（基础数学专业论文）超对称量子力学及其几何结构.pdf

摘要 带超对称的物理模型与数学结构，尤其是几何和代数结构，有 着密切的联系。椭圆算子的a t i y a h - s i n g e r 指标定理 1 】，欧拉示性 数，流形的指示，t 0 d d 亏格，h i r z e b r u c h 指标，亏格等等，都可以 通过简单的超对称量子力学模型来形式地得到3 - 5 。 在本文中，我们将通过超对称量子力学模型，用物理的方法具 体的导t 丑g a u s s - b o n e t 公式，h i r z e b r u c h 指标公式和l e f s c h e t z 不动点 公式，并指出边界条件在路径积分中其中扮演的重要角色，以及模 型中如何将物理的算子实现为几何的对象。为了导出l e f s c h e t z 不动 点公式，我们采用了一个不常见的边界条件，是圈空间的一个自然 推广。 文章的结构安排如下：第一章，我们介绍一下超对称量子力学 的定义和一般性质；第二章，考虑黎曼流形和k h l e r 流形_ 卜的超 对称量子力学模型及其对应的几何结构；第三章，利用第二章的模 型，通过物理的方法得到如g a u s s - b o n e r 公式，h i r z e b r u c h 指标公式 和l e f t s c h e t z 不动点公式。 关键词：超对称量子力学，指标公式，边界条件。 a b s t r a c t p h y s i c a lm o d e l sw i t hs u p e r s y m m e t r ya r ek n o w nt oh a v ec l o s er e l a t i o n w i t hm a t h e m a t i c a ls t r u c t u r e s ，e s p e c i a l l yg e o m e t r i c a la n da l g e b r a i cs t r u c t u r e s t h ea t i y a h - s i n g e rf o r m u l ai l 】f o rt h ei n d e xo fd i r a co p e r a t o r sa sw e l l a st h ei n d e xf o r m u l a ef o re u l e rn u m b e r ，s i g n a t u r e ，t o d dg e n u s ，h i r z e b r u c h x ”一g e n u sc a nb ed e r i v e df r o mas i m p l es u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c a l m o d e l 【3 _ 5 1 i nt h i sp a p e rw es h o wh o wt oe x p l i c i t l yd e r i v et h eg a u s s - b o n e t ，h i r z e - b r u e ha n dl e f s c h e t zf i x e d p o i n tf o r m u l a ef r o mt h es u p e r s y m m e t r i cs i g m a m o d e la n dp o i n to u tt h a tt h ec h o i c e so fb o u n d a r yc o n d i t i o n si nt h ep a t ha r e c r u c i a lt ot h ep a t hi n t e g r a lc a l c u l a t i o na n dc a nb er e a f i z e da sc l a s s i c a lo p e r - a t o r so nt h eg e o m e t r i co b j e c t s as p e c i a la n du n f a m i l i a rb o u n d a r yc o n d i t i o n i sc h o s e ni no r d e rt od e r i v et h el e f s c h e t zf i x e d - p o i n tf o r m u l a t h eo r g a n i z a t i o no ft h ep a p e ri sa sf o l l o w s ：i nc h a p t e r1 ，w eg i v ea q u i c kr e v i e wo ft h ed e f i n i t i o no fs u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c sa n di t s g e n e r a lp r o p e r t i e s , i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h es u p e r s y m m e t r i cq u a n t u m m e c h a n i c a lm o d e lo nr i e m a n nm a n i f o l da n dk s h l e rm a n i f o l da sw e l la si t s g e o m e t r i c a ls t r u c t u r e ；i nc h a p t e r3 ，w eu s et h em o d e ld i s c u s s e di nc h a p t e r 2t od e r i v eg a u s s b o n e t ，h i r z e b r u c ha n dl e f t s c h e t zf i x e d p o i n tf o r m u l a eb y p h y s i c a lm e t h o d k e y w o r d s ：s u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c s ，i n d e xf o r m u l a ，b o u n d a r y c o n d i t i o n n l 致谢 在导师胡森教授的指导下，我从2 0 0 3 年开始接触到数学物理 这个令人兴奋的交叉学科，并开始了关于拓扑场论和拓扑弦论的 学习和研究。在这几年的学习和工作中，胡森教授渊博的知识，敏 锐的洞察力，平易近人的作风都给我留下了非常深刻的印象，使我 有机会了解到现代数学的很多分支和发展。本文正是在他的悉心 指导下完成的；凝聚了他大量的心血。作者谨向他致以崇高的敬意 和衷心的感谢! 在此，我还要感谢孟国武教授，在本文的整个过程中，他的宝 贵意见和建议给予了很大帮助；感谢闫沐霖教授，他传授了很多物 理的专业知识使我受益匪浅；感谢陈岸波，杜字，俞华山，吴伟强， 张永超，阳燕红，马文晔等，与他们在一起的讨论及生活带给了我 很多快乐，也使得论文能够顺利完成；感谢在科大上海研究生院朝 夕相处的朱琴，沈昱等，她们在日常生活中给我提供了很多方便。 同时，数学系的系领导和老师在学习和生活上给予了很多鼓励和 帮助，此一并表示感谢。 最后，我要向我的父母，家人表示深深的感谢，感谢他们三年 来对我的支持和鼓励，使我能够安心学习并顺利完成学业。还要感 谢我的女友李雪静，她长期的陪伴和关怀给了我勇气和信心。 第一章超对称量子力学 1 1 超对称量子力学的定义 我们考虑一个量子力学系统，哈密顿量为日f 0 c k 空间为h 。数学上，这 个最简化的系统中的f o c k 空间为一个希尔伯特空间，又称为态空间，空间中 的元素称之为态。哈密顿量为这个希尔伯特空间上的厄米算子，它的特征值 称为相应特征向量的能量，通常要求能量有下界，其最低能量的特征向量称 为基态，其他特征向量称为激发态。我们称这个系统是一个超对称量子力学 系统如果： 1 h 有一个分解? - = 7 - 1 日0 咒f 。7 - 1 且中的态和“f 中的态分别叫玻色 态和费米态。另外还存在一个算子f 使得 ( 一1 ) f 皿= 皿如果皿f b，、 ( 一1 ) f 皿= 一皿如果田f f 卜叫 f 和( 一1 ) f 称为费米数算子和手征算子。 2 存在n 个算子q 7 ，i = l ，n ，使得 q ，q 。：f b _ 7 - t f ， q i , q ：f f _ 7 - l b ， ( 一1 ) f ，q 7 ) = ( 一1 ) f ，q 。) = o ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) q 7 称作超对称荷或超对称生成元，q 7 是q 1 的厄米共轭算子。对于两个希尔 伯特空间上的算子a ，b ，我们记 a ，b 三a b + b a ，m ，b 】三a b b a 以下均采用这个记号 3 超对称生成元满足如下的超对称代数关系： q i , + ) = 2 5 i j h ( 1 5 ) q i , q 。) = q n ，q 以) = 0 ( 1 6 ) i , j = l ，一，n 一个量子系统如果满足如上三个条件就称为有n 个超对称的量子力学系 统。 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章超对称量子力学 1 2 超对称量子力学系统的一般结构 1 2 超对称量子力学系统的一般结构 简单起见，假设我们考虑的超对称量子力学系统只有一个超对称荷q 。 对于含多个超对称荷的系统的讨论与此类似。 命题1 2 1 哈密顿量算子服一个非负算子 证明： 11 日= ； q ，q ) = ；( q q + q + q ) 因此，对于任何态皿7 ，我们有 ( 霍，日m ) = ；( 皿，q q + q + q 皿) = ；( q ，q t 皿) + ；( q 皿，q 皿) 0 这里，( ，) 指的是希尔伯特空间f 上的内积。 命题1 2 2 一个态是零能量态当且仅当它是q 和的零特征向量 口 h k 0 = 0 = = 争q = q 皿= 0 ，v 皿7 - ( 1 7 ) 证明：对于态皿7 - ，假设我们有日皿= 0 ，则 ( m ，日皿) = 0 因此 2 ( 皿，日皿) = ( 皿， q ，q ) 皿) = ( q 皿，q 皿) + ( q 皿，q m ) = 0 q 皿= q t 皿= 0 最后一步是由于希尔伯特空间f 上的内积的正定性。 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章超对称量子力学1 2 超对称量子力学系统的一般结构 则 反之，如果 i j 是q 和q + 的零特征向量， q 皿= q t 皿= o 即皿是零能量态。 肿= ；豫) 霍= o 口 物理上，这个性质描述为：在超对称量子力学系统中，零能量基态等价 于超对称不变态。因此，这种态我们通常也称为超对称基态。 考虑希尔伯特空间按哈密尔顿算子( 能量算子) 的特征空间分解 h = o 州( 。) ，h i h 扣) = 晶 ( 18 ) n = 0 t 我们约定岛= 0 e 1 0( 1 1 3 ) 注意到，在超对称基态，由于算子q 。的平方是0 ，玻色超对称基态和费 米超对称基态不一定一一对应。w i t t e n 指标正是为了衡量这种差异程度，其 定义为 t r ( 一1 ) f e 一阳= d i m t l g o ) 一d i m t - l 品o ) ( l 1 4 ) 很容易验证，这个定义与卢的值无关。物理上，w i t t e n 指标极为重要，由 于玻色态和费米态有如方程( 1 1 3 ) ) 的对应关系，它在理论的连续变化下不 变，因此给出超对称是否破缺的一个重要指标。 现在我们考虑超对称量子力学系统的复形结构。由于q 2 = 0 ，我们有一 个易一分次的复型 h f 旦h 日旦咒p 三 b ( 1 1 5 ) 因此，我们可以考虑这个复型的上同调 日日( q ) ：= 丽k e r q 矾叭= 篇 7 y b _ 咒f h f _ 7 - b 咒p _ 8 7 - 1 b _ h f ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 式( 1 1 5 ) 中的复型可以按哈密尔顿的特征值分解- 在激发态( 非零能量态) “( 。) 我们有 ( q q + q q ) ( 2 e ) = 1( 1 1 8 ) 其蕴含了在激发态，q 一上同调是平凡的。然而，在零能量基态咒( o ) ，微分算 子是平凡的，q = 0 ，因此 性质1 2 4 h 茸( q ) = h 品) ，h f ( q ) = 咒品) ( 1 1 9 ) 最后，我们给出w i t t e n 指标的路径积分的表达式。 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第一章超对称量子力学 1 2 超对称量子力孝系统的一般结构 性质1 2 5 t r ( 一1 ) p = t r ( 一1 ) f e p 日= d x d c d c e s s ( x ，t 知( 1 2 0 ) j p 这里，s l 是欧式作用量，即把拉氏量作w i c k 转动t 一一计后在一个区间i 上的 积分。x 代表玻色场，妒，巧代表费米场，均为区间i 上的函数，不同的是，费米 场是取值在g r a s s m a n i a n 数中的，满足反对易关系 妒，妒) = 妒，巧) = 硒，硒) = 0 积分线下的p 表示周期边界条件： x ( 卢) = x ( o ) ，妒( p ) = 妒( o ) ，西( p ) = 西( p )( 1 2 1 ) 这个积分表示在所有的这样的函数空间上做积分。由于这是一个无穷维的积 分，对于很一般的测度数学上还没法严格定义，因此是物理上一个形式的写 法。 第二章流形上的超对称量子力学 2 1n - - - - 1 超对称：黎曼流形 这一节我们讨论黎曼流形上的超对称量子力学结构，又称为超对称盯一模 型。它不仅是物理上很重要的模型，而且还蕴含着丰富的数学结构。 ( m ，g ) 是一个可定向的紧致的n 维黎曼流形，g 是给定的度量。i = 【o ，卅 是给定一区间。玻色场定义为光滑映射： 妒( t ) ：i - m 用局部坐标写，可以表达为z 7o 咖= 7 。这里， 。7 ) ，i = 1 点附近的局部坐标。费米场定义为截面 妒，妒r ( ，+ t m o g ) ( 2 1 ) n ，是m 上某 ( 2 2 ) 通过这里定义的玻色场和费米场，我们可以构造一个拉氏量 l ( t ) = j 1 卯j ( 妒) 矿$ j + ；卯j ( 毋) ( 西。d t 妒j d t 币7 妒j ) 一：r j 耳工( ) 妒7 妒j 币x 币l 我们采用爱因斯坦求和约定，上下指标相同的表示求和。这里，在m 上某点 附近，我们采用了局部坐标 茹。) ，j = 1 ，n 。$ 。表示为丢7 ，依次类推a 在 此坐标下，费米场局部可以按分量写出 妒= 妒7 刍小巧刍 度量g 可以表达为 9 5g j 如i d x j 定义9 7 。是卯j 的逆，即满足 g i j g “= 6 d t 妒7 = 岳+ r k 矿砂耳，r k 是由度量g 诱导的联络 屯= ih a j g l x + 8 k g 旷8 l g j k 、 6 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 第二章流形上的超对称量子力学2 1n = 1 超对称：黎曼流形 这里巩表示刍。d t 正是m 上的切从的l e v i - c i v i t 溅络诱导到其拉回到i 上的 丛的联络。岛j 耳l 是对应的黎曼曲率张量 r i j k l = g j s 兄l ，r l 耳= a i r 之f o r r l j _ 一r ；，r 鲁s + r 鲁f r ，s 由于整个构造都是协变的，拉氏量l 与坐标的选取无关。 这个拉氏量在一个超对称变换下不变 6 = 面。一却7( 2 3 ) 6 妒7 = e ( t 矿一r 5 西。妒) ( 24 ) 砸7 = e ( 一t 一r ；耳币。妒) ( 2 5 ) e 是任意常数。由n o e t h e r 定理可以得到这个对称性的守恒量，即为超对称荷 q = i g 市。= t 币7 乃( 2 6 ) 国= 一i g 妒7 岳7 = 一l 妒7 日( 2 7 ) 日= 9 矿是扩的共轭动量。 经典量子化后，这些场都将变为算予，并且算子间有如下的对易关系 黪碧薯爹， c z 固 妒。，) = 9 7 费米数算子为 f = g l j 西i 妒 这个超对称量子力学系统有一个自然的希尔伯特空间 f ；q ( m ) o c 自然的厄米内积为 ( u 。，u 。) = 。a * w 2 j m 在这个希尔伯特空间上，场算予都是几何上熟悉的算子 西7 = 0 7 p j = 一t v j ：如a = g l j i 卫 a # j ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第8 页 第二章流形上的超对称量子力学21n = i 超对称：黎曼流形 真空态i o 定义为满足妒7 1 0 = o ，v i ，因此 l o h1 面。i o h 出。 巧1 伊i o hd x l a 出“ q = t 乃一d = d x 7 a v ， = 捌。马一d t = 一g t 击 刍 日= ； q ，国) 一；= ； d d t + d ) 容易验证，对易关系( 2 8 ) 和以上的对应相容，并且几个算子确实满足超对称 量子力学的条件 q ，q t ) = 2 日 q ，q ) = q ，q ) = 0 【f i h 】= 0 容易验证，费米数算子作用在p 形式上是常值算子 f i p 2 c m ) o c 三p 因此，希尔伯特空间中的费米态为所有的奇次形式，玻色态为所有的偶次形 式。 很明显，超对称基态为满足条件 h e = 吐= 0 的微分形式t f l ，即有 7 - ( 0 ) = h ( m ，9 ) = oh p ( m ，g ) ( 2 1 2 ) p = o h ( m ，g ) 是黎曼流形上的调和形式，h p ( m ，9 ) 对应的是调和p - n 式。 另一方面，通过上一章的讨论，我们知道，超对称基态和q - 上同调是同 构的，而这里，q 一上同调恰好是d er h a m 上同调。注意到费米数算子的分次 作用后，我们可以得到 h p ( q ) = 月( m ) ( 2 1 3 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第二章流形上的超对称量子力学 22n = 2 超对称：i m e r 流形 比较两个结果，这里蕴含着著名的d er h a m 定理 日( m ，g ) 型上噶r ( m ) ( 2 1 4 ) w i t t e n 指标在这种情况下也很简单，就是对应的流形的欧拉示性数 t r ( - 1 ) ff 5 h = e ( - 1 ) d i m h p ( q ) p = o n = ( 一1 ) d i m h d r ( q ) j 、 p = 0 = x ( m ) 2 2n - - - - 2 超对称：k s h l e r 流形 假设我们考虑的流形m 是一个k s h l e r 流形。它是一个复流形，j 是相应 的复结构，上面存在厄米度规g 和1 1 形式u ，满足相容条件 及k s h l e r 条件 u ( ，) = g ( j ，) ( 2 1 5 ) d w = 0 ( 2 1 6 ) i = 【o ，即是给定一区间。玻色场依然定义为光滑映射： 咖( t ) ：i m( 2 1 7 ) 由于m 是一个复流形，用某点附近的局部坐标写，可以表达为o 毋= ，旁o = 矿。这里，z ，i = 1 ，n ，是m 上的局部复坐标。费米场定义为截面 妒，币r ( i ，矿t moc ) ，( 2 1 8 ) 同样，费米场可以按复坐标分解：妒= - i - 妒，每= + 谚 通过这里定义的玻色场和费米场，我们可以构造一个拉氏量 l ( ) = ( 币) 9 i 矿- - 十z - ( 毋) ( 矿d t 杪一d t 妒杪) 一r , 3 t f ( ) 护矿秒( 2 1 9 ) 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页 量三兰堕矍圭竺垒兰竺兰兰窒兰! ! 兰些三! 兰些竺i 兰! 丝竺兰丝 这里，我们依然采用爱因斯坦求和约定。拉氏量的表达式中，我们选取了某 点附近的局部复坐标 z ，j = 1 ，几。秒表示为盖，依次类推。在此坐标 下，费米场可以局部如下写出 k h h l e r 度量可以表达为： 定义矿为的逆，即满足 g = g _ 3 d z d 尹 扩= 砖，扩鲰= 嚏 d t = 爱+ r ；t 妒c k , d t 矿= 丢杪+ 曝护这里，巧，曝为a 州e r 度 量诱导的联络 巧。= ；扩 岛鲰r + 仇毋r a 奶。) = 毋8 1 9 旺 弓i = ；扩 岛吼+ 缘斯一a 彩) = 矿6 j 吼 d t 正是m 上的切从的这个k a f e r 度量诱导的联络其拉回到i 上的联络。r 日k f 是 对应的曲率张量，在k h h l e r 度量诱导的情况下可以写成 r 瓣= 9 ：i i 磁r = 一舫即氧 由于整个构造都是协变的，拉氏量l 与坐标的选取无关。 这个拉氏量在两个超对称变换下不变( e + ，e ，是任意常数) 6 = e + 审一e 妒 6 t f ，= t t 一e + e 杪妒 6 伊= 一记- 一e 巧。痧扩 d 矛= 一4 妒7 + t 砸7 = 一钯：歹一碎咳护矿 ( 2 2 0 ) j 矿= 挺+ 矛一t r k 护砂 a|_锻a弘 妒 一妒 + + a一船a一弘 砂 = = 妒 一妒 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 1 页 第二章流形上的超对称量子力学 22n = 2 超对称：i f e r 流形 f h n o e t h e r 定理可以得到这个对称性的守恒量，即为超对称荷 暑；三舅搿筘搿 仁z ， q l = 妒扩q ! = 、7 他们相当于把黎曼流形的情况下的超对称荷按照全纯和反全纯作分解。如果 把复流形看作是一个黎曼流形，这些超对称荷与黎曼流形下的超对称荷的关 系为 q = t q 4 - i q j - ，q = t q + 一t q ! 容易得知，只= 9 日秒是秒的共轭动量，马= 9 j 护是的共轭动量。 经典量子化后，这些场都将变为算子，并且算子间有如下的对易关系 黔岩l 刍：扩易男l 孳西 c z 抛， 妒，硒5 ) = 护= 矿 1 i f j 7 ，护) = g 西 、。7 因此，量子化之后，超对称荷算子又可以表示为 终2 塑曼；。盟 ( 2 2 3 ) q l = 矿马q ! = 妒弓 卜7 费米数算子在k i l h l e r 流形的情形，也可以推广为两个算子。注意到拉氏 量有转动对称性 荔= ；：荔荔= e i 恤( a ：三荔 c 。z a ， + ( 一a 一口) _一p ) 舻 ”一7 其中，口，口是常数。由n o e t h e r 定理很容易得到对应的守恒量 z 三舅舅荔：舅荔劣 c z ， i 巳= 蹰妒+ 杪矿 p 量子化之后对应的就是两个生成元算子。f 就是费米数算子，凡是新的u ( 1 ) 的 荷。利用式( 2 2 3 ) 容易验证，这两个算子与超对称算子满足如下关系 【f v ，q 士1 = 一q 士【f v ，q 岛= q 主 【f 4 ，q 士】= 千q 士【尸a ，q i 】= 士q 垒( 2 2 6 ) 【f y ，f a 】- 0 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 2 页 第二章流形上的超对称量- i - 2 学 22n = 2 超对称：耳i f e r 流形 这个超对称量子力学系统有一个自然的希尔伯特空间 f = q ( m ) 固c( 2 2 7 ) 自然的厄米内积为 ， ( t 0 1 ，忱) = o l a * w 2( 2 2 8 ) j m 在这个希尔伯特空间上，可观测量都是几何上熟悉的算子 一d 一矿一d 茅 扩h 旷卫扩h 6 卫 d 玎口f 真空态i o 定义为满足咖。i o = o ，w ，因此真空态对应于单位元1 。一个一 般的态 仉。i p 五矗妒”妒却1 。1 0 则对应于m 上的( p ，q ) 一形式 叩= 叩t 1 i ，五j ；d z 1a a d z 印a d 尹1a ad 护9 对予这种( p ，q ) 一形式的态，很容易验证，f v 和f _ 算子作用在上面是一个常 数 f p q = ( 一p + g ) 卵，乃7 = ( p + 口) q 由于算子r ，以相互交换，我们得知希尔伯特空间可以按它们的特征值同时 对角化，正是k s h l e r 流形上的分解 f = q ( m ) 。e = 0 俨4 ( m ) 乃f v = - p + 。) 渺上 乃= p + 口j 。 、。 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 将前面所得的算子全部表达到这个自然的希尔伯特空间上，可以得到如下的 对应关系 q ， q 三 q ! q + 西只一一 a = d z ( - i 刍) 巧i b 一一t 5 = d 手( - i 未) ht 伊 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第二章流形上的超对称量子力学 2 2n = 2 超对称：k a h l e r 制j 另外，哈密尔顿量满足的对易关系恰好是k i i h l e r 流形上不同微分算子相同 的拉普拉斯算子 日= q l ，q + = a 伊+ 伊5 = 6 = q ，q ! ) = a a t + 伊a = a o 2 ； q ，q ) 2i ( d d t + d t d ) 5 ；a 容易验证，对易关系( 2 2 2 ) 和以上的对应相容，并且几个算子确实满足超对 称量子力学的条件。很明显，超对称基态，即哈密尔顿算子的零本征态，为 满足 爿啮= a 曲= 0 的微分形式妒，即对应为调和形式 n h ( o ) = h ( m ，g ) = o 俨9 ( m ，9 ) ( 2 3 1 ) n q = o h ( m ，g ) 是k a h l e r 流形上的调和形式，王p ，q ( m ，g ) 对应的是调和( p ，q ) 一形式。 由于日= q i ，q + ) ，通过上一章的讨论，我们知道，超对称基态和q i 一 上同调是同构的，而这里，q i 上同调恰好是d o l b e a m t 上同调。注意到费米 数算子的分次作用后，我们可以得到 4 ( m ，g ) = 日；( m ，q p ) ( 2 3 2 ) 这即是著名的d o l b e a u l t 定理。 w i t t e n 指标在这种情况下依然对应的流形的欧拉示性数 2 r ( 一1 ) n e 一4 f = ( 一1 ) 舛。出m 日”( m ，9 ) a q = o = x ( m ) 由于我们有两个费米荷f ，r ，我们可以定义推广的w i t t e n 指标 n ( ( 一1 ) ( 一即f + 即e 一口h ) = ( 一1 尸y q d i m h 9 4 ( m ，9 ) p 口 正是流形m 的x ，亏格。 第三章几何上的一些应用 3 1g a u s s b o n n e t 公式 我们考虑黎曼流形( m ，g ) 上的超对称量子力学模型。拉氏量如下给出 l = i 1 9 + i 卯j ( 妒) 痧7 d t 一：岛j k l 妒。妒。西耳护 ( 3 1 ) 这里我们选了一个更简洁的拉氏量形式，与式( 2 1 9 ) 差一个全微分，因此不 影响讨论的结果。通过w i c k 转动t 一一i t ，得到 = 0 4 出协1 毒j + g l j 巧1 d t 矿+ 1 咖缈护) ( 3 2 ) 由= f w i t t e n 指标与j 8 的值无关，我们让卢一0 ，则由式( 3 2 ) 知路径积分 的贡献将主要集中在常值映射，即满足毒= o 的映射的附近。我们把场在常 值映射附近作f o u r i e r 展开 毒。= 。：+ 伽e 2 ”“朋 n 却 币7 = 瑶+ 识e 晰岬 n # o 妒7 = 3 1 4 “+ 碟e 2 玎4 n # o ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 级数展开中的系数矽和p 川的选取是为了保持一级近似，使得积分结果最 后与卢选取无关。我们先积分积掉所有的非零模o ：，以，以，n 0 ，然后再积 零模n 5 ，“，弼。由于路径积分与参数选取无关，我们可以在作展开的点附近 选法坐标。把上面的展开代回式( 3 ，2 ) ，我们得到 岛= f 掣。：( ) + ( 2 ”n 1 ) 弼织) + 五1 忍心c ( 。5 ) “蚵褡谐+ d ( 卢) ( 3 6 ) n # o 、 7 非零模的积分结果给出1 ，这也是由于超对称的一般性质。零模的积分 给出 x ( = n ( 一1 ) f e - f l h = 酽1 j 厂d ( y 。z ) 耳4 坩如孑e z p 一i 1 而肼c ( 引i v 制i j 7 k t l ) 1 4 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三章几何上的一些应用3 2 h i r z e b r u c h 指标 n 是流形的维数。如果n 是奇数，上面的式子显然是零；如果n 是偶数，上面的 表达式变为 x ( m ) = t t ( 一1 ) f e 一盯 = i ；j _ ：i ； i ；，i 厂d c y 。z ， j l j m ”s 耳l l l 耳m l “兄 。- k - 。t r “。 。k 。c 。，n = 凯， 这正是g a u 8 s - b o n e t 公式 7 1 。 3 2 h i r z e b r u c h 指标 考虑黎曼流形( m ，9 ) 上的超对称量子力学，拉氏量为 l = 尹1函。+ t 卯一( 西) 币取矿一：兄删l 妒。妒7 俨俨 ( 3 7 ) 注意到拉氏量有一个离散对称性西一妒。我们用r 来表示这个对称变换的算 子。在黎曼流形上，我们有h o d g e - + 算子作用在微分形式上 十：舻m q ”p m ( 3 8 ) 对于妒= 士妒，知d z 1a a d x 如， 妒两1 。舌。扣，驴南枷邯 这里 知= g 埘1 g i p j p l ，o j 南 ( 3 1 0 ) 特别的，+ 1 = d ( v 0 1 ) ，这里d ( y o f ) 表示体积形式 d ( v 0 1 ) = 俩如1 a a d x ” ；j 1 ， d x 1 d x k 。而一 ” ”。 观察到我们定义的算子r 交换妒和巧，因此将真空态l o 变为被算子硒 消灭的态。表达在微分形式上，这个态正是体积形式d ( v 0 1 ) ，因此 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 6 页 第三章几何上的一些应用牺2h i r z e b r u c h 指标 对于一般的态 r 的作用给出 妒：j 1 南妒l o 妒5 两南妒州o 脚= 刍南妒”。顿y o j ) = 舻1 。如步抽刍 班妒i 。 = 两1 ，知i 而1 尹g 西靠妒l - - 护”i 。 = 如果表达在微分形式上，算子r 正是h o d g e - s t a r 算子。由此我们可以得至l j h i r z e b r u c h 指标的表达式： r ( a f ) = t r r ( 一1 ) p e p 玎= n 8 2 0 ( r = + 1 ) 一n e = o ( r = - 1 ) ( 3 ，1 2 ) 现在我们用路径积分来推导h i r z e b r u c h 指标。为了更明显的表达这个离 散对称性，我们重新定义费米场 舛= ；( 巧7 + 妒1 ) 妒三= ；( 事7 一妒7 ) ( 3 ，1 3 ) ( 3 ，1 4 ) 拉氏量变为 l = ；g l j 函7 毒j + i 卯，以玩蛾- i g l j 虻d t 记一1 帆妒州t f i v ( 3 1 5 ) 离散对称性重新表达为 1 ；f l + h 妒+ 妒一卜+ 一妒一 通过物理上标准的一个办法可以得到 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) t r r ( 一1 ) f e 一口日= d c d l ：f i + d e e 8 ( 3 1 8 ) j b c 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 第三章几何上的一些应用 32h i r z e b r u c h 指标 边界条件为 ( p ) = 妒( o ) 妒+ ( p ) = 妒+ ( o ) 砂一( p ) = 一妒一( 0 ) 经过w i c k 转动t _ 一i t ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) = o ad t ；肌声7 乒j + g z j 舛d t 饵咄，忙d t + ；r i j k l 以碳贮矿( 3 2 2 ) 这里不同的是，由于边界条件( 3 2 1 ) 的选取，妒没有常值模。f o u r i e r 展开 因此也有所不同 = z 5 + 怕n 护础4 ( 3 2 3 ) n # o 饵5 南珏+ n # 0 蛾e 2 州卯 j = 互1 e 母州t 稚+ 妻碡秒岬 n # 0 ( 3 ，2 4 ) ( 3 ，2 5 ) 远弹展升点z 6 | i | | 近的法坐标，将兵膂抉到式( 3 ，2 2 ) 中，仔细处理_ d 中联 络项，保持最低阶的近似，我们得到 岛= ；( 2 仃n ) 2 ( a ：) + + ( 2 删) 妒! 。以一2 n n i y j - 。碾 一夏；q c ( ) + + 戛( 去q 耳。一，r t k c ) ”磊一t 砖 + e 扣( 一去q 耳c + 警如c ) 杩谐+ d ( 卢) 其中 n k l = r j j l 弼锚j 把a 。，( o 。) 积分积掉得出 i id e t 一1 ( ( 2 7 r n ) 2 j n q ) d e t 一1 ( ( 2 丌n ) 2 ，+ n q ) b 0 ( 3 2 6 ) 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 8 页 第三章几何上的一些应用 3 3l e f s c h e t z 不动点公式 l 嘎 o d e t ( 陬妒吖如t ( e 扣( 剐 y o d e t ( 。俐一( 扣而忉如t ( - 2 ，r n i - ( 扣柑) ) ) 把所有的结果放到一起，有 拙( 疹( 扣删黔。( ，+ ( 警) 2 ) 拙( ，+ ( 分) 为了计算如上的表达式，我们假设砉q 有特征值x j 并利用公式 & n h x = z l - i ( - + ( 翥) 2 ) ( 3 z ，) c o s 吣缈( z 一；”) 飘( + ( 掣) 2 ) 协z s ， 得出 耳畿 ( 3 2 9 ) 最后将弼和茁6 积分，得到路径积分的最后计算结果 r ( m ) _ t r r ( 一1 ) f e 邓日2j md ( ) j ( 酬) i i 石 ( 3 3 0 ) 一，山儿忑j 3 3l e f s c h e t z 不动点公式 这一节。我们利用路径积分方法证明l e f s c h e t z 不动点公式。 设，：m m 是一个紧致可定向流形到自身的光滑映射。h 4 ( ，) 为诱导 在上同调日4 ( m ) 上的映射。l e f s c h e t z 数定义为 l ( ，) = ( 一1 ) a t r h 4 ( ，) ( 3 3 1 ) 口 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 9 页 第三章几何上的一些应用 5 3 3l e f s c h e t z 不动点公式 在瀚某个不动点p ，微分( d f ) p 是切丛在这点纤维2 1 p m 上的自同态。不动 点p 的重数定义为 即= s g nd e t ( ( d f ) v i ) ( 3 3 2 ) l e f s c h e t z 不动点公式表达为 l ( ，) = 即 ( 3 3 3 ) p 如果f 由m 上的向量场生成，( 3 3 3 ) 可以通过修改超对称量子力学的拉氏 量，增加一个与向量场有关的量，但是依然保持超对称来得到。这里，我们 将直接通过黎曼流形上的超对成量子力学模型来得到。 同样，从拉氏量出发 l = + 尹i( 多) 每7 d t 矿一扣d t ( ) 审。矿一；r 肌。妒。节。俨护( 3 3 4 ) 仔细观察h q ( f ) 作用在态上的形式， 日9 ( ，) 妒叱。，( z ) d z 1a a 出如 n ， ， = 知( f ( z ) ) d f q ( z ) a a 矿1 ( z ) i l j 4 其效果正好是 咖- - - - - ，( 妒) 妒，( 妒) 巧为视为丁m 的光滑截面。 通过量子场论的标准办法，我们得到l ( ，) 的路径积分表达式 l ( f ) = t r h ( ，) ( 一1 ) f e 一阴 = | d c d ( b d c e _ 5 b j b c 边界条件为 ( p ) = ，( 妒( o ) ) 妒( 卢) = ( 妒( o ) ) 妒( 口) = 妒( 0 ) ( 3 ，3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 ，4 1 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 第三章几何上的一些应用3 3l e f s c h e t z 不动点公式 欧式拉氏量与以前一样 = z 4 出( ；，声7 函7 + ；卯，( b z d t 妒j - 主1 ，d t 西7 妒。+ ；见，c 妒7 妒。巧西) 由于边界条件( 3 3 9 ) ，路径积分的贡献将主要集中在到f 的不动点的常值 映射。按照边界蘩件作模展开 = v - 万( t f l ( x o ) - i - ( 1 - _ t ) z 5 ) + 穆口：e 2 舢伊 ( 3 4 2 ) 移k 扼( e t a 、，i ，( b j q - 巧：e 2 删卯 ( 3 4 3 ) n 0 妒k 讵“+ 织矿“垆 ( 3 ，4 4 ) 件# 0 这里，形式上，矩阵a 和f 的关系为 e “= d f ( x o )( 3 4 5 ) 选择法坐标，将展开式带回作用量，保持最低阶，我们得到 & = ；茁5 ( a j ，( 。) 耳一擘) ( 铅，( z 。) 。一眩) z g g o ( ( e ) ：一醇) 弼 + 非零模+ 高阶项 玻色和费米的非零模的积分相互抵消。在不动点附近z o 的积分将给出 、d e t - 1 ( ( d r 一眇( d r 一瑚 将费米零模积分得出 d e t ( d ，一，) 把所有结果放在一起，我们得到 工( ，) = ( 一l r t r h q ( f ) = t r h ( ，) ( 一1 ) f e 一口h = ld c d ( b d c e - 5 8 = 莩面高蒜葡 = a p ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 1 页 第三章几何上的一些应用33l e f s c h e t z 不动点公式 即为l e f s c h e t z 不动点公式。 参考文献 1 】m f a t i y a ha n di m ，s i n g e r ，b u l l a m m a t h s o c 6 9 ( 1 9 6 3 ) ，4 2 2 ； m f a t i y a ha n di m s i n g e r ，a n n ，m a t h 8 7 ( 1 9 6 8 ) ，4 8 4 ；i b i d ，5 4 6 【2 】2e w i t t e n ：s u p e r s y m m e t r ya n dm o r s et h e o r y j d i f f g e o m 1 7 ，6 6 1 ( 1 9 8 2 ) 1 3 】l a l v a r e z - g a u m e ，s u p e r s y r n m e 咖a n d t h e a t i y a h s i n g e r i n d e xt h e o w m ，c o m m m a t h p h y s 9 0 ( 1 9 8 3 ) 1 6 1 d ，f r i e d a na n dp w i n d e y , s u p e r s y m m e t r