（基础数学专业论文）由平均曲率和特殊外力场之差控制的超曲面的发展.pdf

中文摘要 摘要 平均曲率流是微分几何和几何分析中的一个热门课题在本文中，研究了由平均曲 率和特殊外力场之差控制的超曲面的发展，通过平均曲率流的研究方法，我们得到了度 量以及曲率的发展方程紧致凸超曲面的凸性在该曲率流下保持如果初始超曲面的平 均曲率满足一个先验条件，则曲率流的解一致收敛于一点若发展方程重新正规化，则 正规化后的发展方程的解光滑的收敛成为一个球如果光滑紧致超曲面的曲率流有第 一类奇点，则该曲率流是渐近自相似的如果平均凸超曲面的曲率流有第二类奇点，则 正规化后的极限超曲面的平均曲率不大于1 关键词：曲率流；渐近自相似；极大值原理；奇点 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t m e a nc u r v a t u r ef l o wi sah o ts u b j e c to nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i ca n a l y s i s i n t h i sp a p e r , w es t u d yt h ee v o l u t i o no fh y p e r s u r f a c e sm o v i n gb yt h em e a nc u r v a t u r em i n u sa n c e r t a i ne x t e r n a lf o r c ef i e l d t h r o u g ht h er e s e a r c ht e c h n i q u eo fm e a nc u r v a t u r ef l o w , w eg e tt h e e v o l u t i o ne q u a t i o no fm e t r i ca n dc u r v a t u r e t h ec o n v e x i t yo ft h ec u r v a t u r ef l o wi sp r e s e r v e d i ft h em e a nc u r v a t u r eo ft h ei n i t i a lh y p e r s u r f a c es a t i s f i e st h ea p r i o rc o n d i t i o n ，t h es o l u t i o no f t h ec u r v a t u r ef l o wc o n v e r g e su n i f o r m l yt oap o i n t i fw er e s c a l et h ee v o l u t i o ne q u a t i o n ，t h e n t h es o l u t i o no fr e s c a l e de v o l u t i o ne q u a t i o nc o n v e r g e st oas p h e r e i ft h ec u r v a t u r ef l o ww i t h s m o o t ha n dc o m p a c th y p e r s u r f a c eh a st y p eis i n g u l a r i t y , t h e nt h ec u r v a t u r ef l o wi sa s y m p t o t i c s e l f - s i m i l a r i ft h ec u r v a t u r ef l o ww i t hm e a nc o n v e xh y p e r s u r f a c eh a st y p ei is i n g u l a r i t y ，t h e n t h em e a nc u r v a t u r eo ft h er e s c a l e dl i m i th y p e r s u r f a c ei ss m a l l e rt h a n1 k e yw o r d s ： c u r v a t u r ef l o w ；a s y m p t o t i cs e l f - s i m i l a r ；m a x i m u mp r i n c i p l e ；s i n g u l a r i t y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：藤它地 签名日期：函磅7 年j 月声e t 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：系够龅匆 指导教师签名：靴 日期：小奶年，月p 日 日期：扣寥年6 月o e t 1 1 研究背景 1引言 r n + l 中超曲面的一类特殊的单参数( 如时间参数) 形变，即所谓平均曲率流，它已 成为几何分析的重要内容之一 在现代微分几何中偏微分方程是一种非常有力的工具特别的，通过抛物极大值原 理作为主要工具，抛物发展方程( 几何热流) 已经成功的应用于研究流形的几何量平均 曲率流首先是由b r a k k e 在文【1 】中用几何测度论的方法来研究的h u i s k e n 在1 9 8 4 年 文【2 】中通过平均曲率流的方法研究欧氏空间中紧致凸超曲面的发展，利用极大值原 理证明紧致凸超曲面的凸性在平均曲率流下保持虽然在有限时间内超曲面的曲率发 生爆破，但是最大曲率和最小曲率的比率趋于1 若发展方程重新正规化，则正规化后 的发展方程的解光滑的收敛成为一个球接着，h u i s k e n 考虑外围流形为非欧氏的情形， 证明了若初始超曲面充分凸【3 】或外围流形加条件【4 】，则可以得到类似文【1 】的结果 c h o w 在文【5 】和【6 】中考虑欧氏空间中超曲面在数量曲率的平方根和高斯曲率的扎次 方根下的发展，也证明了超曲面在正规化后收敛为一个球b e na n d r e w s 考虑了超曲面 在更一般的曲率下的发展，在文【7 】中他分别考虑了欧氏空间和黎曼流形中超曲面在主 曲率的一次齐次函数下的发展，得到了相似于文【1 】的结果 设是( n + 1 ) 维的黎曼流形，m 是中紧致无边的超曲面，m = m o 局部的由 微分同胚x o ：u 一( u ) cm ocn 给出，我们称m 沿平均曲率方向移动，若存在一 族满足下列发展方程的微分同胚x ( ，t ) ： f 象x ( z ，t ) 一- h ( x ，亡) ( z ，亡) ，z m n ，t 0 ， i - x ( ，0 ) = x o ， ( 1 1 ) 其中日( z ，t ) 和( z ，t ) 分别是必在x ( z ，t ) 的平均曲率和单位外法向量设 了：q l ，a 2 ，k ) 是超曲面m s 的主曲率，同时我们令 鼠( a ) = 儿。k 入。 l “ i 2 i k n 是主曲率的基本对称多项式，其中s l = h 以拉丁字母表示从1 到n 取值，希腊字 母表示从0 到n 取值，重复指标表示作和m 上的诱导度量和第二基本形式分别用 夕= ) 和a = ) 表示m 上的平均曲率记为h = g * j h 巧以可和v 分别表示n 和m 上的l e v i c i v i t a 联络用_ m = - 口所6 ) 和r m = 0 ，有 m a x m , i a l 2 南 则称满足这类条件的奇点为第一类奇点，否则称为第二类奇点h u i s k e n 研究了欧氏空 间中紧致无边超曲面的平均曲率流的第一类奇点，证明了在第一类奇点附近重新正规 化后的极限超曲面是自相似，并且在超曲面满足非负平均曲率的条件下对第一类奇点 进行了分类，即极限超曲面分别为酽，酽一mx p 和f r 俨1 其中r 是r 2 中的位势 可缩曲线在文【8 】中h u i s k e n 指出当外围空间为一般黎曼流形时平均曲率流的第一类 奇点也是渐近自相似的同时h u i s k e n 和s i n e s t r a r i 在文【9 】中研究欧氏空间中平均凸 超曲面( 即平均曲率为正的超曲面) 的平均曲率流的第二类奇点且得到关于超曲面的 数量曲率的负部的估计，利用这个先验估计他们对所有2 维超曲面的奇点进行了分类 在他们的工作中，正平均曲率的假设是最本质的且所有的估计都依赖于这个假设接 着，s m o c z y k 证明了同样的结果在更弱的条件下也成立，即欧氏空间中超曲面舰的平 均曲率满足如下两个先验条件 日+ d 0 ， l a l 2 c o h 2 + b 其中d ，c o ，b 是非负常数和t f 0 ，t ) 对于欧氏空间中的平均凸超曲面这两个先验条件 自然满足而s m o c z y k 证明欧氏空间中星形超曲面以及其它一大类超曲面都满足这两个 先验条件s m o c z y k 的技巧是同样利用两个先验条件得到数量曲率的负部估计，然后得 到文【9 】同样的结果最近，h u i s k e n 和s i n e s t r a r i 在文【9 】中利用平均凸的假设不仅得到 数量曲率的先验估计而且得到其它主曲率的基本对称函数的估计，由此证明了欧氏空 间中平均凸超曲面的第二类奇点的任意重新正规化后的极限超曲面是弱凸的 2 1 2 本文的主要结果 假设m 是t , 2 维光滑流形，并设 x ( z ，t ) ：m 一乏n + 1 ，z m 是r n + 1 中一族单参数t 的光滑浸入超曲面 舰) ，使得= m 考虑曲率流： l 爱x ( z ，亡) = 一( 日( z ，) 一( 丫( 亡) ，( z ，t ) ) ) ( z ，t ) i x ( ，0 ) = ，( 1 2 ) 其中日是超曲面舰的平均曲率，是超曲面舰的单位外法向量，7 ( t ) 是p + 1 中 一条正规测地线 定理1 2 1 设n 2 ，m o 是光滑浸入在r 1 中的紧致凸超曲面，且满足h ( m o ) 1 ， 则曲率流方程的解x ( ，t ) 在最大时间区间0 t t 0 时同样有h o 0 ( 3 ) 若t = 0 时有s 日奶和h 0 ，则t 0 时同样有k e h g i j 证明由引理2 2 4 ，( 1 ) 和( 2 ) 显然成立下证( 3 ) 令= 一e h g j 根据引理2 2 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ， a ， 瓦坞丧h 吁一e 丧h g 磅一e h 丧9 磅 ，叼一2 h h ：h t j + i a l 2 ，奶一( 7 7 ( 亡) ，v 玎) + 2 h ，il ，y 7 ) ，) 一e ( a h 一( ，y 7 ) ，v h ) + i a l 2 日) + e h 2 ( h 一( 7 ( 亡) ，) ) 巧 = a ( h 1 【j e h g i j ) 一( ，y 7 ( 亡) ，五) 夕埘( h 巧一e h g i j ) ；知 一2 日 ：，u + l a l 2 妇一e h i a l 2 夕i j + 2 e l l 2 k + 2 ，弓 l ( 7 7 ) ，l ，) 一2 日( 丫o ) ，正，) 巧 7 湖北大学硕士学位论文 令u 知= 一( y ( 亡) ，五) 夕斛，对任意使m j v j = 0 的= 0 ，有 ( - 2 h h ：h 0 + i a 2 h o s h i a l 2 鲫+ 2 e l l 2 h i j + 2j t 订( 7 7 ( t ) ，) 一2 e h ( 7 7 ( t ) ，u ) h i j ) v j = 一2 h h i m 9 ，耐( e h v t ) + l a l 2 ( e h v i ) 一e 1 1 a 2 v i + 2 e l l 2 ( e h v i ) + 2 h i m 9 m 。( 日u 1 ) ( 7 7 ( 亡) ，i ，) - 2 e l l ( 3 , 讹) ，u ) h i j v j = 一2 h ( s h v l ) e l l + 2 e l l 2 ( e h v i ) + 2 e l l ( 7 7 ( t ) ，u ) h 巧一2 e h ( 7 ) ，) 巧 = 0 由引理2 2 4 ，结论得证 定义2 2 6 若x ( x ，亡) ：m 一孵+ 1 是嵌入超曲面，并且它的第二基本形式正定，则 称为( 严格) 凸超曲面 定理2 2 7 设x ( ，t ) 是曲率流方程的解若初始超曲面x ( ，0 ) 是紧致凸超曲面，则 对于t 0 ，x ( ，t ) 也是紧致凸超曲面 证明由引理2 2 5 ，可见对于t 0 有日( ，t ) 0 ，x ( ，t ) 的第二基本形式正定为 了证明保持嵌入性，我们用反正法，假设t o 0 是使解曲面x ( ，t ) 成为自相交的第一时 刻那么，在自相交点处，必有一片超曲面，它的第二基本形式负定这与x ( ，t ) 的第二 基本形式正定矛盾定理2 2 7 证毕 8 3 紧致凸超曲面的收缩 3紧致凸超曲面的收缩 考虑下列曲率流： f 爰x ( z ，t ) = 一( 日( z ，t ) 一( r ( ) ，( z ，t ) ) ) p ，t ) 1x ( ，0 ) = x o ， ( 3 1 ) 其中是瞅+ 1 中己给的紧致凸超曲面，且满足h ( x o ) 1 ，假设0 t t 是使曲率 流方程的解x ( ，t ) 存在的最大时间区间 3 1 收敛于一点 对于光滑紧致凸超曲面mcr 他+ l ，定义高斯映射痧：m _ 酽，易见高斯映射是处 处非退化的，因此可以利用高斯映射将超曲面重新参数化 x = x ( 矿1 ( z ) ) ，z 酽 勤和彰表示酽上的标准黎曼度量和梯度定义支撑函数 则可得 第二基本形式直接计算可得 妒上的度量计算可得 s ( z ) = ( 名，x ( 矿1 ( z ) ) ) ，名酽 x ( z ) = s ( z ) z + 亏s ( z ) = s ( z ) z + v i s ( z ) v t z = s ( 名) 名+ v s ( z ) h 晒= 飞固5 s + s 百t ， 。【面，丽) = ( 夕k t 丽o x 夕篆) = h i k h j 仇夕削扩n g t 。 = h i k h j , g 削 9 湖北大学硕士学位论文 定义3 1 1 定义凸超曲面的宽度函数、内半径和外半径如下： ( 1 ) 宽度函数w ( z ) = s ( z ) + s ( 一名) ，名酽， ( 2 ) 内半径= s u p r l b ，( y ) cx ，y r n + 1 ) ， ( 3 ) 夕 、半径r o u t = i n f r l 耳( 秒) ) x ，y p + 1 】 引理3 1 2 【12 】x 是妒+ 1 中光滑紧致凸超曲面，假设存在一个正数g ，使得任意 z x ，入m a x ( x ) c o a m i n ( z ) ，则宽度函数满足眠懿c o w m n 引理3 1 3b 2 x 是p + 1 中光滑紧致凸超曲面，若有个正常数g ，使得麟 口i n 则存在一个正常数q ，使得r o u 。岛r i n 对于光滑紧致凸超曲面mc 时+ 1 ，我们可把它参数化为单位球面酽上的图如下： 其中r ( z ) = l x ( 丌一1 ( z ) ) i 则 z 刮加龋：m 埘， g t j g 则切向量和法向量计算得到 x = r ( z ) z ：s n 一p + 1 r 2 勤+ 瓤r v j r ， r - 2 ( 弘警需) = r - 2 ( 严一 守r 守j r r 2 + l v 7 1 2 v i x = v i r 名+ r v 名， l ，2 第二基本形式和平均曲率计算得到 h i j = 日= g i j h l j = 一r 一2 ( 严一 ( r z v r ) ， ( - - r v i 吼r + 2 v i r v j r + r 2 ( j i j ) ， v 。7 v ? 、1 r 2 + i 审r 1 27 巧邛研 1 0 ( r 吼髟r 一2 瓤r 髟r r 2 磊j ) ， 3紧致凸超曲面的收缩 计算r ( z ，t ) 的发展方程 则 塑絮生= 瓦o r zq i - ( 协塞) 名+ r 塞 = o = 一z iv r 一1 2 + r 一 疣现。现尸一况 = ( ( 7 心) ，) 一日) z ， o r o t h r ( v r - r z ) + 幽等铲 r 日一礼警+ ( ，y 邻) ，r 名一v r ) r r 2 + i v r l 2 。( ，y 他) ，r 名一亏r ) j 守r 1 2 。 r ( r 2 + l v r l 2 ) o a r t r - 3 ( 雪? 一；需) ( r 守t 专。r 一2 守t r 专。r r 2 雪玎) + 引理3 1 4t 罢砩；n 即可得到砩i n 是单调递增，考虑微分方程： 警= 弘们) = 瑶 若把妒看作m 【o ，t ) 上的函数，则得 由极大值原理，可见 爰( 砩i n - 妒) ( 砩；n 一妒) + 元2l 4n 一妒2 ) 又因为妒可直接解得 h 2 妒，v0 t z 妒( 亡) = 1 一元2 i _ l 。2 t l l 湖北大学硕士学位论文 因为当t _ 量何2 时，妒( 亡) 一o 。时，从而h 0 0 因此，t 詈簖2 证毕 定理3 1 5 曲率流方程的解x ( ，t ) 在最大时间区间0 t t 0 ，t 1 0 ，o o ) ，7 h ，t 1 + 司时，将 贾( ，7 ) 看作单位球面s n 上的图： x ( z ，7 - ) = f ( 名，下) 名 选择合适的原点，当( z ，丁) 酽h ，t 1 + 卅时，有 ( 2 0 ) 一1 f ( z ，下) 2 0 由曲率流的凸性，v 庐是一致有界的，我们可以计算出f 的发展方程，同引理3 1 5 ，则可 得到以下引理： 引理3 1 8 对于每一个序列勺_ ，存在子序列乃七使得戈( ，协) 光滑收敛于极 1 4 3紧致凸超曲面的收缩 限超曲面x ( ，c o ) 定理3 i 9 当7 i _ 十o o 时，极限超曲面文( ，7 - ) 以c 拓扑收敛于体积等于v o k x o ) 的球面 证明定义函数 尹：继 。h 2 则，的发展方程可表示为 导，= 厶，+ 吾( 守豆，寺乃一杀i 疗元i j ；k - - h 。i ：啻七1 2 一( 彳7 ( r ) ，寺乃 厂+ 云( v 日，v ，) 一( 彳7 ( 7 ) ，v 厂) 利用弱极大值原理 i i 黔，哪， x，xo 由强极大值原理，如果在( z ，t o ) ，t o 0 取得极大值，则，恒是常数，在这种情况下 i h h 巧；知一碥摩七1 2 三0 ，1 3 1 则有寺疗三0 ，所以有亏a 三0 ，所以7 - _ o 。，贾( ，丁) 收缩于 一个球易见流形贾( ，r ) 的体积等于贾( ，o ) 的体积：& 蜗= v o l ( x o ) ，所以定理得 证 1 5 湖北大学硕士学位论文 4 曲率流的奇点 假设m 是1 , 维光滑流形，考虑下列曲率流： ，象x ( z ，亡) = 一( 日( z ，t ) 一( - y 7 ( 亡) ，( z ，t ) ) ) ( z ，t ) 【x ( ，o ) = x o ， ( 4 1 ) 其中z m ，t 【o ，t ) 设x ( ，t ) 是曲率流的解，当t _ + 。o ，或者当t 0 。当k 0 充分大的时候有 吾 u 知= 日2 ( x k ，t k ) ( t - - t k - - 石1 ) 日2 ( - ，i ) ( t 一毛一石1 ) 因为n 0 是任意的，u 知是递增的，这样就证明了龇_ o 。因为 u 七一0 0 令t k _ 正厶一0 0 号q 七一一。o 假设x k ( ，丁) 定义如下： 托( ，7 - ) = 厶( x ( ，l k 2 7 - + t k ) 一x ( x k ，如) ) ，7 - 陋知，w k 2 0 4 曲率流的奇点 记a 毛，风是m k ，的第二基本齐式和平均曲率，其中m k ，r 是浸入所得到的一族超曲面 定理4 2 2 如果曲率流有第二类奇点，重新正规化后满足： ( 1 ) x k ( 矾，0 ) = 0 ，h k ( z 七，0 ) = 1 ； ( 2 ) 对于任意的e 0 ，留 0 ，存在k o 0 使得当k k o ，r 【q 知，留】，m a x g 七( ，7 ) 1 + 证明( 1 ) 令7 = 0 ，则 ( 2 ) f k ( z k ，0 ) = l k ( f ( x k ，如) 一f ( x k ，“) ) = 0 h k ( x k ，0 ) = 坛1 h ( x k ，t 詹) = 1 9 2 ( z ，丁) = 瓦2 h 2 ( z ，t ) ， 磁( z ，7 - ) ( t - t - 石1 ) = l k 2 日2 ( z ，亡) ( t - t - - 石1 ) 2 h 2 ( z ，姒t - t - i 1 ) 由( 1 ) 知，l i 2 日2 ( x k ，t 七) = 9 2 ( z 血，0 ) = 1 ，则 蒜=一wkh2(xk，t) o j k - - t 舞吾孝匆2 一- 因为蛾_ o o 则可得到结论 定理4 2 3 设t 【0 ，t ) ，0 t 是曲率流的解x ( ，t ) 存在的最大时间区间，如 果初始超曲面x o ：m n _ r n + l 是紧致且有正的平均曲率，当t _ t 时，曲率流有第二 类奇点，重新正规化后，在每一个紧致集合上，曲率流瓦( ，丁) 光滑收敛于极限超曲面 k ( ，r ) ，7 ( 一c o ，o o ) 并且( ，r ) 的平均曲率流比满足0 h o o 1 ，当丁= 0 时，比= 1 2 1 湖北大学硕士学位论文 5 结果及展望 本文首先介绍了平均曲率流的相关背景知识，欧氏空间中的超曲面沿其法向分量 按平均曲率减去h ( t ) 大小的形变，其中h ( t ) 是关于t 的非负函数，也可以得到类似于平 均曲率流的相关结论，本文讨论的形变大小为平均曲率减去( 丫( 亡) ，纱) 此附加项既与t 相关，又与超曲面有关利用平均曲率流的研究方法，得到了几个重要的结论我们得到 了度量以及曲率的发展方程，紧致凸超曲面的凸性在该曲率流下保持如果初始超曲面 的平均曲率满足一个先验条件，则曲率流的解一致收敛于一点若发展方程重新正规 化，则正规化后的发展方程的解光滑的收敛成为一个球如果光滑紧致超曲面的曲率流 有第一类奇点，则该曲率流是自相似的如果平均凸超曲面曲率流有第二类奇点，则正 规化后的极限超曲面的平均曲率不大于1 有待进一步研究的地方： 欧氏空间中平均凸超曲面( 即平均曲率为正的超曲面) 数量曲率的负部的估计，利 用这个先验估计对所有2 维超曲面的奇点进行了分类并研究平均凸超曲面的凸 估计，能否得到关于超曲面的k 次平均曲率瓯的估计 如果不是欧氏空间中的超曲面，是一般的曲面是否能够得到类似的结论，或者是 黎曼流形中曲率流是否有类似的结论 0 当，y ，( 亡) 是欧氏空间中的任意的一条曲线时，讨论曲率流的的度量和曲率的发展 情况，及曲率流的解在什么情况是发散的，在什么情况下是收敛的 我们坚信，在对这些问题进行研究的过程中，我们能够更加了解数学的博大精深， 也相信通过我们的努力，一定能在不久的将来，使这些问题得到解决 参考文献 参考文献 【1 】b r a k k ek ，t h em o t i o no f as u r f a c eb yi t sm e a nc u r v a t u r e ，m a t h n o t e s m p r i n c e t o n ，n j ：p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 7 8 【2 】h u i s k e ng ，f l o wb ym e a nc u r v a t u r eo fc o n v e xs u r f a c e si n t os p h e r e s j j d i f f g c o m ，1 9 8 4 ，2 0 ： 2 3 7 2 6 6 【3 】3 h u i s k e ng ，a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rs i n g u l a r i t i e so ft h em e a nc u r v a t u r ef l o w j 。j d j 仃g e o m ， 1 9 9 0 ，3 1 ：2 8 5 2 9 9 【4 】h u i s k e ng ，t h ev o l u m ep r e s e r v i n gm e a nc u r v a t u r ef l o w j j r c i n ea n g e w m a t h ，1 9 8 7 ，3 8 2 ： 3 5 4 6 【5 】c h o uk ，d e f o r m i n gah y p e r s u r f a c eb yi t sg a u s s k r o n e c kc u r v a t u r e m 1 c o m m p u r ea p p l m a t h ， 1 9 8 5 ，3 8 ：8 6 7 8 8 2 【6 】c h o uk a n dz h ux ，s h o r t e n i n gc o m p l e t ep l a n ec u r v e s j j d i f f g e o m ，1 9 9 8 ，5 0 ：2 8 5 2 9 9 【7 】a n d r e w sb ，c o n t r a t i o no fc u r v e xh y p e r s u r f a c e si ne u c l i d e a ns p a c e s 【j 】c a l c v a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，1 9 9 4 ，2 ：1 5 1 1 7 1一 【8 】h u i s k e ng ，c o n t r a c t i n gc o n v e xh y p e r s u r f a c e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d sb yt h e i rm e a nc u r v a t u r e j m a t h i n v e n t ，1 9 8 6 ，8 4 ：4 6 3 - 4 8 0 【9 】h u i s k e ng a n ds i n e s t r a r ic ，m e a nc u r v a t u r ef l o ws i n g u l a r i t i e sf o rm e a nc o n v e xs u r f a c e s j c a l c v a t p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，1 9 9 9 ，8 ：1 - 1 4 【1 0 】沈一兵整体微分几何初步【m 】杭州：浙江大学出版社，2 0 0 6 【11 】h a m i l t o nr ，t h r e e - m a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c cc u r v a t u r e j j d i f f g e o m ，1 9 8 2 ，1 7 ：2 5 5 - 3 0 6 【1 2 】z h ux ，l e c t u r e so nm e a nc u r v a t u r ef l o w m a m s i ps t u d i e si na d v a n c e dm a t h e m a t i c s ，3 2 p r o v - i d e n c e ，r i ：a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ；s o m e r v i l l e ，m a ：i n t e r n a t i o n a lp r e s s ，2 0 0 2 【1 3 】l ig ，m e a nc u r v a t u r ef l o ww i t hac o n s t a n tf o r c i n gt e r mi ne u c l i d e a ns p a c e j p r e p r i n t ，2 0 0 6 【1 4 】m c c o yj ，t h em i x e dv o l u m ep r e s e r v i n gm e a nc u r v a t u r ef l o w j m a t h z ，2 0 0 4 ，2 4 6 ：1 5 5 1 6 6 【1 5 】s c h n u r e ro a n ds m o c z y kk ，e v o l u t i o no fh y p e r s u r f a c e si nc e n t a lf o r c ef i e l d s j j r e i n ea n g c w m a t h ，5 5 0 ：7 7 - 9 5 【1 6 】l i uy a n dj i a nh ，e v o l u t i o no f h y p e r s u r f a c e sb yt h em e a nc u r v a t u r em i n u sa ne x t e r n a lf o r c ef i e l d j j d i f t g e o m ，2 0 0 7 ，5 0 ：2 31 2 3 9 【1 7 】c h e n gs a n dy u as 。h y p e r s u r f a e e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e j a n n o fm a t h ，1 9 9 7 ，2 2 5 ： 1 9 2 2 0 4 【1 8 】e c k e rk a n dh u i s k e ng ，m e a nc u r v a t u r ee v o l u t i o no fe n t i r eg r a p h s j a n n o fm a t h ，1 9 8 9 ，1 3 0 ： 5 4 7 5 6 9 湖北大学硕士学位论文 【1 9 】h a m i l t o nr ，c o n v e xh y p e r s u r f a c e sw i t hp i n c h e ds e c o n df u n d a m e n t a lf o r m j c o m m a n a l g e o m ， 1 9 8 6 ，2 4 ：1 5 3 1 7 9 【2 0 】a b r e s c hu a n dl a m e r ，t h