（机械工程专业论文）一种五自由度混联机床的运动学分析.pdf

中文摘要 并联机床是知识密集型机电一体化制造装备，涉及机械、电子、自动控制、 计算机和传感器等多学科领域。本文密切结合开发新型数控加工装备的需要，对 一种五自由度混联机床的若干关键技术进行了系统的研究。 本文首先采用一种二自由度并联平动机构和球面五杆机构分别实现并联机 床的平动与转动自由度，提出了一种新型五自由度混联机床的新构型。对其运动 学进行了分析，得到其位置正、反解的解析表达式。利用螺旋理论求得了该机床 的速度雅可比矩阵，并对其非对称性进行了分析。综合考虑机构的实现位姿能力 及其灵巧度对并联平动机构的尺度综合进行了研究。 其次，采用对并联机床运动学方程取微分的方法求得各个影响因素误差和末 端误差的映射关系，使用叠加原理获得了在综合多种误差影响因素作用下并联机 床的几何误差解析表达式，采用综合误差敏感度、绝对误差敏感度和误差方向敏 感度这三个误差评价指标，将各个机床误差影响因素对机床终端误差的影响进行 了分析。 最后，采用虚功原理，并考虑到该并联机床的解耦特性建立了机床的力雅克 比矩阵，利用力雅克比矩阵的奇异值对机床的承载能力进行了分析。通过简化一 些微小的影响因素，抓取主要矛盾，从而得到简洁的柔度表达式，并在此基础上 对机床的柔度作了进一步分析。 关键词：并联机床；螺旋理论；尺度综合；几何误差；虚功原理 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho np m t ( p a r a l l e lm a c h i n et 0 0 1 ) i n v o l v e sm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g e l e c t r o n i c s ，a u t o m a t i o n ，c o m p u t e r ，s e n s o ra n ds o o n i nt h i sp a p e r ，c o m b i n i n gc l o s e l y w i t ht h en e e do ft h ed e v e l o p m e n to ft h en e wn u m e r i c a lm a c h i n i n gf u r n i s h e s ，s o m e k e yt e c h n o l o g yo fan e wt y p e dh y b r i dm a c h i n et o o la r es y s t e m a t i c a l l ya n a l y z e d f i r s t l y , a2 一dof ( d e g r e e - o f - f r e e d o m ) p a r a l l e lt r a n s l a t i o n a lm e c h a n i s ma n da 2 d o fs p h e r i c a lf i v e b a rm e c h a n i s ma r eu s e dt or e a l i z et h et r a n s l a t i o n a la n d r o t a t i o n a ld e g r e eo ff r e e d o mo ft h ep m ta n dan e wt y p es y n t h e s i so fan e wt y p e d 5 d o fh y b r i dm a c h i n et o o l i sg i v e n t h ek i n e m a t i c so ft h ep m ti sa n a l y z e da n dt h e a n a l y t i ce x p r e s s i o no ff o r w a r da n di n v e r s es o l u t i o nt op o s i t i o nf o rt h ep m ti s o b t a i n e d t h ej a c o b i a nm a t r i xo fv e l o c i t yo ft h ep m ti so b t a i n e db yu s i n gs c r e w t h e o r ya n dt h ea s y m m e t r yo ft h em a t r i xi sa n a l y z e d b a s e do nt w oc r i t i c a li n d e x ：t h e a b i li t yo fr e a l i z i n gt h el o c a t i o na n do r i e n t a t i o na n dd e x t e r i t ym e a s u r e s ，t h e d i m e n s i o n a ls y n t h e s i so ft h et r a n s l a t i o n a lm e c h a n i s mi sd e s i g n e d s e c o n d l y , t og e tt h em a p p i n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n f l u e n c i n gf a c t o r sa n d t h e e n de r r o ro ft h ep m t ，t h ek i n e m a t i c se q u a t i o na r ed i f f e r e n t i a t e d t h ea n a l y t i c e x p r e s s i o no ft h eg e o m e t r i ce r r o ro ft h ep m ti so b t a i n e db yu s i n gt h es u p e r p o s i t i o n t h e o r e ma n dc o m p r e h e n s i v e l yc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c i n gf a c t o r b yc o m p r e h e n s i v e l y c o n s i d e r i n gt h et h r e ee v a l u a t i o ni n d i c a t o r s ：c o m p r e h e n s i v ee r r o rs e n s i t i v i t y ，a b s o l u t e e r r o rs e n s i t i v i t ya n de r r o rt r o p ys e n s i t i v i t y ，t h ei n f l u e n c eo ft h ei n f l u e n c i n gf a c t o r e f f e c t i n go nt h ee n de f f e c t o ri sa n a l y z e d a tl a s t ，t h ef o r c ej a c o b i a nm a t r i xi se s t a b l i s h e db yu s i n gp r i n c i p l eo fv i r t u a l w o r ka n dc o n s i d e r i n gt h ed e c o u p l i n gc h a r a c t e ro ft h ep m t t h eb e a r i n gc a p a c i t yo f t h ep m ti sa n a l y z e db yu s i n gt h es i n g u l a rv a l u eo ft h ef o r c ej a c o b i a nm a t r i xt h e b r i e f l ye x p r e s s i o no ff l e x i b i l i t yi so b t a i n e dw i t h o u tr e g a r df o rm i n u t ei n f l u e n c ef a c t o r s a n dc a t c h i n gh o l do ft h ep r i n c i p a lc o n t r a d i c t i o n b a s e do nt h ea b o v e ，t h ef l e x i b i l i t yo f t h ep m ti sa n a l y z e d k e yw o r d s ：p a r a l l e lm e c h a n i s m ；s c r e wt h e o r y ；d i m e n s i o n a ls y n t h e s i s ； g e o m e t r i ce r r o r ；p r i n c i p l eo fv i r t u a lw o r k - i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：托久、1l 签字吼a 田罗年月尹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：霜，戈、1 导师签名：学位论文作者签名：村， 1 ：1 。这时该机器人 在工作空间耳x 下的行程为： k 一一薯m i n i = 妊+ o = 1 , 2 ) ( 3 2 1 ) 式中 五一= 一i s i n y 一，+ o 5 _ 0l “一心0 8 卜卜( 3 2 2 ) 艺x 2 一m i n 叫2 - - x l m i n j 艺一2 一五一 j 这样，可以得到机器人机构占用面积， s 砌= 2 i 誓。| p + ) ( 3 - 2 3 ) 定义机器人占用面积与所需工作空间面积比作为该机器人基于工作空间优化设 计的性能评价指标，其定义为： 第三章并联平动机构尺度综合 k s = s r o ! w 0 2 4 ) 如希望在给定的工作空间下，机器入机构所占面积最小，则应有赶最小。 3 3 。7 工作空间内无奇异形位 如机器人在工作空间中不存在奇异，采用雅可比代数法，只需机器人的雅可 比矩阵的行列式的值不为零，这也是最一般的、最通用的方法【3 6 1 ，即 d e t p ) 0j t oj ，y 7 0 。 ( 3 2 5 ) 可见，只需极为夹角，不等于零，在该机器人的工作空间内就不会出现奇异形位。 3 3 8 综合性能评价指标 上述的性能评价指标都是从某一方面来讨论机器人机构性能的优劣，而机 器人机构的设计不是为了执行特定的任务而是为了满足普遍的性能指标，这就要 求设计者从多方面着手，兼顾多种性能要求，综合出综合性能最优的机器入机构。 在这里，构造一种新的综合性能评价指标，即 c 。= k ；琵；k ：k ：k s k ： ( 3 - 2 6 如希望在工作空间全域内，该机器人机构的综合性能最优，则应有| | 。最小。 3 4 尺寸设计 该平面并联机器人待定的参数为极位夹焦y ，连杆长度，运动平台尺寸， 机器人末端参考点d 点坐标及关节变量五和z ，的变化范围。其中厂取决于实际 零件的尺寸和安装尺寸，且在文中所选择的装配方式下，工作空间随，的增大而 减小p 所以r 应根据实际设计需要取尽可能小的值，在理论上，这里可以设其 值为零。 3 4 1最佳极位夹角的确定 由式( 3 1 9 ) - - - ( 3 - 2 2 ) n - 见，只要已知极位夹角，就可以确定机构中其它的几 何参数和主动关节变量的变化范围，且各项性能评价指标的大小也与y 有着密切 的关系，可见极位夹角是该机器人机构一个极为重要的参数，它对该机器人机构 的性能有着极为重要的影响。 由该机器人的奇异性分析可见，在y = 0 。时，该机器人将处于奇异形位，再 第三章并联平动机构尺度综合 由图3 2 可见在y 接近于0 。附近，该机器人的灵巧度很差；由图3 3 可见在y 接 近于4 5 。附近，该机器人的面积将会变得很大，所以，的取值，应远离这两个区 域。图3 4 是取步长为1 。，y 1 7 。，4 1 。i 范围内绘制的综合性能指标尼与极位夹 角y 的关系曲线，由图3 4 可见在y 1 2 5 。，3 0 。i 区域，该机器人的综合性能指标 取值最小，在图3 - 4 中如箭头所指示，标出了该区域内的坐标值，可见在y = 2 7 。 时，该机器人的综合性能评价指标最小，这时该机器人综合性能最优，这是本文 的一个重要结论。 善。 嚣 翼 盎 肚 趔 譬 l l 日c 极位夹角，( ) 图3 - 2 全域灵巧度评价指标巧随极位夹角厂的变化情况 极位夹角，( 。) 图3 - 3 机器人所占面积与所需工作空间面积比k 随极位夹角，的变化情况 q若娶旧厘制半h雠莲盯匿旧吨警器1绰 第三章并联平动机构尺度综合 极位夹角( 。) 图3 - 4 综合性能评价指标随极位夹角厂的变化情况 3 4 2 最佳连杆长度的确定 极位夹角确定后，联立式( 3 1 9 ) 和式( 3 2 0 ) 可得，在y = 2 7 。时，连杆长度 ，= 2 3 m m ，这是在极位夹角最优，且满足所需工作空间条件下的连杆长度值， 但这是不是使综合性能评价指标最小的连杆长度呢? 取步长为o 1 m m ，在 ，1 2 3 ，3 9 l 范围内，绘制综合性能指标尼。和连杆长度，的关系曲线如图3 - 5 所 示，可见随，的增长，后。逐渐增大，所以满足所需工作空间条件下的连杆长度 ，= 2 3 m m 即为最优的连杆长度。 1 电；1 睡 趣 鑫 毁 罐 掣 寸 臻 连杆长度7 ( m m ) 图3 5 综合性能评价指标亏。随连杆长度，的变化情况 第三章并联平动机构尺度综合 3 4 3 其他参数的确定及尺寸设计结果 极位夹角和连杆长度确定后，由式( 3 1 9 ) ( 3 2 2 ) 及结合该机器人的位置正、 反解式( 2 7 ) 、( 2 - 8 ) l i pn - j 确定该机器人的其它参数。由式( 3 1o ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 - 1 4 ) 、 ( 3 1 6 ) 、( 3 1 8 ) 、( 3 2 4 ) 和( 3 - 2 6 ) n - 6 i 确定在最优尺度下该机器人的各项性能评价指 标的值。尺寸设计结果如表3 1 所示。 表3 - 1 尺寸设计结果 3 5小结 考虑到机器人机构的奇异形位和装配方式，对一种二自由度平面并联平动机 器人机构的位置正、反解进行分析，得到其封闭解析解。在位置分析的基础上， 得到了该机器人机构的速度和力雅可比矩阵、误差传递和末端柔度矩阵，利用这 些映射矩阵，进而得到评价机器人机构各项特性的性能评价指标。 为了使机器人机构满足普遍的性能要求，利用前面得到的各项性能评价指 标，构造出一个新的综合性能评价指标，该指标综合考虑了机构的灵巧度、力、 误差和速度传递性能、末端变形及机构的占用面积。 提出了该机器人机构极位夹角的概念，通过分析发现该角度是该机器人机构 一个极为重要的几何参数。利用文中提出的综合性能评价指标，期望该机器人综 合性能最优，得到了极为夹角的最优值。进而得到该机器人机构的最优尺寸设计 结果。该设计方法也可用于其它并联机器人机构的设计。 第四章机床几何误差分析 4 1引言 第四章机床几何误差分析 运动精度是并联机床的一个重要指标。建立并联机床的误差模型并分析并联 机床的误差，可以为并联机床设计、制造以及标定提供一些基本的依据。 并联机床几何误差建模方法的核心思想是将非线性问题线性化，从而使问题 简化。常见的建模方法有两种：一种是采用d h 法对并联机床的各个支链建立误 差模型，j t i w a n g 和m a s o r y1 3 7 采用这种方法建立t s t e w a r t 平台的误差模型并用数 值方法求解终端误差，这种侧重于对各个支链的分析，能将支链中多种误差影响 因素都考虑在内，并很容易获得支链末端的误差分布情况，但获得机床终端误差 比较困难；另一种是通过对并联机构运动学方程取微分的方法来建模，如t r o p p o n e n 等t 3 8 】对s t e w a n 平台的运动学方程进行微分，获得了其终端误差和驱动 部件、机构参数之间的解析关系，该方法从整体出发来考虑误差问题，侧重于对 最终结果的分析，可以直接获得平台末端的误差，但考虑的影响因素比较有限。 并联机床几何误差分析的方法也比较少。k i m 和c h o i ”】采用奇异值分解的方 法获得了机床的误差范围。k l t i n g 和y l o n g 4 0 j 分析了机构的误差敏感性，采 用雅克比矩阵的条件数作为误差评价指标。此后，孙昆鹏【4 l j 在k l t i n g 等人工 作的基础上，进一步提出了误差方向敏感度和绝对误差敏感度。李铁民1 4 2 】等提出 了在不同位姿下的并联机床运动精度综合评价指标，该指标将误差方向敏感度、 绝对误差敏感度和综合误差敏感度综合在一起，定义了综合误差系数和综合误差 度，并分析了s t e w a r t 平台在一些位姿下的精度。卢强1 4 3 提出了最大误差敏感度、 总体误差敏感度和误差均匀敏感度指标来衡量终端误差的分布和大小情况，针对 s t e w a r t 平台使用统计方法进行了误差敏感度分析。 这里在并联机床运动学方程的基础上，首先采用对其取微分的方法求得各个 影响因素误差和末端误差的映射关系，其次使用叠加原理获得了在综合多种误差 影响因素作用下混联机床的几何误差解析表达式。最后，采用综合误差敏感度、 绝对误差敏感度和误差方向敏感度这三个误差评价指标，将各个机床误差影响因 素对机床终端误差的影响进行了分析。 第四章机床几何误差分析 4 2 误差建模 首先，对于二自由度并联平面机构，在前面运动学分析中，有如f 运动学约 束方程。 r l 2 ：= ( ( x _ r 一_ x ：i ) ) 2 ：+ y 2 x + r x ( 4 - 1 ) r = (一2 ) 2 + j ，2l vv 将式( 4 1 ) 两边对输入运动参数求微分可得： a y = g ：x( 4 - 2 ) 同理将式( 4 1 ) 两边分别对杆长和运动平台尺寸r 求微分可得： 】，= g ：越( 4 3 ) a y = c j a r ( 4 4 ) 其中 a y = b 每r 蚁= 虹。峨】r 6 娄= 。x x + - - ，r 一- - z 工：! ； 一 x i 五工+ j ! - x ： 啦x - r - x l ：北 6 ，= l x x + - r r 一- z x ：i 少y j 。1 | l 厂r 在这里l ，、赵、址和a r 分别为机构的终端位置误差、输入运动参数误差、 杆长误差和运动平台尺寸，的误差；上式中的矩阵g 羔、g ：和g 歹分别是机构的 输入运动参数、杆长和r 与运动平台的位置误差传递矩阵。 假定各种影响因素之间没有耦合，而且误差值很小，按照线性叠加原理，由 式( 4 2 ) 、( 4 - 3 ) 和( 4 - 4 ) n - j 得该机构的位置误差模型： a y = 碟麟+ 址+ 缸 ( 4 - 5 ) 当原始误差已知后，可由式( 4 5 ) 求出机构运动平台的位置误差。 其次，对于球面五杆机构，可用方向余旋来表示末端执行器在固定坐标系下 第四章机床几何误差分析 的姿态，设末端执行器的方向向量为曰= k “y 屹r ，其中呶、甜，和屹分别 为“在固定坐标系三个坐标方向上的投影。将式( 2 1 3 ) 两边对输入运动参数求微 a u = a u ，a u z j r a 8 = 【q 幺r 噼崔 g l l = c o s s jc o s 2 岛屈3 9 1 2 = c o s 2 岛s i n 0 1s i n8 2c o s a 2 a 3 9 2 l = s i n s , c o s 2 皖口3 9 2 2 - - - - c o s 兮1c o s 8 2s i n 目2 a + c o s 口1s i n 2 配c o s 8 2s i n8 2 a 3 9 3 l = s i n 8 1s i n 0 2c o s 见口3 9 3 2 - - c o s 0 1c o s 28 2 a + s i n 2 毋t o s s , s i n 2 岛a 3 在这里缸和秒分别为机构的末端执行器姿态误差和机构输入运动参数误差，g ； 为输入运动参数与末端执行器的姿态误差传递矩阵。 最后，对于并联机床，若用a p 表示刀具的位置误差，万表示刀具的姿态误 差，尸为刀具长度，按照线性叠加原理和考虑到混联结构的平动与转动解耦特性 有： 厶r = a l p 酿 6 = 妇 若用d 表示刀具的位姿误差，幻表示机床输入运动参数误差， 式合写为下列形式： d = g ：姻+ g 2 虬+ g ? 甜 其中 d = p 万】r 卸= 皿汐r ( 4 7 ) ( 4 - 8 ) 可将以上两 ( 4 - 9 ) 第四章机床几何误差分析 = 瞄甜 g 2 = g t g ? = 或 上式中的矩阵g 岁、g ? 和秽分别是机构的输入运动参数、杆长和，与刀具的位 姿误差传递矩阵，当原始参数已知后，就可由式( 4 9 ) 求出刀具的位姿误差。 4 3 机床误差分析 4 3 1 误差评价指标 如设输入误差为一单位球体，则误差传递矩阵将输入的单位球体映射为一 个椭球，误差椭球的大小、形状基本上反映了终端误差的特征，椭球的离心率、 体积和最长轴长度可描述这些特征，所以利用误差传递矩阵的奇异值可构造三种 误差评价指标。 误差传递矩阵的条件数反映了误差椭球的偏心率，条件数越大对应的椭球越 扁，由于条件数可表示为矩阵最大和最小奇异值的比值盯一仃。洒，所以，定义 误差方向敏感度( e r r o rt r o p ys e n s i t i v i t y ) e t s 为： e t s = 仃。仃曲 ( 4 - l o ) e t s 用来描述误差的各向同性，为了保证各向同性应使e t s 趋近于1 。 定义综合度误差敏感度( c o m p r e h e n s i v ee r r o rs e n s i t i v i t y ) c e s 为： ，_ ：一 c e s = 4 d e t ( a 。g ) ( 4 - 1 1 ) 其中g 为误差传递矩阵，c e s 表示了输出误差与输入误差体积之比。如输入为 一单位球，则综合误差敏感度表示了误差椭球的大小。为了保证终端误差最小， 应使c e s 趋于最小。 误差椭球的最长轴代表最大输出误差，因此，可用与其相对应的最大奇异值 来描述最大输出误差，称为绝对误差敏感度( a b s o l u t ee r r o rs e n s i t i v i t y ) a e s ，即 a e s = 盯一 ( 4 1 2 ) 为了保证机构精度，应使a e s 尽量小。 第四章机床几何误差分析 4 32 误差影响因素对机床终端误差的影响 由以上分析可见，对机床末端误差的影响因素主要是平动机构的驱动误差、 平动机构杆长误差、巾问平台尺寸误差和球面五杆机构的驱动误差。由于机床具 有平动与转动的解耦特性，所以平动机构的驱动误差、平动机构杆长误差和中间 平台尺寸误差只影响终端的位置误差，球面五杆机构的驰动误差即影响终端的姿 态误差，又影响终端的位置误差。 圈4 - 1 ，为平动机构驱动误差对末端位置误差的影响情况，其中图( a ) 、图( b ) 和图( c 扮别是在丁作空间内三种评价指标的变化情况。由图可见三种评价指标随 州自增大而增大，而与y 无关；由图( a ) r 见，由驱动误差所引起的末端误差的各 向同性很差，最大奇异值方向上的误差比最小奇异值方向上误差大的多；由图( b ) 和图f c 河见，机床末端对驱动误差反应十分灵敏，驱动如具有很小的误差就会 使末端产生很大的位置误差。 f b lces ( c 1 aes 圉4 i 平动机构驱动误差对终端误蔫的影响 第四章机床几何误差分析 图4 - 2 为平动机构杆长误差对末端位置误差的影响情况其中图( a ) 和( b ) 分别 是杆长误差对j 和y 的影响情况。在工作空间内，由图( a ) 可见，缸随j 的增大而 减小，与y 无关：由图( b ) 可见a y 随t 的增大而增大与y 无关；由( a ) 和( b ) 两 图可见，血和衄变化范围大小相同、方向相反，杆长误差对机床末端位置误差 影响很小， ( a 1 a x 的影响( b ) a y 的影响 图4 - 3r 的误差对终端误差的影响 很小的误差，就会使末端产生很大的位置误差，尤其是血上f 波动时，具有很 第旧章机床几何谋差分析 大突变，这对于机构应用是十分不利的。 图4 - 4 ，为球面五杆机构驱动误差对末端姿态误差的影响情况其中图( a ) 、 匿( b ) 和图( c ) 分别是在工作空间内= 种评价指标的变化情况，左边是关于误差指 标j 维蚓，右边足与其对应的等高线图。由图( a ) 可见末端误差的各向同性很差， 图44 球面瓦杆机构驱动误蔗对终端姿志误差的影响 存在很大的突变。由图( b ) 和图( c ) 可见在日为9 0 。和2 7 0 。处，b 为o 。和1 8 0 。处 第四章机床几何误差分析 末端姿态误差存在很大的突变，如将鼠取值选择为：一9 0 。 只 9 0 。，将b 初始 位置选择在9 0 。或一9 0 。，且以在其附近取值则末端姿态对驱动误差的敏感度 较小即驱动误差对末端姿态误差影响较小。 图4 - 5 ，为球面五杆机构驱动误差对末端位置误差的影响情况，在这里设 刀具的长度为尸= 2 0 m m ，由于在这里用方向余旋来描述刀具的姿态，山前面的 误差建模可见驱动误差对末端位置误差的影响，就是在姿态误差影响的基础上再 乘上刀具长度p ，所以这里只作出绝对误差敏感度如图4 - 5 。可见图4 - 5 与图4 _ 4 - ( c 1 形状相同，只是在数值上前者是后者的p 倍，因此，为了减小球面五杆机构驱动 误差对末端位置的影响，o l 和0 1 的应选取和前面分析相同的取值范围，且在满足 加工要求的基础上p 的取值越小越好。 1 2 0 1 0 0 8 0 4 0 4 3 小结 图4 - 5 球面五杆机构驱动误差对终端位置误差的影响 本章采用微分运动学方程的方法，分别建立了在不同误差影响因素作用下并 联机床刀具终端的误差模型采用叠加原理。获得在这些因素共同作用下的机床 刀具终端的误差表达式：采用误差方向敏感度、综台误差敏感度和绝对误差敏感 度作为误差评价指标，对不同影响因素对机床末端误差的影响进行了分析，得如 下结论： ( 1 ) 由于具有平动与转动解耦的特性，所以平动机构的驱动误差、杆长误差 和中间平台的尺寸误差只影响机床末端的位置误差；球面五杆机构对机床的位置 误差和姿态误差都有影响： ( 2 ) 平动机构杆长误差址对机床末端位置误差影响最小：在工作空间内由 溷一 蘩。蓬 要。喇 第四章机床几何误差分析 平动机构驱动误差引起的机床末端误差随x 增大而减小，与y 无关，该误差灵敏 性很大；中间平台尺寸误差，对机床末端位置误差影响最大，在设计和加工时 应严格保证r 的精度； ( 3 ) 对于球面五杆机构，当q 取值选择为：- 9 0 。 g 9 0 0 ，将幺初始位置选 择在9 0 0 或一9 0 0 ，且易在其附近取值时，则末端姿态对球面五杆机构驱动误差 的敏感度较小，即驱动误差对末端姿态误差影响较小，且在满足加工要求的基础 上刀具长度尸的取值越小越好。 第五章并联机床静力学与柔度分析 5 1 引言 第五章并联机床静力学与柔度分析 静力学是并联机床分析的必要环节，它是机床运动学分析的延续和动力学分 析、柔度分析的基础。对于六自由度并联机床而言，依据“速度雅克比矩阵和力 雅克比矩阵互为转置”这一定理，可以很容易将运动学分析的结果转换为静力学 分析上来。对于少自由度并联机床，其运动学和静力学之间的关系就比较复杂。 本章采用虚功原理，并考虑到该机床的解耦特性建立了机床的力雅克比矩阵，利 用力雅克比矩阵的奇异值对机床的承载能力进行分析。 由于并联机床机构复杂，各个杆件受力情况随着末端位姿变化而不同，其柔 度是形位的函数，影响机床柔度的因素繁多而且又相互影响，并联机床的柔度计 算问题就显得非常复杂【4 4 1 。本章通过简化一些微小的影响因素，抓取主要矛盾， 从而得到简洁的柔度表达式，并在此基础上对机床的柔度作了进一步分析。 5 2 并联机床的静力学分析 5 2 1 力雅克比矩阵 刀具与工件相互作用时，在接触的地方要产生力厂和力矩栉，统称为末端广 义力矢量。记为： ，= k r r 】r ( 5 - 1 ) 设机床平动机构的驱动力为r ，球面五杆机构的驱动力矩为f 。，则机床的广义 驱动力矢量可记为： r = kf ；】r ( 5 - 2 ) 如设驱动关节的速度矢量为又，末端刀具的速度矢量为矿，在静力学中，按照 保守原理，机床的动能既不耗散也不变化，因而广义力矢量的功率与驱动功率应 相等。即热力学第一定律或等价的虚功原理，也就是 f 7 矿= t t 又 ( 5 3 ) 由前面的运动分析可知： 第五章并联机床静力学与柔度分析 y = 。 ( 5 4 ) 其中 ，= 臣羔： 侉5 ， 为机床的速度雅克比矩阵。将式( 5 4 ) 代入式( 5 3 ) 有： l ，。f = f ( 5 6 ) 因机床的雅克比矩阵不是方阵，所以对式( 5 6 ) 取广义逆有： f = j 卅r ( 5 7 ) 这里，厂，表示j 7 的广义逆，即为机床的力雅克比矩阵。然而，如考虑到机床的 解耦特性，雅克比矩阵的形式为式( 5 - 5 ) 所示，这时，前面的计算可以通过下面两 个阶段来完成，即 篙h 入 固 圯即= l 一。厂j 、7 这样可得力雅克比矩阵为： 咖瞄繁日 伶9 ， 考虑到力和力矩的不同量纲，可将静力方程式( 5 7 ) 写为下列形式： 刀= q f ( 5 1 0 ) f = q f( 5 - 1 1 ) 其中 善三矿石，e 磅耳 e 5 m ， 蟛= p 最jj p 7 由式( 5 1 0 ) 和式( 5 11 ) 可见该机床的力矩承载能力和力承载能力分别取决于g ：和 g ：o 5 2 2 机床的承载力指标 当驱动力矢量r 的模为单位1 时，外力矢量模的极大值即为机床的承载能力 指标。对于该并联机床机构，其外力矢量极值包含力厂和力矩刀两部分。由式( 5 1 0 ) 和( 5 - 11 ) 构造如下拉格朗日方程： 第五章并联机床静力学与柔度分析 l f = ，6 ：1 6 ：z 一 f l t t t n l = r 7 g ：7 q f _ ( r r - ，) 其中，4 和 为拉格朗日乘子条件极值的必要条件是 生：d ? r o 一：o 融， 鼍= o = g 鲰却= 。 坠：o f r f 一，：o a 警一q 一 ( 5 13 ) r 5 - 1 4 ) 5 1 5 5 - 1 6 ) 由式( 5 15 ) 和式( 5 一1 6 ) 可见拉格胡日乘子4 和 即为矩阵q g j 和q g ： 的特征值，外力，和力矩月的模方为： ，7 f = r 7 彰。f = r 7 r f = 五， ( 5 - 1 7 ) ”。qq f = r7 f = ( 5 - 1 8 ) 因此，外力，和力矩月的最大和最小值就是矩阵。和q l q 的最大和最小 最小特征值的开方，其方向即为对应的特征向量。 5 23 机床的承载力分析 由式( 5 - 1 2 ) 和( 5 - 17 ) 对并联机床的力承载能力作分析如图5 - i 所示，其中图 ( a ) 、图( b ) 和图( c ) 分别为在工作空间内机床的最大力承载能力、最小力承载能 力和力各向同性指标的变化情况。其中力各向同性指标定义为= ，。，即 最大外力与最小外力的比。由图( a ) 可见在x 【_ 2 5 0 ，o 】范围内，最大外力逐渐 减小在z e 豳，2 5 0 】范围内最大外力不变；由图( b ) 可见在r 【_ 2 5 仉o 范围 一。 a 1 最大承载能力阳) 最小承载能力 第五章并联机床静力学与柔度分析 ( c ) 力各向同性指标 圈5 - 1 力承载能力分析 内，最小外力不变，在z e i o ，2 5 0 】范围内，最小外力逐渐减小 由图( c ) 可见该 并联机床的各向同性性较好，1 女， 】2 ，在= 0 附件接近于各向同性。由图 5 - i 可见，以上三个力承载能力指标与y 无关。 由式( 5 1o ) 可见并联机床的外力矩与机床的位姿有关，是位置和姿态的耦舍， 为了分析方便，对其分为给定位置和给定姿态两种情况分开来讨论。在工作空问 内，给定位置情况下，对机床力矩最大承载能力作分析如图5 - 2 所示，其中左边 是”曲在工作空间内变化情况三维图右边是与左边相对应的等高线图。由图5 2 可见，在不同位置处n 一的变化基本相同，可见n 一的变化主要取决于机床的姿 态：在日= 0 。和岛= 18 0 0 处，岛= o 。和岛= 1 8 0 。处，机床的力矩承载能力较好。 f a l r o m m 2 6 0 76 r a m 第五章并联机床静力学与柔度分析 第五章并联机床静力学与柔度分析 第五章并联机床静力学与柔度分析 ( i j x - 一10 0 r a m ，y - - 3 1 0 76 r a m 圈5 - 2 力矩承载能力分析( 给定位置) 5 3 并联机床柔度分析 5 31 机床的受力变形与柔度评价指标 并联机床是由许多零部件按不同连结方式和运动方式组合起来的总体，其各 环节在切削力、驱动力、重力、惯性力等外力的作用下，都会产生不同程度的变 形，所以其受力后的变形相当复杂，为了简化计算并考虑并联机床组成特点，我 们通过分析并联机床末端刀具在外力( 切削力) 的作用下产生位置和姿态变形的 大小，来研究并联机床柔度并作如下假设：机床各零部件的重力产生的变形非 常小。可忽略不计；机座、中间平台和运动平台是剐性的：机床各分支仅沿分支 轴线方向变形。由式( 5 2 ) 知机床的广义驱动力矢量为f ，设关节变量在r 作用下 产生的变形矩阵为由，设各个分支驱动系统( 包括传动减速机构) 的柔度系数为 畸，设机床的柔度矩阵为k 。t 则有 第五章并联机床静力学与柔度分析 其中 f = k q 由 k q2 k l 0 0 k 2 00 00 00 00 屯0 0 k a 设刀具在广义力矢量r 作用下的广义变形矢量为s ， 厶，姿态变形矢量为，则有： a s = j d q 其中 ( 5 1 9 ) ( 5 - 2 0 ) 设刀具的位置变形矢量为 ( 5 2 1 ) 丛：b r 厶7 】r ( 5 - 2 2 ) 这里，为机床的速度雅克比矩阵，由式( 5 6 ) 可知j 7 f = f ，则有： a s = 强：j t f 一2 3 ) 如设k o = 1 k , ，则有： a s = d f ( 5 - 2 4 ) 或 阱。阴 p 2 5 ， 其中 d = 7 ( 5 - 2 6 ) 这里d 称为该并联机床的柔度矩阵，由前面的运动学分析可知t ，：k ，；】r ，并 设氏= 1 ，得： 。= 匮z p 2 7 ， 其中 d m = j m j 。t d 嘻= j m j t ， 比= j y 圯 d 叮= j v j ； 考虑姿态变形和位置变形量纲不同，力和力矩量纲不同， ( 5 2 8 ) ( 5 2 9 ) f 5 3 0 ) ( 5 3 1 ) 可将式( 5 2 5 ) 改写为 第五章并联机床静力学与柔度分析 设 这样式( 5 3 2 ) 和( 5 3 3 ) 可写为： 2 u - = d , 。n + d e f a s = d s n n + d 唾f 心n = d m n 心| = d 。，f 缸n = d s n n a s f = d 呼l = n 七心f a s = a s 。+ s f ( 5 - 3 2 ) ( 5 3 3 ) ( 5 - 3 4 ) ( 5 - 3 5 ) ( 5 - 3 6 ) ( 5 - 3 7 ) ( 5 3 8 ) ( 5 - 3 9 ) 式( 5 - 3 8 ) n 式( 5 3 9 ) 表明：刀具的姿态变形，包含瓴和何两部分，其中瓴由 主矩咒产生，由主矢厂产生；刀具的位置变形厶包含血。和地r 两部分，其 中a s 。由主矩刀产生，a s ，由主矢血，产生。在这里，称瓴为力矩一姿态变形、 0 为力一姿态变形、a s 。为力矩一位置变形和a s l 为力一位置变形。当外力矢 量厂的模为单位1 时，即满足： 厂1 f = l( 5 4 0 ) 综合式( 5 - 3 5 ) 、式( 5 - 3 7 ) 和式( 5 4 0 ) 可以得以下二次型方程： 何。( 磁) 叫嘶= l ( 5 - 4 1 ) a s ，。( 嘭) 叫何= l ( 5 - 4 2 ) 方程式( 5 4 1 ) 和式( 5 4 2 ) 表明，当外力矢量厂的模为单位1 时，力一姿态变形， 和力一位置变形丛，分别位于两个椭球上，这两个椭球的各主轴长度分别等于矩 阵和的三个奇异值，所以矩阵和的最大奇异值即代表了在单位外 力矢量厂作用下刀具可能产生的最大姿态和位置变形，所以可以定义矩阵d ，和 d 矿的最大奇异值仃。矿和盯。旷分别为该并联机床的力一姿态柔度评价指标和力一 位置柔度评价指标，分别设为r ( r ) 和s ( r ) 。同理，当外力矩矢量n 的模为单位1 时，即满足： 以r 席= 1 ( 5 4 3 ) 第五章并联机床静力学与柔度分析 综合式( 5 3 4 ) 、式( 5 3 6 ) 和式( 5 4 3 ) 可以得以下二次型方程： a t 1 ( 巩珑) 叫瓴= l ( 5 4 4 ) 厶。1 ( 巩珑) 叫缄= l( 5 - 4 5 ) 方程式( 5 4 4 ) 和式( 5 - 4 5 ) 表明，当外力矩矢量履的模为单位1 时，力矩一姿态变形 包和力矩一位置变形血。分别位于两个椭球上，这两个椭球的各主轴长度分别 等于矩阵玩和d 。的三个奇异值，所以矩阵巩和d 。的最大奇异值即代表了在 单位外力矩矢量甩作用下刀具可能产生的最大姿态和位置变形，所以可以定义矩 阵以和d 。的最大奇异值盯。和吼。分别为该并联机床的力矩一姿态柔度评价 指标和力矩一位置柔度评价指标，分别设为r ( n ) 和s ( n ) 。即有 力一位置柔度评价指标： s ( f ) = 仃。矿 ( 5 - 4 6 ) 力一姿态柔度评价指标： ，( 厂) = 吼矿 ( 5 - 4 7 ) 力矩一位置柔度评价指标： s ( n ) = 吼。 ( 5 - 4 8 ) 力矩一姿态柔度评价指标： r ( n ) = 仃。( 5 4 9 ) 由于矩阵= 厶以和d 。= j r v ，：具有相同的奇异值，所以力一姿态柔度评 价指标和力矩位置评价指标具有相同的数值，但是有不同的量纲。 5 2 1 机床柔度指标的分布 柔度指标是评价并联机床抗变形能力重要性能指标，由以上分析可见，该并 联机床的柔度评价指标取决于速度雅克比矩阵，而雅克比矩阵是随运动平台的位 姿变化而变化，所以该并联机床的各柔度指标在工作空间的不同位姿处具有不同 的抗变形能力。由式( 5 - 2 8 ) 可知机床的力矩一姿态柔度指标只取决于l ，即只与 机床的姿态有关。根据式( 5 4 9 ) ，在工作空间内，对机床的力矩一姿态柔度评价 指标作分析如图5 3 所示，可见岛= 9 0 0 、岛= 2 7 0 。处和幺= 0 0 、幺= 1 8 0 0 处， 机床的柔度有突变，处于极大值，这时机床的刚度很差，是因该避免的位置。 第五章并联机床静力学与柔度分析 图5 - 3 力矩姿态柔度指标分布图 由式( 5 2 9 ) 、式( 5 _ 3 0 ) 和式( 5 - 3 i ) 可见机床的力一姿态、力矩位置和力一位 置这三种柔度评价指标，不仅和机床的位置有关，还取决与机床的姿态。由于力 一姿态柔度评价指标和力矩一位置评价指标具有相同的数值，只是具有不同的量 纲所以在这里只对力一姿态柔度评价指标进行了分析。如图5 4 所示为给定位 置条件下，力一姿态柔度指标的分布情况，图5 - 5 是在给定位置条件下力一位置 柔度评价指标的分布情况，可见b = 9 0 0 、鼋= 2 7 0 。处和睦= 0 。、岛= 1 8 0 处， 机床的柔度有突变，处于极大值，这时机床的刚度很差，是因该避免的位置；另 外，由圈5 4 和图5 5 可见，机床的柔度主要取决与机床的姿态在不同位置处- 黍度指标基本无变化。 7 7 试”1 5 m 8 一。，z 7 2 7 6 7 7 6t 5 8 4 6 7 7 7 6 c ， 。：冀。4 ” 6 2 2 4 6 73 1 33 1 3 蚰7 6 2 2 ( a ) r o m m 1 ；- 2 6 0 76 m ” 日2 0 0 3 0 0 p 【p e j ) ， c r 茹五