（基础数学专业论文）同伦满和同伦单的局部化问题.pdf

同伦满和同伦单的局部化问题 设p 是素数或0 ，乙是整数加群z 的p 局部化。本文探讨了b o u s f l e l d 风( 一；乙) 一局部化、a n d e r s o np - 局部化和广义加结构( 局部化) 是否保持 同伦满( 单) 的问题，证明了 定理a 如果，：x _ + y 是同伦满，并且 ：7 r l ( x ) 型7 1 1 ( y ) ，则，的 a n d e r s o n p - 局部化口：x _ 弩也是同伦满。 j f 定理b ，：x y 是同伦满，并且 ：7 r l ( x ) 型7 r l ( y ) 。- i v 果x l f z n 、 埔x 是幂零空间，则，h z ，：x n z ，- 4y h z 也是同伦满，并且对于同伦推出 其以( 一；z p ) 一局部化 也是同伦推出 x 上y 他且p 2 定理c 如果，：x - 4y 是同伦满，并且 ：7 r l ( x ) 皇7 1 1 ( y ) ，则，的 广义加结构砧玩：x 吉z ，- 4 ，彘，也是同伦满。 定理d 1 设，：x - 4y 是同伦单。如果x 、y 是乙一良好的，并且 ，是模p 幂零映射，则，的王l ( 一；z p ) - 局部化f h z ，：x h z n - 4y 矗邵也是 同伦单 f 定理d 2 设，：x _ y 是同伦单。如果x h z ，、y h z ，是幂零空间，并 且广是模p 幂零映射，则f 的h 。( 一；乙) 一局部化f h z p ：x n z ，- 4 z ，也 嘶垆啪 血 一 严，啪 是同伦单，并且对于同伦拉回 e lx i ：j， x 一y 英爿( 一；名j 一局部化 e h z v 塑k 摹喝 观叫 h ，l 胁一 x h z ，卫k h z 。 也是同伦拉回。 y 定理e 设，：x _ + y 是同伦单。如果，是模p 幂零映射，则，的广 义加结构砧磊：x 击, z p 叶吃，也是同伦单。 定理f 设f ：x 斗y 是同伦单。如果，是模p 幂零映射，则f 的 a n d e r s o np 一局部化口：霹_ 譬也是同伦单。 。、。萋竺粤。同+ 妒，同竺笋，a n d 。：罗局部化，广义蓼梦构，b 。u ) c s 舶1 d 同调局部位。 v 、 。 k v i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u s f i e l dh + ( 一；乙) 一l o c a l i z a t i o n ，a n d e r s o n p - l o c a l i z a t i o na n dg e n e r a lp l u s c o n s t r u c t i o no fe p i m o r p h i s m sa n dm o n o m o r p h i s m si nh o m o t o p yt h e o r y ，w h i c hl e a d st ot h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e ma ：l e t ，：x _ + yb eah o m o t o p ye p i m o r p h i s ma n d ： ”l 僻) 竺丌i ( y ) ，t h e nt h ea n d e r s o np - l o c a l i z a t i o no f ，譬：霹_ 搿，i s a l s oah o m o t o p ye p i m o r p h i s m t h e o r e mb ：l e tf ：x _ + yb eah o m o t o p ye p i m o r p h i s ma n d ： ”1 ( x ) 竺丌l ( y ) i fb o t ho fx h z pa n dy 矗昂a r en i l p o t e n ts p a c e s ，t h e nt h e h + ( 一；磊) 一l o c a l i z a t i o no ff ，f h z p ：x t t z p - 昂，i sa l s o ah o m o t o p ye p i m o r p h i s m t h e o r e mc ：l e t ，：x _ yb eah o m o t o p ye p i m o r p h i s ma n d ： 7 r i ( x ) 型7 r l ( y ) ，t h e nt l eg e n e r a lp l u s c o n s t r u c t i o no f _ f ，蝣昂：x 击昂 】饶。，i sa l s oah o m o t o p ye p i m o r p h i s m t h e o r e m d 1 ：l e tf ：爿_ yb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i ib o t h o fxa n dy a r e 乙一g o o ds p a c e sa n df i sm o d pn i l p o t e n tt h e nt h eh + ( 一；z p ) 一 l o c a l i z a t i o no f f ，i l z p ：x h z pjy h z p ，i sa l s oah o m o t o p ym o n o n l o r p h i s m t h e o r e md 2 ：l e tf ：xjyb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i f b o t ho f x f l z pa n dy ，h z 。a r en i l p o t e n ts p a c e sa n df i sm o d pn i l p o t e n t ，t h e n t h eh 4 t 一；z 0 一l o c a l i z a t i o no fi ，i h z ，：x h z p _ y h z p ，i sa l s oah o m o t o p y m o n o m o r p h i s m m o r e o v e r ，i f t h ef o l l o w i n gf i g u r e e! ! x i z i，j ， x l y i sah o m o t o p yp u l l b a c k ，t h e ni t s 皿( 一；z p ) 一l o c a l i z a t i o n i sa l s oah o m o t o p yp u l l b a c k t h e o r e me ：l e tf ：x 斗yb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i ff i sm o d pn i l p o t e n t ，t h e nt h eg e n e r a lp l u s - c o n s t r u c t i o no ff ，描z 。：x h z 。o 瑁孙i s a l s oah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m t h e o r e mf ：l e t ，：x _ + yb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i f fi s m o d pn i l p o t e n t t h e nt h ea n d e r s o np - l o c a l i z a t i o no ff ，铃tx ；_ y ；、i s a l s oah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m k e y w o r d ：h o m o t o p ye p i m o r p h i s m ，h o m o t o p ym o n o m o r p h i s m ，a n d e r s o i ll o c a l i z a t i o n ，g e n e r a lp l u s c o n s t r u c t i o n ，b o u s f i e l dh o m o l o g yl o c a l i z a t i o n 渺p 蜘 竖 虹 啪0 舯 锄 是同伦单，并且对于同伦拉回 e lx i ：j， x 一y 英爿( 一；名j 一局部化 e h z v 塑k 摹喝 观叫 h ，l 胁一 x h z ，卫k h z 。 也是同伦拉回。 y 定理e 设，：x _ + y 是同伦单。如果，是模p 幂零映射，则，的广 义加结构砧磊：x 击, z p 叶吃，也是同伦单。 定理f 设f ：x 斗y 是同伦单。如果，是模p 幂零映射，则f 的 a n d e r s o np 一局部化口：霹_ 譬也是同伦单。 。、。萋竺粤。同+ 妒，同竺笋，a n d 。：罗局部化，广义蓼梦构，b 。u ) c s 舶1 d 同调局部位。 v 、 。 k v i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u s f i e l dh + ( 一；乙) 一l o c a l i z a t i o n ，a n d e r s o n p - l o c a l i z a t i o na n dg e n e r a lp l u s c o n s t r u c t i o no fe p i m o r p h i s m sa n dm o n o m o r p h i s m si nh o m o t o p yt h e o r y ，w h i c hl e a d st ot h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e ma ：l e t ，：x _ + yb eah o m o t o p ye p i m o r p h i s ma n d ： ”l 僻) 竺丌i ( y ) ，t h e nt h ea n d e r s o np - l o c a l i z a t i o no f ，譬：霹_ 搿，i s a l s oah o m o t o p ye p i m o r p h i s m t h e o r e mb ：l e tf ：x _ + yb eah o m o t o p ye p i m o r p h i s ma n d ： ”1 ( x ) 竺丌l ( y ) i fb o t ho fx h z pa n dy 矗昂a r en i l p o t e n ts p a c e s ，t h e nt h e h + ( 一；磊) 一l o c a l i z a t i o no ff ，f h z p ：x t t z p - 昂，i sa l s o ah o m o t o p ye p i m o r p h i s m t h e o r e mc ：l e t ，：x _ yb eah o m o t o p ye p i m o r p h i s ma n d ： 7 r i ( x ) 型7 r l ( y ) ，t h e nt l eg e n e r a lp l u s c o n s t r u c t i o no f _ f ，蝣昂：x 击昂 】饶。，i sa l s oah o m o t o p ye p i m o r p h i s m t h e o r e m d 1 ：l e tf ：爿_ yb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i ib o t h o fxa n dy a r e 乙一g o o ds p a c e sa n df i sm o d pn i l p o t e n tt h e nt h eh + ( 一；z p ) 一 l o c a l i z a t i o no f f ，i l z p ：x h z pjy h z p ，i sa l s oah o m o t o p ym o n o n l o r p h i s m t h e o r e md 2 ：l e tf ：xjyb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i f b o t ho f x f l z pa n dy ，h z 。a r en i l p o t e n ts p a c e sa n df i sm o d pn i l p o t e n t ，t h e n t h eh 4 t 一；z 0 一l o c a l i z a t i o no fi ，i h z ，：x h z p _ y h z p ，i sa l s oah o m o t o p y m o n o m o r p h i s m m o r e o v e r ，i f t h ef o l l o w i n gf i g u r e e! ! x i z i，j ， x l y i sah o m o t o p yp u l l b a c k ，t h e ni t s 皿( 一；z p ) 一l o c a l i z a t i o n i sa l s oah o m o t o p yp u l l b a c k t h e o r e me ：l e tf ：x 斗yb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i ff i sm o d pn i l p o t e n t ，t h e nt h eg e n e r a lp l u s - c o n s t r u c t i o no ff ，描z 。：x h z 。o 瑁孙i s a l s oah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m t h e o r e mf ：l e t ，：x _ + yb eah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m i f fi s m o d pn i l p o t e n t t h e nt h ea n d e r s o np - l o c a l i z a t i o no ff ，铃tx ；_ y ；、i s a l s oah o m o t o p ym o n o m o r p h i s m k e y w o r d ：h o m o t o p ye p i m o r p h i s m ，h o m o t o p ym o n o m o r p h i s m ，a n d e r s o i ll o c a l i z a t i o n ，g e n e r a lp l u s c o n s t r u c t i o n ，b o u s f i e l dh o m o l o g yl o c a l i z a t i o n 渺p 蜘 竖 虹 啪0 舯 锄 引言 记点标连通的c w 复形同伦范畴为h c w + 。设f ：x - - - y h c i i “， 如果对任意的“，v ：y - w h c w + ，札o f ! 0 f 蕴涵z t ! v ，则称f 为同 伦满；如果对任意的u ，v ：w - x 日c w ，fo “! f 。口蕴涵“! v ， 则称f 为同伦单。以上所有映射均指保基点的连续映射。 设有h g 中的局部化函子e ，x 、y 的e 一局部化分别记为e x ： x _ x e 与e y ：y _ 圪。设f ：x - - + y h c w + ，则对于，的e 一局部 化尼：x e - 总有同伦交换图表： x e 叫 x e y i e y 如果，是同伦满( 单) 蕴涵厶是同伦满( 单) ，则称局部化函子e 保持同 伦满( 单) 。 同伦满和同伦单的研究始于1 9 5 9 年，胡世桢在【1 5 1 中证明了h o p f 纤 维化s 3 + s 2 具有同伦单的性质，并借此解决了3 维可剖分空间x 到s 2 的代数平凡映射的分类问题接着在1 9 6 5 年，h i l t o n 提出了同伦单的对偶 概念一同伦满及同伦满( 单) 的弱形式一弱同伦满( 单) 。至此，同伦满和 同伦单的研究引起了代数拓扑学家的广泛兴趣。 局部化方法是代数拓扑同伦论中常用的一种重要方法首先是1 9 7 0 年由 d s u l l i v a n 在【2 4 】中给出了单连通空间和单式空间上的p 一局部化的定义， 1 9 7 2 年p _ 局部化的定义被推广到幂零空间，进一步，c a s a c u b e r t a p e s c h k e 在文【6 】中建立了一般空间上的p 局部化，是幂零空间的p 局部化在一般 空间上的扩张。另外，b o u s f i e l d 、b e n d e r s k y 、a n d e r s o n 等人也分别建立 了一般空间上的局部化函子卅h ，本文将在第2 章中详细介绍这些函子。 同伦满和同伦单的局部化问题的研究是由h i l t o n 和r o i t b e r g 在文 1 3 】 中开始进行的。起因于在研究各种形式的满( 单) 时，发现有一类特殊映射 一有理幂零空间之间的映射，只要诱导同调群的满同态就是弱满态，从而产 生了研究有理空问，甚至更广一些，空间的p 局部化的兴趣。 日e 的幂零空间子范畴中经典意义上的p 局部化函子的性质已经 得到较充分的研究1 2 1 1 1 2 】【l 跚。1 9 8 7 年h i l t o n 和r o i t b e r g 提出问题：幂零 空间的p 一局部化是否保持同伦满和同伦单? 也就是说，对于同伦满( 单) f ：x - 1 ，如果x ，y 足幂零空间，那么矗：斗k 足否足同伦满( 单) ? 1 9 9 4 年，沈文淮教授在文f 2 1 1 中给予此问题肯定的回答，即证明了： 定理设，：x 一y 是同伦满( 单) 。如果x 和y 都是幂零空间，则f 的p 一局部化厶：ok 也是同伦满( 单) 。 于是，个自然的想法是：上述定理的条件是否必要? 但这涉及幂零空 间的p 局部化在一般空间上的扩张问题。我们知道，幂零空间的p 一局部化在 一般空间上的扩张是存在的，但不唯一。其最小扩张是b o u s f i e l d 风( _ _ ) 乙) 一 局部化，记为( ) h 昂，即印：x - - + 昂是x 的风( 一；磊) 一局部化，其 中磊是整数加群z 的p 一局部化，以( ；磊) 是以磊为系数群的普通同 调论；其最大扩张( c a s a c u b e r t a 猜想) 是c a s a c u b e r t a 的p - 局部化( 简称 p _ 局部化) ，记为( ) p ，即e ：x - 是x 的p 一局部化。同时存在自然 变换口；( ) po ( ) t t z p ，使得对于幂零空间x ，有毁：j ，p = x l t z p 。 因此，关于同伦满和同伦单的局部化问题可以归结为以下两个问题： 问题1 ：如果f ：x _ + y 是同伦满( 单) ，则，的风( ；z p ) 一局部化 知z 。：x u z p _ y k z 。是否也是同伦满( 单) ? 问题2 ：如果，：x 斗y 是同伦满( 单) ，则的p 一局部化厶：j ，p - - ) k 是否也是同伦满( 单) ? 上述定理说明了对于幂零空间x 、y ，问题1 和问题2 的回答是肯定 的。如果 ：”l ( x ) 叶7 r 。( y ) 不是同构，则问题2 对同伦单的回答是否定的 2 3 1 由于相对于普通同调论皿( 一；磊) 的广义加结构( ) h 磊是b o u s f i e l d 风( 一；磊) 局部化的逼近，a n d e r s o np - 局部化是p 一局部化的逼近，因此 在本文中我们着重研究a n d e r s o np 一局部化和广义加结构是否保持同伦满 ( 单) 的问题，即有下述： 问题3 ：设：xoy 是同伦满，并且 ：丌z ( x ) 垒7 r l ( y ) 。则 ( 1 ) ，的广义加结构瞄z ，：x 吉昂_ + y 嚣缉是否是同伦满? ( 2 ) ，的a n d e r s o np - 局部化譬：x ao 垮是否是同伦满? 问题4 ：设，：x _ + y 是同伦单，并且 ：7 r l ( x ) 型7 r l ( y ) 。则 ( 1 ) ，的广义加结构绍磊：x 矗昂- 】锄，是否是同伦单? ( 2 ) f 的a n d e r s o np - 局部化：砑_ 是否是同伦单? 对于上述问题，本文得到如下结果； 定理a 如果，：x _ y 是同伦满，并且 ：l ( x ) 笔7 r l ( y ) ，则，的 a n d e r s o n p - 局部化管：髯。搿也是同伦满。 v 定理b 设，：x _ y h c w + 是同伦满，并且 ：”l ( x ) 型7 r 1 ( y ) 。 如果x h z ，、k f z ，是幂零空间，则f , z ，：x h z ，_ y n z 。也是同伦满，并 且对于同伦推出 x 上y 砖且挣 其以( 一；磊) 一局部化 也是同伦推出。 定理c 如果f ：x y 是同伦满，并且 ：7 r l ( x ) 呈7 r i ( 1 ，) ，则f 的 ，义加铑桷| 矗z 。：x 盖z ，_ y 喜z 。也是r 论满。 定理d l 设，：x - y 是同伦单。如果x 、y 是磊良好的，并且 ，是模p 幂零映射，则，的l ( ；磊) 一局部化f n z ：x h 厶一y n z 也是 同伦单。 定理d 2 设f ：x + y 是同伦单。 且，是模p 幂零映射，则f 的巩( 一 是同伦单，并且对于同伦拉回 其以( 一；乙) 一局部化 也是同伦拉回。 如果x h 名、蜥是幂零空问，并 磊) 一局部化f , z ，：x n z ，_ r , z ，也 v i 融啪 虹 纽 m i 胁 胁 舳p 帅 甄 虹 昂 昂 吐 定理e 设i ：x _ y 是同伦单。如果，是模p 幂零映射 义加结构，矗z p ：x 吉z p _ y 彘，也是同伦单。 定理f 设f ：x _ 】7 是同伦单。如果f 是模p 幂零映射，则，的 a n d e r s o n p 一局部化譬：耐。】也是同伦单。 v i i 第一章同伦满和同伦单的局部化概述 本章首先介绍同伦满和同伦单的相关概念及基本性质，然后简述同伦满 与同伦单在局部化方面所取得的主要成果。在本文中，h c i “表示点标连 通的c w 复形同伦范畴。如无特别指明，本章涉及的空间均指点标连通的 c w 复形，映射均指h c w + 中保基点的连续映射。 1 1 基本概念 首先给出同伦满( 单) 和弱同伦满( 单) 的定义。 定义1 1 设，：x 寸y h c w + ，如果对任意w h c w + 及 扎，v ：y _ + w 7 h c w + ，“o f ! vo f 蕴涵札皇v ，则称，为同伦满；如 果对于任意的扯，”：w _ x h c w ，0 “竺，0 蕴涵“! 口，则称， 为同伦单。 定义1 2 设，：x 叶y h c w + ，如果对任意u ：y _ w 日c w + ，乱0 ，10 蕴涵札10 ，则称，为弱同伦满；如果对任意u ：w _ x h c w + ，o u10 蕴涵札1 0 ，则称，为弱同伦单。 从上述定义可知，同伦满( 单) 一定是弱同伦满( 单) ；反之不一定成 立，例子分别由g a n e a 1 1 1 和r o i t b e r g 2 0 1 给出。 1 9 8 7 年，h i l t o n r o i t b e r g 在文【1 4 】中利用同伦纤维化序列和同伦上纤 维化序列分别示性了弱同伦单、弱同伦满，即有 命题1 1 设，：x _ y h c w + ，x 与l 与c 一x _ y 为，的同伦上纤维化序列。则f 为弱同伦满当且仅当j1 0 。 命题1 2 设，：x _ l ，h c b ”， 一n x q l ，一f 与 x 与y 为，的同伦纤维化序列。则，为弱同伦单当且仅当i 竺0 。 1 9 9 4 年，沈文淮在文【2 1 】中利用同伦推出和同伦拉回分别示性了同伦 满和同伦单，得到了如下结果。 命题1 3 设，：x - - + y h c w + ，并且 x 一y 喜丘够， 图j j 为同伦推出则，为同伦满当且仅当j l ! j z 。 命题1 4 设，：x 斗y h c w + ，并且 e l x i z l，l ， x j + l ， 图j 2 为同伦拉回。则f 为同伦单当且仅当i l 型i 2 。 设f ：x 斗y h c w 4 ，如果，是同伦单，则 ：7 r 。( x ) 。7 r 。( y ) 是 单同态，n 1 ；如果，是同伦满，则 ：王k ( x ) _ 上k ( y ) 为满同态， n 1 ，并且 ：7 r 1 ) _ 7 r 1 ( y ) 为满同态这些性质可见文【1 3 】。 1 2 已有成果 设，：x - y h c w + ，p 为素数或0 。如果x 、y 为幂零空 间，则对于x 、y 的p 局部化取：x - - j 0 ，e y ：y _ + ，必存在 厶：x p 一+ k h c w + ，使得图表 以y 跫丘y 图j 3 同伦交换，并称厶为，的p - 局部化。 1 9 8 7 年，h i l t o n 和r o i t b e r g 在文f 1 3 】中考虑了弱同伦满和弱同伦单的 p 局部化问题。利用命题1 1 和命题1 2 ，得到了 命题1 5 设，：x - - + y 是弱同伦单( 满) 。如果x 、y 是幂零空间， 则f p ：x po k 也是弱同伦单( 满) 。 同文，h i l t o n 和r o i t b e r g 也考虑了同伦满和同伦单的局部化问题，但 仅得到部分结果。 设f ：x y h c w 。称f ：x _ y 为上诱导的，如果存在映射 g ：w - + 使得映射q ：x _ c 9 ( g 是g 的同伦上纤维) 同伦等价于 2 ，：x _ 】，即有交换图表如图l4 所示，其中h 是同伦等价。 x 惫y 图4 对偶地，设，：x _ ，7 h c w + ，称，：x 斗l 为诱导的，如果存 在映射g ：y _ b 使得映射i ：b 斗y ( f 9 是g 的同伦纤维) 同伦等价于 ，：x - + ，即有交换图表如图1 5 所示，其中 是同伦等价。 h i l t o n 和r o i t b e r g 在文【1 3 中指出： 命题1 6 设，：xjy 是由g ：w - x 上诱导的同伦满。如果x 、 l ，和w 是幂零空间，则，p ：x p - k 是由g p ：- x p 上诱导的同伦满。 命题1 7 设l ：x _ + y 是由g ：】7 - b 诱导的同伦单。如果x 、 y 和b 是幂零空间，则厶：珥_ 】；是由g p ：耳_ b p 诱导的同伦单。 进一步，h i l t o n r o i t b e r g 提出了幂零空间局部化是否保持同伦满和同 伦单的猜想。 h i l t o n r o i t b e r g 猜想：设，：x _ 1 7 h c w + ，且x 、y 是幂零空 间。如果，是同伦满( 单) ，则，p ：砩_ k 也是同伦满( 单) 。 这一猜想由沈文淮在文【2 1 中利用命题1 3 和命题1 4 给出了肯定的回 答。 对于，：y 寸l h c i p ，设 x 土y ，土且p 2 图6 为同伦推出； e lx i z l，l ， 为同伦拉回。 文 2 1 】证明了 图j 7 。、，巧 。k 阶 命题1 81 2 1 设，：x 叶l ，h c i v ，且x 、y 是幂零空间。 厶茳1 蔓i j 2 。 也是同伦推出，从而j l ，型； 固如果，是同伦单，则，p ：x p _ k 也是同伦单，并且图i 7 的p 局部化： 图1 9 也是同伦拉回，从而i l 。垒i 2 。 接下来一个自然的问题是：一般空间上的局部化函子是否也保持同伦 满和同伦单? 一般空间上的局部化函子有许多，其中p _ 局部化和b o u s f i e l d 日。( 一；乙) 一局部化是幂零空间的p 局部化在一般空间上的扩张，其中b o u s f i e l d 矾( ；乙) 局部化是最小扩张，p 一局部化是最大扩张( c a s a c u b e r t a 猜想) 睁1 。因此研究这两个局部化函子是否保持同伦满和同伦单是很有意 义的，但这是一个很困难的课题。目前只得到较为有限的结果，例如： 命题1 9i 剐设，：x 叶l ，是同伦满。如果、k 是幂零的，则， 的p 一局部化，p ：砗一+ k 也是同伦满。 命题1 1 0 【2 胡设，：x _ y 是同伦单。如果曷、k 是幂零的，且 ，是模p 幂零映射，则，的p 一局部化矗：墨斗k 也是同伦单。 关于b o u s f i e l d 眠( 一；磊) 一局部化目前还没有相应的结果。 要直接证明一般空间上的p - 局部化保持同伦满和同伦单是很困难的， 文 2 2 从另外一个角度考虑了相关的问题，即考虑半p 局部化是否保持同 伦满和同伦单。得到了 命题1 1 1 设，：x _ y 是同伦单，则，的半p 一局部化石：k _ ， 也是同伦单。 命题1 1 2 设，：x 叶y 是同伦满且 ：7 r 1 ( x ) 7 r 1 ( 1 ，) 是同构，则 ，的半p 一局部化。# ：写- 节也是同伦满。 4 m 巧 k l 亍 上述的半p 一局部化是定义在一般c w 复形上的一个局部化函子，在单 连通空间子范畴中半p 一局部化和p 一局部化是一致的。因此命题1 1 1 和命 题1 1 2 从一个侧面讨论了p 局部化是否保持同伦满和同伦单的问题。在本 文的第三章，我们将考虑同伦满和同伦单的a n d e r s o np 一局部化和广义加结 构，也是基于这个想法。 第二章有关局部化函子的简介 本章先简述幂零空间上经典p 局部化的概念和基本性质，然后介绍一 般c w 复形上的几种局部化函子，即c a s a c u b e r t a 的p 一局部化( 简称p 一局 部化) ，a n d e r s o np - 局部化，b o u s f i e l dh 。( 一；乙) 一局部化和j y t a i 的广 义加结构，并指出它们之间的联系如无特别指明，本章涉及的空间均指点 标连通的c w 复形，映射均指h c w 中保基点的连续映射。 2 1 幂零空间上的经典p 一局部化 幂零空间上的局部化具有经典定义，即文f 1 2 】中的p 一局部化。这种局 部化的性质已经得到了较为充分的研究，它和本文要介绍的一般空间上的局 部化函子都有密切的联系本节简述经典p - 局部化的概念和基本性质，详 见文 1 2 】下文中的v 日c w 表示点标连通的幂零c w 复形同伦范畴， 【x ，y 】表示从x 到y 的映射的点标同伦等价类的集合。 首先给出群范畴中p _ 局部化的定义，然后定义点标连通的幂零c w 复 形同伦范畴日g + 中的p 一局部化。 定义2 1 设p 为素数或0 。对于给定的群g ，如果对任意自然数n ， 且扫，n ) = 1 ，都有g _ g ，zp _ + 矿是双射，则称群g 是p 一局部的；设 有群同态e ：g _ h ，如果日是p 一局部的且对任意p 局部的群，都有 e ：h o m ( h ，k ) 型h o m ( g ，k ) ，则称e 是p 一局部化映射。记h = g p 。 文【6 】证明了群范畴中的p - 局部化函子是存在的。 定义2 2 设x 是幂零空间，p 为素数或0 。如果对所有n 1 ，都 有7 r 。( x ) 是p 一局部的，则称x 是p 一局部空间；设有映射e ：x - y 日c + ，如果y 是p 一局部空间且对所有p 局部空间z n h c w + ， 都有e ：瞰z 】型陋，z 】，则称e 是x 的p - 局部化。记 ，= k 。 文f 1 2 】证明了日g w + 中的p 一局部化函子是存在的，并得到刻划p - 局部化的基本定理。 命题2 1 设，：xoy n h c w + ，那么下列叙述等价： i ) f 是x 的p 一局部化； 一丌。，：“( x ) _ + “( y ) 是p 局部化，礼1 。 ( i i o ，：巩( x ) - - + k ( y ) 是p 一局部化，n 1 。 幂零空间的p _ 局部化在一般空间上的扩张是存在的，但不唯一，其中 b o u s f i e l d 矾( 一；z p ) 局部化是最小扩张，p 局部化是最大扩张( c a s a c u b e r t a 猜想) ，但这两种函子都可以表示成某种形式的，局部化l ，详见本章第 2 、第3 节。下面给出，- 局部化的定义。 6 定义2 3l “给定映射，：x - 1 7 。称空间渺为，一局部的，如果 ，诱导的函数空间映射m a p ( y ，w ) ：m a p ( w ) - m a p ( x ，w ) 是同伦等 价；设e ：a - b ，如果口是，一局部的且对所有，一局部的z ，都有 e + ： b ，别兰 a ，z ，则称e 是a 的，一局部化。记b = l a 。 特别地，如果，是形如_ + p t 的映射，则l ，也称为一局部化或者 w 一周期化，记l ，为r p 。 e d f a r j o u n 在文【9 】中证明了对于给定的映射，一局部化是存在 的。本文后面的a n d e r s o np - 局部化和同调局部化的广义加结构都可以利用 ，一局部化来构造。 2 2 p 一局部化和a n d e r s o np - 局部化 本节简述点标连通的c w 复形同伦范畴( h c w + 1 中的c a s a c u b e r t ap 局部化( 即p _ 局部化) 和a n d e r s o np 一局部化的概念及其基本性质。 2 2 1p 局部化 首先给出有关p _ 局部化的两个定义。 定义2 4 设x h c w + ，p 为素数或0 。如果对任意w h c w + ， 【彤q 矧都是p 一局部群，则称x 是p 一局部空间；设有映射e ：x - - + y h c w + ，如果l ，是p 一局部空间且对所有p 一局部空间z h c w + ，都有 e + ：瞰z 型( x ，z ，则称e 是x 的p - 局部化。记y = j 勺。 记日c w + 中的p 一局部化为( ) ，。 定义2 5 设，：x y h c w + 。如果对所有p 一局部空间w h c w + ，都有，+ ： y ) w 】皇，w ，则称，为p 一等价。 c a s a c u b e r t a 在文 6 中证明了定义2 4 中的p 局部化是存在的，同时 证明了它是日c + 中的经典矿局部化在h c w 中的扩张。 下面命题揭示了h c w + 中的p - 局部化与群范畴中的p 一局部化的联 系。 设p 为素数或零。记q = 伯lq 为素数，q p ) ，p l y = p 【丌- ( y ) = ( z 【( 7 r l ( y ) ) ， ) s ，其中s 是z ( 丌l ( y ) ) ，1 中形如1 + z + 铲+ + 护- 1 z 【( 7 r l ( y ) ) 。】，扎q ) 的元素的乘法闭包。 命题2 2 设，：x - 9 y h c w ，则，是p 一等价当且仅当 ： 7 r 1 ( x ) 斗”l ( y ) 是群范畴中的p 一等价且对任意k 和p ( y 1 一模4 ，有 m j ，+ ：h ( y ；a ) 型h 2 ( x ；a ) ；或有 阳j ：h k ( x ；p ( y 】) 些风( y ；p 】) 7 命题2 3 【o 】设e ：x 寸x p 为p 一局部化，则诱导同态e + ：7 r l ( x ) 一 7 r 1 ( x ，) 是群范畴中的p 局部化。 据文7 1 ，上述h c w + 中的p - 局部化可以表示成某种形式的厂一局部 化。 设p 为素数或0 。令q = q lq 为素数，q p 。对任意q q ，令 = s 1 ，w = 玖霹。设u ：w 叶彬u 1 霹：霹h 霹是映射度为q 的映 射。文 7 】证明了；“j 局部化与p 局部化是相同的函子，即l 。= ( ) ，。 2 2 2 a n d e r s o np 一局部化 d w a n d e r s o n 在文【1 】中建立了一般c w 复形上的一个局部化函子， 现称为a n d e r s o np - 局部化，记为( ) 。a 。c a s a c u b e r t a 应用f a r j o u n 在文 9 】 中给出的，一局部化理论，重新刻划了a n d e r s o n1 3 - 局部化。在本段中，p 为 素数或0 ，q = q l 口为素数，q p ) ，z 白指整数加群z 的q 局部化。 首先给出a n d e r s o np - 局部化的定义。 定义2 6 设x h c w + 如果丌1 ( x ) 不合有q 一挠元素，并且对 于2 ，7 r k ( x ) 是z q 一模，则称x 为a n d e r s o np 一局部空间；设 e ：x - - + y h c w + ，如果y 是a n d e r s o np 局部空间且对所有a n d e r s o n p 一局部空间z h c w + ，都有e + ：瞰z 】竺【x ，司，则称e 是x 的a n d e r s o n p 一局部化。记y = 霹。 据文f 7 ，a n d e r s o np 一局部空间的基本群有如下性质： 命题2 4 设x h c w + ，t q ( g ) 表示群g 的q - 基，则有7 r l ( x ) 些 ( 丌1 ( x ) ) 兰丌l ( x ) t q ( n ( x ) ) c a s a c u b e r t a 在文【7 】中说明了a n d e r s o np 一局部化可以表示成某种形 式的，一局部化。 对任意q q ，令岛= s 1 ，w = v s ；。设u ：w _ 形l 岛：曷h 砩是映射度为q 的映射。如上文所述，l 。= ( ) ，。设m 为映射w 的映射 锥，令，：m - 讲，文【7 】中证明了：l s = ( ) 。 下面说明a n d e r s o np - 局部化( ) ；和p - 局部化( ) p 的联系。 设x h c w + 如果x 是p - 局部的，则根据定义2 5 ，x 是a n d e r s o n p 一局部的，再根据a n d e r s o np - 局部化的定义，存在映射h ：x _ k ， 使得图表 8 是同伦交换的，其中e a 、e 分别是x 的a n d e r s o np - 局部化和p 一局部化。 但是，如果x 是a n d e r s o np - 局部的，则x 不一定是p 一局部的，例如s 1 是a n d e r s o np - 局部的但不是p _ 局部的。 以下命题给出了( ) 。a 和( ) ，等价的一个充分条件。 命题2 5m 设x h c w 。如果( 7 r 1 ) ) = 丌l ( x ) ，则上面图2 中的h ：x ? - 碥为同伦等价 对于连通空间x ，记 k x = ”- ( x ) 了1 。( 7 r ( x ) ) ，x 为x 关于砀( 7 r - ( x ) ) 的覆叠空问，则有覆叠纤维化序列x _ x b r x 。 引理2 6 设x 为x 关于砀( ”1 ( x ) ) 的覆叠空间，则有 爻p _ x ：_ b 弧x 为覆叠纤维化序列，并且戈，为单连通空间，以及 x x b 7 r x ili 点le il ，d 2 一南一b t r xx p x ；一 图2 2 为同伦交换图表，其中e a 是x 的a n d e r s o np 一局部化，6 是戈的p 局部 化。 证明：由命题2 4 ，7 r x = 7 r l ( x ) 砀( 7 r 1 ( x ) ) = ( 7 r 1 ( x ) ) 岔，所以b t r x 为 a n d e r s o np 局部的。根据文献 【1 0 】，定理c ，有同伦纤维化序列戈f 斗 x 0 一日”x ，并且有下述同伦交换图表 贾一x b 7 r x 葵一f 一量 9 翟l”j， 酗 由于( ”。( 贾) ) = 砀( 砀( ”t ( x ) ) ) = 功( ”。( x ) ) = ”t ( 戈) ，据命题2 5 下述同伦交换图表 怂? 立一一l 魄i d 图2 4 中的h 为同伦等价。因此有同伦交换图表： 贾一x b n x 是8 型，a l i d b r xx p a p 一 图2 5 由于”，( 霹) 型丌，( 又) 砀( ”，( 戈) ) = + ，即霹是单连通空间，从而岛 也是单连通空间。