（基础数学专业论文）精确解与不变集.pdf

摘要 求精确解是偏微分方程中非常重要的内容，本文主要采用不变集的方 法去求解一些非线性方程的精确解，这是一种比较有效的方法 v a g a l a _ k i o n o v 对普通的伸缩群作了非线性推广，他利用不变集s o = u ：= ( 1 。) f ( u m 给出一些拟线性发展方程的精确解，并将这种方法用于k d v 型 发展方程和高阶非线性发展方程的求解中屈长征和e s t e v e z 也对不变集做 了进一步推广，并成功地将推广的不变集应用于一些非线性发展方程的精确 解求解中 在本文中我们将进一步推广g a l a k i o n o v 的方法，通过引入不变集 e o = u ：。= f ) ，u ，= f ( 仳) ) 去研究具有能源项的二维非线性反应扩散方程 = a ( “) 乱。+ b ( ) “ 9 + c ( u ) 递+ d ( u ) ：+ q ( “) ， 和具有一般情形的薄膜方程 u t = 一d i v ( a ( u ) v u + 日( “) 口“+ g ( u ) i vu 1 2 vn ) + q ( “) 其中口( z ，) 是关于茹，的光滑函数，f ( ) 是被要确定的光滑函数，v “= ( u 。，u ) ，乱= u 。+ u a ，b ，e ，d 和q 为“的光滑函数这种方法还 可以进一步推广用于维的反应扩散方程在薄膜方程中的应用则可以看 成是对l + l 维非线性发展方程结论的一些推广 关键词t 反应扩散方程；薄膜方程；精确解；旋转群；伸缩群 i v a r i a n ts e t sa n de x a c ts o l u t i o n a b s t r a c t i t sav e r yi m p o r t a n tt oo b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o no fap a r t i a ld i f f b 卜 e n te q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，w 它u s ei n v 盯i a n ts e t s t o8 0 l v es o m en o n l i n e 8 r e q u a t i o n si t sav e r ye f f e c t l v e 印p r o a c h v a g a l a k i o n o vp r o p o s e da“n o n 一 1 i n e a r ”e x t e n s i o nt ot h eo r d i n a r ys c a u n gg r o u p ，w h i c hi sd e s c r i b e db yt h e i v a r i a n c eo f t h es e t 岛= 札：z = ( 1 z ) f ( ) ) t h ee x t e n s i o nh a sb e e nu s e d t oc o n s t r u c te x a c ts o l u t i o nt o8 0 m eq u a s i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，k d v t y p e e q u a t i o na i mh i g 蛇ro r d e rn o h l i n e a re q u a t i o n s q ua r me s t e v e zf u r t h e r * t e n d e dt h es c a l i n gg r o u pt om o r ef o r ma n ds u c c e s s f u l l yt oc o n 8 t r u c ts o l u t i o n s t oan u m b e ro fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u t i o n s i nt h i sp 印e r ，w ef u r t h ee x t e n dg a l 出o n o v s 印p r o a c h ，w h i c l la r ed e s c r i b e db y t h es e t 岛= u ：“。= f ( u ) ，u = f ( ) ) v u s et h i sa p p r o a c ht od i s c u s st w o - d i m e n 8 i o n a lr e a c t i o n d i f r u s i o ne q u a t i o n w i t hs o u r c et e r m 饥= a ( u ) 础+ b m ) 乱”+ c ( ) u ：+ d ( “) u ：+ q ( u ) ， a n dt h eg e n e r a l i z e dt h i n6 l me q u t i o n u = 一d i v ( a ( “) v “+ b ( u ) v u u + e ( u ) l v u l 2 v 札) + q ( “) ， w h e r eui sas m o o t hf u n c t i o no fv a r i a b i e so ，可a n dfi ss m o o t hf u n c t i o nt ob e d e t e r m i n e d ，v = ( z ，u ”) ，“= u z 。+ “口，a ，b ，g ，da n d 国a r es m o o t h f u n c t i o n so f 也 t h i s8 p p r o a c ha l s oc a nb ef u t h e re x t e n d e dt od i s c u s sn _ s i m e n s i o n a lr e a c t i o n d i f f h s i o ne q u a t i o n w bc a nr e g a r d 啦ea p p l i c a t i o ni nt h e g e n e r a l i z e dt h i n 矗l me q u a t i o na se x t e n s i o no ft h er e s u l t sf o r1 + 1 一d i m e n s i o n a l n o n l i n e a re q u t i o n z h uc h u n r o n g ( f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s ) d e r e c t e db y q uc h 8 n g z h e n g k e y w o r d slr e a c t i o n d i f f u s i o n ；t h i nm me q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；r o t a t i o n g r o u p ；s c a l i n gg ，o u p 2 第一章引言 随着线性物理的飞速发展，反映现实自然现象的非线性现象引起人们的极大 关注本世纪6 0 年代以来，非线性科学的研究取得了惊人的进展研究非线性偏 微分方程，具有许多重要的理论研究和应用研究方向，求精确解是偏微分方程研 究中非常重要的内容利用不变集求方程的精确解是比较有效而又简单的方法 v a g a l a 嫱o n o v 在文【1 ，2 中，利用不变集s 0 = ：u 。= ( 1 肛) f ( u ) ，给出一些 拟线性发展方程的精确解，并将这种方法用于k d v 型发展方程和高阶非线性发 展方程的求解中屈长征和e s t e v e z 在文l3 中，引入不变集 = 卜z = 扣m 即， e x 咖叫“南协 进一步推广这一方法并成功地将推广的不变集应用于一些非线性发展方程的精确 解求解中3 ，4 1 在文中我们将进一步推广g a i a m o n o v 的方法，通过引入不变集 岛= ：“。= 如f ( u ) “v = f ( “) ) 去研究具有能源项的二维非线性反应扩散方程和具有一般情形的薄膜方程这也 构成了本文的第二章和第三章的主要内容不变集岛可以看成是一维情形中的 s 0 在二维情形下的推广 一伸缩不变集 考虑维的m 阶非线性发展方程 t “= a ( “) 三a ( z u ，“1 ，u 。，) ( 1 1 ) “= “( z ，) ( 茁，t ) q = ( o 1 ) ( 0 ，1 】 其中毗为“关于z 的2 阶偏导数，4 为光滑函数，4 c 一( ( 0 ，1 ) r m + 1 ) 假 设( 11 ) 的解也是光滑的，u e 。( q ) 如果算子满足齐次性条件： a ( 觚u 知，刍u 。) 三( ；) ”m ，灿”av 。， 其中r ，方程( 1 1 ) 在伸缩变换李群 = 矿z ，f = e “t f l3 ) 4 第一章引言 5 下不变，其无穷小生成子为； x = 。盖州晏d zc 呓 由不变方程x “= o ，我们得到( 1 1 ) 确定的不变解仅依赖于单变量t u ( z ，t ) = 口( ) ，= ( 1 4 ) 在不变解( 1 4 ) 中，非线性方程( 1 1 ) 转化为关于目的常微分方程： a ( ，臼，口7 ，口m ) + 二日= o 我们称_ f 上= p ( a ) 为算子a 的压缩阶 在g v 的文章1 1 中，给出了许多利用伸缩不变集求方程精确解的例子，在 文2 1 中利用伸缩不变集求一般的反应扩散方程，k d v 型方程和各种高阶线性方 程 二推广的不变集 在文【3 1 中，屈长征和p g e s t e v e z 将不变集的方法进一步推广，用于解决发 展方程和薄膜方程他们将伸缩不变集进行“非线性”的推广，推广的函数集合为 s ，一卜。= 知m 脚， e x p c ，“南 ) j 其中e ，n 为常数e o ，n 1 他们还引入了旋转不变集r o = u ：“。= z f ( u ) ) 并在此基础上作了关于r 0 和s 0 的整体推广，即引入函数集e = 札：u 。= ，( z ) f ( u ) ，7 = n ，2 + 6 ) 通过这些集合我们进一步来研究高阶方程的精确解问 题 在本文的第二章和第三章，我们将屈长征和p ge s t e v e z 的结果推广到高维 情形，即通过引入函数集合 e 0 = “：u 。= f ( ) = 嘶f ( “) ) ， ( 15 ) 其中u ( z ) 是关于z ，f 的光滑函数，f ( u ) 是被要确定的光滑函数，“( z ，) 也 是足够光滑的函数，来解决带有能源项的高维反应扩散方程和二维的一般薄膜方 程，在集合( 1 5 ) 中，若取集合( 1 5 ) 为 s ，= 扛一；脚) 第一章引言 6 s 可以看成是s b 的二维推广在集合( 1 5 ) 中，若取。( z ，v ) ：苎三毒z ，则集合 晶为 r 1 = “：u 。= 。f ( u ) ，乱= 掣f ( u ) ) ， 可以看成是r o 的二维推广在具体的研究过程中，我们还要根据方程具体的 特点，日l 进不同的函数集合，例如 “：札。= 可f ( u ) ，“= z f ( ) ) ， u ：u 。= 南脚u ，= 南脚) ) 等等，求方程的精确解。引进函数集合 u ：u 。= ，( z ) f ( u ) ，t 工v = 9 7 ( 曹) f ( 札) ，”( 茁) = a ，腔+ b ，9 ”( 材) = n 9 瞠+ b ) ， 则又可以看成是集合e 的推广在第二章和第三章中我们将给出具体的结论 在第二章我们用不变集的方法用于对带有能源项的高维反应扩散方程精确解 的研究我们引进的不变集是 岛= “：“。= f ( “) ，“。= f ( u ) ) 其中”本身具有普遍性，但是我们在讨论过程中很难将所有的情形给出讨论和结 论我们只是根据在讨论过程中出现的具体特点找到几种特殊的情况给予讨论， 并且得出相应的结论在2 2 节，我们讨论的是二维的反应扩散方程，在这一 节我们又分成几种具体的情形加以讨论，分别取岛中的口为； l nl z 目i ，( + y 2 ) 2 ，l n z 2 + z ，o ”等函数，并相应的给出不变集和此时方程对应的解5 2 3 节我们给出这种方法在v 维带有能源项的反应扩散方程中的应用，我们也有类似 于在2 2 节中的结论 在第三章，我们用类似于第二章的方法讨论一般的薄膜方程，在这种方程中 的讨论形式上较第二章复杂，但我们同样也可以得到较好的结论，在32 节我们 给出了主要的结论 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 2 1引言 在本章，我们考虑不变集和带有能源项的反应扩散方程 珏t = a ( ) 。+ 口( u ) u g + c ( “) u ：+ d ( “) u ；+ q ( ) ， 其中a ( 札) ，口( u ) ，g ( ) ，d ( “) ，q ( u ) 均是足够光滑的函数我们将证明在集合 岛= u ：“。= f ( u ) ，“v = f ( ) ) ， 中此方程有一系列的解，其中”( z ，”) 是关于o ，的光滑函数，f ( u ) 是被要确定 的光滑函数我们还要将这种方法用于v 维反应扩散方程 相似解对于研究非线性抛物方程解的爆破性和长期性态有非常重要的作用 在1 5 ，6 ，7 】中有一些有意义的结论，相似解由方程的伸缩不变性给出在文【l ，2 】， g a l a l l i o n o v 通过集合岛= “：= ( 1 肛) f ( “) ) 对一般伸缩群给出“非线性”推 广这一推广已经用于形如 “= e ( z ，“，“，“胁，札( )( 2 1 ) 的方程精确解的构造，其中“【埘为“关于z 的第阶导数屈长征和e s t e 、- e z 在 文【3 】中进一步推广了伸缩不变群，得到更一般的情形 = “。= 融，“南 ) 这种方法已经成功的用于构造一些非线性发展方程的精确解 在这章中，我们把g a l a 蜥o n o 、，的方法推广导带有能源项的二维非线性反应扩 散方程中，我们引进的是不变集 晶= “：“。= f ( “) ，“9 = f ( u ) 这一不变集是对于一维情形中的s o 在二维情形中自然而又一般的推广，并且在 2 2 中我们可以利用这种方法得到带有能源项的二维反应扩散方程的精确解在 2 3 中，我们将利用不变集去处理( 3 ) 维情形的反应扩散方程在2 4 中，我们将给出一些注解 7 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 2 2 = 维反应扩散方程 考虑带有能源项的二维反应扩散方程 8 u c = a ( u ) 札z z + b ( 札) u “+ c ( 札) “：+ d ( 札) u ；+ q ( 札) ( 2 2 ) 此方程在热传导问题，燃烧问题等物理问题中有着广泛的应用我们引进不变集 岛= 扎：“。= f ( “) ，仳g = f 扣) ，( 23 ) 其中 是关于z ，g 的光滑函数，f ( u ) 是不变条件 “( z ，鲈0 ) 岛= ：= 争“( z f ，t ) ，t ( 0 ，l j ， 决定的函数当u 岛时，我们可以得到方程形如 “高刮砌m ( 2 a ) 的解在集合晶中，我们得到如下公式： 芝三搿鬈 江s ， u f ”= f + 嵋f 7 f 、吖 假设方程( 2 2 ) 的解在集合岛中不变，把( 2 5 ) 代入( 2 2 ) 中，我们得到 h m ) = a u 。+ b 。+ 警+ ( a f 7 + c f ) ：十( b f + d f ) 嵋 ( 26 ) ( 2 6 ) 左边是关于的函数，仅依赖于z ，”，对( 2 6 ) 式两端分别关于。，求偏 导，得 a 甜十b 妒+ 【4 t j z z + b 7 。h + ( * ) 7 】f + ( a f 7 + g f ) f 谚 + 2 ( a f + e f ) 。+ ( b f + d f ) 7 f 。嵋+ 2 ( 日f 7 + d f ) u ”。= o ， r 。叭 a 叱z 9 + 口口”+ i a 训。+ 口+ ( 罾) f f + ( a f + g f ) f 剖： r + 2 ( a f 7 + g ，) g + ( b f + d f ) 7 ，蝠+ 2 ( 口，7 + d ，) y = o ， 此方程组与文 1 1 中的一些情形不同，形式比较复杂我们很难从( 2 7 ) 中给出方 程( 2 2 ) 系数约束条件，当我们取一些特殊的 扛，) ，可以得到一些结果。我们考 虑下面一些特殊情形 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 情形1u 。= 0 由u 。”= o ，我们得到 u ( z ，掣) = ，( 。) + g ( ) 9 ( 2 8 ) 在这种情况下， 岛为集合玩= “：“。= ，( z ) f ( ) ，u 。= g 协) f ( ) ) ，方程组 ( 2 7 ) 为 a ，“+ m ，”+ 日7 9 ”+ ( 晏) ，】f ，+ ( a f ，+ e f ) ，f ，3 + 2 ( a f 7 + g f ) ，7 ，”+ ( 臀+ d f ) 7 f ，7 扩= o ， b 9 删+ 【a 7 ，”十b 7 9 ”+ ( * ) f 9 7 + ( 4 f 7 + g f ) 7 f ，2 9 7 + 2 ( b f 7 + d f ) g g ”+ ( b f 7 + d f ) f 9 噶= 0 ， 我们由司将这种情形化为下列几种情形 情形11 伸缩群 设，( 茁) = l n 川，9 ( ) = l n 川，即，( 。) = ，9 ( 口) = 岛则为集合s 。= ( u ：“。= 刍f ( u ) ，“，= ；f ( “) 这是对一维情形中伸缩不主群的推广将，( z ) = l n m ，g ( ) = l n 圳代入( 2 9 ) 中，得到 2 ( a a f 一e f ) 一( a a f 7 一g f ) 7 f 击 一( 口一b f 一d f ) 7 f ；+ ( 呈) 7 f = o ，“ 【2 ( b 一日f 7 一d f ) 一( b 一口f 7 一d f ) f 】专 一( a a f 7 一a f ) 7 f 壶+ ( 暑) f ；= o ，。 由此得到方程( 22 ) 中系数的约束条件， a a f 7 一e f = 0 b b f 7 一d f = o ：( 2 1 0 ) 呈呐， 以及 ( ) = c l t + c 2 ，其中c 1 ，c 2 为任意常数在本文中臼均代表任意常数当方 程( 2 2 ) 中的系数满足( 2 1 0 ) 时，方程( 2 2 ) 有形如 “南她忉怕 第_ 章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 1 0 的解 若a = b = u “，f = u ，则由( 2 1 0 ) 得 g = d = “一一u ”一1 q = c l u 。 我们可以验证方程 u = u m ( t 上。+ u 口”) + ( u m 一一_ l 上研一1 ) ( u ：+ 1 工；) + c l u 有精确解 l c o e “z ， 当= l 时 “= o ，n 2 6 2 o 时，方程有解 “南一扭c o s 枷，( z 怕) | 扣c o s 细。( m 剖枷 其中增= 岳坨= ( n 当n l b l o ，n 2 b 2 o 时，方程有解 “南= 一扣c 龇叭。佃) 1 扣s t 邮。嘶卅呻) 或 “南；一击l n 旧酬圳一扣酬细：( m o ) 1 其中蜒一岳a l = 一凌 ( i i i ) 当0 1 6 1 0 时，方程有解 或 “南= 一扣c o s 砌。( ，| - 扭幽m 问( 外”坤) i “南一扣c o s 坳。( 。训卜扣c o s h ( 抖训 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 其中智= 一鲁，坨= ( i v ) 当n 1 6 1 o 时，方程有解 “南一去l n i s i n h ( z 十z o 州一导n l s i 邮：州。怕川枷( c ) 或 “番i = 一去l n lc 。s h m n ，扣+ ) 1 一麦l n l c 。s h n 。( ”+ 踟) 】1 + h ( t ) 或 “高一扣c o s m m ( o ) 】i一壶l n 旧n h 叫协川州f ) 或 “高一去n 旧n m 内( z 慨州一麦l n l c o s h i 砌。( ”) 】1 + h ， 其中增= 一鲁0 = l ，2 ) ，吣) = c l t + c ： 情形2 ，+ u _ = 0 在( 2 7 ) 式中，若”( z ，f ) 满足u 。+ u ，= o ，则( 2 7 ) 可以被简化，我们由 其不同形式的解，又可以分成如下几种情形讨论 情形2 1 ”# 。= ”= o 把。= 嘶v = o 代入( 27 ) ，得到 ( 宴) f + ( a f + g f ) 7 尸诧+ ( b f + d f ) 7 f 嵋 乞2 ( 日f 7 + d f ) z 。o ， ( 2 1 2 ) ( 譬) 7 f + ( a f 7 + g f ) 7 f u ：+ 2 ( a f 7 + g f ) 钉z 十( b f + d f ) f ；= o ， 由u 。= 嘶y = o ，推出= ，( ) = c 1 f ，= 9 ( 。) = c l 。此时岛为集合 e 1 = u ：。= c l f ，( ) ，u y = c l z f ( u ) ) 把它们代入( 2 1 2 ) 式，得 c 1 ( 暑) 7 f 可+ c ( a f 7 + c f ) 7 f 可3 + 罐( 口f + d f ) 7 f 。2 可 + 2 c 2 ( b f + d f ) z ；o ， c l ( 譬) f z + c ( a f 7 + e f ) 7 f z 剪2 + 2 c ；( a f 7 + g f ) 可 + 馥( b f + d f ) f z 3 = o ， 第_ 章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 此方程组给出方程( 2 2 ) 中系数的约束条件 a f t + c f = o b f t + d f = q 笋= c 2 ， 并且h ( t ) = c 2 十c 3 我们可以证明方程 u t = u m ( u 。+ 札”) 一七u m 一1 ( ：+ u ：) + c 2 u “ 有解 “：j 2 ”“， 当女= 埘 【( 一南+ 1 ) ( t 可+ c 2 + c 3 ) 】南当局1 时 情形2 2 u 。o ， y o 在这种情况下，我们假设f 是调和方程的解，即”( z ，) 满足 u z z + = o 又u ( z ，口) = l n 干孑为( 2 1 4 ) 的基本解，此时，e 0 为集合 局= “：一南聊) u 。= 南脚) ) 若方程在集合岛下不变，则有 f 2 公b ) ( a b ) f + ( + e f ) n2 ( 胪+ e 刚矿岛 + ( 竿) f 南+ 【一6 ( a b ) 一( a 日) 7 f + 2 ( a f + g f ) + ( 日f + 。f ) 7 f 一4 ( b f + 。f ) 1 面挲甲= 。 - 2 嚣加) + ( b ) 伊+ ( 胛+ d f ) n2 ( 时+ d f ) 翻稀 + ( 笋) 7 f 尚+ 【6 ( a b ) 一( a b ) 7 f + 2 ( 日f + d f ) a f + c f ) 7 f 一4 ( b f + 。f ) 1 面拿考甲= 。 1 4 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 1 此方程组给出方程( 22 ) 中系数的约束条件 a b = a f | + c f a b = 一( b f 7 + d f ) ，( 2 15 ) 鲁= 钆 第一章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 并且 ( ) = c l t + c 2 在这种情况下，方程( 2 2 ) 有形如 r “高乩厢怕 的解 若a = 札”，b = i 【_ ，f = “，则由( 2 1 5 ) 解，得 因此方程 有解 仁俨一鼎“扩， 肚护一柄一南 0 = c l n “一“札。+ 矗u ，+ i u l 矗一舻。1 卜 + l “一。一南一i 再与j “；+ c t u 2 。：c 2 + 9 2 ：，当女= 埘 【 【( 一+ 1 ) ( 1 n 。2 + 2 + c l t + c 2 ) 】玎当l 时 函数u = a r c t a n 看也是调和方程( 21 4 ) 的饵此时风为集合 b = 。= 南咐u 。= 南脚，) 把它们代入( 2 7 ) ，得 【2 ( a 日) + ( a f 7 + g f ) 7 f 】 + 6 ( a b ) + ( b f 十d f ) + 一2 ( a 日) f 一4 ( a f + c f ) + 2 ( b f 7 + d f ) 一z ( 口f 7 + d f 再丁车甲+ ( 鲁) 7 f 南= 。 第_ 章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 【- 2 ( a b ) 一( 日f + d f ) 7 f 】南 + m 一口) 一( a ，+ g f ) 用鼎 + 【2 ( a 一口) f + 2 ( a f 7 + e f ) 一4 ( 口f 7 + d f ) 1 南 2 ( 胪+ e f 矿岛十( 笋) f 两_ 0 ， 此方程组给出方程( 2 ，2 ) 中系数的约束条件 a ：b ，a f ，+ e f ：o ，呈：c 1 ， 并且 ( t ) = c l t + c 2 易证方程 札t = “m ( 。+ u g 目) 一七u m _ 1 ( u ：+ “；) + c 2 “ 有解 fe 吲+ 一t a n ；，当：1 时 “2 1 ( 一+ 1 ) ( a r c t a n 吾+ c 2 t + c 3 ) = 南当k 1 时l ( 一七+ 1 ) ( a r c t a n 吾+ c 2 t + c 3 ) = 南当七1 时 2 3 维反应扩散方程( v 3 ) 我们可以把22 中的方法推广到维带有能源项的反应扩散方程 的研究中此时，我们引进不变集 岛= “：“。，= 。f ( u ) ，i = 1 ，) 其中 为关于翰( i = 1 ，) 的光滑函数，f ( u ) 是由不变条件 u ( z 1 ，茁) 豆h ( o ，1 决定的光滑函数方程( 2 1 6 ) 有形如 ”戋刮z 1 1 6 ( 2 1 6 )q + 2 ub+ zk0 a = 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 的解，其中 ( ) 满足 n nn ( ) = a 如。t 十等+ ( 4 f 7 + 口f ) 记 类似于2 2 ，我们可以分成如下几种情形进行讨论 情形1 啦。= o ( j ， ，j = 1 ，) 此时， ( 。- ，一，z 。) = ( ，) + ，2 ( z 2 ) + + ， ( z 。) 1 7 其中， 0 = l ，一，) 分别为以的光滑函数类似于2 2 我们有如下结论： ( i ) 如果方程( 2 1 6 ) 在集合 u ：。= 击f ( u ) ，i = l ，) 中不变，并且( 2 1 6 ) 中系数满足 a a 。f 7 一鼠f = o ，( i = 1 ，- 一，) q = c lf 1 则方程( 2 1 6 ) 有形如 “南地旧刊怕 的解 ( i i ) 如果方程( 2 1 6 ) 在集合 “：t = 鼢f ( 札) ，l = 1 ， 中不变，并且( 2 1 6 ) 中系数满足 a t f 7 + b f = o l ，( = 1 ，t ，1 ( 墨，a t + 譬) f = 一z c - ， 我们得到相应的解 “南= ；参怕m z ( 如果方程( 2 1 6 ) 在集合 u ：u 。= 爿2 f ( “) ，i = l ，) 中不变，其中五 满足方程组 = 毗，。+ 饥，i = l ， 则我们可以得到类似于2 2 中情形3 1 的结论 情形2 u 。= 0 “= 1 ，) 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 如果方程( 2 1 6 ) 在集合 卜。，巍，删，) 中不变，并且方程( 2 1 6 ) 中的系数满足 a l f 7 + b f = o ，0 = l ，一，) ，q = c 1 f 则相应的解为 雨。乱。w 札1 h c 2 2 4 注解 1 8 在本章，我们通过不变集凰将一般的群从一维非线性的反应扩散方程推广 到高阶带有能源项的反应扩散方程我们还可以考虑更一般的集合 e = 钍：u 。= ，( t ) f ( u ) ，u = g ( t ) 嘶f ( ) )( 2 1 6 ) 例如，当取9 ( ) = ，( ) 时，我们可以证明如果方程( 2 2 ) 中系数满足下面条件； a f 。+ c f = b f f + d f = q ( a + b ) ，f ：c 4 ：( g ) ，f ：c 。， 则方程( 22 ) 有形如 “南= 扣妒w 的解，其中，( t ) ，h ( t ) 分别满足 ，= ( c 4 十2 c 1 ) ，2 + c 5 ， = ( c 4 + 。2 ) ，+ c 5 + c 3 当，g 时。如果方程( 2 2 ) 中系数满足下面条件： a f + g f = c 1 b f + d f = c 2 a 7 f = c 3 ，b 7 f = q ，( 暑) 7 f = c 5 第二章不变集与高阶带有能源项的反应扩散方程 则方程( 2 2 1 有鳃： “南= + 扣卅坤， 其中，( ) ，9 ( ) ，和 ( t ) 分别满足 ，7 = ( c 3 + 2 c 1 ) ，2 + c 4 ，g + c 5 ， = ( c 4 + 2 c 2 ) ，2 + c 3 ，g + c 5 目， 7 = ( c 3 + c 6 ) ，+ ( c 4 + c 7 ) 9 + c 5 十c 8 1 9 第三章不变集与一般薄膜方程 3 1 引言 在本章，我们将讨论不变集与一般薄膜方程的解，我们将证明若此方程在集 合蜀中不变，则它也在岛中存在解，其中e 0 的意义同第二章这是对1 + 1 维发展方程中结果的推广 在文【4 中，屈长征已经将这种方程用于l + l 维薄膜方程中，在文【8 】k i n g 通过拟设为基础的方法给出两种薄膜方程一些有意义的精确解在本章，我们通 过引入不变集岛把g 山埔o n o v 的方法进行推广，并将其用于研究= 维的一般薄 膜方程 考虑一般薄膜方程 u e = 一d i v ( a ( ) v “+ b ( ) v 札扎+ e ( u ) l v “1 2 vu ) + q ( u ) ，( 3 1 ) 其中v “= ( u 。，) ，“= u 。+ 1 i a ：b ，c 和q 为的光滑函数 引入不变集 玩= ：“。= f ( ) ，= f ( “) ) ( 3 2 ) 其中”为z ，的光滑函数，且f 是由不变条件 u ( z ，g ，0 ) 蜀 u ( z ，t ) e j ，f o rt ( 0 ，1 】 决定的光滑函数当岛时，我们可以得到方程形如 “南刮训( f ) ( 3 3 ) 的解这种形式的解可以看成分离变量的解 厂”南如= m ) + g ( f ) ， 2 0 第三章不变集与一般薄膜方程 在l + l 维中的一般情形在岛中，我们有以下式子成立 2 l u 。= f = f 1u = 他) f 札。= 。f + f f ：t l 蛐= f + ：f f ，”= 。，f + f f 7 ， u 。= ”m f + 飘； 。；f f ”+ 圮f t f f t ， “i = 刘w f f + 3 ”口f f + 嵋f ( f f ，) ， u z 口i = 。9 f + ( 2 p + ) f f 7 + f ( f f ，) ， 珏。”= z ”f + ( 2 。+ ”钉。) f f 7 + u ：f ( f f 7 ) 7 ， u 一。= u 。埘。f + ( 4 + 3 。) f f + 6 蚜f ( f f ，) ，+ 削：f ( f ( f f ，) ，) ， u g g = _ h “f + ( 4 9 v # 啦+ 3 嚷) f 一+ 6 u ；g p ( f f ，) ，+ f ( f ( f f ，) ，) ， z z 口9 = z w f + ( 2 记”+ 2 嘶z + 2 u z w + 。 9 ”) f f 7 + ( 钉；即。+ ： 坤+ 4 ) f ( f f ，) ，+ 刘；f ( f ( f f ，) ，) 7 把它们代入( 3 1 ) 并由( 3 3 ) ，得 ( 亡) =一 a 【( u m ：+ ) ；。+ 扣。+ ”。9 ) 。1 + ( 4 a f + a f + b f ) 【 。( 如。+ p ”) 。+ ( u + p y ) g 】 + ( 3 a ，+ b f ) ( 。+ ”) 2 4 a f 7 ( 。_ 一u ：。) + 【( j 4 f f + 口f 2 ) 7 + a ( f f ，) ，+ b f f + g f 2 】( ：+ u ：) ( 。+ 目口) + 2 f ( a f f ，) ，+ a ( f f ，) ，+ 口f f 7 + g f 2 l ( 。+ u ；t ，鲫+ 2 ) + 【a f ( f f ，) ，+ 口f 2 f 7 + e f 3 ( + 嵋) 2 ) + 普 ( 34 ) 从方程( 3 1 ) 和昂中确定出所有函数，形式上比较复杂，我们在这里也只考虑几 种特殊情形 3 2 主要结果 在这节，我们通过选择不问的u ( z ，g ) 来确定不变集，并相应地构建方程( 3 1 ) 的解芷如前面所提，我们不能对任意的 ( z ，口) 都能给出方程( 31 ) 的解因此 我们只考虑几种特殊情形 第三章不变集与一般薄膜方程 情形1 。+ u = o 如果函数 ( z ，) 满足方程 z + ” = 0 则( 3 4 ) 式可以简化为 2 2 ( 3 5 ) h ( t ) = 一卜4 a f ，( ”；。t ，。一”毛) + 2 【( a f f ，) ，+ a ( f f ) 7 + b f f 7 + g f 2 】( u ：。+ ； 9 ”+ 2 u 。口) + 【a f ( f f ，) ，+ b f 2 f 7 + g f 3 】( + 咤) 2 ) + 菩 ( 3 6 ) 根据方程( 3 5 ) 解的不同情形，我们可以得到如下结论 情形1 1 ( ，) = n 。+ 硒( o o ，6 o ) 把u ( 。，) = n z + 叻代入( 3 6 ) ，得 7 ( t ) = 一( n 2 + 6 2 ) 2 a ，( f f ，) ，+ 口f 2 f ，+ g f 3 】，十鲁 ( 3 7 ) ( 3 7 ) 的左边与。：g 无关，则a b ，c ，q ，f 满足 ( n 2 + 6 2 ) 2 【a f ( f ，) ，+ b f 2 f 7 + g f 3 1 ，+ 等= c 1 ( 3 8 ) 其中以及本章出现的q 表示任意常数方程( 3 8 ) 给出方程( 3 1 ) 中系数的约束 条件在这种情形下，方程( 3 1 ) 有解 “高伽怕。， 此解为它的行波解 情形1 2 嵋。= f = o 函数u ( z ，) = + d 为。= u w = 0 的解不失一般性，取c = 1 d = o 此时，玩为集合e 1 = ：u 。= f ( “) ，嘶= z f ( “) ) 把 = z 代入( 3 6 ) ，得 7 ( ) = d ( 札) ( z 2 + 2 ) 2 + f ( “) z 剪+ g ( ) ，f 3 o ) 第三章不变集与一般薄膜方程 2 3 其中 d ( u ) = 一p f ( f f 丁+ b ，2 f 十e f 3 】， e ( 诅】= 一4 【( a f f ，) ，+ a ( f f ，) ，+ b f f 7 + e f 2 1 ， ( 31 0 ) g ( ) ：一4 a f ，+ 鲁 f 3 、9 ) 式左端与z ，无关，( 3 9 ) 式两端关于z ，求导，得 d ，f ( 护+ 2 ) 2 可+ ( 4 d + e f ) z 可2 + 4 d z 3 + ( e + g f ) 可= o ， d ，f ( 护+ 9 2 ) 2 z + ( 4 d + e 7 f ) 褂2 + 4 d 矿+ ( e + g f ) z = o 比较系数，解得 d = o ，e 2 皇： g 一一c ，“+ c 2 ， 其中 ( t ) 满足 7 ( f ) = 一c l ( 计+ c 2 - 把( 3 1 1 ) 式代入( 31 0 ) 式，得 a f ( f f ，) 十b f 2 f + e f 3 = c 3 ， ( a f f ，) ，+ a ( f f ，) ，+ b f f 7 + e p = 一导， ( 31 1 ) 圳n 警一- “高托 解。得 a ( p ) ”十b ( f 2 ) ，+ 2 c ，2 ；誓， a ( f 2 y = _ 2 c 3 “南一号u 帆 ( 3 1 2 q 叫c 卅a 铅，“南托u 伽地s r “南一 我们考虑当a ：。m ，( m 0 ) 时的情形，此时又可以分成以下几种情形讨 论： 当m 2 时，让c l = 一2 ，c 2 = c 3 = c 4 = 0 ，e = 0 ，则 f ：“l m 2 、压磊，b = ( m 一1 ) ”， 第三章不变集与一般薄膜方程 且方程 u t 一叭( 札”v u + ( m 叫u 一1 v “酬+ ( 未+ z ) u 有解 n u = 焘r 当0 m 2 ，z 材= e 2 。时， 当m 2 ) 第三章不变集与一般薄膜方程 记h = h ( u ) = ，“最与，即f ( u ) = 百b 若q = o ，则h ( u ) 满足常微 分方程 一c ，导+ c 。刍一a 臼日一c ，u + z 铂：o ， ( s 。) 解得 f 晋最， 当臼= 毗 h ( u ) = 一 【型坐业堑弓芋她垫衄型，当c 3 毗 相应地，方程( 3 1 ) 中的系数为 或 a ( u ) = ；c 3 札一4 一i c 。c s u 一3 一；一2 b ( “) = 一c 3 札一5 + ；c 3 c 2 u 一4 + ；u - 3 g ( u ) = q ( 札) = o a ( “，= ；c 3 “一4 一；c 2 c 3 “3 一：“一2 c ( 札) = i u 一4 + 3 c 2 c 3 扎一5 2 c 3 u 一6 ， b ( 札) = q ( “) = 0 方程( 3 1 ) 有解 。：! 垫型垫! 型 一z 一n e c 其中。为任意常数如果f ( u ) 满足( 3 1 3 ) 及( 3 1 2 ) 中的前两个方程，则方程 有解 “f = 一d i v ( a ( “) v “+ 日托) v “+ c r ( “) f