武汉大学近二十年数学分析考研真题.pdf

武汉大学数学分析武汉大学数学分析 1992 1 给定数列如下 n x 0 0 x 1 1 1 1 k n nn x a xk k x 2 1 0 n 1 证明数列收敛 n x 2 求出其极限值 2 设函数定义在区间 xfI上 试对 函数在 xfI上不一致连续 的含义作一肯定语 气的 即不用否定词的 叙述 并且证明 函数在区间xxln 0 上不一致连续 3 设函数在区间上严格递增且连续 xf 0 a0 0 f 为的反函数 试证 明成立等式 xg xf xxgaxxf afa d d 00 4 给定级数 0 1 n n n x 1 求它的和函数 xS 2 证明广义积分xxSd 1 0 收敛 交写出它的值 5 对于函数 0 0 0 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf 证明 1 处处对 yxfx 对可导 y 2 偏导函数 有界 yxfx yxfy 3 在点不可微 yxf 0 0 4 一阶偏导函数 中至少有一个在点不连续 yxfx yxfy 0 0 6 计算下列积分 1 x x xx ab d ln 1 0 其中为常数 ba ba Mxn E为的一切项组成的数集 试证必存在自然数 n xp 使得Expinf 2 设函数在点的某空心邻域内有定义 对于任意以为极限且含于的数列 极限都存在 有限数 xf 0 x 0 U 0 x 0 U n x lim n n xf 1 试证 相对于一切满足上述条件的数列来说 数列的极限是唯一确定的 即如果和是任意两个以为极限且含于的数列 那么总有 n x n xf n x n x 0 x 0 U lim lim n n n n xfxf 2 记 1 中的唯一确定的极限为 试证 n xfAAxf xx lim 0 3 设函数在点的邻域 xf 0 xI内有定义 证明 导数 0 xf 存在的充要条件是存在这样 的函数 它在 xgI内有定义 在点连续 且使得在 0 xI内成立等式 00 xgxxxfxf 又这时还有 00 xgxf 4 已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的 现假设有一函数 在区间 上有定义 有界 存在正数 xf ba M bax 有Mxf Ma xfxfn n 证明 1 反常积分收敛 xxf a d 2 xxfxxf a n an d d lim 8 设证 问 sin 3 yxyyxF 1 在附近是否满足 0 0 0 yxF的隐函数存在定理条件 2 在附近关于是否严格单调 0 0 yxFy 3 在附近 是否存在过在的唯一连续隐函数 为什么 0 0 0 0 3 若存在隐函数过点 问其导函数为何 0 0 武汉大学数学分析武汉大学数学分析 1996 1 设 naan 令 0 0 0 n nn n a aa a 0 0 0 a aa a 证明 naan 2 设 在可微 且Ayxf yxyx lim 00 yxg 00 yx0 00 yxg 证明 1 Ayxf 2 0 2 00 yyxxoxx 00 yxyx 2 在可微 yxgyxfz 00 yx 3 设当 bax 0 xf0 xf 且在上连续 证明 xf ba0d xxf b a 4 给定级数 n n x n n 2 12 1 证明 1 12 1 2 12 RRx 0 x 证明 1 当时有 n 0 fx n x fx cba 武汉大学数学分析武汉大学数学分析 1997 1 设且不趋于 证明数列中存在子序列是收敛的子序列 0 n a n a n a k n a 2 设为连续函数 且 xf 0 baxfx yxf yxcfcycxf 0 c0 使得 2222 yxyxfyx 4 设有二阶连续偏导数 zyxtuu 为空间的一有界闭集 它有光滑边界 处的单位外法向矢量为 证明 zyx zyxu t S u t u zyxu t u ddd d d 2 1 dddd 2 外侧 其中 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u z u y u x u u 5 设 在上有定义 满足一致 Lipschitz 条件 xfn ba xxNxfxf nn N n baxx 其中为一常数 且逐点有 当0 N xfxfn n 证明 1 在上连续 xf ba 2 xfxfn 6 设 0 0 0 0 0 1 sin 22 yx yx yx yxg yxf 证明 1 若 0 0 0 gg在可微 且 0 0 0 0 0 d g 则在可微 且 f 0 0 0 0 0 d f 2 若g在可导 且在可微 则 0 0 f 0 0 0 0 0 d f 武汉大学数学分析武汉大学数学分析 1998 1 设数列有一子序列 n a k n a收敛 且 nn aa k 2 及 12 nn aa k 都有无穷多元 而 及 都为单调数列 问是否收敛 为什么 n a2 12 n a n a 2 设在上满足 Lipschitz 条件 即存在 对任意有 xf 00 m 0 xx xxmxfxf 证明 xf10 n a 6 证明函数方程在0 sin tan3 yxy 4 4 x内有唯一隐函数解 0 xy 7 设 为平面上具有光滑边界XOY 的有界区域 12 CCu 且为非常 值函数及 u 0 u 证明0dd 2 2 2 2 yx y u x u u 武汉大学数学分析武汉大学数学分析 1999 1 设 3 1 u 3 4 3 2 u 3 4 3 3 4 3 u 如果数列收敛 计算其极限 并证 明数列收敛于上述极限 n u n u 2 级数 nn2 1 12 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 222 是否收敛 为什么 3 求级数 1 1 1 1 n n nn x n 的收敛区域 4 求函数在条件xyzzyxf 1 yx及下的极值 1 2 zyx 5 计算积分 其中是椭球面yxxyz S dd S1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 在 部分并取其 外侧 0 x0 y 6 设为连续函数 证明f 0 d 1 2 lim 22 1 0 fxxf xn n n 7 设在上连续 证明 若发散 则在 xun ba 1 n n xu 1 n n xu ba 上非一致收敛 武汉大学数学分析武汉大学数学分析 2000 1 求证 2 1nnn yyy 10 0 y1lim n n y 2 设函数在任何有限区间上可积 且 xflxf x lim 证明 lttf x x x d 1 lim 0 3 函数在区间上的拉格朗日中值公式为 xf 0 xxxffxf 0 其中 10 r 6 证明在中一致收敛 tte tu dsin 2 0 0t 7 设 1 xyxxy nn 00 yxy x 满足 0 y 000 yyx x 是连续有界函数 满足 Lipschitz 条件 yyyy 10 a 7 设 1 1 n n Oa 其中0 收敛 证明级数绝对收敛 n b 1n nnb a 武 汉 大 学 2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称 数学分析 科目代码 349 注意 所有的答题内容必须答在答题纸上 凡答在试题或草稿纸上的一律无效 一 15 分 设 n x满足 11 nnnnn xxqxx 1 n qr 证明级数 0 1 n n x 在 1 1 上不一致收敛 三 15分 设 1 0 sindf xxyy y 求 fx 四 18分 判断级数n n n n sin ln lnln 2 是否绝对收敛或条件收敛 五 17分 计算 22 d 2 d dIyzxxyzyxyz 其中 为曲线 2222 22 0 02 2 xyza zba xybx 但在 0 内不一致收敛 八 17分 在底半径为a 高为h的正圆锥内作长方体 使其一面与圆锥 底面重合 其对面的四个顶点在锥面上 求长方体之最大体积 九 18分 设 0 1 a f x在 0 a上连续 在 0 a内可导及在 0 a内 取最值 且满足 0 0f f aa 证明 1 0 a 使得 fa 2 0 a 使得 fa 数学分析 共 1 页 第 1 页 武汉大学武汉大学 2006 年数学分析试题年数学分析试题 一 已知 2 1 lim3 1 x xaxb x 求常数 a b 二 已知 2 1 11 221 n n n x x 求其收敛域 三 f在 0 1上可导 且 1 2 0 ff 求证 0 1 使得 1 ff 四 已知 f x在 0 1上可导 0 0 0 1ffx 中 求出使得的 值最小的 a 3 1 2 L y dxxy dy 七 求第二型曲面积分 3 222 2 S xdydzydzdxzdxdy I xyz S为椭圆 222 222 1 xyz abc 的外侧 八 求证 0 sin xy xe dx xy 在 0 1上一致收敛 九 已知方程 2 cos 0 xyxy 1 研究上述方程并说明它在什么时候可以在点 0附近确定函数 1 yy x 且 0 1y 2 研究函数在点 0附近的可微性 yy x 1 3 研究函数 在点 0附近的单调性 yy x 1 4 试问上述方程在点 0的充分小邻域内可否确定函数 1 1 0 xx y x 并说明理由 2010c K O K K 5K zK10 50 1 O 4 lim x 0 ln 1 x 1 x 1 x 2 O 4 lim n 21 n n 1 22 n n 1 2 2n n n 1 n 3 O Z dx 1 tanx 4 O F 0 F Z e 0 dx Z x 3 x 2 cos x2 y2 2 dy 5 O n V d z xy y x z 0 x 1 ZZZ V exy2z3dxdydz K14 a 0 x1 a x n 1 a x n n 1 2 y xn lim n xn n K14 f x 3 0 2 f 2 R1 2 0 xf x dx y 3 0 2 f f 0 0 1 o K14 v v x y k Y u x y xv y v v x y 0 v 0 v 0 y 2u x2 2u y2 2u x y 2 0 K14 x2 y2 az z 2a px2 y2 a 0 N L 8 K14 y X n 1 ln 1 nx nxn 1 3 m 1 a pa 0 2 3 1 S Y K14 f y R 0 e x 2 cosxydx 1 f y 2 yf y k Y 3 f y l K14 1 z 5 x 3 2 16 y 2 2 9 z 0 y ZZ xdydz ydzdx zdxdy p x2 y2 z2 3 2 K12 1 y f x x3 0 Y 2 f x x3 0 Lipschitz Y 3 L 0 f x2 f x1 L x2 x1 x1 x2 0 2 2011年武汉大学数学分析考研真题 一 计算题 本题共5题 每题10分 共50分 1 计算极限 其中 0 lim n n n n 2 计算极限 lim x 1 cos tanx sinx 3 1 x3 3 1 x3 3 计算不定积分 1 cosxdx 4 计算F x x y f x 为可微函数 其中 F x y xy y x xz y f z dz 5 计算二重积分 其中D x y 1 x 1 0 y 1 D x y2 dxdy 二 本题12分 已知f x g x 在 a b 上连续 在 a b 上可微 且g x 在 a b 上无零点 证明 a b st f g f b g g g a 三 本题14分 已知数列an非负且单调递减 且 lim n bn b 证明 lim n a1bn a2bn 1 anb1 a1 an b 1 四 本题14分 已知f x 为 上的凸函数 f x 有界 证明 a2n 1 f x cos2nxdx 0 a2n 1 1 f x cos 2n 1 xdx 0 五 本题16分 已知un x n 1 2 都在R一致连续 1 若 1 un x 一致收敛于S x 证明S x 在R上一致连续 2 若 1 un x 在R上逐点收敛于S x 上述结论是否成立 六 本题14分 已知f x y 定义在 a b c d 上 且在y c附近无界 1 叙述含参变量反常积分 d c f x y dy一致收敛的定义与Cauchy准则 2 若 d c f x y dy在区间 a b 上一致收敛 且g x y 在 a b c d 上连续 证明 d c f x y g x y