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考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 摘要 【摘要】：几十年来，c m o si c 一直遵循摩尔定律不断发展，集成度不断提高，从目前的发 展预测，在2 1 世纪的前十年，c m o s 器件的特征尺寸将从几百纳米缩小到几十纳米。研究进 入纳米尺度的c m o s 器件面临的技术挑战和物理问题已经成为当前迫切而重要的问题。而在 l ce d a 软件中，精确的m o s f e t 的器件模型是实现i ce d a 设计和i c 产品功能与性能联系起 来的基础和关键纽带。本文通过引入泊松一薛定谔方程自治方法，数值求解了泊松方程和 薛定谔方程的自洽解，得出量子修正后一维阈值表面势模型，并在此基础上，求解准二维 泊松方程，建立了小尺寸m o s f e t 的量子修正阈值电压模型。本文用数值方法验证了所得到 模型的准确性。具体方法是对一组采用0 5ui n i 艺、栅氧化层厚度为7 r i m 、不同沟道宽长 比的r u m o s f e t 器件进行了b s l m 3 系列模型直流参数的提取，把提取得到的模型参数输入 b s i m 3 模型中，并利用此新模型，用电路模拟仿真工具h s p i c e 对数字电路进行模拟与仿真，得 到了很好的仿真结果。证明了我们提出的阈值电压模型与实际情况相符，是合理的。本文 提出的器件模型建模与参数提取方法学具有较强的实用价值，可作为通用的器件模型参数 提取流程用在相关科学研究和工程实践中。 关键词：m o s 器件，量子修正，表面势，参数提取 h i 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 a b s t r a c t c m o si cf o l l o w st h em o o r e sl a wa l la l o n g t h ef e a t u r es i z eo fc m o sd e v i c ei sr e d u c e d i n t on a n o - , s c a l er e g i m ea tt h ef i r s td e c a d eo ft h e2 1 s tc e n t u r y r e s e a r c ho nt h en a n o - s c a l ec m o s d e v i c ef a c e st h et e c h n o l o g y c o m p l e x i t ya n dp h y s i c sl i m i t a t i o n s a na c c u r a t ey e tc o n c i s e m o s f e td e v i c em o d e li st h ek e yb a s i sf o rac m o si cd e s i g nt 0 0 1 am e t h o df o rs e l f - c o n s i s t e n t n u m e r i c a la l g o r i t h mo ft h es c h r o d i n g e r sa n dp o i s s o n se q u a t i o n si sp r o p o s e d a1 - dt h r e s h o l d v o l t a g em o d e l i sp r e s e n t e d b yt a k i n gq u a n t u m - e f f e c t sf o rs h o r t - c h a n n e li n t oc o n s i d e r a t i o n , a2 - d q u a n t u m - m o d i f i e dt h r e s h o l d - v o l t a g em o d e li sd e v e l o p e db ys o l v i n gt h eq u a s i - 2 dp o i s s o n s e q u a t i o n i no r d e rt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h em o d e l ，w ec o n d u c tap a r a m e t e r - e x t r a c t i o n ( p e ) e x p e r i m e n tn u m e r i c a l l y w ee x t r a c tt h ed cp a r a m e t e r sf r o mas u i t eo fd i f f e r e n tw ld e v i c e s u n d e rac e r t a i nt e c h n o l o g yc o n d i t i o n t h e nw es i m u l a t ead i g i t a lc i r c u i tu s et h eh e we x t r a c t e dd c p a r a m e t e r s ag o o da g r e e m e n tb e t w e e nt h em o d e la n dt h es i m u l a t e dr e s u l t si so b t a i n e d t h e m o d e l i n ga n ds i m u l a t i o nm e t h o dp r o p o s e di nt h ep a p e rm a yb ea d a p t e di n r e s e a r c ha n d d e v e l o p m e n to fn a n o - s c a l ed e v i c ea n di n t e g r a t e dc i r c u i t s k e yw o r d s ：m o sd e v i c e ，q u a n t u m c o r r e c t i o n ，s u r f a c ep o t e n t i a l ，p a r a m e t e r - e x t r a c t i o n i v 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：纽 关于学位论文使用授权的声明 槲：耸：舒期：一 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 第一章绪论 自从2 0 世纪5 0 年代后期集成电路问世以来，单个芯片集成电路上的晶体管数量大约 每三年增加四倍。芯片上有更多的晶体管，也就能够完成更多的功能。从一代到另一代的 基本价格变化却很小，这是由于较高的集成度导致完成每项功能的价格降低。这是驱动芯 片发展的最基本动力在1 9 8 0 年，h c w l e t p a c k a r d 生产出单片微处理器【”，在l c m z 的面积 上包含近0 ：5 兆个器件。这个芯片上晶体管的栅长1 2 5 脚w 。在历史上这一成就被认为是 一个里程碑。根据2 0 0 6 年版的国际半导体路线图( i t r s ) 预测，到2 0 0 7 年将实现特征 尺寸6 5 m n ，而到2 0 1 0 年这一数字将降至4 5 n m l 届时芯片上的集成度将达到1 0 8 1 0 9 数量 级可见在制造集成电路之前，如果没有能够正确预测电路特性的模拟工具帮助，设计如 此复杂的芯片几乎是不可能的作为电路设计和分析的模拟器，它的可信度取决于其中器 件模型的正确性，由于器件尺寸越来越小，器件模型越来越复杂，如何能够得到既简洁又 能精确描述器件特性的模型就成了电路模拟中一个重要的问题哪 特征尺寸缩小的不断实现带来集成度的极大提高，千万门以上的集成度导致功耗问题 更为严峻因此，现代集成电路设计中的亚阈区工作状态变得十分重要。这就要求器件模 型为整体模型( c o - p a c ti o d e l ) 。即用一个单一的模型公式把原来分段描述的亚阈区、线性 区、饱和区统一描述起来，否则在电路模拟时很难保证收敛这些年来研究开发的小尺寸 m o s 模型大都采用了整体模型【“如在1 9 6 6 年，h c p a o 和t c s a h 提出了著名的p a o - s a h 双 积分模型i s ，这可以说是第一个被广泛引用的整体模型p 7 l 。它和实测结果的一致性得到公认， 成了验证其它模型正确与否的标准 而基于物理描述是对整体模型的最基本要求，这是因为瞄3 1 j ： ( 1 ) 基于物理描述的模型很容易转化成统计模型，而统计模型在实际的集成电路制造中 起了更重要的作用； ( 2 ) 在工艺水平日新月异的今天，基于物理的模型相对于经验模型来说升级更容易，因 此物理模型虽然比经验模型复杂，但其有效性要比经验模型强得多 e d a 中常用的整体模型有以下两类：( 1 ) 基于阈值电压的模型：( 2 ) 基于表面势的模型 由于历史的原因，当前在商业化的e d a 软件中，基于表面势的模型不是处于主流地位，主 要原因是早期长沟道f 幻s f e t 集成电路电源电压较高，并且集成度低，功耗问题一般不严重， 工作区常简单划分为强反型区和截止区，对亚阈区一般不作特别考虑，因此并不要求模型 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 必须为整体模型，此时阈值电压概念的引入就对简化模型起了重要作用。但是随着沟道尺 寸下降，越来越多的应用场合需要考虑亚阈区的工作情况，基于阈值电压的模型就越来越 暴露出其缺陷，而表面势模型正是在这里体现其优势。 1 1 器件建模的意义 随着集成电路技术的发展和越来越广泛的应用，j c 设计时就必须考虑j c 的高可靠性、 高性能、低成本的要求，人们对i cc a d 软件统计容差分析、优化设计、成品率、成本分析 及可靠性预测的功能和精度要求也越来越高。m o s f e t 器件模型是将i c 设计和l c 产品功 能与性能联系起来的关键纽带，它们之间的关系见图1 - 1 。 图l - 1 器件模型是联系i c 设计和生产的纽带 设计集成电路时，如果没有能够正确预测电路特性的模拟工具帮助，设计复杂的芯片 几乎是不可能的。作为电路设计和分析工具的模拟器，它的可信度取决于其中器件模型及 其模型参数的正确性。由于器件尺寸越来越小，器件模型越来越复杂，如何能得到既简洁 又能精确描述器件特性的模型，如何能获得准确的模型参数就成为了电路模拟中重要的问 题。在选定了器件模型的情况下，该模型的模型参数准确性将直接影响到设计工作是否正 确由于对器件模型精度要求越来越高。当今一个精确的m o s f e t 模型无疑已成为i c 设 计者首要解决的问题，一直也是国际上研究的重点和热点在向纳米芯片技术转变时期， 对它的研究就有了更重要的现实意义 在集成电路制造业中，模型参数同样非常重要。模型参数对应集成电路生产工艺，工 艺参数的细微变化都会引起该工艺的模型参数发生相应的变化。换言之，通过观察模型参 数可以监控工艺的稳定性。当产品发生失效现象时，分析模型参数是做产品失效分析的一 个重要手段。对芯片代工而言，它们必须给设计公司提供芯片生产线上工艺的模型参数。 2 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 设计公司在设计过程中需要使用芯片代工厂家提供的模型参数对设计的电路进行电路仿 真。 一个理想的元器件模型，应该既能正确反映元器件的电学特性又适宜于在计算机上进 行数值求解f ”，一般来讲，元器件模型的精度越高，模型本身就越复杂，所要求的模型参 数个数也越多；这样计算时所占内存量增多，并导致计算时间的增加。反之，如果模型过 于粗糙，会导致分析结果的不可靠。因此，所用的模型的复杂程度要根据实际需要而定。 器件模型通过电流一电压( i v ) 、电容一电压( c - v ) 特性以及器件中载流子的输运过程来 f 描述器件的端口特性这些模型能够反映器件在所有工作区域的特性 器件模型主要是根据器件的几何图形、掺杂分布、载流子输运方程和材料特性等预测 器件的输出特性和输运现象由于v l s im o s 晶体管的特性受二维和三维物理效应影响， 很难找出一个对器件所有工作区都适用的收敛的解析模型，但只要以器件物理为基础，仍 可以找到一些收敛的解析模型，这种模型一般只适用于器件的部分工作区这种方法具有 计算简单、方便等特点，因此它常用于电路模拟器中。 在进行瞬态数值分析时，晶体管的特性参数是通过多次迭代得到的，所以要求模型既 要准确，又要具有计算量小，省时的特点，因此器件模型常常需要在准确性和简单性之间 进行折中。在m o sv l s i 设计中包含了各种不同沟道长度和宽度的器件，因此模型必须适 用于实际电路中所有尺寸的器件。 利用模型预测器件特性的准确性与所采用模型参数值的准确程度有极大的关系。随着 器件尺寸的不断缩小，电路模拟器中模型的复杂程度明显提高。另外，由于许多电路模型 是半经验解析模型【廿j ，其中包含许多没有很好的物理意义的拟和参数，这些拟和参数的数 量随模型复杂程度的提高而增多，甚至有些拟和参数具有随意性，即不能为这些参数确定 唯一的值。因此，在利用器件特性数据提取模型参数时一定要小心，要尽量保持模型参数 的物理意义不变 由于不同的用户对器件模型的不同要求【1 4 l ，e 1 a ( e l e o r o n i c s i n d u s t r i e sa s s o c i a t i o n 美 国电子工业协会) c o m a p c tm o d e lc o u n c i l ( c m c , ：j , 型模型委员会) 公布了一套电路仿真的标 准。u cb e r k e l e yb s i m 开发组开发的b s i m 3 v 3 ( b e r k e l e ys h o r t - c h a n n e li g f e tm o d e l3 v e r s i o n3 1 是c i v i c 公布的第一个标准模型。在这之后，c m o s 工艺模型的建立得到了迅速发 展，出现了许多高质量的建模方法来模拟c m o s 工艺新的特点。了解这些器件模型的原理 及其建模方法，无疑对i c 设计、仿真是十分重要的。 - 3 - 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 1 2 国内外模型参数提取现状 模型参数一般由半导体生产厂家或受其委托的公司进行提取。因为模型参数对于半导 体生产厂家非常重要，所以国外大多数半导体生产厂家都专门设立了提取模型参数的部门 由于国外半导体生产厂家对模型参数提取技术的研究起步较早，重视程度高，并且半导体 行业整体水平高，因此他们的模型参数提取技术也比较先进具体体现在： -1 提取的模型种类多，比较全面。提取的模型不仅包括常见的普通双极型器件模型、 d o s 器件模型，还包括各种特殊工艺的模型。这与国外掌握着先进的模型理论知识有很大 的关系。 2 国外许多半导体生产厂家在提取模型参数时能够根据不同的应用场合，为客户。量 身定做”例如：当模型参数的应用场合为模拟或数字电路仿真时，同一种工艺的模型参数 提取将采取不同的方法，得到不同的模型参数值。 相比之下，国内的半导体生产厂家在模型参数提取方面的工作就显得比较落后，尚处 于起步阶段。有的生产厂家的工艺从未提取过模型参数，有的生产厂家即使提取过一些模 型参数也很不规范。这是因为有的厂家早期接受国外的工艺转让，而模型参数及参数提取 技术并未获得；另外，国内的集成电路设计水平不商，高速、高性能的电路少，这也降低 了对高精度的模型参数的需求，制约着我国模型参数提取技术的发展；此外，国内半导体 生产厂家对模型参数提取工作的重视程度普遍不高也是一个重要原因。 目前，国内掌握模型参数提取技术的人才极度缺乏，提高这一领域的水平是我国半导体 行业的当务之急。 1 3 本论文的主要内容 本论文主要内容如下： 第一章。绪论”以m o $ 晶体管的发展历程为起点，阐述了器件建模和提取模型参数的 必要性，讲述了模型参数提取的一般性知识，并对当前国内外模型参数提取技术水平的现 状做了建议介绍。 第二章。m o s 器件分析”主要针对深亚微米m o s 器件的阈值特性进行了分析，以m o s 器件的表面势模型为基础，自洽求解了泊松一薛定谔方程组，得到考虑量子效应后的 m o s f e t 表面势增量a p 与沟道掺杂浓度以以及a p 与总的电荷q i 之间的关系曲 d 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 线，并在此基础上推导出了综合考虑短沟道效应和量子效应的m o s f e t 阈值电压表达式。 第三章。e d a 仿真软件s p i c e 与b s b “3 模型的简介”对b s m l 3 模型作了大致介绍 第四章“模型参数的提取”首先概述模型参数提取原理，并将在第二章中计算得到的 工艺参数k 、zj 等值植入器件模型库中，然后对一组无锡上华半导体 c s m c 0 5 m n c m o s 工艺库中的不同沟道宽长比的n 沟道m o s f e t 器件进行了璐i m 3 模 型参数的提取；同时，还对参数提取策略及方法进行了讨论，改进了参数提取方法，综合 以前提取策略的优点，首先对器件组进行局部优化，根据各个参数的偏压特性，对器件的 转移特性和输出特性分区域分参数进行优化：然后选取某些单个器件进行全局优化，针对 整套器件特性曲线，提取与器件尺寸有关的各种参数，以提高模型参数的精度；根据参数 变化的规律，给出其它尺寸器件的经过校正的模型参数。提取的阈值电压与第二章中的数 值模拟结果吻合较好，这也表明了我们在第二章中所提出的阈值电压模型与实际情况相符， 是合理的。 第五章。模型参数的s h c e 仿真与验证。通过把提取得到的模型参数输入粥m 1 3 模型 中，并利用此新模型，用电路模拟仿真工具h s p i c e 对电路进行模拟与仿真，得到了很好 的仿真结果。并通过与仿真结果进行对比，证明提取的参数及模型能够精确的模拟和仿真 器件的各种直流物理特性，验证了参数提取策略与方法的正确性 - 5 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 第二章m o s 器件分析 2 t m o s 器件中的反型层电荷 从m o s f e t 模型的发展历史来看，p a o - s a h 模型是唯一保留基本器件物理内容的经典模 型，它使用单一方程来连续地描述m o s f e t 器件的所有工作区特性尽管p a o - s a h 模型为 h o s f e t 模型的基本检验提供了一个很好的参照基础，但由于计算p a o - s a h 模型二重积分的困 难，用它作为电路c a d 模拟的集约模型目前还是不切实际的 2 1 1 已有的电荷模型对反型层电荷的计算 解可由解泊松方程得到，如方程( 2 - 1 ) 所示： c k o 名一p _ 一九) 一 ( 2 s 。) l ，2 p ( _ 鲁) + 丸一x p ( 一铷e 卅鲁) 一九堋严( 2 - 1 ) 对于反型层电荷的计算目前存在着p a o - s a h ：模型和经典的耗尽近似模型两种处理方法。在 p a o - s a h 模型中反型层电荷的计算可以用下式来表示： 瓯e x p ( 争d 妒 卵善忑万磊i 垂面化哪 而从耗尽近似得到的反型层电荷表达式则为： q 二一c k ( 一y _ 一九) 一r c 品戎 ( 2 3 ) 这样根据迭代法得到的表面势数值解，然后对方程( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) 计算后得到的反型层 6 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 ；i l ；一，- 一一一。u 0 u0 10 z 0 3 0 o 5 0 5 0 t 08 0g1 0 懿| y 图2 - 1 耗尽近似模型和p a o - s a h 模型得到的反型层电荷比较 图2 1 的右边表明：由耗尽近似和p a o - s a l i 模型得到的反型层电荷在强反型区是基本一致 的但是，p a o - s a h 模型得到的反型层电荷在亚阈区是正的而耗尽近似得到的反型层电荷在 亚阈区是负的，因此该耗尽近似得到的亚阈区反型层电荷不能由对数曲线来表示从器件 物理的观点来分析，耗尽近似的亚阈区反型层电荷为负是错误的虽然很多流行的教科书 都使用这种近似，但由这种近似明显不能得到准确的器件模型为了消除亚阈区的负反型 层电荷。器件模拟器通用的做法是使用一个简化的表面势方程，该方程在计算表面势时没 有考虑积累电荷和施化离子的作用这种方法已经在最初的m o s 1 1 和m o s 一1 1 0 2 中使用 2 1 2 考虑量子效应的m o s 器件模型 随着器件进入( 超) 深亚微米尺寸的水平，按照等比缩小原理，要求衬底浓度不断提 高，栅氧化层厚度不断减小，在这两者的共同影响下，踟j $ i 界面出现高的垂直电场，从 而造成m o s 器件反型沟道载流子的量子化效应越来越严重，将会给器件设计和模拟带来显著 的影响，而前面所述的两种模型显然都是在忽略量子效应的情况下所得到的，所得到的结 果并不适用于( 超) 深亚微米尺寸器件的模型。 m o s 器件中出现的量子化效应具体体现在：反型层中的载流子被限制在硅村底表面的 很窄的一维势阱中如图2 2 所示，载流子在垂直表面方向的运动受到限制，因此反型载流子 ， 0 9 8 7 6 5 3 2 l 0 l 1 0 0 o 0 0 0 0 o 0 0 0 。售& 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 不能像体内的载流子那样在三维空间自由运动，当阱宽为电子德布罗意波长量级时，载流 子在垂直于表面方向的运动只能取分离的能级e ，但在平行于表面的两个方向仍可以自由 运动，此时表面出现量子化效应【l l 】。因此形成二维电子气( 2 d e g ) 。对二维电子气的分析 必须应用量子模型( o m ) 。 关于垂直于表面方向电子状态的严格计算需要自洽求解薛定谔方程和泊松方程组成的 方程组而在近似估算能级位置时，若势阱为三角形势阱，则可得到解析解l 施2 7 】。但在实 际m 0 s 结构的耗尽区或反型区，其势阱更接近于抛物线型脚】，同时在对超晶格量子阱材料进 行热处理时，由于势垒、势阱中的原子进行相互扩散，势阱也会变成近似抛物线，因此在 本文中考虑的是和实际情况更为接近实际的抛物形势阱。我们考虑的是一p 型衬底的硅 m o s ，结构如图2 - 3 所示 m e a l l “一a z j ri r 础0f 7 掣驸 乜 p 型s i l z 1 图2 - 2 量子化能带图图2 3 多晶硅二氧化硅一硅结构 表1 列出了抛物形势阱和三角形势阱中前四级电子能级的值，其中 层- 1 0 7 v m ，m 一o 9 8 ，m o 为自由电子有效质量。 表2 - 1 抛物线型与三角形势阱中能级的比较( 单位：n 鸶v ) n012 3 e 喇 2 7 8 64 9 0 16 6 2 5 8 1 4 7 n 3 6 5 36 4 2 68 6 8 5 1 0 6 8 1 从表中可以看出，三角势阱中的能级均高于抛物线形势阱中的相应能级。由于两种模 8 耳骂辱耳 栅电极 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 型中的电子能级都随着外加电场f s 的增大而增大一因此当b 增大时，相同量子数下两种 能级的差异会进一步的增大。为了使数值模拟结果更接近实际结果，选择抛物线形的势阱 进行模拟是合理的 2 2 基于表面势的泊松方程 如绪论所述，器件尺寸的缩小成为v l s i 技术的基点，多年来器件物理和工艺技术的研 究和开发都是以此为中心进行的。但是，小尺寸器件出现了许多不能忽略的二维、三维效 应，正是这些效应导致了其不同于大尺寸器件的工作特性，必须要在器件模型中妥善考虑， 否则就不能利用e d a 工具将最先进的集成技术应用于电路设计【”1 2 2 1泊松方程的建立 一维m o s f e t 由s i 0 2 和s i 两区组成，其中s i q 区：z e ( o ，i k ) ；s i 区：z ( z k ，工) 。 l 是半导体内部边界，z k 为氧化层厚度。由于我们求解的是表面势的分布函数，故只需求 孱5 l 匹h 删电辨万仲i l j 口j ，掣z 七u 凹，l j 期鄙万仕瑷殳捌】旦也似明垄埘上，删s l 明_ l 氐 内电势为0 ，空问电荷区的载流子浓度与电势的关系可用下式来描述，坐标定义见图2 - 3 ： 比) 册e x p 【- 半 ) 啡) i c x p 【导 c 其中，k 一蛊。，口为热电势，以为费米势： 办- 讪( 争 c 撕) 由于在室温时：- n , ，孵一j 根据体区电荷守恒定律j 一l - ，o p 钿、体区少 子电子浓度和多子空穴浓度一，o 和p ，o 可分别表示为： ”册懿p ( 一争 ( - 9 - 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 p - n w b ( 2 - 8 ) 则联立( 2 - 4 ) 、( 2 - 5 ) 、( 2 - 7 ) 、( 2 - 8 ) 式，s im 0 s 器件在z e ( z k ，l ) 时的分布函数可以通 过求解泊松方程得到，具体为： 譬笋- 一去p ( z ) 一心) - 町纠+ 孵。) 】 ( 抛) 其中，c a z ) 为表面势，g 为s i 的介电常数。取g 轴垂直于d 2 s i 界面并指向s i 内部， 且界面处为z 轴原点，如图2 - 2 所示。联立( 2 4 ) 、( 2 5 ) 、( 2 - 7 ) 、( 2 - 8 ) 式，可以得到： 警一素硪警一a 华+ a 啼一，c 枷， 为了求出s i m o s 器件空间电荷区的电势分布并做进一步的分析，需要求解泊松方程( 2 - 1 0 ) 由于式( 2 - 1 0 ) 的复杂性，我们使用数值方法进行求解。 2 2 2 泊松方程的数值解 利用三点有限差分法对( 2 - 1 0 ) 式左边进行离散化旧，使用均匀网格，网格数为n ，设 第i 个网格点的坐标为z ，网格间距为吃，则利用二阶中心差分公式有： 丝! 1 2 二丝! 一丝! 二生亟! 掣l ，。j 芷等j 盟，一1 陟亿。) 一她) - p 北。) 】 _ - l_i伊z，一二帆z：j研z， d z 2 1 1 五“一弓- lh “7 、“、。1 ” 2 中心电场为： 盼粤- 一等掣一专眠 离散化后的式( 2 - 1 2 ) 变为一个非线性方程组，其一般形式为； 一她，+ 灿- 篙 卜( 掣卜p ) + 唧哮，1 】 j - l - n 设z - z k 处为零点，利用下面的边界条件可以求解离散化后的泊松方程： 在z = 0 时，妒- 戎( 0 ) 1 0 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 二1 4 ) 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 在z = l 时，毋一0 ( 2 - 1 5 ) 可以使用迭代法对形如式的方程组进行计算，并最后得到表面电势妒。( z ) 的分布。具 体方法如下： ( 1 ) 给出妒的一组初值矿- o ( z 1 ) ，驴o ( z 2 ) ，妒o ( z ，- 1 ) ，妒o ( 知”，并由式( 2 - 1 4 ) ， ( 2 - 1 5 ) 的边界条件定义妒( ) 一妒( 0 ) 一九，妒( 知。) 一o ( 2 ) 当i = l 时，将式( 2 - 1 3 ) 看作是一个关于妒( z 1 ) 的超越方程，由妒o ( z 2 ) ，妒( z o ) 的值 求解出矿( 毛) ，并在后面的运算中用1 ( z 1 ) 代换初值中的矿( z 1 ) ，则在求解妒1 ( z 1 ) 时会极 大降低运算量，从而总的计算量将显著降低，且能满足精度要求； ( 3 ) 从i = 1 到i = n 重复第二步的运算，从而得到一组新的妒值 矿- ( 妒1 ( z 1 ) ，妒1 ( 乞) ，妒1 ( z x 。) ，驴1 ( z ，) ) ； ( 4 ) 计算矿与妒。的偏差e m a x l ，1 一，i ，如果偏差小于要求的精度，则停止迭代， h ， 如果不能满足精度要求，则重复( 2 ) 、( 3 ) 的运算，并在每个循环完成后计算偏差 - m a x p 一，l ，直到达到精度要求，即可认为这组值为非线性方程组的解本论文中 川d 精度要求为1 0 “v 2 3m o s 电容分析 m o s 电容是m o s f e t 的核心结构，也是研究m o s 器件的基本工具。为了更好的研究 s im o s f e t 器件的特性，有必要深入了解s im o s f e t 电容特性s im o s 电容的结构图如 图“( a ) 所示。外加栅压由氧化层上的压降p 盈、表面势九以及平带电压p 三部分 组成m ： - p & + 九+ ( 2 - 1 6 ) p 石与s i 表面感生电荷岛有关： 磐 0 0 譬 1 l - ( 2 - 1 7 ) 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 其中，c o x 为栅氧化层单位面积电容： c o z 业 t o x ( 2 1 8 ) 其中，f 为氧化物的介电常数，为真空介电常数，t o x 为氧化层的厚度。q s 包括空穴 电荷q p ，电子电荷q 和界面陷阱电荷q 自： g q ，+ q + 玩 根据电容定义： c 丝 d v 联立解方程( 2 - 1 6 ) 一( 2 - 2 0 ) ，得到m o s 结构的电容为f l o , 2 e l ： c - - d q s 一堡垫垡鱼! d v , d ( v o x + 九+ ) 由于矿6 为常数，则有 1 c 111 1 j 匾卫逦+ 1 耍卫匦。i + 石两 d p 0d 丸 其中，c s 为表面电容； g 一等一等- c ，+ c - ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) s im o s 电容表达式各项分别如图2 - 4 ( b ) 所示，注意c s 的各个组成电容和c 日都会随九变 化。 y g 。is i o ， s i b ) 图2 - 4s i m o s 电容的c a ) 结构图及其( b ) 等效电路图 - 1 2 - 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 考虑理想状态下的s im o s 电容，即界面态密度为零，则其电容表达式为： 三。上+ 一1 ( 2 - 2 4 ) c c c s 对于反型区的n 沟道m o s f e t ，g 中的电荷主要来自于反型层自由电子( ) 和耗尽区 域的固定电荷( q 却) ，所以定义【l l = c ，丝塑! ! 掣。 d 九d 九 ( 2 - 2 5 ) 其中，q ，一+ q 却为单位面积总电荷，丸为表面势，若分别定义反型层电容 c 0 - d f k d 九和耗尽层电容c 0 一d q 易，d 九，则可认为表面电容是由反型层电容和耗 尽层电容并联而成，即： c s - c + c 姊 ( 2 - 2 6 ) c s 是半导体表面反型层或积累层厚度决定的单位面积电容，反映了量子效应的影响当橱 氧化层比较厚时，c n r 比起c s 小很多，式( 2 - 3 4 ) 中的后一项可以忽略，橱电容基本上等 于橱氧化层电容。但是当f o r 缩小到1 帅m 以下时，c s 的影响就变得不可忽略，其等效电 路图如图2 - 5 所示。 c & 岛 j【一 图2 - 5 表面电容c ：及其等效电路图 2 4 薛定谔方程和泊松方程的自洽解 c 0 在前面已经阐述，反型层中的自由电子在强大的纵向电场的作用下，其输运特性发生 了变化，它们不能像体内载流子那样在三维空间中自由运动，而是一个准二维电子气系统， 1 3 - 上工t 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 可以用二维电子气描述反型层中的电子状态。二维电子气中电子在垂直方向的运动是量子 化的，电子能级只能取一些分立的值e ，但是电子在平行于表面的两个方向仍可以自由运 动，与每个分立的能量e 相对应形成一个子带，且假设衬底是均匀掺杂。 为了分析沟道电子的量子化效应，必须联立解一维薛定谔方程和泊松方程： 幽d z 2 + 等晖+ 慨( z 胍一。 ( 二2 7 ) 笋一者刊一m 鼢孵例 c i o m 等人曾证明p 6 l ，电子占据最低能级的几率高达9 0 以上，因此我们在数值计算中 作了第一能级的近似，即处于反型层中的载流子。在垂直于所d ，表面的z 方向上对应于 第一能级毛而在平行于d ：表面内作自由运动。则处于反型层第一能级民上所能 够允许的电子数为： n o i rg ( e ) 厂( e ) d ei ? 王。皂；d e 协2 一, - fh2 。i 巧扭 对( 2 - 2 9 ) 积分后得到； o 一等l n 【1 + 甑“警) 】 ( 川 其中，e , ( e ) y o 捌t ，但) 是费米分布函数，e c 为导带底能量，屏为费米能级，毛是 反型层电子所处的第一能级，k 为玻尔兹曼常数，t 为绝对温度。反型层电子在z 处出现 的几率为陋。g ) 1 2 ，所以其空间分布为： n ( z ) - n o k 0 ) 1 2 ( 2 3 1 ) 因此，电子在反型层中的分布并不是均匀的，所以在经典情况下的反型层电荷面密度： q等iqno(2-32) 不准确，考虑电子的空间不均匀分布是有必要的，这时q ，应为： 1 4 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 鳄。巾o ( 2 - 3 3 ) 由于在反型区采用抛物形势垒计算子带结构有很好的精度，因此在垂直于沟道方向划分网 格，采用自洽的方法可以求解方程( 2 - 2 7 ) 、( 2 - 2 8 ) 、( 2 - 3 1 ) ，计算出电子的波函数妒，g ) 和 能级丘，最终可以得到反型电荷、耗尽电荷、栅电压与表面势的关系。算法具体过程如下 图所示： 图2 - 6 泊松方程与薛定谔方程自洽解流程图m 2 4 1 薛定谔方程的数值解法 在许多具体的物理问题中，特别是固体物理的问题中，往往涉及求解在某一个特定势 阱中运动的粒子的薛定谔方程。由于本问题中的势函数为一抛物线型势阱，故不能通过解 析的方法给出其波函数表达式，其薛定谔方程仍然不能够严格求解。所以，我们需要通过 一些数值的或近似的方法来求解具体的薛定谔方程。为此我们在f o r t r a n9 0 环境下编制程 - 1 5 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 序，用转移矩阵的方法来具体求解薛定谔方程的束缚态，并且给出粒子的几率分布和能量 本征函数。 原理：我们在理论处理上采用文献 2 8 中的基本处理原理，即将一维任意势函数分解 成足够精细的用台阶势表达的众多小区域集合然后用传递矩阵方法进行数值求值一维 结构中的电子能态由一维薛定谔方程决定： 一鲁万d 2 绯) + 酢) 妒。) 一酬z ) ( 2 - 3 4 ) 其中m 是电子有效质量，z 是位置坐标，e 为能量，妒( z ) 为波函数，意- h 2 霄，h 为普朗 克常数，v ( z ) 为势函数对于图2 7 所示的势，在p 二e k 区域会有有限个数的束缚态， 而在k e k 区域会存在若干准束缚态，对于图2 8 中虚线表示的任意形状一维势总可 以用类似于图2 - 7 中虚线所示那样的台阶进行分解，只要台阶分得足够细，总可足够逼近真 实势，类似干文献 2 8 的处理，我们引入一个势区域，即k 区域，取屹p ，当面一* 时，图2 - 8 的势就等效于图2 - 6 中的台阶势在第j 区域内，v ( z ) 被近似为常数 _ 、 m 、_ 一 x 图2 - 7 势函数( 虚线) 可被近似表达成若干台阶势( 实线) - 1 6 - 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 ，一、 硝 、_ ， 图2 - 8 引入附加势获得的图2 - 8 中势的电子束缚能或准束缚能 为避免指数数值溢出，取第j 区域内的波函数为： c 黼= a 吲+ b 产吲 。( 2 - 3 5 由界面处波函数与波函数导数连续的边界条件圈： 妒，- 1 0 ，一1 ) - 妒，( z ，- 1 ) ( 2 - 3 6 ) 丢阢，) 】| 丢晰。) 】 协，) 我们得到： 4 1 e 址j 一+ 口，一，。嘶一彳，e 雎。+ 口尸一业户( 2 - 3 8 ) 诙i 她一一b l ，憎、| 墩i 协尹一b 矿、) ( 2 - 3 9 ) 由此，如果我们已经知道系数4 一。、日一。，便可由上式求得系数4 、b ，写成矩阵形式 有： ( = ：) _ ) 这样，就可以从4 、且求得所有的a j 、b j 了 根据式( 厶4 7 ) 、( 2 - 4 8 ) 我们把波函数以及其一阶导数连续的转移矩阵表达成： 附 + f n 一 2 谵1 0 4 一一e 屯6 ) 2- ”一声一 掀j l 矿一+ e 一 2 - 1 7 j - i ( “1 ) 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 其中6 - 。j 一。_ l 这样，从第j - 1 层的波函数以及一阶导数便可求出子层j 中的波函数及 其一阶导数。 2 4 2 数值计算结果 我们取t - - - - 3 0 0 k 时，衬底掺杂浓度为l x l 0 1 8 c m - 3 时，经过计算，电子的前三个能级波 函数图像如图2 - 9 所示： 乱o o e 电1 zo o e - - 0 1 l 勺1 也o o e - 0 0 0 一l p 叼l z 0 0 e 勺1 一& 廿寸l 除 ：悸蚍1 1 第一级波函数 2 第二级波函数 3 第三级波函数 距离蜩q 界面的距离( a ) 图2 - 9 电子在前三个能级波函数图象 图2 - 1 0 给出了电子浓度根据量子力学( o m ) 模型计算得到的n m o s 中反型层载流子在垂直 表面方向的分布，可以看出反型层电子浓度的峰值向体内推进了1 8 r i m 左右。由阈值电压 的定义可知，当反型层中最大电子浓度等于体内多子空穴浓度时，所对应的橱压为阈值电 压。则这1 8 纳米左右的距离即为反型层沟道形成以后，沟道距离彤d ，界面的距离。随 着氧化层厚度f 的不断减小，当f 与z m 处于同一数量级时，电子距0 j s i 界面的影 响必须加以考虑，即电学上的栅氧化层厚度比实际物理上的氧化层厚度要大 1 8 - 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 p 。基 釜 营 l1 63 i4 66 1 t 69 11 0 61 2 11 3 5 距离明q 界面的距离( a ) 图2 - 1 0n 沟道m o s f e t 反型情况下载流子的分布情况 2 4 3 耗尽层电容 耗尽层宽度ix 2 e g e o $ s q n s w ，耗尽层的面电荷密度q 却为鲫： q 却- - 压磊两晤 ，d q 却 。贡 e s ，o( 砘) 式( 2 - 4 2 ) 表明c 却相当于平行板电容( 介质为s i ，平行板厚度为) 2 5 考虑量子效应的m o s 阈值电压模型 2 5 1 量子效应对表面势的影响 由前面的论述可知，在考虑量子效应后，反型层中的电子浓度在界面处极低，最大值 出现在体内，使得载流子与界面的平均距离较经典的情况下相差a z ： 应- 一毛 根据文献【3 8 】瓦。和i 凶分别代表反型层中的经典和量子厚度： 一3 七r 缸。面 1 9 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 。9 h 2 1 其中，j 0 为反型沟道纵向有效电场眺巩叫： 一亡+ 丢) 电场在& 上会产生额外的压降九，使得阚值表面势在强反型时由经典情况的 破一- 2 办，变化为考虑量子效应的： - 2 办+ a ( 2 4 7 ) 根据q m 模型，要使表面反型层载流子电荷面密度q 等达到和经典模型得到的强反型时反 型载流子面密度q ：嚣同样的值，则要加上由于q 2 一q ：孑这部分电荷出现引起的谚p ， 因此可以将这种差异表达为【1 l ： 矿一等- n 吲 ， gi 蟛j 这样，通过带入不同的肌值解方程( 2 - 2 7 ) 、( 2 - 2 8 ) 、( 2 - 3 1 ) ，得到不同掺杂浓度下的反 型层电子浓度q 孑，再带入式( 2 - 4 8 ) 计算修正后的表面势增量。和以。之 间的关系曲线以及a 口p 和q ，( q ：孑+ ( k ) 之间的关系曲线分别如图2 - 1 1 和图2 - 1 2 所示： 0 6 今o 5 栅0 - 4 漕nr 麟 者o z 懈o 1 0 i e + 1 8 l o + 1 9l o + 2 0 掺杂昧度 图2 - 1 1 a 与沟道掺杂浓度以的关系 2 0 考虑量子效应的m o s f e t 器件模型建模及验证 00 0 0 40 0 0 80 0 1 20 0 1 6 0 0 2 总电荷岛研a 而 图2 - 1 2 与总的电荷q ! s 之间的关系 最后经过曲线拟合我们得到严和掺杂浓度。的关系为： 矿鸭鸲静+ 4 2 ( 静