（概率论与数理统计专业论文）一类正倒向随机系统的卡尔曼滤波问题.pdf

山东大学硕士学位论文 一类正倒向随机系统的卡尔曼滤波问题 王光臣 ( 山东大学数学与系统科学学院济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文主要讨论了一类正倒向随机系统的线性递推滤波问题，碍到了一类卡尔曼 滤波方程，这是本文的核心内容我们假定状态”( t ) 用如下倒向随机微分方程( 简 记为b s d e ) 描述 ，一d y ( 0 = ( 口( t ) ”( t ) + b ( t ) ) d t z ( t ) d b ( t ) ， 【( ? ) = f b ( 丁) + m ， 0 ，卅， 对( t ) 的观测x ( t ) 服从正向随机微分方程( 简记为f s d e ) jd x ( t ) = c ( t ) y ( t ) d t + d ( t ) x ( t ) d t + f ( t ) d w ( t ) ix ( o ) = 0 ，v t f 0 ，刁， 然后采用卡尔曼和布西处理状态方程和观测方程均为f s d e 的滤波问题的经典递 推滤波方法( 参见阻 2 j 【3 】【4 j ) 当上述正倒向随机系统中的所有系数满足假设 ( h i _ h 2 ) ，并且 b ( t ) o s t 9 独立于 w ( ) d s t s r 时，我们得到状态笋( t ) 的最佳可澜 估计雪( f ) = e b ( 01 9 ( t ) j 满足f s d e i 曲( t ) + 【6 ( t ) + 马粹p ( t ) x ( t ) + ( 。( t ) + 蹦p ( t ) ) 洲出 - c f 梨( o p ( t ) d x ( t ) = 0 ， i 口( o ) = m l + m ，v t 【0 ，t i 其中p ( t ) 满足r i c c a t i 微分方程 r 声o ) + 2 a ( t ) p ( t ) + ；鬻p 2 0 ) 一唧 2 a ( r ) d r 1 2 = 0 ， 【p ( o ) = 0 ，【0 ，t l ； 山东大学硬士学位论文 而当 b ( 砖) o s t s t 和 w ( t ) o s t s 丁的相关系数p = 士1 ，且正倒向随机系统中的所有 系数满足假设( h 1 h 2 ) 时，我们得到的滤波方程与p = 0 的情形类似 我们也介绍了一个关于滤波方程稳定性( 参见【2 】) 的概念，研究丁一类简单正 倒向随机系统 j d y ( t ) = a ( t ) y ( t ) d t 一2 0 ) d b 0 ) ， iy ( t ) = l b ( t ) + m ，v t 【o ，卅， ja x ( t ) = c ( o 可( o d t - i - f ( t ) d w ( t ) ， ix ( o ) = 0 ，v t 【0 ，t 】 的滤波方程的稳定性，证明了当z ，m ，e ( ) ，f ( ) 满足( h 1 - h 2 ) ，且( - ) ，c ( - ) 和f ( ) 均不依赖于m 时，这类滤波方程具有稳定性 在本文的最后部分，针对一类简单正倒向随机系统，我们给出了状态最佳可测 估计蠡( t ) 的显式解，并证明了此类滤波方程具有稳定性 关键 砑t 布朗运动；高斯过程；r i c c a t i 微分方程；卡尔曼滤波；滤波方程的 稳定性；正倒向随机系统 i i 山东大学硕士学位论文 k a l m a n f i l t e r i n gp r o b l e mo fo n ek i n do ff o r w a r da n d b a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e m w a n gg u a n g c h e n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ) ( s h a n d o n gc m v e r s i 吼j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s so n ek i n do fl i n e a rr e c u r s i v ef i l t e r i n gp r o b l e mo f t h ef o r w a r da n db a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e m ，a n dg e tt h ek a l m a nf i l t e r i n ge q u t i o n a b o u tt h i ss y s t e m ：t h a ti st h em a i np a r to fo u rp a p e r w ea s s u m et h es t a t ey ( t ) i s d e s c r i b e db yt h i sk i n do fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u t i o n ( f o rs h o r tb s d e ) f - d r ( * ) = ( a ( t ) v ( t ) + b ( t ) ) d t z ( t ) d b ( t ) ， lv ( t ) = t b ( t ) + m ，v t f 0 ，丁1 ， t h eo b s e r v a t i o nx ( t ) o f ( t ) s a t i s f i e so n ek i n do ff o r w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u t i o n ( f o rs h o r tf s d e ) ld x ( t ) = c ( t ) v ( t ) d t + d ( t ) x ( t ) d t + f ( t ) d w ( t ) ， 【x ( o ) = 0 ，饥 0 ，t l ， t h e nu s et h ec l a s s i c a lr e c u r s i v ef i l t e r i n gm e t h o d ( s e e 【l 】， 2 4 】) w h i c hw a s o b t a i n e db yc a i m a na n db u c yw h e nt h e ys t u d i e dt h ef i l t e r i n gp r o b l e mo ft h ef o r w a r d s t o c h a s t i cs y s t e mw h i c hb o t ht h es t a t ee q u a t i o na n dt h eo b s e r v a t i o ne q u a t i o na l ea l l f s d e s w h e na l lt h ec o e f f i c i e n t so f t h ea b o v es y s t e ms a t i s 母t h ea s u m p t i o n ( h 1 一h 2 ) ， a n d b ( ) ) o s t ri si n d e p e n d e n to f w ( t ) o s t s r ，w eh a v et h eb e s tx m e a s u r a b l e e s t i m e n t 雪( t ) = e v ( t ) l g ( t ) 】o fv ( t ) s a t i s f i e sf s d e fd 雪( t ) + b c t ) + ! ；壤产p ( t ) x ( t ) + ( 口( t ) + ，c 1 2 。t j t ， ( t ) j 出 一器p ( t ) d x ( t ) = 0 ， i口( o ) = r a l + m ，饥f 0 ，列， w h e r ep ( t ) s a t i s f i e st h e c c a t i ( d e t e r m i m i s t i c ) e q u a t i o n ，户( t ) + 2 口o ) p p ) + ；鬻p 2 ( t ) 一e x p ( 2 f 口( r ) d r f 2 = o ， 【p ( 0 ) = 0 ，【0 ：刁； i i i 山东大学硕士学位论文 n e v e r t h e l e s s ，w h e nt h ec o r r e l a t i v ec o e f f i c i e n tpo f b ( t ) ) o t 茎ta n d w ( t ) ) o t ri s 4 - 1 ，a n da l lt h ec o e f f i c i e n t so fo u rf o r w a r da n db a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e ms a t i s f y ( h i h 2 ) t h ef i l t e r i n ge q u t i o nw eh a v eo b t 血e dh e r e i s a n a l o g o u st ot h ec a s eo f p = 0 w ei n t r o d u c eac o n c e p t i o no nt h es t a b i l i t yo fo n ek i n do ff i l t e r i n ge q u a t i o n ( s e e 【2 1 ) ，s t u d yt h es t a b i l i t yo f t h i sf i l t e r i n ge q u a t i o no ft h i sk i n do fs i m p l ef o r w a r da n d b a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e m i - d y ( t ) = n ( t ) 爹( t ) 一z ( t ) d b ( t ) ， 【y ( t ) = l b ( t ) + m ， 0 ，刁， jd x ( t ) 一c ( t ) y ( t ) d t + f ( t ) d w ( t ) ， ix ( o ) = 0 ，【0 ，t 】， a n dw ep r o v et h a ti t sf i l t e r i n ge q u t i o nh a st h es t a b i l i t yw h e nf ，m ，c ( ) ，f ( ) s a t i s f y ( h 1 一h 2 ) a n dg ( ) ，g ( t ) ，f ( ) d o n td e p e n do n m a tt h el a s tp a r to fo u rp a p e r ，w eg i v ea ne x p l i c i ts o l u t i o no f 口( t ) f o rt h i sk i n d o fs i m p l ef o r w a r da n db a c k w a r ds t o c h a s t i cs y s t e m f 幻= z ( t ) d b ( t ) ， 【y ( t ) = b ( t ) + m ，v t 【0 ，t 】， id x ( t ) = y ( t ) a t + d w ( t ) ， 【x ( o ) = 0 ，讹 0 ，明， a n dp r o v ei t sf i l t e r i n ge q u t i o nh a sa l s ot h es t a b ；l ；t y k e y w o r d s ：b r o w n i a nm o t i o n ；g a u s s ；a np r o c e s s ；r i c e a t id e f e r r e n t i a le q u a t i o n ； c a i m a n f i l t e r i n g ；s t a b i l i t yo ff i l t e r i n ge q u a t i o n s ；f o r w a r da n db a c k w a r ds t o c h a s t i c s y s t e m i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：毛耄缸 日期：丝! ：! ! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：。三毫匡导师签名： 鹾 山东大学硕士学位论文 第一节引言 所谓滤波，一般是指把污染信号里的噪声尽可能地过滤掉，从中分离出所需要 的信号滤波问题最早提出于第二次世界大战期间上世纪四十年代，维纳从原则 上到方法上给出了解决这个问题的一个途径，即所谓的”维纳滤波”这套方法在 第二次世界大战期间得到广泛应用，其不足之处在于：必须用到全部的历史观测数 据，存储量和计算量都很大；当获得新的观测数据时，没有合适的递推算法；很难用 于非平稳过程的滤波问题后来随着科学技术的发展，特别是空间技术的要求与电 子计算机及计算技术的发展，为进一步更完善的解决滤波问题提供了现实可能性， 在这种条件下，卡尔曼和布西等人于上个世纪六十年代提出了一种线性递推滤波方 法，即所谓的”卡尔曼- 布西”滤波( 参见【1 】，【2 】， 3 4 ) 它极大的克服了维纳滤 波的缺点，从而广泛应用于军事和航空等诸多工程领域最近几年来，随着金融数 学的发展，一些学者把卡尔曼滤波方法应用到在部分信息已知情形下的最优投资组 合问题中去，得到了许多经典结果( 参见 5 ， 6 f 7 】) ，从而在某种程度上推动了金 融数学的发展 对于正向随机系统的滤波问题，早在上世纪六十年代，卡尔曼和布西等人已给 出了许多经典的结果但对正倒向随机系统的滤波问题，至今为止还没有人去研究， 在这里我们就尝试着研究一类简单正倒向随机系统的卡尔曼滤波问题即，状态满 足一个倒向随机微分方程( 简记为b s d e ) j d y ( t ) = ( 0 ) g ( t ) + b ( t ) ) d t z ( t ) d b ( t ) ， 1g ( 丁) ：1 b ( t ) + m ，v t 【o ，t i ： 然后通过选择合适的状态观测的方程达到对状态估计的目的，这里我们用正向随机 微分方程( 简记为f s d e ) ld x ( t ) = c ( t ) y ( t ) 出+ d ( t ) x ( t ) d t + f ( t ) d w ( t ) ， lx ( o ) = 0 jv t 0 t j 描述状态观测 我们以如下顺序组织本文；第二节是关于一些预备知识；在第三节中，分别给 出了当状态方程和观测方程的两个噪声干扰相互独立和线性相关情形时的状态滤 波方程，这是我们的主要结果；第四节研究了一类简单滤波方程的稳定性；在第五 节中，我们针对一个简单正倒向随机系统，求解出了状态的滤波方程并验证了该滤 波方程具有稳定性 山东大学硕士学位论文 第二节准备知识 在这一小节，我们主要介绍几个定义和几个关键性的定理 定义2 1 一个m 维随机向量x 被称为高斯的，如果对任意n r ，銎l a i x i 是 高斯的 定义2 2 一个随机过程 x ( t ) ) o ! t ! t 被称为高斯的，若对任意自然敷n n ，存在 0st 1 t 2 kst ，使得妃一维向量( x ( t 1 ) ，x ( t 2 ) ，x ( t 。) ) 是高舷的。 下面的定理2 3 ，2 4 ，2 5 是前人已有的结果。其证明可分别参见【1 1 ，【8 1 ，阱 定理2 3 假定随机过程瓦：n - 4r 对所有的k n 是高斯的，且在l 2 ( n ) 中 风一x ，那么x 也是高斯的 定理2 4 令y ，x ( t ) ，v t 【0 ，t 】是l 2 ( p ) 中的随机变量，且假设( y ，x ( t o ，x ( “) ) 对所有的0st l t 女t ，v 1 服从( + 1 ) 一维高斯分布，那么 p r o j ( ) = e y t g 】= p r o i l ( y ) ， 其中p r 叮表示随机变量y 在空间c 和咒上的投影 定理2 5 若 x ( t ) ) 0 5 t t 是平方可积的高斯过程，则j ；：x ( s ) d s 也是高斯过程 定理2 6 假设f ( s ，u ) = f ( s ) 驴【o ，丁；q ，p 】仅依赖于8 ，v s 【0 ，丁 ，b ( t ) 是1 维标准布朗运动，则 一 v ( t ) = f ，( s ，w ) d b ( s ) j o 是高斯过程的 证明令 m ( t ) 圭 ，( s ”w ) ( b ( s i + o 一日( 黾) ) ，v t 7 0 ，t 】，( 2 1 ) o _ s l 5 件1 曼r 很明显m ( t ) 服从1 一维高斯分布；又m ( t ) - r ( t ) ，在驴( p ) 中，当a s i 圭 s i + 1 一s ：- 0 时，从而y ( t ) 也服从1 - 维高斯分布 要证y ( t ) 是高斯过程，只需证对任意0 t l t 2 t t t ，我们有 ( y ( t o ，y ( t 2 ) ，y ( “) ) 服从k - 维高斯分布即可，不妨令( m ( t o ，m ( 屯) ，m ( “) ) 在l 2 ( p ) 中的极限是( y ( t o ，y 慨) ，y ( “) ) 现在只需证明v a l ，a 2 ，h r ， 笔1a , m ( t i ) 服从1 维高斯分布，我们断言这是显然的事实上，总存在7 1 ，蚀， r 和i o ，t 旬的一个划分0st i 岛s “，使得 i m 凡m ( t t ) = 7 1 b ( t i ) + 竹( b ( 弓) 一日( 弓一。) ) 2 山东大学硕士学位论文 成立，易见断言正确 定理2 7 令 五( t ) 。t 耋7 是平方可积的高斯过程，则 ， x ( t ) 一x ( 5 ) 如 j o 也是高斯过程 证明令】，( t 圭x ( 8 ) d s 由随机积分的定义，v ；【ot n y ( t ：) = ，i 翌3 、，帆兰x s j ，2 i 其中o t l t 2 tk t 和。兰s 1 ( s 2 一 s 。，t ，分别是 o ，叫和 o t ； 的一个划分，5 ，= s y 一1 一s j 由x ( t ) 是高斯过程易知， ( x ( t ) + 恤“y i 赴) - - 】【“xc t t ) + “t 1 ) 是 一维高斯向量，从而其在2 ( p ) 中的极限 ( i y ( t 1 1 + 】( ，1 1 x f 如) + 】( t 2 ) ，x ( “) 4 - y ( “) ) 也是k 一维高斯向量，即x 一； x ( s ) 如是高斯过程 定理2 8 设 x ( t ) ) o 垤t 是一高斯过程，则o x ( t ) _ - b 仍是高新过程，其中d ，b r 且n 壬0 定理2 g 设 天( ! = ) ) o t ! r 和 1 7 。g 三? 是两个高斯过程，若工( 句扣l ) 相互独 立，则翼( + y ( t ) 是高靳过程 特别，假定0 ， x ( t ) 和y ( t ) 的相关糸数恒为1 ，也有x ( t ) + z ( t ) 是高斯的 证明对任意。兰t l t 2 o ； ( h 2 ) o ( ) 、6 ( ) b b ( o 丁：r ) ，! m r 且f 0 3 1 两个布朗运动相互独立情形 在这一部分，我们主要考虑当两个布朗运动( b ( t ) ) 0 r 和 w ( t ) o c r 相互 独立情形时的滤波方程 4 山东大学硕士学位论文 滤波问题是依据带噪声干扰的状态方程和观测方程来推断系统状态的问题，这 在本质上讲是一个估计，更确切的说是一种状态估计为此我们必须确定一个评选 估计量好坏的标准，这里选取最佳x 一可测估计作为标准，即存在一个口( t ) g ( t ) 使得 e ( t ) 一9 ( t ) ) 2 】= ；j e 【( ( t ) 一f ) 2 】 m 成立这样的9 ( t ) 若存在，它就是我们依赖观测 x ( t ) ) o ! t t 对 g ( t ) ) o c 。c t 所做 出的最佳x 一可测估计，这也是我们最终的寻找目标但用最佳x 一可测估计作为 标准处理我们的问题不太方便，注意到观测 x ( ) o c 。c r ，我们自然希望用最佳x 一 线性估计等价替代最佳x 一可测估计，这样的替代是否可行? 后面的证明给出了 肯定回答 3 1 1 最佳x 一可测估计等价于最佳x 线性估计 下面应用著名的非线性f e y m a n k a s 公式( 参见【1 2 ) 计算方程( 3 1 ) 的一对 f ( ) 一适应解( y ( t ) ，z ( t ) ) 首先引入一个f s d e d x ( t ) = d b ( t ) ， 【x ( o ) = 0 ，v t 【0 ，邪 很明显，x ( t ) = b ( t ) ，v t f 0 ，t 】 令 g 圭( t ，戈( ) ) ，# ( o ) = 汜支( t ) ) ，( 3 3 ) 由f e y m a n k a s 公式得到一个p d e 夏0 “：鬻12 tl x 二：帕v t 嚣0 丁， c s a ， 【u ( z ) = + m 【，丁 ”7 注意到u z ) = k + m ，不妨令u ( ，z ) = 口( t ) z + 卢( t ) ，根据( 3 4 ) 由待定系数法易 知 小+ n ( ) 。( t ) = o ，。( t ) = 2 ， 【口( t ) + 。( t ) 口0 ) + b ( t ) = 0 ，芦( r ) = m ， 则 o ( t ) = ie x p o ( s ) d s 和 即) = m 唧 ，t 1 巾) d s ) + ，t 2 b ( s ) e x p j 知) d r ) ， jj 2 山东大学硕士学位论文 将o ( t ) 和卢( t ) 代入( 3 3 ) 得 ( t ) = ( 1 b ( t ) + ”m ) e x p j 1 7a ( r ) d r ) + ，7a ( s ) e x p ，3 n ( r ) d r ) d s( 3 5 ) 和。( t ) = 2e x p f 。( s ) d s ) ，显然可( t ) 是一个高斯过程，4 t ) 是确定性曲 注3 1 由p 圳我们可以得到 y ( 0 1 = m l + m ， 其中 l = 二e x p z 7n ( r ) d r ) ，m - f o tb ( s ) e x p z 5 。( r ) d r d s ， 显然，此时y ( 0 ) 是确定性的 再来求解方程( 3 2 ) 的解x ( t ) 将( 3 2 ) 变形 d x ( t ) 一d ( t ) x ( t ) d t = c ( t ) y ( t ) d t + f ( t ) d w ( t ) 两边同乘以积分因子e x p 一片d ( s ) d s ) 后整理为 r tr t d ( x ( t ) e x p 一d ( s ) d s ) =c ( t ) y ( t ) e x p 一d ( s ) d s d t j 0j 0 + f ( t ) e x p 一d ( s ) d s d w ( t ) 。x ( t ) = e x p z 2 。( s ) d s ) ( z 2g ( s ) ( s ) e x p z 5 。( r ) d r ) d s + ：f ( s ) e x p 一s d ( 岫) 删( s ) ) = f o tc ( s ) ( s ) e x p i t d ( r ) d r ) 如 + z 2f ( s ) e x p i t d ( r ) d r ) d w ( s ) ( 3 - 6 ) 记 咖( t ) ：二z 2g ( s ) ( s ) e x p 。( r ) d r ) d s 7 妒( t ) 圭, o tf ( s ) e x p ，2 。( r ) 打) d w ( s ) 6 山东大学硕士学位论文 则 x ( t ) 兰西( t ) + 妒( 扎 易见v t o t 1 9 ( t ) 和妒( t ) 都是高斯过程由定理2 9 及其 b ( t ) ) o t r 和 w ( t ) 0 9 s t 相互独立，x ( t ) 为高斯过程 到此为止，我们已证明了x ( t ) 和y ( t ) 都是高斯过程可以肯定的说，此时最 佳x 一线性估计与最佳x 一可测估计一致，事实上，只需验证定理2 4 成立任取 【0 , t 】的一个划分岛 0 ，乩i = 1 ，2 ，( y ( t ) ，x ( s 1 ) ，x ( s ) ) 服从( k4 - 1 ) 一维 高斯分布等价于v 如r ，j = o 1 、女，有l o y ( t ) 4 - 享= 1a j x ( s j ) 服从1 一维高 斯分布因为 若记 则 。= 如妒( s ，) 由咖( ) 和# ( ，) 为相互独立的高斯过程，e 和垆都服从1 一维高斯分布且相互独立 从而z + 也服从1 一维高斯分布 3 1 2 新息过程 引入一个估计，这个估计是重要的，后面多次用到 命题3 2 若，( - ) 工2 【o ，t ，则有 e ( f ，( t 脚) ) 2 】 a 0 7 ，2 ( 棚扎 其中a 与，( ) 无关 证明下面的证明主要运用h s l d e r 不等式和i t 5 等距 令 a 1 圭e c 2 ( t ) 掣2 ( t ) 出】，a 2 圭e 【d 2 ( t ) x 2 ( t ) d t 】 j 0j 0 7 勺“b 。皿 +s “b 。m + fh | i x b 。崩 +f 掣h ，9 a ；芦 + 可o 入=丌 妒 +丌 i | 勺 x b 。 + 鲈0 山东大学硕士学位论文 则有 和 e ( 和町比瑚) 2 se 噱萨。阿2 0 皿1 o 尸( t ) 出 ，7一t r t a ，j c 出 e f ( ：r2 兰 f o t d 2 d ( t ) f ( t ) x ( t ) d t ) e d x 2 ( t ) d t 厂，2 ( t ) d t ooj o e f ( 2 兰( t ) x 2 ，2 j ：a z 扎 根据假设( h 1 ) ，存在一个正实数 4 a 使得 r ， e i ( ff ( t ) ，( ) d h 7 ( t ) ) 2 = e ，2 ( t ) f 2 ( t ) d t j 0j 0 = ，2 ( ) f 2 ( t ) d t 5a 3 ，2 ( t ) d t ， 其中a 1 ，a 2 ，a 3 均与歹( ，j 无关记a 三= 2 ( a 1 + a 2 + a 3 ) ，则有 e 【( ，( t ) d x ( t ) ) 2 】 = e ( z 7e ( t ) ，( 亡) ( d t + z 7 。( 亡) ，( x ( t ) 小+ z t f ( ，( t ) d w ，( t ) ) 2 】 r r 2 e 【( fc ( t ) f ( t ) y ( t ) d t ) 2 + 2 e ( d ( t ) f ( t ) x ( t ) d t ) 2 】 j 0，o 。 + 2 e ( t f ( t ) ，( t ) d i 矿( ) ) 2 s 2 ( a 1 + a 2 + a 3 ) ) ，2 ( t ) d t = a ，2 ( t ) d t 命题3 3c ( x ，丁) = e o + 譬f ( t ) d x ( t ) ，( ) l 2 o ，孔e 0 r 8 山东大学硕士学位论文 证明令川( x ，t ) = e o + 爿f ( t ) d x ( t ) ，( ) l 2 【o t 1 e o r ) ，只需证明 ( 1 ) m ( x ，t ) c ( x ，t ) ： ( 2 ) 朋( x t ) 包含了所有形如e 0 + 叁le i x t ，t i 【0 ，t 】的线性组合； ( 3 ) z 4 ( x ，t ) 是l 2 ( p ) 中的闭集 下面开始证明 ( 1 ) 取i m ( t ) = 銎1 。 “。) ( t ) 驴【o ，t i ，其中o q r ，0 s i s ms t ，m 1 ，则有 r r 仇 r r ：川d x o ) 2 萋j ( i s , , s i + l 小) 心( t ) m 。： 1 = l m 。， t = 1 d x ( t ) ( x ( s i t ) 一x ( 铂) 此时显然m ( x ，t ) l ( x t ) 成立 对于任意，( ) l 2 o ，t i ，总能找到一个初等函数序列 ( ) ) 。1 l 2 【o ，丁】，使 得，n ( ) 一致收敛到，( ) ，当n 一。时由命题3 2 知 e ( z 7 删聃知伽冽2 = e 【( ( ( t ) 一，( t ) ) d x ( t ) ) 2 a ( 厶( t ) 一，( t ) ) 2 d t a 7 t ( s u p | 厶( ) 一，( ) 限 t ( o ，丁】 其中与 ( t ) 一，( t ) 无关，t 【0 ，t i 由 r r e l ( a ( t ) d x ( t ) ，( t ) 搋( t ) ) 2 1 j 0j o 的非负性及其，九( ) 的一致收敛性得 厶础) 一z 7 f ( t ) d x ( t ) ， z 厶o ) 扰一z ， 在l 2 o ，引中，当n _ 时根据z ( x ，t ) 的闭性，对任意j ( t ) 蹦( t ) c ( x ，t ) ， 其在l 2 o ：t 】意义下的极限ff ( t ) d x ( t ) c ( x ，r ) 山东大学硕士学位论文 a p x 十任意，( t ) l 2 【0 ，t i ，均有m 陋，t ) l ( x ，t ) ( 2 ) 令0st 1 “t 是 0 ，t 】的一个任意划分，我们总能找到这样的 e ；r ，j = 0 ，1 ，2 ，一1 ，使得有 kk - - 1 岛托= 弓( 黾+ 。一) i = l i = 0 成立， ( 3 ) 任取k m ( x ，t ) ，令 ，t h 。= e o + 7a ( t ) d x ( t ) ， j 0 其中厶( t ) l 2 【o ，卅，由l 2 i o ，明的完备性知，存在，( ) l 2 【o ，卅，使得厶( - ) _ ，( ) ， 假设 h = e o + f f ( t ) d x ( t ) ， j 0 下证在l 2 f o ，明中h 。- h 由命题3 2 知 ，t e 【( k 一 ) 2 】= e ( ( 厶( t ) 一，( t ) ) d x ( t ) ) 2 】 j u r 墨a t ( 厶 ) 一，( t ) ) 2 d t 、 j 0 其中a 与a ( t ) 一，( t ) ，v t 【0 ，t 无关很明显e l ( h 。一 ) 2 】_ 0 从而，对任意k m ( x ，t ) ，都存在，( ) l 2 o ，卅使得 。_ h 故m ( x ，t ) 在工2 ( p ) 中闭 下面让我们定义一个新息过程 ，t广t o ) 圭x o ) 一上c ( s ) f 1 ( 曲d s 一上d ( s ) x ( s ) d sj 0j o ，t = x ( t ) 一( c ( s ) 口0 ) + d ( s ) x ( s ) ) d s ，( 3 7 ) j o 1 0 0 xd 0 ，l y 冉 啦 ， e r 匹瑚 伽f = | | d n ( t ) = d x ( t ) 一( g ( 啦7 ( t ) 4 - d ( t ) x ( t ) ) d t ( c ( t ) 9 ( t ) + d ( t ) x ( t ) ) d t + f ( t ) d w ( t ) f g ( t ) 口( t ) + d ( t ) x ( t ) ) a t c ( 。) ( 州一9 ( t ) ) d t + f ( t ) d w ( t ) f 3 8 1 。茔竺墨雪，我秆? 把由时刻对v ( f ) 的观测x ( t ) 所带来的新的信息称为新息过 登。苎三孽说，t 时刻前口( ) 加权误差的累加值就是t 时刻的新息过程，翼二幂 可观测到的过程 我们断言 命题3 4 r j ，( t ) 有独立增量； 俾j c ( a + t ) = c ( x t ) t o 丁 ： r 3 ( f ) 是一个高斯过程 证明( 1 ) 若s r t 】7 c ( x s ) 则 ( ( r ) 一p ( r ) ) 二c ( ，r ) 2 c ( x s ) 显然成立，即e ( ( r ) 9 f f ) ) y 1 ：0 丽 e 【( 7f ( r ) d ( r ) ) 明= o 是布朗运动独立增量性的结果因此 e ( ( t ) 一v ( 8 ) ) 】7 1 = e ( ，c ( r ) ( ( r ) 一。( r ) ) d r + ，t f ( r ) d w ，( r ) ) y 1 2 g ( r ) e i 哂( r ) 口( r ) ) y 】d r = 0 ( 2 ) 易证c ( t ) c ( x ，t ) v t f o ，引 下证c ( t t ) c 畔，) 成立选择某一，( ) 三2 ( o ，司，使得 ( 。，( s ) d = f f f ( ) 嘶) 一z 州盼肌z 2 饰荆邵 妻! 题3 - 3 和定理2 4 知协f d - 叫，存在9 ) 2 i o ，r 】和e ( r ) r ， 使得 。 c ( r ) d ( r ) = e ( r ) + f ( s ) d x ( s ) ， u j 尔大竿坝士学位论文 = = = = = = = = = = = = 詈= 毫= = = = = = = = = 毫= = = = = = = = = = = = ： ： 于是有 z 。，( s ) d ( s ) = z ，( s ) d x ( s ) 一o ，( r ) ( e ( r ) + 。( ，) x ( ，) ) d ， 一z ，( r h z 9 ( r ，s ) d x ( s ) ) d r = f ，( s ) 咧s ) 一z ，( r ) ( e ( r ) + d ( r ) 砷) ) d r 一肼m ) d r 琊) = 肌沪，。，( r m ”m 琊) 一：。m ) ( e ( ，) 十砷) x ( r ) ) 妣 由v o l t e r a 积分方程( 参见【1 3 j ) 的理论，对所有的( ( ) l 2 0 ，苟，存在一个，( ) l 2 i o ，t 使得 ，( s ) 一，( r ) 9 ( r ，s ) d r = ( s ) 成立特别，v t l o ，乩我们让 r t ( ( s ) = 如山) ( s ) + f ( r ) d ( r ) d r ， ，s 于是 f ( s ) d n ( s ) = j 0 胁山) ( s ) + ，。m 洲d r ) 哪) 一z m ) ( 币) + 钟) 砷) ) d r 荆+ 脱m 川邮) 一，( r ) ( e ( r ) + d ( r ) x ( r ) ) d r j 0 x ( t ) + z ( z ，( r ) 。( r ) d x ( s ) ) d r p t 一，( r ) ( e r ) + d ( r ) x ( r ) ) 咖 r t = x ( h ) 一f ( r ) e ( r ) d r j 0 1 2 山东大学硕士学位论文 也就是说 x ( t 1 ) = f ( r ) e ( r ) d r + f ( s ) d n ( s ) v t i o ，t ： 即z ( x ，t ) c ( ，t ) ( 3 ) 因为9 ( t ) 是p ( p ) 中形如 m = e o + e l x ，+ + 8 女x “0 t ：t ： i = 1 ，2 ，七， 的线性组合的极限，所以( ( s 1 ) ，雪( s 。) ) 是l 2 ( p ) 中( m ，m ( ”) ) 的极限， m ( 1 是形如的线性组合因为x 是高斯的，所以( m ( ”，m ( ”) ) 服从m 一维 高斯分布，( ( s ，) ，( s 。) ) 也具有m - 维高斯分布，则孬( 句是一个高斯过程， 由9 ( t ) 是一个高斯过程，根据定理2 7 易知 - ( t ) = x ( t ) 一g ( s ) 口( s ) 如一d ( s ) x ( s ) d s 也是一个高斯过程 一 3 1 3 一个标准布朗运动 现在让我们熏新定义一