（应用数学专业论文）耗散mkdv方程的整体吸引子及一类不同系统间混沌同步的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了两部分内容。本文的第二、第三章主要对两类受 迫弱阻尼的m k d v 方程的动力学行为进行了研究。我们在第二章中 对无界域上的含有四阶耗散项的m k d v 方程利用s o b o l e v 插值不等式 以及关于时间t 的先验估计证明了该方程在无界域上解的存在性；然 后利用算子分解技巧以及k u r a t o w s k i i 口非紧测度讨论了解的光滑 性；最后得到了该方程在日2 ( r 1 ) 上存在整体吸引子。在第三章，我们 同样利用上述方法讨论了受追弱阻尼m k d v 方程的整体吸引子问题， 从而也得到了该方程在日2 ( 矗) 上存在整体吸引子，并且利用启发性分 析法及耗散守恒格式理论证明了所给的普遍性二时间层差分格式的 计算稳定性并且作了相应的数值模拟，从图形中得到了与理论证明一 致的结论。 本文的第四章主要研究了不同系统之间的同步问题。通过两种不 同方法来讨论不同混沌系统之间的同步问题：a c t i v e 控制同步法和非 线性控制同步法，并且各自设计了两个不同的控制器，使得响应系统 和驱动系统同步。与传统的混沌同步方法相比较，提出的这两个方法 不需要计算条件l y a p u n o v 指数，因此比较简单、有效，而且这两个 控制器适用于一般的混沌系统。 关键词：m k d v 方程，整体吸引子，启发性分析，差分格式， 混沌同步 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e r ea r et w om a i np a r t si nt h i sp a p e r c h a p t e rt w oa n dc h a p t e rt h r e es t u d y d y n a m i cb e h a v eo ff o u r - o r d e rf o r c e dw e a kd a m p e dm k d ve q u a t i o n i nc h a p t e rt w o ， t h es o b o l e vi n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t ya n dp r i o re s t i m a t eo nt i m e ta r ea p p l i e dt os h o w t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o ni nu n b o u n d e dd o m a i n m o r e o v e r ，o p e r a t o rd e c o m p o s e d t e c h n i q u ea n dk u r a t o w s k i i 口- n o n c o m p a c t e dm e a s u r ea r ea p p l i e dt os t u d yt h e s m o o t hp r o p e r t yo ft h es o l u t i o n f i n a l l y , t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o ro fa d i s s i p a t i v em k d ve q u a t i o ni n h 2 ( r 1 ) i sp r o v e d i nc h a p t e rt h r e e ，w em a k et h es a m e m e t h o dt o s t u d yd y n a m i c b e h a v eo ff o r c e dw e a k d a m p e d m k d v e q u a t i o n m e a n w h i l e ，w og e tt h es a l d ec o n c l u s i o n - t h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a la t t r a c t o r i n 2 ( r 1 ) a n dw eu s en a t u r ea n a l y s i sa p p r o a c ha n dd i s s i p a t i v ec o n s e r v a t i v es c h e m e t h e o r yt op r o v et h ec o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo fu n i v e r s a ld o u b l et i m ed i f f e r e n t i a lf o r m a t a n df i n a l l y , a c c o r d a n tc o n c l u s i o nw i t ht h e o r e t i c a lp r o o fi sg a i n e db yn u m e r i c a l s i m u l a t i o n ， i nc h a p t e rf o u r w eu s et w od i f f e r e n tm e t h o d st os t u d yt h es y n c h r o n i z a t i o no f t h e d i f f e r e n tc h a o t i cs y s t e m s - - - a c t i v ec o n t r o ls y n c h r o n i z a t i o nm e t h o da n dn o n l i n e a r c o n t r o l s y n c h r o n i z a t i o n m e t h o d t w od i f f e r e n tc o n t r o l l e r s a r e d e s i g n e d f o r s y n c h r o n i z i n gr e s p o n s es y s t e ma n dd r i v es y s t e m c o m p a r e dw i t ht h ec o n v e n t i o n a p p r o a c h e s ，t h ep r o p o s e d m e t h o d sa r em u c h s i m p l e r a n de f f e c t i v et h a nt h e c o n v e n t i o n a l a p p r o a c h e s b e c a u s et h el y a p u n o ve x p o n e n t s a r en o tr e q u i r e dt o c a l c u l a t e m o r e o v e r ，t h e s et w om e t h o d sa r ea p p l i e df o rg e n e r a lc h a o ss y s t e m s k e yw o r d s ：m k d ve q u a t i o ng l o b a la t t r a c t o r n a t u r ea n a l y s i sa p p r o a c h d i f f e r e n t i a lf o r m a tc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密哑 学位论文作者签名：西1 跌取 指导教师签名： 加f 年年月卯日 细占年十月圩f 3 百 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：锨愎 日期：卅年乎月z 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 这篇论文主要完成了两部分的工作，一是耗散m k d v 方程的整体吸引子问题， 包括耗散m k d v 方程的差分格式设计及数值模拟、该方程在无界域上解的存在性、 解的光滑性及整体吸引子问题；另外一方面就是我们研究了不同系统之间的同步 问题。 1 1 研究背景、现状及意义 1 11 m k d v 方程的研究背景、现状及意义 很多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学、 流体学科的基本方程本身就是偏微分方程。长期以来，人们一直用偏微分方程来 描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学和工程技术，不断取得了显著 的成效。以应用为目的的或以物理、力学、流体等其它学科中的问题为背景的应 用偏微分方程的( 定性及定量的) 研究，不仅是传统应用数学的一个最重要的内 容，而且是当代数学中的一个重要组成部分。它是数学理论与实际应用之间的一 座桥梁，研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩大。 在上世纪3 0 年代以前的近二百年中，紧密地联系着物理学、力学、几何学 等方面的需要，对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方程、调和 方程、波动方程等) 已有了系统的了解，并以多元微积分学为主要工具，形成了 许多至今仍在广泛使用的有效方程。其后，一方面，在实践中不断提出新的研究 课题，而且电子计算机的出现也为偏微分方程的研究提供了强有力的实现手段， 因而偏微分方程的应用领域前所未有的扩大了。另一方面，大量素材的积累进一 步提出了将它系统化的任务；早在1 9 0 0 年，h i l b e r t 为预见2 0 世纪的数学发展 所提出的2 3 个著名问题中，有好几个都提出了研究偏微分方程的重要性。上世 纪3 0 年代开始，在s o b o l e v 空间理论基础上建立起来的泛函分析方法，为处理 线性及非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架和工具，并在实践中已 得到广泛的应用。其后，拟微分算子、f o u r i e r 积分算子等强有力的工具的发展， 又将偏微分方程的发展带到了一个新的高度。另外一方面，偏微分方程的发展又 江苏大学硕士学位论文 为许多现实问题的解决带来了可能。例如，在流体领域诞生了许多新的重要的方 程，如0 s t r o v s k y 洋流方程，c a m a s s a h o l m 方程等新型浅水波方程以及m k d v 方程等。 本论文前一部分就水波方程m k d v 方程进行了研究，主要目的是对这类洋 流水波方程动力学行为的研究，以期对受地球自转及地球磁场变化影响的重力作 用下的海洋运动的规律有所认识。 k d v 方程是一类重要的非线性发展方程，它出现在多种物理问题中。k d v 方程最初起源于水槽中小振幅长水波传播的模型。自从k o r t e w e g 和d ev r i e s 的 工作以来，已证得该方程在大量的非线性以及色散起重要作用的物理领域中有较 大影响，多数情况下不能忽略能量耗散及外部刺激。文【1 ，2 对于方程 蚌+ g n x r x x + f l u u ，+ + = f ( x ) 在有界区域的解长时间形态进行了深入的研 究；文【3 已证明了周期边界条件下弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形的存在性。 r o s a 和g o u b e t 等已研究了弱阻尼受迫k d v 方程的在周期边界区域上的整体吸 引子的存在性和正则性f 4 ，5 】以及从数值上研究了随着y 的变化吸引子的变化情 况，从而得到了该方程的时间混沌【6 。本文考虑如下m k d v 方程： “r + 口“黼+ p u u ，+ o k + y u = ( x ) 甜r + “2 “。+ “辅。+ y u = q f ( x ) 在无界区域r 1 上的情况，得到它们在2 ( r 1 ) 存在整体吸引子。 1 1 。2 混沌的研究背景、现状及意义 二十世纪7 0 年代以来，非线性科学作为一门新兴学科逐步发展起来，它的 出现是人类认识自然的一次飞跃，标志着人类认识自然从线性时代进入了非线性 时代。一般我们认为非线性现象有三大普适类：混沌( c h a o s ) 、孤立子( s o l i t o m 及分形( f r a c t a l ) ，它们成为探索复杂性的重要范畴。1 9 6 3 年美国气象学家洛仑兹 在数值天气预报中通过计算机数值实验发现确定非线性方程存在非周期的有界 解，后来被确认这样的解为混沌。此后，这方面的研究进展很快。半个世纪以来， 人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现已经有了十分丰富的认 识。因此如何应用混沌研究成果为人类服务已成为非线性科学发展提出的重要课 题之一。 2 江苏大学硕士学位论文 目前，对混沌的研究已遍及自然科学的各个领域，并已有成功的应用。随着 对混沌学研究的深入，人们的注意力集中在以下三个方面：如何应用混沌学的思 想来分析复杂系统；当系统出现混沌时，如何对他进行控制；如何将混沌理论应 用于实际的生产、生活之中。混沌系统对初始条件极端敏感，利用这一特性，通 过小控制量的变化可以产生显著的控制效果。例如，n a s a 的科学家曾使用非常 少量的液氢燃料将一个i s e e 3 i c e 飞行器送到太阳系之外，从而实现了与彗星 的对接。混沌系统的运动最终将落在奇怪吸引子中，而奇怪吸引子包含有稠密的 周期轨道，因此它可以作为潜在的信息员，通过控制，使系统处在不同的状态而 用于多种目的。混沌吸引子的运动具有遍历性，因此可用作全局搜索、寻优及实 验设计等。但是将混沌应用于实际，还存在着这样或者那样的困难，其中之就 是混沌系统对初始条件的极端敏感性造成了系统最终的不可预测性，所以，真正 实现混沌控制并不容易。事实上，从上世纪6 0 年代混沌研究的兴起到8 0 年代末， 仅有少数人对混沌控制的可能性进行了讨论。直到1 9 9 0 年，美国m a y l a n d 大学 的o t t ，c r e b o g i 和y o r k e 提出o g y 方法后，混沌控制的研究才从理论和应用两 方面迅速展开。从迄今国内外的研究来看，可以将混沌控制的方法分为两类，即 混沌控制和混沌同步。两者属于同一研究范畴，但研究的内容和策略不同，可以 分开研究，但又紧密相联。自从1 9 9 0 年p e e o r a 和c a r r o l l 7 发现了混沌信号可以 实现同步，并在电路试验中首次观察到了混沌同步现象，为混沌保密通信提供了 可能之后，就掀起了混沌同步问题研究的热潮。它不仅在通信领域有很大的应用 潜力，而且在医学、化学、生物以及工程领域有长足的发展。近年来混沌同步及 其应用已成为非线性科学中的一个重要研究课题，并且得到了一系列实现混沌系 统控制和同步的方法。混沌控制与同步研究的迅猛发展，已为应用开辟了广阔的 前景。近年来混沌同步及其应用已成为非线性科学中的一个重要研究课题，并且 得到了一系列实现混沌系统控制8 1 3 和同步的方法，如：线性和非线性反馈控 伟f j 1 4 、自适应控n 1 5 1 6 】、反向递归设计控伟t j 1 7 等。但是它们大都讨论的是 两个相同混沌系统在不同初值的同步。关于两个不同系统间的同步研究相对较 少，因为它们存在不同的结构以及参数失配等问题。近年来越来越多的混沌同步 在安全通信中的广泛应用使得研究两个不同的混沌系统同步变得很重要。本文提 出了通过两种不同方法来讨论不同系统之间的同步问题一积极控制同步法和非 江苏大学硕士学位论文 线性控制同步法，并且通过数值仿真验证了这两种方法的有效性。 混沌同步问题的研究包括完全同步( 驱动系统和响应系统的状态完全一致) 、 相位同步( 振幅变化混沌及其实际上不相关的两个系统的相位是同步的) 、滞后 同步( 驱动系统和相应系统有一个固定的时间差) 、有效完全同步( 驱动系统和 响应系统的状态之间相差一个常量) 和广义同步( 驱动系统和响应系统状态间存 在函数关系) 等不同层次的同步。本文所研究的同步是完全同步问题。 1 2 研究内容 本文的第二、第三章主要对耗散的m k d v 方程及弱阻尼受迫m k d v 方程的 整体吸引子问题作了研究，并从数值模拟角度作了进一步的分析。我们在第二章 中对无界域上耗散的m k d v 方程作了一系列的先验估计，利用算子分解技巧以 及k u r a t o w s k i i 口一非紧测度讨论了解的光滑性；然后得到了该方程在日2 他1 ) 上 存在整体吸引子。在第三章，我们通过同样的方法对弱阻尼受迫m k d v 方程的 整体吸引子问题进行了研究并且也得到了该方程在日2 ( 月1 ) 上存在整体吸引子。 然后对于所设计的该方程的普遍性二时间层差分格式，利用耗散守恒格式理论证 明了该差分格式的计算稳定性，最后作了相应的数值模拟，从图中可看出整体吸 引子的存在，与前面的理论证明结论一致。 另外一方面，混沌问题一直以来都是人们比较关心的问题。随着对混沌学研 究的深入，人们的注意力集中在以下三个方面：如何应用混沌学的思想来分析复 杂系统；当系统出现混沌时，如何对他进行控制；如何将混沌理论应用于实际的 生产、生活之中。从迄今国内外的研究来看，可以将混沌控制的方法分为两类， 即混沌控制和混沌同步。在第四章，我们基于l y a p u n o v 稳定性理论提出通过两 种不同方法来讨论不同系统之间的同步问题a c t i v e 控制同步法和非线性控制 同步法。最后通过数值仿真验证这两种方法的有效性。 1 3 水波方程和混沌的一些基本概念 1 3 1 水波方程的一些基本概念 在流场中任意取定一控制体r ，设r 的表面为控制表面s ，由质量守恒定 律，从控制表面s 流出的净质量流量等于控制体r 内流出的质量流量： 4 江苏大学硕士学位论文 妙喇舡一暑f f f p d r ( 1 3 1 ) 其中v 表示流体的流动速度矢量，n 为控制表面上沿外法线方向的单位矢量。由 于控制体是取定的，不随时间而变，故上式中积分号外的关于时间的偏导数运算 可以移到积分号内，再由高斯公式：p 矿- r i d s = m 击v p 凇。我们从( 1 3 1 ) s r 式得到 胎r 叩勰2 妒秘 ( 1 3 2 ) 考虑到控制体的任惹性，则我们进一步有 d i v p v ：一望 西 将其表示为坐标形式，则得到了流体连续方程： 望+ 掣+ 掣+ 掣：o ( 1 3 3 ) 。, g t缸西赴 若考虑的是不可压缩的流体，即p 恒为常数，则流体连续方程为 罢+ 宴+ 娑：o ( 1 3j 4 ) 苏a v包 7 这里，“，v ，w 分别表示速度矢量v 在三个坐标轴方向上的速度分量。 根据牛顿第二定律，作用于质量为m 的质点上的力与质点的加速度成正比， 即f = m c l ，若考察的对象是流体，则牛顿第二定律有形式：p d _ v ：f 。其中， a t 百d v = 署+ 杪v 沙= 害z + 鲁_ ，+ 警七 ( 1 。_ 5 ) 出a c 、。 d t出。d t 、。 外力，有质量力和表面力组成，本论文中我们仅考虑重力的作用。通过对应力张 量的计算，我们有厶= v f f ，这里b 为应力张量。所以牛顿定律可以表达为 矿警= j o g v 。 ( 1 - 3 6 ) 矿i 。+ 7 ( 1 - 3 6 ) 上式中g 为重力加速度。根据斯托克斯提出的基本假设； 1 流体是连续的，其应力张量f 。通常是应变率的线性函数； 2 流体是各向同性的，即它的特性与方向无关，因此变形率与坐标系的选 取无关： 江苏垄堂堕主兰堡垒墨 _ 一一一一 3 当应变率为零时，变形率必须化为流体静压条件= 一p 占。，其中毛为 k r o n e c k e r 占函数。 再经过一系列的推导与运算，得到： 铲一p 岛叫等+ 詈j + 毛黼矿 其中五是仅与体积膨胀有关，通常称为体积膨胀系数。将上式代入( 1 3 6 ) ，我们 便得到了著名的n a v i e r s t o k e s 方程： p i d v = 偌一印+ 考f ( 。钙o u + 筹 + 毛瑚v 矿 ，一， 波动是自然界中最常见的现象之一，电磁波、声波、水波、地震波等等都是 波动现象。典型的一维波动方程可以如下表示： 窘窘一o s 固 这里“& ，r ) 表示波幅，c 为波速( 或波的相速度) 。方程( 1 3 8 ) 的通解形式为 “g ，t ) = 厂g c r ) + 9 0 + c t ) 其中s ( x 一甜) 表述了向右传播的波，g g + c ) 表示向左传播的波，波速都是f 。 典型的单色平面波解为“0 ，f ) = 4c o s ( h 一研) 。其中七= 7 埘。- 为波矢， 珊：i 2 7 ：2 矿为圆频率，五，r 分别表示波长、频率和周期。显然，波速为c 2 詈。 波包则是由一些波矢和频率相近的波所构成，波包运动的群速度为咚= 面d o ) ，群 速度也是波包能量的传输速度。构成波包的每一个单色平面波的波前以各自的相 速度向前传播，显然只有当波速与波矢无关时波包才能保持其形状不变。当 = ，伍) ( 1 ，3 t 9 ) 为k 的非线性函数，或 c ：型 ( 1 3 1 0 ) 与k 有关时，构成波包的不同的单色平面波的波前速度不同，波包将逐渐变形 弥教，这正是色散的效应，所以关系式( 1 3 9 ) 或( 1 3 1 0 ) 通常被称为色散关系。 6 江苏大学硕士学位论文 流体力学中的波动现象十分丰富。流体的内部可以传播声波，在不同流体或 同一流体不同密度的界面存在有内波，流体表面有毛细波，而水面的波浪、海啸、 潮汐及海岸附近的风暴潮等都是波动现象。与电磁波和声波不同的是：对水波而 言，色散效应和非线性效应十分重要。另外在只考虑重力作用下的水波运动时， 水的压缩性可以忽略。因此，连续方程和动量方程( n a v i e r s t o k e s ) 可以表示为 如下形式： v “= 0 ( 1 3 1 1 ) ( 昙+ 甜v “= 一v ( 号十髟 + o v 2 “ c ，z ， 同样，这里”( x ，f ) = 0 ，v ，w ) 表示速度矢量，p ( x ，r ) 为压力，p 为密度常数， g 为重力加速度，u 为水的运动粘性系数，x = ( x ，y ，z ) 为坐标矢量，z 轴铅直向 上，并取流体无扰动的静止表面为z = 0 。进一步，我们假定水作无旋运动，则 对无旋的理想流体，其速度“可比表示成标量势( 速度势) o 的梯度 “= v r 1 3 1 3 ) 由连续方程我们可以得知速度势满足l a p l a c e 方程 v 2 中= o = o ( 1 3 1 4 ) 忽略水的粘性作用，并设水深为d ，扰动后相对z = 0 的流体的表面高度为f 。将 ( 1 ，3 1 3 ) 代入( 1 3 1 2 ) 中，对空间变量积分，并选择适当的积分常数( 该常数与 时间相关，与空间变量无关，则在不影响速度场的情况下，通过适当的变量变换， 可以使该积分常数取值为零) 。由此，我们得到了无旋的理想流体流动的伯努利 方程： 詈+ 圭m ) 2 + g z = 一考，挑吲 ( 1 ，1 5 ) 为得到实际问题的解，我们还需要知道流体运动所满足的边界条件。显然，水流 是不能流出容器边界的。故在固定的固体边界面上，流体的法向速度必须是零， 即 塑：o 口聍 ( i 3 1 6 ) 这里m 是固体边界面上的单位法向量，方向指向流体。现在考虑与大气接触的流 体的自由表面。正如上面所假设，自由表面的铅直位移是f 0 ，y ，r ) ，则自由表面 7 江苏大学硕士学位论文 的曲面方程是 f ( x ，y ，z ，r ) = = 一手g ，_ y ，f ) = 0 ( 1 3 ，1 7 ) 设自由表面的流体质点x 的速度为g ，则在短时间如以后，自由表面的方程 变为 f ( x + q 础，t + d t ) = 0 通过t a y l o r 公式将上述方程展开，得到 f 伍，小( 詈+ 。即卜+ 。妇) 2 ) = 。 注意至l j ( 1 3 1 7 ) 式，则对足够小的出，有 _ o f + g v f ：0 ( 1 3 1 8 ) 西 1 、 流体质点在自由表面上的运动并不是单独的存在的，而是要保持与邻近质点 运动的连续性。考察一个薄层的控制体，其上表面为一小块自由面只。若 中流体质点的法向速度与a s ，的法向速度不同，则流体就通过的底面以 有限速率损失或获得；同时，由于品是自由表面，因此，流体只能通过的 侧缘以无限大的速率损失或获得，但这与物理实际是不相符的。这样，自由表面 上的法向速度必须与自由面上流体的法向速度相同，也就是说，自由面上的所有 流体质点除了随自由面整体移动外，只能做切向移动，也即 兰旦一坐 i v f |1 w i 由式( 1 3 1 8 ) 得到 竺+ “v f ：0 西 其等价于方程： 争坞与咄叫 ( z = 孝时) ( 1 3 1 9 ) ( z = f 时)( 1 3 2 0 ) 方程( 1 3 1 9 ) 或( 1 3 2 0 ) 称为自由表面上的运动学边界条件。在运动学边界条件 中，中和f 都是未知的函数，且在未知表面上，所以，自由面上的运动学方程是 复杂的非线性方程。 进一步，我们考察与作用力有关的动力学边界条件。首先，考虑波长较大的 8 江苏大学硕士学位论文 情况，此时，表面张力对流体的作用相对重力作用而言不太重要，故可以先忽略。 在这种情况下，紧接自由表面之处的压力必定等于自由表面之上的大气压力风， 则自由面上的伯努利方程为： 詈+ 吉( v 中) 2 懈= 一告。( 硝时) ( 1 3 _ 2 1 ) 若考虑瘤体表面的张力作用，微曲曲面流体中邻近表面的压力近似为 一。一口瞪+ 刳 ，2 2 ) 胪岛川【季+ 护j ( 1 3 其中口为流体表面的张力系数。则有： 詈+ 丢) 2 + 掰一旦p f l 丝s x 2 + 孑 = 一告c z = f 时，( i s 粥) 方程( 1 3 2 1 ) 和方程( 1 3 2 3 ) 也称为自由面上的动力学边界方程。 下面我们推导一些常见的水波方程。为表达的简洁和求解的方便，首先引入 两个重要的无量纲的参数： = 材，占= 詈 这里为波数( 或波矢) ，d 为静止流体表面的高度( 水深) ，a 为自由表面的振 幅。 假设和都是小量，并且0 0 ) = d 缸2 ) 0 时，s ( t ) 为全连续算子 则半群s ( t ) 具有紧的整体吸引子a 。 引理1 2 ：设e 为b a n a c h 空间，s ( t ) 为连续的算子半群。设存在一个开集uce 和u 的一个有界集b ，使得b 在u 中是吸收的。又设满足条件： ( 1 ) 算子s 0 ) 对充分大的t 是一致紧的，即对每个有界集b ，存在f = t o ( b ) ， 使得u s ( t ) b 在e 中是相对紧的。或 ，2 “ ( 2 ) s ( t ) = s l ( t ) + s 2 ( t ) ，其中算子s ( ) 对充分大的r 是一致紧的，算子 马( ) 位连续映射，是( f ) ：e e ， 且对每个有界集bce ， 飞( ，) = s u p b l l s 2 ( t ) q b i 。斗o ， 则b 的极限集a = ( b ) 是紧的吸引子，它吸引u 中的最大有界吸引子， 且当u 既凸又连通时，a 是连通的。 江苏大学硕士学位论文 1 33 混沌的基本概念 混沌，当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，它揭示了自然界及人类社会中普 遍存在的复杂性，同时揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，大大拓 广了人们的视野，加深了对客观世界的认识。它在自然科学与社会科学等领域中覆 盖面之大、跨学科之广、综合性之强，发展前景及影响之深远都是空前的。国际上 誉称混沌的发现，乃是本世纪相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命， 这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战。 混沌是在确定性系统中出现的貌似随机的运动，其特征表现为对初值的敏感性 和对未来的不可预测性。确定性系统指的是可以用常微分方程、偏微分方程、迭代 方程描述的系统。对于给定的初值，从数学上来说，动力系统必将给出一个确定的 解或过程，但在一大类系统中这些解可能由于对初值极其微小的扰动而产生很大的 改变，也即系统对初值的依赖性十分“敏感”。因而从物理上看，得到的解似乎是 随机过程。这种“假”随机过程与由于方程中加上随机项或随机系数而得到的随机 过程是不同的，它是由确定系统固有的或内在的随机性引起的，它只是在非线性系 统中才出现。因此可以说，混沌是非线性动力系统具有内在随机性的一种表现。 最早发现混沌运动现象的是p o i n c a r e 十九世纪末，他发现三体问题中的无 规则运动，在研究双曲点( 鞍点) 邻域内轨线的变化时，p o i n c a r e 说，这些图 案复杂的使人惊奇，甚至他都不想把它画出来，这种复杂的几何结构现在被称之 为p o i n c a r e 栅栏。在此之后，b i r k h o f f 于1 9 1 6 年研究平面变换的扭转映射中 出现的吸引子，他证明了它不是j o r d a n 曲线，他称之为r e m a r k a b l ec u r v e 后 来，人们在具有强迫力的v a nd e rp o l 系统中找到了这种曲线，这其实就是今天 所说的混沌现象。 不幸的是这种理论与现象长期没有引起人们的注意，沉睡了近半个世纪之 久。直到二十世纪七十年代，混沌理论及相关的奇怪吸引子理论的研究才有了较 大的发展，在不同的学科领域引起了大批学者的关注。 在1 9 6 3 年，f n l o r e n z 在研究大气对流时引进了l o r e n z 方程，数值研究 的结果表明，l o r e n z 方程的解在一定的参数范围内当f 斗0 0 时具有一个混沌解。 在同一时期，k o l m o g r o v a r n o l d m o s e r 于1 9 6 2 年前后建立了分析力学领域 中的k a m 定理。该定理对近可积的h a m i l t o n i a n 系统的解的性质给出一些重要的 1 4 江苏大学硕士学位论文 结论，而当这些定理条件不适用时h a m i l t o n i a n 系统将可能会出现混沌。k a m 定 理与l o r e n z 模型一起标志着混沌理论新的开端，随后，m e li n k o v 在1 9 6 3 年提 出了常微分方程中判别混沌出现的一种分析方法，经h o l m e s 等人的补充和推广， 形成的m a r o t t o 方法，现在已经成为判断混沌是否存在的一种重要的分析判别法。 1 9 7 1 年r u e l l e 等为耗散系统引入奇异吸引子的概念；1 9 7 6 年生物数学家 m a y 在一篇对数学界起很大促进作用的综述报告中指出，生态学中一些非常简单 的数学模型具有极其复杂的动态行为，包括分支序列与混沌；1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 和c o u l l e t 分别独立的发现倍周期分支现象的标度换算因子和普适常数；1 9 8 0 年，数学家m a n d e l b r o t 利用高速计算机研究了复映射中的奇异吸引子。 截至目前，对混沌的研究已经取得了长足的进展，在不同的研究领域取得了许 多惊人的研究成果，并且已经有不少的应用成果，如保密通讯、溶液混合等。但是 值得注意的问题是：什么是混沌? 混沌的严格定义是什么? 到底有多少种混沌? 通常认为混沌是发现于2 0 世纪7 0 8 0 年代的一种重要的力学现象，至今入 们还没有公认的关于混沌的定义，因此只能认为“混沌”是大致地概括除了平衡 态、周期运动、准周期运动之外的各种有界的、不规则的、更复杂的运动形式有 关混沌的概念尚需进一步的更细致地刻画和探讨 一般来说，混沌运动具有下面的特征： ( 1 ) 长期运动对初值的敏感依赖性，即长期运动的不可预测性； ( 2 ) 运动轨线的无规则性； ( 3 ) 宽的f o u r i e r 功率谱； ( 4 ) 有分形结构的奇怪点集，对耗散系统具有分数维的奇怪吸引子出现； 对保守系统也有奇怪的混沌区域( 胖分形) 。 根据混沌的这些特征描述，现在一般使用的是如下的三种描述性定义： 混沌的定义 ( 1 ) l i y o r k 意义下的混沌 设( a t ，力为度量空间，f ：m 斗m 为m 上的连续自映射，称离散动力系 统( m ，厂) 为l i y o r k 意义下的混沌，如果存在m 中的不可数子集 s n ( f ) p ( f ) 满足： l i m s u p p ( f “0 ) ，f ”( y ) ) 0v x ，y s ，x y h _ + 1 5 江苏大学硕士学位论文 l i m i n f p ( f “( x ) ，f “( y ) ) = 0v x ，y s ! i m s u p p ( f ”( z ) ，f ”( y ) ) 0 v x s ，v p p ( ，) 其中q ( 厂) 为f 的非游荡集，p ( ) 为厂的所有周期点集合，则称，为l i y o r k 意 义下的混沌。 ( 2 ) d e v a n e y 意义下的混沌 设( m ，p ) 为一度量空间，厂：m 斗m 为m 上的连续自映射，称离散动力系 统( m ，) 为d e v a n e y 意义下的混沌，如果成立有 ，敏感的依赖于初值，即存在d 0 ，使得m 上任意一点x m 的任一邻 域u ，当y u 时存在”0 ，使得p ( ，”( x ) ，f ”( y ) ) 5 ； 厂是拓扑可迁的，即对m 的任意非空开子集u 和v ，存在j i 0 ，使得 厂。( u ) n v ，的周期点p ( f ) 在m 上稠密； 则称，为d e v a n e y 意义下的混沌。 ( 3 ) m a r o t t o 意义下的混沌 设r ”是n 为欧氏空闯，为r ”中的范数，厂：r ”斗r ”是r 上的一个连续 映射，若存在 一个正整数，使对每一个整数m n ，f 有周期m 的点： 厂存在一个s c r a m b l e d 集s ，即s 为一个不可数的非周期点集，使得 ( a ) 厂”( j ) s ，对每一个竹 0 ； ( b ) v x ，y s ，x y ，有 ! 鳃s u p l l l ”( x ) 一f “( y ) l f 0 ( c ) 忱e s ，y e p ( 厂) ，有 ! 骢s u p ( x ) 一厂“( 圳l 0 ( d ) 存在s 的_ 个不可数子集& ，v x ，y s 。有 ! i m i n f i f ”( z ) 一f ”u ) l l = o 则称厂为m a r o t t o 意义下的混沌。 江苏大学硕士学位论文 第二章耗散m k d v 方程的整体吸引子 k d v 方程是一类重要的非线性发展方程，它出现在多种物理问题中。k d v 方程最初起源于水槽中小振幅长水波传播的模型。自从k o r t e w e g 和d ev r i e s 的 工作以来，已证得该方程在大量的非线性以及色散起重要作用的物理领域中有较 大影响。多数情况下不能忽略能量耗散及外部刺激。文 1 ，2 对于方程 “。+ 口u x r x x + 日d b x + “。+ 7 u = f ( x ) 在有界区域的解长时间形态进行了深入的研 究；文 3 】已证明了周期边界条件下弱阻尼k d v 方程的近似惯性流形的存在性。 r o s a 和g o u b e t 等已研究了弱阻尼受迫k d v 方程的在周期边界区域上的整体吸 引子的存在性和正则性 4 ，5 以及从数值上研究了随着，的变化吸引子的变化情 况，从而得到了该方程的时间混沌 6 】。本文考虑如下m k d v 方程： “r + ，z 戳+ 口甜2 村。+ 。耵+ p u = f ( t ，x ) x r 1 ，f 0 ( 2 1 ) u ( x ，0 ) = ，其中y ，口， 0 ( 2 2 ) 在无界区域r 1 上的情况。我们得到( 2 1 ) 和( 2 2 ) 在日2 ( 五1 ) 上存在紧的整体吸 引子。由于h 5 ( r 1 ) 嵌入到h 7 ( r 1 ) 0 j ) 是不紧的，我们采用文 1 8 ，1 9 ，2 0 的算 子分解技巧，且利用k u m t o w s k i i 口非紧测度证明解算子s ( r ) 的渐近光滑性，从 而由文 2 1 的定理得到整体吸引子的存在性。 2 1先验估计和解的存在性 为了行文方便，我们用( ，) ，l | 分别表示r ( r 1 ) 中的内积和范数。 第一步：用“与( 2 1 ) 在r 中作内积，可得 翱“m 2 却 其中( “，仍刎”n 去2 又因为y | | | | 2 0 江苏苎堂塑主兰堡垒墨一 一一 则去恤1 1 2 一芦l 卜f + 去4 厂f 一声4 “f + 去s y l l s l l 2 ( 2 ，) 由g r o n w a l l 引理有 州- 0 ，v r f ( r ) ，i r ，刮“哪1 + 1 尹一。 第二步：用一“。与( 2 1 ) 在r 中作内积，可得 翱如1 1 2 + y l l 谢+ 讹1 1 2 + 。1 _ 口( t d 3 , u ( 其中；口( 。，。) ；口i i 。i i 。i i “1 1 2 i l u = l l c i i “1 f 5 1 l “，1 1 i 1 1 = 1 1 茎q l l “。 1 2 + 占z 1 1 “x l l 2 + c i “。 ( 飞，厂) 陋( 忖i i + i i “。峪q k 卜c 2 + c 黼i i 捌门选取s = 手，岛= 等，则可得 i d1 1 “，1 1 2 + r l l “。1 1 2 + , e l l 虬1 1 2 蔓c s u p l l ，1 f 2 + c f p f 。+ c i i “1 1 2 皇墨 2 1 5 由g r o n w a l l 引理有 m 哪蔓1 1 , , o l l 2e 一肛+ k i ( 1 - e - z ) ( 2 - 6 因此有结论2 2 ：设，f ( 彤； 【r 1 ”， i 1 ( r 1 ) ，则“r ( r + ；碍( r 。) ) 且 峪f ) 闷刚fe - p t + 去k ( 1 玎犀) ， 则存在屯( r ) 0 ，可f f ：( 固， i t o ，v t t 3 ( r ) ，i l u o 。i i _ r ，有缸。( o l l 2 c 。 第四步：用一“一与( 2 1 ) 在寥中作内积，可得 1 2 旦加。1 7 , 一。2 + 圳。j | 2 + n l l “= = 1 1 2 + ( 一, a 2 虬) = ( 一，厂) 其中( 一“一。，“2 g ) = 2 c z ( u g 2 , “。) + 口( “2 ，“。) 2 口( “虬2 ，”。) 2 口1 | “i i 。i l u = 1 1 2 i l u = = l l - 2 口l l 吖胪f 1 虬庐0 “；。l i q j l “。1 j 2 +