（基础数学专业论文）h空间中的截口定理及其应用.pdf

摘要 极小极大原理一般涉及三个假设条件：集合的空间结构，函数的连续性和函 数的凹凸性。1 9 2 8 年v o nn e u m a n n 给出第一个极小极大定理后极小极大原理已 经取得了丰富的成果，并在越来越弱的条件下出现了多种情形的表现形式，包括 一个函数的极小极大定理，两个函数的极小极大定理，极小极大不等式及其在不 动点定理或者变分不等式中的应用。1 9 2 9 年，波兰的三位数学家k n a s t e r ，k u r a t o w s k i 和m a z u r k i e w i c z 给出了一个经典定理，后来被称为k k m 引理。经典的k k m 引理可以广泛应用于纯数学和应用数学，那些研究对象及其应用当今被称为k k m 理论。1 9 6 1 年，k yf a n 把经典的k k m 定理推广到无穷维的h a u s d o r f f 拓扑向量 空间，称之为f k k m 引理，并且建立了一个对集值映射初级但非常基本的f a n 截 口定理。 本文是基于胃一空间，利用日一空间中集合的一些性质把一些结果在没有线 性结构而只有日一结构的拓扑空间中作了推广。在本文中，首先我们给出两个截 口定理，把k yf a n 型的截口定理推广到日一空间。然后我们用给出的截口定理 证明了一个交集定理，一个叠合定理和个两个函数的极小极大定理。我们的结 果推广了几个由h a ( 1 9 8 0 ) ，w u - - x u ( 1 9 9 7 ) 和w u - - z h a n g ( 1 9 9 9 ) 给出的定理。 本文共分为五章：第一章我们介绍了极小极大理论的发展以及本文的背景；第二 章我们给出并证明了日一空间的一个截口定理，然后用所得的截口定理推广了一 个截口定理；第三章我们应用第二章的截口定理给出并证明了日一空间中的一个 交集定理；第四章用给出的截口定理给出了一个叠合定理；第五章给出了第二章 中的截口定理在日一空间中对两个函数的极小极大定理的应用。 关键词： 极小极大原理：h 一空间；截口定理：交集定理；叠合定理。 a b s t r a c t m i n i m a xp r i n c i p l eg e n e r a l l yi n v o l v e st h r e ea s s u m p t i o n s ：s p a c es t r u t t u r e ，t h ec o n t i n u i t ya n dt h ec o n c a v i t y - - c o n v e x i t yo ff u n c t i o n s r i c hp r o d u c t i o n sa b o u tm i n i m a xp r i n c i p l eh a v eb e e no b t a i n e ds i n c ev o nn e u m a n ng a v e t h ef i r s tm i n i m a xt h e o r e mi n1 9 2 8 ，a n dm a n yf o r m so fm i n i m a xt h e o r e m sh a v e a l s ob e e ng i v e nu n d e rm o r ea n dm o r ew e a kc o n d i t i o n s ，w h i c hi n v o l v e ( af u n c t i o n ) m i n i m a xt h e o r e m s ，t w o f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m s ，m i n i m a xi n e q u a l i t i e sa n di t sa p p l i c a t i o n si nv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e so rf i x e dp o i n t t h e o r e m s i n1 9 2 9 ，t h r e em a t h e m a t i c i a n so fp o l a n d ， k n a s t e r ， k u r a t o w s k i a n dm a z u r k i e w i c z ，g a v ea n dp r o v e dac l a s s i c a lt h e o r e mw h i c hi so f t e n c a l l e dt h ek k mp r i n c i p l et o d a y t h ec l a s s i c a lk k mp r i n c i p l eh a ss on u m e r o u sa p p l i c a t i o n si nv a r i o u sf i e l d so f p u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s t h e s e s t u d i e sa n da p p l i c a t i o n sa r ec a l l e dt h ek k mt h e o r yn o w i n 1 9 6 1 ，k yf a n p r o v e dt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i e a lk k mt h e o r e mi ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a u s d o r f ft o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e sa n de s t a b l i s h e da ne l e m e n t a r y b u tv e r yb a s i cf a ns e c t i o nt h e o r e mf o rs e t v a l u e dm a p p i n g s i nt h i sp a p e r ，b a s e do nt h e h s p a c e sa n dt h es e tp r o p e r t i e so fi t ， w eo b t a i ns o m e n e w g e n e r a l i z a t i o n s o ft h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t s i n t o p o l o g i c a ls p a c e sw h i c hn e e dn o th a v eal i n e a rs t r u c t u r eb u tw i t ha n 日一s t r u c t u r e w ef i s te s t a b l i s ht w os e c t i o nt h e o r e m sw h i c hg e n e r a l i z e t h es e c t i o n t h e o r e mo f k y f a n t y p ei n 爿一s p a c e a n dt h e n a st h e a p p l i c a t i o n s ，w ep r o v es e v e r a lr e s u l t si n c l u d i n ga ni n t e r s e c t i o nt h e o r e m o fs e t s ，ac o i n c i d e n c et h e o r e ma n dat w o f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m i n p a r t i c u l a r ，o u rr e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f h a ( 1 9 8 0 ) ，w u x u ( 1 9 9 7 ) a n dw u z h a n g ( 1 9 9 9 ) t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff i v e c h a p t e r s ：i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fm i n i m a x p r i n c i p l e a n dt h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r ：i nc h a p t e r 2 ，w eg i v ea n dp r o v eas e c t i o n t h e o r e mi n h s p a c e s ，a n dt h e nb ya p p l y i n go u rs e c t i o nt h e o r e mw eo b t a i n - i i - t h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z a t i o no fas e c t i o nt h e o r e m ：i nc h a p t e r3 ， o n t h i sb a s i so ft h ec h a p t e r2w eg i v ea n dp r o v ea ni n t e r s e c t i o nt h e o r e mo f s e t si n h s p a c e s ：i nc h a p t e r4 ，b ya p p l y i n go u rs e c t i o nt h e o r e m ，a c o l n c i d e n c et h e o r e mi s g i y e n i n h s p a c e s ：i nc h a p t e r5 ，w eg i v et h e a p p li c a t i o no ft h es e c t i o nt h e o r e mi nc h a p t e r2t oat w o f u n c t i o nm i n i m a x t h e o r e mi n h s p a c e s k e y w o r d s ：m i n i m a xp r i n c i p l e ：h s p a c e ：s e c t i o nt h e o r e m ：i n t e r s e c t i o n t h e o r e m ：c o i n c i d e n c et h e o r e m i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 虢雒晦蚰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名导师签名：叠至莹皇日期： 弘冶掣，6 、护 第1 章绪论 1 1 极小极大原理的形成背景 象。 博弈论是现代经济理论中重要的数学工具。极小极大原理是博弈论的数学抽 设x 和y 为两个非空集合，f ，g ：x x y - - r 是两个实函数，且满足在x x y 上厂g 。两个函数的极小极大原理是指，在满足一定的条件下有下面的不等式 成立： 曙骤，( w 垮s 。u p 磐g ( 训) ( 1 ) 特别地，当，= g 时，由( 1 ) 式知 蹬粤厂( ) 2 攀磐，( ) ( 2 ) 被称为极小极大原理。在博弈论中，x 和y 表示双方的策略集合，是效益函数， 等式( 2 ) 成立指博弈值存在。极小极大定理本质上包含三方面的内容：集合 和y 的性质，给定的实函数在集合上的连续性，以及实函数在集合上的凹凸性。 1 2 涉及的相关基本知识 设z 和】，为两个非空集合，f ：x x y 斗r 是一个实函数。下面我们回顾一 下有关j ，j ，和，的性质： 区间空间：称拓扑空间y 是区间空间，如果存在一个从y x y 到y 的连通子集的 映射 ，。】，使得对任意的m ，y ：y 有y l ，y ：【m ，北】= y 2m 。 上( 下) 半连续：设爿是拓扑空间，g j f ( x ) 在上上( 下) 半连续，即对任意 的r r ， x x ：厂( z ) ，) “x x ：厂o ) ， ) 是x 中的闭集。 函数，在y 上的凸性： i ， 设y 是向量空间中的凸集，称函数厂在l ，上凸，如果对任意的y l ，y ：e y 及 任意的r r 且0 r 1 ，有f ( x ，砒+ ( 1 一t ) y 2 ) 兰矿( x ，m ) + ( 1 一t ) f ( x ，y 2 ) 对任意的 x 成立；称函数，在】，上卜凸，指对某个f ( 0 ，1 ) 及任意的y 。，y 2 y ，存 在职y 使得f ( x ，儿) st m a x f ( x ，m ) ，f ( x ，y 2 ) + ( 1 - t ) m i n f ( x ，y 。) ，f ( x ，y 2 ) 对 任意的x x 成立；称函数厂在y 上拟凸，指对任意的，( o ，1 ) 及任意的m ， y 2 y ，存在y 3 y 使得f ( x ，乃) 矿( x ，m ) + ( 1 一t ) f ( x ，y 2 ) 对任意的x x 成立 称函数，在y 上f 一拟凸，指存在某个f ( o ，1 ) 对任意的m ，y 2 y ，存在儿y 使 ： g t f ( x ，乃) 矿( x ，乃) + ( 1 一t ) f ( x ，m ) 对任意的z x 成立：称函数，在】，上伪凸 如果对任意的r 瓞， y e y ：f ( x ，y ) 0 ，存在j 0 ，使得 对任意的m ，y 2e y ，存在虬y 有，( x ，乃) - m a x f ( x ，y o ，f ( x ，北) 在工上成立， 并且对任意的x e z ，若i f ( x ，y o f ( x ，y 2 ) i 占， 有 f ( x ，虬) _ m a x f ( x ，m ) ，f ( x ，y 2 ) 一5 ；称函数厂在非空集合】，上是弱向上的，是 指对任意的m ，y 2 】，存在弱y 使厂( x ，乃) 0 ， 使得任意的一，工2 x ，存在墨z 对任意的y y 有 f ( x 3 ，y ) r a i n 厂( 五，y ) ，f ( x 2 ，力) ，且对任意的y y ，若l 厂( ，y ) 一f ( x 2 ，y ) l s 有f ( x ，_ y ) m i n f ( x t ，y ) ，f ( x 2 ，_ ) ，) + 占；称， 在x 上是弱向下的，如果对任 意的曩，墨x ，存在而z 对任意的y e y 有f ( x 3 ，_ y ) r a i n ( ，( ，y ) ，f ( x 2 ，力 成立，且对任意的y yf ( x l ，y ) ，( 矗，y ) 有f ( x 3 ，y ) r a i n f ( x , ，y ) ，f ( x ：，y ) 。 ( 有限向下及有限弱向下是指以上各不等式在王，的有限子集上成立。) 1 3 极小极大理论的发展形式 1 9 2 8 年，v o nn e u m a n n 给出并证明了第一个极小极大定理： 定理( y o nn e u m a n n ， 1 ) 设a 是一个m n 阶矩阵，和y 分别是非负且具有 单位和的行向量与列向量的两个集合。如果f ( x ，y ) = x a y ，则有 曾学弛，y ) 2 学曾m ，) 这个定理中z 和l ，是有限维单形，i $ i 数f 是双线性且联合连续的，因此定理 的条件是相当强的。自从v o hn e u m a n n 给出这个定理后，早期的数学工作者致力 于寻求、】，和实函数厂的相关条件，就一般情形给出了一些重要结果，比如 v o nn e u m a n n ，v i l l e “，w a l d “，f a n “，n i k a i d 6 嘟，s i o n 7 3 等等。 极小极大理论是一个丰富多彩的篇章，自v o dn e u m a n n 最早提出研究至今许 多数学家及数学工作者推广到了多种数学表现形式，并且得出了相应的应用，归 1 纳起来有以下几类：( 一个函数的) 极小极大定理( m i n i m a xt h e o r e m s ) ，两个函 数的极小极大定理( t w o f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m s ) ，极小极大不等式及变分 不等式( m i n i m a xi n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a li n e q a l i t i e s ) ，极小极大不 等式和不动点定理( m i n i m a xi n e q u a l i t i e sa n df i x e dp o i n tt h e o r e m s ) 。近来 的研究工作主要就是寻求极小极大理论的各种表现形式在更弱的条件下成立。 1 3 1 ( 一个函数的) 极小极大定理包括拓扑条件下、数量条件下及拓 扑一数量条件下的情形。 拓扑极小极大定理是指不涉及x 和j ，的线性结构只给出了集合、y 和， 的某些拓扑性质，其中包括厂的连通性。第一个拓扑极小极大定理由w u 在1 9 5 9 年给出： 定理1 3 1 ( w u ， 8 ) 设x 是一个紧的可分拓扑空间，y 是弧连通的拓扑空间。 ，：x y r 是联合连续的实函数且满足 ( 1 1 ) 对任意的，y l y ，存在连续映射s ：【o ，l 卜 y 使得s ( o ) = y 。，s ( 1 ) = y 并且对任意的x x 及任意的r r 集合 r ：厂( z ，s ( f ) ) r ) 是连通集或者 是g ： ( 1 - 2 ) 对】，的任意有限集合b 及任意的，酞，集合n 缸卫：f ( x ，y ) r 是 v b 连通集或a 。 则( 2 ) 式成立。 t u y 阻”1 和g e r a g h t y - - l i n n l l 分别对定理1 3 1 作了推广。另外，s t a c h 6 1 c h e n g l i n “1 ，k s n i gn 5 1 8 1 和r i c c r r i 1 也取得了相应结果。 数量极小极大定理不涉及z 和y 的线性结构，只对厂的凹凸性方面假定了许 多数量性质。第一个数量极小极大定理是由f a n 在1 9 5 3 年给出的 。：，。，。：窒兰垒垒，。，。s s = = 一 定理1 3 2 ( f a n ， 1 8 ) 设x 是一个集合，i r 是紧拓扑空间。f ：x ，r r 在 y 上下半连续。如果，在x 上拟凹，在r 上拟凸t 则( 2 ) 式成立。 k 5 n ig 【】9 ，s i m o n s ，n e u m a n n 2 z 】g e r g h t y l i n ，l i n - q u a n ， d o m o k o s ( 2 5 1 ，c h e n g l i 犷y u 减弱了函数的凸性条件得出了定理l 3 ，2 多种形 式的推广。特别地，i r l e 1 和k i n d l e r 分别对f 的凹凸性利用均值函数得出 了一些数量极小极大定理。 拓扑一数量极小极大定理是指不涉及和王，的线性结构，厂的凹凸性由数量 条件及拓扑条件表达。第一个数量拓扑极小极大定理是由t e r k e l s e n 于1 9 7 2 年 给出的： 定理1 3 3 ( t e r k e l s e n ， 2 9 】) 设是一个集合，y 为紧拓扑空间。f ：x y 斗r 在l ，上下半连续。如果满足： ( 3 1 ) ，在上是三一凹的； ( 3 2 ) 对z 的任意有限子集4 及任意的，e r ，n y y ：f ( x ，y ) s r 是y 中的 连通子集或者o 。 则( 2 ) 式成立。 g e r a g h t y l i n m l 和s i m o n s 都对定理1 3 3 作了推广。k i n d l e r 通过应 用平均函数推广了这个定理。 1 3 2 两个函数的极小极大定理这方面的结果还比较少，除知识方面的 局限外，在方法上它与一个函数的情形存在差异。两个函数的极小极大定理中函 数和g 的凹凸性通常有以下三种类型： 类型一：厂在x 上具有某种凹性且g 在】，上有一定的凸性。此类型的第一个 两个函数的极小极大定理是由f a n 在1 9 6 4 年给出的： 定理1 3 4 ( f a n ， 3 2 ) 设爿和】，是拓扑向量空间的紧凸集，f ，g ：y _ 豫 是两个实函数且f 5g 。对任意的x xf ( x ，) 在y 上下半连续，对任意的 y yg ( ，y ) 在x 上上半连续。若满足 ( 4 1 ) ，在上伪凹； ( 4 2 ) g 在y 上伪凸。 则有( 1 ) 式成立。 类型二：f 在y 上具有某种凸性且g 在x 上有一定的凹性。s i m o n s 于1 9 8 1 年给出了此类型的第一个两个函数的极小极大定理： 定理l3 5 ( s i m o n s ， 3 3 ) 设x 是一个集合，l ，是一个( h a u s d o r f f ) 紧拓扑 空间，实函数f ，g ：x x y 专r 且厂g 。对任意的x xf ( x ，) 在y 上下半连 续。如果满足： ( 5 1 ) ，在y 上；一拟凸的； ( 5 2 ) g 在上圭一拟凹的。 则有( 1 ) 式成立。 获得诱个函数的极小极大定理的方法之是推广有关的一个函数( f = g ) 的定理，然而这种方法会有一定的困难甚至行不通，例如由j 0 6 一k a s s a y 。4 1 就 s i m o n s 1 的猜想给出了一个反例，说明不能由s i m o n s 的一个函数的情形得出 相应的两个函数的极小极大定理。为了克服这个困难，l i n q u a n 介绍了一种厂 和g 凹凸性的“混合”情形，即类型三。此类型的第一个两个函数的极小极大定 理是由l i n 一 ) u a n 在1 9 9 1 年给出的： 定理1 3 6 ( l i n q u a n ， 3 5 ) 设z 是一个非空集合，i ，是一个紧拓扑空间，实 函数厂，g ：x y 辛r 且在y 上下半连续。如果f g 在z y 上成立，并且存 在j ，f ( o ，1 ) 使得下述条件满足： ( 6 1 ) 对任意的五，x 2 x ，存在而爿使得对任意的y y 有 f ( x 3 ，y ) m a x f ( x , ，y ) ，g ( x 2 ，y ) + ( 1 - s ) m i n f ( x 1 ，y ) ，g ( x 2 ，y ) ) ( 6 2 ) 对任意的y ，y 2 y ，存在乃y 使得对任意的x e x 有 g ( x ，y 3 ) st m a x f ( x ，m ) ，g ( x ，儿) + ( 1 - t ) m i n f