（理论物理专业论文）耗散二能级系统动力学行为的研究.pdf

摘要 在物理和化学中一个普遍感兴趣的问题即是一个隧穿于两个量子态之间同时耦 合于耗散环境的量子力学系统，即錾墼三鳇堡丕缠。限近的十几年来，为了探索这一貌 似简单的模型的各种物理性质，大量的工作被开展起来。但是几乎所有的这些工作都 没有为环境与系统之间的相互作用提供个细致的微观分析，尤其是环境的变化。j 在 本文中，我们引入了一种新的非微扰，解析方法用以计算这一系统在零温下的实时动力 学行为。 在第一章中，我们首先通过介绍耗散二能级系统在物理中的实现大致回顾了- - 一“f j c , 级系统理论发展的历史。( 同时，为了给第二，三章作一个必要的铺垫与对比，我们详细 地介绍了耗散二能级系统的f e y n m a n v e r n o n 路径积分处理，使之具有严谨的数学形 、 式。 在第二章中，我们主要介绍了对耗散- - 一“g j 。级系统的几种传统处理方法，即模型类 。骘友鎏和niba下的一feynman-vemon堕径塑佥处理方法。洒过对它们的优，缺点的了 解肩够使我们对第三章的新方法的优点有更深的认识。+ 第三章是本文的重点。在这一章中我们详细介绍了一种新的，非微扰的解析近似方 盐。f 运用这一方法，我们已经精确地得到了占有几率随时间变化的曲线；在l 临界点附 近，标度律亦得到验证。尤其值得一提的是，) 我们第一次得到系统与环境之间的能量 銮选塑塑塑缝? 而这一结论超出了其它任何一种方法的能力。 a b s t r a c t a p r o b l e mt h a ti so fg e n e r a li n t e r e s ti nb o t hp h y s i c sa n dc h e m i s t r yi s t h a taq u a n t u m m e c h a n i c a ls y s t e mt u n n e l i n gb e t w e e nt w os t a t e sa n ds u b j e c t st oad i s s i p a t i v ec o u p l i n gt o e n v i r o n m e n td e g r e eo ff r e e d o m ag r e a td e a lo fw o r kh a sb e e nc a r r i e do u to v e rt h el a s tt e n y e a r si no r d e rt ou n d e r s t a n dt h ed y n a m i c so f t h i sa p p a r e n t l ys i m p l em o d e l b u tm o s tt h e s e m e t h o d sf a i l e dt og i v ead e t a i l e dm i c r o s c o p i ca n a l y s i st ot h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h es y s t e m a n de n v i r o n m e n t ，e s p e c i a l l yt ov a r i a t i o n so ft h ee n v i r o n m e n t i nt h i sp a p e r ，w ed e s c r i b ea n e wn o n p e r t u r b a t i v ea n a l y t i cm e t h o df o rc a l c u l a t i n gt h er e a l t i m ed y n a m i c so fd i s s i p a t i v e q u a n t u ms y s t e m sa n d u s ei tt oi n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a lb e h a v i o ra tz e r ot e m p e r a t u r e i nc h a p t e ro n e ，w er e v i e w e dt h eh i s t o r yo ft h ed i s s i p a t i v et w o s t a t es y s t e mt h r o u 曲a d e t a i l e di n t r o d u c t i o no f t h er e a l i z a t i o no f d i s s i p a t i v et w o s t a t es y s t e mi np h y s i c s t op r o v i d e a ni n d i s p e n s a b l eb a s i sa n dc o m p a r i s o nf o rc h a p t e rt w o ，t h r e e ，w eg a v ead e t a i l e di n t r o d u c t i o n o ff e y m a n v e r n o np a t hi n t e g r a lt r e a t m e n to ft h ed i s s i p a t i v et w o - s t a t es y s t e m ，m a k i n gi t h a v eas t r i c tm a t h e m a t i c a lf o r m i nc h a p t e rt w o ，w em a i n l yi n t r o d u c e ds e v e r a lt r a d i t i o n a lt r e a t m e n tm e t h o d so fd i s s i p a t i v e t w o s t a t es y s t e m ，n a m e l ym o d e la n a l o g ym e t h o da n df e y m a n v e m o np a t hi n t e g r a lm e t h o d w i t h i nn i b a t h eu n d e r s t a n d i n go ft h e i rv i r t u e sa n ds h o r t c o m i n g sw i l lb r i n gad e e p e r i n s i g h ti n t ot h ev i r t u e so f t h en e w m e t h o da p p e a r i n gi nc h a p t e rt h r e e c h a p t e rt h r e ei st h ee m p h a s i so ft h i sp a p e r i nt h i sc h a p t e r ，w ei n t r o d u c e d an e w n o n p e r t u r b a t i v e ，a n a l y t i c ，a p p r o x i m a t em e t h o d t h r o u g hi t ，w eh a v eg o tt h eo c c u p a t i o n p r o b a b i l i t yc u r v e s 啊t ht i m ea c c u r a t e l y ；n e a rt h ec r i t i c a lp o i n t as c a l i n gc u r v ei so b t a i n e d s p e c i a l l y ，f o rt h ef i r s tt i m e ，w eg e tt h ee n e r g yt r a n s f e rt r e n db e t w e e nt h et w o s t a t es y s t e m a n dt h ed i s s i p a t i v ee n v i r o n m e n tb yc a l c u l a t i n gt h e c o r r e s p o n d i n gp h o n o nn u m b e r a t d i f f e r e n tc o u p l i n gs t r e n g t h s ，w h i c hi sb e y o n da l lt h eo t h e rw o r k 致 嗡3 壬8 2 1 5 本论文是在汪克林教授和完绍龙教授的精心指导下完成的。汪先生扎 实的理论功底，渊博的的知识，完教授多变灵活的科研方法，机敏的思维， 给学生留下了深刻的印象，学生受益非浅。在此对二位老师的辛勤指导表 示衷心的感谢。 感谢杨金龙，秦敢老师在三年中的关心，支持，和帮助。 感谢韩榕生博士，李群祥博士，丁长庚博士，高先龙博士，林机博士， 崔相远硕士，刘本康硕士，陈清硕士，马双鸽同学在工作，学习和生活中 的关心，支持和帮助。 感谢我的父母和家人对我学业上不遗余力的支持。 再一次向所有帮助，支持和关心我的老师和同学表示感谢。 里型兰堡查盔堂堡婴壅皇竺笪兰塞一 第一章绪言 1 耗散二能级系统在物理中的实现 开放量子系统问题几乎伴随着量子力学的诞生而产生。对这一领域从事固体物理、 化学物理、生物物理、量子测量理论、量子光学、核与粒子物理等研究者们都作出了重 要的贡献。在开放量子系统所涉及的各个问题当中，耗散二能级系统则是近二十年来理 论、实验工作者们关注的焦点。 众所周知，量子理论的最有趣的方面之一即是干涉现象的产生与破坏。在不同的量 子态之间相的相干性可以导致显著的谐振效应，而允许相干运动的最简单的模型就是二 能级系统。在物理和化学上，我们经常可以遇到其量子态被有效地束缚于二维希尔伯特 空间的量子力学系统问题。例如，设想一个在两个不同的局域态之间共振或者起伏的量 子力学粒子。这样的系统经常耦合于周围的环境当中，我们将看到这样耦合能导致动力 学行为的定性变化。也就是说，环境当中的起伏能破坏量子相干性而且能导致一个量子 隧穿效应被压制的新相产生。 许多物理的或是化学的系统可以用一个与具有两个最低点的有限势函数相关的普通 坐标来描述。量子力学的说法就是这一系统能在有效势的两个最低点之间隧穿。这样的 系统频繁地与一个热库反应，允许这一系统进入热平衡状态。在足够低的温度下系统动 力学行为仅仅与有效最低点的基态有关。这样，当系统与热库解除耦合后，它将被有效 地限制于由两个基态组成的二维希尔伯特空间( 两个基态就是相应的本征矢量) 。这两个 态通过波函数的重叠相互耦合。二能级系统( t l s ) 就是最简单的允许干涉产生、消灭 的量子力学系统。系统可以在左、右的本征态之间顺时针振荡。由于它与众多的物理学 现实的联系以及近年来理论的进展使得二能级耗散系统引起大量的兴趣。 安德森【1 】和菲利普斯【2 】各自在1 9 7 2 年独立地假设了在无序材料中二能级系统的存在 去解释这些无定形材料的低温比热反常。虽然在无序材料中隧穿整体的微观本质并不清 楚，但是它可以形象化为一个粒子隧穿于一个沿着未知反应坐标的双阱。在超声实验中 显示了绝缘金属玻璃当中存在着一个重要的差异，即金属玻璃中的隧穿本征态的寿命显 著的短。高汀 3 】把这一反常的行为解释为隧穿整体非绝热地耦合于金属中的传导电子。 不久，布莱克和福德【4 扩展了这一想法去描述超导环境中的驰豫过程。在关于超导无定 第1 页 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 形金属的超声实验当中伟斯【5 对理论的预言进行了多次证实。这些实验显示出当环境从 超导态转为正常态时，隧穿本征态的寿命减少。这样就证实了电子耦合的重要性。在文 献6 】中对这一耦合的微扰论处理给出了一个全面的蹩理。关于非微扰处理详见文献【7 】。 诸如小极化子，固体中的全同位素或“子的隧穿已成为近几十年来的一个重要研究课 题。虽然早期的工作主要关心极化子的重要性 8 一 1 4 ，最近的注意力则集中于低温下 金属中费米环境的奇异瞬时响应。k o n d o 1 5 】首先提出了传导电子对金属中填隙子的非绝 热影响去解释低温下宿主金属中“子散射的反常温度依赖性。实验上，这一机制已被证明 为铜、钴、锶中“+ 和p 的不相干隧穿 1 6 ，介观金属中的缺陷， 1 7 】以及。中自陷氢的 隧穿 18 。在第一种情形中，粒子随机地从一个填隙点跃变到相邻的点；而在后一情形 中，氢是相干或不相干地隧穿于两个最近邻的四面格点中。在这些实验当中通过降低温 度，粒子从相干动力学转为非相干动力学。这一穿越在中子散射由准弹性变为非弹性而 变得非常明显。 中子散射反应在许多物理的和生物的系统当中几乎无处不在。我们所拥有的基础图 像就是局域于一个施主点态的电子与一个受主点态相隧穿。马库斯理论【1 9 为这样的过 程给出的描述是恰当的，在电荷与环境极化云之间的反应经常是如此之强以至于隧穿仅 仅在环境模式的平衡起伏的帮助下才变为可能。由于中子微小的质量，它在室温下的迁 移被量子效应强烈地影响。 另一个重要的，但外观明显不同的耗散二能级系统的例子是一个在半磁通量附近被一 外部流通过的r f s q u i d 环。这样一个超导装置也许是观察宏观量子相干效应的合适工 具。【2 0 】 2 耗散二能级系统与f e y n m a n v e r n o n 路径积分 2 1 哈密顿量的选择 为了把第一节中的各个物理问题归并为方程，我们通过一个调节能量壳占和一个反应 f t 馒h a 。( 表征对称系统的隧穿劈裂) 来特征化轻微偏离对称的双阱。隧道矩阵元。可 以用标准的w k b 或者瞬子技术 2 l 】【2 2 】来计算a 在区域v 。 h c o 。 h a 。，h t ，k 日t ，此 处v o 是势垒高度，h c o 。是第一激发态与基态的能量差。系统可以被有效地限制于由两个 第2 页 垦型型壹堂型型鲨鲨塑l 一 基态跨越的二维希尔伯特空间。孤立系统的运动然后可以简单地通过一个二态紧束缚模 型来描述。在这一模型当中，两个局域态l f 和伊 是紧束缚态。在这一表象当中，我们 可以把2 x 2 矩阵形式的哈密顿量写成负自旋形式。 = - n ? x o 2 删们吒2 牝0 ，、 此处仃是泡利矩阵，基矢经过恰当的选择使得态i l 和伊 分别是盯：的具有本征值 + l 的本征态。 由于与热库动力学自由态的耦合所产生的耗散机制强烈地影响着系统的行为。我们 将仅仅考虑对盯，值反应敏感的与热库的线性耦合。例如，一个二极局域场耦合为这种线 性耦合提供了一简单的物理模型。为确定起见，我们选择相互作用哈密顿量 ，一w c a x o ：，其中q = ( y ：a 2 。d 是两个局域态的空间距离。在很多场合把环境的响 应看成线性是合理的考虑。这样，一个由一组谐振予表征的具有坐标空间线性耦合的热 库反映了我们所希望描写的物理。既然t l s 象一个自旋，相应的哈密顿量在自旋一玻色 哈密顿量中就变得很清楚。特别地，我们采用形式： 疗m2 日n s + i 1 ( 。e 9 2 。_ + ，记- - a ( 7 ：c a k ) r 1 2 ) 尽管它有表面上的简单，自旋一玻色模型不可能通过任何已知的方法精确地求解。 不仅仅因为自旋一玻色模型数学上的非平庸性。事实上，物理上它也是非平庸的，既然 它表现出了相变过程。 环境通过一个起伏力善( ，) = 吒o ) 对t l s 施加影响，对于一个具有线性响应的热 库，k ( f ) 模式遵循高斯分布a 因此热库动力学可用热平衡态力自关联函数偕( f 瞥( o ) ) 来表 征，这一关联函数仅仅是谐振子关联函数的复合。在标准的路径积分表达式中( 为简约 密度矩阵) ，环境通过一个影响泛函睐表明自己的影响。 从文献【2 3 我们看出热库中的慢模式导致长程记忆效应，而快模式给出短程效应。因 此，快模能迅速地对慢隧穿运动作出响应，而且可以很好地被玻恩一奥本海默近似所消 除。 我们选择特征频率。把谐振子分成快、慢两种模式。( 与t l s 中的特征频率 第3 页 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 。，占，k 。t h ) 相比较。根据蜘) = 0 ) + l 0 ) 所有的出于l o ) 的谐振子即时地调 整到仃：的当前值，因此扮演着极化云的角色。通过它隧穿矩阵元被弗兰克一科登因子修 饰成： 妒吣x p ( 一嘉f 如掣c o m 娜，z ) 。， 2 2 配分函数的路径积分表示 对耗散二能级系统的几种通行的处理方法中有一个共同点，即它们都是从路径积分 化的配分函数开始着手。因此在详细介绍这些方法之前，有必要对二能级耗散系统配分 函数的路径积分形式作一个简述。 在半经典近似下，配分函数由势能的经典路径主宰。在极低温下系统大部分时i n q 停 留在! 附近，偶尔在这些位置之间前后移动。在紧束缚二态情形，路径 o z ( f ) = ( 2 a k 0 ) 突然地跳变，即在时刻j ，在吒的本征值1 问跳变。既然每一个扭节 ( 跳变) 被一个反扭节跟随，因此有必要把一个有2 m 个跃变的给定路径分成研个扭节对。 标定跳跃的时间譬，和跳跃的间隔如， 。 0 2 5 2 ，一5 2 川；p ，。8 2 j + l 一5 2 ，u21 ，朋 j 2 m “2 妒 n 4 1 每一个扭节一反扭节对贡献一个竺a t 乘以一个依赖于外磁场因子的项。对有任意对数的 排列进行求和，可以得到越幂展开的配分函数形式。根据f e y n m a n v e m o n 路径积分，耗 散二能级系统右阱( 占 0 ) 的配分函数可以写成 z 2 薹( 钌h 心一m 鲁( s ，蛾佟。，、 扭节中心j ，是讨论问题的集体坐标。因子叫：表达了对外来磁场的依赖( 风= ) 碰拿= e x p | 占艺e p 彦2 一砜z 1 ”1 ( 1 6 ) e 和b 是系统分别用在左阱和右阱中的时间。因子砖表达了环境的影响。如果把 第4 页 主垦型堂茎查壁堡圭堑壅竺兰垫堡苎一 路径g ( r ) = 口2 0 - ：代入f ( 5 0 ) = e x p 【- j i 翻【g 壳) ： s f 翻【g 】= ；r d r f d r + 七p j x g ( r ) 一g ( f ) ) 2 g ) = 妻f 谢o ) 巴p ) 我们将得孙磋= d 一薯( f ，) 唧( 一善r a - 1 蔷m + l 心_ ，、 第一项指数因子是扭节对的自作用，第二项代表着扭节对之间的作用。项玎= 1 是最 近邻项， = 2 是次近邻项等等。扭节对，与随后的对女的反应由瑚给出。 心2 = g ：。一s ：川) + g ：。一s ：，) 一0 。一s ：，) 一既g ：。- - s 2 ji ) ( 1 8 ) 对反应( r ) 是： 毗) = 笔胁掣( 巴( d ) - 蹦r ) ) = 磊a 2j 如掣( 1 - - e - ，o r + 掣 ， 根据文献【2 4 ，低频谱密度如如) 可写为： 如。) = 芋瓯批瑰p ( - 叫织) ( 1 1 0 ) 这里瓯是实无维耦合常数，频率积分可以用封闭的形式表示，我们发现 p ) = z 坑r o ) ( 詈 2 6 一( 1 + 。玎) + z 瓯r o 勋膨) _ 2 ( 2 善( z ，) 一毒g ，k + a ) 一善( z ，k 一a p ) ) z = s 一1 0 ) 这里，善g ，q ) 是r i e m a r m z e t a 函数 2 5 ，r ( z ) 是e u l e r s g a m n a 函数，k = 1 + l 雄晒。 现在，定义一个零温下有效隧穿矩阵元蚵，a 与。相差一个f r a i l l ( 一c o n d e r 子。 对于0 1 ) 有： 妒啦x p ( 一杀r 如学 ( 1 切 在o h r n i c 情形0 = 1 ) 及。f 1 条件下，表达式( 1 9 ) 简化为： 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 喇磁- n ( 半s i n ( 荔 ) n 同时我们可以得相应的表达式： 驴= ( t o 一2 k ) c o s 似) ) l 2 ( 1 - k ) ( 。严。 叫4 、 引入因子( r ( 1 2 k ) c 。s 伍2 0 一。是为了以后的方便。当把它包括进问题当中，盯实际上 是0 k l 情形下真正的频率标度。以后我们将看到它的重要价值。整个系统的配分函 数z = 乙0 ) + 乙0 ) = z r 0 ) + 乙( _ s ) 。乙的l a p l a c e 变换形式为： z = 去黔) “s n = i i f d r j e - ( a - 2 ) 。m “匕。 第6 页 主旦型兰苎查盔堂堡主竺塑生兰焦堡皇一 r e f e - r e n c e s 参考文献 1 p w a n d e r s o n ，b i h a l p e r i n ，a n dc m v a r m a ，p h i l m a g 2 5 ，1 ( 1 9 7 2 ) 【2 】w a p h i l l i p s ，j l o wt e m p p h y s 7 ，3 5 1 ( 1 9 7 2 ) 3 b g o l d i n g ，j e g r a e b n e r , a b k a n e ，a n d j l b l a c k ，p h y s r e v l e t t 4 1 ，1 4 8 7 ( 1 9 7 8 ) 4 】j l b l a c ka n dp f u l d e ，p h y s r e v l e t t 4 3 ，4 5 3 ( 1 9 7 9 ) 5 】g w e i s s ，w a r n o l d ，k p r a n s f e l d ，a n dh j g u n t h e r o d t ，s o l i ds t a t ec o m m 3 3 ，1 1 1 ( 1 9 8 0 ) 【6 】j l b l a c k ，i n ，t o p i c si na p p l i e dp h y s i c s ，v 0 1 4 6 ，e d b yh 一j g u n t h e r o d t a n dh b e c k ( s p r i n g e rv e r l a g , b e r l i n ，1 9 8 1 ) 【7 】j s t o c k b u r g e r , u w e i s s ，a n dr g o r l i c k ，j p h y s i kb8 4 ，4 5 7 ( 1 9 9 1 ) 8 j y a m a s h i t aa n dt k u r o s a w a ，j c h e m s o l i d s5 ，3 4 ( 1 9 5 8 ) 9 9t h o l s t e i n , a n n p h y s ( n y ) 8 3 2 5 ( 1 9 5 9 ) ；i b i d 8 3 4 3 ( 1 9 5 9 ) 1 0 】h b s h o r ea n dl m s a n d e r , p h y s r e v b 1 2 ，1 5 4 6 ( 1 9 7 5 ) 【11 】m w a g n e r , j p h y s a1 8 ，1 9 1 5 ( 1 9 8 6 ) 1 2 c e f l y n na n da m s t o n e h u r n ，p h y s r e v b1 , 3 9 6 6 ( 1 9 7 0 ) 1 3 】y k a g a na n dm i k l i n g e r , j p h y s c7 , 2 7 9 1 ( 1 9 7 4 ) 1 4 h t e i c h l e ra n da s e e g e r , p h y s l e t t 8 2a ，9 1 ( 1 9 8 1 ) 【1 5 】j k o n d o ，p h y s i c a1 2 5b ，2 7 9 ( 1 9 8 4 ) ；i b i d 1 2 6b ，3 7 7 ( 1 9 8 4 ) 1 6 】g m l u k ee ta 1 p h y s r e v b4 3 ，3 2 8 4 ( 1 9 9 1 ) ；o h a r t m a n ne ta l ，h y p e r f i n e i n t e r a c t i o n s 6 4 ，6 4 1 ( 1 9 9 0 ) ， a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n ；i s a n d e r s o n ，p h y s r e v l e t t 6 5 ，1 4 3 9 ( 1 9 9 0 ) ；b g o l d i n g ，n m z i m m e r m a r m ， a n d s n c o p p e r s m i t h ，p h y s r e v l e t t 6 8 ，9 9 8 ( 19 9 2 ) 1 7 】h w i p f , d s t e i n b i n d e r , k n e m n a i e r , p g u t s m i e d l ，a m a g e r l ，a n da j d i a n o u x ， e u r o p h y s l e t t 4 ， 1 3 7 9 ( 1 9 8 9 ) ；d s t e i n b i n d e r ，h w i p f , a m a g e r l ，a d d i a n o u x ，a n d k n e u m a i e r , i b i d 6 ，5 3 5 ( 1 9 8 8 ) f o r ar e v i e ws e eh g r a b e r ta n d h w i p f , i n ： f e s t k o r p e r p r o b l e m e a d v a n c e s i ns o l i ds t a t e p h y s i c s ， v 0 1 3 0 ，p l ，e d b y u r o s s l e r ( v i e w e g b r a u n s c h w e i g ，1 9 9 0 ) 第7 页 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 【1 8 r a m a r c u sa n d n s u t i n ，b i o c h i m b i o p h y s a c t a8 1 1 , 2 6 5 ( 1 9 8 5 ) 1 9 】c d t e s c h e ，a n n n y a c a d s c i 4 8 0 ，3 6 ( 1 9 8 6 ) ；s c h a k r a v a r t y , i b i d 4 8 0 ，2 5 ( 1 9 8 6 ) 2 0 】a j l e g g e r ，i n ，v 0 1 1 ，e d b yg g r i n s t e i na n d g m a z e n k o ( w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 8 6 ) ，e 1 8 7 【2 l 】s c o l e m a n ，p h y s r e v d1 5 ，2 9 7 9 ( 1 9 7 7 ) ；s c o l e m a n ，i n ，e d b ya z i c h i c h i ( p l e n u m ，n e wy o r k ，1 9 7 9 ) 2 2 】u w e i s sa n dw h a f f n e r , p h y s r e v d2 7 ，2 9 1 6 ( 1 9 8 3 ) 【2 3 】s c h a k r a v a r t ya n ds k i v e l s o n ，v h y s r e v b 3 2 ，7 6 ( 1 9 8 5 ) ；a t d o r s e y , m p a f i s h e r , a n d m w a r m k ，p h y s r e v a3 3 ，111 7 ( 1 9 8 6 ) 2 4 】u w e i s s ，h g r a b e r t ，r h a n g g i ，a n dr r i s e b o r o u g h ，p h y s r e v b3 5 ，9 5 9 3 5 ( 1 9 8 7 ) 2 5 】r g o r l i c ha n du w e i s s ，p h y s r e v b 3 8 ，5 2 5 4 ( 1 9 8 8 ) 2 6 i s g r a d s h t e y na n di m r y z h i k ， ( a c a d e m i c p r e s s ，l o n d o n ，i9 6 5 ) 第8 页 第二章对耗散二能级系统的几种传统处理 方法 1 m b a v 的f e y n m a n v e r n o n 路径积分方法 1 1 二态动力学 与宏观量子干涉现象直接相联系的动力学量是 的期望值。在一理想的m q c 实验中系统被固定在右阱( 本征值仃：= + 1 ) 中持续一大负时间，以至于环境能够随 之进入热平衡状态。这可以通过，例如，在f a 在零时 刻约束被解除，在f 0 时动力学完全被自旋玻色哈密顿量所控制。这种类型的初态 准备，例如，可以应用于能够被穿过环的磁场所调节 鬟j s q u i d 环。 标定左( 右) 阱的占有效几率圪( r ) ，则： ( 盯：( f ) ) 斥2 p ( ，) 2 最( ，) 一只o ) = 2 最( f ) 一1 ( 2 1 ) 引入连接几率将有助于以后的计算。假定在负时间，。之前系统和环境无耦合并各自 处于它们的热平衡。在“时刻打开耦合，其后总系统按全哈密顿量演化。假定系统在，。 时刻由仃。态释放，在r = 0 时刻在态盯，最后在r 时刻处于态盯。定义这连续事件的连接 几率尸p ，t ；c r ，0 ，盯。，r 。) 。通过连接几率我们有： p ( t ) = 2 h 1 + i m 。p “1 ，f ；+ 1 ，o ；+ 1 ，“f o ) 一1 ( 2 2 ) 为了以后的方便，把p o ) 分成p o ) = 只( f ) + 只( ) 。物理量只可以用左、右阱的配分 醐孙z 凇元馥：耻l i r a 喇。缓。( 2 司 但是，固体中隧穿系统不能准备在一个初始的特定态，因此前面关于初态的一些假 设并不实用。这里真正令人关心的动力学量是对称平衡关联函数： c ( f ) = 三( c + o ) “一( f ) ) = 去护p p ：( 0 ) 坦( 0 p ：( f ) 】 ( 2 4 ) 第9 页 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 8 湖2 e l , 国t l = 生4 r e 时kn 2 堕2p 高1 e x p ( c 耐o 亿，、 a q a 国 i ，ij 石+ 。) 、7 ，1 “ 对于在位置罢和一詈之间的缺陷隧穿算子y o ) 有如下形式：芦( f ) = 厅吒o ) 2 ，于是有： 蚓s 2 譬 荆“n 2 ( 譬 去 e p ) = e d t e “( 吒( 0 b ：( f ) ) 口 f 2 6 ) 采用谱关系0 一) = e 一“p 0 + 0 ) ，可得： m 川s 2 蛳群寺高砑荆汜， 因此谱函数e ) 在中子散射实验中可直接测量。 对称平衡关联函数c o ) 可以用连接几率尸p ，t ；c r ，o ；盯，f 。) 表示出来，有： c o ) 2 按互( p p , t ；o r , o ；c r , t o ) + 撕晰圳f 2 8 1 采用这一形式的优点就是标准的实时f e y m a l l v e m o n 路径积分可以使用。 在实时泛函积分方法中，三点连接几率p p ，f ；盯，o ；盯。，0 ) 可以用双重路径积分表示： p p 盯，o ；口”，f 。) 2 d g ( f ) 伽( f ”n k p + 【g p 【g ，g 】 亿9 1 此处求和是遍及所有路径，并有g 也) = g “) = 仃。2 ，g ( o ) = g ( 0 ) = 仃2 和 g ( f ) = q ( t ) = c r a 2 ；量爿m 是无耦合系统沿路径g ( f ) 运动的几率振幅，f ( q ，q ) 是实时影 响泛函。定义坐标善( f ) = 【g o ) 一q ( f ，) 】口；x ( t ) ；【g ( f ) + g ( f 明口= 2 ，o ) i a ，则影响泛函 有如下形式： f = e x p f 衍( 面。瞥o 碜( f 一，”蟮o ) + 善o 皿o 一r ”e o 。) 】 f 2 ，。1 第1 0 页 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 o ) = s ( ，) + 琥( f ) s ( f ) = 磊f 如掣( 1 一c 。s ) ) c 。也( 竽) 硼= 笔f 如学咖 亿 将双重路径积分形象化为一个沿着简约密度矩阵的四个态中跳跃的单重路径积分， 将是非常方便的。这四个态构成一个正方形，四个顶点为胜g = + 1 ) ，r r ( x = + 1 ) ， 三三g = - 1 ) ，z r ( g = 一1 ) 。在区间t 2 ， ， f ：川系统处于对角态，此为逗留态：在 f ：川 t t ：，系统处于非对角态，此为跳变态。定义跳变时间长度f ，和逗留时间长度5 ，： 7 j 。2 j 一2 j - l 5 2 2 j + l t 2 j ，s o2 f 1 r 2 1 2 ) 在时间间隔t 。 f 0 的时刻t j ( ，= 1 , 2 ，2 n ) ，一个通常的具有2 n 个跃变的四态路径 可以参数化为： z ( ”( f ) = n + m x ，雠，- f ：。) 一。( f ，_ 川) 】 j = o ( 2 1 3 ) 同理在时间间隔0 2 情形； 第1 3 页 旦型堂楚查盔堂堡主鲤塑耋鲎堡丝苎 一 ( c ) 零温下函数j o ) 的行为在长时问* r 。，在有限温度下则o c ，2 。 假设( 1 ) 和( 2 ) 的使用把序列( 2 2 0 ) 中的项变为可以使l a p l a c e 变换与反变换 的卷积形式。采用l a p l a c e 变换： 舷) = r 卯似一；) = f , i t c ( , ) e f 2 2 2 1 可以获得系列表达式( 2 2 0 ) 的几何序列，它可以被求和成形式： p 以) = 怠以) + 危以) ；0 q ) = 宾以) + 只息以) f 2 2 3 1 这里 只以) = 砷1；危以) 一掣乒以) = 旯是+ 。 ( 2 ：4 1 环境的效应包含在自能修正 ( 2 ) s l a 当中。在n i b a 它们有如下的表达式： 。以) = f d r e - a rc o s ( g r c o s 伍( 蜘”一1 以) = 2 cf d w - a rs i n 缸) s i n q ( r 胪“ r 2 2 5 1 以上即是n i b a 下的f e y n m a n - v e m o n 路径积分法的主要步骤。代入到环境的谱密度对 应的p o ) 、c ( t ) 即可求解。 需要强调的是，尽管该种方法不是我们处理同一问题所采用的方法，但由于该方法 中所作的一些假设及由它所获得的一些结论被我们所借鉴和对比，所以在此笔者依旧对 其作了一个比较详细的介绍。 2 模型对比方法 2 1 与a m - v 模型的对比 除了以上直接的计算方法之外，探索这一模型与平方反比i s i n g 模型【3 】，各向异性近 藤模型( a k m ) 【4 】和共振级模型( r l m ) 【5 】之间的相似性也被证明是一种行之有效的方法。 在长时近似中已经显示出这些模型的配分函数( 热力学) 可以归并为统一的数学形式。 通过运用低能情形下的玻色化方法，这一对应也己被应用于费米型哈密顿量。在这一节 当中，我们首先介绍最常用的自旋玻色模型与a k m 对应的方法。而对a k m ，则采用 w i l s o n 的n r g 方法求解 6 1 1 7 1 。在它的最简单的形式中，k o n d o f a 题处理自旋= 1 的单磁性 第1 4 页 里型堂垫查盔堂堡主型塞生兰焦丝塞一一一 杂质，它通过交换散射势与一传导电子带发生相互作用。问题的关键来自于费米面附近 高密度的电子一空穴激发，在绝热框架下，这导致了一个对数发散的产生，例如，静态 磁升率，或者在金属的软x 一射线吸收和发射中。【8 】这一现象已被k o n d o 普遍化为费米 面效应【9 】。 自旋一玻色模型和k o n d o 系统的关系源于以下事实：低能电子一空穴对激发可以被 一产生和消灭算予的乘积来描述，这一算子通过组合具有一维情形下玻色子的性质。 k o n d o 模型是一个非常简单的模型。它假定一个磁杂质通过点状交换势与传导电子 发生相互作用，以至于只有s 一波散射发生，这把问题简化到一个实际的一维情形。更 进一步，有如下假设：在固体中可能存在的众多能带里，只有一个关于费米能对称且具 有半宽h c o 。= a f c 的窄带与杂质相互作用。这样，选择壳。 e ，和通过舭标定动量值 b = 删v ，可以线性化电子关于e f 的色散e ) ，产生e ) 一e ，= a v ，k 。k o n d o 懒 量的二次量子化形式为： h 。= h v ，幻i 。c 如+ h 2 弦i ( o ) k , o - ( 2 2 6 ) 算子c i ，产生一个具有动量舭和自旋极化盯= 1 的传导电子。进一步，s ，= 去壳f 是杂 质的自旋算子。r ，( ，= 1 , 2 ，3 ) 是p a u l i 矩阵。由于在杂质点尹= 0 处传导电子的影响形成的 有效自旋算子可以用局域的w a n n i e r 电子算子( 在原点具有自旋极化盯) 方便地表示出来。 l c ：( o ) = r i c 亡。， ( 2 2 7 ) 女 这里k = 2 州工如 o ，l ，挖， ) ，工是正规箱的长度。然后，可得 s j ( o ) = 罢c ：( 0 k ：，c 。( 0 ) 一 ( 2 2 8 ) 在真正的k o n d o 问题中，相互作用满足旋转不变性。为了把k o n d o 问题与自旋一玻色系统 联系起来，关键一点就是把原始模型的各向同性耦合常数普遍化到如下的情形：s ，s ，的 交换常数以。和& 5 ，+ s s ，项的交换常数，是完全独立的参数，且可以任意的大。 a k m 由下式给出哈密顿量： 第1 5 页 中国科学技术大学硕士研究生学位论文 h ：壳，幻乏 ，。+ 冬g 玉c “s i j二船 第一项代表自由传导电子，第二、第三项代表局域自旋与传导电子的相互作用，以 是相应的作用强度。由于以，以具有能量乘以长度的维数，因此无维的耦合常数是 。和l l o 这里，p = ( 2 z h v ，) 1 是费米面附近单位自旋极化和单位长度的态密度。对于 j 。= j 。模型简化为通常的稀磁金属k o n d o 模型。 根据y u v a l 和a n d 髓s o n 的工作【1 0 】，a k m 的配分函数可以按。作幂级数展开，即： 砧薹( 堡n 蚶。聃 球，刊2 舯 ( 掣 这里瓯是在奇异的非自旋跳变势j 1 1 6 ( x ) 4 的散射相移。在e = 0 情形，如果令 a c ：p j 。c o s2 6 ，女：f 1 - 三坑 2 ，这一序列形式上等于表达式( 1 5 ) 。散射相移 f 。 厅 以p ) 依赖于奇异势的调整规定 8 】，只有线性于以。的项才是普适的。也就是说并不 依赖于特殊的调整规定的选择。 j 。p 。) = 等。+ o 。，) 2 ) q f 2 3 1 1 这一对应将在卢， l 和l i 1 的情形下成立，也就是说 0 ，即k 1 ) ，h 。斗宝色a - ：( 腙。+ c ) 。删哈密顿量( 具有以上离散形式 的动力学能量) 现在可以被以下的反复过程对角化： ( a )对于b 0定义一系列确定尺寸的哈密顿量： h ，：n - i 善。人- i n 。：i 。+ h c ) + k i s - + 咒厶t s + ) + + 等嘛晶一y 0