（概率论与数理统计专业论文）相依随机变量迭代方程的极限定理.pdf

摘要 本文是在攻读硕士学位期间完成的，主疑研究的是一类随机变鬣迭代方程的弱大数 律和强大数律。 首先我们给出一类迭代函数。令舻( 一。，+ 。o ) 为一个闭区域，给定初始随机变量 x ( 。) 一 毯w ；j l 为一到定义在完餐壤谂空阕( q ，只p ) 上蛉独立燃分毒驰实随枧变量 序列，满足p ( x ，p ) = 1 。令f ( x 1 ，z 2 ，x k ) ：矿一护( 七2 ) 为变量实可测函数， 利用该函数来定义妇下睫枫变量序列 x ；, o 砖“= ，( 砖黑拶，耐) ，j l 由此，我们就得到一列随机变量 x ；露芝吣。 对于上述迭代方程形成的新静随机交麓序列，前入融做了一些研究。例如， w e h r ( 1 9 9 7 ) 给出了在满足次可加性的条件下的强大数律。然丽鼓鄹r o g e r s ( 1 9 9 9 ) 发 现w e h r 的证明过程中存在一个难以改进的锚误。他们将条件放宽，给出了在强平稳和 m 一棚依的情形下的弱大数镎和强大数律。j o n a t h o n ( 2 0 0 2 ) 在l i 和r o g e r s 定理的纂础 上将结果扩展到随机化的情形。最近的工作鼯由h a m b l y 和0 c b n n e u ( 2 0 0 0 ) 完成的， 他们在巴拿赫空间上给出了棚应的大数律。 本文首先给出了该问题的一些重要的结论，在此基础上研究了妒混合以及两两独立 情形下的弱大数律和强大数镎，著绘嫩了一臻定理鲍应用及攫广。啜焉考虑了一类特殊 情形的迭代方程的中心极限定理。 a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e dd u r i n gm yg r a d u a t es t u d e n tp r o g r a mt om a s t e rd e g r e eo fs c i g l n c e i ti sa b o u tl a wo fl a r g en u m b e r sf o ri t e r a t e df u n c t i o n so fr a n d o mv a r i a b l e s l e tp ( 一o o ，+ o o ) b eac l o s e dd o m a i na n dx ( o ) = 习；j21 ) as e q u e n c eo fi n d e - p e n d e n ta n d i i dr e a lr a n d o mv a r i a b l e so nac o m p l e t ep r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，p ) s u c h t h a t p ( x 1 p ) = 1 l e t ( z l ，z 2 ，x k ) ：矿妒( 后2 ) b e ar e a l m e a s u r a b l e f u n c t i o n o f 七r e a lv a r i a b l e s as e q u e n c e x 黔n o ) o fr a n d o mv a r i a b l e si sd e f i n e d ，u s i n gt h e g i v e n | a s f o l l o w s d e f i n e 耐”= ，( x 黜十l ，砖p ) ，j 1 w ea l r e a d yh a v es o m er e s u l t so nc o n v e r g e n c ef o ri t e r a t e df u n c t i o n so fr a n d o mv a r i - a b l e s f o r e x a m p l e ，w e h r ( 1 9 9 7 ) p r o v e d t h es t r o n g l a w o f l a r g e n u m b e r s w i t h ，s a t i s - f 妒n gt h es u b a d d i t i v ec o n s t r a i n t u n f o r t u n a t e l y ，l ia n dr o g e r s ( 1 9 9 9 ) f o u n d t h a tt h e p r o o fo f w e h r si si n c o r r e c ta si ts t a n d s t h e n , t h e yg a v ea l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e w i t h w e a kc o n d i t i o n s b a s e do nt h et h e o r e ma b o v e ，j o n a t h o n ( 2 0 0 2 ) d e v e l o p e da r a n - d o m i z e dv e r s i o no ft h ep r o b l e m f o rr e c e n tw o r ko n t h i sp r o b l e mi nt h eb a n a c hs p a c e s e t t i n g ，s e eh a m b l ya n do c o n n e l l ( 2 0 0 0 ) 第1 章迭代方程的大数律 1 1引言 首先我们给出一类迭代函数。令p ( 一o o ，+ o 。) 为一个闭区域。给定初始随机变量 x ( o ) = x ；o ) ；j 1 ) 为一列定义在完备概论空间( n ，兀p ) 上的独立同分布的实随机变量 序列，满足p ( x l p ) = 1 令( x l ，z 2 ，瓤) ：矿一p ( 七2 ) 为k 变量实可测函数，利 用该函数来定义如下随机变量序列 磷哪；凡o ) 砖d = ，( 栏l m ，x m j ( o ) ，j 1 ， 并且，我们令x ( 1 ) = 筑，x ( o ) = 巧1 ；j 1 ) ，利用上述函数进行迭代，我们就可以 得到独立同分布的随机变量序列x ( m ，x ( ”，x ( ，这罩x ( “+ 1 ) = 睨，x ( ”) ，对任意 n = 0 ，1 ，2 ，均成立。我们记 x ( 哟= 叉尹；j 21 ) 由此，我们就得到一列随机变量 x p ；t , o ) 。这类随机变量最早是在研究随机电阻网 络时提出的，它是递阶模型的一种特殊形式，在物理统计中有着重要的应用。其中最常 见的便是在计算机科学领域的运用。下文中，我们会给出一些应用的举例。 考虑一种特殊的形式，令， 1 ，z 2 ，x k ) = 堑2 i 盐，并且e ( x ：0 j ) = 肛可以证明 此时随机变量 x 哪；礼0 ) 存在大数律，由弱大数律可知 x ) 三i t , 并且由强大数律可得 x 一肛，o s 我们要考虑的是对于一般的非线性算子是否同样成立大数律。 w e h r 在1 9 9 6 年证明了上述迭代函数所形成的随机变量的大数律。 定理1 1 ：设，是一致下有界的函数，满足 m ”钆) s 型垫， 1 2第1 章迭代方程的大数律 x p ；仃o 是由迭代函数( 1 1 ) 形成的随机变量序列，如果初始变量 母，j 1 ) 存在 有限的均值，即 e 因o i 。o ， 则x p 几乎处处收敛到一个常数。 但是l f 和r 曙粥( 1 9 9 9 ) 发现在w 砌r 的证明中存在着一个严重的错误，他们试图按照 原来的方法将明证进行改进，结果发现是徒劳的，因此他们给出了一个新的定理。 定理1 2 ：如果函数，是对称的，满足 这里a ；是正常数，对任意t ，。l 1 ，满足圭口。：1 ，并且x ( 。) ： 弼。) ；j 1 ) 是严格平 l = 1 稳并且m 相依的随机变量 z ( i x ：f o i ( l ( i x o 咿) 1 ，l ( x ) = m a x 1 ，l o g ( x ) l o n a t h o n ( 2 0 0 2 ) 将该定理继续改进，扩展到随机化的情形。 令巧哪；j 1 ，n 1 为独立同分布的随机变量，并且与x o ) 独立，对任意r r ， 令，r ：矿一p 为实可测的k 变量函数，定义随机变量如下 = 却( x 黜州，磙。1 ) ，j l x ( 啦= 蹰x ( “一1 ) = 耐“；j21 ) 抚 口 。“ o 其中宠= 一( 墨，a t b ) ，n 是全体正整数集。 引理1 2 ：设 ，佗21 ) 是妒混合序列，x 礁。o ，y 孑蕊，并且r 1 ， ，1 + ：= 1 如果e l x l 7 。o ，e l y i r o o ，则 l e x y e x e y i 2 驴j ( m ) ( e l xj 7 ) ( e i y i 。) 引理1 - 3 ：设 k ，n21 ) 是一同分布的妒混合序列，满足妒 ( 2 ) o 。那么 扛1 苎置 2 l _ 一b 当且仅当e x 1 i 0 0 且b = e x l 我们先给出一些记号。令x ( o ) = 砖o ；j 1 ) 为一列强平稳并且是妒混合的随机变量， 满足萎妒 ( 1 ) o 。，p ( x f o ) 力：1 ，p 是兄上的闭区域。考虑实可测函数 i = l f n ( x lx 2 ，z k ) ：产一鼽 k 2 ，n 1 ) 是一列正整数。利用厶定义一列新的强平稳以及妒混合的的随机变量 序列，如下 x ( 哪= 瓣厶x 协一1 ) = 砖柚；歹1 ) ，n 1 ， ( 1 2 1 ) 习”= 厶( x 黜+ 1 ，磙。1 ) ，歹1 令l ( t ) = l o g m a x e ，t ) ，t ( 一o o ，+ o o ) ，且= i n f x ；z p ) 。很显然，g o 的 充分必要条件是p 有界。 浙江大学硕士学位论文 5 下面我们给出本章的两个主要定理。 定理1 4 ：如果对任意凡21 都存在k 个非负常数n 州，1 茎i k ，使得 釜d 。，产1 成立，并且厶满足下列次可加性 i = 1 并且 ( i ) 如果 则存在a p t j ，使得 ( i i ) 若p 有下界，令 风垒m s , xo t j _ 。， t , - - - _ 0 0 e ( x o v 0 ) o o ( 1 2 2 ) ( 1 2 4 ) e ( x “) la ，x ”) 三a ，t , 一0 0 ( 1 2 5 ) 其中b 1 ，c 20 为常数，并且 e ( i x l o ) i “x i o i ) ) 6 ) 1 ，( 1 2 7 ) 则存在a p 使得 l i ms u px ”) = a ，o s ( 1 2 8 ) n ( i i i ) 如果p 是下有界的，厶，n 1 是对称函数，并且南1 = k 2 = = k = 七( 2 ) ， 即对于( 1 ，k ) 任意一个排列( i l ，i k ) ，有厶( 筑 筑。) = ，( z l ，x k ) ，初始变 量满足 e ( i x o 1 ) ， ( 1 2 9 ) 那么存在a p ，使得 l i mx i “) = a ，n s ( 1 2 1 0 ) 研 一 k ：i 一 n n 旷 木 c 一 b ：i 。触 垒 赁 6第1 章迭代方程的大效律 定理1 5 ：如果x ( o ) = 母；j21 ) 为一列强平稳并且是两两独立的随机变量，p 是下有界的，厶，n 1 是对称函数，七1 = = = k = 七( 2 ) ，并且满足 七 厶( 巩，x k ) o 幽v ( x l j ，x k ) 矿， ( 1 2 1 1 ) 缸”，o k ) 为非负常数，并且 则存在a p ，使得 m a x 啦 1 l 0 ，且 那么， 因此 e ( ，凰) = e ( x 1 ) 豇l k 凰三e ( x - ) h l 缶1 垒2 ，c b - ”，竹1 k l ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) e ( j 五i ( l ( | 五咿) 1 ，( 1 3 7 ) p ( i ，k x k e ( x 1 ) i e ) 0 ， ( 1 3 8 ) 竹l 知2 l l i m ，凰= s ( x 1 ) ，n s n + - - o 七1 证明：( i ) 很显然 e ( a n ，k x k ) ：e ( x 1 ) 七1 因此，我们只需证明引理的第二部分即可。分两种情形讨论： ( 1 3 9 ) 8第1 章迭代方程的大数律 ( 1 ) e ( x iao ) 一o o ，则由( 1 3 3 ) 可得 e ( x 1 i ) 0 ，选取适当的r 0 ，使得 e ( i x 。训譬 对任意n 1 ，令 k ( 1 - ) = x n i i x 。l l k l 由 ；n 1 ) 是平稳序列，可以得到 p ( i n ，l ，k z k 0 - ) l g ) e ( i 眠t 磊( f ) 1 ) k lk l ，皿i 磊( r ) i 。k l = ，k e i 一x , d i l x 。l l = ( 1 3 1 0 ) 由于 e y e ( r ) = 0 ，妒韵 o o k 1 浙江大学硕士学位论文 9 由引理1 2 以及h 6 1 d 不等式可以得到 p ( i ，k y k ( r ) l ) 忑i 去y ( ，i y k ( r ) ) 。 七2 1 = 互1 厶2 ，k v c v , ( r ) ) + - j 。c 鲫( ，滋( 7 _ ) ，j 匕( 力) 。七1 i i = j 1 ，k y ( k ( 7 ) ) + - j 。e j k ( 丁) + o 晰y j ( 7 - ) 。k 1 i l k = 吣x k l i x 。l 矗) 知2 1 出于 j t ；咒21 ) 是平稳序列，由( 1 3 6 ) ，( 1 3 7 ) 可p a 得到，讫 0 p ( 1 k e k i e ) ；e l k j = ；e | k 氟， 陬l ，矗) i ；腰陬 俐，矗，f = ；z e i x l i i 划 “ l ；e i x - p 譬，i ；o o o o 等 + 1 p ( 等 刚s 譬) e 2 鼍y ：j 。p ( i b j 阢i 譬) 一6 翁c 、c 。c 7 意e ( i x l i l ( i c x l l ) ) 0 p ( i 一e i e ) n 1 ：i 。n 2 1 = - - ev o r ( ，凰丑i 溉) ) n l 知l = 夏1 ( k e 豫丑刚蔓“，+ 2 c o v ( a 。, 五 ! 劬，j 玛 隅) ) ) 。n 1 鸵：1i l ( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 8 ) 一 nz 一 厶 k ：i | | n 研 一 n 面 = b ：i 。岸 = 兹 k 爿 第1 章迭代方程的大数律 t h ：t - 曼：1 , n21 ，连同条件( 1 2 2 ) ( 1 2 4 ) 可得到 = 1 e ( x ”) = e 厶( x i ”，x 乏- 1 ) k e ，t 砖。1 - 一 i = 1 = e x r ”， 即 e ( x “) ，7 , 1 ) 形成一列非增的序列，因此存在常数a - o o ，+ o o ) 使得 e ，) la ，n o o ( 1 3 1 9 ) 注意到，由( 1 2 2 ) 以及鲰，k 的定义可得 由( 1 3 1 4 ) 可得 x i = 厶( x i ”，x 乏- 1 ) k n 锄，t 墨”1 = g o ( x ”，x 乏。1 ) b 1 k ( x ，x 2 ) ，t , 1 1 n x “厶，t 碰m ，n 1 由于( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 1 6 ) 满足引理1 4 ( i ) h b 的条件，因此可以得到 显然，如果e ( x o ) = 一0 0 ，则 x p 三一o o 否则，e i x i 0 ) l 0 ，有 l i ma x ”e ( x o ) + ) = 0 n + 并且此时垤 0 ，有 l n x i ”x “) z ( x i 0 ) ) + s ) i = i 厶，t 曩量如，；碰。，取x 。，) + 。) ，竹2 1 ( 1 3 2 0 ) ( 1 3 2 1 ) ( 1 3 2 2 ) o 醛瓯 0 o 瑶 厶 k ：i 浙江大学硕士学位论文 1 3 因此，v m 0 王- i e ( i = l 厶，l 隅s 釜= l 厶，班峭m ) l nk 删善曩 e ( x m 卅e ( 萎如删l 钵趔猢m 再由( 1 3 2 1 ) 就可以得到 尘恐e ( x 哪) x ，e ( x ( 。) 扣，= 0 1n + 。ol l 一”j 任意给定证整数如1 ，由( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 ) 可以得到 翌蟛m 乳a x 舻训，一则( x i v o ) 一 重复上述证明过程，若e ( x ”) = 一0 0 ，则 x i “) 三一o o 若e ( 1 x i “。i ) 0 ，有如下， l i mp ( x ”e ( x ：”) + e ) = 0 f 。o 以及 。l i r a 。e ( x j 哪x ( n ) e ( x ( n 曲) 。) ) = 0 11 3 1 - n + 。i “、“，j 因此，由( 1 3 1 9 ) 知，若a = 一0 0 ，则 x p 三一o 。 若a 一o o ，对垤 0 ，令( l 3 2 4 ) ，( 1 3 2 5 ) q 。n o o 。可得 l i mp ( x i 哪a + ) = 0 竹+ o o 和 ，! i me ( x 狮。) ) = 0fl 。l2 。j ( 1 3 2 3 ) ( 1 3 2 4 ) ( 1 3 2 5 ) ( 1 3 2 6 ) f 1 3 2 7 ) 第1 章迭代方程的大数律 此时可以得到 e ( x 啦一a ) 两边同时取极限 e ( ( x 一a ) x ：n ) 水，) ) + e ( ( x i 哪一a ) 7 砖n ) s 一一 ) + e ( ( y p 一a ) 一一 砖n ) + 一) ) ， 一l i m 。o e ( x 砷一a ) = 一l i m 。e t t x i 呐一a ) x i n ) h 一) ) + 墨恐e ( ( x p 一a ) ，x n ) ! 一。，) ) + 。1 i m 。e ( ( x f 一a ) 一 x 1 ( n ) 一一p ( a 一一 0 均成立。因此 由( 1 3 2 6 ) 可以得到 翌! 骢e ( ( x i 一a ) x i n ) - 一，) ) = o ( 1 。3 2 8 ) 最后我，f f i e 明a pu 针。 码；j 1 ) ，满足 x p 三a ，n o o 由于墨砷三a ，因此存在 l ，2 ，n ，) 中的子列 x i 唧) 一a ，o s 注意到，p 是( 一o o ，+ o o ) 上的闭子集，并且 p ( n x 唧p ) = 1 = 1 浙江大学硕士学位论文 1 5 因此a p u 成立。定理1 4 ( i ) 证毕。 下面证明定理1 4 ( i i ) 。p 是( 一( 3 0 ，+ o o ) 上的闭子集，并且有界，因此pu n 由定理1 2 ( i ) 以及( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) r pn q , 徇t ( 1 2 5 ) 成立，并且存在子列 五u ；j 1 ) 满足 所以 l i m x = a ，n s l i r as u p 墨砷a ，们 n o 。 由( 1 3 1 8 ) ( 1 3 2 0 ) 以及( 1 3 6 ) ，我们可以得到，v n 1 这罩常数6 l ，c 0 。由引理1 4 ( i i ) 以及( 1 2 7 ) 可得 因此 l i ms u px i 0 e x l o ) n s 1 + ( 1 3 2 9 ) ( 1 3 3 0 ) 利用与定理1 2 ( i ) 证明中相类似的方法，对任意给定的n o 1 ，由于p 下有界以 及( 1 2 7 ) 可以得到 s ( i x f ”。l ( l ( | x 咿) 1 此时岛。= 磊2 葺l 。再次利用引理1 4 ( i i ) 可以得到 豆量碍，t l i ms u p x i “曼e x ：”) o s 由于e x i “ia ，因此令珊一0 0 ，最终可以得到 1 i ms u p x p a ，o s ( 1 3 3 1 ) ( 1 3 3 2 ) n 旷c aa 8 n _ 再由( 1 3 3 5 ) f l p 可证明定理1 4 ( i i i ) 。 定理1 5 的证明和定理1 4 的证明类似，我们就不给出证明。 浙江大学硕士学位论文 1 9 1 4 定理应用举例 本节我们会给关于上述定理的一些应用，这些例子在w e h r ( 1 9 9 7 ) 的文章中已经有所 阐述，这罩我们不做详细的介绍，只是结合我们的定理给出相应的应用 例1 1 ；随机电阻网络。我们首先考虑随机化的菱形网络： f ( x l , x 2 , x 3 , x 4 ) = 而1 + 志) 。 + ( 丽1 + 而1 ) ，n 1 ( 1 4 1 ) 这罩蕊0 ，风。i 0 ，1 i 曼4 并且 m ，1 + 舰，2 + p n ，3 + p n ，4 = 4 在实际的网络中，舭表示随机电阻的传导率，( x l ，x 2 ，x 3 ，z a ) 表示四电阻系统的第n 步 的有效传导率。利用调和不等式以及算术不等式，我们很容易得到 f ( x l , x 2 ，x 3 , 拍) p n , l x l - i - p r t , 2 x 2 可4 - p r , , 3 x 3 - t - 一p n , 4 x 4 3 翰，i x l + ，2 x 2 + ，3 x 3 + o n ，4 x 4 ，n 21 这里，权数l = 警，1 s i 4 ，竹1 满足 o t n 1 + 。2 + ，3 + 0 t l ，4 = 1 令 x ；n 1 ) 是由妒混合的随机变量通过( 1 4 1 ) 迭代生成的。应用定理1 4 ( i ) 也) 可以 得到，如果 h 。m a xo t d ，t o ，佗一o o ，e ( x p ) 一 竹 畦 母：i 。硝 | | 么卜k 。：i = 第2 章线性迭代方程的中心极限定理 其中对任意n 0 ，t 为实数，z n 为实值随机变量， x “，1 i 蠡) 为独立同分布 随机变量，并且与五。同分布。 受上述结果的启发，我们也考虑在原来线性迭代方程的基础上增加一项随机扰动 项，进而考虑其中心极限定理，下节我们会给出主要结果和证明。 堑兰奎兰丝圭兰堡垒奎 ! ! 2 2 主要结果 给定一列初始的独立同分布随机变量序列x ( o ) = x 5 0 ) ；j 之1 ) ，我们考虑下列线性 形式的迭代方程 膏 霹哪= w d ( - - 】l 冲) 扣+ g ”- 1 ( 2 2 1 ) l = 1 对所有的n o ，七2 为正整数，是一列独立同分布的随机变量，并且与x ( o ) 独 立。对任意礼1 ，山1 墨i k 为非负常数。令k = 1 妻a 。2 ，l 并且a = l i ma 。 我们考虑由迭代方程( 2 2 1 ) 形成的一列随机变量 x f ”) ；n 1 ) 的中心极限定理。 定理2 2 ：假设x ( o ) = 巧o ；j 1 ) 是一列独立同分布的随即变量序列，并且 x ；几21 ) 是由迭代方程( 2 2 1 ) 生成的随机变量序列。非负常数满足对任意i 七，。 收敛于某个实数o 。，并且 翌nc 等m a x i 卜。，n - - 一 0 0 习 若存在6 l 0 ，0 o ，6 l 如满足对任意礼1 成立，则随机变量 v a r ( x ：f ”) 2 研舻( 1 6 ，) 饥，( 2 2 3 ) y o r ( p ) c ；a 轨( 1 一如) 孙 型三堡! 兰辇三( o ，) c v a r ( x h 2 4第2 章线性迭代方程的中心极限定理 2 3 定理证明 我们首先给出一个对证明有很大帮助的引理。 引理2 1 ：令c 为任一正常数，x ，y 是均值为0 的随机变量，并且v a r ( x ) c 2 ，v a r ( y ) sc 2 ，那么对所有t ( i t i 6 l ，即可得到 0 。 令( t ) 表示为随机变量元：“的特征函数： ( t ) = e l e x p ( i t x i ) 】 第2 章线性迭代方程的中心极限定理 以下我们只需证明存在正数c 使得对任意的吲t 占 l i ml n 如( t ) = 一i 1 口。2z 2 ( 2 3 6 ) n + z 成立，再由( 2 3 5 ) 即可得到定理2 2 成立。 由引理2 3 可得，存在一个正的常数c 使得对任意的l t l 丢，n 1 有 1 n e 【e x p ( i t 爻，+ 1 ) 】一i n e 【e x p ( 托豫) 1 i 4 c t 2 a n 对于所有的n21 ，i 七，令风， = 等。出( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 可得，存在正的常数a 使得 对所有的i t l 击，n 1 有 k l n + l ( ) 一1 n ( 风，# ) isc 4 t 2 ( 1 6 。) “ = 1 七 令，j 为任意常数满足j = l 镌j 21a 由于1 j l 击，我们可以用7 n , j t 代替上述不等 式中的t 并且对求j 和可以得到 知七 il n 钆+ 1 ( j t ) 一l n “( ，j 风，i t ) l c 4 t 2 ( 1 一如) ” ，= 1 l = l 则i t l 0 ，存在m ( n ，) 使得对所有 的m m ， i l n ( t 风 风+ l ，缸，p “一，) + ：t 2 ( 风，i 1 风十1 屯，艮+ m - l , ) 2 y n r ( 戈p ) i t 2 ( 服，n 届。十1 ，t 2 ，届。+ m 一1 ，。) 2 p 萎、 如 一 q 一 产a 0 ， 丧 l n 批) + ；阿。砸：n ) ) i e t 2 - i - 鲁( 1 如尸 ， 。令n o o ，由的任意性即可得到( 2 3 6 ) 成立，定理证毕。 参考文献 【1 】a l o n ，n ；n a o r ，m c o i n - f l i p p i n gg a m e si r l l m u n ea g a i n s tl i n e a rs i z e dc o a l i l i o n s s i a mj c o m p u t ，1 9 9 3 ，2 2 ：4 0 3 - 4 1 7 【2 】b o p p a n a ，r ；n a r a y a n ，b t h eb i a s e dc o i np r o b l e m p r o c e e d i n g so ft h e 2 5 t h a c ms y m p o s i u mo nt h e o r yo f c o m p u t i n g ，a c mp r e s s ，n e wy o r k 【3 】b l u m e n f e l d ，r p r o b a b i l i t yd e n s i t i e so fh o m o g e n e o u sf u n c t i o n s ：e x p l i c i ta p p r o x i - m a t i t o n s a n d a p p l i c a t i o n s t o p e r c o l a t i n g n e r w o r k s j p h y s a ，1 9 8 8 ，2 1 ：8 1 5 - 8 2 5 【4 】b o p p a n a ，r ；n a r a y a n ，b p e r f e c t - i n f o r m a t i o nl e a d e re l e c t i o nw i t ho p t i m a l 皓 s i l i e n c e s i a m ，c o m p u t ，2 9 ：1 3 0 4 - 1 3 2 0 【5 】c h o w ，y s ：t e i c h e r ，h p r o b a b i l i t y ：i n d e p e n d e n c e ，i n t e r c h a n g e a b i l i t y ，m a r t i n g a l e s s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 8 8 【6 】c h u n g ，k l n o t e o ns o m e s t r o n g l a w so f l a r g e n u n l - b e r s a m 1 m a t h ，1 9 4 7 ，6 9 ：1 8 9 - 1 9 2 【7 】7c h o w ，y s s o m ec o n v e r g e n c et h e o r e m sf o r a b l e s a n n m a t h s t a t t ，1 9 6 6 ，3 7 ：1 4 8 2 1 4 9 2 【8 】d eh a a n ，l s a m p l e e x t r e m e s ：a n l i o n s 缸f 缸f n e e r l a n d i c a ，1 9 7 6 ，3 0 ：1 6 1 1 7 2 i n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i - e l e m e n t a r y i n t r o d u c - 【9 】e s s o h ，c d r e s i s t a n c ea n df l u c t u a t i o no faf r a c t a ln e t w o r ko fr a n d o mr e s i s - t o r s ：an o n - l i n e a rl a wo fl a r g en u m b e r s j p h y s ，1 9 8 9 ，2 2 ：4 5 3 7 - 4 5 4 8 【1 0 】g a l a m b o s ，j t h ea s y m p t o t i ct h e o r yo fe x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c s w i l e y ，n e w y o r k ，1 9 8 6 【1 1 】h a m b l y ，b ；o c o n n e u ，n al a w o fl a r g en u m b e r sf o rr a n d o mh i e r a r c h i c a l 盼 q u e n c e s b r i m s t e c h n i c a lr e p o r th p l - b r i m s - 2 0 0 0 - 1 3 , 2 0 0 0 【1 2 】j o n a t h o n ，j a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c ef o ri t e r a t e df u n c t i o n so fi n d e p e n d e n t r a i l - d o m v a r i a b l e s a n n a p p l p r o b a b ，2 0 0 2 ，1 2 ：9 8 5 1 0 0 0 【1 3 】l i ，d l ；r o g e r s ，t d a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o ri t e r a t e df u n c t i o n so fr a n - d o m v a r i a b l e s a n n a p p l p r o b a b ，1 9 9 9 ，4 ：1 1 7 5 - 1 2 0 1 【1 4 】l i ，d l ；r a o ，m b ；j i a n g ，t f ；w a n g ，x c c o m p l e t e c o n v e r - g e n c ea n da l m o s t s u r ec o n v e r g e n c eo f w e i g h t e ds u m s o fr a n d o mv a r i - a b l e s ，t h e o r e t p