几何三大问题为尺规作图不能问题的证明.docx

1.立方倍积问题假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有x3=2a3.令a1，则上述方程取更简单的形式x3-2=0.根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是1，2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.2.三等分任意角问题对于已知的锐角O=，设OP、OS是它的三等分角线.以O为圆心，单位长为半径画弧，交O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CDOA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.令OD=x，则有4x3-3x-cos0.如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.8x3-6x-1=0.以2x=y代入此方程，可得较简单的形式y3-3y-1=0.根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺规作图来完成，即60角不能用尺规三等分.三等分60角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.当然，这个结论是对一般情形而言的，假如等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当=90时，便有cos90=0，此时方程4x3-3x-cos=0就变为4x3-3x=0.解之，得(见图6).注意，当cos取值为无理数时，如=30、45等，则我们所用的定理2就不再适用了.3.化圆为方问题假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有x2=r2.令r=1，即得不可作.但是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.4.正七边形和正九边形的作图问题正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.(图8).7=2，3=2-4， cos3=cos(24)cos4.根据三角恒等式，有cos3=4cos3-3cos，cos4=8cos4-8cos21，所以4cos3-3cos=8cos4-8cos21.即8cos4-4cos3-8cos23cos1=x4-x3-4x2+3x2=0.分解因式，得(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.x3+x2-2x-1=0.由试验，知1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.的作图，而=40角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20角，将导致三等分60角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n7和2n9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：1有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.2有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图