（基础数学专业论文）由奇异积分和lipschitz函数生成的交换子.pdf

摘要 本论文研究了由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子的有界性，得 到了一系列新的结果这些结果改进或推广了已有文献中的相关结论 具体的说： 在第一章，对奇异积分交换子历史背景与现状进行了综述 在第二章，研究了具有混合齐次变量核的奇异积分算子与l i p s c h i t z 函 数生成的多线性交换子在l e b e s g u e 空间上的有界性 在第三章，研究了多重线性奇异积分与l i p s c h i t z 函数生成的交换子在 l e b e s g u e 积空间上的有界性 在第四章，研究了多重线性奇异积分与l i p s c h i t z 函数生成的交换子在 变指数l e b e s g u e 积空间到变指数l e b e s g u e 空间上的有界性 关键词：奇异积分，l i p s c h i t z 函数，交换子，极大函数，l e b e s g u e 空间， 变l e b e s g u e 空间 a b s t r c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h eb o u n d e d n e e so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db y s i n g u l a ri n t e g r a l sa n dl i p s c h i t zf u n c t i o n s as e r i e so fn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h e s er e s u l t si m p r o v eo re x t e n dt h er e s u l t si nt h el i t e r a t u r e s t h ed i s s e r t a t i o ni s o r g a n i z e da st h ef o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 ，t h e r ea r et h eb a c k g r o u n d ，t h er e c e n td e v e l o p m e n to fc o m m u t a t o r s g e n e r a t e db ys i n g u l a ri n t e g r a l sa n dm a i nr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，t h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fs i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r sw h o s ek e r n e l sa r ev a r i a b l ew i t hm i x e dh o m o g e n e i t y i nl e b e s g u es p a c e si s o b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fm u l t i l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a l s w i t hl i p s c h i t zf u n c t i o n si np r o d u c tl e b e s g u es p a c e si so b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，t h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db ym u l t i l i n e a rs i n g u - l a ri n t e g r a l sa n dl i p s c h i t zf u n c t i o n sf r o mp r o d u c t so fv a r i a b l ee x p o n e n tl e b e s g u e s p a c e st ov a r i a b l ee x p o n e n tl e b e s g u es p a c e si so b t a i n e d k e yw o r d s ：s i n g u l a ri n t e g r a l ，l i p s c h i t zf u n c t i o n ，c o m m u t a t o r ，m a x i m a lf u n c - t i o n ，l e b e s g u es p a c e ，v a r i a b l el e b e s g u es p a c e i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：主粥2 口0 8 年6 月弓日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打” ) 作者签名：立立专日期：加8 年占月弓日 导师签名；铭署绥 日期：参巩孵名月6 日 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 第一章绪论 奇异积分自从2 0 世纪5 0 年代c a l d e r d n 和z y g m u n d 建立以来，一直是 调和分析的重要研究内容之一由于多线性的估计可以用于偏微分方程 的研究，近十几年来，多重的c a l d e r 6 n - z y g r a u n d 奇异积分的研究得到很迅 速的发展，许多与经典c a l d e r s n - z y g m u n d 线性奇异积分相平行的结果被 得到奇异积分的交换子自从c a l d e r 6 n 1 9 6 5 年引入以来，得到许多数学家 的关注奇异积分交换子的技巧也被广泛地应用于偏微分方程的研究， 见【6 】， 1 2 1 ，【1 5 】正由于奇异积分交换子的重要性，本文将研究一些奇异积 分的交换子 1 1 文献综述 交换子是与奇异积分算子有关的算子由于它与偏微分方程的密切关 系，同时其本身也是很典型的非卷积型的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，所以一 直引起人们的兴趣因此，研究这些交换子在2 ( r n ) 空间上的有界性是一 个有意义的问题令b 为础上局部可积函数和函数t 为c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子考虑由光滑函数生成的交换子 【b ，卅f ( x ) = b ( x ) t f ( x ) 一t ( 6 ，) ( z ) 在著名的工作【3 1 】中，c o i f m a n 和m e y e r 发现经典的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子与b m o 函数生成的一阶交换子的p ( 1 p 0 0 ) 有界性可 以由奇异积分算子的4 权模估计得到a d v , a l r e z ，b a g b y , k u r t z 和p e r e z 在 文献【3 2 】中发展了c o i f m a n 和m e y e r 的思想，建立更一般性的结果 1 9 7 8 年，j a n s o n 在文献【3 4 4 中利用分数次积分，给出了c a l d e r 6 n - z y g r a u n d 奇异 积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的交换子的p ( r n ) 到l q ( r n ) 有界性，其中 1 硕士学位论文 ：= ；1 一署文献 3 8 】研究了由l i p s c h i t z 函数b 与广义c a l d e r 6 n - z y g m t m d 算 子t 生成的交换子【6 ，卅在经典h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界 性，并且在临界点情形证明了该交换子是从h a r d y 空间到弱l e b e s g u e 空 间以及h e r z 型h a r d y 到弱h e r z 空间有界的文献【3 6 】中利用f o u r i e r 变换 和对算子的局部性质做精细的分析，建立与一类卷积算子交换子相关的 一些算子的p ( ) 有界性结果作为这些结果的应用，得到了与球平均 算子交换子相关的离散极大算子以及一类低维集上奇异积分算子交换子 等的妒( 础) 有界性文献【3 3 】中介绍了一类卷积算子与b m o 函数生成 极大交换子在l 2 ( r n ) 以及球面平均算子与b m o 函数生成极大交换子的 p ( 舻) 一驴( ) ( i 与 p 0 0 ，n 3 ) 有界性和球面平均算子与l 伽函数生 成极大交换子的妒( 舭) _ l q ( r n ) ( ：= ；1 一嚣，击 p 1 ) 有界性文献【4 1 】中设p 是非双倍测 度且i = o o ，多重线性奇异积分是从l 1 ( p ) l 1 ( 弘) 到l 1 2 , 0 0 ( p ) 有界的， 2 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 则由多重线性奇异积分和由t o s l a 定义的正规有界振动函数生成的交换 子是在l e b e s g u e 空间有界的 本文对经典线性奇异积分算子作了延拓，研究了由奇异积分和l i p - s c h i t z 函数生成的多线性交换子的在各种不同l e b e s g u e 空间上的有界性 得到了一系列新的结果，其中部分结果推广了已有文献中的相关理论。 1 2 主要结果 定理2 3 1令1 6 - z ，6 咖( 屈) ，其中0 侥1 ，i = 1 ，2 ， p = 反+ 岛则匠列，为从( 舯) 到( 舯) 的有界算子，其中专= 一鲁 定理3 3 1 令1 舔 鲁若t 为2 - c z o ，则 b a ，b 2 ，卅为从l q - l q 2 到l q 的有 界算子，其中j = 击+ 去一等 定理4 1 1 令q t ( ) ，q 2 ( ) 留( 舻) ，6 l i p 0 3 i ) ，其中0 售和赤 售若t 为2 - c z o ，则【6 - ，5 2 ，列为从 l q l 俨到l q 的有界算子，其中丽1 = 丽1 + 丽1 一要 3 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 第二章由混合齐次变量核的奇异积分与 l i p s c h i t z 函数生成的交换子 2 1 问题的引进和定义 s o f t o v a 1 】考虑了奇异积分算子 t f ( x ) = p 矿七 ，z y ) f ( y ) d y ( 2 1 1 ) j r n 和它与b m o 函数b 的交换子 【b ，卅( x ) = b ( x ) t f ( x ) - t ( b f ) ( x ) = p v ( b ( x ) - b ( y ) ) k ( x ，x - y ) f ( y ) d y ( 2 1 2 ) 徐景实【2 】讨论了上式的一般性，也就是多线性交换子的情形， 匮聊加肌厶婴( 坼) - 6 ( 洲x , x - y ) f ( y ) d y ， ( 2 1 3 ) 这里i = 6 - ，6 m ) ，且6 i 为b m o 函数 在( 2 1 1 ) 到( 2 1 3 ) 中，这里的核k ( x ，) ：舻舯 o ) 一r 是具有混合 齐次变量核；它的定义见下一节这类核首先由f a b e s 和r i v i 爸r e 【3 】研究， 它们推广了经典的具有一n 次的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 核k ( o = 鬻和j o n e s 【4 】研究的具有下面的齐次形式的核克( 入，一下) = , 入- - n - m 尼( 专，下) ，舯，下 ( o ，o o ) ，m 1 通过引入一种新度量p ，在空间p ( r n ) 利用f o u r i e r 变换和利 用m a r c i n k i e w i c z 插值定理，f a b e s 和r i v i & e 得到了( 2 1 1 ) 的算子在? ( x n ) 上的有界性，1 p o o ，这里的舯是装备由p 定义的椭球的拓扑空间 2 0 0 2 年p e r e z 和t r u j i u o - g o n z a l e z 在【1 0 】中引入了一种推广，称为多 线性交换子p e r e z 和t r u j i u o - g o n z a l e z 研究的是下面的多线性交换子 【匠司，( z ) 2 上。娶( 玩( z ) 一玩( y ) ) k ( z ，( 剪) d y , 这里亍，( z ) 2 厶k ( z ，( y ) d y 5 硕士学位论文 是c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子带有标准的核k ( x ，掣) ，i = h ，6 m ) ，6 i 都是 b m o 函数，得到了这些算子在加权函数空间的有界性 受【2 】的启发，我们仍考虑( 2 1 2 ) 的多线性交换子的情形，定义 ，t i c s 【瓦卅，( z ) = p y 正( 玩( z ) 一6 ( ! ) ) 七扛，x - y ) f ( y ) d y ， ( 2 1 4 ) o k ”i - - - - 1 这里i = 6 1 i 一，6 m ) ，6 为l i p ( 届i ) 函数，其中0 展1 ，1 i m ，这里 p = 屈，o 卢 0 的单调函数方程f ( z ，p ) = 1 只有唯一的解p ( z ) 容易验证p ( x y ) 定义 了舻任意两个点z ，秒的距离，即时装备了度量p 的齐次度量空间( 见 ( 3 】或 8 】) 相对度量p ( z ) 中心在原点半径为r 的球是椭球 ( 。) = z r 仃：蔓t 2 , ，1 + + 杀2 0 ，q 1 ，a = 啦； 6 鱼童墨积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 = _ = 二：_ ：= = ： 如)七(z；f)d吒=0和ik(x；f)ldaf00，这里。是rn在euclideanjrn ，蕊 一一一 范数下的单位球面，d a 是在器上的l e b e s g u e 测度 ( i i ) 对于任何多重指标：s u pi 七( z ；) i c ( ，) 不依赖z 成立 ，二r n 一 给定函数f l l ( r n ) ，定义它的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子和尖锐极大 算子p 为 m f ( x ) s u p 雨1zi ，( ) l d y ，襻( z ) = 8 高zi ，( 秒) 一f z l d y ，( 2 2 1 ) 这里的上确界取遍所有中心在z 的椭球，且尼= 两1i ! ，( y ) 妇1 a l 表示占 的l e b e s g u e 测度 对于0 卢 c t r ，定义非中心极大算子 w = 霉 南加酬7 叫圻 当= 0 ，m r 卢= 尬且舰为标准h a r d y - l i t t l e w o o d 极大函数m 众所周 知，若， 0 和b 为舻上的局部可积函数若6 属于l 咖( p ) 空间则存在一常数c 0 使得 b ( x ) 一6 ( 可) i c p ( z 一掣) 口 对于几乎一切z 和可属于舯均成立满足上式的最小常数c 为6 的己纫( p ) 范数且记为i | 6 f i l 咖( p ) 7 硕士学位论文 定义2 2 3 设1 p o o 函数f l l ( r n ) 称为属于驴( 舯) 空间，若 后面的范数是有限的， 盯岫= ( 小刮p 出) 坳 引理2 2 1 设f ( x ) 为一个可测函数，那么m f ( x ) 为0 ，p ) 型算子，且 存在一常数c 使得对于f 妒( 舻) ，有m f ( x ) 口( ) 和i i m f l l p c l l f l l p 引理2 2 2 设1 p o o ，则存在一个常数c 使得 i l l l l p c l l f 桦i i p 对于任何函数，p ( ) 成立 接下来的这个引理为0 婴( 魄( z ) 一玩( 妫等( z ) p 一彬( 们匆， 其中冗酊0 一) 表示网p 0 一暑，) 一由定义2 2 1 的( i ) 知，咒巧( ) 都是 通常核，详见【1 】利用文 1 】和( 2 i 中相同的理由，有 觋匠卅e ，( z ) ；! i ，m 。( 。) 匠如，。】，( z ) 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 其中： g j 。，( z ) ：厂 一! ) ，( 箩) 咖， 和 匮】，泳l 胁垂( 始) - 6 i ( 叫删d 1 因此，可以写成 匠卅，( z ) = ( z ) 匠翰】m ) ， 其中 g j ( z ) 2 觋z ( 霉一们x 咒叮。一剪) ，( 秒) 由， 和1 匠】，( z ) 2 觋厶刊 。娶( 谁) - 蛐脾以一彬( 可池 为简便起见，要采用一些记号设m 为任意整数，对于1 i 仇， 记印表示 l ，2 ，m ) 中主个不同元素矿= 盯( 1 ) ，仃( i ) ) 的集合记 ，= l ，2 ，m ) v 为盯c 7 , 在 l ，2 ，m ) 中的补集对于任意盯6 7 , ， 记瓦= n 细b t ，i i 瓦0 = n 细i i b 。l l l 砌) 和 匠，k s j f ( x ) = ( _ ( z ) 一取y ) ) 矿7 - 1 巧 一! ) f ( y ) d y j r n 当口= l ，2 ，m ) 时，记瓜，卸为【瓦司 引理2 3 1令1 6 7 0 ，使得 i k o s f l i ：( r , - ) c 0 川工( r n ) ( 2 3 3 ) 对于函数f l 6 ( 辩) 成立其中甬满足在【1 3 】3 2 8 页推论4 6 3 的条件 定理2 3 1令1 6 a 伊，6 l i p ( 届i ) ，其中0 展1 ，i = 1 ，2 ， p = 尻+ 仍则 b , t i i 为从( 靴) 到( ) 的有界算子，其中专= 6 1 一暑 硕士学位论文 引理2 3 2令【i 】同上，且设1 p 0 0 那么存在一个常数 ( 匮k s j f ) # ( x ) c 卜吖2 旧国( 屿“烈瑚+ 若暑慨i i ( 坞以阮】) ( z ) ) j 对于固定的勋舻，表示中心在勖半径为，的椭球，2 c 表示与同心 但半径是的两倍的椭球将f 分解成f = f 1 + f 2 ，其中f 1 = ，x 笏，x 表 示相应集上的特征函数将，k a j f ( x ) 写成如下 设a = 6 = 吾b ( y ) d y ，a = i l j c c b 一入) ，2 ) ( 知) l ，则有 ( 【6 心】，矿 0 ) 商妒酬，( 功一a l d x i i j e 蓁戥骞巍搿躺旷w 吼圳如 + 尚上i 如( ( 6 一a ) ，2 ) ( z ) 一心( ( 6 一入) ，2 ) ( 跏) i 缸 我们首先估计，此后，记，为p 的共轭指标，对于有限个函数利用h 6 1 d e r ，= 端i 雨i b ( x ) - a ，l 筠) 弋1d z 珈1 似删分c ( 高肛h 恤) v p ( 雨z 嘲似删) q p 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 运里在最后一个不等式中我们利用 引理2 2 3 现在估计j j ，令1 r p 和7 为r 的共轭指标有 ，j 2 南z l 翰( ( 6 一a ) ，1 ) ( z ) i 如 雨1 ( z 瞰( 矿i r 妇) 圻( z1 出) v ， 南( 加叫九z ) 彰f 南( 加圳p 如) 珈( 小矿栌叫如) 沪伽 c i l b l l 彬) ( 知，芦( ，) ( z ) ) ， 这里我们利用了引理2 3 1 ( ) 为0 ，p ) 型算子，其中1 p 1 的情形，对于任意天= ( 入l ，k ) r m ，有 匠k o 】，( z ) = ( b l ( z ) 一6 l ( y ) ) ( 6 m ( z ) 一6 。( 可) ) 咒巧( z y ) f ( y ) d y j ，m 2 厶“6 i ( 功。) - ( 姒计。o 水叫) ，o ) d y =三(一1)一一天)口厶(一两一(zm)曲i= 0 口c l ：r i 。5 = ( i - i ( b i ( x 一九) k 可f ( x ) + ( - 1 ) m k 叮( y i ( 玩一九) ，) ( z ) i = 1i - - - l t n 一1 ， +(一1)一(取z)一两叮厶(配)一天)一心(z一可)m)dyi= 1a e c ， 。 ( 2 3 7 ) 对于( 虱) 一两一，假设( 玟y ) 一两一= ( 取y ) 一虱z ) + 取z ) 一蜀一，则 量( _ 1 ) 一一两口小沪两批( 圳枘 =量(一1)一懒一两口(酞z)一两一厶(x-y)dyi= 1 口凹 。“。 +(一1)一(反z)一两口厶(灰y)一一(z一可)他)匆i- - - - 1a e c , 。“。 =量(一1)一(玩(z)一九)上。(x-y删妇i= 1 口c pt = l 。“。 +(一1)一件1(攻z)一天)一厶(虱z)一一(x-y)m)妇=1 a e c i 。“ 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 =芝(弦妒一斡习叫上。姒)，(y)dyd- - - - 1 。t - 1 ，r ” +量(一1)一件1(砍z)一两矿厶(灰z)一蝴(z一)m)dyif f i l 口c 。 = ( - 1 + ( 一1 ) 仇+ 1 ) n ( 玩 ) 一九) f7 8 i ( x y ) f ( y ) d y l = 1，r “ ，n 一1 + 善( 一1 ) 一件1 ( 灰z ) 一两口厶( 取z ) 一一7 l f 巧( z 一蜘) 妣 = 1a e c p 。 ( 2 3 8 ) 将( 2 3 8 ) 代入( 2 3 7 ) ，有 匮g s j f ( x ) = ( 一1 ) 叶1i i ( b , ( x ) 一九) g s j f ( x ) + ( - i ) m ( i - i ( b i 一九) ，) ( z ) = 工l = 工 f n 一1 ， + 善三( 一1 ) 一件1 ( 取z ) 一两仃上( 虱z ) 一蝴一心( z 一舭) d y = l 口c ：，i 。“ 对于固定的勋r n ，如上定义，2 ，f l 和尸，下面设匠】厂( z ) 为 g , g o j l ( z ) = ( 一1 ) m + 11 2 ( 玩( z ) 一九) k 矗( ，) ) + ( - 1 ) m k 0 ( 1 - i ( b , 一九) ，1 ) ( z ) i = 1 i = l m - i - ( - 1 ) ”k 0 ( i - i ( 6 一a ) ，2 ) ( z ) t = l m - 1 ， + 善量( 一1 ) 一件1 ( 取z ) 一两叮上。( 取z ) 一蝴一心( x - y ) m 油 i = l 蚝c ：， 。 令丸= = 南上瓯( 矽) d u ，和a = i ( - 1 ) 仇k , j ( 僦1 - i ( b , 一九) ，2 ) ( 铂) i ，可得 r竹l ( 匠量白l 歹) 毒 o ) 喜乏匠b,gsjf。(x)一-州(-出1)tksj。qh垦。玩一九)尸，。知，i如 刮_ ) n ) i d z 剃蓠浩= 浅 瓣 i 群k l = l 攀lk a j 渔( h i - , k ) f 2 ) ，卜+ 昌肛( 黔小卜渔) ，卜 1 5 硕士学位论文 + 昌堆三广+ 1 陬山取x ) - b ( y ) ) 一, 7 l s j ( x - y ) f ( y ) d y l 如 = c ( i + i i + i i i + z v ) 同m = l 的情形一样估计，对于有限个函数利用h s l d e r 不等式，有 j = 高zi 酗垆啪 2 碡1 i 渊i i b , ( z ) 一x , i i k o j c f ) ( z ) l d x c 髀h 刁w ( 高加州圳p 出) 珈 _ _ c 重i l l b , i i 娜鹏，芦( k o j i ) ( 圳， 这里最后一个不等式利用了引理2 2 3 为了估计j ，令1 r p 和，为 r 的共轭指标可得 翼糯( b i - a i ) ，i ) f 小l ( x ) z l ：i ；、肛) 1 一高( z1 c 垂如) q1 ( z 1 如) u 一 鳓i ：( 撼划一寸伽南( 加胪如) 坳卧圹划州) 如厂卵 这里我们利用了引理2 3 1 的( ) 为0 ，p ) 型算子，其中1 p o o 和引 理2 2 3 现在我们估计i i i 因为z ，黝，! ，岳2 9 ，根据引理2 2 4 ，有 1 6 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 回帕加。川) 厶卜 nl b ( y ) 一入i l l ，( 可) i i = l 河归r ( 厶产揣匆) 坳k t ，n nl b i ( y ) 一凡i p ， p ( x o 一) a + 1 这里在第三个不等式中我们利用了m i n k o w s k i 不等式 妇厂 ( 2 3 9 ) 令1 口l ，g m o 。，和1 q l + + 1 口m = 1 对于有限个函数利用 h s l d e r 不等式，可得 h 1 ，( 笏) c 。l m ni b , c y ) 一九i p ， p ( x o 一) 口+ 1 咖胁i = l ( 厶嘶匆) 唰川a 埘 同( 2 3 5 ) ，对于1 i m 有 结合( 2 3 9 ) 到( 2 3 1 1 ) 和( 2 3 6 ) ，可得 i i i c j i i i l l l 纫( 卢) ( 鸩，卢( ，) ( z ) ) ( 2 3 1 1 ) 最后，我们估计，矿令1 r p 和，为丁的共轭指标，可得 j y 高喜善县i b t ( z ) - , x , i i 陆，圳7 出) v r ( z1 刁 茎m 言- 1 三( 枷删p 出) ；心) - 入t l n r l ( n - r ) d x ) 譬 冬c 1 1 矗1 1 ( 鸩，卢( 陆，翰1 ) ，( z ) ) 1 7 匆旧 0 厂 舭 ) a 尸 一 k 一 慨 仇m 试 mn：i川伴u 奶 k 一 知 一 。 圹 m 、j卜、尸，们 入 z 一 文 仇 阻 m 兀：i 咿 型 娟k 卜 1 到这里完成了引理2 3 2 的证明 引理2 , 3 3设1 o o ，则 i i 【瓦翰】引i ( p ) 印“2 l i 司l 工似p ) 0 ，i | l 矿( r 。) ( 2 3 1 2 ) 对于所有光滑函数f ( 舯) 成立其中嘉= 一是且常数c 依赖于n ，p ， a ，和p 证明：首先我们假设( 匮】，) 属于( 舻) 对m 利用归纳法令仇= i ， 此时i = b 1 选择p 使得1 p 6 ，根据引理2 3 1 ，引理2 3 2 和( 2 2 2 ) 有 ( 加。，k j j f ) 艳矿 c ( d 竹胆i l b x l l l , 础) m p ，卢( ，) ( z ) j r n + - i l b x l l l 似a ) m p ，卢( 如，) ( z ) 。如) 1 6 仍i l b li l l i p 0 9 ) i f l l l 6 ( m 。) 由引理2 2 2 可得( 2 3 x 2 ) 假设( 2 3 1 2 ) 对于1 ，2 ，m 一1 成立，则再次利用 引理2 3 1 ，引理2 3 2 和( 2 2 2 ) 有 ( f r l l i 瓦如襻( 圳6 印u 5 c ( 上。p 胆i i b l ll 榔( “，) ( 圳6 1 + m - i 似所( ( 【玉，k s j f ) ( z ) ) ji d x ) i f f i l 口q “ j c 旷2 酬卢) ( 1 i 鸩，a ( f ) 1 1 6 ) ， + 严嘲i 州国怖( 伪) ( 扩) 】 i - - - - 1 盯卵 c 2 i i b l l l , 刚t ) i i f l l l c i l , , ) ) 这里1 2 r ，有下面的点估计： i g , g j l ( 删clf 型譬等必刮 c p 唧如fr ( 0 , - 肛o ) ) 胁卜c 心川以 由假设，l 罗则，l 对于1 o o 由于坞，卢从到有界，对于 1 p 6 q p ，嘉= - i 一尝得到第二个积分也是有穷的，即匠】，l 6 ， 1 1 ) 中收敛到6 i k ，因此，至少存在i 矿，k o j l f ( x ) 1 6 的一个子列几乎处处 收敛到i 匠心】，( z ) r 由f a t o u 引理，得到对于一般的情况也成立 因此，由引理2 2 2 ，得到引理对于，嵋成立再由标准的极限过程 得引理2 3 3 这里完成了引理2 3 3 的证明 现在完成定理2 3 1 的证明由( 2 3 2 ) 和引理2 3 3 ，有 i i b , t i i i i l s ( 叫o ( z ) 怯i i k , k , j 1 t l l a c l l 云 l l1 1 t l l ( p ) j 趔椰q 州2 i = 1s = lj = l 选定f ( 3 n 一2 ) 4 ，得 卅f 1 1 6 c l l b l l z 郴) 1 1 t l l 三。，( r 。) 硕士学位论文 这就证明了定理2 3 1 2 0 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 第三章l e b e s g u e 积空间上由多重奇异积分与 l i p s c h i t z 函数生成的交换子 3 1 问题的引进和定义 在最近十几年里，c a l d e r s n - z y g m u n d 的多重线性奇异积分算子的研究 得到了很大的发展，许多与经典c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的线性理论相平行 结论都已得到详见 1 7 】，【1 8 】，【1 9 ，【2 2 】和【2 4 】同时，由奇异积分算子生成 的交换子同样也吸引了很多作者的兴趣，详见 9 】，【l o 】，【1 1 】， 1 6 】，【2 0 】，【2 1 】和 它们的参考文献事实上，多线性交换子是最近由p e r e z 和t r u j i l l o - g o n z a l e z 在【1 0 】中提出的并且在【1 1 】中p e r e z 和t r u j i l l o - g o n z a l e z 得到了向量值奇 异积分算子和交换子的s h a r p 加权估计受以上这些结论的启发，我们考 虑由多重线性奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 令t 是一个定义在m 重s c h w a r t z 积空间夕( 舯) 上的多线性算子并使 之在缓增分布空间夕( 耙) 上有定义，其分布核k 定义在( 舻) t ，件t 上除了 对角线上元素y o = 影l = = 的函数，使得 ， t ，( 甸= t ( f l ，厶) ( 功= k ( x ，y l ，跏) ( s ，1 ) 厶( y m ) d y l d ，( 3 1 1 ) j ( r “p 当 ，m 为l 孑( ”) 且zgn 銎ls u p p f i ，其中罗( 耙) 表示所有在l ( 舯) 上具有紧支集的函数进一步，这个核函数k 还满足标准估计 m l k ( y o ，y l ，y m ) l a ( 乏二i y k 一鼽i ) 一啪， ( 3 1 2 ) 知。l = 0 当珈，! ，l ，不全等时，和存在某个e 0 ，有 i k ( y o ，y x ，协，y m ) 一k ( y 0 ，可l ，彰，) i 2 1 m a l 珊一彰i ( l 玑一饥i ) 懈“ 知1 = 0 ， ( 3 1 3 ) 硕士学位论文 其中0 j f 7 l ，l y j 一蟛i ；m a x o 七ml y j 一玑i ，这些核函数我们称为m 重 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 核函数并且在【17 】中将它们的集合定义为m - c z k ( a ，e ) 对于这些算子，g r a f a k o s 和t o r r e s 在【17 】中得到了对某个1 q l ，q m ( 3 0 且满足 三+ + 三一1 ， ( 3 1 4 )一+ + 一= 一，( 3 4 ) q lq m口 算子t 是从l q l l 到l a 的有界算子，这蕴涵了对所有满足1 口l ，q m o o 且满足( 3 1 4 ) 的指数，t 是从l q l l 口m 到l q 的有界算 子，且具有弱估计， t ：l 9 1 l 帅_ 一 其中1 q l ，q , n o o 这里l q 和l q ，分别表示l e b e s g u e 空间和弱l e b e s g u e 空间，其中0 口 ( 3 0 特别地，有算子 t ：l 1 l 1 _ l 击， 此性质推广了线性情形的经典结论 令t 是形如( 3 1 1 ) 具有m c z k ( a ，) 核的算子假设t 从l q t 伽 到l q 具有有界性，其中1 口1 ，q m 0 ，我们定义算子磁。 蟛，= ( m 孝( 1 丌) ) ( 3 1 5 ) 对于0 p 礼，定义非中心极大算子 m 班s u p 南j 挑矿d r i w luj 2 2 由奇异积分和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 当卢= 0 ，帆卢= 尬且m 为标准h a r d y - l i t t l e w o o d 极大函数m f 众所周 知，若r 0 和b 为舯上的局部可积函数若b 属于l i p ( p ) 空间则 存在一常数c 0 使得 i b ( z ) 一6 ( y ) i g i z 一耖i 卢 对于几乎一切z 和属于舻均成立满足上式的最小常数c 为b 的l i p ( p ) 范数且记为i i b l l n , 郎) 令若= ( 6 l ，k ) ，6 t l i p ( 3 i ) ，其中0 屈1 ，1 i 仇这里= 屈， 0 n 和厂= ( ，厶) ， ，厶为恰当的函数我们将考虑以下类型 的算子 【瓦卅冗z ) = z ( - 1 ) i i k o ) r b 冗z ) ， 其中口表示 l ，2 ，仇) 的子集，为矿在 1 ，2 ，m 上的补集，i l 表示，中的元素个数，k ( z ) = n 面6 ( z ) ，b o ，厂= ( 夕1 ，) ，当i 一时， g i = b i f ，其余情况吼= 若 ，厶为孑且z 簪1 3 7 _ - 1s u p p i t ，则有 匠刀确2 l ( 坼m ( 训地，删珏_ y m 2 3 硕士学位论文 和 为了简便起见，我们只考虑m = 2 的情形实际上，将考虑的是 【b l ，5 2 ，卅( l f 2 ) c z ) = b l ( x ) b 2 ( x ) t ( f l ，厶) ( z ) 一b l ( x ) t ( f l ，6 2 ，2 ) ( z ) - b 2 ( x ) t ( b l f l ，2 ) ( z ) + t ( b l f l ，6 2 ，2 ) ( z ) ( 6 - ，卅( ，厶) 0 ) = b i ( x ) t ( f l ，f 2 ) c z ) 一t ( b l f l ，丘) ) 【6 2 ，t l ( f , ，2 ) ( z ) = b 2 ( x ) t ( f l ，厶) ( z ) 一t ( f l ，6 2 厶) ( z ) ( 3 1 7 ) 这些算子可以看作是多线性算子的交换子 3 2 有关引理及其证明 主要的证明思想利用f e f f e r m a n 和s t e i n 1 4 】中的变尖锐极大算子m 带 这些方法在【9 】 【l o l ， 1 1 】和【2 4 】中也使用了我们将主要利用p e r e z 和t o r r e s 在 2 4 】中使用的技巧