（计算数学专业论文）有理样条插值的研究.pdf

有理样条插值的研究 摘要 ，本文分成两部分。第一部分对有理插值样条有关问题进行了分析，并在此 基础上构造了一种带参数的分母为线性的四次有理插值样条。事实上，这种有 理插值样条曲线是c 2 连续的四次多项式样条的成功推广。把四次有理插值样条 函数的连续性降为c 2 连续就可以提供额外的自由度，这对于控制曲线的形状具 有更大的灵活性。另外，给出了c 2 连续的四次有理插值样条曲线所满足的连续 性方程，并提出了确定自由度的方法，此方法的特点是使所构造的四次有理插 值样条曲线具有三次多项式插值精度，且需满足的c 2 连续性方程是三对角占优 势的。最后给出了几个实例及样条曲线图形。 第二部分首先对向量值有理插值的算法进行了分析研究。然后利用插值型 值点复数化的方法及向量值连分式的向后三项递推关系式讨论并给出了二元向 量值有理插值的一种新算法。所得算法的特点是避免了使用分叉连分式，最后 用数值例子说明了这种算法的有效性和灵活性。 关键词：四次有理插值样条，插值精度，向量值有理插值，算法，向后三项 递推关系式 t h er e s e a r c ho i lr a t i o n a ls p l i n ei n t e r p o l a t i o n a b s t r a c t t h e r ea r et w os e c t i o n si nt h i sp a p e r i ns e c t i o no n e ，ak i n do fr a t i o n a lq u a r t i c i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nw i t hl i n e a rd e n o m i n a t o ri s d e r i v e do nt h eb a s eo fa n a l y s i s a b o u tt h e q u e s t i o n o fr a t i o n a l s p l i n e i nf a c t ，t h i s r a t i o n a l q u a r t i cs p l i n e i st h e s u c c e s s f u lg e n e r a l i z a t i o no fq u a r t i cp o l y n o m i a ls p l i n e i fw ed e c r e a s et h es p l i n e s c o n t i n u i t yt oc 2 ，i tc a np r o v i d ea d d i t i o n a lf r e e d o md e g r e e s ，a n dt h i si sv e r yu s e f u l f o rs h a p ec o n s t r a i n ti nc u r v ed e s i g n i na d d i t i o n ，t h ec o n t i n u i t ye q u a t i o n sf o rt h i s c 2r a t i o n a l q u a r t i cs p l i n e a n dt h em e t h o df o rd e t e r m i n gt h ea d d i t i o n a lf r e e d o m d e g r e ea r eg i v e n a n dt h ec h a r a c t e r i s t i co ft h i s m e t h o di st h a ti tc a l lm a k et h i s r a t i o n a lq u a r t i cs p l i n eh a si n t e r p o l a n tp r e c i s i o no fc u b i cp o l y n o m i a l m e a n w h i l e t h e c o n t i n u i t ye q u a t i o n s f o rt h i sc 2r a t i o n a l q u a r t i cs p l i n e b e c o m et r i d i a g o n a l s y s t e mo fe q u a t i o n s a tl a s t ，s o m ee x a m p l e sa n df i g u r e sa r eg i v e n i ns e c t i o nt w o ，t h ea l g o r i t h m so fv e c t o r v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t sa r es t a t e d g e n e r a l l y t h e nan e wa l g o r i t h mo f b r i v a t ev e c t o r - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t sb y m e a n so f c o m p l e x i f i c a t i o n o ft h ek n o t sa n db a c k w a r dt h r e e t e r m r e c u r r e n c e r e l a t i o n si sg i v e n t h i sa l g o r i t h ma v o i du s i n gb r a n c h e dc o n t i n u e df r a c t i o n s f i n a l l y ， i t sv a l i d i t ya n df l e x i b i l i t ya r ed e m o n s t r a t e db ys o m ee x a m p l e s k e y w o r d s ：r a t i o n a lq u a r t i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，i n t e r p o l a n tp r e c i s i o n ，v e c t o r 。 v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t s ，a l g o r i t h m s ，b a c k w a r dt h r e e - t e r m r e c u r r e n c er e l a t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加咀标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得盒目蛩王些盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒蟹王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 月b 兰些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名 签字日期：年月日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 电话 邮编 ，日 虬矽 驯 r 茕 少水，雌 致谢 首先，衷心感谢我的导师尊敬的朱功勤教授，在我研究生学习期间，无论 在学习、思想，还是生活上，导师都给予了我耐心细致的教导和无微不至的关 怀。朱功勤教授不仅对我的学业严格要求，而且在与我日常的谈心过程中教会 了我许多做人的道理，他渊博的专业知识和伟大的人格魅力，使我在做人和做 学问两方面都得到了很大的提高。在论文的选题、研究及攥写过程中，导师都 倾注了大量的心血。导师诲人不倦的高尚师德，认真严谨的治学态度，将使我 受益终生! 感谢苏化明教授、邬弘毅教授、檀结庆教授、黄有度教授、汪泉副教授、 朱晓临副教授等老师们在我研究生学习期间给予的悉心关怀和热心帮助，以及 学业上对我的教诲和指导! 感谢2 0 0 1 级研究生刘智秉、许如星、刘长明、余宏杰、苏本跃、王圣东、 汪峻萍、钱开燕、张莉、刘植、徐怀、钱建发等同学给予的帮助! 我还要感谢我的父母，是他( 她) 们长期默默的付出和全力支持，才使我能 够顺利完成学业，在此表示我由衷的感谢! 最后感谢所有帮助过我的亲人、老师、同学和朋友! 作者：闵杰 2 0 0 4 年4 月1 0 日 第一章引言 1 1 有理插值样条 有理函数逼近是非线性逼近研究领域的一个重要分支，因为有理函数属于 简单函数类，它比多项式复杂，但用它近似表示函数时，却比多项式灵活，更 能反映函数的一些特性。例如，对于具有极点的函数，即f ( x ) 在某点附近无 界，厂( x ) 趋于某一定值时，采用多项式作为逼近工具是不大合适的。而采用多 项式函数的推广一有理函数作为逼近工具是很有效的，它不但可以在极点附近 取得很好的逼近效果，而且又能保证z 斗0 0 时有理逼近函数趋于某一定值的性 能。所以近三十年来人们在数值逼近、函数近似表示以及c a g d 中更偏爱有理 函数。 自1 9 4 6 年美国数学家s e h o e n b e r g 提出样条函数以来，样条函数以其构造 简单、易于计算、又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、工程设 计以及计算机辅助几何设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。 多项式样条函数可以说是应用最广的一种样条函数。作为样条函数和有理逼近 的结合一有理样条函数，既是有理函数逼近的重要组成部分，同时又是多项式 样条的一种自然推广，兼顾了二者的优点，且使用更为灵活，更具一般性。如 同有理插值一样，用有理样条函数逼近有极点的函数较好。例如人造地球卫星 的轨迹计算中常用到的一种高空大气模型 b r 如) 剐- + 寿，x n 如果采用有理样条函数逼近是很合适的；再如v e r s p r i l l e 等研究了有理b 样条 方法，为建立n u r b s 方法提供了理论依据。由此可见将多项式样条函数推 广到有理样条函数是十分有意义的。 经过许多作者的努力，有理样条的理论得到了很大的发展，构造出了许多 种类型的有理插值样条，得到了很好的结果。在有理样条的研究中，r s e h a b a c k 在【2 】中通过非线性方程组的解构造了( 2 2 ) 型有理插值样条。王仁宏和吴顺唐 从某些实际课题出发，构造了几种具有线性结构的有理插值样条格式及几个特 殊类型的有理样条插值，还讨论了它的解析性质【3 1 。朱功勤、檀结庆等则主要 在多元有理插值样条方面取得了一系列的结果，在 6 】 7 】中许多零碎的东西得以 总结、归纳、深化。m s a r f r a z 分别在 酗 9 中构造了分母为三次和二次的参数 有理插值样条，并研究了其一些性质。在国内，段奇等人在【1 0 1 1 】中构造了分 母为线性的三次参数有理插值样条，在形状控制中得到了很好的应用。至于四 次有理插值样条的研究却不是很多，叶懋东在【1 2 】中则建立了一种具局部性质 的分母为二次的四次有理插值样条，一个剖分子区间上的有理插值式只与邻近 区间上的插值点值有关，一个插值结点上的数值变动只影响其邻近的局部范围。 除此还有很多种类型的有理插值样条，但由于有理样条函数空间的复杂性，所 以有关它的研究成果不象多项式样条那样完美，有些问题还值得进一步的研究。 1 2 向量值有理插值 借助于连分式研究有理逼近是一个非常重要的方法，至今，连分式理论的 发展已经历了三百多年的历史。1 5 7 2 年，r 蓬贝利首次引用连分式来逼近无理 数3 ，后来的许多数学家如e u l e r ，l a g r a n g e ，g a u s s 都为连分式的发展作出了重 大贡献。 八十年代初，w s i e m a s k o 提出了不同类型的二元分叉连分式插植值格式， a c u y t 通过定义多元逆差商和多元偏倒差商构造了一种对称的二元分叉连分 式的展开和逼近。而最先提出向量有理插值问题的是p w y n n ”】，他注意到：如 果把占一算法应用到向量上并实施s a m e l s o n 逆变换，就能得到与数量一样的精 确结果。 随后，p r g r a v e s m o r r i s 从机械振动中有关“振动膜”这一实际问题出发， 借助一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换，提供了一种向量有理插值的 t h i e l e 型分解方法，从而建立了一元向量连分式的插值理论 1 4 1 ”】【1 6 i 在此基础上， 他们也对有关算法问题、有向向量有理插值以及向量有理逼近等问题作了开拓 性的研究。 而将一元向量值有理插值向二元向量值有理插值的推广则是由国内朱功 勤、顾传青、檀结庆等完成的。在文 1 7 【1 8 】【1 9 中利用s a m e l s o n 逆，引进了向 量的偏反差商，首次将一元t h i e l e 型向量值有插值推广到二元的情形，建立了 二元t h i e l e 型向量值有理插值概念并证明了相关性质。此后相继研究了各种插 值格式上多种类型的二元向量值有理插值，取得了丰硕的成果。 实践证明，采用向量连分式作为有理逼近工具具有很大的实际应用价值。 主要因为向量连分式具有很强的构造性特点，各种类型的连分式都有系数算法， 可以一步一步地递推计算出来，易于在计算机上实施计算。可以预期随着对向 量连分式研究的深入，作为一种非常有效的逼近工具，向量连分式将在今后的 理论研究和实际应用中发挥越来越大的作用。 1 3 本文所做工作的概述 在本文中，我们主要针对有理插值样条及向量值有理插值的算法中的某些 问题进行了研究，主要结果如下： 1 、在带参数的有理插值样条类型中，常见的是分子是三次或二次的有理插 值样条，但四次有理插值样条的研究还很少见到。而在 1 2 中构造的局部 四次有理插值样条具有插值精度低、缺乏整体性等缺点。本文构造了一 种带参数的分母为线性、分子为四次的有理插值样条，并研究了它的性 质，得到了一些有意义的结论。 2 、在传统的二元向量值有理插值的算法研究上，多采用分叉连分式作为工 具。本文利用插值型值点复数化的方法讨论并给出了二元向量值有理插 值的一种避免使用分叉连分式的新算法。 本文共分三章，具体安排如下： 第一章、简要介绍了有理插值样条的研究现状和意义以及向量值有理插值的 历史和主要成果。 第二章、构造了一种带参数的四次有理插值样条，将其降为c 2 连续就可以提供 额外的自由度，而这在形状控制中是非常有用的。另外给出了c2 连续 所满足的方程以及确定自由度的方法。最后给出了实例及其图形。 第三章、利用插值型值点复数化的方法讨论并给出了二元向量值有理插值的 一种新算法。所得结果避免了使用分叉连分式，具有更好的有效性和 灵活性。 第二章关于有理插值样条的研究 传统的有理插值样条函数是一种固定的格式，这是因为被插值数据一旦给 定，那么就意味着所求的插值曲线是固定的。如果我们想要调整一下插值曲线 的形状，则这些插值数据就必须要修改，这样就显得非常麻烦。于是怎样在给 定的插值数据不变的前提下去调整插值曲线的形状成为一个极具现实意义的问 题。基于这种思想，在样条函数中加入参数成为人们感兴趣的一个方向。因为 有了这些参数就相当于给样条函数提供了额外的自由度，如此以来提高曲面曲 线的插值精度和调整其形状就显得非常容易了。并且参数越多，这些有理插值 样条在外型控制中就越灵活，但是正是由于这些参数，使它们的逼近的研究增 加了困难。 近几年来，不少作者已经研究了很多种类型的参数有理插值样条函数。特 别是三次有理插值样条( 这里的三次有理插值样条函数指分母为一次，分子为 三次的有理插值样条函数) 的研究以及它们在外型控制中的应用已经有了不少 工作，取得了很多成果“”1 。而四次有理插值样条因为所花费的计算量太大且 使用上很不方便而很少有人研究。但是我们的实例表明在某些情况下有理四次 插值样条确实能给出更好的结果，这将在本章中给予介绍。 本章的内容是这样安排的：第一节简要回顾一下有理样条函数的定义、表 现形式；第二节介绍一种典型的三次参数有理插值样条函数及其性质；第三节 介绍一种具有局部性质四次有理插值样条函数及其特点；第四节构造了一种带 参数分母为线性的四次有理插值样条函数；第五节研究了这种四次有理样条函 数的性质及其应用。 2 1 有理样条函数的定义及表现形式 设有理分式函数r ( x ) = p ( x ) q ( x ) ，其中p ( x ) 日，q ( x ) h i 分别为x 的次数 不超过，和z 的多项式，所有的集合记为r ，。 定义2 1 1 设为区间【d ，6 脚一个剖分a ：a = 而 x x n = b ( 2 1 1 ) ( 并不排除口= - - 0 0 ，b = + 。) 如果定义在区间陋，b 】上的实函数r ( x ) 满足如下条件： ( 1 ) 在每个子区间 x ，x ，+ i ( = 0 , 1 ，以一1 ) 上，r ( 功r 叫； ( 2 ) 在整个区间 口，6 】上，函数月( x ) c 口，6 ， 则称函数r ( 工) 为区间 口，明上关于剖分的( r ，矿阶( 或p ，) 型鼢) 有理样条 函数，并把所有( r 1 ) 型骱有理样条函数的集合记为r “( ) ，简记为 尺舶，j x o ，一，x ，x n 称为有理样条节点。 4 由定义知有理样条在每个子区间x ，_ + 。】( _ ，= 0 , 1 ，z 一1 ) 上都是一个有理分 式函数，因此，它不能像多项式样条那样直接用递推的方法给出它的表达式。 为此我们先给出有理分式函数r ( x ) 的一种表示形式，然后利用它来导出一般有 理样条函数的表示。 引理2 1 1 2 0 1 设【口，6 】，r q ( x o ) 0 ，则r 一中任一函数r ( x ) = p ( x ) q ( x ) 均 可表示为( k ，一1 ) 荆= 妻华”划m 刮“舞， ( 2 - 1 2 ) 其中f ( x ) 为次数不高于m a x ( r ，k + z ) 一( k + 1 ) 的多项式。 定理2 1 2 r “吖中的任一有理样条函数均可表示为 弛，= 器+ 茎茄矿1 c z 瑚， 其中m ，( 功日，+ ，一。完全由只( z ) ，q ，( x ) 和r ( z ) 在x ，处的前女阶导数值所完全确定。 定理2 1 2 给出有理样条函数的一般表达式。事实上我们可以证明能表示 成式( 2 1 3 ) 的函数g ( x ) ，一定是有理样条函数，即 定理2 1 3 1 若定义在区间【盯，6 】上的实函数尺( z ) 可表示为( 2 1 3 ) 式的 形式，当m ，( x ) 日h * 】时，则r ( x ) r ( “，小 证明：首先把 一_ ) “1 m 。( x ) 分解成 ( 了一x 1 ) “m l ( x ) = 最( z ) q 1 ( x ) 一只( 工) q 2 ( z ) 这里墨( z ) ，q 1 ( z ) 及q 2 ( x ) 为已知。再注意m ，( x ) 日。+ 。是已知的，所以可用待定 系数法确定马( x ) 。再把 一x 2 ) “1 m ，( 工) 进行分解 0 一z ：) “1 鸠( 印= b ( 功鲮( 砷一只0 ) 2 0 ) ， 在假定q 3 ( x ) 为已知的条件下，并注意b ( x ) 已求出，便可用待定系数法确定 p d x ) 。依次类推将 一一。) “1 m 。( 卫) 分解成 一x 。) “1 l 厶一，( 工) = 只( 力q 一，( 曲一只一，( q ( ， 用待定系数法可定出只( 工) 注意到 q ( x ) h i ( i = l ，2 ，一，胛) ，便矢口只( x ) h ，( f = l ，2 ，l t ) 兰j x x j ，x j + 1 ( ，= 0 , 1 ，。一，胛一1 ) 时， r ：盟+ 争( 兰也一盟1 ：垒盟 、7 q l ( x ) 耋彳、q 。( x )q j ( x ) 。q ，+ ( x ) 于是r ( x ) r 叫。另外，当i = 1 , 2 ，n - 1 ，m = 0 , 1 ，后时，有 阻兰坠丛t ”l _ o lq i ( x ) q , + ( x ) j l 所叫器r i = 脚押l 故r ( x ) r “，。 在定理2 1 3 的证明过程中，我们假定g ( 工) 是已知的，似乎有点特殊，下 面我们用代数的方法可同时确定只( x ) 和q ，( x ) ( f = 2 , 3 ，一) 。 定理2 1 4 t 2 ” 给定区间k ，6 却一个剖分及样条函数 器嘻州引+ 其中丑( x ) h ，q 】( x ) h ，鼻( x ) q l ( x ) 是既约的，m ，( x ) h “* l ，则可以构 造形如( 2 1 3 ) 的实函数r ( x ) ，使r ( x ) r “( ) 。 上面介绍了有理样条函数的一般定义及表现形式。关于一元有理样条函数 的研究还有很多内容，在此就不详细介绍了，其详- n 内容可参考文献2 0 。 6 2 2 三次参数有理插值样条 在 1 0 中构造了一种分母为线性的三次有理插值样条，在其表达式中引入 参数，正是由于这些参数，使得有理插值样条在外型控制中充分显示了它的灵活 性：但是也正是由于这些参数，使它的逼近性质的研究增加了困难。下面就来介 绍其有关结果。 1 三次有理插值样条的构造： 给出数据骶，d ，) ，f - 0 , 1 ，”+ 1 ) ，其中：，d 。分别为被插函数厂( f ) 在分划点 t ，处给出的函数值和导数值，此处，t o r 1 f 。 f 是分划点，记h 。= t i + l t 。以 及0 = p t t ) h t ，且令t 2 ，和屈是正的参数。定义【岛，乙 上的分母为线性的有理三次 样条如下： 酬。k 。】2 丽p i ( t ) ，j = 。如，挖 ( 2 2 1 ) 此处 p ，o ) = ( 1 一臼) 3 口；，+ 臼( 1 一拶) 2 t + 口2 ( 1 一目) 彤+ 曰3 屈z + l g ，( f ) = ( 1 一e ) a ，- i - 够， 且 k = a ，h ，d + ( 2 口。+ 屈) z ， 彬= 一p , h dl + ( 口，+ 2 屈) ，m 容易看到，对给定的数据及选定的正参数口。和屈，如上所定义的有理插值函 数满足 p ( f ，) = ，p ( r ，) = d 。，i = 0 , t ，n + 1 因此它是 t 0 上c 1 连续的分段有理插值样条。 显然，当口，= 历时p ( r ) 就为标准的三次h e r m i t e 插值样条曲线。进一步若 d ，i = 0 , 1 ，聆是未知的，此时我们可以令 p 。纯+ ) = p ”( t i - - ) ， i = 1 , 2 ，芥一1 则有理插值样条p ( r ) 就变为c 2 连续的曲线，于是就有了下面的三对角线性方程 组： 啊净一岬+ 净缸羽+ 和岫每+ ， 亿： ：魂一t ( 1 + 2 f l ) a ，+ 曩( 1 + 2 争) 芦t ；f = l ，2 ，一，n 1 其中 a 。= ( z + 一f ) h ， 7 化为： 如果插值结点是等距的，即h ；= h ，( i = 1 , 2 ，h 一1 ) 时，则( 2 2 2 ) 式就简 静一t + c z + 筹+ 铷+ 缸 - ( 1 + z + ( 1 + z 筹；础，州 ( 2 2 3 ) 再进一步，当口，= 届时，( 2 2 3 ) 式就变为如下著名的三次样条的三对角线性 方程组： d h + 4 d , + 吐+ l = 3 ( a 。+ ；一1 )( 2 2 4 ) i = 1 , 2 ，一，n 一1 2 三次有理插值样条的逼近性质： 设被插函数( f ) 在插值区间上是c2 连续的，则对上述有理插值样条有如下 的误差估计定理： 定理2 , 2 1 设厂( r ) c 2 口，胡，给出数据舷，l ，：，d 。t i = o ，1 ，n + 1 k 其中，z 分 别为被插函数，( f ) 在分划点f ，处给出的函数值和导数值，此 处， o ，定理2 2 1 中的最优误差常数c ， 是有界的，且 上c 。玉堂( 2 2 7 ) 1 6 2 、7 由定理2 2 3 可以看出由( 2 2 1 ) 式定义的三次有理插值样条曲线具有很好 的逼近性质。 3 三次有理插值样条在曲线控制中的应用 设f ( t ) 是被插函数，令p ( t ) 是f ( t ) 在f f 。，。 上由( 2 2 1 ) 式所定义的三次有 理插值样条函数，g ( t ) 是 ，o ，f 。 上定义的线性函数，或以t o t 。 f 。 f 为分 点的分段线性函数，数据 ( f 。，：，d ，l f _ 0 , 1 ，胛+ 1 k 满足 ，( 或) g ( f 。) ，i = 0 ，1 ，2 ，- ，胛 如果对所有f “，r 。 均有尸( r ) ( 或) g ( f ) ，i = 0 ，1 ，2 ， 则p ( f ) 称作被约束于g ( f ) 之上( 下) 的三次有理插值函数，g ( t ) 被称作下( 上) 约束曲线。 下面，我们假定分划为等距的。并将三次有理插值函数作为约束插值工具， 容易得到下面的上约束插值条件定理。 定理2 2 4 给定数据砸。，z ，d ，g ，l f _ 0 , 1 ，n + 1 ，且，g t 这里g 。= g ( t ，) ，则 由( 2 2 1 ) 式所定义的三次有理插值样条函数p ( ，) 在p ，r 。 上位于直线段g ( f ) 之 下的充分条件是：正参数口，屈满足如下不等式组： 口，( 2 ，+ h , d ，一g ，一g 川) + 屈( ，一g 。) 0( 2 2 8 ) 口，( ，“一g ，“) + 属( 2 z “一h i d ，+ 1 一g ，一g 。“) 0( 2 2 9 ) 、 证明：由( 2 2 1 ) 式容易看到，在f f 。t + l 】上，吼( f ) = ( 1 0 ) 5 + o f f , 0 ， 于是， 即) = 鬻q 珊)，l 等价于 p ，0 ) 一q ，o ) g u ) 0 令 互( t ) = p ，( t ) 一q ，( t ) g ( t ) 于是 z 。( f ) = ( 1 一目) 3 “，+ 臼( 1 一口) 2 t + 0 2 ( 1 一目) 彬+ 03 卢。，+ l 一 ( ( 1 一o ) a 。+ 岛e ) ( ( 1 一o ) g ，+ o g f + 1 ) s 0 ( 2 2 1 0 ) 因为 ( ( 1 一印口。+ 岛谚) ( ( 1 一o ) g ，+ o g ) = ( 1 一目) 2 口，g ，+ 0 ( 1 一目) ( 口。g ，+ l + 屈g ，) + 0 2 屈g f + 1 = ( 1 一目) 3 0 t ，g ，+ o ( 1 一口) 2 ( 口g 】+ 卢；g ，+ 口。g ，) + 护2 ( 1 - o ) ( a ，g 川+ 屈g ， + 屈g j + 1 ) + 0 3 属g ， 故( 2 2 1 0 ) 式变为 z ，( r ) = ( 1 一口) 3 口，( ，一g ，) + 目( 1 一目) 2 互+ 口2 ( 1 一口) f + 口3 屈( ：+ i g 。“) 这里 e e = a | ( 2 f + h | d i g t g i + 七p l t f ! 一g ? 、， e = 口。( ，。一g 。) + 屈( 2 f 。一曩d 。一g ，一g 。) 又因为 ( ，一g ，) 0 ， 尼( z + l g + 1 ) 兰0 ， 如果es o ，e o ，则有u 。( r ) o 对所有，【t i ，r 。 均成立，于是该定理成立。 类似于定理2 2 4 的证明，对于以“下约束”的情况，设g ( f ) 是下约束曲线， 且为，。】上定义的线性函数或以“ f t 。 t 。为分点的分段线性函数， 可有下述充分条件的定理。 定理2 2 5 给定数据妊，d ，g ，+ i i = o ，l ，n + l 且z g ；这里g ，= g ( f ，) ， 则曲( 2 2 1 ) 式所定义的三次有理插值样条函数p o ) 在 t ，r 。】上位于直线段g ( ) 之上的充分条件是，正参数口，屈满足如下不等式组： 瑾，( 2 l4 - 。d 。一g ，一g l + 1 ) + 卢。( z g ，) 0 ( 2 2 1 1 ) 口。( ，“一g 。“) + 屈( 2 l + i h , d + l g 。一g i + 1 ) 0 ( 2 2 1 2 ) 1 0 由定理2 2 4 和定理2 2 5 可得下面“上下同时约束”的定理 定理2 , 2 6 给定数据托。，d ，g ，g ，+ l f - 0 ，1 ，挖+ 1 且g 。+ z 哥则由 ( 2 2 1 ) 式所定义的三次有理插值样条函数尸( f ) 在 t it i + 。 上位于直线段g ( r ) 之下 且位于直线段g ( f ) 之上的充分条件是，正参数a ，卢，满足如上所述的不等式组 ( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) 由( 2 2 1 ) 式所定义的三次有理插值样条函数p ( f ) 在h t 。 上位于直线段 g ( r ) 的下方、或直线段g + ( r ) 的上方、或二者之间的充分条件，分别由定理 2 2 4 - 2 2 6 给出。从中我们可以发现三次有理插值样条函数可以灵活的控制曲 线的形状。但是必须要指出的是满足约束条件的有理插值函数的存在性取决于 对应不等式的可解性，有些情况下可能找不到这样的正参数口和f l , 满足不等式 组，使得对这种有理插值曲线的控制受到一定的限制。 类似地可以得到将插值曲线约束于两给定抛物线( 即二次曲线) 之间的有 关结论。详细讨论可参看文献 1 0 1 。 在结束本节之前顺便指出，在文献 1 1 中构造了一种仅基于函数值的三次 有理插值样条： 酬h “r 鬻瑚1 一，n ( 2 2 1 3 ) 此处， p 。( r ) = ( 1 一目) 3 口，+ 0 ( 1 一回2 k + 0 2 ( 1 一目) 形+ 目3 屈：+ i g ，( f ) = ( 1 一o ) 5 。+ o f f , ， 且 k = 口。，“+ ( 口，+ 属) ， 形= 一f l , h al + ( 口，+ 2 屈) ，+ i ， ，= ( ，。一z ) 曩； 容易看到，这种插值样条定义在 吒，t 。】上，是在缺少被插函数的导数值的条 件下构造出的，且满足 p ( t ，) = ，p ( f ，) = a ，i = 0 ，l ，i 1 + 1 这种基于函数值的三次有理插值样冬也具有很好的性质，限于篇幅在此就 不详细讨论了。 2 3 局部四次有理插值样条 在文献 1 2 中讨论了一种具有局部性质的四次有理插值样条，对有理插值 样条而言，就是样条函数在子区间 x ，x 。】上的表达式是通过有理基函数的线性 组合给出的，而这些有理基函数可通过相邻的几个节点处给定的信息构造出来。 设已知数据酝。，x f _ o ，1 ，h k 其中，为被插函数厂( f ) 在分划点x i 处的函数 值，区间【d ，b 的一个给定剖分为 a ：盘= x o x 1 t x 。= b 记子区间为= 【x ，x 。 ，h ，= x 。一x ：，i = o ，l ，h 一1 ，针对( 4 2 ) 型有理样条在上 构造有理基函数经，( 工) ( ，= 1 , 2 ，3 ，4 ) ，使有理样条r ( x ) 在j ，的表达式尺，( x ) 具有如下 形式 r ，( x ) = z l 伊i l o ) + z 仍2 体) + z + l 妒日( x ) + + 2 仍4 ( x ) ， ( 2 3 t ) 且满足插值条件r ，( t ) = ，r ，( x 。) = ，。还要求r ( x ) c 2 i x o ，x 。 由此可见，获 彳导胄，( z ) 的表达式的关键在于构造局部有理基函数为此需知道有理基函数 仍，( x ) ( ，= 1 , 2 ，3 ，4 ) 在工，和x 。处的函数值以及一、二阶导数为清晰起见，将这些 值列表： 表2 3 1 基函数节点关系( i = 1 ，n 一2 ) 口值值矿值 置f “tx l lx 【t “ h h h ( h i 一1 + h i )h h ( h + h ，) 妒r 1 0ooo h i h f _ l一h ：“ 一22 曩一l h ，囊( 曩+ h j 。)h i _ j h ，h i ( 曩+ h i + 1 ) 仍2 lo h ，一lh ，+ 1 一h i 一2 矗。( a h + 囊)岛绣+ 。免。( 曩一，+ 如)魂向j + 1 妒t 3 o1 h h ( 向，+ h m )h ( h 。+ h i + 1 ) 仍4 l0o0 由于要求吼，( z ) ( _ ，= l ，2 ，3 ，4 ) 是( 4 2 ) 型的有理函数，为简便起见，给仍，( z ) 以约束分母( x m 一工) 2 + 0 一x ，) 2 ，这样用数据表2 3 1 及约束分母便可导出纯，( x ) 的表达式： 吼删= 石瓦而( x 丽- - x j i ) ( x i 丽+ 1 - - 啊x ) 3 习i ； 妒。，( z ) = 卫生二兰出丛兰生二型兰二业垒= d ! ；l ! ：! 至兰二兰! ! 兰丝二兰! “。h i l 啊( 吩+ h j + 1 ) 【( 。一石) 2 + 一一) 2 】 蹦加业专镣器慕嵩掣导产型 州加一丽矗萧鲁赫 ( 2 3 2 ) 经过简单计算便可以验证如下的结论成立 定理2 3 。1 由式( 2 。3 2 ) 给出的有理基函数按线形组合( 2 3 。1 ) 构成的有理样条 函数月( z ) 满足插值条件 r ( x ，) = ：( f = 1 ，栉一1 ) 且r ( x ) c 2 i x i ，z 。一1 为了得到尺( x ) 在整个区间 x 0z 。】上的表达式，还需分别构造子区间 x 。，五 和 z 。，】上的有理基函数，一种较简单的方法是通过增补两个节点x = x 一和 x = x 。并给定正1 = f ( x 一1 ) 和六h = f ( x ) ，使得表2 3 1 对i = 0 和i = 一一1 仍 有效：第二种方法则是利用导数条件r ( ) = f ( ) 及月( x 。) = f ( 工。) 在子区间 x 0 x 1 和 x n _ ix 。 上分别构造有理基函数，而得到r 。( x ) 和r 。( x ) 的表达式限于 篇幅在此就不详细讨论，直接给出其结果： 在子区间【x 0 x 1 的函数表达式为 r o ( x ) = ，( x o ) ，l ( z ) + j 妒o ，2 ( x ) + i 妒o ，3 ( x ) + l e o ，4 ( x ) ， ( 2 3 3 ) 其中删= 丽( 二x - x 再o ) ( x 而- x 0 3 ； 啪，= 坠毪杀斋卷罴学 州= 坐篙器碧紫 妒( x ) = 一丽再丽( x - 石x o i p ( x 汀- x 雨, ) ( 2 3 4 ) 在区间【x 。，x 。】上的表达式为： r ( 并) = 一2 纸“l ( x ) + 六一1 纯吐2 ( x ) + 吐3 ( x ) + ，( x 。) - 1 4 ( x ) ， ( 2 3 5 ) 其中 = 西再高拦裂丽； = 地专篙罄鲁暑筹型 竹1 3 ( x ) =垒! = l ! 兰二兰! = ；2 1 兰二兰! = ! 丝兰! 二兰! ：! 垒! = ! 丝= ! ! ! ! 二三! = ! ! ：! 兰! 丝= ，二兰! h 2 n _ l ( 吃一l + h n 一2 ) 【0 。- x ) 2 + ( x - x n - 1 ) 2 一矗羞尝若b 亿。e ， 从整个区间i x 。，工。 上的表达式来看，这种局部四次有理插值样条r ( x ) 在整 个区间【，b 上也是c 2 连续的。下面给出一个引理： 引理2 3 2 【。1 若f ( x ) 为二次多项式，则有r ( x ；f ) = ，( x ) ，x x ox n 引理2 3 2 表明( 4 2 ) 型有理插值样条r ( x ) 对二次多项式是精确成立的，即具有二 次“有理”精度。 下面给出局部四次有理插值样条r ( x ) 的误差估计： 定理2 3 3 【1 2 1 设厂( x ) c3 i x 。，x 。 ，r ( x ) 为由式( 2 3 1 ) 、( 2 3 3 ) 和式( 2 3 5 ) 定义 的有理样条，则有 i i - r i i 半妒， ( 2 3 7 ) 舯五= 眦红，2 川m a x ：1 ( 曩卜母蔓m 。a x 矗i ( z ) 一酬 可见局部四次有理插值样条r ( x ) y 4 ：f f 较好- 的逼近性质，且计算比较简单，一 个插值点上的数值变动只影响其临近的局部范围。美中不足就是插值精度低和 缺乏整体性质。 4 2 4 四次有理插值样条函数 1 引言： 在曲线曲面设计中，样条插值是有用的和强有力的工具。从前面的论述中 我们知道有理插值样条特别是有理三次有理插值样条，以及它们在外型控制中 的应用，已经有了不少工作，取得了一系列的成果。但四次有理插值样条由于 其构造所花费的计算量太大以及在使用上很不方便而让人们忽视了其重要的应 用价值，因此很少有人研究他们。实例表明，在某些情况下四次有理插值样条 确实能给出较好的结果。在实际应用中，c 2 连续的曲线可满足大多数的需求。 如果四次有理插值样条的连续性降为c 2 连续，则不但可以使计算量大大减少而 且还可以提供额外的自由度，而这些自由度无论在数值计算还是在外型设计中 都是很有用的。对科学计算，自由度可以提高曲线的插值精度；对外型设计， 自由度可用来增加设计和构造的灵活性，控制曲线曲面的形状，从而使四次有 理插值样条成为比有理三次有理插值样条更为有效，至少是可以和它媲美的曲 线构造方法。本文就分母为一次，分子为四次的有理插值样条进行了初步的探 讨，取得了一些有意义的结论。下面我们就来介绍有关结果。 2 四次有理插值样条的构造； 给出数据他，z ，d ，) ，f - 0 3 ，n + 咄其中z ，d ，分别为被插函数厂( f ) 在分划点 f ，处给出的函数值和导数值，此处，t o ，l f 。 f 是分划点，记h i = t i + l r ，以 及0 = 0 一f ，) h ，且令口。和屈是正的参数。定义，f 。 上的分母为线性的有理四次 样条如下： 酬。，2 篇，川 ( 2 4 此处， p 。o ) = ( 1 一目) 4 口，z + 臼( 1 一目) 3 u ，+ 0 2 ( 1 一口) 2 k + p 3 ( 1 一目) 彬- i - 0 4 屈，“ q ， ) = ( 1 一o ) a 。+ 锯， 且 、 u 。= 口。h ，d 。+ ( 3 口，+ 屈) ， 彬= 一届h , d j + l + ( 口，+ 3 属) ，+ l ， 矿是待定未知量 容易看到，对给定的数据及选定的正参数口和屈，如上所定义的有理插值函数满 足 p ( t ，) = ，p ( f f ) = d 。，i = o ，1 ，艇+ 1 因此它是【“，t 。】上c 1 连续的分段有理插值样条。 通常情况下，采用四次插值样条曲线，可使其连续性达到c 3 连续，但如果将 四次有理插值样条p ( t ) 的连续性降为c 2 连续，则由 p “u ，+ ) = ，”u ，一) ， 1 2 1 , 2 ，n 一1 可得： 惭，地棚嚣一) + 2 ( 鲁1 m 胡鲁c + 筹卜等c + 争，+ 矗+ 等， i = 1 , 2 ，n 一1 令小6 b + 2 ( 善- 1 ) + 2 ( 鲁- 1 ) ， e = q 鲁c + 筹卜等c - + 釉， 一 一2 h l f 。h - - i - i f l j - 1 一 d ：2 h , _ t 疗，口： 则( 2 4 2 ) 式可写为 a d = b 厂：+ c ，矿一+ o y , ， i = 1 ，2 ，一，n 一1 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 因此对于任意给定的d 0 矗和k ( f _ 0 , 1 , 2 ，n 一1 ) ，p ( f ) 是c 2 连续