（金融学专业论文）我国国债利率期限结构的建模与实证——抗差样条模型.pdf

摘要 本文的主要成果是建立了一个特别针对我国国债市场的利率期限结构模型。尽管各 种利率期限结构模型在国外早己发展成熟并应用于实际，但就目前的国内外文献来看， 尚未有符合我国实际的利率期限结构模型出现。我国特有的税收制度而造成的避税效应 ( 税收效应) ，是使得国债价格扭曲最主要因素，另一个难点是，除税收外，市场上还有 许多其他因素扭曲了债券的价格。如果不对这些债券加以甄别，就会造成整个期限结构 的扭曲，以至于所有基于该期限结构之上的研究，乃至对国债以及衍生产品的定价造成 错误。税收效应以及对错误定价债券的甄别，是现有文献都未涉及到的。 本文借鉴测绘学中的i g g i 抗差估计方案，建立了一种三次基于样条函数的期限结 构模型抗差样条模型，并提供了两种不同的估计策略。该模型可以清晰的反映并消 除税收效应对期限结构的扭瞄，并且能够甄别出价格异常的债券。本文通过实证的办法， 将该模型和现有几个典型的期限结构模型进行了比较，证明了本文的模型在平滑性、处 理异常值以及样本内、样本外检验方面有着明显的优越性。 必须指出的是，本文着力于部分地解决的是我国国债利率期限结构建模中的理论与 技术上的难题，本文主要是提出一种建模的思路，希望能为后来的同类研究打开一些思 路。 3 f i t t i n gt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t eo fd o m e s t i cb o n d sm a r k e tb y r o b u s ts p l i n e a b s t r a c t t h ec o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e ri st ob u i l dat e r m - s t r u c t u r em o d e le s p e c i a l l ya p p r o p r i a t e d f o ro u rd o m e s t i cm a r k e t a l t h o u g hav a r i e t yk i n d so ft e r ms t r u c t u r em o d e l sa r ed e v e l o p e d a n da p p l i e di nd e v e l o p e dm a r k e t s ，b u ta m o n ge x i s t i n gl i t e r a t u r e s ，w ec a nn o tf i n dam o d e ls u i t s o u rd o m e s t i cm a r k e t ，t h a t sb e c a u s ew eh a v eo u ro w nt a xs y s t e m ，u n d e rw h i c ht h eb o n dp r i c e a r ed i s t o r t e d a n o t h e rd i f f i c u l t yi s ，b e s i d e st a xe f f e c t ，t h eb o n dp r i c e sa r ed i s t o r t e db ym a n y o t h e rf a c t o r s ，h e n c ei fw ed on o tp i c ku pt h e m ，w ew i l lg e tad i s t o r t e dt e r ms t r u c t u r e ，t h e ns p o i l a l lt h ef o l l o w i n gr e s e a r c h ，i n c l u d i n gp r i c i n gb o n d sa n di t sd e r i v a t i v e s a l lo ft h ea b o v ep o i n t s a r en o tm e n t i o n e di ne x i s t i n gl i t e r a t u r e i nt h i sp a p e r ，w eu s e dar o b u s te s t i m a t i o nf r e q u e n t l ya p p l i e di nt o p o g r a p h yc a l l e di g g i m e t h o dt ob u i l dat e r ms t r u c t u r eb a s e do nc u b i cs p l i n ew h i c hi sc a l l e dr o b u s ts p l i n ei nt h i s p a p e r a l s o ，w eo f f e r e dt w od i f f e r e n ts t r a t e g i e sb a s e do nt h i sm o d e l t h i sm o d e lc a nr e f l e c tt h e t a xe f f e c ta n de l i m i n a t et h ee f f e c t sa n dp i c ku pi n a c c u r a t e l yp r i c e db o n d s ，w h i c hc o m p a r e do u r m o d e lw i t hs e v e r a lt y p i c a lm o d e l sb yp o s i t i v er e s e a r c h ，a n dt h er e s u l t sd e m o n s t r a t et h a to u r m o d e lh a v ed i s t i n c ta d v a n t a g e si ns m o o t h n e s s 、d e a l i n gw i t ho u t l i e r sa n di ns a m p l ea n do u t s a m p l et e s t i tm u s tp o i n t e dt h a tt h i sp a p e ri sf o c u s e do nd e a l i n gw i t ht h et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l d i f f i c u l t i e si nf i t t i n gt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e si no u rd o m e s t i cm a r k e t ，a n dt h em a i n p u r p o s ei st oi d e at ob u i l dam o d e l ，a n dw eh o p ei ti sb e n e f i c i a lf o rf o l l o w i n gs t u d i e s 4 引言 勿庸置疑，利率期限结构的重要性已经超出国债分析领域，成为整个金融分析的基 石之一。只有确定一条准确的、合理的利率期限结构，才能为在此之上的债券及其衍生 产品定价、金融产品设计以及相关投资分析提供可靠有力的基础。将债券的到期收益率 连接成一条曲线，或者用一条光滑曲线拟合各债券的到期收益率，可以大致勾勒出期限 结构的形状。但是，这种收益率曲线最大的不足，就是将各种不同期限的利率等量齐观， 这是背离市场的实际情况的。事实上，衡量利率随时间变化的即期利率( s p o tr a t e ) 才是 真正的收益率曲线( y i e l dc u r v e ) ，也称为零息票债券的收益曲线( z e r o c o u p o nr a t e ) 。自 从上世纪七十年代以来，国外陆续有文献介绍即期利率的拟合技术，即利用市场上一组 同类型的固定收益债券( 例如政府债券) ，包括零息债券和附息债券的数据，通过最优化 的方法，拟合即期利率或远期利率( f o r w a r dr a t e ) 。当前，许多发达国家的中央银行，已 经应用了这些技术来构造本国的利率期限结构。 目前，主流的期限结构模型分为样条模型和非样条模型两大类。样条模型( 为美国 央行所采用) 通过拟合零息票债券的贴现率进而求出即期利率以及远期利率；非样条模 型主要有s v e n s s o n 模型( 英国) 和n e l s o n s i e g e l 模型( 意大利) ，( 另有v a s i c e k 模型和 c i r 模型也属于后者，但它们分别因为拟合度差以及灵活性差且求解困难，很少被采用) ， 它们属于参数模型，拟合的是即期利率。非样条模型的优点在于它们的参数经济意义明 确，需要估计的参数较少，基于这些模型的套期保值策略易于构造，但是，非参数模型 的缺点也是明显的：非样条模型本身在精度上就劣于样条模型，若将其运用于大量债券 价格扭曲的我国国债市场，期精度将会更差，最为重要的是，非样条模型的求解需要做 非线性优化，这使得我们对模型在求解技术上很难改进，以适应我国市场。反过来，尽 管样条所求参数比较多，并涉及许多技术细节，例如节点( k n o tp o i n t ) 的选取，但其采 用的线性优化非常便于我们的改造，让其适应中国市场因此，本文就选取样条模型 作为期限结构建模的基础。 下面我将对国内外此类文献做一番综述。1 9 7 1 年，m c c u l l o c h t l 】提出了利用多项式样 条拟合零息债券的贴现函数，使得市场的价格于模型理论价格的均方误差最小，样条模 型就此诞生。然而，样条模型具有于身具来的矛盾拟合优度( g o o d n e s s o f - f i t ) 以及 平滑度( s m o o t h n e s s ) 提高拟曲线的平滑度需要以牺牲拟合优度为代价，而提高拟合 优度意味着利率曲线出现剧烈的震动，过于剧烈的震动在经济学上是不合理的。围绕着 这个理论问题，国外的文献采用了各种尝试：首先，m c c u l l o c h 采用w l s 估计，为买卖 价差( b i d a s k ) 较大的债券赋予较小的权重。这事实上是对一些流动性较差的债券给予 隐含的惩罚；之后，v a s i c e k 和f o n g t 2 1 ( 1 9 8 2 ) 提出了指数样条模型，并且建议对短期债 券赋予较高的权重；之后，样条模型一个比较大的改进来自于f i s h e r 、n y c h k a 和z e r v o s 3 】 ( 1 9 9 5 ) ，他们以b 样条作为期限结构的基函数，在最优化决策中，在目标函数增加一个 粗糙惩罚项( r o u g h n e s sp e n a l t y ) ，以兼顾模型的平滑性；在此之后，w a g g o n e r t 4 1 1 9 9 7 让 惩罚函数依不同到期日而变化；a n d e r s o n 和s l e a t h 5 1 ( 2 0 0 1 ) 则进步提出将惩罚函数中的 平滑参数改为连续函数。 国内同类研究开展较晚，早期一些文献利用初等函数拟合债券到期收益率【6 ，7 1 ，它所 5 得到的并不是即期利率( 其区别下面将要提到) ：或者用初等函数拟合即期利率【8 】，但这 些方法函数没有很好的性质，应用价值不高。就对即期利率的拟合而言，现有文献大致 分为两类：一类是将国外模型直接应用于我国，例如郑振龙、林海【9 i ( 2 0 0 3 ) 利用二次 多项式样条拟合即期收益率，除了二次样条模型固有的缺陷外，所得利率曲线也是起伏 不断，平滑性差；刘灿、易璐( 2 0 0 4 ) 1 0 】利用b 样条对沪深两市国债即期和远期利率进 行了估计，利率曲线的形状明显优于文献 1 0 】，但该文只给出调整的尺2 以证明模型的拟 合优度，这样的检验是远远不够的；周荣喜、邱菀华( 2 0 0 4 ) 1 1 】利用三次多项式样条构 造上证国债利率期限结构，从研究方法的正确性和完整性上来说，是第一次真正意义上 将样条模型应用于我国国债市场。 第二类国内文献，就是将国外各类期限结构模型进行对比研究，试图从中选出适合 我国市场的期限结构模型。朱峰( 2 0 0 3 ) 1 2 】比较了f i s h e r n y c h k a z e r v o s ( 以下简称f n z ) 模型和s v e n s s o n 模型在拟合我国上证国债即期利率时，在价格误差和到期收益率误差上 的表现，但模型没能对即期利率的平滑性进行检验，文中已经提出所有的模型都难以识 别市场中被错误定价的债券，并指出这是一个难以解决的问题；赵宇龄( 2 0 0 3 ) 1 1 3 1 认为， m c c u l l o c h 模型参数经济意义不明显，故n e l s o n s i e g e l 模型更适合我国，这样的分析和 判断显然有些草率：朱世武、陈健恒( 2 0 0 3 ) 1 1 4 1 比较了m c c u l l o c h 模型与n e l s o n s i e g e l 模型后，认为虽然样条模型拟合优度高，但在远端上升太快，不符合期限结构理论，因 此选n e l s o n s i e g e l 为佳，事实上，样条模型在远端的形态与节点的选择以及样本的好坏 密切相关，仅凭一次试验就断定样条函数在远端的性质是不够的。傅曼丽等 1 5 i ( 2 0 0 5 ) 对多项式样条、b 样条、n e l s o n s i e g e l 模型以及s v e n s s o n 模型进行了比较完整的比较研 究，认为b 样条更适合于我国市场，这也是第一次手段比较正确和完整的比较研究，不 过，事实上，所有的样条方法本质上是一样的( 在下文中将会提到) ，在没有对样条方法 彻底了解之前，这样的结论尚待商榷。 值得一提的是，国内的研究者已经开始关注期限结构模型下的定价误差问题。周荣 喜，邱菀华( 2 0 0 5 ) 1 6 矛l j 用样条模型下模型定价和市场价格的差价来为投资提供决策支 持，这是有益的尝试。但是，必须指出的是，如果没有一个准确的模型，那么基于此上 的投资策略都将是值得商榷的。 本文将尝试以多项式样条函数和指数样条函数作为期限结构的基函数( b a s e f u n c t i o n ) ，在最优化决策过程中，使用测绘学中常用的i g g i 抗差估计( r o b u s te s t i m a t i o n ) 方案。这里要说明的是，之所以采用测绘学的术语“抗差”而不是统计学中的“稳健”， 是因为这个方案被广泛应用于测绘学当中，既然借用了测绘学的方法，不如也沿用其术 语。我们从i g g i 函数出发，分别设置了两种严格程度不同的挑选异常债券的方案，并 将它们与两种典型的样条函数模型进行了比较，发现我们的方案对无论在检验结果、税 收效应消减已经模型的稳定性上都有明显的优势。 6 1 1 1 二、样条模型的理论背景 为了行文方便，我们首先来约定各种利率及其符号，我们假设当前是0 时刻。 6 ( f ) 贴现函数( d i s c o u n tf u n c t i o n ) ，即在f 时刻的1 元支付在当前的价格； ，( t ) 期利率( s p o tr a t e ) 或者成为零息票收益曲线( z e r o c o u p o nr a t e ) ，它与 贴现函数的关系为： 厂( f ) = 一l n 6 ( f ) ( 1 ) 厂( t ) ( 瞬时) 远期利率( i n s t a n t a n e o u s f o r w a r dr a t e ) ，它可以看作投资者对 未来即期利率的预期，其于贴现函数的关系是 巾) = 一掣 ( 2 ) 显然，f ( t ) 和r ( t ) 之间满足 ，( r ) = f 巾) 出 ( 3 ) r 到期收益率( y i e l dt om a t u r i t y ，y t m ) ，也成内部收益率( i n n e r r e v e n u er a t e ， i r r ) ，它是一个到期日为t 的债券的所有的现金流按照一个平均值折现所隐含的 折现率，假设该债券在t 时刻具有现金流( ，i = 1 ，2 ，m ，债券当前价格为p ， 那么，r 满足 肚薹南 ( 4 ) 2 1收益率及利率期限结构模型简介 下面我们来简要的介绍一下期限结构模型。所谓期限结构，就是利率随时间变化的 函数。因此，在这里，我们必须撇清收益率曲线( y i e l dc u r v e ) 于期限结构的区别。所谓 收益率曲线，是将市场上同质的一组债券按照到期收益率绘制成散点，然后用一条连续 曲线连接起来，或者用一条连续曲线穿越这些散点。事实上，这样的曲线无法反映利率 与时间的关系从( 4 ) 式就可以看出，所有期限的现金流都以一个相同的利率折现， 也就是说，不同期限的利率，在收益率曲线看来，是完全一样的，这就意味着，当零息 票利率为时间的增函数时， r 总是小于，| ( t ) ，从经济学的角度解释，就是投资者在到 期日前就已经获得了一些利息收入，那么对应与这些利息的收入支付日的要求收益率 ( r e q u i r e dr a t eo fr e t u r n ) 低于最后支付日期对应的要求收益率。反之亦然。图2 1 所表示 的，就是零息票利率、远期利率和收益率曲线之间的关系。 因此，在这里我们必须说，到期收益率曲线的和期限结构是两个有着重大区别的概 念。前者对经济运行的表征能力远远不及后者，也不能够用于债券以及其他衍生产品的 定价，更不论基于其上套期保值以及金融产品的开发。拟合到期收益率曲线，无论手段 多么巧妙，拟合多么精确，其意义都不是很大。 7 图2 1零息票利率、远期利率、到期收益率示意关系 于是，我们需要的是构造即期利率( 或者瞬时远期利率) 函数。样条函数法以及其 他模型，就是在这种背景下产生的。期限结构模型总是假设利率是一条光滑的连续曲线， 然后利用市场上无风险债券的数据，来拟合该曲线。样条模型和非样条模型就是构造这 样的曲线的两种不同的思路。样条模型的理论基础是w e i e r s t r a s s 第一逼近定理，即任何 一条闭区间上的连续曲线都可以由多项式来任意逼近；而非样条模型更多从利率的经济 学意义上考虑，用一个含有参数的函数来表示期限结构，通过估计这些参数来拟合期限 结构。从理论基础上就可以看出，样条方法在精度上有着天然的优势，并且，正如引言 部分所提到的那样，样条方法由于采用线性优化的办法求解，较之非样条方法，有着高 度灵活、易于改良的优势，因此，本文就从样条方法入手，来构造适于我国的利率期限 结构。 2 2 样条期限结构模型的理论框架 f i s h e r 等( 3 】述了样条期限结构模型的一般理论，我们以此为基础，为样条模型厘清一 个基本的框架。首先给期限结构下一个一般化的定义，注意我们这里总是假设当前是0 时刻的。 定义1 关于时间t 的函数h ( t ) 称作期限结构，如果在一个泛函变换g ，使得 g ( h ( ) ，t ) = 6 ( t ) 定义2 如果期限结构庇( f ) 可以被参数化为个样条函数，即一组样条基函数的 线性组合： 8 则称 矗( f ) = h s ( f ；) 圭荟反纯( f ) = ( f ) 6 。( f ，卢) = g ( 红( ；卢) ，t ) 为样条化贴现函数。 样条化的贴现函数实际上将贴现函数6 参数化了。有了贴现函数，我们就可以为债 券定价。假设市场上有n 只债券，第i 只债券在t i f 时刻有支付c f 其中j = 1 ，2 ，m i ， 则在样条化贴现函数6 。下该债券的价格( 一下称作理论价格) 为 y g i ( 卢) = c 以t ( t i ；f 1 ) = 4 e ( h s ( ；) ，t i ) = 0 季( ( ) f l ；t i ) 这里 喜( 驴( ) f l ；t i ) = ( g ( 驴( ) ；t 。) ，g ( ( ) f l ；t i ：) ，g ( 妒( ) f l ；t 拥) ) 1 。 定义3 令向量p = ( p ，o x , 为这，z 只债券的市场价格，仃( ) = ( i t i ( 卢) ) 州为由贴现 函数6 。所求得的债券的理论价格向量，则求解卢的最优化决策过程 卢一g 吁n ( p 一仃( 声) ) 2 ( p 一口( ) ) j 5 ) 称作回归样条法。 上述回归样条的解分为两种情况：如果口( 卢) 是的线性函数，即1 - 1 ( 卢) = x f l ， 则对( 5 ) 式子可以表示为： f l = a r g m i n ( p x 卢) r ( p x 卢) ) ( 6 ) 其解就是 + = x r x ) x r p 如果n ( 卢) 是非线性的，则需要用到非线性优化的办法，邹至庄( c h o w ，1 9 8 3 ) 1 7 1 为( 5 ) 给出了一个迭代的算法：首先“猜出一个初始解卢o ，然后在p o 附近将- ( ) 近似为 其一阶t a y l o r 展开 如果定义 叩柚( 州胛。) 铲l x ( 卢。) = 掣l 以及 】，( p 。) = p 一口( 。) + 卢。x ( 卢。) 则可以对进行类似于( 6 ) 的线性优化： 巧n ( y ( 。) 一x ( 卢。) 卢) r ( y ( 。) 一x ( 卢。) ) ) 9 ( 8 ) ( 9 ) 对上式求解得 p 1 = ( y ( 。) rx ( 。) ) y ( 。) 丁】，( 卢。) ( 。) 将p 1 代替( 7 ) 式中的p o ，可以得到第二个迭代解p 2 ，如此下去，直到这个解收敛到p + 。 这就是回归样条的非线性解法。 2 3模型的检验 一般来说，模型的检验需要两个过程，即样本内检验( i n s a m p l et e s t ) 和样本外检验 ( o u t s a m p l et e s t ) 。即将债券分为两组，一组用于建模( 样本内) ，然后用这个结果为另 外一组债券定价( 样本外) 。p r i a u l e t ( 1 9 9 7 ) 1 1 9 1 建议如下： i 样本内检验和样本外检验的均方误差都应当小于市场的平均买卖价差，这个值 的近似值为在0 1 5 ，即 m s e i n = 唇磊而万以，5 m s e 一。u t 一唇石硒姐1 5 这里i i l 和o u t 分别代表样本内检验和样本外检验债券集合，群代表取集合的个 数。 i i 这两个均方误差之间应该小于价格的0 0 3 ，即 i m s e _ i n m s eo u t f 0 ， 则可以认为，该债券在税率的作用下价格偏高，反之则偏低。 有了这个指标，我们可以认为，如果某只债券价格扭曲仅仅是由于税率引起的，那 么一定有l t is0 3 3 ，否则，我们可以认为，该债券确实被错误定价了。 但是，这种判别标准不是绝对的。观察( 1 8 ) 式，我们发现当债券的收盘价接近面 值的时候，t 会陡然增大因此，我们将异常价格的债券定义为该债券同时满足： i 被i g g i 函数赋为零权 i i 隐含税率大于0 3 3 第二个方案，我们称之为“最大样本方案”，即我们从最大信息的角度考虑，让所有 债券一个都不少地参