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中南大学硕十学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 ab s t r a c t t h r o u g h h a v i n g s t u d i e d a n d s y n t h e s i z e d c u r r e n t d o c u m e n t s o f s i g n a l s y n t h e s i z i n g a n d p r o c e s s i n g a n d t h e g r e y t h e o r y , c o n s i d e r i n g t h e s h o r t c o m i n g s o f e x i s t i n g m e t h o d o f f a u l t d i a g n o s i s , w e p u t n e w k n o w l e d g e o f m a t h a n d g r e y t h e o r y f o r w a r d t o t h e f i e l d o f f a u l t d i a g n o s i s o f r o l l i n g e l e m e n t b e a r i n g a n d g e a r b o x . t h i s p a p e r e l a b o r a t e d t h e d e v e l o p m e n t o f t e c h n i q u e s t o i n c r e a s e t h e r a t i o o f s i g n a l t o n o i s e a n d i n t r o d u c e d n e w t e c h n i q u e s t o d e c r e a s e t h e r a t i o o f n o i s e w h i c h i n c l u d e s a p p l y i n g c e p s t r u m , t h e me t h o d u s i n g p h a s e p o r t r a i t a n d s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n . t h e t e x t s u m e d u p t h e s e a c h i e v e me n t s o f t e c h n i q u e s a n d p u t f o r w a r d a i m p r o v i n g m e t h o d t o i n c r e a s e t h e r a t i o o f s i g n a l t o n o i s e b a s e d o n l e a s t - s q u a r e . t h i s m a k e s i t m o r e c l e a r l y t o e m b o d y t h e c h a r a c t e r o f t h e s i g n a l o b t a i n e d . t h e t e x t v e r i f i e d t h e e f f e c t o f t h i s m e t h o d t h r o u g h s i m u l a n t f i g u r e s a n d s u m me d u p i t s a d v a n t a g e s c o m p a r e s w i t h e x i s t i n g m e t h o d s . t h e p a p e r e l a b o r a t e d t h e v i b r a t i n g f o r m s o f f a u l t y r o l l i n g e l e me n t b e a r i n g a n d t h e g e a r b o x a n d i t s t i m e d o m a i n p a r a m e t e r s ， t h e n a p p r o a c h e d t h e p h y s i c s i g n i f i c a n c e o f t h e s e p a r a m e t e r s . t h i s m a k e s i t e a s y t o c o n n e c t t h e f a u l t s o f t h e m a c h i n e a n d t h e s i g n a l o b t a i n e d . t h e p a p e r a l s o e l a b o r a t e d t h e b a s i c t h e o r y o f t h e g r e y t h e o r y a n d c o n s t r u c t e d t h e t y p i c a l f a u l t y mo d e l m a t r i x o f t h e g r e y t h e o r y . a c c o r d i n g t o t h e p o o r d i f f e r e n t i a t i o n o f e x i s t i n g f a u l t d i a g n o s i s u s i n g g r e y t h e o r y , t h e p a p e r s u m e d u p s o m e a c h i e v e m e n t s o f f a u l t d i a g n o s i s a n d p u t f o r w a r d t h e m e t h o d s t o i n c r e a s e t h e d i f f e r e n t i a t i o n l i n k i n g m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e a n d g r e y t h e o r y . s t a r t i n g w i t h c h o i c e o f p a r a m e t e r s , i m p r o v e m e n t o f t h e b o c o r r e l a t i o n , p r e d e t e r m i n e d p a r a m e t e r s o f g r e y t h e o r y , t a k i n g m e a n o f t h e p a r a m e t e r s , a d o p t i n g o f r e l a t i v e p a r a m e t e r a n d s e t t i n g u p o f t h e t h r e s h o l d v a l u e , t h e p a p p e r t r i e d t o i m p r o v e t h e d i f f e r e n t i a t i o n o f t h e c o r r e l a t i v e o f t h e g r e y t h e o r y t h r o u g h t h e s i m u l a n t t e s t a n d t e s t , t h e t e x t v e r i f i e d t h e i m p r o v e m e n t o f t h e d i f f e r e n t i a t i o n o f t h e c o r r e l a t i v e u s i n g t h e a b o v e - m e n t i o n e d m e t h o d . l t a l s o v e r f i e d i n c r e a s e o f t h e a c c u r a c y o f t h e f a u l t d i a g n o s i s u s i n g g r e y t h e o r y . , a n d c o m p a r i n g t h e r e s u l t s o f t h e f a u l t d i a g n o s i s w i t h t h e r e a l i s t i c f a u l t , t h e p a p e r v e r i f i e s t h e f e a s i b i l i t y a n d p r a c t i c a b i l i t y o f t h e p r o p o s e d m e t h o d . k e y w o r d s : r a t i o o f s i g n a l t o n o i s e t h e g r e y t h e o r y f a u l t d i a g n o s i s c o r r e l a t i o n r o l l i n g e l e me n t b e a r i n g g e a r b o x 中南大学硕士学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 第一章 综述 1 . 1灰色理论在机械故障诊断领域的应用 1 . 1 . 1机械故障诊断技术发展 随着科学技术的发展， 信息和智能时代的到来， 机械设备日益朝着大型化、高速 化、连续化和自动化方向发展。机械设备的功能越来越多，性能越来越高，组成 和结构越来越复杂，对设备管理与维修人员的素质要求也越来越高。设备复杂性 和关联性的增强后，某处发生故障常常容易爆发链式反应，导致整个设备乃至与 设备有关的环境遭受灾难性的毁坏。同时人们对设备安全、稳定、长周期、满负 荷运行的要求也越来越迫切。过去对设备采用的周期维修方式越来越显得既不经 济又不合理，还降低了设备的工作性能。只有采用现代化手段，及时掌握设备的 运行状态，才能预防故障，杜绝事故，延长设备运行周期，缩短维修时间，最大 限度地发挥设备的生产潜力，提高经济效益和社会效益。机械故障诊断技术依据 设备在运行过程中，伴随故障必然产生的振动、噪声、温度、压力等物理参数的 变化来判断和识别设备的工作状态和故障，对故障的危害进行早期预报、识别， 防患于未然，做到预知维修，保证设备安全、稳定、长周期、满负荷优质运行， 避免“ 过剩维修” 造成的不经济、不合理的现象 l z 1 .3 1 。 对机械设备的 运转进行 状态监测与故障诊断，改传统的周期维修( t i m e b a s e d m a i n t e n a n c e ) 为状态维修 ( c o n d it i o n b a s e d m a i n t e n a n c e ) e4 1 ， 不 但可以 防 止机 械i - 作 精度 下降， 减 少或杜 绝事 故发生，而且还能最大限度地发挥设备的生产能力，提高经济效益和社会效益， 因而具有重要的意义 5 1 。同时随着工业生产逐步向 大型化、高速化、自 动化方向 迈进，也为设备故障诊断技术开辟了广阔的应用前景，在实际生产中必将发挥更 大的作用。 6 0年代以来，由于半导体的发展，集成电路的出现，导致电子技术、计算机 技术的更新换代， 特别是 1 9 6 5 年f f t方法获得突破性进展后出现了数字信号处理 和分析技术的新分支， 这为设备诊断技术的发展奠定了直接的和必要的技术基础。 以科学技术的发展为基础，最早发展设备诊断技术的国家是美国。早在 1 9 6 7 年在美国宇航局和海军研究所的倡导和组织下就成立了美国机械故障诊断预防小 组( m f p g ) ， 开始了有组织有计划地对诊断技术分专题进行研究。2 0多年来已召开 学术交流大会4 0 多次. 在此期间许多学术机构如美国机械工程协会， 政府部门如 国家标准局，国家锅炉及高压容器监测中心以及一些高等院校和企业公司都参与 了或进行了与本行业有关的诊断技术的研究，取得了大量的成果。随之其它一些 国家的故障诊断技术也取得了较快的发展，推出了一些各具特色的诊断技术，如 美国t e d e c o 公司的 润滑油分析诊断技术 16 1, 7 1 ; 瑞典s p m公司的 轴承监测技术18 1 a g e m a公司的红外热象技术1 9 1 ;丹麦b 运用现代测试技术， 测量与监视伴随设备运行的振动、 噪声、温度、压力、流量等参量;利用信号分析与处理技术，对这些参量的模拟 与数字信息进行分析与处理;建立动态信息与设备故障之间的联系，运用智能科 学技术确定设备故障等。利用多种数学原理和系统理论近年来在机械故障诊断领 域 涌现出了 一 些新 技术， 主 要 有如下的 时 序参数 模型 法 川 、 模糊诊断 法 1 2 1, 1 3 1 、 和 神 经 网 络 诊 断 法 14 1,11 5 1等 。 一 时 序诊 断 法 i i i 时序诊断法的实质就是利用时序分析方法对检测信号进行模式识别。设有 k 种典型故障，每种典型故障可由n 个特征参数构成一个特征向量b r j = b r j ( 1 ) , b r j ( 2 ) . . . b r j ( n ) ， 式中r表示由典型故障原因构成的，则这k个特征向量可构成一个 典型的特征矩阵: b r 1 ( 1 ) b r i ( 2 ) . b r 1 ( n ) 6 r 2 ( 1 ) b r k ( l )b r k ( n ) 厂|习刁|1 leses声eses. rrr bbb 了lesles - 1.卫 r b 户.l 矩阵元素b r j ( r ) ( j = 1 , 2 . . . . k , r = 1 , 2 , . . . n ) 为第j 种典型故障所建立的a r模型的第r 个 特征参数所组成。同理，对于p组待测数据 ( 用代号t表示) ， 亦可建立p个对应 的a r模型而构成待测特征矩阵为: b t 1 ( 1 ) b t t ( 2 ) 6 t 2 ( 1 ) b t i( n ) b t r ( 1 )b t r ( n ) 厂|处 一- 、1.1! titztp bb二b 一矛1.es - 1.卫 t b r.l 上述每一个特征向量都代表一种设备故障状态的 “ 模式” ，因此故障诊断的问 题就归结为 对每种待测模式进行识别的问 题。 设 第j 个待检测模式向 量为b t j ， 通过 b t j 与k个典型故障模式向 量b r ( 1 = 1 ,2 , . . . ,k ) 之间的 距离函 数的 逐一计算， 可得一 个“ 距离” 值的 序列d t j r 斗 d t i r 1 d t j r 2 . . . d t i r k 若按“ 距离” 值从小到大依次排 列可得如下次序: d t j r r x i 二 ， r , s ,t e 1 , 2 , . . , m ， 以 上提供了待检信号的特征应 归结为某种故障原因可能性大小的顺序，从而为诊断决策提供了依据。 2 模糊模式识别在故障诊断中的应用 设由有 k种典型故障，表现为n 种征兆，可构成如下征兆集: u = u 1 , u 2 , . . . , u 则可在 u上构造 k个模糊子集xr i , xr 2 , , xr k 。每一模糊子集都是由下述的 模糊向量所构成: x r 1 = x r i( 1 ) , x r i( 2 ) , . . . , x r j( n ) ) = 9 r i( u i ) , g r i( u 2 ) ， 二 ， ， 1 1 r i( u n ) ) 其中x r io ) = 1 1r i( u j ) 表示第i 种典 型故 障( r i ) 对u上的 第j 种征兆 ( u i ) 的 隶 属 度即: x r i( 1 ) = 1 a r i( u i ) ( 1 倍频峰值隶属度) = 1 x r i( 2 ) = 9 r o2 ) ( 2 倍频峰值隶属度) = 0 . 1 x r i( 3 ) = t r i( u 3 ) ( 3 倍频峰值隶属度)= 0 . 1 x r i( 4 ) = t r i( u 4 ) ( 振动烈度隶属度) = 0 . 8 由此所构成的模糊向量为: x ;r -f y% = ( 1 , 0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 8 , . . . . . . ) 仿此可构成其它典型故障( 如不对中，基础松动等) 的模糊向量。 现有一待测信号 ( t ) ，设其在 u上构成的模糊向量为: xt = x t ( 1 ) , x t ( 2 ) , . . . , x t ( n ) ) = 1 a t ( u i ) , k t ( u 2 ) , . . . , 1 1 t ( u n ) ) 其中x t g ) = l t ( u j ) g = 1 , 2 , . . . , n ) 表示待检信号对u上的第j 种征兆的隶属度。则可以 这样来表示模糊模式识别的基本原理:每一个模糊向量 ( 子集)都代表一种 “ 模 式” 。 根据待检模式与各种典型模式之间贴近度的计算， 按照贴近度从大到小可排 列成如下的顺序: 6,6s r t i r t r , s , t e 1 , k 则提供了 待检模式 x t j 划归某种典型模式可能性大小的顺序， 从而为诊断故 障提供了依据。对于其它待检模式亦可进行相同的处理。 典 型 故 障 模 式 x r i ( 基 准 状 态 1 ) 关联度 典型故障模式x r 2( 基准状态2 ) 待检模式xt , ( 待检状态) 分析 -今 典型故障模式x r k( 基准状态k ) 图1 . 1灰色模式识别原理 灰色诊断法是灰色系统理论与故障诊断技术相结合的产物。 灰色系统理论把数 中南大学硕士学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 据中的随机成分当成灰量处理，采用累加生成的方法削弱随机量而突出趋势项， 以寻求数据中的确定性的内在规律，它不要求数据具有特殊分布和性质，亦不要 求大样本数据，且计算量较小。灰色系统理论着眼于系统内在规律的研究，因而 从状态预测的角度来看，比时序预测的精度高、效果好。和模糊诊断相比，模糊 i全 断中隶属函数和模糊关系矩阵的建立主要依靠实验和经验，存在较大困难。灰 色诊断法通过待测故障状态样本和典型故障样本的关联程度来诊断机械设备的故 障的故障，其中的关联度分析是关键，其计算不存在上述困难，只需要进一步提 高其分辨率。灰色诊断法把一切不确定量都当成灰量处理，对时序诊断法和模糊 诊断法都具有包容性。本论文针对机械设备现有的故障诊断方法的不足，提出了 将灰色系统理论用于齿轮箱和滚动轴承的故障诊断中。 1 .2灰色诊断的关联度分析方法118 1,4 5 1,4 7 1 灰色关联分析法用于区分所研究因素的密切程度，而灰色诊断法就是通过计 算典型故障模式矩阵和待测状态矩阵的关联度，来诊断机械故障。本文以齿轮箱 和滚动轴承作为研究对象。一个运行着的滚动轴承是一个复杂的灰色系统，主要 表现在其故障和征兆之间的随机性和模糊性，而整个故障诊断的过程就是灰色系 统理论处理问题过程的具体体现。 灰色诊断法常常是通过归纳几种典型故障样本， 选取几种反映故障运行状态的参数，构造一个典型故障样本矩阵，然后测取状态 待测轴承的所选参数值，构造状态待测矩阵，计算它和典型故障样本矩阵之间的 关联度。由于所选取的参数并没有很好反映故障信息，其参数值也没有根据具体 情况对其进行预处理，而且往往只计算了a型关联度。以至于灰色诊断法所得到 的关联度矩阵区分度差，加上受轴承振动信号组成成分的复杂性的影响，其诊断 出来的结果与现场解体情况并不一致，有时出现误判的情形，影响了灰色诊断法 的准确程度。 本论文试图 从参数选取l4 3 1 , 44 1 , a b o 型关联 度的改 进4 5 , 40 , l4 v , 4 n 、 参数值的灰色 预 测4 1 , 4 2 1 , l50 1 、 参数 值的 平均4 9 3 、 相对参数 法的 采用4 11 、 参数值的累加 处理4 11 和 关联度闲值的设置入手，来提高滚动轴承灰色诊断法关联度矩阵的区分度，从而 达到更准确地诊断滚动轴承故障的目的。 1 . 3工程信号分析与处理中的信噪比改进技术1 19 1 . 3 . 1信号分析与处理在故障诊断中的作用 2 0 , 2 1 1 机械在运行过程中， 和运行状态有关的物理量随时间的变化呈一定的规律。 这 些物理量包括振动、噪声、温度、压力等。用各种相应的传感器及测量仪器测得 它们随时间的变化就获得信号。信号中常常包含有对机器状态识别与诊断非常有 用的各种信息。建立它们和设备运行状态之间的联系，是设备故障诊断的基础。 为了更有效地进行识别和诊断，通常还要对信号进行加工处理，抽取其特征。如 果知道某些特征与设备的状态或某种故障有较强的依赖关系，就能得到较好的诊 断效果。在机械设备的故障诊断中，工程信号处理的目的就是去伪存真，提取与 中南大学硕 t 学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 设备运行状态有关的信息。 机械设备的工况监视与故障诊断系统通常采用的信号采集装置主要包括振动 ( 位移、加速度)信号采集，温度、压力等非振动信号采集以及开关量采集等模 块。例如振动信号采集模块就是通过将传感器检测到的各种特征信号 ( 振动、温 度、压力的模拟信号)放大后，采用如下方法进行处理: ， .用磁带记录仪进行现场记录， 再回放至信号分析仪处理或经 a / d转换后由 计算机处理; 2 .直接送信号分析仪进行处理，还可以将处理结果送计算机做第二次处理; 3 .通过二次仪表显示并记录; 4 .直接通过a / d采样，将所得的数字信号传送到计算机进行在线分析和处 理 。 故障诊断技术主要是根据上述第4 种方式的要求， 进行振动信号采集。 该系统 共有三个模块: 振动信号采集模块、 非振动信号采集模块和开关量信息采集模块。 例如振动信号采集模块在将由传感器检测到的振动模拟信号送a / d转换之前，先 对信号进行适当的调理以便满足 a / d转换的要求;然后通过取样和量化这两个 a / d转换的基本步骤将检测到的模拟信号转换成数字信号，以便于计算机分析与 处理; 最后通过选择采样频率和采样起始时刻等协调和控制采样电路的正常工作。 在状态检测和故障诊断等领域中， 信号分析与处理是在幅值、时间、 频率等领 域进行的，它们是从不同的角度对信号进行观察和分析， 丰富信号和处理的结果。 对样本的取值进行统计， 称为幅值域内对信号进行研究， 在此， 幅值是广义的 幅值，即样本记录一切可取值。在幅值域内最重要的几个基本概念是概率密度函 数、概率分布函数、均值、方差、歪度和峭度等。 所谓时域是指一个或多个信号其取值大小、 相互关系等， 可定义为很多不同的 时间函数或参数，这些时间函数或参数的集合称为时域。时域分析是指计算这些 函数并进行分析，显然对于确定性信号或随机信号存在不同的定义及处理方法。 随机信号的定义及处理比较复杂，确定性信号的处理则与随机信号中的各态历经 过程的处理类似，所以以下叙述中以随机信号的定义及处理方法为主，确定性信 号的处理可参见各态历经过程的处理。根据时间函数或参数的不同，时域进一步 细分还可以分为幅值域和时差域、倒频域和复时域等。倒频域和复时域将在频域 分析内描叙。 1 . 3 . 2信噪比改进技术在信号分析与处理的应用 任何一个运动着的机械或承载设备， 均可用不同的物理、 力学参数 ( 力、 力矩、 压力、应力、运动的速度和加速度、振动、噪声、温升、排放等) ，来描述它的工 作状态。任何一个机械设备故障都不同程度地引起某些参量值的变化。因此，现 代连续的生产设备或大型设备均装置在线检测设备，利用上述参数量值来监视机 械的工作状态，并从这些参数量值的变化中提取故障信号，作出正确的判断，称 1 1 中南大学硕十学位论文一种改进的灰色诊断关联度分析方法 为机械设备的状态监测与故障诊断。状态监测与故障诊断的实现通常都是利用传 感器和测量仪表将表征机械状态的特征参数转换成离散的或连续的电信号，而后 经放大进行记录、显示和分析处理，由于分析处理的是电信号，所以称为信号的 分析与处理。 当监控对象所处的环境中存在较多的干扰， 或振动信息在传递过程中所经历的 中间环节较多时，传感器测得的状态信号中常常不可避免地夹杂有大量的噪声。 只有降低测取信号中的噪声成分，提高所获得信号的信噪比才能更好地对机械进 行状态监测与故障诊断。提高获取信号的信噪比常用的方法有数字滤波和最小平 方滤波法2 2 1 ，近几年来随着计算机和振动与噪声理论等相关学科的发展，在信噪 比改进方面人们又提出了一些较新的方法，主要有时域平均法2 3 1 、自 适应除噪技 术 2 4 1,2 5 1 、 倒 频谱除 噪 12 6 和 伪相图 与 奇 异 值分 解技 术2 7 1,2 8 1等。 本论 文在总 结了 国 内外信噪比改进技术的基础上，提出了一种改进的基于最小二乘法的降噪技术， 提高了对机械设备进行状态监测与故障诊断的准确程度。 1 . 4论文的技术路线和意义 整个论文分为五个大部分，其它几部分分别为论文的第二、三、四和五章。第 二章介绍了信号分析与处理在故障诊断技术中的应用和信噪比改进技术的发展， 在总结以前人们研究的成果的基础上，提出了一种改进的基于最小二乘法的信噪 比提高方法，使所获取的信号能更好地排除干扰信号的影响，更能体现机械设备 运转的本质特征; 第三章作了齿轮和滚动轴承故障振动分析及其时域参数的描述， 将机械设备发生故障时其参数值和故障特征之间联系起来了;第四章先阐述了灰 色系统理论的原理，然后应用第二章提出的信噪比改进技术和第三章表述的故障 形式和测取参数之间的联系，论述了论文提出的改进关联度分析方法采用的具体 措施及其在齿轮箱和滚动轴承故障诊断中的应用;第五章通过实验验证了文章提 出的方法的有效性和实用性，最后文章总结了本次研究的成果。 中南大学硕十学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 第二章 基于最小二乘法的信噪比改进方法 从前面的综述我们知道: 降低测取信号中的噪声成分， 提高所获得信号的信噪 比，对提高对机械设备状态监测与故障诊断的精度，有着重要的意义。本章总结 现有国内外信噪比改进技术与方法后， 提出了一种改进的基于最小二乘法 ( i l s d) 的降噪技术，为后续章节对机械设备进行状态监测与故障诊断奠定了基础。 2 . 1 信号去噪的基本方法 2 . 1 . 1 数字 滤波 和 最小 平 方滤 波 法 2 0 1, 2 2 1 从机械设备工作的实际情况和以上信号处理的过程中我们知道， 不管处在什么 样的工作环境，各种噪声和干扰信号的存在总是难以避免，要消除和减少噪声和 干扰的影响，需对信号进行预处理。只有通过对提取信号去伪存真，获得与设备 运行状态密切相关的信息， 才能得到较好的诊断结果。 给定振动信号x ( t ) , 假若x ( t ) 由周期信号f ( t ) 和噪声信号n ( t ) 组成: x ( t ) = f ( t ) + n ( t ) 在机械故障诊断理论中， 如何尽量减少n ( t ) 的影响，相对增加f ( t ) 的影响，即提高 信噪比， 是改善对故障诊断的灵敏度和可靠性的核心问题。 在振动理论中f ( t ) 相当 于有规则的振动， n ( t ) 相当于随机振动。 随机振动是非常普遍的一类振动现象， 在 机械故障诊断理论方面，n ( t ) 一般由环境随机振动引起，通常我们对其不感兴趣。 我们感兴趣的是如何在f ( t ) + n ( t ) 的信息中提取有价值的信息f ( t ) ，从而为判断机械 设备的运行状态提供依据。 一数字滤波 从确定信号和随机信号的混合信号中，提取有用信号，排除无用信号或背景 噪声干扰通常采用滤波的方式。 模拟滤波处理连续信号， 数字滤波处理离散信号， 而后者是在前者的基础上发展起来的。在许多应用中，数字滤波比模拟滤波处理 合用得多，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按 照预定的要求转换成输出序列。模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线 性非时变系统，如图2 . 1 ( a ) 所示。 在时间域内，模拟滤波器的动态特性可以用系统的单位冲激函数的响应 h a ( t ) 来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信号x a ( t ) = s ( t )的输出响 x a ( s )y a ( s ) 图 2 . 1滤波器 应y a ( t ) = h a ( t ) 。 这个函数从时域上反映了该滤波系统的传输特性。 对于任意输入信 号x a ( t ) ， 系统的输出信号y a ( t ) 可以卷积表示: 中南大学硕士学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 y :,( t ) = 皿h a (t ) x , ( 一 : ) d t = 皿x (t ) h ( t - t ) d t ( 2 . 1 ) 上式表明在对线性系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先将任意输入信号波 形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通过滤波后的响应，并进行 线性迭加，从而得到总的输出信号。 在频域分析时，线性滤波器的转移函数 h . ( s ) 等于系统的单位冲激函数的响应 h a ( t ) 的拉普拉斯变换: h a(s ) 一 皿h a(t) e -sd t (2 .2 a ) 很明显，当s = j a ) ， 上式就是傅立叶变换的表达式， 它反映了滤波器的传输特性对各 种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数h a o w ) , 它决定着滤波特性。 当滤波器输入信号x a ( t ) 与输出信号y a ( t ) 的拉普拉斯变换分别为x a ( s ) 和y a ( s ) o 对( 2 . 1 ) 式两边取拉普拉斯变换，得 y a ( s ) 二h a ( s ) x a ( s ) ( 2 . 2 b ) 这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的 频谱x a 白 。 ) ，经过滤波作用后，被变换成 h a o 。 ) x a o 。 ) 。因此，根据不同的滤波 要求来选定 h a ( j 叻，就可以得到不同种类的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的 滤波过程就是完成信号qt ) 与它的单位冲激响应h a ( t ) 之间的数学卷积运算。 数字滤波主要用于处理离散时间序列。设输入序列为 x ( n ) ， 离散或数字滤波器 对单位抽样序列s ( n ) 的响应为h ( n ) 。因s ( n ) 在时域离散信号和系统中所起的作用 相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用， 所以在图2 . 1 ( b ) 中， 数 字滤波器的输出序列将是这两个序列的离散卷积: y ( n ) 一 叉 h ( k ) x ( n - k ) ( 2 . 3 ) 同样，两个序列卷积的z 变换应等于各自z 变换的乘积，即 y ( z ) - h ( z ) x ( z ) ( 2 .4 a ) 用z = e j m t 代入上式，其中t为抽样周期，则得到 y ( e j m t ) 一 h ( e j m t ) x ( e i . t ) ( 2 .4 b ) 式中x ( e j . t ) 和y ( e jm t ) 分别为数字滤波器输入序列和输出 序列的 频谱， 而h ( e j m t ) 为单 位抽样序列响应h ( n ) 的 频谱。由 此可见， 输入序列x ( e j m t ) 经过滤波后， 变为 h ( e j m t ) x ( e j m t ) ， 按照x ( e j m t ) 的 特点和我们处理信号的目 的， 选取适当的h ( e j m t ) 使得滤波后的h ( e bx ( e j m t ) 符合我们的要求， 这就是数字 卷积滤波所起到的作 用。 二. 最小平方滤波法 最小平方滤波是一种常见的滤波方式， 它是根据某一最佳条件而设计的， 也就 是按照最小二乘方准则来设计的一种滤波，使其滤波实际输出与期望输出之间的 1 4 中南大学硕十学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 均方差为最小，如图 2 .2所示。 图2 . 2最小平方滤波 x ( t ) 为输入信号( 包括不需要的噪声) ， h ( t ) 为对输入x ( t ) 进行滤波处理的时间函数， 通常称为冲激响应或滤波函数或滤波因子。 y ( t ) 为经过处理后的信号， 即实际输出; z ( 1 ) 为希望输出;s ( t ) 为输出误差，即. g ( t ) = y ( t ) 一 z ( t ) 设q为总的均方误差，或为总误差的平均功率，当 输入x ( t ) 为随机过程时 q = e y ( t ) 一 z ( t ) z ( 2 .5 a ) 其中e 表示对误差的平方求数学期望或平均值。 当输入x ( t ) 为时间函数时， 有 q = 艺 y ( t ) 一 z ( t ) z ( 2 .5 b ) 其中y ( t ) 等于 y ( t ) = h ( t ) * x ( t ) 一 艺 h ( t ) x ( t 一 : ) 因此，每一个滤波函数都对应着一个均方差，这里要求根据输入和希望输出来选 择一种滤波，使实际输出和希望输出之间的均方差q为最小。 假设滤波函数h ( t ) 的长度有限，如 h ( n ) = ( h ( 0 ) , h ( 1 ) , . . . , h ( n ) ) , n = 0 , 1 , 2 , . . . n 即h ( n ) 是由n + 1 个等间距的系数组成的序列。由上述关系式可以把总均方差 写成 q - 艺 y ( t ) 一 z ( t) ， 一 艺 艺h ( t ) x ( t 一 : ) 一 z ( t ) z ( 2 . 6 ) 按照最小平方滤波准则，如果h ( t ) 是所求的最小平方滤波函数，则它的每一个数 字必须满足 q对它的一次偏导数等于零的条件，即 一 翌- = 0 0 - n ) 注意到自相关函数的偶对称性;y . . ( t ) ( 2 . 9 a ) =y . , ( - t ) ， 故上式 y h ( : ) ， : ( : 一 入 ) = : : ( 入 ) ( 2 . 9 b ) 或把 ( 2 . 9 )式左边用卷积符号写成 h ( t ) * y . . ( t ) = y . . ( t ) ( 2 . 1 0 ) 因此，( 2 . 9 ) 或( 2 . 1 0 ) 式的解就是所求的最小平方滤波函数 h ( n ) 。这是按照均方 差误差为最小来确定的线性滤波系统，它是一最佳系统，通常称为维纳滤波器。 由上式可见，维纳滤波器的冲激响应或滤波函数完全由输入混合波形 x ( t ) 的自相 关函数y . , ( t ) 与x ( t ) 和希望输出z ( t ) 的互相关函数y . . ( t ) 所决定。 如果把( 2 . 1 0 ) 式两边取 z 变换， 利用两函数卷积的变换等于它们的变换乘积的 关系， 以h ( z ) , r ., ( z ) 和r . , ( z ) 分别表示h ( t ) , y . ( t ) 和 y - ( t ) 的 变换， 则最佳维纳 滤波器的转移函数 h ( z ) 可写成 h ( z ) = r - ( z ) / r . , ( z )( 2 . 1 1 ) z = e j . t 代入， 即得维纳滤波器的频率响应: h ( e j . t ) 二 r . . ( e j , t ) / r . . ( e 1 , t ) ( 2 . 1 2 ) 其中r . . ( e j . t ) 与r - ( e j . t ) 分别表示 : . . ( t ) 和 y - ( t ) 的 频谱，即 分别为x ( t ) 和z ( t ) 的功率谱。 在输入 x ( t ) 由信号 s ( t ) 和干扰噪声n ( t ) 不相关混合的情况下， 如果维纳滤波 器的期望输出就是信号本身，即z ( t ) - s ( t ) ， 则x ( t ) 的自相关函数 丫 、 ( 下 ) 二 艺 x ( t + t ) 、 ( t ) 艺 s ( t + t ) s ( t ) + 艺 n ( t + t ) n ( t ) = y s s ( : ) + y - ( : ) 式中y , ., ( t ) 和y - ( t ) 分别为信号s ( t ) 和干扰噪声 ( 2 . 1 3 ) n ( t ) 的自相关函数。 中南大学硕士学位论文 一种改进的灰色诊断关联度分析方法 : 二 ( t )艺 s ( t + t ) x ( t ) = 艺 s ( t + t ) s ( t ) + n ( 、 ) = y( : )( 2 . 1 4 ) r ( e j . t ) 与r - ( e j , t ) 分别表示y ( t ) 和y - ( t ) 的频谱， 即分别为s ( t ) 和n ( t ) 的功率， 在对维纳滤波的时间范围内不加限制的情况下，按照( 2 . 1 2 ) 式可得维纳滤波的频 率响应为 h ( e j . t ) = r s s ( e - ) r s s ( e w) + r n n ( e . 7 ) ( 2 . 1 5 ) 由于功率谱具有实的和对称的性质，所以维纳滤波器的频率特性也是实对称 的。 用时域法实现这种数字滤波 、|川 0)1)n 吓九1|匕 / 二 ( 0 ) y - 0 ) y - ( 1 ) y - ( 0 ) 可以把( 2 . y _ ( n ) - y u ( n一 1 ) 9 ) 式改写成矩阵形式: y a ( n) y a ( n一 1 )一y - ( 0 ) 可见这种方程的系数矩阵是对称矩阵。更重要的是沿着与主对角线平行的直线排 列元素全部相等，实质上是由第一行元素循环得到其它各行元素。具有这种性质 的矩阵称为循环矩阵。因此， 这个n + l 阶方阵实际上可由n + 1 个值完全确定。这 个方阵称为托布里兹( t o e p l i t z ) 阵，相应的线性方程组称为托布里兹方程组。它的 解可以用一组递推公式快速算出，从而找出我们所需要滤波器的滤波函数或滤波 因子。 2 . 1 . 2信噪比改进技术的发展 近几年来，随着计算机和振动与噪声理论等相关学科的发展，在信噪比改进 方面也取得了较快的发展，推出了许多通用的方法，主要有时域平均法2 3 1 、自 适 应除噪技术2 4 1, 2 5 1 、 倒频谱除噪 2 6 和伪相图与奇异值分解技术 2 7 1 ,2 8 1 等，下面予以 介绍: 一 时域平均法2 3 1 时域平均法的基本思想是对机械图象以一定的周期为间隔去截取信号， 然后将 所截得的信号段迭加平均，这样可消除信号中的非周期分量和随机干扰，停留确 定的周期分量。现在 x ( t ) = f ( t ) + n ( t ) 我们可以以f ( t ) 的周期去截取信号x ( t ) ， 其截得n 段，然后将各段相加。由于白 噪声的不相关性，可得到 n x ( t ;) = n f ( ( t ;) + 而n ( ( t i) 中南大学硕士 学位论文一种改进的灰色诊断关联度分析方法 再对x ( t i) 平均，便得到输出信号y ( t i) y ( t ;) = f ( ( t ;) + 告n ( ( t ;) jn 因此输出白噪声是原来输入信号的1 / 而 ，因此信噪比可提高v n倍。 时域平均的基本原理如图2 . 3 所示，我们需要注意两点: e 2e i一 加速度信号; e 2 一时 标信号 图2 . 3时域平均的原理 1 . 时域平均法和谱分析不同，后者只需摄取一个输入信号，而前者除输入信号 外，还要摄取时标信号。 2谱分析提供了各个频带内的功率， 其大小主要取决于该频带的能量最大的振 源，谱分析不能略去任何输入信号分量，因而，待检机械振动信号可能完全被噪 声淹没，而时域平均法可以消除与给定周期无关的全部信号分量，