（光学专业论文）量子霍尔系统中的量子相以及量子相变的实验研究.pdf

摘要 摘要 从g a a s a l g a a s 半导体量子阱中二维电子气在极低温强磁场下量子输运的 实验出发，通过调节磁场大小、倾斜角度、电子气浓度、样品温度和射频场等外 加参数，测量霍尔样品的纵向电阻和霍尔电阻，研究了量了霍尔系统中存在的各 种量子相以及量子相变的问题。研究量子霍尔系统中这些相与相变的问题，不仅 有助于我们理解这些现象背后的相互作用，而且吏给我们提供了控制它们的技 术手段。考虑到其中的某些态可以用来做量子信息处理，我相信我们的工作将会 给未来实现基于二维电子气系统的量子计算机提供线索。 本论文的主要内容： 1 介绍了二维电子气系统在磁场下存在的经典的与量子的输运现象。基于不 可压缩的量子态以及无序的存在，给出了量子霍尔效应的一个理论解释。 2 介绍了量子霍尔系统中局域态扩展态相变的标度理论，同时实验上研究 了g a a s g a a l a s 量子阱单子带二维电子系统中的量子霍尔效应以及其平台 间的相变问题。 3 研究了g a a s a l g a a s 量子阱双子带二维电子气系统中的拓扑相图，并且发 现了因面内磁场导致的赝自旋量子霍尔铁磁态所发生的相变。 4 在双子带量子霍尔系统中，研究了朗道能级简并处的局域态与扩展态间的 相变的性质。 5 介绍了电阻探测核磁共振基本的原理和方法，研究了填充因子= 4 附近各 个赝自旋态的核磁共振信号的响应以及核自旋弛豫时间互。 6 对于博士期间工作的总结，以及对于进一步进行实验的展望，介绍了基于 量子霍尔系统的量子信息处理的最新进展。 本论文的主要创新点： 1 对于理论预言的标度函数进行了实验验证，指出临界相变的不同区域满足 不同形式的标度函数。 2 在双子带二维电子气系统填充y = 4 处，首次发现了一个由于面内磁场导致 的具有s u ( 2 ) 对称性的赝自旋量子霍尔铁磁态到具有s u ( 4 ) 对称性的一个未 知态的相变。 1 摘要 3 在双子带系统中朗道能级交叉混合处进行了标度行为的研究，指出对于特 定无序分布的样品，朗道能级的混合不会改变系统的标度行为。 4 对于赝自旋量子霍尔铁磁态进行了电阻探测核磁共振的研究，发现了仅 有e a s y a x i s 型的量子霍尔铁磁态对于n m r 的探测是敏感的，存在低能自旋 激发的迹象。同时发现了核磁共振信号的不对称分布。 关键词：量子霍尔效应、二维电子气、量子相变、标度率、量子霍尔铁磁体、核 磁共振、量子信息 i i a b s t r a c t a b s t r a c t s t a n i n gf r o mt h eq u a n t u mt r a n s p o r te x p e r i m e n t so ft w o d i m e n s i o n a le l e c t r d ng a s ( 2 d e g ) i ng a a s a l g a a ss e m i c o n d u c t o rq u a n t u mw e l ls y s t e mu n d e rc o n d i t i o no fl o w t e m p e r a t u r ea n dh i g hm a g n e t i cf i e l d ，b yv a r y i n gt h ep a r a m e t e r ss u c ha st h em a g n e t i c f i e l d ，t i l t e da n g i e ，e l e c t r o nd e n s i t y t e m p e r a t u r ea n dr a d i of t e q u e n c y ，t h el o n g i t u d i n a l a n dh a nr e s i s t a n c eo ft h eh a l lb a rs a m p l e sw e r em e a s u r e da n dw es t u d i e dt h e q u a n t u m p h a s e sa n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n sw h i c he x i s ti nq u a n t u mh a l ls y s t e m t bs t u d y t h ep h a s e sa n d p h a s et r a n s i t i o n si nq u a n t u mh a l ls y s t e m ，n o to n l yh e l p su su n d e r s t a n d m en a t u r eo ft h ei n t e r a c t i o nb e n e a lt h ep h e n o m e n a ，b u ta l s og i v e su st h et e c h n i q u e s t oc o n t r o lm e m c o n s i d e r i n gt h a ts o m eo ft h e s es t a t e sc a nb eu t i l i z e da st h ec a n d i d a t e f o rt h eq u a n t u mi n f o 册a t i o np r o c e s s ，it h i n ko u rw o r k sw i l lg i v eu sc l u e st or e a l i z et h e q u a n t u mc o m p u t e r b a s e do nt w o d i m e n s i o n a le l e c t r o ng a ss y s t e mi nf u t u r e t h em a i nc o n t e n ta n dc h a r a c t e r i s t i c so ft h i sd i s s e r t a t i o na r e1 i s t e da sf b l l o w s ： 1 d e s c r i b e dt h ec l a s s i c a la n dq u a n t u m t r a n s p o np h e n o m e n ao f2 d e gi nm a g n e t i c f j e l d b a s e do ni n c o m p r e s s i b l eq u a n t u ms t a t e sa n dd i s o r d e r ，w eg a v ea ne x p l a n a - t i o nt oq u a n t u mh a l le f 艳c t 2 i n t r o d u c e dt h es c a l i n gt h e o 巧f b rp l a t e a ut r a n s i t i o ni nq u a n t u mh a l ls y s t e m i n g a a s a l g a a sq u a n t u mw e uw i t hs i n g l es u b b a n d2 d e gs y s t e m ，w es t u d i e dt h e q u a n t u mh a u e f f e c ta n dt h ep l a t e a ut r a n s i t i o n 3 s t u d i e dt h et o p o l o g i c a l p h a s ed i a g r a mo fg a a s ，a 【g a a sq u a n t u mw e l lw i m t w o - s u b b a n d2 d e gs y s t e m f o u n dap h a s et r a n s i t i o no fp s e u d o s p i nq u a n t u mh a u f e r r o m a g n e t i cs t a t ew h i c hi si n d u c e db yi n p l a n em a g n e t i cf i e l d 4 s t u d i e dt h ep h a s et r a n s i t i o nb e t w e e nl o c a l i z e da n de x t e n d e ds t a t ei nt l l er e g i o n o fl a n d a ul e v e lm i x i n gi nt w o s u b b a n dq u a n t u mh a us y s t e m 5 d e s c n b e dt h ep r i n c i p l eo fr e s i s t i v e l yd e t e c t e dn u c l e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ( r d - n m r ) ，a n ds t u d i e dt 1 1 en m rs i g n a la n dn u c l e a rs p i nr e l a x a t i o nt i m e 五 i nt h et i l l i n gf a c t o r = 4w h e r et h ep s e u d o s p j nq u a n t u mh a l lf e r r o m a g n e t i c s t a t e sa r ew e i ld e v e l o p e d 6 p r o v i d e dt h es u m m a r yo ft h ew o r k sd u r i n gt h ep h dr e s e a r c h ，a n dg a v eap e r s p e c t i v ea b o u tt h ef u t u r er e s e a r c hw o r k s a n dt h er e c e n tp r o g r e s si nt i l eq u a n t u m i i i i n f b n n a t j o np r o c e s sb a s e do nq u a n c u mh a h s y s t e m ，e i ei n t r o d u c e d t 1 em a j nj n n o v a t j o n so ft h j sd i s s e r a i o na r es u m m a r i z e d a sf 0 1 l o w s ： 1 g a v ea ne x p 鲥m e n t a ls u p p o nf o rt h e o r e t i c a l 胛) p o s e d s c a l i n gf u n c t i o n s ，a n d p r o y e d h a cd i 晚r e n ts c a m l gf u n c t i o n sa p p l i e di nd i f f e r e n tr a n g eo ft h ec t i c a l r e g i o n 2 f j r s t i yf o u n dap h a s et f a n s i t i o na tf i 】l i n g 士- a c t o r = 4 ，w h i c hi si n d u c e db yi n p i a n em a g n e t i cf i e l da n dd u r i n gt h ep h a s et r a n s i t i o nt h ep s e u d o s p i nq u a n t u m h a l lf e n 0 m a g n e t i cs t a t ew i t hs u ( 2 ) s y m m e t r yc h a n g e si n t oa nu n k n o w ns t a t e w i m s u ( 4 ) s y m m e t r y 3 s t u d i e dt 1 1 e s c a l i n gb e h a v i o ri nt h er e g i o no fl a n d a ul e v e l s c r o s s i n gi nt w o s u b b a n ds y s t e m a n dg a v ea c o n c l u s i o nt h a tt h em i x i n go fl a n d a ul e v e l sd o e s n ，t c h a n g et h es c a l i n gb e h a v i o ro fs y s t e mf o ra 百v e nd i s o r d e rp r o f jl e 4 u s e dt h er d n m rt od e t e c tt h ep s e u d o s p j nq u a n t u m h a 】f e 玎o m a g n e j cs l a e ， a n df o u n dt h a to n l ye a s y a x i sp s e u d o s p i nq u a n t u mh a i is t a t ei ss e n s i t i v et ot h e r d n m rm e a s u r e m e n ta n dt h e r ei ss i g n a t u r eo fl o we n e 唱ys p i ne x c i t a t i o n a n d a tt h es a m et i m et h ed i s t r i b u t i o no fn m r s i g n a “sa s y m m e t r y k 叫w o r d s ：q u a n t u mh a l le f f e c t ，t w o d i m e n s i o n a le l e c t r o ng a s ，q u a n t u mp h a s e t h n s i t i o n ，s c a l i n g ，q u a n t u mh a f e r r o m a g n e t i s m ，n u c i e a rm a g n e t i cr e s o n a n c e ，q u a n t u mi n f 0 肌a t i o n 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本 研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名起零虫 2 口胡年宇月牛日 第1 章量子霍尔效应 第1 章量子霍尔效应 1 9 8 0 年，在s i 场效应管上，v o nk l i t z i n g 等人在极低温( 4 k 左右) ，强磁场下发现 了整数霍尔效应，并且因为发现这种新的宏观量子化现象而获得1 9 8 5 年n o b e l 物 理学奖【1 】。1 9 8 2 年，崔琦、s t o n n e r 和g o s s a r d ，在更低的温度( 几十到几百m k ) ，更 强的磁场下，在更高迁移率的g a a s a l g a a s 异质结上发现了分数量子霍尔效应， 这是一个典型的强关联系统。而后l a u 曲l i n 提出了分数量子雀尔效应的基态波函 数，为以后进一步的理论研究提供了坚实的基础。崔王奇、s t o 姗e 衍口l a u g h l i n 因为 他们对分数量子霍尔效应的发现与理论解释获得了1 9 9 8 年n o b e l 物理学奖【2 】。这 些发现和工作是二十世纪物理学中的辉煌成就，开创了凝聚态物理学的一个新 纪元。此后一系列的实验和理论的新发现，不断给人们带来激动人心的欣喜，同 时也对整个物理学的发展起着推动作用。量子霍尔效应中电阻的精确量子化导 致了对电阻标准的新定义，并且对于科学与技术的各个方面都有深刻的影响。 从一个更广泛的角度来看，量子霍尔效应的研究是物理学领域最活跃的部 分之一，量子霍尔效应的理论，涉及到现代物理学的许多基本概念，例如基态、 激发态、元激发及其分数统计、对称性破缺等。它的发展不仅来自凝聚态物理本 身，也得益于低温技术、半导体材料和器件、量子场论、拓扑量子计算等不同领 域研究者的共同贡献，同时也对上述其他领域有巨大的反馈和促进。最近几年 来，随着实验技术的发展，人们可以在半导体材料上制备出很纯净的二维电子系 统，而且可以很容易的进行人工调控，半导体量子结构中二维电子气系统的新的 奇特现象仍然在不断的被发现并研究着，不但为量子多体系统的物理研究提供 了新的机遇，而且作为一个良好的平台可以在固态量子信息处理中有巨大的潜 在应用价值。本章从基本的输运理论出发，比较系统地介绍整数量子霍尔效应、 分数量子霍尔效应及相关的概念。 1 1二维电子气系统 为了观察到量子霍尔效应，实现二维电了气系统( 2 d e g ) 是必须的。称之为 二维电子气是意味着，在其中的一个空间维度上，电子的运动是受限的，能量离 散成为一系列的有足够间隔的能级，而在另外两个空间维度上，电子的运动是准 自由的。二维电子气可以在多种系统上观察到，在半导体中通常出现在两类结构 中。第一种是金属氧化物半导体场效应管( m o s f e t ) 中的s i 反型层，这也是量 子霍尔效应最初被发现的体系【1 1 。一个典型的s i m o s f e t 是在p 型硅的表面上先 生长一层s i 0 2 的绝缘层，然后上面再设置铝质的金属栅极。当在栅极上加足够强 1 第l 章量子霍尔效应 b ) e l l z # 袋 匿 图1 1 ( a ) s i m o s f e t 器件。( b ) 能带示意图。 的正电压时，硅中的电子被吸引到s i s i 0 2 界面处，被限制在由于导带弯曲所形 成的反型层势阱内。反型层中的电子可以在层内自由运动，而在垂直方向被势阱 所限制，因此可以用来构成二维体系。 另外一个可以形成二维电子气的体系是g a a s a l g 俄s 半导体异质结。分数量 子霍尔效应就是第一次在这个体系中被发现的【2 l 。使用分子束外延的方法交替 生长g a a s 和a 1 x g a l x a s 薄层，并且在a l g a a s 中掺以施主杂质，而g a a s 层中不掺 杂。宽带隙a l g a a s 中的电子将向窄带隙的g a a s 中转移，以便两者的费米能级达 到同一水平，并在g a a s 一侧的势阱中形成电子积累的薄层。类似m o s f e t 反型 层，电子在平行界面的方向运行是自由的，而在垂直于界面的方向是受限而量子 化的，所以也构成二维电子气体系。 使用g a a s a l g a a s 半导体异质结构建二维电子气系统有很大的优势。由 于g a a s ，a l g a a s 结构中两种材料有几乎相同的晶格常数，晶体匹配相当完美，利 用分子束外延技术几乎可以获得原子级平整的界面，大大减少了界面缺陷和界 面平整度对于电子的散射。同时，超高真空生长保证了材料本身有高的纯度， 更重要的是，利用调制掺杂，施主杂质( 一般是s i ) 掺杂处于离界面一定距离以 外的a l g a a s 一侧，使二维电子气中电子感受到的库仑散射作用大大减弱，这些 原因极大地提高了二维电子气中的电子的迁移率，一般在1 0 4 1 0 6 c m 2 v s ， 这其是比s i m o s e f t 反型层优越的地方。我们的实验中所使用的样品，都是基 于g a a s a l g a a s 半导体异质结的二维电子气系统。 磁场加在垂直于反型层或异质结所在的界面方向，取磁场方向为z 方向，则 电子在该方向受到限制，只在平行于界面方向的x y 平面内运动。在z 方向上的 限制约束是由于电场造成的。s i m o s f e t 反型层中这个约束电场是栅极电压导 致，而在g a a s ，a l g 以s 异质结中，约束电场是由于a l g a a s 中的杂质离子所造成 的。z 方向的约束电场作用下导致了电子能量在z 方向上因运动受限而量子化，能 量形成一系列的子带忍，( i = 0 ，1 ，2 ，) ，当温度足够低( 4 k ) 且电子浓度小时， 只有最低的能量子带风被占据。而在x y 平面内电子可以自由运动。电子的能谱 2 第l 章量了霍尔效应 为 ( c ) q u 芝：u m w e a l g a a s ：s ia l g a a s 、 ， e e o 磷 一2 d e s 一一 图1 2g a a s ，a i g a a s 半导体异质结器件( a ) ，能带示意图( b ) 和量子阱能带结构示 意图( c ) 。二维电子气在g a a s 层中形成，能量在z 方向是量子化的，如果温 度足够低( b ( 毋一岛) ) ，则仅仅有最低的子带被占据。电子来自s i 掺 杂层，将二维电子气填充至费米面岛。 f 。，1 2 ( 十磅) e = 岛+ 泸 相当于严格的二维电子气。在固体中，这里的m + 取电子的有效质量，对 于g a a s 有仇+ 0 0 6 7 m 。，m 。是自由电子质量。 电子也可以被限制在量子阱里面，按照a l g a a s g a a s a i g a a s 的方式生长， 如图1 2 ( c ) 所示，二维电子气形成在夹在中间g a a s 层中，通过控制生长以及掺 杂的参数，可以得到对称性很好的量子阱。按照这样的思路，可以交替地生 长a l g 以s 与g a a s 并控制掺杂，可以形成两个或者多个量子阱相邻排列的情况， 每个量子阱中都可以形成二维电子气，这样来自不同量子阱中的电子可以通过 量子阱之间的势垒进行耦合，这就是多组分二维电子气系统，我们将在本论文后 面的章节中进行介绍。 3 第1 章量子霍尔效应 1 2 二维系统中的输运理论 1 2 1 经典输运模型 象一景( e + t ，b ) 一手 ( 1 2 ) 钐：一竺e( 1 3 ) 这里的n 。是电子密度，印称为d r u d e 电导率。将口代入则可以得到 锄：竺 ( 1 5 ) 舻恶 ( 1 7 ) ( 0 ，o ，见) 和e = ( b ，岛，o ) ，将其代入式( 1 2 ) 与式( 1 4 ) ，并且考虑系统达到稳定 巨虢 8 ， u 。：丝 ( 1 9 ) 第1 章 量予霍尔效应 矿= ( ：乏) ，p = ( 三：2 ) c - - 。， 满足关系歹= 口j e 7 与e = p 歹，则有盯j d = 1 。于是可以求出p 与盯矩阵元之间的变 换关系 如写5 若麓，陆一若麓 胁5 弧胁。一藏 o jd 以及 5 老麓，一麓 害5 蕊翟2 一蔬 a j 2 ) 可以看到如果陆掣0 ，则当电阻率m z 消失时，电导率口z z 也消失。考虑到e = 力， 观察( 1 8 ) 式，可以写出p 的矩阵元 石一岛可= 去，胁一眼= 等 ( 1 1 3 ) p z z 。岛可2 磊，p z 耖2 一p ! ，。2 石了 ( 1 1 3 ) 依据( 1 1 2 ) 式可以得到盯的矩阵元 z2 2 南，v = 一盯弦= 一端( 1 1 4 )z2 2r 订i 刀 v2 一盯弦5 一r 而 ( l 1 4 ) 在实验中直接测量的物理量常常是电阻和电阻率，我们再来看( 1 - 1 3 ) 式。同时考 虑式( 1 7 ) ，我们可以得到纯z 与迁移率之间的关系 跏= 忐 5 ， 而使用矩阵元j d z 掣，将霍尔电阻率定义为 朋= m 分= 嚣= 袅 ( 1 - 6 ) 霍尔电阻率p 何与磁场成正比，纵向电阻率胁不依赖于磁场，这就是经典霍尔效 1 - 2 2 样品质量的表征 如图1 3 所示，考虑一个处于垂直磁场b 中的长为l 宽为彬的矩形样品，电 流，沿x 方向流过样品，测量样品上的纵向电压k $ 与横向电压u ”，则纵向电阻 为忌z = 亿，霍尔电阻是r 日= 冗z 可= k 掣，。另外，使用测量所得的物理量， 可以将关系力= j e 7 写成 匕笔) = ( 嚣) 第l 章量子霍尔效应 w 图1 3 处于垂直磁场中的长为l 宽为阿的样品，电流，沿x 方向流过样品，测量纵 向电压k 。与横向电压k 可。 于是可以得到 一半专2 孙 m z2 百了2 i 。 ，1 j d 日= 阢! ，= 孚= 如 可见在二维系统中电阻与电阻率的量纲是一样的，而霍尔电阻率与霍尔电阻相 等，并不依赖于样品的具体尺寸。这种不依赖性，在量子霍尔效应中有深刻的影 响，保证了量子霍尔平台的电阻值可以精确地测量。 同时，我们可以通过测量经典霍尔效应得到几个重要的表征样品质量的参 数，考虑式( 1 1 5 ) 、( 1 1 6 ) 以及式( 1 1 8 ) ，我们可以得到系统的电子密度仉和迁移 率肛。 一老 ( 1 1 9 ) 肌2 赤 o 2 0 ) 其中电子密度的单位一般取为c m ，迁移率的单位是c m 2 ( s v ) ，这两个参量反 映了样品质量的好坏。 需要注意的是为了消除可能存在的提供磁场b 的磁体的磁滞的影响，可以 在经典霍尔区根据霍尔曲线的斜率利用他= 箍来计算电子密度。电子迁移 率p 。是在没有外加磁场即b = o 的环境下测得的。 1 2 3 无耗散系统 在这里的经典模型中，我们可以做一个有趣的假设，如果这个二维系统 是无耗散的，即电子在该系统中运动时不会被散射，则其平均自由时间无限 长( 1 - _ o o ) 。外磁场b 0 的情况下，对于式( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 取下趋近于无穷的极限， 同时考虑( 1 5 ) 式，可以很容易地得到口= o ，m z = o ，即纵向电导率和电阻率在 第l 章量子霍尔效应 有限的磁场下都消失。同时由式( 1 1 4 ) ，可以将盯。改写成 o oo z z 盯z 可2 一万+ 石 ( 1 2 1 ) 分一警 ( 1 2 2 ) 最终我们可以得到电导率和电阻率 盯= ( 善一手) ，p = ( 一羔言) c - 2 3 ， 电阻率与电导率的对角项均为零，此时电流密度歹严格地与电场e 垂直，系统是 无耗散的。我们将在后面量子霍尔效的应论述中见到这种无耗散系统的实例。 1 2 4 量子力学模型 如果电子在磁场中可以完成完整的回旋路径而不被散射，它将和自己干涉 并且经典的d r u d e 图像将不再适用。对于处于极低温强磁场中的高迁移率样品来 说正是这样的，因此采用量子力学的解法不可避免。 不考虑电子间相互作用，磁场中自由电子的哈密顿量为 日2 赤( p + e a 尸 ( 1 2 4 ) 我们可以将磁场的矢势a 选取为朗道规范a = ( o ，b z ，0 ) ，显然满足v a = b 三， 在这种规范下，哈密顿量变为 日2 焘：+ ( 鳓+ e b z ) 2 ) ( 1 2 5 ) 可见哈密顿量沿着y 轴具有平移不变性，在这种情况下，不失一般性可以将单粒 子波函数写为 皿( z ，可) = e x p a 庇可可) ( z ) ( 1 2 6 ) 假设样品大小为l 岛，在y 方向上使用周期性边界条件( z ，可) = 皿( z ，可+ 毛) ， 则乜所允许的值由b = 2 丌z 南也所给出，其中z 七= 0 ，土1 ，土2 ，相邻态在七空间 的间隔为b = 2 7 r 岛。使用这个波函数则可以得到( z ) 满足的薛定谔方程 ( 熹建+ 三械( z 咄) 2 ) 始) = 酬z ) ( 1 2 7 ) 其中= 一b 绉，依赖于磁场b 和b 。这里的回旋频率是 ：望( 1 2 8 ) 第1 章量子霍尔效应 与经典模型的结论一致。而磁长度为 1隋 冶2v 历 ( 1 2 9 ) 仅仅依赖于外加磁场b 。磁长度是量子霍尔效应中的特征长度，当磁场b = 1 t 时， 大约有f b 2 6 n m 。 方程( 1 2 7 ) 与线性一维简谐振子的薛定谔方程类似。对于每一个，振动中 心是= 一b 2 刍，可以得能量本征值为 1 鼠七= ( n + 去) 胁。，( 礼= o ，1 ，2 ，) ( 1 3 0 ) 厶 系统能量仅仅依赖于仡，而与无关，因此拥有共同量子数几却不同b 的态是简并 的，这意味着系统的能量有着很大的简并度。因此，根据量子理论，在x y 平面内 的圆周运动对应着简谐运动，其能量是量子化的。系统的态密度由一个常数变成 了一系列的如式( 1 3 0 ) 所给出6 函数形式，这些量子化的能级称为朗道能级。相应 的电子在x 。y 平面内运动的波函数为( 不考虑归_ 化系数) 沪刚劬) e x p ( 一譬) 巩( 警) 3 ， 这里的巩是厄米多项式。从这个结果可以出，波函数在y 方向是扩展的平面波。 而在x 方向上，波函数却是局域化的，围绕振动中心孤= 一b 唔做简谐振动，其 回旋半径或者延展尺度由磁长度2 b 所决定。 8 b=o b ob o d d s 图1 4 ( a ) 在外磁场b = 0 时，二维系统中形成的费米海，电子填充至费米能 级e f 处，能谱是准连续的。( b ) 存在外磁场b 时，系统能潜聚集成一系 列的简并度相同的朗道能级，电子在这些朗道能级上填充，能量间隔 为，l u 。( c ) 磁场增大时每个朗道能级由于电子自旋z e e m a n 分裂进一步分 成两个能级，图中显示了填充因子= 8 时的情况。 第1 章量子霍尔效应 考虑波函数皿n k ，在某一朗道能级n 上，不同的态能量是简并的。这些不同 的，导致波函数振动中心z 奄的不同，因此在坐标空间上是彼此分开的，相邻两 个振动中心的在x 轴上的间隔为z 七= z 刍b = 2 7 r 瑶屯。同时由于系统x 方向的 长度为也，则其可以容纳的态的个数为 眈= 畚= 器= 鑫“等 3 2 ， 其中a = 厶：毛为系统的面积，这个公式给出了朗道能级n 上的简并度舰。则朗 道能级单位面积的简并度为 一筹= 等 3 3 ， 死二5 百2 百 【1 j j ) 显然简并度并不依赖于具体的朗道能级的量子数n ，每个朗道能级的简并度都是 相i 一的，仅仅依赖于磁场b ，磁场越强简并度越大。 当电子在朗道能级上填充的时候，如果电子自旋没有分裂，则每个朗道能 级单位面积上可以填充的电子个数是2 几l ，但是实际上电子自旋在磁场中会发 生z e e m a n 分裂，此时系统的能谱由式( 1 3 0 ) 变为 取= ( 礼+ 云) 鼬。+ 夕。肛b b s ( 1 3 4 ) g a a s 中的有效夕因子g + 一0 4 4 ，弘b 是玻尔磁子，b 是外磁场，s = 士1 2 是电子 自旋量子数。在这种情况下每个朗道能级单位面积上只能容纳n l 个电子了。假 设系统中共有e 个自由电子，电子面密度为n 。= e a ，则这些电子可以填充的 朗道能级个数为 ：墨：旦：掣 ( 1 3 5 ) 2 2 一= i 【1 ，) j 扎l a亿工 e 上， 这里的称为填充因子，表示系统中电子填充了的朗道能级的个数。填充因子为 整数时，表示电子填充的最高朗道能级是刚好填满的。而填充因子为非整数时说 明最高填充的朗道能级没有被填满。图1 4 显示了二维系统的能谱在磁场中的变 化以及电子填充情况。没有磁场时二维电子气系统的能谱是准连续的。存在垂 直磁场时能谱聚集成间隔为的朗道能级，每个朗道能级都是高度简并的。由 于z e e m a n 效应的存在朗道能级中自旋简并度解除，每个朗道能级迸一步分裂成 两个能级。通常系统处于低磁场时，电子自旋未分裂，每个朗道能级包含两种自 旋的电子，磁场变强时，每个朗道能级才开始分裂成两个分别由不同自旋的电子 占据的能级，当磁场足够强时这两个分裂的能级才能完全分开。 1 2 5 外加电场模型 现在我们考虑在二维电子气系统中添加一个沿着x 轴方向的电场e ，则系统 哈密顿量为 日= 熹( p + e a ) 2 + e e z ( 1 3 6 ) 9 第l 章量子霍尔效应 锣，具有沿y 轴平移的不变性，系统波函数依然司以选取皿( z ，y ) = e x p ( z 如) ( z ) 的 形式，可得 ( 去定+ 丢m 蠢( z 一硝2 协) 北) = 酬。) ( 1 3 7 ) 其中 。奄一v 刍一箍一一e e ( 编+ 鑫) ( 1 3 8 ， 这个方程同样是一维简谐振子的薛定谔方程，只是振动中心z = 相对于无电场时 位置发生了偏移，能量也发生了一个依赖于b 的偏移忌。容易解得系统能量的本 征值 磊七：( 佗+ 丢) + 甄 却+ 乳埘( 鹕+ 箍) 。3 卯 以及波函数( 不考虑归一化系数) c 删愚x 蚺小x p ( 一譬) 风( 警) 4 。， 可见电场e 的存在，系统能量鼠奄不再与如无关，对于b 的简并完全消除。并且电 场的存在也造成波函数振动中心发生了偏移。 现在我们计算系统中电子运动的速度，考虑它的y 分量 ( 咖慨忌f 争扣麓 ( 1 4 1 ) e 觑召e 、7 = 一= = 一一 意b 而速度的x 分量 ( 啦( | 筹= o ( 1 4 2 ) 由于如= 一n 。e ( ) = n 。e e b 而五= 一礼。e ( ) = o ，同时考虑到电场e 沿x 轴方 向，可见电流密度j 与电场是垂直的。 当有个朗道能级刚好被填满时，利用式( 1 3 5 ) ，可以将电流密度用填充因 子z ，表示成九= e 2 e ，又因为关系e = 力，于是可以求出电阻率p 的矩阵元 p $ = 0 ( 1 4 3 ) 如掣2 画 至此，我们给出了一个反对称的电阻率张量 p = ( 一羔言) ( 1 4 4 ) 第1 章量了霍尔效应 相应的电导章张量为 ( 芸一) 对角项为零，因此电流在这个系统中流动是无耗散的 1 ，3 量子霍尔效应 13 1 量子区域的磁输运测量 图1 5 用于磁输运测量的霍尔棒器件示意图。图中暗色区域代表欧姆接触，直接 连接到g a a s 中的二维电了气。磁场垂直干样品加存源与漏之间的电流 的嘣过二维电子气流过样品，删量纵向电压u ：与横向电压k 。在量子 区域这两个电压都是磁场且妁雨数。 在实验中测量霍尔效应，通常采取网端法测堂，实际使用的标准的霍尔棒 样品形状如图15 所示，样品长度为宽度为w 。因为霍尔棒类似一个“桥”的形 状，也称为桥式样品。实验时在样品源漏之间加上电流，处于垂直于样品的外 加磁场b 中，分别测量纵向电压k ：与横向电压或者称为霍尔电压k 。，则可以得 到纵向电阻吼。= k ；，以及霍尔电阻r 月= 见。= k 。，。按照经典模型霍尔 电阻凰。= 日n 幽与磁场成线性关系，而丑。为常量不随磁场变化。 当系统处于低温强磁场环境中时，量子力学效应将会给二维电子气的 磁输运性质带来很大的影响，这些影响呈现着丰富的物理内容。图l6 是我们 在g a a 姒l g a a s 量子阱中系统中测量到的典型的磁输运曲线，该实验在t h e 制 冷机中进行温度17 k 。从图中可以看到，由于量子力学效应的影响，二维 电子气磁输运曲线大体上可以分为三二个区域。在低磁场的时候( 对于我们的 样品b o4 t ) ，二维电子气的行为类似经典情况霍尔电阻随着磁场线性增 第1 章量子霍尔效应 ，、 旦 、。一 叱爻 b ( t e s l a ) 图1 6 低温环境下( 1 7 k ) ，g a a s a i g a a s 量子阱二维电子气系统的磁输运曲线， 分为三个区域。当磁场比较小时观察到经典霍尔效应，吼。基本上不变 而兄”随着磁场线性地增大。随着磁场增大，系统进入s d h 震荡区域，量 子效应开始起显著作用，也。开始随着磁场的变化而振荡，而r 。偏离线 性。最后进入量子霍尔区域，r 。出现精确的平台，平台处的r 。变为零。 长，这是经典霍尔效应区域。注意在该区域，由于量子相干效应对于磁阻的修 正，见茁不再如经典情况那样不随磁场变化，而是可能出现弱局域化效应【”】。当 磁场大于o 4 t 的时候，二维电子气离开经典区域开始呈现出显著的量子行为。霍 尔电阻见甜开始偏离线性位置，纵向电阻如z 出现了很强的振荡。这个效应是德 哈斯范阿尔芬( s h u b n i k o v d eh a a s ( s d h ) 振荡) ，于1 9 3 0 年在铋金属单晶样品中发 现f 6 j ，这种振荡现在已经成为研究费米面的重要工具。如果把磁阻尼z 对磁场的 倒数1 b 做图，可以发现磁阻呈周期性的变化，振荡周期( 砉) 依赖于 ( 击) = 薏 。 4 6 ， 其中仉是电子自旋简并度，可以由这个关系来确定电子密度。具体计算过程 可以先将纵向电阻转换为磁场倒数的函数兄z ( 击) ，然后对其做傅立叶变换得 到s d h 振荡的频率居心，则系统电荷密度为 n 。= 学厶棚 ( 1 4 7 )n e = = 疗棚( 1 4 7 ) 当磁场继续增大，系统开始进入量子霍尔区域，这个区域最为显著的特点是 霍尔电阻尼掣出现宽的电阻平台，而平台处相应的磁阻兄z 降为零，系统电阻率 精确地满足式( 1 4 4 ) ，处于无耗散输运状态。图1 6 中虽然明确的划分了三个不同 1 2 第l 章量子霍尔效应 ，、 旦 、。一 爻 叱 b ( t e s i a ) 图1 7 磁场变化时的纵向电阻与霍尔电阻，温度为1 7 k 。在高磁场时可以观 察到霍尔电阻亿。最显著的变化就是出现了电阻平台，在这些平台区 域兄。”不随着磁场变化，相应的冗。为0 。这些电阻平台是精确地量子化 的，( 1 ) e 2 ，对于整数的填充因子l ，。而对于分数的p 值来自于电子电 子间相互作用。 区域，但是实际上这三者之间是没有明显的分界的，系统平滑的从一个区域进入 到另外一个区域。 现在我们把精力集中在量子霍尔效应区域。如图1 7 所示，磁场由o t 变化 到1 3 t ，系统显示出了明显的量子霍尔效应。霍尔电阻随着磁场的变化出现了一 系列的具有一定宽度的电阻平台，在这些平台上的电阻值精确地满足 。 九 月工2 万 ( 1 4 8 ) 当这里的填充因子为整数时称为整数量子霍尔效应( i q h e ) ，最初由德国物理 学家冯克利青于1 9 8 0 年发现【1 7 j ；为分数时则为分数量子霍尔效应( f q h e ) ， 最初由崔琦等人于1 9 8 2 年在g a a s a l g a a s 半导体异质结中发现【2 ，8 ，9 1 。令人惊奇 的是吃掣的平台值与九e 2 的相对误差可以小于1 0 - 8 的数量级【l o ，l l 】，而且与材料 体系( 是s i m o s f e t 反型层还是半导体异质结) 、载流子导电类型( 是电子还是 空穴) 、样品的几何参量( 大小和形状) 等无关，是一个普适现象。因此现在已 经将y = 1 处的量子霍尔电阻h e 2 作为电阻的计量标准，称为冯克利青常 数( 兄k = e 2 = 2 5 8 1 2 8 0 7 q ) 。 1 3 第l 章量子霍尔效应 图1 7 中显示的量子霍尔效应曲线，可以分辨的霍尔平台到= 1 0 附近。平 台= 1 到= 4 可以清晰分辨。平台处对于的r 茁= 0 。l ，= 3 2 处对于分数量子 霍尔效应霍尔平台，在更低的温度情况下该平台将会变得更加明显。当磁场较小 时b 3 丁，仅仅有偶数量子霍尔平台的出现，这是由于电子自旋没有分裂的缘 故，在= 4 与= 6 之间可以看到z = 5 平台出现的迹象。当磁场大于3 t 时，电 子自旋开始分裂，从图中可以看到= 3 处兄 平台较窄，并且如霉o ，这是由 于z e e m a n 能级没有完全分裂开来，两个能级之间仍有一定的交叠。 1 3 2 整数量子霍尔效应 下面我们将给出对于整数量子霍尔效应的一些较为直观的解释，以便说明 精确量子化的霍尔电阻平台的产生原因。一般情况下这些解释都要考虑到朗道 能级的形成，低温环境( b t r 时相邻的朗道 能级可以分辨出来。 一定宽度霍尔平台的重要因素。 需要注意的是，这里的解释并不是完美的。既然无序导致朗道能级中的一部 分态转换为局域态，对于电导不再有贡献，那么剩下的对电导有贡献的扩展态的 数目必然会减小。这样一来不同无序程度的样品，不可能保持霍尔平台电阻值的 精确一致性。然而实验中所观察的结果却是，平台处见”精确地等于值九e 2 ，与 系统中无序程度无关。因此仍然有更深层次的物理机制未被上面的解释所考虑。 1 3 3 分数量子霍尔效应 和整数量子霍尔效应不同，为了观察到分数量子霍尔效应( 图1 9 ) ，要求样品 中的无序尽可能少，迁移率尽可能高。另外一方面，从物理机制来看，分数量子 1 5 第l 章量子霍尔效应 “ 口 皇 叠 t m a g n e t i cf l e 旧f d 图1 9 分数量子霍尔效应的输运测量曲线。由于整数和分数量予霍尔效应的存 在，使得霍尔电阻偏离经典霍尔曲线( 图中虚线) 而呈现出一系列的电阻平 台，平台处相应的纵向