（应用数学专业论文）信息受限的混沌量化同步问题的研究.pdf

j i i i i f ifij i l t i l lpflli l l l l f y 19 0 5 0 2 4 m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 1s t u d e n ti d ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 6 9 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s s t u d y o fc h a o t i cq u a n t i z e d s y n c h r o n i z a t i o n u n d e ri n f o r m a t i o n c o n s t r a i n t s d e p a r t m e n t ： m a j o r ： d i r e c t i o n ： s u p e r v i s o r ： m a t h e m a t i c s a p r i l ，2 0 11 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文信息受限的混沌量化同步问题的研究，是在华 东师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除 文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：往丽日期：圳1 年j 月西日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 信息受限的混沌量化同步问题的研究系本人在华东师范大学攻读学位期间在导 师指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东 师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书 馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版：允许学位论文进入华东师范大 学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共 建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它 方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密 学位论文幸， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( v 52 不保密，适用上述授权。 导师签名汹导师签名名叁垒垒 1 1 年3 月肖日 幸“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 程丽硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 倪明康教授华东师范大学数学系主席 傅显隆副教授华东师范大学数学系 刘兴波副教授华东师范大学数学系 论文摘要 本文研究了信息受限的混沌量化同步问题对于两类具有输出形式的l u r i e 形 式的混沌系统，分别研究在网络传输环境下，基于观测器的混沌同步和控制同步问题 对于驱动系统和响应系统，由于混沌系统对初值的极端敏感性和状态的不可预见性，通 过设计关于驱动系统的有效观测器来对状态进行有效的估计然后通过一个有限容量 的信道连接，设计有效的量化方法使得同步误差关于传输误差是输入到状态稳定( 简记 为i s s ) ，同时传输误差是指数稳定因此，在有限信道容量的条件下获得同步误差渐近 趋于零的结果 本文方法弥补了f r o d o v 等人的研究工作的缺陷使得在有限信道传输能力条件下 同步误差渐近趋于零相比以往的结果，本文的工作有一定的突破仿真例子也验证 了本文方法的有效性 关键词：混沌同步，观测器，编码，解码，量化，i s s 稳定 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，c h a o t i cq u a n t i z e ds y n c h r o n i z a t i o nu n d e ri n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t si ss t u d i e d f o rt h ec h a o t i c s y s t e m sm o d e l e d i nl u r i ef o r m ，w e s t u d y c h a o t i co b s e r v e r - b a s e d s y n c h r o n i z a t i o nu n d e ri n f o r m a t i o n c o n s t r a i n t sa n dc o n t r o l l e d s y n c h r o n i z a t i o nu n d e r i n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t s f o rc h a o t i cm a s t e rs y s t e ma n di t ss l a v es y s t e m ，w h i c ha r ec o n n e c t e d b yal i m i t e dc a p a c i t yc h a n n e l ，b e c a u s eo ft h ee x t r e m es e n s i t i v i t yt ot h ei n i t i a lv a l u ea n dt h e u n p r e d i c t a b i l i t yo ft h es t a t e ，w ed e s i g ne f f e c t i v eo b s e r v e ro ft h em a s t e rs y s t e ma n dt h e ng e t t h ee s t i m a t i o no ft h es t a t e ap r a c t i c a lq u a n t i z e ds c h e m ei s d e s i g n e ds u c ht h a tt h e s y n c h r o n i z a t i o ne r r o ri si s so nt h et r a n s m i s s i o ne r r o r ，w h i l et h et r a n s m i s s i o ne r r o rc o n v e r g e s t oz e r oe x p o n e n t i a l l y t h e r e f o r e ，t h es y n c h r o n i z a t i o ne r r o rc o n v e r g e st oz e r oa s y m p t o t i c a l l y u n d e ri n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t s t h eo b t a i n e dr e s u l to v e r c o m e sd i f f i c u l t i e so fp r e v i o u sw o r k ss u c ht h a tt h e s y n c h r o n i z a t i o ne r r o rc o n v e r g e st oz e r ou n d e ri n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t s c o m p a r e dw i t l lt h e p r e v i o u sr e s u l t s ，w eh a v es o m eb r e a k t h r o u g hi nt h i sp a p e r f i n a l l y , as i m u l a t i o ne x a m p l ei s p r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h er e s u l t k e yw o r d s ：c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n , o b s e r v e r , e n c o d i n g ，d e c o d i n g ，q u a n t i z a t i o n ，i s s 2 目录 第一章引言1 1 1 研究背景1 1 2 本文的主要工作l 第二章基于观测器的网络化混沌同步3 2 1 预备知识3 2 2 量化器的选择5 2 3 主要结果6 2 4 主要结果的证明1 0 2 5 仿真例子1 4 第三章信息受限下的控制同步1 7 3 1 量化器的选择1 7 3 2 主要结果1 9 3 3 主要结果的证明- 2 2 第四章小结2 8 参考文献2 9 致谢3 2 1 1 研究背景 第一章引言弟一旱ji置 混沌系统是一类特殊的非线性系统由于混沌轨道对初值的极端敏感性，使得它在 信息处理中占有重要的地位一个重要的研究方向就是利用这一性质实现混沌的加密 通信，但并不是任何混沌系统都可用来实现这一目的的，而必须通过混沌控制产生出与 给定混沌序列同步的混沌轨道因此，混沌同步成为混沌控制一个重要的组成部分 从2 0 世纪8 0 年代起，人们开始对混沌同步有所关注直到现在，研究者仍然很关 注混沌同步问题在不考虑网络信息受限的情况下，混沌同步的研究已经取得了很大的 进展但是由于网络化的广泛运用，使得在信息受限下研究混沌同步问题非常有意义 近来，信息受限条件下的混沌同步问题在控制理论文献中己有研究 f r a d k o v 等作者( 【4 】，【8 】，【1 9 】) 也研究了几类信息受限条件下基于观测器的混沌同步 在文献 4 d p ，作者研究了信息受限下基于观测器的混沌同步，考虑l u r i e 形式的驱动系 统及其响应系统，通过有限信道连接，设计合适的量化器，得到同步误差的上确界的极 限( l s e ) 与传输误差的上确界成正比即实现了同步误差的毕竞有界但是，是对一维 变量少进行量化，这样会使误差相对来讲比较大，而且除非传输速率非常大，即信道容 量无穷大，才能使同步误差趋于零 在文献【8 】中，作者研究了信息受限下的控制同步问题同样考虑l u r i e 形式的驱动 系统及其响应系统但响应系统受到控制函数都受到1 1 的限制作者通过选取适当的控 制函数和量化器，得到同步误差极限的上确界与传输误差的上确界成正比，同时得到 同步误差极限的上确界和下确界的极限都与同步误差的极限成正比，与信息传输速率 成反比与 4 】相同，在量化过程中，由于对输出少进行量化，这样在传输过程中会丢失 很多信息，除非传输速率非常大，即信道容量无穷大，才能使得同步误差趋于零 1 2 本文的主要工作 在上述研究背景下，本文的主要工作有： 步问题 分组成) 混沌系统， ( 1 2 ) 1 1 9 ( 力一9 c 力0 厶| i x - y l l ，v 五y e r “ ( 1 3 ) 由于驱动系统是具有输出的混沌系统，初值具有不可预见性，并且状态不可得，因 此首先设计驱动系统的观测器，得到状态在量化过程中，采用在加密器和解密器的部 分( 见图2 1 ) 分别添加观测器的复制系统的方法( 【1 2 】) ，对刀维向量进行量化这样有利 于控制初始条件，所以这是实现同步的关键环节 记同步误差为r - - = z z 本章的目的是在有限信道容量的条件下，设计合适的观测 器及量化器，使得在信道有限情况下可以实现同步误差趋于零的目标 第三章考虑【8 】中的系统，讨论了在信息受限下的控制同步问题考虑连续混沌驱 动系统： 取，) = 出+ 却，少= c x ；( 1 4 ) 响应系统为： 氧，) = 幺+ 却+ b u ，少= c z ，( 1 5 ) 其中五z r ”，y ，夕r ，缸0 ) = x o 设函数9 满足局部地条件，即 09 ( 曲一q o ( y ) l l 厶| iz 一少i l ，vx , y e 月“ ( 1 6 ) 记同步误差为叼= z z 本章证明了第二章的方法不仅适合信息受限下基于观测器 混沌同步，而且也适合信息受限下的控制混沌同步通过采取适当的控制函数彰，可使 得在信道有限情况下可以实现传输误差趋于零，从而同步误差关于传输误差稳定的目 标 2 2 1 预备知识 第二章基于观测器的网络化混沌同步 对于刀维连续时间线性时不变观测系统： j = 彳缸+ b u , o ) = x o ， ，o ； y = c x , 其中4 e ”，b e ，c e ”，状态z 不能直接量测，输出少和输入1 1 是可以利用 的 ( 1 ) 全维状态观测器的属性 给定i 1 维连续时间线性时不变可观测系统，全维状态观测器也为刀维连续时间线性 时不变系统并且，取状态观测器的输入为被观测系统的输出少和输入，其状态舅为 可观测系统状态z 的重构状态，量和z 满足如下等价关系： l i l i l 文，) = l i m x ( t ) ( 2 ) 全维状态观测器的构造思路 全维状态观测器在思路上由”复制”和”反馈”合成复制就是，基于可观测系统 的系数矩阵4 忍f ，按相同结构建立一个复制系统反馈则指，取可观测系统输出y 和 复制系统输出夕的差值作为修正变量，经增益矩阵z 反馈到复制系统中积分器组输入端 以构成闭环系统在观测器中，状态观测器的维数为刀，以可观测系统的输出y 和输入 留作为输入，结构上与被观测系统的惟一区别就是引入由z 沙一表示的反馈项 ( 3 ) 全维状态观测器的状态空间描述 对于如上思路组成的全维状态观测器，状态空间描述为： 量= ( n - z c ) h + 二y + 刀缸，文o ) = 毛 ( 4 ) 全维状态观测器的观测偏差 对于上述结构的全维状态观测器，z 为被观测系统状态，量为观测器状态即重构状 态，则观测偏差舅= 芦一舅的状态方程为： 宝= ( 彳一z o 孑，敢o ) = 磊= 而一磊 对于上述结构的全维状态观测器，i = z 一舅即观测偏差的表达式为： 舅= 小z c ) ，o 结论对于上述结构的j ，7 维状态观测器，存在n x q 反馈矩阵z 使成立： l i r a 文力= l i r a “，) - - 0 0- e o 的充分必要条件是可观测系统不能观测部分为渐近稳定，充分条件为可观测系统( 4o 完全能观测 下面介绍要用到的三个定义： 定义2 1 如果连续函数a ：【0 ，力- - 【0 ，) 严格递增，r a ( o ) = 0 ，则口属于k 类函数 如果口= o o ，且当，_ o o 时仗( 力_ ，则口属于，c 。类函数 定义2 2 对于连续函数卢：【0 ，功 0 ，) 专【o ，) ，如果对于每个固定的，映射 p ( 厂，力都是关于厂的k 类函数，并且对于每个固定的，映射p ( ，力是j 递减函数且当 一时卢( 厂，力专0 ，则卢属于k 粤类函数 考虑系统 j = 以，五力，( 2 1 ) 其中，： 0 ，) 是关于，的分段连续函数，关于z 和z ，的局部l i p s c h i t z 函数输 x u ( t ) 对于所有的t - 0 是，的分段连续有界函数 定义2 3 如果存在一个k 粤类函数卢和一个k 类函数y ，使对于任何初始状态x ( t o ) 和有界的输x u ( t ) ，解“力对于所有i 拘t t o 都存在，且满足 慨，) i l p ( 1 l “t o ) l l , t - 小y ( 器愀训i ) ， 那么系统( 2 1 ) 是输入- 状态稳定的，即i s s 4 2 2 量化器的选择 在网络环境中的模数与数模变换是通过量化器来实现的本文中采取的量化器是最 常见的一种量化器： 由于混沌系统的吸引域是有界的，不妨设为q ，取量化函数q ：t l 专d 是分段常值 向量函数，其中刃是刀”的有限子集即把q 划分为有限个( 不妨设个) 形如 z 月”：狄力= ，纠的量化区域，这种量化区域可以是任意形状，不必局限于超立方 体的形式确切地说，存在必a 使得 1 ) 如果0z 0 ，那么i ie ( z ) - z l l ； 2 )如果i iz l i ，那么l i 吠力i i = 一 注2 1 当量化值不饱和时，条件1 ) 显示量化误差不超过条件2 ) 给出了检测饱和 的方法这里肜和分别称为量化范围和量化误差本文假定在原点的某个领域内 畎力= 0 注2 - 2 由上述量化规则可知，映射矿的像是维的，即，每个编码符号包含 启= l o g 多位信息 在上述量化规则的基础上，定义量化器 级( 力2 狄舌) ， ( 2 2 ) 其中j l l 0 为调焦变量，随着p 的增大或减小，量化范围m , u 和量化误差p 也在增大或 减小，并假定在采样时刻以时更新t 这种量化器的优点在于有很大的弹性空间，并且 使得量化值相对精确 量化器的调焦规则定义为： j l l m ：= p k , u 七，后= 0 ，1 ，2 ， ( 2 3 ) 当在采样时刻量化器己处于饱和阶段( i iz i i 卿量) ，取p “。- p 训p t ；当在采样时 5 设计需 心的更新规则是由p 扣。决定的，在( 2 3 ) 中如果前采样时刻的量化值满足处于非饱和阶 段，那么p 七= p j ，则下一采样时刻的j l l “l = p j p 量 由于驱动系统初值的不确定性，量化器会交替处于饱和及非饱和阶段对于此章中 研究的系统，量化器的运行过程由调焦规则可以分为两种情况： 1 饱和阶段进入非饱和阶段； 2 初始阶段就进入非饱和阶段 2 3 主要结果 由于驱动系统是混沌系统，初值具有不可预见性，并且状态不可得，因此首先在驱 动系统和响应系统之间设计有效的观测器，得到状态，此过程中会产生观测误差为了 减少平均传输位率，在加密器和解密器中添加观测器的复制系统，这样有利于控制初始 条件，也是实现同步的关键环节与线性系统类似，驱动系统的观测器为： 舅= ( 彳一z d 孑+ 乏y + 9 ( j 力，夕= 凸( 2 4 ) 假定采样周期乃= 么一磊 o 为常数，( k e n - = 0 ，l ，2 ，) ) 为了减少平均传输位率 的需求，在加密器和解密器中分别添加了观测器的复制系统： 舅= ( 彳一z o 舅+ 砂+ 9 0 ，) ，夕= 西( 2 5 ) 来构造驱动系统的状态估计 在每个采样时刻磊，记作观测误差为：弓= z 一舅，传输误差为：吃= i 一主，传输误差 6 7 由g r o i n 引a l l 不等式得： 吃( ，) i i o 巳( ) i i + ( 彳一z d j l i 乞( 力0 西 8 ( 2 7 ) 7 ) 稳定即 ( 2 8 ) 采取适当的 ( 2 9 ) 由( 2 1 0 ) 又可写为： 所以当，一幺时有 吃( 力i i - 1 i 乞( 磊) l i 之加厕存， ( 2 1 0 ) 丐( 力i i 矿厕居0 ( 厶) 一反丐( 厶) ) l l ， ( 2 1 1 ) l 丐( 么。) 1 1 - 矿5l l 以) 一次丐以) ) l i ( 2 1 2 ) 因量化器饱和阶段与非饱和阶段之间的转化是由! 坐丛决定的，所以定义己：盟， 弘th 当轨道状态进入非饱和时，纵。= 伽- ，则有：i i 考“i i - - 了一l i 考：一矿( 邑) 1 1 a - 。k j p i l 易得如下引理： 引理2 1 若正数肜充分的大，使得 ( 2 + 矿存) 彤， 则存在以( o ，1 ) ，使得x , - j - vp 砌( p 二，1 ) 都有 ( 2 + 上矿存) p 砸 ( 2 1 3 ) 引理2 2 设，和吆满足引理2 1 记磊= m - 2 a ，那么当i l 考。0 磊时，成立 i i 考二ll | 肜一2 a 4 * - m * ( 一2 m - a ) n ， 那么对v 后 。，心有界，并且适当地选择办，可使得系统 ( 2 8 ) 是指数稳定的 记d ，) = q ( ，) + 乞( ，) = , 4 t ) - s i t ) ，可知：当，专时，反，) 指数趋于零 9 现在研究，在上述观测器下，系统( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的同步问题同步误差叩= z z 满足 开= j 一三= 彳防+ 9 0 ，) 一彳纺一9 0 ，) 一么气尹一力= ( a 一厕叼+ k c e ( 2 7 ) 定理2 3 选择增益矩阵k ，使得幺= a 一肜是h u r w i t z 如果存在标量j l l 0 ，正定 矩阵尸 o ，使得矩阵不等式a 量p + p a x 一j l i 尸那么同步误差町关于状态传输误差口是 i s s 稳定的 2 4 主要结果的证明 引理2 2 的证明 若i i 喜。l i 磊= 一2 a ，即量化器在初始时刻处于非饱和阶段，由量化器的调焦规 则可得： 是 又 所以 从而 驯丝峰一矿( 色) l l 丝 肜一2 驯等“考：叮心胖三 脉肌2 瓜从 由此及调焦规则可知，在初始时刻以后的任意时间里量化器都处于非饱和阶段于 ( 丐i | = l i 喇警川吼慨驯， 吠邑) 一邑临a ， 反善量) i i 马i 考正0 + m 一2 a + a = m a 0 钆( 丐( 厶) ) i i - - - ( m 一) 心， 吃( 力e ( 2 a - 居0 丐( 厶) 一吠丐( 磊) ) 临连扣居心i i 嚣一次嚣) | | 0 ， 则有 0e ：( oi i - 1 左丁一， 4 - 姗 m 一 1 p 2 i 2 m - a 引， p m w m p 。彭丝二垒2 m - a ，成立 e ：( , 91 1 - 謦硼6p ：雌产考一5p 譬p ：a ，f 也，f 。 所以当初始阶段处于饱和阶段时，系统( 2 8 ) 仍然指数稳定 综上所述，对任意的扎，当，专时，传输误差乞是指数式趋于零，证毕 定理2 3 的证明： 若存在正定阵尸，使尸满足：+ 4 尸一p 尸，其中彳一彬= 4 ，那么选取系统的 李雅普诺夫函数 ，( 叼( ，) ) = r ，( ，) 励( ，) ( 2 1 8 ) 因为尸正定，所以存在正定阵夕，使得尸= p 则，沿着系统轨道的全导数为： 哥= 咬7 翻+ q 7p 1 1 = t 7 研+ ( 删，唧+ t 7 ，玎+ ，7 ，p k c e = r l ，( a r f + p a x ) r l + 2 r l r p k c e ) ( 2 19 ) 所以有： 砂一p v + 2 v q k c e s p l ，+ 2 石q 【- ( ： ) i ik c i is u pi ie 1 1 ( 2 2 0 ) 因为( 石) = 每，则由( 2 7 ) 可得 z 、矿 ( 以熔一擘+ ( ：9 i ix c l ls u p i i 刮 ( 2 2 1 ) 令；= z ，由比较原理我们只需解以下方程： 戈一等+ ( ： ) i i x c l ls u pl lf i i ( 2 2 2 ) 由戈= 一等，得z = 由常数变易法 z ：d 力芦州， 1 2 所以 得 戈= ( ，芦吲一号“，) 芦州- - 一笠( ) 一生4 - 厨。昭i l s u p 忙i i ， ( ，) ：笋川厨l i 昭os u p i i 矿i i 下面解方程( 2 2 3 ) ： 们一4 t o ) ：三声( p ) i ix c l ls u p i if i i 一三厨i i 昭| | s u p l lf i i ， “ 而 “毛) = z ( 毛) = 而= o 叩( 毛) i i 丽= l l 而o 丽， ( 2 2 3 ) 所以得 d 删i 压历+ 云( w ) i i k c l l s u p i i 圳号压历忪u p l l 矿i i ， 因为 所以 , - ；- - z ( ，) = d 力芦啪 一 注3 1 当量化值不饱和时，条件1 ) 显示量化误差不超过条件2 ) 给出了检测饱和 的方法这里肜和分别称为量化范围和量化误差本文假定在原点的某个领域内 以力= 0 注3 2 由上述量化规则可知，映射矿的像是维的，即，每个编码符号包含 1 7 启= l o g 多位信息 在上述量化规则的基础上，定义量化器如下 吼( 力= p 砜二) ( 3 4 ) z 其中j l i 0 为调焦变量，随着的增大或减小，量化范围卿和量化误差p 也在增大或 减小，并假定在采样时刻时更新j l l 这种量化器的优点在于有很大的弹性空间，并且 使得量化值相对精确 量化器的调焦规则定义为 j l l “1 - 既j l l 量，后= 0 ，1 ，2 ， ( 3 5 ) 当在采样时刻量化器己处于饱和阶段( 0z l l 卿t ) ，取j l l “。- p 七；当在采样时刻 量化器处于非饱和阶段( | i 圳卿量) ，取j l f “。：= 如七其中如= 专和p 耐根据设计需要 都是待定常数由量化器的调焦规则可知，n 仅取如和p 剃两个值 事实1 - ( 3 5 ) 是关于以的递推公式，心的增大或缩小是由阼。的取值决定的，然而 阼的取值是由上一采样时刻检测到的量化值大小决定的按照这样的规则，动态量化 器就根据上一采样时刻监测到的量化值所属范围来更新下一采样时刻的量化范围及量 化误差 注3 3 此量化器是动态量化器，即量化范围聊。的增大和减小完全由以决定，而 以的更新规则是由p 扣，决定的，n ( 3 5 ) 中如果前采样时刻的量化值满足处于非饱和阶 段，那么p t = p m ，则下一采样时刻的p “= 办心 由于驱动系统初值的不确定性，量化器会交替处于饱和及非饱和阶段但对于此章 研究的系统，量化器的运行过程由调焦规则可以分为两种情况： 1 饱和阶段进入非饱和阶段； 2 初始阶段就进入非饱和阶段 1 5 3 2 主要结果 由于驱动系统是混沌系统，初值具有不可预见性，因此在驱动系统和响应系统之间 设计有效的观测器，使得传输误差渐近趋于零，这是实现同步的关键环节与线性系统 类似，观测器为： 孑= ( 彳一z o 碧+ 乏y + 名妒o ，) ，敢0 ) = 0 ( 3 6 ) 假定采样周期h = t k + l - 6 0 为常数，( 后= 0 ，1 ，2 ， ) 为了减少平均传输位率 的需求，在加密器和解密器中分别添加了观测器的复制系统： 名= ( 彳一z o 名+ 砂+ 却c 力， 以此来构造对状态的估计 其中n e t w o r k 部分为： 1 9 图3 1 信息受限下的混沌同步 在每个采样时刻磊，记作观测误差为：e l = z 一碧，传输误差为：e 2 = 孑一舅，传输误差 的量化误差为：乞。= 狄吃) ，其中从) 是量化函数在每个采样时刻磊，将氧) 更新为： 氧 ： ) = ( 磊) + “丐( 磊) = ( 磊) + “双) 一矿( ) ) ( 3 7 ) e hl - _ 可知，在无量化的情况下，文磊) = 缸磊) 其中矿( 磊) 与丐( 磊) 表示相应变量在磊 处的左极限 对于控制函数4 ，我们考虑简单的静态线性反馈形式的控制函数4 = i ( c ( x 一力，其 中髟是增益控制 下面考虑观测误差e l = x - 2 所满足的方程： 甸= 宕一舅= 彳良+ 名l 力一( 彳一z c o s c 一砂一却c 力= ( 彳一z o q ( 3 8 ) 当，k ，么。) 时，有 q ( 力= q ( ) q 小肛x 卜纠， i lq ( 力i i 0q ( ) 0q 扣以1 居 乞= 碧一舅= ( 彳一z o 乞 ( 3 1 0 ) 由前面可知：适当的选择z ，可使e 2 _ 0 在网络传输的过程中，我们采取适当的量化 方法，不仅可以使得上述系统稳定，更进一步，可使e 2 指数趋于0 当， 磊，么。) 时，在k ，) 上积分有： 乞( 力= 巳( 磊) + ( 彳一z o 乞( 力西， ( 3 1 1 ) 所以 由( 3 1 2 ) 又可写为： 所以当，专幺。时有 乞( 力o i i 乞( 磊) o + ( 彳一z o j l l 吃( 力l 西 e 2 ( oi l - l l 吃( 磊) 0 小厅， ( 3 1 2 ) 丐( ，) i i 之乒幽居0 矿：( 磊) 一次p ；( 磊) ) 0 ， ( 3 1 3 ) f j ( 么。) i i - 4 - 居i ip ：( 磊) 一从f ；( ) ) 0 ( 3 1 4 ) 因量化器饱和阶段与非饱和阶段之间的转化是由兰丝丛决定的，所以定义靠- ! 坦丝 p t社 当轨道状态进入非饱和时，p “。= 以以，则有川考“l i i 鲨署憾：一矿( 靠) | | 易得如下引理： 引理3 1 若正数充分的大，使得 2 1 ( 2 + 之加z o 存) ， 则存在以( o ，1 ) ，使得对vp 加( p 二，1 ) 都有 ( 2 + j 二之小z ( ) 厅) p 慷 ( 3 1 5 ) 引理3 2 设肜，和满足引理3 1 记磊= m - 2 a ，那么当l i 彘i i 0 ，选择，和满足引理3 1 和引理3 2 ， ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 当p 刎 _ e l x - m a ( 一2 m - a ) ，那么对v k o , 心有界，并且系统( 3 1 1 ) 是指数稳定 记d ，) = 弓( ，) + 乞( 力= 缸力一氧力，可知：当，专时，d ，) 趋于零 现在研究，在上述观测器下，系统( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的同步问题状态误差叩满足 h x = x 一三 = 办+ 角o f y ) 一幺一却一b u = ( a - b k c 3 0 + 却( c x ) - b e ( c k ) + b k c e ( 3 1 9 ) 定理3 3 选择增益矩阵k 使得4 = a - b k c ：是h u r w i t z 如果存在标量p 0 ，正定 矩阵尸 0 ，使得矩阵不等式彳尸+ 一p 尸，那么同步误差叩关于状态传输误差矿是 i s s 稳定的 3 3 主要结果的证明 引理3 2 的证明： 若l i 彘0 磊= m - 2 a ，即量化器在初始时刻处于非饱和阶段，由量化器的调焦规 则可得：i 氟。i i 丝l i 考：一矿( 彘) 1 1 兰；竺 一2 肜 p h p 啊 由此及调焦规则可知，在初始时刻以后的任意时间里量化器都处于非饱和阶段于是 慨( 讹) ) l m t 从警m 1 1 摊；) 1 1 ， 又 所以 从而 畎邑) 一邑i l a ， 畎考i ) 0 l l 考ti | + 4 一2 a + a = m a ， i i ( 丐( ) ) i i ( 肜一) p 量， 吃( ，) 连乒彦i l 丐( 磊) 一吠丐( 磊) ) i i 之乒力u ki l 靠一砜嚣) i | 乏小彦p ：地证毕 定理3 2 的证明： 定理可分两种情况证明 1 ) 如果初始条件使得量化器处于非饱和阶段，由引理知量化器会一直处于非饱和阶 段，那么 0e ：( 01 1 - l l 巧( 么。) 1 1 - 土1 瓦石一 毋一鲫6m 一。 胪专= _ 2 m - a 引， p 哪 m p 矗，丝= 垒2 m - a ，成立 e ：( oi i 謦蜊群啡产謦p k | 。- 屯阻、。f v 。t ，。 所以当初始阶段处于饱和阶段时，系统( 3 1 1 ) 仍然指数稳定 综上所述，对任意的而，当，_ o 。时，传输误差乞( ，) 是指数式趋于零，证毕 定理3 3 的证明： 若存在正定阵尸，使尸满足：+ 4 尸一j l l 尸，其中a - b k c = 4 ，那么选取系统 的李雅普诺夫函数 v ( n ( o ) = 7 7 ，( ，) 局( ，) ，( 3 2 0 ) 因为尸正定，所以存在正定阵夕，使得尸= 口留 则，沿着系统轨道的全导数为： = 咬7 翻+ t 1 7 p 2 4 2 t 7 。群尸叩+ ( 名妒( c 的一石矽( c 功一b k c e ) 。印 + 0 7 p a ：叼+ r t r p ( b q , ( c x ) - 却( c z ) - b k c e ) = t 7 ，( + ) 叩+ 2 叩，只却( 一却( ) 一2 7 7 r p b k e ) ( 3 2 1 ) 所以有 砂一pv + 2 , f v q ( b q ) ( c x ) 一b 妒( c z ) ) + 2 , q t - v q b k c e 一y + 2 以撕= 丽i | 夙厶+ 硎s u poe l l ( 3 2 2 ) 因为( 研= 专，则由( 3 2 2 ) 可得 ( 石) 一止2 + 何= 两。夙厶+ 硎s u p m i ( 3 2 3 ) 令石= z ，由比较原理我们只需解以下方程： 戈= 一等+ 厄历。反厶+ x ) c l l s u pl lf i i ( 3 2 4 ) 由 戈= 一盟2 ， 得 z ：c e 当2 ，- 钔 由常数变易法： z ：d 力芦， 所以 戈= ( 力( ，- u 一等“力芦川 = 一筹“，) 芦+ 压历i i 鼠白+ f o s u p l lp i i 得 一( 力：卜而丽i | 夙厶+ 的c os u pi if | 1 ( 3 2 5 ) 下面解方程f 3 2 5 1 ： d ，) 一“毛) = 吾笋心厕。展厶+ 回硎s u p 忙l i - 吾厕l i 反厶+ 的硎s u p 忙。 而 c ( t o ) = z ( t o ) = 厅鬲= 训厨= i 厕， 所以由( 3 2 5 ) 得 d 矧i 厨+ 吾压历懒厶+ 碉列 一吾压历懒厶+ x ) c l l s u p l l 钏 所以 石= z = d 力户 l | 而i i 圻耐t - t o ) + 云厨| i 夙白+ f i i s u p 忙i i 一吾芦卜毛丽i i 夙厶+ z g c l l s u p f i 矽i l “ l lx ol i 删t - t o ) + 吾厄历慨厶+ 回f i is 酬圳( 3 2 6 ) 因为 a 曲( - p ) l l 叩1 1 2 _ v = ) t r t q a 慨( 乃l i7 70 2 ， 所以 厄( 圳圳厕 则由( 3 2 6 ) 可得 临志刮圳膀t - t o ) + 吾黑喇3 刀， 令 服力= 懦e x p ( 等力； ( 3 2 8 ) ) ，( 力= 吾黑懈厶+ 删h ( 3 2 9 ) 由f 3 2 8 、和a 2 9 ) r 3 2 7 ) 可改写为 l7 7l i 卢( 0x o0 ，一t o ) + r ( s u p0 反f ) 0 ) t q g r 5 ；t 即，同步误差卵关于状态传输误差f 是i s s 稳定的，定理3 3 得证 基于观测器的网 为实现同步误 文采用的是动态量化器而不是静态量化器，成功实现了信息受限下同步误差渐近趋于 零的目标，同时又给出了系统仿真计算，验证了理论的有效性 其次研究了信息受限条件下的控制同步问题采取与 8 同样的控制函数，但通过 在驱动系统和响应系统之间添加驱动系统的观测器，并设计合适的量化器和量化方法， 使得在信息受限条件下同步误差趋于零 参考文献 【1 】胡刚，萧井华，郑志刚，混沌控制，上海，上海教育出版社，2 0 0 0 【2 】陈关荣，吕金虎，l o r e n z 系统族的动力学行为，控制与同步，北京，科学出版社， 2 0 0 3 【3 】郑大钟，线性系统理论( 第2 版) ，北京，清华大学出版社，2 0 0 2 4 】a l e x a n d e rl f r a d k o v ，b o r i sa n d r i e v s k ya n dr o b i nj e v a n s ，c h a o t i co b s e r v e r - b a s e d s y n c h r o n i z a t i o nu n d e ri n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t s ，p h y s i c a lr e v i e we7 3 ，0 6 6 2 0 9 ，2 0 0 6 5 】a l f r a d k o v ，b a n d r i e v s k ya n dr j e v a n s ，c o n t r o l l e ds y n c h r o n i z a t i o no fo n ec l a s so f n o n l i n e a rs y s t e m su n d e ri n f o r m a t i o nc o n s t r a i n t s ，m a t h o c ，d e c2 0 0 7 ，p p 1 - 8 【6 】g e x i aw a n g ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o no fd i s c r e t e - t i m ed y n a m i cs y s t e m sw i t hal i m i t e d c a p a c i t yc o m m u n i c a t i o nc h a n n e l n o n l i n e a rd y n a m i c sv 0 1 6 3 ，p p 1 2 ，2 7 7 - 2 8