1 3 3 ) 【u ( t o ) = u o 0 的零解一致l i p s c h i t z 稳定，其中u 0 = m a 一，! 。9 y ( s ) ) ，则方 程( 1 1 2 ) 的零解一致l i p s c h i t z 稳定。 证明：由条件( i ) ，( i i i ) 及文( 1 3 】中引理3 1 知 v ( t ，茹) 让( t ，t o ， u 0 )( 1 3 4 ) 其中u ( ，t o ，乱o ) 为方程( 1 3 3 ) 的最大解。 因为方程( 1 3 3 ) 的零解一致l i p s c h i t z 稳定，所以存在不依赖于矿 的叩 0 ，m = m ( 叩) 0 使得 “1 ( t ，t o ，u o ) sm 让o( 1 3 5 ) 其中1 ( t ，t o ，u o ) 是方程( 1 3 3 ) 的解，u l ( t o ，t o ，札o ) = “o 。 取m 如) 1 使得当【西l l 叩时有 u 0 m l i | |( 1 3 6 ) 由不等式( 1 3 4 ) 一( 1 3 6 ) 可得 u 1 ( 1z 0 ) i ) v ( t ，z ( t ) ) u 0 ，t o ，l l 0 ) m z z 0 m 2 f f f 4 由条件( i i ) 可得 i 。( 亡) 1 w f l ( m 2 i l 1 1 ) q ( m 2 ) l i 忆q ( m 2 ) 芝l 因此方程( 1 1 2 ) 的零解一致l i p s c h i t z 稳定。 定理1 3 3 假设存在函数v v o ，0 j 1 ，0 3 2 k ，h q 和妒k + 使得 ( i ) u 1 ( i 。1 ) v ( t ，z ) u 2 ( i 卫i ) 且存在叼 0 及m = m ( ? 7 ) 0 使得i zi 0 丽d u h ( u 危9 ( s ) d s j p17 ，| l7 、。7 则方程( 1 1 2 ) 的零解一致l i p s c h i t z 稳定。 证明；令y ( t ) = v ( t ，。( t ) ) ，其中z ( t ) = z ( t ，盯，) 是方程( 1 1 2 ) 过( 盯，) ，盯【t m _ 1 ，t 。) ，m n 的解。则当盯一7 _ t 盯时有 u - ( z ( t ) 1 ) y ( t ，。) u 2 ( i 。( t ) i ) u z ( i i i i ) 妒一1 ( u 2 ( i l l j ) ) 可证 v 0 ，茁) 妒一1 ( u 2 ( | | i ) ) ， 盯t 妒一1 ( “恐( 1 1 ；1 ) ) 2 ( 1 1 毋i i ) y ( 盯) 这意味着存在t + ( 盯，刁使得 v ( t + ) = 砂一1 ( u 2 ( i l | i ) ) ，v ( t ) 妒一1 ( u 2 ( | 1 西1 1 ) ) ，盯一7 - sts t + 及存在t t + ) 使得 y ( 蓟= 觇( i i ； ) ，y 0 ) “2 ( 1 i 毋，圭ts t + 因此，对于所有t 【古】t + 】， v ( t + s ) 妒一1 ( “挖( 1 | i i ) ) 砂一1 ( y ( t ) ) ，一下s 0 由条件( i i i ) 得y 7 ( 亡；z ) ) g ( t ) h ( v ( t ，。( t ) ) ) ，tst t + 。 于是 舒高和s ) d s 仁。9 ( s ) 弧 即 戍黜训”嵩j t 。9 ( s ) 瓠儿删删)口亿1 一。一t ” 矛盾! 于是( 1 3 7 ) 成立。由( 1 3 7 ) 及( i i ) 可得 v ( t m ) = v ( t m ，。7 矗( z ( t 二) ) ) 妒( y ( t 二) ) u 2 ( 1 l i i ) ( 1 3 8 ) 与( 1 3 7 ) 和( 1 3 8 ) 的证明类似可得 v ( t ) 妒一1 ( u 2 ( | l i i ) ) ，t 。t z 。+ 1 ，v ( t 。+ 1 ) u 2 ( 1 l 1 1 ) 由简单归纳及s 0 可证 v ( t ) 妒一1 ( “也( j f 1 1 ) ) ，f 。+ i t t i n + t + 1 ，i = 0 ，1 ，2 1 4 再由( 1 3 7 ) 知 u 1 ( 1 。i ) v ( t ) s 妒一1 ( u 2 ( 1 i 1 1 ) ) u 1 ( m i i 妒1 1 ) ，t2 盯 因此定理得证 注1 3 1 ：注意到方程( 1 1 2 ) 是一个不带脉冲的泛函微分方程， 当且仅当以( z ) = 。对所有七n 成立。令v ( t ，以( 。) ) = y ( t i ，z ) ，妒( s ) = s ，妒女( s ) = s ，七n ，9 ( t ) 三0 及日( y ( t ，z ( t ) ) ) q 为任意函数，则定理1 3 2 和定理1 3 3 变成文献f 9 1 中相应的 l i p s c h i t z 稳定性定理。 1 4例子与注记 例1 4 1 考虑脉冲常微分方程 墓：雩，。总 4 其中0 a ( t ) 1 ，可验证方程( 1 4 1 ) 的零解是指数稳定的事实 上，t k = 南，以( z ( 如) ) = 。( 缸) ，七= 1 ，2 ，取v ( t ，z ) = z 4 ，易 知定理1 2 j 中的条件( 1 ) ( 2 ) 满足，取c = 4 ，d k = 5 ，南= 1 ，2 ， 可证当i 。1 l ( 日g h = 1 ) 时 y ( t 吉) _ e - d t y ( t 女) = ；z ( 七) 4 一e 一5 2 4 ( 尼) c = 4 ，即定理1 2 1 中的条件( 4 ) o n l 一1 、7 满足，则由定理1 2 1 可知：方程( 1 4 1 ) 的零解是指数稳定的。 注1 4 1 ：方程( 1 4 1 ) 未加脉) 中扰动时的方程为z = 口( z ，( 0 n ( ) 1 ) ，其解为z ( t ) = e j 幻a ( s ) d s 显然其零解不稳定，但加上适当 1 5 的脉冲扰动后，该方程的零解可以是指数稳定的，这表明脉冲可以 使不稳定的非脉冲方程指数稳定。 例1 4 2 考虑方程 ：翟，：赢，k 尝n 。 ( 1 4 _ 2 ) iz ( t 者) = 。( k ) ， 卜一叫 其中t o = o ，。( 培) = x o ，0 t l t 2 坛当毙_ o 。时， t k - - yo 。 取v ( t ，z ( t ) ) = y ( 。) = z 2 ，易知定理1 2 2 中条件( 1 ) ，( 2 ) 满足。取 饥( s ) = 担则有 y ( t 去，z ( t 毒) ) = 宁1 ( t t ) 2 = 三v ( t k , x ( 靠) ) = 魄( y ( t k ，z ( 如) ) ) 取日1 = 1 ，则有 妒。( 一1 ( ( 妒1 ( s ) ) ) ) s = 4 一“l = 玩，m = 1 ，2 ， 即定理1 2 2 中的条件( 3 ) 满足。则由定理1 2 2 可知：方程( 1 4 2 ) 的零解是指数稳定的。 注1 4 2 ：方程( 1 4 2 ) 未加脉冲扰动时的方程为z 7 = 一轳，其解 为x ( t ) = 。o 再酝网1 jz 1 ，其零解为一致渐近稳定却不是指数稳定 的( 详见文献 1 8 ) ，但加上适当的脉) 中扰动后，该方程的零解可以 是指数稳定的，这表明脉冲可以使不指数稳定的系统指数稳定。 例1 4 3 考虑方程 三器二：饕；竺；兹繁耋n j 邳 4 劫 l 。( t k ) 一z ( ) = 工( 霉( 蝠) ) ， 南 r 叫 其中0 f 1 屯 0 ，b ( t ) b ，i k ( x ) c ( n ，r ) 假设 a b 且( 1 茁+ “( z ) 1 ) 2s ( 14 - b k ) x 2 ，其中b o 且惫1b k o o 因为 ( i ) 取v ( t ，z ( t ) ) ：v ( x ) = z 2 ，则 v ( t k ，z ( t ) ) = 吉( k + 最( z ( t i ) 1 ) 2 去( 1 + 靠) ( z ( z i ) ) 2 一 、 n ，、 ， = ( 1 十b k ) v ( t ；，z ) ( i i ) 取w 1 ( 。1 ) = u 2 ( 1 2 1 ) = i 1 。2 ，m = l = 芒1 ( 1 + b k ) ，则 1m l u 2 ( h ) = 去( 1 + b 女) z 2 o k = l 曼去 ( 1 + k ) 2 z 2 = u 1 ( m 蚓) ( i i i ) 对于满足y ( t + 8 ，z ( 亡+ s ) ) v ( t ，z ( t ) ) ，一r s 0 的方程 ( 1 4 3 ) 的解x ( t ) 有j z ( 亡一7 - ) i l 。( t ) i ，因此 v 7 ( t ，z 0 ) ) = 一o ( t ) z 2 0 ) + 6 ( t ) z ( t ) z 0 一r ) ( 一a + b ) z 2 0 ) 墨0 则定理1 3 1 的条件( i ) 一( i i i ) 满足，即方程( 1 4 3 ) 的零解为一致 l i p s c h i t z 稳定。 1 7 第二章脉冲微分方程解的有界性 2 1引言 本章讨论了脉冲常微分方程和脉冲时滞微分方程解的有界性。 考虑脉冲常微分方程 ：篇三徽梨x 芝0 n ( 2 工- ) 【茁( t ) = 以( 茁( t i ) ) ，庇 。7 和脉冲泛函微分方程 x(t)-：f(t,x绷t),z(tk j k) ，。谗n ( 2 1 2 ) 【) =( z ( 坛) ) ， 惫 r 其中f ：i 毋帮，f ：i p c - 形，以：形形，i = t o ，o o ) ，p c = p c ( - - ，o ，r ”) = 圣：【一7 - ，0 - - - + r ”，西( t ) 除了在 有限个第一类不连续点i 外都连续，( p ) 和圣( 矿) 存在且西( _ + ) = 西( _ ) ) ，s ( p ) = 。卯：izl j 9 ) ，t o t l t 2 t k t + 1 一，当k - o o 时，靠一o 。讹) 指x ( t ) 的右导数。 对于每个t2t o ，钆p c 定义为x t ( s ) = x ( t + s ) ，- - tss 0 。对于每个p c ，妒的范数定义为i l | | = s u p 一， 0 ，使得当 t t o ，i x o i b 1 时有i x ( t ，t o ，。o ) l b 2 成立。 ( s 2 ) 最终一致有界的，若对任意实数b 3 0 ，存在t 0 ，b 0 ， 使得当t t o + t ， x 0 lsb 3 时有 z ( t ，t o ，x o ) 墨b 成立。 1 8 定义2 1 2 脉冲泛函微分方程( 2 1 2 ) 的解被称为是 ( s 1 )一致有界的，若对任意实数b t 0 ，存在b 2 0 ，使得当 t 盯( 盯t o ) ，l l i isb 1 时有l 。( t ，盯，) l b 2 成立。 ( s 2 ) 最终一致有界的，若对任意实数b 3 0 ，存在t 0 ，b 0 ， 使得当t 芝盯+ t ( 盯t o ) ) l l l l b a 时有j z ( t ，盯，多) ls b 成立。 2 2脉冲常微分方程解的有界性 定理2 2 1 假设在g 日上存在函数v ，1 ，0 2 2 k ，妒+ 和 g q ，g 不减，使得 ( i ) u 1 ( 1 。i ) sv ( t ，z ) u 2 ( iz1 ) ( i i ) 存在常数h 0 ，使得对于方程( 2 1 1 ) 的任意解z ( t ) = z ( t ，t o ，& t o ) 有： v 7 0 ，z ) ) 9 ( t ) c ( v ( t ，茁o ) ) ) ，若v ( t ，。 ) ) 1 4 其中夕：j - - + r + 局部可积 ( i i i ) 对所有免z + 及茁r n 有： y ( 靠，j k ( z ( 扎) ) ) 妒( y ( t i ，z ( t i ) ) ) ( i v ) 存在常数a 1 0 ，a 2 0 和a 0 ，使得对于所有庇n 及任 意p 0 有 坯铲址z 虬，层m 嵩一e 。9 ( s ) d s a 则方程( 2 1 1 ) 的解是一致有界且最终一致有界的。 证明：首先证明( 2 1 1 ) 的解一致有界。设b 1 之u i l ( ) ，x 0 s ( b 1 ) ，令z ( 亡) = z ( t ，t o ，。o ) ，v ( t ) = v ( t ，。( t ) ) ，u 1 ( b 2 ) = 妒一1 ( u 2 ( b 1 ) ) 则 u 1 ( 1 o1 ) sv ( t o ，x 0 ) u 2 ( i 。oi ) 墨( b 1 ) 叫2 ( b 1 ) v ( t o ) 这意味着存在f ( t o ，使得 y ( 句= 妒一1 ( 蛾( b 1 ) ) ，v ( t ) 砂一1 ( 叫2 ( b 1 ) ) ，t o t ； 及存在善 t o ，句使得 v f f ) = 忱( b 1 ) ，v ( t ) w 2 ( b 1 ) ，菩t # 因此，对于所有t 瞄司有v ( t ) 日 由条件( i i ) 得y 0 ，z 0 ) ) sg ( t ) a ( v ( t ，z ( t ) ) ) ，吾st 于是有 滕嵩加s ) d s j v ( o 匀嵩a ( u j y ( 的g ( u ) 儿 1 ) g ( “) 二_ j 如，、。7 ) 矛盾! 于是( 2 2 1 ) 成立由( 2 2 1 ) 及条件( i i i ) 可得 y ( 。1 ) 矽( y ( 车，z ( 圩) ) ) = 妒( y ( 百) ( 2 2 2 ) 0 2 2 ( b 1 ) r 类似可得 v ( t ) 矽一1 ( “忽( b 1 ) ) ，t l t 0 ，所以存在最小的正整数使得： 妒一1 ( “挖( b 3 ) ) 妒( u 1 ( b ) ) + a g ( 妒( u l ( b ) ) )( 2 2 4 ) 令五= 一1 ，嘲，i = 1 ，2 ，因为 v ( t k ) = v ( t k ，以( z ( t i ) ) ) 妒( y ( t i ) ) y ( t i ) ， 惫n 所以s u p v ( t ) ：t 厶 _ = 厶存在且厶= y ( 如一1 ) 或厶= v w ) ， 其中n ( 屯一1 ，嘲；若t i 岛，则v ( r 7 ) = v ( n ) 不妨设厶= y ( r f ) ，i = l ，2 ，对于l i = v ( 屯一1 ) ，j = 1 ，2 ，一，的情形 类似可证，从略 令t = n a 2 ，下证( 2 2 3 ) 成立。为此先证，如果对于某一i 1 ，2 ，) 有 y ( r f ) 妒( u l ( b ) )( 2 2 5 ) 成立，则 v ( t ) u l ( b ) ，t t n 事实上，由( 2 2 5 ) 可得； v ( t ) 妒( u 1 ( b ) ) u 1 ( b ) ，t i 一1 t 茎t i 下证： v ( t ) u 1 ( b ) ，t i t u 1 ( b ) 妒( u 1 ( b ) ) y ( 岛) 这意味着存在( t i ，刁使得 矿( d = u 1 ( b ) ，v ( t ) su 1 ( b ) ，t i t t 于是存在等陬，句使得 y ( 妁= 妒( 叫i ( 口) ) ，v ( t ) 妒( u 1 ( b ) ) ，5 ts 因此若st ，则v ( t ) h 由条件( i i ) 可得 v ( t ) 9 ( t ) g ( y ( t ) ) ，f t 由此可得： r鬻丽dujvf 9 ( s ) d sg f u 、_ 二j f “ 此f t t i + l9 ( s ) d s + a ，“1 ( 口) d u 如( 。( b ) ) 萌面 一，( d d u 一打( i ) g ( u ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 矛盾! 因此( 2 2 8 ) 成立由( 2 2 8 ) 及条件( i i i ) 可得； g ( t i + 1 ) 妒( y ( t i l ) ) 妒( u 1 ( b ) ) 由简单 ；纳可证： v ( t ) 茎u 1 ( b ) ，t i + k5t 妒( u 1 ( b ) ) 成立。为导出 矛盾，我们先证： y ( r f ) y ( r i ) 一i a g ( 妒( u l ( b ) ) ) ，i = o ，1 ，2 ，- ，( 2 2 1 0 ) i 其中v ( r 6 - ) = 妒- 1 ( 眈( b 3 ) ) 显然( 2 2 1 0 ) o 成立。现假设( 2 2 1 0 ) j 对某个j ( o j n ) 成立， 我们证明( 2 2 1 0 ) j + 1 成立。先证 y ( 啊1 ) 5y ( r j ) ( 2 2 1 1 ) 事实上，v ( t ) y ( 百) ，t j 一1 t ，而 v ( t j ) 妒( y ( 与) ) 妒( y ( 百) ) 与( 2 2 9 ) 的证明类似可得 v ( t ) y ( 百) ，t j + k t t j + k + l 及 v ( t j + k + 1 ) 妒( y ( r f ) ) ，而= 0 ，1 ，2 ， 于是( 2 2 1 1 ) 成立 下面考虑两种可能的情形： 情形l ： 妒( u 1 ( b ) ) y ( 巧1 1 ) 妒( y ( 哼) ) 这时由( i v ) 可得： 川妒- 制t ( v 嘛j 南a 于是 y ( 晴1 ) 咖- 1 ( y ( r l l ) ) 一a g ( 咖( u 1 ( b ) ) ) y p ；_ ) 一a g ( 妒( u ( b ) ) ) y ( 百) 一0 + 1 ) a g ( 妒( u 1 ( b ) ) ) 情形2 ： 妒( y ( 可) ) y ( 丐_ + 1 ) y ( 百) 设r j + 1 ( + ，t i + k + j ，七n u o ) ，则对k = 0 的情形，我们有 v (